Grupo13_G3_P07

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QÜIZ Nº 2 
 
Grupo Nº 13 
Alumnos: Patricio Romero – Eduardo Rojas – Ismael Ramos – 
Enrique Taucare – Francisco Soto. 
Guía 3 (ley de Gauss) - Problema Nº 7 
 
Una esfera sólida no conductora de radio R posee una densidad volumétrica de carga 
proporcional a la distancia al centro de la esfera: 
 
 
 
 
 
Siendo α una constante positiva. 
 
(a) Demuestre que el campo eléctrico producido por esta distribución en todo el 
espacio está dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
Grafique el módulo del campo eléctrico en función de la distancia al origen. 
 
 (b) Calcule ahora el potencial electrostático para . y r R r R≤ ≥
 
(c) Repita los cálculos anteriores para una densidad de carga volumétrica de la 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución del Problema: 
 
(a) 
 
 
 
En este problema lo más difícil es encontrar la carga neta encerrada la cual se rige por: 
 
Qneta = ∫ dq 
 
El enunciado nos indica que es una esfera no conductora (dieléctrica) esto quiere decir 
que la carga se encuentra sobre todo el volumen de la esfera por lo tanto usaremos: 
 
dq = ρdv Qneta = v∫ ρdv 
 
 
 
 
1) Para r ≤ R 
 Superficie Gaussiana 
r
R
Calcularemos el Qneta: 
 
Qneta = v∫ ρ(r)dv , pero sabemos que dv = 4π r2dr 
 
Qneta = ( 0,r )∫ ρ(r) 4π r2dr 
 
Qneta = ( 0,r )∫ α4π r3dr Qneta = απ r4
 
Aplicando la ley de gauss: 
 
∫ Ē٠dŝ = Qneta / ε0
 
En la superficie esférica gaussiana el campo es constante y el producto punto 
entre E y ds es simplemente la multiplicación de ambos ya que estos son 
paralelos. Luego tenemos que: 
 
E ∫ dŝ= απ r4 / ε0
 
E 4π r2 = απ r4 / ε0 
 
 
 
 
 
 Superficie Gaussiana 
2) Para r > R 
 
Lo haremos igual que en el punto 1. r 
R
Qneta = v∫ ρ(r)dv , pero sabemos que dv = 4π 
r2dr 
 
En este caso tendremos la suma de 2 integrales 
una de 0 a R y la otra de R a r. Esta última será 
cero ya que nuestra función de densidad nos 
indica que es cero cuando r > R. 
 
Otra forma de deducirlo sería que la carga que encierra la gaussiana es la de la 
esfera cuyo radio es R y si analizamos en el tramo R hasta r nos daremos cuenta 
que en este tramo no existe carga, por lo tanto, la densidad de carga será 0 ya 
que la carga esta contenida en el tramo de 0 hasta R. 
 
Qneta = ( 0,R )∫ α4π r3dr Qneta = απ R4 
 
Aplicando ley de Gauss se tiene que: 
 
E ∫ dŝ= απ R4 / ε0
 
E 4π r2 = απ R4 / ε0
 
 
Luego nos piden graficar el módulo del campo eléctrico en función de r. 
 
 
 
2
04
Rα
ε
E( r ) 
r 
 
R = r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Calcule ahora el potencial electrostático para . y r R r R≤ ≥
 
Sabemos que: 
V( r ) = - ∫ Ē ٠ dĪ 
 
1) Para r ≤R 
 
Integraremos el campo eléctrico que nos dio para r ≤ R con respecto a r 
 
 
 
 
 
Entonces el potencial será: 
 
VI( r ) = - [α r3 / (12 ε0 )] + C1 . 
 
 
2) Para r > R 
 
 Ahora usaremos el campo que nos dio para r > R: 
4
2
0
ˆ( )
4 r
RE r e
r
α
ε
= 
El potencial será: 
 
VII( r ) = [α R4 / (4 rε0 )] + C2
 
En infinito se anula el potencial VII( r ): 
 
VII( r→∞ ) = 0 , lo cual implica que : C2 = 0. 
 
Por continuidad del potencial en se tiene que: r R=
 
VI( R) = VII( R) 
 
- [α R3 / (12 ε0 )] + C1 = [α R3 / (4 ε0 )] 
 
obteniéndose: 
 
3
1
03
RC α
ε
= 
 
Por lo tanto el potencial queda: 
 
( )3 3
0
( ) 4
12I
V r R rα
ε
= − 
4
0
( )
4II
RV r
r
α
ε
= 
 
(c) Realizar el mismo cálculo, pero ahora cambia la densidad de carga 
 
 =)(rρ
r
β si r ≤ R 
 
 =)(rρ 0 si r ≥ R 
Qneta = ∫ dq 
dq = ρdv Qneta = v∫ ρdv 
 
 
c1) Para r ≤ R 
 
Calcularemos el Qneta: 
 
Qneta = v∫ ρ(r)dv , pero sabemos que dv = 4π r2dr 
 
Qneta = ( 0,r )∫ ρ(r) 4π r2dr 
 
Qneta = ( 0,r )∫ r
β
4π r2dr = ( 0,r )∫ β4π rdr Qneta = 2πβr2
Aplicando la ley de gauss: 
 
∫ dsE. = Qneta / ε0
 
En una esfera el campo es constante y el producto punto entre E y ds es 
simplemente la multiplicación de ambos ya que estos son paralelos. Luego 
tenemos que: 
 
E ∫ dŝ= 2πβr2 / ε0 
 
E 4π r2 = 2πβr2 / ε0 E( r) = ε
β
2
 
 
Superficie Gaussiana 
c2) Para r > R 
r
R
 
Lo haremos igual que en el punto 1. 
 
Qneta = v∫ ρ(r)dv , pero sabemos que dv = 4π r2dr 
 
En este caso tendremos la suma de 2 integrales una de 0 a R y la otra de R a r. 
Esta última será cero ya que nuestra función de densidad nos indica que es cero 
cuando r > R. 
 
 
 Qneta = ( 0,R )∫ r
β
4π r2dr = ( 0,R )∫ β4π rdr Qneta = 2πβR2
Aplicando la ley de Gauss se tiene que: 
 
E ∫ dŝ= 2πβR2 / ε0
 
E 4π r2 = 2πβR2 / ε0 E( r) = βR2/ 2ε0 r2
 
 
 
(c3) Calcule ahora el potencial electrostático para . y r R r R≤ ≥
 
Sabemos que: 
V( r ) = - ∫ Ē ٠ dĪ 
 
Para r ≤ R 
 
Integraremos el campo eléctrico que nos dio para r ≤ R con respecto a r 
 
 
0
( )
2
E r β
ε
= 
 
 
Entonces el potencial será: 
 
VI( r ) = - [ ε
β
2
r)] + D1 . 
 
 
3) Para r > R 
 
Ahora usaremos el campo que nos dio para r > R. 
 
 
2
2
0
( )
2
RE r
r
β
ε
= 
 
El potencial será: 
 
VII( r ) = [βR2/ 2ε0 r)] + D2
 
Repitiendo el procedimiento anterior, vemos que VII( r →∞) = 0 implica que D2 = 0. 
La continuidad del potencial en r implica que R=
1
0
RD β
ε
= , 
 
Por lo tanto, el potencial queda 
0
( ) (2 )
2I
V r R rβ
ε
= − 
 
2
0
( )
2II
RV r
r
β
ε
= 
 
 
De la misma manera se obtienen los resultados para nueva distribución de carga dada 
por: 
 
 2( )r r
βρ = si r ≤ R 
 =)(rρ 0 si r R ≥
 
 
0
( )E r
r
β
ε
= si r ≤ R 
 
2
0
( ) RE r
r
β
ε
= si r R ≥
 
Y además los potenciales serán.: 
 
1
0
( ) ln( )IV r r F
β
ε
= − + si r ≤ R 
2
0
( )II
RV r F
r
β
ε
= + si r ≥ R 
 
Repitiendo el procedimiento anterior, vemos que VII( r →∞) = 0 implica que F2 = 0. 
 
La continuidad del potencial en implica que r R=
 
[ ]1
0
1 ln( )F Rβ
ε
= + , 
 
Por lo tanto, el potencial queda 
0
( ) 1 ln( )I
RV r
r
β
ε
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
0
( )II
RV r
r
β
ε
=