Grupo6_G4_P01

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Quiz No.2 
Grupo No. 6 
Alumnos: Paulina Astorga, Denisse Catari, Gisela Cerda, Gonzalo LLanquin. 
Problema No 1 Guía No 4 
 
Se tiene una distribución de carga dada por su densidad volumétrica de carga: 
 
( ) { rr αρ = si Rr ≤ 
 0 si Rr > 
Calcular el trabajo W necesario para llevar una carga desde r = 1.5R hasta r = 3.9R. 
Calcule el potencial usando la relación V(r) = 
oq
∫
∞
⋅−
r
ldE y luego usando la definición 
∫ ′−= rr
kdqrV )( . 
 
SOLUCION
 
Primero calcularemos la carga neta para Rr ≤ se tiene que (figura 1): 
 
θϕϕααρ
ε
π π
ddrdrrdvrdvrq
qdsE
r
neta
neta
sin)( 2
2
0 0 0
0
∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫
∫
===
=•
 
 
Donde : 
πθ
πϕ
20
0
≤≤
≤≤
 
 
5
8sin
2
5
0 0
2
0
2
3 rdddrrq
r
neta
•••== ∫ ∫ ∫
απθϕϕα
π π
 
Ahora bien, como el campo es constante en toda la superficie de la esfera y sdE // se tiene 
que: 
 
24 rEdsEdsE ⋅⋅⋅==•∫ ∫ π , igualando se tiene: 
0
2
5
2
5
84
ε
αππ rrE ⋅⋅=⋅⋅ , 
despejando y cancelando términos nos que la magnitud del campo es 
05
2
ε
α rE ⋅⋅= 
 
 
 
 
 
 
 
Ahora se analizará el caso para Rr > se tiene (figura 2) : 
 
∫∫∫∫ +=+==
> Rr
R
RRr
neta dvrdvrdvrdvrq
000
0)()()()( ρρρρ , 
ya que la distribución de carga llega solo hasta R, 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ⋅=⋅⋅⋅=
R R
neta dsenddrrRdrddsenRrq
0
2
0 0
2
0 0
2
0
2
π ππ
ϕϕθαθϕϕα
π
, 
Integrando se tiene: 
7
8 2
7
Rqneta
⋅⋅= απ 
Como el campo eléctrico es constante y sdE // se tiene: 
 
∫∫∫ ⋅⋅==•=• 24 rEdsEdsEsdE π , igualando se tiene: 
 
0
2
7
2
7
84
ε
αππ RrE ⋅⋅=⋅⋅ 
2
0
2
7
7
2
r
RE
⋅
⋅=
ε
α
 
 
Ahora se calculará el potencial en los puntos dados y tomaremos el potencial para 1.5R y 
3.9R : 
 
∫ ∫∫ ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−⋅−=⋅−=⋅−=⋅−=
R
R
R
R
R
R r
R
r
drRdr
r
RldErV
9.3
5.1
9.3
5.10
2
7
2
0
2
7
2
0
2
79.3
5.1
1
777
)(
ε
α
ε
α
ε
α 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −⋅=∴
5.1
1
9.3
1
7
)(
0
2
5
ε
α RrV 
 
Luego el trabajo realizado es: 
 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −⋅⋅=
5.1
1
9.3
1
7 0
2
5
0
ε
α RqW 
R radio esfera 
R radio de la 
esf. Gaussiana 
R>r 
Figura 1
 
 R radio esfera 
R radio esfera gaussiana 
R<r 
Figura 2 
R
r