Problemas de Eletromagnetismo

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Universidad de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de F́ısica
Electromagnetismo
Prueba 1 de Cátedra Profesor: José Rogan C.
15 de Abril del 2005 Ayudantes: Maŕıa Teresa Cerda G.
Germán Varas S.
1. Una distribución de carga esféricamente simétrica de radio interno a y radio externo b
tiene una densidad de carga dada por ρ =
A
r
, donde A es una constante, para a < r < b.
Para r > b y r < a la densidad es nula. Agrege una carga q en el origen y encuentre:
a) El potencial eléctrico y el campo eléctrico en todo el espacio.
b) ¿Qué condición debe satisfacerse para que el campo sea nulo en la región r < a?
c) ¿Qué condición debe satisfacer la constante A para que el campo sea constante en
la región a < r < b?
d) ¿Qué condición debe satisfacer la constante A para que el campo sea nulo en la
región r > b?
Solución:
La densidad de carga:
ρ(r) =

0 r < a
A
r
a < r < b
0 r > b
a) El potencial eléctrico y el campo eléctrico en todo el espacio.
Postulamos que el campo tiene la forma ~E(~r) y que existen tres regiones a analizar
Región r < a ∫
~E · d~a = 4πQencerrada = 0 =⇒ ~E = ~0 .
Región a < r < b ∫
~E · d~a = 4π
∫ r
a
A
r′
4πr′2 dr′∫
E(r)r̂ · r̂da = (4π)2A
∫ r
a
r′ dr′
E(r)4πr2 = (4π)2A
1
2
r′2
∣∣∣∣r
a
E(r) =
4πA
r2
1
2
(r2 − a2) = 2πA
(
1− a
2
r2
)
Región r > b ∫
~E · d~a = 4π
∫ b
a
A
r
4πr2 dr∫
E(r)r̂ · r̂da = (4π)2A
∫ b
a
r dr
E(r)4πr2 = (4π)2A
1
2
r2
∣∣∣∣b
a
E(r) =
2πA
r2
(b2 − a2)
EL campo total, con los resultados anteriores y superponiendo la carga puntual en
el origen
~E(~r) =

q
r2
r̂ r < a[
2πA
(
1− a
2
r2
)
+
q
r2
]
r̂ a < r < b[
2πA
r2
(b2 − a2) + q
r2
]
r̂ r > b
El potencial debido a la distribución esférica de carga más la carga puntual es
ϕ(~r) =

4πA(b− a) + q
r
r < a
4πAb− 2πAr − 2πAa
2
r
+
q
r
a < r < b
2πA(b2 − a2)
r
+
q
r
r > b
b) ¿Qué condición debe satisfacerse para que el campo sea nulo en la región r < a?
Que q = 0.
c) ¿Qué condición debe satisfacer la constante A para que el campo sea constante en
la región a < r < b?
Imponemos que
2πA− 2πAa
2
r2
+
q
r2
= cte
Lo cual implica
q = 2πAa2 =⇒ A = q
2πa2
d) ¿Qué condición debe satisfacer la constante A para que el campo sea nulo en la
región r > b?
Para satisfacer
2πA(b2 − a2) + q
r2
= 0 =⇒ A = −q
2π(b2 − a2)
2. Considere una región anular, de radio interior a y radio exterior b con una carga Q
uniformemente distribuida, ver figura. Haga coincidir el eje z con el eje de simetŕıa del
problema.
Q
x
y
z
a
b
Figura 1: Región anular cargada.
a) Calcule el potencial eléctrico y el campo eléctrico sobre el eje z.
b) Tanto para el potencial como para el campo eléctrico considere el ĺımite a → 0,
compare con los resultados para un disco cargado de radio b.
c) Muestre que el campo eléctrico que calculó en el párrafo anterior es discontinuo en
z = 0. ¿Cuánto vale la discontinuidad? ¿a qué se debe?
d) Para el campo eléctrico, calculado inicialmente, considere el ĺımite a → 0 y b →∞
con Q = πb2σ, donde σ es la densidad superficial de carga. Compare su resultado
con el de un plano infinito en xy.
e) Tanto para el potencial como para el campo eléctrico considere el ĺımite a → b,
compare con los resultados para un anillo cargado de radio b.
f) Demuestre que para el caso anterior el campo tiene un máximo en z = b/
√
2.
Encuentre el valor del campo en ese punto.
Solución:
La densidad superficial de carga
σ =
Q
π(b2 − a2)
a) Calcule el potencial eléctrico y el campo eléctrico sobre el eje z.
El potencial lo calculamos por integración
ϕ(z) =
∫ 2π
0
∫ b
a
σ
(z2 + r2)1/2
rdrdθ
= 2πσ
∫ b
a
r
(z2 + r2)1/2
dr = 2πσ(z2 + r2)1/2
∣∣∣∣b
a
=
2Q
b2 − a2
[
(z2 + b2)1/2 − (z2 + a2)1/2
]
Derivando encontramos el campo
~E(z) = − 2Q
b2 − a2
[
z
(z2 + b2)1/2
− z
(z2 + a2)1/2
]
ẑ
b) Tanto para el potencial como para el campo eléctrico considere el ĺımite a → 0,
compare con los resultados para un disco cargado de radio b.
ϕ(z) =
2Q
b2
[
(z2 + b2)1/2 − | z |
]
~E(z) = −2Q
b2
[
z
(z2 + b2)1/2
− z
| z |
]
ẑ
Los resultados anteiores coinciden con el potencial y el campo eléctrico de un disco
cargado de radio b y densidad superficial σ.
c) Muestre que el campo eléctrico que calculó en el párrafo anterior es discontinuo en
z = 0. ¿Cuánto vale la discontinuidad? ¿a qué se debe?
Si a → 0 entonces
σ =
Q
πb2
Evaluemos la discontinuidad
E(z+)− E(z−) = −−2Q
b2
[(z
b
− 1
)
−
(z
b
+ 1
)]
=
4Q
b
= 4πσ.
La discontinuidad se debe a la presencia de una distribución superficial de carga.
d) Para el campo eléctrico, calculado inicialmente, considere el ĺımite a → 0 y b →∞
con Q = πb2σ, donde σ es la densidad superficial de carga. Compare su resultado
con el de un plano infinito en xy.
Consideremos el ĺımite a → 0 con Q = πb2σ, tenemos para el campo
~E(z) = −2πσb
2
b2
[
z
(z2 + b2)1/2
− z
| z |
]
ẑ
Si hacemos b →∞ tenemos
~E(z) = −2πσ[− sgn z]ẑ = 2πσ sgn(z)ẑ .
El resultado corresponde al plano infinito.
e) Tanto para el potencial como para el campo eléctrico considere el ĺımite a → b,
compare con los resultados para un anillo cargado de radio b.
El potencial es
ϕ(z) =
2Q
b2 − a2
[
(z2 + b2)1/2 − (z2 + a2)1/2
]
Cuando a → b tenemos
ϕ(z) = 2Q ĺım
a→b
(z2 + b2)1/2 − (z2 + a2)1/2
b2 − a2
Utilizando L’Hopital
ϕ(z) = 2Q ĺım
a→b
−1/2(z2 + a2)−1/22a
−2a
=
Q
(z2 + b2)1/2
Para el campo
~E(z) = −2Q ĺım
a→b
[
z(z2 + b2)−1/2 − z(z2 + a2)−1/2
b2 − a2
]
ẑ
Nuevamente L’Hopital
~E(z) = −2Q
[
−z − 1/2(z2 + b2)−3/22b
−2b
]
ẑ =
Qz
(z2 + b2)3/2
ẑ
Ambos resultados coinciden con los de una anillo cargado de radio b.
f) Demuestre que para el caso anterior el campo tiene un máximo en z = b/
√
2.
Encuentre el valor del campo en ese punto.
Derivemos el campo anterior respecto a z
∂Ez
∂z
=
∂
∂z
[
Qz
(z2 + b2)3/2
]
=
Q(z2 + b2)3/2 − 3/2(z2 + b2)1/22zQz
(z2 + b2)3
= 0
Lo anterior implica
Q(z2 + b2)3/2 − 3
2
(z2 + b2)1/22zQz = 0
(z2 + b2)− 3z2 = 0
b2 = 2z2
z =
b√
z
El valor del campo en ese punto es:
E
(
z =
b√
z
)
=
Qb/
√
2(
b2
2
+ b2
)3/2 = Qb√2b3(3/2)3/2 = Qb2√2(3/2)3/2
3. a) Para una sola placa conductora grande y aislada que tiene una densidad superficial
de carga σ.
i) ¿En qué dirección apunta el campo en su superficie?
ii) ¿Cuál es el valor del campo en su superficie?
iii) ¿Cómo se compara este valor con el del campo de una lámina aislante infinita
con la misma densidad superficial de carga uniformemente repartida?
iv) Considere a la placa conductora como dos placas aislantes con densidad super-
ficial de carga σ levemente separadas y demuestre, por superposición, que el
campo es nulo entre las placas, es decir, en el interior del conductor. Encuentre,
también por superposición, el valor del campo en la superficie.
Solución:
i) ¿En qué dirección apunta el campo en su superficie?
Normal a la superficie.
ii) ¿Cuál es el valor del campo en su superficie?
El valor es 4πσ
iii) ¿Cómo se compara este valor con el del campo de una lámina aislante infinita
con la misma densidad superficial de carga uniformemente repartida?
La lámina infinita tiene un campo 2πσ y la lámina conductora 4πσ, es decir,
el doble.
iv) Considere a la placa conductora como dos placas aislantes con densidad super-
ficial de carga σ levemente separadas y demuestre, por superposición, que el
campo es nulo entre las placas, es decir, en el interior del conductor. Encuentre,
también por superposición, el valor del campo en la superficie.
−2πσ 2πσ
σ
−2πσ 2πσ
σ
4πσ
σ
−4πσ
σ
0
En el interior tenemos Ei = −2πσ + 2πσ = 0, Es = 4πσ.
b) Calcule la capacitancia para los siguientes sistemas:
i) Dos cascarones esfericos conductores de radios a y b con a < b.
ii) Dos mantos de cilindro conductores de radios a y b con a < b y de largo L
(use el resultado de un cilindro infinito).
iii) Si a ≈ b y L = 2b ambas capacidades son iguales.
Solución:
i) Dos cascarones esfericos conductoresde radios a y b con a < b. La diferencia de potencial
∆ϕ = −
∫ b
a
Q
r2
r̂ · r̂dr = Q
r
∣∣∣∣a
b
=
Q
a
− Q
b
=
Q(b− a)
ba
La capacidad
C =
Q
Q(b− a)
ba
=
ba
b− a
ii) Dos mantos de cilindro conductores de radios a y b con a < b y de largo L (use el resultado
de un cilindro infinito).
La diferencia de potencial
∆ϕ = −
∫ b
a
2λ
r
r̂ · r̂dr = −2λ ln r
∣∣∣∣a
b
= −2λ ln a
b
=
2Q
L
ln
b
a
La capacidad
C =
Q
2Q
L
ln
b
a
=
L
2 ln b
a
iii) Si a ≈ b y L = 2b ambas capacidades son iguales.
C =
L
2 ln b
a
=
2b
2 ln
[
1 +
(
b
a
− 1
)]
usando que ln(1 + x) ≈ x cuando x � 1
C =
b
b
a
− 1
=
ab
b− a
El siguiente desarrollo en serie le será útil:
(a + x)n ≈ an + nan−1x + n(n− 1)
2!
an−2x2 + . . .
ln(1 + x) ≈ x , cuando x � 1
Tiempo Máximo: 3.5 hrs.