Grupo8_G3_P11

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Quiz Nº 2 
Problema Nº 11, Guía Nº 2 
Grupo 8: Katherine Donoso 
 Valeria Henríquez 
 Jorge Iriarte 
 Paula Meneses 
 Frida Valenzuela 
 
 
Una carga total Q está distribuida en una esfera de radio R. La distribución tiene simetría 
esférica y está dada por: 
2
( ) 2 1
2
0
Rsi r
r Rr si
R
si r R
α
ρ α
⎧ ≤⎪
⎪
⎪ ⎛ ⎞= − ≤ ≤⎨ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎪
⎪ ≥
⎪⎩
r R 
 
a) Determine en términos de Q y α R 
b) Demuestre que el campo eléctrico en todo el espacio está dado por 
3
0
3
3
0
2
0
8
15 2
4 1( ) 4 3
15 16 2
4
Qr Rsi r
R
Qr r R RE r si r R
R R r
Q si r R
r
πε
πε
πε
⎧ ≤⎪
⎪
⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎛ ⎞= − − ≤⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠
⎪
⎪ ≥
⎪⎩
≤ 
Desarrollo 
 
a) 
 
dVdVdVdVQ
Rr
R
R
R
Rr
∫∫∫∫
≥
++== 3
2/
2
2/
0
1
0
ρρρρ
 ∫∫ ∫
≥
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+=
Rr
R
R R
R
dVdrr
R
rdrr 04124 2
2/
0 2/
2 παπα 
 
 
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+=
333
4
4
3
33
2/
432/
0
3
64
15
24
78
6
164
1
33
18
6
4
1
3
8
3
4
RRR
RR
R
RRR
r
R
rr R
R
R
παπα
παπα
παπα
 
 
 
 
 
3
3
33
5
8
8
5
24
11
6
R
Q
RQ
RR
π
α
πα
παπα
=⇒
=
+=
 
 
 
b) 
 
 
2/Rr ≤
 Superficie gaussiana 
 
3
0
0
3
23
0
2/
0
2
0
2
0
0
1
2
0
15
8
35
8
4
4
4
R
QrE
r
rR
QE
drr
r
E
dv
rE
qsdE
r
Rr
r
neta
πε
πε
επ
πα
ε
ρ
π
ε
=
⋅=
=
=⋅
=⋅
∫
∫
∫
≤
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Superficie gaussiana 
RrR ≤≤2/
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−−=
⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−+=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅−−+⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−+⋅=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+=
+
=⋅
=⋅
∫ ∫
∫ ∫
∫
3
3
3
0
3
334
3
32
0
3433
32
0
3433
32
0
43433
32
0
2/
432/
0
3
2
0
2
2/
0 2/
2
0
2
0
2/
0 2/
21
2
0
16
134
15
4
6
6
/
962
1
3
2
5
8
96
5
23
2
245
8
192
5
43
2
245
8
6483
1
43
2
83
1
5
8
4
1
3
2
3
1
12
4
4
4
r
R
R
r
R
QrE
r
rR
R
rr
Rr
QE
R
R
rrR
Rr
QE
R
R
rrR
Rr
QE
R
RR
R
rrR
Rr
QE
r
R
rr
r
E
drr
R
rdrr
r
E
dvdv
rE
qsdE
r
R
R
R r
R
R r
R
neta
πε
πε
πε
πε
πε
α
ε
αα
επ
π
ε
ρρ
π
ε
 
 
 
 
 
 
Rr ≥
 Superficie gaussiana 
 
 
0
2
0
2
0
4
4
επ
ε
π
ε
r
QE
QrE
qsdE neta
=
=⋅
=⋅∫