Estadistica Medica-Domingo Ledesma

Vista previa del material en texto

Estadística médica
BIB L IO T EC A D E L U N IV E R S IT A R IO
MANUALES /M E D IC IN A
Estadística médica
DOMINGO A. LEDESMA
El'DEBA EDITORIAL UNIVERSITARIA 1)E BUENOS AIRES
EDITORIAL UNIVERSITARIA DE BUENOS AIRES
Rivadavia 1571/73
Sociedad de Economía Mixta
Fundada por la Universidad de Buenos Aires
Hecho el depósito de ley
IMPRESO EN LA ARGENTINA - PRINTED IN ARGENTINA
©1972
INDICE
INTRODUCCION . . . : ................................................................. XI
PRIMERA PARTE 
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
I. CONCEPTOS GENERALES ................................................ 3
Concepto de estadística, 3; Ubicación en el cuadro de las cien­
cias, 4; Relación con el cálculo de probabilidades, 4; Importancia 
en medicina, 4; El azar o casualidad, 4; Universo y muestra, 5: 
Observación y dato, 6; Registro y clasificación de los datos, 6; 
Tabulación, 7.
II. CONCEPTOS PARTICULARES............................................. 9
Población o efectivo, 9; Tamaño, 9; Dispersión de los datos, 9; 
Ordenamiento de los datos, 10; Serie estadística, 10; Agolpa­
miento de los datos, 10; Intervalo o módulo, 10; Frecuencia, 11; 
Probabilidad, II; Ordenación de los grupos, 12: Distribución de 
frecuencias, 12; Ejemplo de distribución normal de frecuencias,
13; Ejemplo de distribución de Gosset "Student", 14; Ejemplo
son, 15. *
III. REPRESENTACIONES GRAFICAS........................................ 17
Cuadriláteros, 17; Sectores, 18; Histograma, 20; Ejemplo de his- 
tograma, 21; Ejemplo, 22; Curvas, 22; Curva normal o de Gauss.
23.
IV. PARAMETROS ESTADISTICOS ........................................... 25
Parámetros fundamentales, 25; Parámetros derivados, 25; Pará­
metros de posición, 26; Proposición de Cauchy, 30; Promedio y 
mayoría, 30; Desvío, 30; Parámetros de dispersión, 31; Media 
del universo, 34; Parámetros derivados, 3S; Promedio ponderado.
38; Error probable, 39; Error relativo, 39.
Vil
http://booksmedicos.org
SECUNDA PARTE
LA MUESTRA NORMAL NUMEROSA O MUESTRA NORMAL DE
PROPIEDADES DE LA MEDIA Y DEL DESVIO STANDARD
Propiedad “A” de la media. 49; Propiedad “B" de la media. 
55; Propiedad "A" del desvio standard. 57; Propiedad "B” del
VIL VARIANCIA...................................................................... 61
la. observación. 61; 2a. observación. 62; 3a. observación, 63;
IX. ECUACION DE LA CURVA DE GAUSS ........................... 87
Cálculo de la ordenada "y”. 88; Significado de “y". 89; Cons­
trucción de la curva, 89; Arca subtendida a la curva. Area par­
cial, 91; Tablas de áreas subtendidas a la curva. Tablas de 
probabilidades, 92; Frecuencias teóricas de una muestra nor­
mal, 96.
X. VARIACION DE LAS MUESTRAS
http://booksmedicos.org
TERCERA PARTE
LA MUESTRA NORMAL POCO NUMEROSA O MUESTRA DE GOSSET 
"STUDENT"
CUARTA PARTE
LA MUESTRA B1NOMIAL NUMEROSA O MUESTRA DE BERNOUILLI
XIII. DISTRIBUCION BINOMIAL ............................................... 131
XIV. SERIE BINOMIAL DE BERNOUILLI................................... 145
148; Observaciones, 150; Cálculo de la frecuencia de un resul- 
lado determinado, 165.
XV. PARAMETROS MEDIA Y DESVIO STANDARD EN LAS 
MUESTRAS BINOMIALES................................................. 177
Resultados en valores absolutos. 177; Resultados en valores 
185.
XVI. INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA Y SIGNIFI­
CACION DE LA DIFERENCIA ENTRE MEDIAS.....................201
Significación de la diferencia entre dos medias binomiales 
de la media, 203; Determinación del intervalo de confianza de 
muestra o la frecuencia de la media, 207.
IX
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA
XVII. MUESTRAS DE POISSON .
Concepto, 219; Frecuencia de un resultado, 220; Obtención 
de la media, 221; La variancia, 223; Los límites del intervalo 
de confianza, 223.
XVIII. METODO DE PEARSON ..
XIX. ASOCIACION.........................................................
Correlación, 263; Probabilidad de un coeficiente de o 
dón, 271; Regresión, 273; Tarjetas y dameros, 278; 
pruebas de correlación, 287; Análisis de la covarianza, 29
X
http://booksmedicos.org
INTRODUCCION
XI
http://booksmedicos.org
Los libros de estadística existentes en plaza, algunos de ellos muy 
buenos, todos ellos extranjeros (un libro argentino similar al nuestro, el de 
KOHAN y CARRO, trata de la estadística aplicada a la psicología, a la 
sociología, a la educación y a las ciencias políticas, no a la medicinal, y 
los cursos de estadística a los que concurrimos, igualmente muy buenos, 
exigen conocimientos matemáticos que el común de nuestros médicos, no 
poseen. Esto les hace a ellos sumamente difícil la comprensión de la esta­
dística. Magnificas tablas, como las de GEIGY, necesitan explicaciones 
más elementales que las que ellas traen para ser manejables por la mayoría 
de los médicos que las necesitan.
Compenetrados de esa necesidad de médicos y estudiantes, y ante su 
dificultad para obtener dichos conocimientos en los textos o en los cursos 
corrientes, que en gran parte se sitúan fuera de la realidad de sus necesi­
dades y de los conocimientos matemáticos que poseen, nos propusimos 
explicar con palabras sencillas y con nociones elementales los conceptos 
básicos de esta ciencia. Con éstos podrán todos comprender y manejar la 
mayoría de los problemas comunes de la estadística médica.
En este libro diremos lo fundamental de esta materia, en sus aspectos 
generalmente más utilizados en medicina, y lo diremos sin recurrir a las 
matemáticas superiores, es decir, manteniéndonos siempre dentro de ¡os 
conocimientos de matemáticas del médico corriente.
No obstante lo dicho, no estará de más que con la lectura de este 
libro el lector refresque sus conocimientos de matemáticas deI colegio 
nacional, releyendo algunos de sus textos.
Sin ser de vulgarización, éste es un libro de estadística elemental, al 
alcance y para uso de médicos y estudiantes que leen trabajos científicos 
o que realizan tareas habituales de investigación. Es un resumen de los 
cursos de estadística médica dictados por el autor en la maternidad del 
policlínico "Profesor doctor Gregorio Aráoz Alfaro" de Lanús. y por lo 
tanto, está redactado con la experiencia dada por la enseñanza viva de la 
materia a los destinatarios del mismo.
En él nos referiremos a una media docena de temas estadísticos fun­
damentales para la investigación médica. Nos liemos preocupado, en 
primer termino, por dar claros y precisos conceptos fundamentales. De 
esto nos ocupamos en la primera parte de! libro, la que abarca siete capí­
tulos. Después nos esforzamos por precisar las principales clases de mues­
tras que generalmente el médico tiene entre manos y las técnicas estadís­
ticas aplicables a cada clase. De ello nos ocupamos en las cuatro partes 
siguientes. Por último, damos algunas nociones aplicables a cualquier clase 
de muestra. De esto tratan las dos últimas partes.
En resumen, los temas que tratamos en el libro son:
ESTADISTICA MEDICA
XII
http://booksmedicos.org
INTRODUCCION
1. Conceptos fundamentales.
2. El estudio estadístico de Ias muestras numerosas con una distri­
bución normaI de las frecuencias de sus datos, o sea de lo que puede 
llamarse muestra de GAUSS. y de las técnicas que le son aplicables
3. El estudio estadístico de las muestras poco numerosas también con 
una distribución normal de la frecuencia de sus daros o muestras de 
GOSSET "STUDENT", y de ¡as técnicas correspondientes
4. El estudio de las grandes muestras con una distribución binomial 
de la frecuencia de sus datos, o muestra de BERNOUILLI, y sus técnicas
5. Las grandes muestras con un resultado poco numeroso y una dis­
tribución de frecuencia próxima a la binomial o muestras de POISSON y 
sus técnicas.
6. El método de PEARSON o de J i Cuadrado fx1) para la compara­
ción entre una muestra real y una teórica, y su técnica en los diversos
7. La asociación o relación estadística entre dos variables observadas 
simultáneamente en una misma muestra y sus técnicas.
En lo posiblehemos explicado los conceptos y los métodos o técnicas 
dando el porqué de los mismos, y sólo cuando ello exigía una profundi- 
2ación matemática fuera del alcance del común de los médicos, nos con­
formamos con decir solamente cómo se hace. Por eso. algunos temas 
como Ji Cuadrado, se han explicado principalmente por medio de ejem­
plos. Estos son suficientes para capacitar al médico en la utilización del 
método en la mayoría de las circunstancias en que puede serle útil. En 
cambio, otros temas, como distribución binomial, se han explicado con 
cierto detenimiento, ya que es imprescindible tener bien claro lo que es el 
desarrollo de un binomio elevado para comprender el concepto de lo que 
es una muestra con una distribución binomial de sus frecuencias.
Finalmente, hemos procurado ejemplificar todo al máximo posible 
dentro de la manualidad del volumen.
XUI
http://booksmedicos.org
http://booksmedicos.org
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
http://booksmedicos.org
http://booksmedicos.org
CAPITULO I
3
http://booksmedicos.org
Por trabajar con números la estadística participa de las ciencias ma­
temáticas, pero al igual que en muchas otras ramas del conocimiento 
-física, química, etc.,- éstas son el instrumento que debe ser aplicado a 
una materia, en este caso las observaciones o experiencias similares valo-
Relación con el cálculo de probabilidades
Por sus métodos matemáticos la estadística se halla relacionada con el 
cálculo de probabilidades y podría dccitsc que es un capítulo de él, pero 
mientras dicho cálculo se ocupa de los grandes números, de los conjuntos 
infinitos, la estadística se ocupa de los pequeños números, de los conjun-
Importancia en medicina
La importancia de la estadística en medicina se debe a la capacidad 
de la primera en valorar la magnitud del azar en la segunda.
El azar o casualidad
resultados de la actividad médica, ya se trate de diagnósticos, pronósticos
sea que observemos la aparición de un dato clínico o de laboratorio, que 
pronostiquemos la duración de una enfermedad o de un embarazo, que 
comprobemos la ventaja de un medicamento o de una técnica quirúrgica, 
etcétera, el resultado está siempre influido, en mayor o menor grado, por 
la casualidad.
Es decir, los resultados médicos se hallan siempre influidos por un 
conjunto variable de factores invisibles e imponderables, que englobamos 
con el nombre de azar o casualidad.
Es este conjunto de factores, desconocidos y variables, el que diver-
Estc azar pudo haber tenido una gran participación en los resultados, 
o, por el contrario, sólo una insignificante, pero de antemano eso no 
podemos saberlo; es decir, directamente, al azar no podemos medirlo. 
Necesitamos por lo tanto de algún procedimiento indirecto capaz de 
medir el tamaño, o sea la magnitud de la importancia del azar. Este mé-
http://booksmedicos.org
CONCEPTOS GENERALES
Esta se basa en que si observamos un gran número de casos seme­
jantes, es lógico suponer que los factores desconocidos han de neutrali­
zarse en gran parte, por lo menos, mutuamente. De ahí que si estudiamos 
dos series paralelas en estas condiciones, en una de las cuales aparece o 
interviene un factor determinado que no interviene ni aparece en la otra, 
la diferencia de los resultados pueda lógicamente atribuirse a esc factor.
Pero aun así, no estamos completamente seguros de haber neutrali­
zado totalmente al azar, o sea que la diferencia se deba exclusivamente al 
factor presente en una serie y ausente en la otra. Por eso. también aquí, 
para medir la magnitud de ese azar residual tenemos que recurrir también
La magnitud de la influencia del azar se mide en porciento de proba­
bilidad. Un resultado puede deberse en un 100% a ella o en un 50% o en 
un 5%, etcétera. Cuando la influencia del azar en un resultado médico es 
pequeña, menos del S%, los estadísticos que se ocupan de cuestiones mé­
dicas aceptan que, prácticamente, puede considerarse que el resultado no
vención del azar es superior al 5%, opinan que dicho resultado puede 
considerarse debido simplemente a la casualidad.
Dijimos que la estadística es un capítulo del cálculo de probabilida­
des. Este se ocupa de los valores numéricos de hechos similares, pero en 
general sólo se ocupa de los grandes números, de los grandes conjuntos, 
de aquellos que por ser infinitos se llaman universos de casos similares (o 
universos simplemente dicho).
La estadística, en cambio, se ocupa preferentemente de los pequeños 
números, de los pequeños conjuntos, de los conjuntos finitos, extraídos 
naturalmente de aquel gran conjunto y que por ser fracciones de él se 
denominan muestras. Por ejemplo, si observamos el peso de un conjunto 
de niños recién nacidos, podremos comprobar lo que pesan un número 
determinado de ellos, pero no el de todos los recién nacidos habidos y 
por haber. El conjunto finito de recién nacidos sometidos a nuestra obser­
vación es ¡a muestra-, el conjunto infinito de todos los recién nacidos ha­
bidos y por haber es el universo (el universo de recién nacidos).
La muestra es el elemento fundamental con que trabaja la estadística. 
Sin muestra no hay estadística.
5
http://booksmedicos.org
Observación y dato
La muestra es el conjunto de observaciones valoradas cuantitativamen­
te y también el conjunto de los valores numéricos individuales. Estos, los 
valores numéricos individuales, se denominan “datos”. Por ejemplo, el 
conjunto de las observaciones de las horas dormidas por los pacientes del 
ejemplo dado anteriormente constituye los datos. El dato es el valor numé­
rico de la observación individual.
Cuando las observaciones se clasifican cualitativamente (por ejemplo: 
gordos, medianos o flacos), el conjunto de observaciones de igual clasifi­
cación constituye una clase. A las clases se las simboliza genéricamente 
con una x minúscula. En este caso el valor de cada observación es igual a
Registro y clasificación de los datos
La observación o la clase y su dato deben, en primer término, 'er 
registrados, esto es, deben ser llevados a una planilla, a una ficha, a una 
tarjeta, a una hoja de cuaderno, etcétera.
Hecho esto, las observaciones no clasificadas deben serlo, es decir, se 
las debe.agrupar en clases. Vimos que se llama clase a un conjunto de 
observaciones similares.
A mayor abundamiento diremos que las observaciones difieren entre
Si observamos niños recién nacidos, éstos pueden diferir por. el sexo 
(diferencia cualitativa) o por el peso (diferencia cuantitativa). El conjunto 
de los recién nacidos varones constituye la clase de los recién nacidos va­
rones; el conjunto de los que pesan 3000 g, la clase de los que pesan 
3000 g, etcétera.
El número de observaciones de una clase constituye su frecuencia. 
( frecuencia absoluta véase infra).
Cuando una muestra está formada por un gran número de observa­
ciones (lo que ocurre especialmente cuando las diferencias son cuantita­
tivas) se juntan las observaciones similares en un solo grupo, constituyen­
do cada grupo una clase. El número de observaciones agrupadas en una 
clase constituye la frecuencia de ese grupo o clase.
Es necesario fijar claramente los límites del grupo o clase, de modo 
que no haya duda de si una observación pertenece a un grupo u otro. 
Para ello conviene tomar como límites de los grupos valores inaccesibles a 
los métodos de medidas usados en la investigación. Si la balanza sólo es 
capaz de medir gramos, colocamos los límites a mitad de gramo, por 
ejemplo 0,5 g - 9,5 — 19,5 - 29,5 g, etcétera.
http://booksmedicos.org
En estos casos se toma como valor representativo del grupo o clase la 
semisuma de los limites del grupo (en el ejemplo dado, 5 g - 14,5 - 24,5 
- etc.), es decir, se considera como si todas las observaciones di grupo 
pesasen ese valor medio. Puede haber en esto un pequeño erro pero 
generalmente las diferencias se compensan y el error no existe o s mí-
Luego el dato también debe ser clasificado, esto es. reconocido como 
una cantidad continua o discontinua. Por ejemplo,si so trata del número 
de glóbulos rojos por milímetros cúbicos, el dato es discontinuo, pues en 
un volumen dado de sangre no puede haber sino un número entero de 
glóbulos rojos y la diferencia con otro volumen de sangre implicará tam-' 
bien un número entero de ellos.
Pero'si se trata de la hemoglobina contenida en un volumen de san­
gre, el dato será continuo, ya que la cantidad será un número fraccionado 
de la unidad que se utilice (difícilmente un número entero de esa unidad) 
y podrá presentar toda la gama posible de valores intermedios entre un 
número entero de unidades y el siguiente. La diferencia con otro volumen 
de sangre será asimismo un número fraccionado de unidades, difícilmente
Los datos discontinuos se suelen denominar también datos discretos. 
La presentación de éstos no ofrece dificultades. En cambio, cuando se tra­
ta de datos continuos es necesario aclarar si el valor registrado es el valor 
más próximo al valor real o si se trata de la parte entera de un valor real 
al que le sigue una fracción.
Así. si se dice que una persona mide 1,60 m, es necesario aclarar si se 
han tomado los 60 cm por estar el valor real más próximo a esa medida 
que a 1,59 m o a 1,61, o si se dice 1.60 m cuando la talla real es 1,60 m 
o más, pero menos de 1,61. En el primer caso se habrán registrado como 
1.60 las tallas reales desde 1,596 m hasta 1,605 m, y en el segundo, desde 
1,600 a 1,609. Como se ve, si los datos son continuos debe aclararse la 
forma como se los ha tomado; si son discontinuos esta precaución es inne-
Tabulación
Finalmente, los datos deben ser tabulados, es decir presentados en 
una tabla, colocándolos en columna vertical (aunque puede hacérselo tam­
bién en línea horizontal).
A partir de este momento se está en condiciones de iniciar el análisis 
estadístico propiamente dicho. Así la muestra de las horas de sueño pro­
ducidas por un hipnótico deben ser tabuladas como muestra el cuadro 1.
CONCEPTOS GENERALES
http://booksmedicos.org
EJEMPLO DE TABULACION 
(Horas de sueño producidas por un hipnótico
http://booksmedicos.org
CAPITULO II
CONCEPTOS PARTICULARES
http://booksmedicos.org
Los dalos pueden hallarse más o menos uniformemente diseminados, o 
por el contrario, mostrar tendencia a confluir hacia los valores menores, 
medianos o mayores.
Ordenamiento de los datos
En la muestra los datos se presentan al observador en forma desorde­
nada. La primera tarea del tratamiento estadístico es ordenarlos, general­
mente de menor a mayor pero podría ser a la inversa.
Serie estadística
El resultado del ordenamiento es transformar un conjunto desorde­
nado de números en una serie ordenada de ellos. Por tratarse de los datos 
o valores de observaciones similares, el conjunto ordenado de los datos se 
denomina serie estadística.
Cada uno de los datos toma ahora el nombre genérico de término de 
la serie. La serie consta de tantos términos como de observaciones la
La x minúscula que simboliza genéricamente a los datos, simboliza 
igualmente a los términos.
La serie estadística se parece a las otras series matemáticas (aritmé­
tica, geométrica, etc.) en que consiste en un conjunto ordenado de núme­
ros, pero se diferencia de ellas en que los términos pueden repetirse, 
saltearse y carecen de toda relación o razón con sus vecinos.
Agrupamiento de los datos
Frecuentemente en una muestra (y en una serie) hay datos repetidos, 
o de un valor tan próximo o parecido, que pueden darse por iguales, y 
por lo tanto, por repetidos.
Cuando así ocurre en muestras muy numerosas, es decir, con una 
población de 30 o más, deben reunirse o agruparse estas obsetvaciones 
repetidas o similares. Es lo que se llama agrupación o agrupamiento de los
ESTADISTICA MEDICA
Intervalo o módulo
Cuando los grupos comprenden no solamente datos iguales, sino muy 
próximos, es necesario fijar los límites dentro de los cuales tendrán cabida 
los datos de cada grupo. La distancia entre los límites de cada grupo se 
denomina intervalo o módulo,
10
http://booksmedicos.org
CONCEPTOS PARTICULARES
Por ejemplo, si se trata de una muestra formada por observaciones de 
hemoglobina expresada en porcentaje de un valor que se considera nor­
mal, podemos reunir los datos comprendidos entre SI y 60 en un solo 
gmpo, los entre 61 y 70 en otro, los entre 71 y 80 en otro, etcétera. En 
este caso decimos que el intervalo o módulo es 10.
Como valor representativo del grupo se toma el equidistante a los 
límites del mismo. En los grupos del ejemplo dado se toman como repre­
sentativos los valores SS para el 1°, 65 para el 2°, 75 para el 3°, etcétera.
Por lo tanto, se considera como si cada una de las observaciones del 
grupo valiera lo que el valor representativo del grupo. La realidad es que 
unos valen más y otros menos, pero la verdad es que muy probablemente 
esos más y esos menos, es decir esas diferencias, se compensarán o el error 
será muy pequeño, lo cual autoriza a proceder a dicho agrupamiento.
Frecuencia
Es el número o cantidad de observaciones iguales o semejantes de la 
muestra. Es. por lo tanto, la población de los grupos. Se denomina igual­
mente frecuencia absoluta.
También, frecuencia es la relación entre esa cantidad o población del 
grupo y la cantidad o población total de la muestra. Se llama entonces 
frecuencia relativa. A esa frecuencia algunos autores la denominan proba­
bilidad.
Se la simboliza generalmente por una f minúscula.
En el primer caso, frecuencia es simplemente f.
En el segundo, frecuencia =* -f-
En el primer caso, la suma de las frecuencias es igual a la población 
de la muestra,
n = 2 f.
En el segundo, la suma de las frecuencias es igual a la unidad,
El número de observaciones de un grupo es la frecuencia de dicho 
Probabilidad
Es la relación entre la cantidad de hechos equivalentes y la cantidad
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA
total o infinita de hechos similares de ese universo.
Esa cantidad infinita se suele simbolizar una veces por la unidad y 
otras veces por dentó. En este caso se habla de probabilida porcentualPor 
ejemplo, la probabilidad de que caiga cara una moneda arrojada al suelo 
puede expresarse por 0,5 o también por 50%.
Ordenación de los grupos
Si, como debe hacerse, el ordenamiento de los datos precedió al agru- 
pamiento de ellos, los grupos ya estarán ordenados.
De no haberse hecho asi, corresponde ordenar los grupos de acuerdo 
con el ordenamiento de los datos, es decir, primero los grupos correspon­
dientes a datos más pequeños y después los mayores. De este modo los 
grupos más numerosos quedan generalmente hacia la parte media de la 
serie de los grupos, pero no siempre ocurre asi y puede suceder lo con-
Distribución de frecuencias
Con la ordenación de los grupos según la ordenación de los datos, 
quedan también ordenadas las frecuencias de acuerdo con la ordenación 
de los datos. Esta ordenación especial se denomina distribución de fre­
cuencias (d. de f.).
La d. de f. es la serie de frecuencias de los datos ordenados, con espe­
cificación de los datos o de las clases a que correspondan.
Al tabular los grupos, éstos van en la primera columna encabezada 
por una x, hallándose cada grupo representado por el dato repetido o 
representativo del grupo.
En la segunda columna, encabezada por una f, va la frecuencia del 
grupo. Ya dijimos que la suma de esta columna (2f) es igual a la pobla­
ción de la muestra (n).
En la tercera columna, encabezada por la multiplicación indicada f x 
van los productos de multiplicar el dato repetido o representativo del gru­
po por su frecuencia. La suma de esta columna (Efx) es igual al tamaño 
de la muestra (Sfx — T).
Aun cuando las muestras pueden tener distribuciones de frecuencia 
muy variadas, en medicina las distribuciones más comunes son estas cua­
tro: 1) la de Gauss; 2) la Gosset "Student” (derivada de la anterior); 3) la 
de Bernouilli y 4) la de Poisson (vecina a la anterior).
Las dos primeras corresponden a datos continuos y las dos segundas a 
datos discontinuos o discretos(véase clasificación de los datos).
12
http://booksmedicos.org
CONCEPTOS PARTICULARES
Cuando las frecuencias de los valores más bajos son relativamente 
escasas, pero las de los siguientes aumentan progresivamente hasta alcan­
zar un máximo para luego disminuir progresivamente haciéndose cada vez 
más escasas, siendo el decrecimiento simétrico al crecimiento, la distribu­
ción se denomina Normal o de Gauss.
Cuando una distribución de Gauss corresponde a muestras poco nu­
merosas, con una población de 60 o menos observaciones o clases, y sobre 
todo de 30 o menos, la distribución se denomina de Gosset "Student" 
(siendo “Student" el seudónimo del estadístico W. S. Gosset).
Cuando la distribución está formada por valores que corresponden a 
los de los monomios del desarrollo de un binomio elevado o potenciado la 
distribución se denomina binomial o de Bemouilli.
Y cuando esta distribución corresponde a una muestra numerosa, pero 
en la que algunas observaciones ocurren muy pocas veces, la distribución 
se denomina de Poisson.
Ejemplo de distribución normal de frecuencias
ba entre 56 y 65 
66 y 75 
76 y 85 
86 y 95 
96 y 105 
106 y 115 
116 y 125 
126 y 135 
136 y 145
13
http://booksmedicos.org
Ejemplo de distribución binomial
Se investigó el grupo sanguíneo de 36 personas hijos de padre y ma­
dre grupo AB y se encontró lo siguiente:
http://booksmedicos.org
CONCEPTOS PARTICULARES
Estas frecuencias pueden escribirse asi:
18 = 2X 3X 3
(3 + 3)2 = 3* + 2 X 3 X 3 + 3’ .
Ejemplo de distribución de Poisson
Se ha dividido el territorio de la República en seis regiones, cada una 
con una población equivalente. En cada zona se han tomado al azar den 
localidades con una pobladón de diez mil habitantes. Se ha hecho el re­
cuento de albinos en cada una de ellas y se ha obtenido el siguiente 
resultado:
N° de albinos Porciento en ¡a población
15
http://booksmedicos.org
desarrollo del binomio elevado:
sea de los seis últimos resultados (véase m 
amial, Serie de resultados).
En efecto:
> adelante Distribución bi-
http://booksmedicos.org
CAPITULO III
REPRESENTACIONES GRAFICAS
SUMARIO: Representaciones gráficas. Cuadriláteros. Sectores. Repr.
Cuando se desea dar una impresión visual de las proporciones que 
guardan las poblaciones de los distintos grupos, se recurre al dibujo, con­
feccionando gráneos.
Si los grupos son pocos, los gráficos más usados son los cudriláteros y 
los sectores.
Cuadriláteros
Cuando se utilizan cuadriláteros hay que cuidar de que si son rectán­
gulos y se los dibuja de pie, todas las bases se hallen en la misma linea 
horizontal, y si acostados, que sus extremos izquierdos se hallen sobre la 
misma línea vertical. En cualquier caso, la longitud de los cuadriláteros 
debe ser proporcional a la población de los grupos.
Por ejemplo, si se quiere indicar que por cada 100 niños recién naci­
dos femeninos se encontraron 105 recién nacidos masculinos, la longitud 
del cuadrilátero que representa a las niñas deberá medir, por ejemplo, 100 
mm y la del que representa a los niños, 105 mm.
Estos cuadriláteros se dibujan separados uno de otros y no interesa la 
anchura que se les asigne, pero todos deben tener la misma, como se ob­
serva en el Cuadro 3.
17
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA
Cuadro 3
EJEMPLO DE REPRESENTACION GRAFICA: CUADRILATEROS 
lProporción de nacimientos según el sexo¡
Para dibujar los cuadriláteros generalmente se empieza por el corres­
pondiente al del grupo más numeroso, dándosele un tamaño que se con­
sidere apropiado a la página donde debe aparecer la ilustración. Sus 
medidas pueden ser, por ejemplo, base 2,5 cm y altura 10 cm.
Los otros cuadriláteros deben tener la misma base, es decir 2,5 cm, y 
la altura debe ser proporcional a la del primero, teniendo en cuenta la 
población de ambos grupos. Asi, si se tratase de sólo dos grupos, uno de 
900 varones y otro de 850 mujeres, la altura del rectángulo correspon­
diente a éstas se calcula por una simple regla de tres.
900 : 10 :: 850 : X 
10 X 850
Cuando para las representaciones gráficas se recurre a los sectores de 
círculo, la población de la muestra se la equipara a los 360° del circulo y, 
proporcionalmente a la población de los grupos, se dibujan los sectores.
18
http://booksmedicos.org
REPRESENTACIONES GRAFICAS
Los grados de círculo que corresponden a cada grupo se calculan apli­
cando también la regla de tres. Así, si la población de la muestra de 
recién nacidos es:
n = 105 + 100 = 205,
la regla de tres dice que los grados de círculo que corresponden al grupo 
de mujeres es:
205 : 360 :: 100 : X,
X = 36<2QS 1Q°~ = l75,' ' °
Con un radio cualquiera se dibuja un círculo y dentro de él se dibujan 
dos sectores, uno de 175°,.. ° y el otro, lógicamente, de
360° - 175°___ = 184, ..
Ver Cuadro 4.
(Proporción de nacimientos según el sexoJ
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA 
Hislograma
Cuando los grupos son mis numerosos es preferible recurrir al histo- 
grama: éste, como se verá, corresponde a las representaciones ortogonales, 
es decir, que se funda en dos ejes que se corlan perpendieularmente (ejes 
ortogonales o coordenadas cartesianas).
Aqui se trata también de cuadriláteros, pero pegados unos a otros. 
Además, las bases de éstos, las que descansan sobre el eje horizontal o de 
las abscisas, representan y miden lo que los módulos o intervalos (i) de los 
grupos; y las alturas, o sea las ordenadas, la población o frecuencia del 
grupo dividido por el intervalo (f/i); en esta forma el área del cuadrilátero 
representa la población del grupo, y el área total del hislograma, la pobla­
ción de la muestra.
2(hX i) = £ f = n
Si tomamos como altura del cuadrilátero la frecuencia o población del 
o dividida por la base del cuadrilátero (i) multiplicada por la pobla- 
, o efectivo de la muestra (n)
y la suma de las áreas de los cuadriláteros es igual a 1,
2(h X i) = £ - = = — = 1.
Las abscisas marcan los limites de cada grupo.
Cuando el intervalo es I la altura del cuadrilátero indica directamente 
la población del grupo, o sea la frecuencia absoluta.
20
http://booksmedicos.org
ENTACIONES GRAFICAS
Ejemplo de histograma
o población del grupo
la correspondiente es el que r
Cuadro 5
EJEMPLO DE REPRESENTACION GRAFICA: HISTOGRAMA 
Edades de 488 pacientes afectadas de carcinoma uterino
21
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA
Cuando los valores agrupados se reemplazan por el valor equidistante 
de los limites del grupo, pueden representarse los grupos por los vértices de 
un polígono obtenido uniendo los puntos que tienen como abscisas el 
valor medio del grupo y como ordenada la población del grupo o frecuen­
cia dividida por el intervalo.
Esto equivale a unir los puntos medios de las bases superiores de los 
cuadriláteros del histograma. Cuando el intérnalo es igual a 1, la ordenada 
indica directamente la población del grupo, o sea la frecuencia absoluta. 
Cuando la ordenada es igual a la frecuencia dividida por el producto del 
intervalo multiplicado por la población de la muestra, el área subtendida 
al polígono se aproxima a 1.
El área subtendida al polígono es una aproximación al área del histo-
Ejemplo
Las 488 pacientes con cáncer de cuello recién vistas pueden ser tabu­
ladas como se observa a continuación:
Edad media - x / n° de pacientes n°/i = y
26.0 8 18 2,25
32.5 5 45 9,00
37.5 S 79 15,80
47.5 15 225 15,00
37.5 5 63 12,60
65.0 10 45 4,50
80.0 20 13 0,65
El polígono correspondiente sería el que muestra el Cuadro 6.
Cuando los grupos son muy numerosos, lógicamente los intervalos son 
relativamente muy pequeños: en este caso, si la diferencia de población 
entre grupos próximos es también muy pequeña, el polígono se confunde 
con una curva. Lo mismo ocurre en el histograma con la línea quebrada 
formada por las bases superiores de los cuadriláteros y las porciones co­
rrespondientes de los lados laterales de los mismos. Esta línea quebrada,
http://booksmedicos.org
RFPRFSF.NTACIONES GRAFICAS
Cuadro6
EJEMPLO DE REPRESENTACION GRAFICA: POLIGONO 
Edades de 488 pacientes afectadas de carcinoma uterino
Como el área del histograma indica la población de la muestra, el área 
subtendida de la curva, cuando ésta procede de un histograma, indica 
igualmente la población de la muestra.
Curva normal o de Gauss
Cuando esta curva presenta una sola elevación o cima a partir de la 
cual la línea desciende en forma simétrica para tender a horizontalizarse 
'en sus extremos, esta curva toma una forma acampanada y lleva el nom­
bre de curva normal o típica o curva de Gauss.
CURVA DE GAUSS
23
http://booksmedicos.org
http://booksmedicos.org
CAPITULO IV
PARAMETROS ESTADISTICOS
srsssrsss
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA 
Parámetros de posición
Algunos de los parámetros fundamentales tratan de fijar la posición 
del valor que pueda darse como representativo de los valores de los datos 
de la muestra. Son los llamados parámetros de posición, o también pro­
medios.
Según sea el procedimiento que se siga para la elección de este pará­
metro, el promedio se denomina modo, mediana o media.
Cuando el procedimiento es tomar el valor que se encuentra repetido 
un mayor número de veces, el que está de moda diríamos, el parámetro 
toma el nombre de modo.
En la serie puede situarse en cualquier parte, a veces hacia la mitad, a
Cuando en una muestra no hay valores repetidos, la misma carece de
Cuando hay algunos pocos grupos de valores igualmente más repe­
tidos, cualquiera de ellos puede tomarse como modo; pero si son muchos 
los grupos de valores igualmente más repetidos, es dudoso el valor repre­
sentativo de cualquiera de éstos;y cuando todos los valores de la muestra 
están igualmente repetidos, nos encontramos con una situación similar a 
cuando ninguno de ellos está repetido, es decir, no podemos tomar nin­
guno de ellos, y por lo tanto la muestra carecería también de modo.
Es dudoso igualmente el valor representativo de un modo situado 
hacia uno de los extremos de la serie, sobre todo si se encuentra aislado, 
es decir, sin la vecindad de otros valores repetidos.
El modo es a veces el promedio elegido, por ejemplo, cuando interesa 
señalar la duración habitual de una enfermedad, pero en general es un 
promedio poco usado en medicina, porque no se lo puede obtener o por­
que su representatividad resulta poco convincente. Por ejemplo, si quisié­
ramos tener una idea de la edad promedio de los habitantes de una ciudad 
e hiciéramos un grupo con los que tienen de 1 a 5 años, otro con los de 6 
a 10, otro con los de 11 a 15, etcétera, seguramente encontraríamos que 
el grupo más numeroso es el de 1 a 5 años, y si tomáramos el modo 
como promedio tendríamos que decir que la edad promedio de los habi­
tantes de esa ciudad es la de 1 a 5 años. Con toda seguridad esta contes­
tación no nos dejaría satisfechos, y recurriríamos a otro valor represen­
tativo para tener Uua i ‘'a satisfactoria de la edad promedio de los 
habitantes de dicha ci.'.dad.
26
http://booksmedicos.org
http://booksmedicos.org
Como la suma de los dalos se denomina tamaño de la muestia y la de 
las obseivaciones población, se puede decir que la media aritmética es 
igual al tamaño de la muestra dividida por la población de la misma.
- 1 x - I = S x f 
m “ S f = ' ” 2 f 
La media aritmética cr el promedio más utilizado en medicina. Presen­
ta, sin embargo, algunos puntos débiles, de los cuales los mis importantes 
son: 1°) Frecuentemente no corresponde a ningún dato de la muestra. 2°) 
Puede pertenecer a un grupo poco numeroso. 3o) Se ve fuertemente in­
fluida por los datos extremes.
Además de esta media aritmética ma, existen otras medias, menos
geométrica mg y la armónica mh,
Media geométrica
número o cantidad, se multiplican los datos entre si y al producto se le 
extrae la raíz correspondiente a su número o cantidad.
media geométrica = v^Xi X X, X X3 X . . . X„.
Esta media se utiliza cuando se examinan hechos que siguen la ley del 
crecimiento, o sea cuando la serie estadística correspondiente se asemeja a 
una serie geométrica, por ejemplo 2, 4, 8, 16, 32, etcétera.
Por ejemplo, supongamos que se haga el recuento de gérmenes de un 
cultivo y se encuentran 200.000 por cc. Dos días después un nuevo re­
cuento indica 400.000 por cc. Si quisiéramos calcular el recuento que se 
hubiera encontrado de haberlo hecho en el dia intermedio, la media arit­
mética nos diría que habríamos encontrado 300.000. Sin embargo, este
el mismo el primer día que el segundo, cuando sabemos que en el según-
Recurriendo a la media geométrica, en cambio, el resultado sería:
m = j 200.000 X 400.000 = 282.843,
lo cual satisface más, porque indica que el aumento del primer día habría 
sido 82.843 y el del segundo día 117.157, es decir 34.314 más que el 
primer día.
http://booksmedicos.org
PARAMETROS ESTADISTICOS
Media armónica
En esta media, en vez de dividir la sumatoria de los datos (£ x) por la 
población (n), dividimos la población por la sumatoria de la inversa o re­
cíproca de los datos:
media armónica = ——
Esta media se utiliza cuando se trata de datos que se expresan en unida­
des relativas, es decir, cuando se refieren a velocidades sobre espacios 
iguales, o consumos de volumen en tiempo ¡guales, etcétera. Por ejemplo, 
centímetros por hora, litros por minutos, etcétera. Así, si deseamos co­
nocer la velocidad media con que se propaga el edema producido por la 
picadura de una araña, podemos encontrar que el radio del área de la zo­
na edematosa alcanzó I cm en los primeros 15 minutos, es decir una velo­
cidad de 4 cm por hora. Pero luego observamos que para alcanzar el 2° 
cm el edema tardó 20 minutos. Entonces anotamos velocidad, de la segun­
da observación, 3 cm por hora. El 3° cm fue alcanzado 30 minutos des­
pués, lo que nos da para la tercera observación una velocidad de 2 cm por 
hora. Por fin, el 4° cm se alcanzó 60 minutos después, lo cual nos permi­
te registrar la cuarta observación con el dato de I cm por hora. Dispo­
nemos asi de cuatro observaciones en las que los datos se valoran en 
velocidades sobre espacios iguales, es decir, en unidades relativas.
La velocidad media de la muestra, si recurriésemos a la media arit-
15 + 20 + 30 + 60 = 125 min
:n 2 horas 5 minutos, lo que significa
, . . . distancia velocidad = — --------
29
http://booksmedicos.org
http://booksmedicos.org
Como hay datos cuyos valores son mayores que la media y otros que 
son menores, los primeros tendrán desvíos positivos (afectados con el sig­
no más), y los segundos, desvíos negativos (afectados con el signo menos).
Como el valor de la media es igual al tamaño de la muestra dividido 
por la población, puede decirse, en términos generales y aproximadamen­
te, que el valor de la media es intermedio entre los valores del primero y 
del último término de la serie, e igualmente intermedio entre los del se­
gundo y del penúltimo, y entre los del tercero y del antepenúltimo, et­
cétera. Es decir, la distancia en magnitud del primer término a la media es 
igual a la distancia en magnitud de la media al último, y del segundo a la 
media que de la media al penúltimo, etcétera; y en términos exactos, que 
la suma de las distancias, en magnitud a la media, de los términos que la 
preceden, es igual a la suma de las distancias, en magnitud, de los térmi­
nos que la siguen.
Nótese que decimos distancia, que del punto A al B es la misma que 
la del B al A, pero no decimos que las sumas de las diferencias sean igua­
les, porque no es lo mismo A menos B que B menos A. Como se sabe, la 
diferencia entre estas dos restas está en el signo que afecta al resultado, 
siendo la cantidad la misma.
Parámetros de dispersión
Se denominan parámetros de dispersión aquellos que tratan de fijar el 
valor de la dispersión (véase pág. 9) de los datos de una muestra. Entre 
éstos se cuentan la amplitud, el desvío medio o simple o aritmético, el 
desvío medio standard y el error standard.
Amplitud
Es la diferencia de valor entre eldato mayor y el menor de la mues­
tra, y también entre el último y el primer término de la serie.
Se lo denomina también, a veces, intervalo de variación, o rango.
Puede servir como medida de la extensión de la muestra, pero no nos 
da una idea exacta de la dispersión de los datos. Dos muestras pueden 
tener la misma amplitud, pero una con los datos concentrados en las pro­
ximidades de la media y la otra con los valores de los datos alejados de 
ella. Por tanto, es un parámetro poco usado.
Desvio medio aritmético
Es la media de las distancias, en valor, de los datos a la media.
PARAMETROS ESTADISTICOS
31
http://booksmedicos.org
Se lo calcula suprimiendo el signo que afecta a los desvíos, sumando* 
los después y dividiendo esa suma por su número o cantidad, o sea por la 
población de la muestra.
Suele lomarse por los profanos en estadística como valor representa­
tivo de los desvíos. Pero esto no es correcto, porque no todos los desvíos 
son valores positivos. La mitad de ellos son negativos, y no es lo mismo 
un valor positivo que un negativo, es decir, no es posible ignorar o su­
primir el signo que afecta a un desvío.
Además de esta dificultad doctrinaria para aceptar el desvio medio arit­
mético como representativo de los desvíos de los datos, existe la dificul­
tad práctica de ser un valor chico, por lo tanto tener una magnitud pe­
queña que lo hace inútil o poco útil en los cálculos estadísticos ulteriores 
en los que se necesita un valor representativo de los desvíos.
Desvio medio standard
■Es un valor convencional que se da como representativo de los des­
víos. En él se obvia al parecer el inconveniente de que unos desvíos son 
positivos y otros negativos, elevando al cuadrado el valor de cada desvío, 
con lo cual todos los valores obtenidos son positivos. Luego se suman esos 
cuadrados y la suma se divide por la población; finalmente al cociente se 
le extrae la raíz cuadrada.
El principal mérito del desvío medio standard es suministrar un valor 
cuya magnitud, mayor que la del desvío medio aritmético, lo hace útil 
para los cálculos ulteriores en los que se necesita un valor representativo
Se lo simboliza generalmente por una “S” mayúscula subseguida de 
una "x" minúscula. Entonces:
■ = \ [
Es decir que el desvío medio standard es la raíz cuadrada de la media 
de los cuadrados de los desvíos simples.
El valor así obtenido es suficientemente grande cuando se trata de 
muestras numerosas, con una población de 60 o más observaciones, o por 
lo menos de 30 o más, es decir de una muestra de Gauss; pero resulta 
todavía pequeño cuando la muestra es poco numerosa, o muestra de 
Gauss “Student".
En este caso es necesario un valor todavía mayor, y tanto más cuanto
32
http://booksmedicos.org
Se ha encontrado que este valor útil puede obtenerse multiplicando la 
cantidad subradical por el cociente "población sobre población menos 
uno”, es decir n-j y , factor conocido con el nombre de “Factor de co­
rrección de Bessel”, o sea
Z (x - m)’
Este valor convencional se denomina "desvio medio standard de las 
muestras poco numerosas”. Ejemplo:
Si tuviésemos la muestra: I, 3, 5. 7, 9, en la que la media es S y los 
desvíos —4, —2,0, +2. +4, el desvío medio aritmético sería:
4 + 24-2 + 4 12
el desvío medio standard:
y el “desvio medio standard de una muestra poco numerosa”.
■ - *
Al desvío medio standard se lo suele llamar de muchas maneras: des­
vío medio tipo, normal, convencional, cuadrático, etcétera. Posiblemente 
la manera más común de llamarlo es simplemente desvío standard.
El desvío standard, aun siendo un promedio de desvíos, no deja de 
ser un parámetro de posición (de la posición del valor representativo de 
los desvíos), y por lo tanto puede ser el mismo para muestras de pobla­
ciones distintas. Es decir, el desvío standard no nos da una idea de la 
población de la muestra.
Error standard
Es el cociente del desvío standard dividido por la raíz cuadrada de la 
población.
33
http://booksmedicos.org
http://booksmedicos.org
PARAMETROS ESTADISTICOS
Puede aceptarse que hay un 68% de probabilidad de que la media del 
universo se halle dentro de un error standard a derecha o izquierda de 
nuestra media y un 95% dentro de 2 Sm * nuestra media.
Desvio relativo de la media
Es el desvío standard (S») expresado en porciento de la media. 
Ejemplo: El parto de la primípara tiene una duración media de 14 
horas con una desviación relativa de la media del 20%.
■ _ 20 _ 20 _ 20 X 14 _ 280 g
m ~ íoom “ 100 _ 100 100 ~ ‘ *
Esto significa que el desvio standard es igual a 2,8 horas, o, lo que es 
lo mismo, que en el 68% de los casos el parto de la primípara dura 14 hs. 
i 2,8 hs., y en el 95% 14 hs. ± 5,6 hs., o sea, entre 8 horas 24 minutos y 
19 horas 36 minutos.
Parámetros derivados
Se denominan parámetros derivados a valores calculados indirecta­
mente a partir de los valores de los dalos.
Los parámetros derivados son, e indican, relaciones entre otros pará­
metros y generalmente se expresan como cocientes. Modifican cuantitati­
vamente al parámetro principal o fundamental, del que derivan, pero no 
cualitativamente. Por eso suelen denominarse también parámetros sccun-
Es la relación de la dispersión de los datos (expresada como suma de 
los cuadrados de los desvíos) con el número de observaciones, o sea con 
la población de la muestra. Se la denomina también dispersión o fluctua­
ción de los desvíos.
Puede decirse también que es la media de los cuadrados de los des- 
Y también que es el cuadrado del desvío standard.
35
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA
. s i - (JH2Z )’,
http://booksmedicos.org
PARAMETROS ESTADISTICOS
Se 16 denomina también desvío relativo.
Significado
El desvío reducido es el desvío simple expresado en unidades de des­
vío standard, o sea: el desvío reducido expresa cuántas veces 'el desvio de 
la observación es menor o mayor que el desvío medio standard de la
El desvío reducido permite saber a qué distancia relativa de la media 
se encuentra la observación a que pertenece, y hacer comparaciones con 
las distancias a que se encuentran otras observaciones de la misma mues­
tra, o comparaciones con las distancias a la media de observaciones con 
igual desvío reducido de otras muestras, en caso de que ambas muestras 
tengan una normal distribución de frecuencia.
El principal uso del desvío reducido es su aplicación al cálculo de la 
cantidad o porción de-observaciones con menores o con igual o mayores 
desvíos reducidos que nuestra observación existente en la muestra. Con 
ello se logra una base numérica al concepto de significación de la diferen­
cia del valor de una observación al valor de la media.
En una distribución normal, las observaciones cuyos desvíos reducidos 
son menores que I. es decir cuyos desvíos simples son menores que el 
desvío standard, constituyen algo más del 68% del total de la muestra. 
Aquellas cuyos desvíos reducidos son menores de 2, es decir cuyos des­
víos simples valen menos que dos desvíos standard, suman algo más del 
95% del total. Los que tienen uno menor de 3, es decir, cuyos desvíos 
simples valen menos que tres desvíos standard, constituyen algo más del 
99,7% del total. Y los que tienen uno mayor de 3, es decir cuyos desvíos 
simples valen más que tres desvíos standard, constituyen algo menor del 
99,7% del total. También podemos decir que las observaciones cuyos des­
víos reducidos valen 1 o más suman algo menos del 32% del total, aque­
llas cuyos desvíos reducidos valen 2 o más, consituyen algo menos del 5% 
del total y aquellas cuyos desvíos reducidos valen 3 o mis, suman algo 
menos del 0,3% del total.
El desvio reducido es una parámetro de dispersión que califica a las
Se denomina Probits al desvío reducido aumentado en 5 unidades.
37
http://booksmedicos.org
La utilidad y razón de ser del Probils consiste en que evita trabajar 
con cantidades negativas, lo cual ocurre cuando se trabaja con D. R. co­
rrespondientes a datos cuyos valores son inferiores a los de la media.I£n el Probits el valor del D.R. se aumenta en S unidades porque en la 
práctica generalmente se trabaja con D.R. superiores a -S y sólo por 
excepción con D.R. menores de -5.
Dispersión de la media
Bs la relación entre la variancia (o sea. entre el cuadrado del desvío 
standard) y la población de la muestra.
ESTADISTICA MEDICA
También puede decirse que es el cuadrado del error standard, ya que
ca „ - .-51 _ _ SL
" i S T T n •
Significado
Como la variancia y el error standard, de los que deriva, y como su 
nombre lo indica, es un parámetro de dispersión, lo cual se ve claramente
Promedio ponderado
Bs la relación del tamaño total de varias muestras, con la población
D. de la M. =
Promedio ponderado = Zfprom. pare. X pobiac. pare.)Población total
38
http://booksmedicos.org
Significado
El promedio ponderado es la media de un conjunto de muestras de 
cada una de las cuales se conoce la media y la población.
Error probable
Es el error standard multiplicado por 2/3 (más exactamente, multipli­
cado por 0,67449).
E. Prob. = 0,67449 S , ? y S„ - y ^ = -
E1 error probable equivale aproximadamente a los 2/3 del error stan­
dard.
Significado
El error probable de una muestra indica que el 50% de las medias de 
las muestras similares a dicha muestra caerán dentro de los limites media 
± 1 B.P. de dicha muestra.
Se puede aceptar además que hay un 50% de probabilidades de que la 
media del universo caiga también dentro de dichos limites.
Error relativo
Es la relación entre la media y el error standard.
Error relativo = ~
El error relativo es el cociente de la media dividido por el error stan-
Se puede decir también que es la media expresada en unidades de 
errores standard y también que el error relativo muestra cuántas veces la 
media es mayor o menor que el error standard.
Significado
Si el error relativo es igual o superior a 2, es decir, si la media es igual 
o superior al doble del error standard, éste es suficientemente pequeño
PARAMETROS ESTADISTICOS
39
http://booksmedicos.org
como para aceptar que la media es fidedigna de pertenecer a una muestra
de la muestra, o sea normalmente dispersos alrededor de la media; en 
cambio si el error relativo es inferior a 2, o sea si la media es inferior al 
doble del error standard, los datos se hallan anormalmente diseminados 
dentro de la muestra, esto es, excesivamente dispersos con relación a la 
media, lo cual probablemente ocurra porque algunos datos se hallen afec­
tados o influidos por factores extraños al resto de las observaciones de la
génea. de una muestra no formada por observaciones similares.
El error relativo es, por lo tanto, un parámetro de dispersión, pero al 
mismo tiempo es un parámetro que califica a la media en fidedigna o no.
Es decir que la significación de la media está dada por el valor del E. 
R. (Véase capítulo X; Significación de la media).
ESTADISTICA MEDICA
40
http://booksmedicos.org
LA MUESTRA NORMAL NUMEROSA O MUESTRA NOR­
MAL DE GAUSS
SEGUNDA PARTE
El cálculo de sus parámetros
http://booksmedicos.org
http://booksmedicos.org
CAPITULO V
MEDIA, DESVIO STANDARD Y ERROR STANDARD
Método fundamental
Se habla de cálculo de parámetro por el método fundamental cuando 
se refiere a aquel que se basa directamente en las fótmuias que expresan 
simbólicamente el concepto del parámetro. Así, el cálculo fundamental de 
la media es aquel que hace uso directo de la fórmula conceptual.
El del desvio standard el que hace uso direc
Cálculo de la media, del desvío standard y del error standard
El desarrollo de este tema vamos a hacerlo recurriendo a un ejemplo: 
Supongamos que se desea conocer el peso medio de los niños recién 
nacidos normales, pero además se desea conocer la dispersión de las ob­
43
http://booksmedicos.org
servaciones y la dispersión de las medias de muestras similares a la mués-
Los .datos se hallan registrados en un conjunto de historias clínicas 
que hemos seleccionado a objeto de lograr una muestra lo más uniforme 
posible. Es decir hemos eliminado todas las sospechosas de pertenecer a 
casos de prematuros o de posmaduros, asi como las que presenten algún 
dato clínico u obstétrico anormal.
El dato del peso, en las H.C1., está registrado en kilos y gramos, es 
decir en un guarismo de 4 cifras. Nosotros, para simplificar el cálculo, 
tomaremos solamente las dos primeras cifras, es decir la que expresa los 
kilos, y la primera cifra decimal.
Al hacerlo así, tomamos conciencia de que nuestros datos corres­
ponden a la clase de los llamados continuos y que cuando decimos, por 
ejemplo, 3,2, decimos en realidad 3,2 o más. pero menos de 3,3.
Estos datos se nos presentan en el conjunto de H. Cl. en forma de­
sordenada, es decir que después del valor consignado en una historia, 
encontramos que el de la siguiente puede ser menor, igual o mayor, indis-
Nuestra tarea inmediata será, por lo tanto, ordenarlos y agruparlos 
por grupos de valores iguales, para lo cual hacemos uso del método de los 
palotes. Este consiste en tomar una hoja de papel, y en una primera co­
lumna, encabezada con una x minúscula, colocamos una serie de valores 
sucesivos, desde el que consideramos que ha de ser el menor, hasta el que 
pensamos que será el mayor.
Si esto no se confirmara y encontráramos valores más pequeños o 
mayores que los esperados, no habrá inconveniente en agregarlos antes del 
primero o después del último. Esa primera columna estará por lo tanto 
formada provisionalmente, y quizá definitivamente, por los valores indi­
cados en el cuadro 7.
A continuación leemos el dato en cada historia clínica y en la 2da. 
columna marcamos un palote en la línea del valor correspondiente. Así 
hemos obtenido la siguiente columna.
Hecho esto, obtenemos los valores de una 3ra. columna, encabezada 
por una “f , sumando los palotes de cada línea. La suma de esta columna 
(£ f) es la población de la muestra.
2 f = 44
Por fin. organizamos una 4ta. columna encabezada x í multiplicando el 
valor del x por f. La suma de esta columna (2 x f) es el tamaño de la
44
http://booksmedicos.org
MEDIA, DESVIO STANDARD Y ERROR STANDARD
2 * f = 146,9 = T
Hemos hecho asi varias cosas:
1°) Hemos ordenado los dalos.
2°) Hemos agrupado los datos, obteniendo grupos ordenados.
Cuadro 7
EJEMPLO DE AGRUPAMIENTO Y ORDENACION DE LOS DATOS: 
PALOTES
Exf ■ tamaño tpeso total de todos los niños).
http://booksmedicos.org
3”) Hemos obtenido la población de los grupos, es decir la frecuen­
cia, la que por estar ordenados de acuerdo a los datos, constituye una 
distribución de frecuencias. Vemos que en esta muestra la frecuencia se 
inicia con un valor mínii .c * aumenta progresivamente hasta un valor 
máximo, a partir del cual .isminuye también progresivamente, hasta vol­
ver a un valor mínimo, quedando el grupo de frecuencia máxima relati­
vamente equidistante de los grupos de frecuencia mínima. Esta distribu­
ción de frecuencia es, por lo tanto, una distribución casi normal.
4 ) Hemos obtenido la “población" y el "tamaño" de la muestra.
Con este tratamiento previo de la muestra estamos ya en condiciones 
de calcular los parámetros media, desvío standard y error standard, por 
los métodos fundamentales.
El más sencillo de todos es el cálculo de la media.
La media es igual al tamaño de la muestra dividido por la población. 
Entonces tenemos:
ESTADISTICA MEDICA
El desvio standard es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados 
de los desvíos. Debemos calcular por lo tanto los desvíos, elevarlos al cua­
drado y obtener su sumatoria. Esto exige la confección de una "planilla 
de operaciones". Esta se confecciona de la siguiente manera:
En una primera columna, encabezada por una "x". se coloca el valor 
del dato o de los datos que integran cada grupo. Naturalmente, los grupos 
inexistentes no aparecen en la planilla. Ver cuadro 8.
En una segunda columna, encabezada por una *T\ colocamos la po­
blación de cada grupo, o sea la frecuencia.
Dijimos que la suma de esta columna es la población de la muestra.A continuación calculamos los desvíos de cada dato, es decir sus dis­
tancias a la media ya calculada y los colocamos en la línea correspondien­
te al dato, en una 3ra. columna encabezada por la expresión x - m.
Ahora formamos una 4ta. columna, encabezada por la expresión (x - 
ni)3, formada por los cuadrados de estos desvíos.
Luego formamos un Sta. columna, encabezada por la expresión f (x — 
m)z , formada por los productos de la frecuencia o población de los 
grapos multiplicada por el cuadrado de los desvíos, con lo cual se obtiene 
el tamaño de los grupos de les desvíos elevados al cuadrado.
Su suma es el tamaño de los cuadrados de todos los desvíos y su 
media es la cantidad subradical del desvío standard.
http://booksmedicos.org
£ 
£ 
fi 
i 
£ 
£ 
£ 
£ 
£ 
£ 
£ 
£ 
£ 
£ 
£ 
£ 
£ 
C
http://booksmedicos.org
3°) Que la dispersión de las medias es 0,06.
(Si queremos, podemos expresarlos en gramos).
Esto significa: 1°) que el peso medio de los recién nacidos de la 
muestra es 3,3 kg; 2o) que si bien es cierto que ese peso solo lo tienen 
algunos recién nacidos (y quizá ninguno) el peso del 68% de ellos está 
comprendido entre la media más un desvío standard y la media menos un 
desvio standard, es decir entre 2,9 y 3,7 kg; y 3°) que el 95% está com­
prendido entre la media más o menos 2 desvíos standard; es decir, entre
2,S y 4,1 kg, y significa además que si se examinan muchas muestras si­
milares a la muestra, es posible, igualmente, que sólo algunas medias, (o 
quizá ninguna) coincida con la muestra, pero que en el 68% de las mues­
tras la media se encontrará entre la nuestra menos un error standard y 
nuestra media más un error standard, es decir entre 3,24 y 3,36 kg, y en 
el 95% entre nuestra media más o menos 2 errores standard, es decir entre 
3,18 y 3,42 kg.
Así se obtienen la media, el desvío standard y el error standard por el 
método fundamental.
Cuando se trata de muestras pequeñas, poco numerosas, no hay in­
conveniente en utilizar este método, pero cuando son muestras grandes y 
numerosas, este método puede resultar largo y fatigoso. En esos casos es 
preferible utilizar métodos simplificados basados en fórmulas derivadas de 
las fundamentales.
Para comprender estas fórmulas y estos métodos es necesario conocer 
previamente algunas propiedades de la media y del desvío standard. Es lo 
que pasaremos ahora a estudiar.
ESTADISTICA MEDICA
http://booksmedicos.org
CAPITULO VI
PROPIEDADES DE LA MEDIA Y DEL DESVIO STANDARD
SUMARIO: Propiedades de la media y del desvio standard. Propiedad “A" 
de U media. Propiedad "B". Propiedad "A" del desvío standard. Propiedad
El cálculo de los parámetros media, desvío standard, y variancia pue­
de hacerse, naturalmente, por el método fundamental, es decir utilizando 
directamente las fórmulas conceptuales de estos parámetros; pero a veces 
los cálculos realizados utilizando estas fórmulas resultan muy largos y 
laboriosos, especialmente cuando se trata de muestras numerosas y de 
gran tantalio. Por este motivo los estadísticos han buscado y obtenido 
métodos simplificados de cálculo que abrevian y aligeran extraordinaria­
mente esta tarea. Estos métodos simplificados utilizan fórmulas derivadas 
de las fundamentales, las cuales se basan en propiedades especiales de 
estos parámetros.
Para comprender dichas fórmulas es por lo tanto indispensable cono- 
siguiente.
Propiedad “A” de la media
Si desplazamos el 0 de una serie y lo colocamos en un punto cual­
quiera 0', se modifican los valores de los términos y por lo tanto el de la
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA Mi
Coloquemos ahí 
segunda observación 
vos valores de los te
Este es el valor de la media (m‘) de los nuevos datos (modificados por
Vemos así que la nueva media es igual a la media real menos el valor 
de la escala en que se colocó 0*. Es decir:
m' = m - va = 165 - 160 = 5 (1)
De (1) se deduce:
m = m' + v.a. (2)
Es decir: la media real (m) es igual a la media de los nuevos valores
sumada algebraicamente al valor arbitrario (v.a.) en el que se colocó el
m = 5 + 160 = 165
http://booksmedicos.org
PROPIEDADES DE LA MEDIA Y DEL DESVIO STANDARD
Importancia de la propiedad "A "de la media
Cuando los valores de los dalos se expresan con números alejados de 
cero, como ocurre cuando se miden la estatura de la personas en cm, o 
las presiones arteriales en mm, o se trata de densidades de orina, etcétera, 
es mucho más cómodo, al hacer el cálculo de la media, transformar los 
valores de los datos en otros más chicos, colocando el 0' de la nueva es­
cala más cerca de los valores de la muestra, y hasta dentro de ella.
De ese modo se transforman los valores primitivos en otros secunda­
rios. En estas condiciones, la media que se obtenga será también una 
media secundaria; pero será muy fácil transformar esta media secundaria 
en la media de la serie primitiva con sólo sumarla algebraicamente al valor 
frente al cual se colocó el 0' de la escala, al hacer la transformación de los 
valores primitivos en los secundarios.
Ejemplos
Se nos pide la estatura media de 4 personas cuyas tallas, se dan en 
cm, en la siguiente forma; La Ira. mide ISO cm, la 2da. 160; la 3ra. 170, 
y la 4a. 180 cm.
De acuerdo con el procedimiento fundamental tendríamos que sumar 
esos 4 valores y la suma dividirla por 4.
Asi
150 + 160 + 170 + 180 = 660 
m = 660 •/. 4 = 165
La estatura media de esas cuatro personas es, pues, 165 cm.
Pero nosotros, en vez de trabajar con números superiores a 100, po­
demos hacerlo con otros menores, transformando los valores originarios en 
otros más pequeños, con sólo tomar esos valores desde un punto situado 
más o menos lejos del 0 y más o menos cerca de la muestra, como, por 
ejemplo, desde 100 cm, o sea desde el metro.
Entonces el problema planteado podría expresarse en la siguiente tüi
¿Cuál es la talla media de 4 personas, la la. de las cuales excede al 
metro en 50 cm; la 2a„ en 60; la 3a., en 70, y la 4a.. en 80 cm?
Para resolver este problema tomamos como antes estos datos y los 
sumamos, pero *ahora sumamos números menores de 100, mientras que 
antes sumábamos números mayores de 100, y en ello consiste la simplifi­
cación del cálculo.
51
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA
La media de esos 4 valores derivados es:
50 + 60 + 70 + 80 = 260 
m- = 260 •/. 4 - 6 5
La media de estos valores derivados es 65; pero nosotros necesitamos 
la media de los valores originarios y no la de los valores derivados.
La solución, muy simple, consiste en agregar algebraicamente esa 
media derivada (65) al valor frente al cual se colocó el 0' de la escala al 
hacer la transformación de unos valores en otros, es decir a 100.
La media de los valores originarios es, pues,
m = 65 + 100 = 165
Es decir el mismo resultado que habíamos obtenido antes.
Si en vez de colocar el 0‘ de nuestra regla sobre el 100 de la escala 
originaria, lo colocamos frente a cualquier otro valor, el resultado no cam­
bia. Por ejemplo, coloquemos el 0' frente al valor 120 de la escala origi­
naria: Esto equivaldría a plantear el problema de la siguiente manera:
¿Cuál es la estatura media de 4 personas, la la. de las cuales excede 
en 30 cm a los 120; la 2a., en 40; la 3a.. en 50, y la 4a„ en 60 cm:
Como antes, sumaríamos esos 4 valores y la suma la dividiríamos por 
4. Así:
30 + 40 + 50 + 60 = 180 
m’ = 180 •/. 4 = 45
Ahora agregaríamos esta media secundaria o derivada al valor frente al 
cual pusimos el 0' de nuestra escala, es decir a 120, y el resultado será la 
media de los valores originarios. Esto es
m = 45 + 120 = 165
Es decir: el mismo resultado que antes.
También podríamos poner el 0‘ en uno de los datos de la muestra y 
tampoco cambiaría el resultado.
Por ejemplo, podríamos colocarlo en el 1° de ellos, es decir en 150. 
Entonces el problema podría plantearse en esta forma:
¿Cuál es la talla media de 4 personas, la más baja de las cuales mide 
150 cm; la siguiente, 10 cm más; la otra, 20 cm más, y la 4a., 30 cm 
más?
http://booksmedicos.org
Estasería la media derivada; la media verdadera, es decir la de los 
itos originarios, se obtiene sumando esa media derivada al valor frente al 
tal se puso el 0' de la escala al hacer la transformación de unos valores 
i otros, es decir a ISO. Y así:
m = 15 + 150 = 165
Tenemos la misma media de antes.
Tampoco cambiaría el resultado final si el 0’ de la escala lo pusiára- 
ios sobre cualquiera de los otros datos de la muestra, o hasta sobre un 
üor inexistente en la muestra, como podemos comprobarlo fácilmente.
Coloquemos, por ejemplo, el 0' sobre el valor 155, inexistente en la
Entonces el problema se plantearía así:
¿Cuál es la talla media de 4 personas, una de las cuales mide 5 cm 
icnos de 155 cm; otra, 5 cm más; otra. 15 cm más, y la otra, 25 cm
Sumando algebraicamente esos valores, te 
Dividiendo la suma por 4, tenemos
Esta es la media derivada. La media originaria o verdadera es igual a 
más 155. Entonces:
53
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA
Coloquemos ahora el 0' frente a otro valor de la muestra, por ejemplo 
frente al 2°, es decir frente a 160. Entonces el problema podría presen­
tarse como sigue: ¿Cuál es la talla media de 4 personas, la la. de las cua­
les mide 10 cm menos que la 2a.; ésta mide 160 cm; la 3a., 10 cm más 
que ésta, y la 4a., 20 cm mis que esta 2a.?
Ahora los valores derivados serian
-10; 0;+10;+ 20
La suma algebraica es: +20 
La media derivada es: +5 
La media verdadera es: +5 + 160 = 16S 
Es decir, la misma de siempre.
Coloquemos, para verificar, el 0' sobre el 3er. valor, es decir sobre
170.
Entonces los valores derivados son:
- 20; - 10; 0; +10 
La suma algebraica es -20.
El cociente o media secundaría m‘ es:— = —5.
La media verdadera es:
m = -S + 170 = 170 - S = 165 
Lo mismo de siempre.
Coloquemos ahora, el 0- sobre el último valor de la muestra, es decir 
sobre 180.
Entonces los valores derivados son:
-30;-20;-10; 0
La suma algebraica es: -60
El córente m' es: -60 ■/. 4 = -15
La media verdadera m = -15 + 180 = 180 - 15 = 165
Lo de siempre.
Pero también podemos colocar el 0' más allá de la muestra, por ejem­
plo en los 2 m, o sea en los 200 cm.
Entonces el problema se presentaría como si fuese:
54
http://booksmedicos.org
faltan SO cm para medir 2 m; a la 2a. Ic faltan 40; a la 3a„ 30, y a la 4a., 
20 cm?
Ahora los valores derivados son:
-50; -40; -30 y - 20 
La suma algebraica es -140
La media verdadera m es: -3S + 200 o sea: 200 - 35 = 165 
Lo mismo de siempre.
Es decir, en definitiva, que para comodidad en el cálculo de la media, 
para poder operar con números más pequeños, podemos seguir el proce­
dimiento de transformar los valores originarios en otros más chicos, colo­
cando el 0' de estos valores frente a un valor arbitrario cualquiera de la 
otra escala, por ejemplo frente a un valor próximo o interior a la muestra, 
recordando que la media asi obtenida será por lo pronto una media deri­
vada, secundaria o arbitraría, que podrá transformarse en la media ver­
dadera con sólo sumarla algebraicamente al valor arbitrario frente al cual 
se colocó el 0' de nuestra escala. Es decir,
m = m’ + valor arbitrario, 
que es lo que dijimos al principio (2)
Propiedad "B” de la media
Si dividimos cada uno de los términos de una serie por un divisor 
común, obtenemos una nueva serie y, por lo tanto, una nueva media. Esta 
es igual a la media anterior dividida por el divisor común.
De (3) se deduce:
m = m- r (4)
Es decir que: la media real (m) de los valores originarios es igual a la 
media de los nuevos valores (m-) multiplicada por el factor de reducción
W-
55
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA 
Ejemplo I
http://booksmedicos.org
PROPIEDADES DE LA MEDIA Y DEL DESVIO STANDARD
Esta es la inedia reducida de la serie reducida. Como vimos en (4), la 
media de la serie primitiva es igual al producto de esta media reducida por 
el factor de reducción. En el ejemplo dado
Propiedad “A" del desvio standard
Cuando una serie estadística se transforma en otra por haberse colo­
cado el 0' en un lugar distinto de 0, el valor de los desvíos no se modifica 
y, por lo tanto, el desvío medio standard de esta serie derivada es el 
mismo que el de la serie primitiva.
S,. = Sx
- V¡66 
= 12,88
= V ¡66 
= 12,88
57
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA
Propiedad “B" del desvío standard
Cuando una serie estadística se transforma en otra por división de 
cada uno de sus términos por un divisor común (r), llamado también fac­
tor de reducción, el desvío standard de esa serie derivada es igual al des­
vio standard de la serie primitiva dividido por dicho factor de reducción.
S8
http://booksmedicos.org
PROPIEDADES DE LA MEDIA Y DEL DESVIO STANDARD
Como vimos en (6)
Sx' = — S* = r S*’
Es decir que el desvio standard de la serie primitiva es igual al desvio 
standard de la' serie derivada multiplicado por el factor de reducción.
En el ejemplo dado,
S* = 5 X 2,58 = 12,88
Si se resta a todos los datos de una muestra un sustraendo común la
si dichos datos son divididos por un divisor común, tanto la x como el Sx 
resultan divididos por dicho divisor.
59
http://booksmedicos.org
http://booksmedicos.org
CAPITULO VII
La variancia, como se sabe, es la media de los cuadrados de los des-
v„ . = z ( x ~ m)1 
por lo cual se la denomina también desviación cuadrática media.
la. observación
Si al hacer el cálculo de la variancia, en vez de tomar las diferencias 
de los datos a la media se toman a un valor arbitrario (v. a.) distinto de 
ella, se obtiene un resultado mayor, independientemente que el valor arbi­
trario sea mayor o menor que la media. (Es decir que los cuadrados de las 
diferencias de los datos a la media (x - m)1, son cuadrados mínimos.)
, Ejemplo 1
x m x - m (x - mí1
2 - 3 9
61
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA
E(* - v.a.)J = 36
(X - V.O.Í1 
1
1 E(x - v.a.)» 36
£(x - v.».)1 ■ 
También aquí vemos que
Como la media de la muestra 
la media del universo, la variancia real 
mayor que ia obtenida a parí 
variancia de la muestra subestima el valor de 
rencia es especialmente manifiesta en las mu 
cambio, en aquellas cuya población es de 30 
las de 60 ó más, la diferencia resulta insignificante.
62
más, y especialmente er
http://booksmedicos.org
VARIANCIA
Para compensar esta pequenez de las variancias de las muestras poco 
numerosas, o de Gosset "Student", que veremos más adelante, al resulta­
do obtenido al hacer el cálculo de la misma debe multiplicárselo por el 
cociente de la población dividida por la población menos uno, es decir 
por , factor conocido con el nombre de factor de corrección de 
Bessel, como vimos en la página 33, capitulo 4.
En la medida en que la población de la muestra es mayor, el valor del 
factor de Bessel se aproxima a la unidad. Cuando la población es nume­
rosa, el valor de dicho factor es tan próximo a 1, que su aplicación prác­
ticamente no modifica el resultado y por lo tanto puede no ser utilizado.
3a. observación
Si al hacer el cálculo de la variancia se toman las diferencias de los 
datos a un valor arbitrario distinto de la media, el resultado difiere de la 
variancia en el cuadrado de la diferencia entre la media y el valor arbitra-
Así, en el ejemplo 1 de la I a. observación
J ^ £ - V a , = 9 - 5 = 4 
(m - v.a.)a = (S - 7)a = (-2)* = 4 
Y en el ejemplo 2 de la misma observación.
S (x — yj.)a _ yac — 9 _ 5 = 4
(m - v.a.)1 = (5 - 3)a = 2a = 4
Por consiguiente:
Var _ Z (* ^v.a.) (m _ v a )i fórmula (1)
63
http://booksmedicos.org
Es decir que cuando los desvíos de los datos se toman restando' de 
ellos un valor arbitrario (v.a.) distinto de la media (n)), la variancia real 
(var.) es igual al nuevo resultado menos el cuadrado de la diferencia de la
4a. observación
Cuando el valor arbitrario hasta el que se toman las diferencias de los 
datos es 0, dichas diferencias son los propios datos, ya que cualquier 
número es igual a la diferencia entre él y 0, o sea cualquier número es 
igual a si mismo menos 0. Lomismo ocurre con la diferencia de este 
valor arbitrario 0, de la media. O sea
Por lo tanto, de la fóimula (1) sacamos:
Var. - — — - n? fórmula (2)
Es decir que cuando los desvíos de los dalos se loman restando de 
ellos el valor cero, o sea cuando se loma como valor de los desvíos el 
valor de los propios datos, la variancia real (Var.) es igual a la media de 
los cuadrados de los datos menos el cuadrado de la media.
Esta fórmula (2) puede adoptar la forma
Var.= — — - (~ ~ ~ J fórmula (2 bis,)
Y también ésta
64
http://booksmedicos.org
E x 2 (Sx)J _ _120 400 _ 120 _ 100 _ 20 ,
Es decir, el mismo resultado < 
Sa. observación
La fónnula 2 bis,
Var.= -
- (Ex)»/n E x» -T » /n 
fónnula (3)
la fónnula (3) puede adoptar la forma
Ex = mn = T 
la fónnula (4) puede tomar la forma
Var = £ ~ m 2 * = S <*-"■
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MI
1°) El cuadrado del tamaflo dividido por la población (fórmula 3).
2°) La media multiplicada por el tamaflo (fórmula 4).
3°) El cuadrado de la media multiplicada por la población (fórmula
S* = 20 m = 5 y = 120
Í5 Ü 1 - — = ion
'■x = S X 20 = 100 
n = 25 X 4 = 100
Sx* - T*/n _ I r 1 - n i
Estas son las fórmulas que generalmente se utilizan en la práctica. 
iás exacta es la primera (fórmula 3), porque no necesita calcular la 
¡a, con lo cual se evita la imprecisión obligada de un parámetro 
ene que expresarse con un número limitado de decimales, como oci 
>n la segunda (4) y especialmente con la tercera (5), cuya inexactitud 
imenta al potenciarse la media.
Cuando las muestras son de escasa población, 30 observaciones o
s "n".
Asf, en la pequefia muestra vista, la planilla y los cálculos son los
- 4; Ix = T = 20; £xJ = 120 
S*3 - Ta •/. n 120 - 400 •/.
3l?
r
http://booksmedicos.org
6a. observación
Cuando los valores de los datos se dividen por un divisor común (r) la 
varianza de estos nuevos datos (var') es igual a la varianza de los datos 
originarios (var) dividida por el cuadrado del divisor común (r3)
Var' = var ■/. r3
VARIANCIA
= 53 — 25 
Se'3 - T'3-/. n 120 - 400 /. 4
120 - 100 20
En el ejemplo dado:
Var = 53 X 20 25 X 20
67
http://booksmedicos.org
http://booksmedicos.org
CAPITULO VIII
SIMPLIFICACION DEL CALCULO DE LA MEDIA
SUMARIO. Simplificación de los cálculos de la media. Variantes y simpli­
ficaciones en el cálculo del desvío standard. Verificación de los cálculos.
Como es sabido, el cálculo de la media se hace fundamentalmente 
sumando todos y cada uno de los valores o datos de las observaciones de 
la muestra y dividiendo luego esta suma por la población, o sea por el 
número o cantidad de tales datos:
Ex T
ler. método de simplificación
Cuando en una muestra hay datos repetidos, una primera simplifica­
ción de los cálculos consiste en agrupar esas observaciones repetidas y 
verificar cuánto suman. Esta suma se llama frecuencia de dicha observa­
ción repetida.
Una vez hecho esto, en vez de sumar los datos de las observaciones 
originarias, teniendo en cuenta que la multiplicación es una suma abre­
viada, la simplificación consiste en multiplicar el valor del dato que se 
repite por la frecuencia con que lo hace.
Después se suman estos resultados o productos y finalmente esta 
sumatoria se divide por la población.
- Sx f
Ejemplo
En un problema donde se dan los datos del número de resfríos .te­
nidos en un aflo por cada una de las 641 personas que constituyen la
http://booksmedicos.org
muestra se pregunta cuál es el número medio de resfríos tenido por esas 
personas, o sea, cuál es la media de la muestra.
De acuerdo con el método originario del cálculo de la media, habría 
que sumar el número de resfríos tenido por cada una de las personas, y 
dividir luego esta suma por el número dicho de personas, o sea por 641.
Es evidente que este procedimiento resulta largo y engorroso.
Mucho más simple, e igualmente exacto, es agrupar las personas que 
habían tenido el mismo número de resfríos y hacer su recuento, esto es, 
verificar cuánto suman. Luego multiplicar esta suma por el número de 
resfríos tenido por cada una de ellas. Hacer después la suma de esos 
productos y finalmente dividir la sumatoria por el número o cantidad de 
personas.
En esta forma, una suma que iba a comprender 641 sumandos se 
transforma en otra con solo 10 sumandos.
2do. método de simplificación
Cuando los valores de los datos se expresan con números alejados del 
cero, como ocurre cuando se miden las estaturas de las personas en cm, o 
las presiones arteriales en mm, o se trata de densidades de orina, etcétera, 
una manera de simplificar los cálculos es operar con números más peque­
ños, transformando los valores de los datos en otros más chicos, colocan­
do el 0’ de la escala más cerca de los valores de la muestra y aun dentro 
de ella.
Naturalmente esto significa transformar los valores primitivos en otros 
secundarios, y en estas condiciones la media que se obtenga será también 
una media secundaria; pero, como hemos visto, será muy fácil transformar 
esta media secundaria en la media correcta, con sólo sumarla algebraica­
mente al valor frente al cual se colocó el 0' de la escala al hacer la trans­
formación de los valores primitivos en los secundarios.
3er. método de simplificación
De acuerdo con la propiedad "B” de la media cuando los valores de 
una serie se dividen por un divisor común, la media (m'j de esta serie 
derivada es igual a la media (m) de la serie primitiva dividida por este 
divisor común.
Esto permite un 3er. procedimiento de simplificación del cálculo de la 
media. La media de la serie primitiva se obtiene multiplicando esta media 
reducida (m') por el factor de reducción: m = m’ r.
ESTADISTICA MEDICA
70
http://booksmedicos.org
Ejemplo
En el problema de la talla media de 4 personas que miden respecti­
vamente ISO, 160, 170 y 180 cm podemos transformar estos valores en
otros menores y por lo tanto más manuables, dividiéndolos por un de­
nominador común, que puede ser 2, 5 6 10. Dividiéndolos por este último 
factor de reducción obtendremos los siguientes nuevos valores:
1S; 16; 17 y 18,
los cuales son 10 veces más pequeños que los originales.
Para obtener la media de estos nuevos valores procedemos, como 
siempre, primero a sumarlos y después a dividir la suma por el número o 
cantidad de ellos.
15 + 16 + 17 + 18 - 66
m’ = 66 ■/. 4 = 16,5 
Esta es una media reducida (m’).
La verdadera media (m) de la muestra original la obtendremos multi­
plicando esta media reducida por el factor de reducción (r).
Así:
16,5 X 10 = 165 
4to. método de simplificación
A riesgo de cometer un pequeño error, el cálculo de la media puede 
también simplificarse agrupando los valores próximos dentro de un inter­
valo y considerando que las observaciones dentro de cada grupo son igua­
les al valor central de dicho intervalo.
Es verdad que no todos, tal vez sólo algunos, o quizá ninguno de los 
valores reales coincidirá con el valor central, y que seguramente la mayo­
ría se distribuirá entre unos que valen menos y otros que valen más que 
dicho valor central. Pero precisamente ahí está la probabilidad de que las 
diferencias se neutralicen mutuamente y que el producto de la frecuencia 
por el valor central resulte igual o muy cercano a la suma de los valores 
individuales del grupo.
Después se sigue como en el 1er. procedimiento de simplificación de 
los cálculos, multiplicando dicho valor central por el número de observa- 
cionê ydel grupo; a lo cual sigue la sumatoria de estos productos, y por 
fin la división de esta sumatoria por la población de la muestra.
71
http://booksmedicos.org
ESTADISTICA MEDICA
3910 = 2 (v.C. X f)
72
http://booksmedicos.org
SIMPLIFICACION DLL CALCULO DE LA MEDIA
, _ S (v.C. - V.a.)f 95
m n 30 “ '
m = m' + v.a. = 3,2 + 127,5 = 130,7
r muy próximo al anterior (1303) y también ir 
i.
. £ (v e. - v.a.) f
También podríamos combinarlo con el 3er. procedimienlo, cuidando 
que los intervalos fueran iguales, como lo son en este ejemplo, dividiendo