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Cálculo 3A – EP1 – Integral Dupla Exerćıcio 1: Calcule ∫∫ D ( y2ex + y sen x ) dxdy, onde D é o retângulo dado por 0 ≤ x ≤ π/2 e 0 ≤ y ≤ 1. Exerćıcio 2: Determine a região de integração e troque a ordem de integração das seguintes integrais: a) ∫ 1 0 ∫ x 0 f (x, y) dydx b) ∫ 1 0 ∫ y 0 f (x, y) dxdy c) ∫ 1 0 ∫ √x x2 f (x, y) dydx d) ∫ 1 0 ∫ x+1 2x f (x, y) dydx e) ∫ 2 0 ∫ 2−y − √ 4−y2 f (x, y) dxdy Exerćıcio 3: Calcule ∫∫ D x3 cos(xy) dxdy, onde D é a região delimitada pelos gráficos de y = x2, y = 0 e x = 2. Exerćıcio 4: Inverta a ordem de integração e calcule: a) ∫ 1 0 ∫ 1 y e−3x 2 dxdy b) ∫ 3 0 ∫ 9 y2 y cos ( x2 ) dxdy c) ∫ 2 0 ∫ 2 x x √ 1 + y3 dydx Exerćıcio 5: Use integral dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas y = 4 − x2, x ≤ 0, y − x = 2 e x = 0. Exerćıcio 6: Use integral dupla para calcular o volume do sólido W compreendido pelas superf́ıcies y2 = x, z = 0 e x + z = 1. Exerćıcio 7: Use integral dupla para calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos gráficos das equações z = 4 − x2, x + y = 4, x = 0, y = 0 e z = 0. Cálculo 3A Lista de Exercı́cios Programados 1 – Integral Dupla 2 Respostas Exerćıcio 1: 13 e π/2 + 16 . Exerćıcio 2: a) D = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x } = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ 1 } .∫ 1 0 ∫ x 0 f (x, y) dydx = ∫ 1 0 ∫ 1 y f (x, y) dxdy . b) D = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ y } = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 , x ≤ y ≤ 1 } ∫ 1 0 ∫ y 0 f (x, y) dxdy = ∫ 1 0 ∫ 1 x f (x, y) dydx . c) D = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 , x2 ≤ y ≤ √ x } = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 , y2 ≤ x ≤ √ y } .∫ 1 0 ∫ √x x2 f (x, y) dydx = ∫ 1 0 ∫ √y y2 f (x, y) dxdy . d) D = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 , 2x ≤ y ≤ x + 1 } = D1 ∪ D2, onde D1 = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ y/2 } e D2 :{ (x, y) ∈ R2 | 1 ≤ y ≤ 2 , y − 1 ≤ x ≤ y/2 } I = ∫∫ D1 f (x, y) dxdy + ∫∫ D2 f (x, y) dxdy = ∫ 1 0 ∫ y/2 0 f (x, y) dxdy + ∫ 2 1 ∫ y/2 y−1 f (x, y) dxdy . e) D = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 2 ,− √ 4 − y2 ≤ x ≤ 2 − y } = D1∪D2, onde D1 = { (x, y) ∈ R2 | −2 ≤ x ≤ 0 , 0 ≤ y ≤ √ 4 − x2 } e D2 = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 − x } .∫∫ D f (x, y) dxdy = ∫∫ D1 f (x, y) dxdy + ∫∫ D2 f (x, y) dxdy = ∫ 0 −2 ∫ √4−x2 0 f (x, y) dydx + ∫ 2 0 ∫ 2−x 0 f (x, y) dydx . Exerćıcio 3: D = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x2 } . ∫∫ D x 3 cos(xy) dxdy = 13 (1 − cos 8) . Exerćıcio 4: a) D = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ 1 } = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x } .∫ 1 0 ∫ 1 y e −3x2 dxdy = ∫ 1 0 ∫ x 0 e −3x2 dydx = 16 ( 1 − e−3 ) . b) D = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 3 e y2 ≤ x ≤ 9 } = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ √ x , 0 ≤ x ≤ 9 } .∫ 3 0 ∫ 9 y2 y cos ( x2 ) dxdy = ∫ 9 0 ∫ √x 0 y cos ( x2 ) dydx = 14 sen 81 . c) D = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2 } = { (x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ y } .∫ 2 0 ∫ 2 x x √ 1 + y3 dydx = ∫ 2 0 ∫ y 0 x √ 1 + y3 dxdy = 269 . Exerćıcio 5: D : { (x, y) ∈ R2 | −2 ≤ x ≤ 0 , 2 + x ≤ y ≤ 4 − x2 } . A(D) = ! D dx dy = ∫ 0 −2 ∫ 4−x2 2+x dydx = 10 3 u.a. Exerćıcio 6: V(W) = 815 u.v. Exerćıcio 7: V(W) = 523 u.v. GMA-IME-UFF
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