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EP1_Integral_dupla

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Cálculo 3A – EP1 – Integral Dupla
Exerćıcio 1: Calcule
∫∫
D
(
y2ex + y sen x
)
dxdy, onde D é o retângulo dado por 0 ≤ x ≤ π/2
e 0 ≤ y ≤ 1.
Exerćıcio 2: Determine a região de integração e troque a ordem de integração das seguintes integrais:
a)
∫ 1
0
∫ x
0
f (x, y) dydx
b)
∫ 1
0
∫ y
0
f (x, y) dxdy
c)
∫ 1
0
∫ √x
x2
f (x, y) dydx
d)
∫ 1
0
∫ x+1
2x
f (x, y) dydx
e)
∫ 2
0
∫ 2−y
−
√
4−y2
f (x, y) dxdy
Exerćıcio 3: Calcule
∫∫
D
x3 cos(xy) dxdy, onde D é a região delimitada pelos gráficos de y = x2,
y = 0 e x = 2.
Exerćıcio 4: Inverta a ordem de integração e calcule:
a)
∫ 1
0
∫ 1
y
e−3x
2
dxdy
b)
∫ 3
0
∫ 9
y2
y cos
(
x2
)
dxdy
c)
∫ 2
0
∫ 2
x
x
√
1 + y3 dydx
Exerćıcio 5: Use integral dupla para calcular a área da região plana compreendida pelas curvas
y = 4 − x2, x ≤ 0, y − x = 2 e x = 0.
Exerćıcio 6: Use integral dupla para calcular o volume do sólido W compreendido pelas superf́ıcies
y2 = x, z = 0 e x + z = 1.
Exerćıcio 7: Use integral dupla para calcular o volume do sólido no primeiro octante, delimitado
pelos gráficos das equações z = 4 − x2, x + y = 4, x = 0, y = 0 e z = 0.
Cálculo 3A Lista de Exercı́cios Programados 1 – Integral Dupla 2
Respostas
Exerćıcio 1: 13 e
π/2 + 16 .
Exerćıcio 2:
a) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x
}
=
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ 1
}
.∫ 1
0
∫ x
0 f (x, y) dydx =
∫ 1
0
∫ 1
y f (x, y) dxdy .
b) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ y
}
=
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 , x ≤ y ≤ 1
}
∫ 1
0
∫ y
0 f (x, y) dxdy =
∫ 1
0
∫ 1
x f (x, y) dydx .
c) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 , x2 ≤ y ≤
√
x
}
=
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 , y2 ≤ x ≤
√
y
}
.∫ 1
0
∫ √x
x2 f (x, y) dydx =
∫ 1
0
∫ √y
y2 f (x, y) dxdy .
d) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 , 2x ≤ y ≤ x + 1
}
= D1 ∪ D2, onde D1 =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ y/2
}
e D2 :{
(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ y ≤ 2 , y − 1 ≤ x ≤ y/2
}
I =
∫∫
D1
f (x, y) dxdy +
∫∫
D2
f (x, y) dxdy =
∫ 1
0
∫ y/2
0 f (x, y) dxdy +
∫ 2
1
∫ y/2
y−1 f (x, y) dxdy .
e) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 2 ,−
√
4 − y2 ≤ x ≤ 2 − y
}
= D1∪D2, onde D1 =
{
(x, y) ∈ R2 | −2 ≤ x ≤ 0 , 0 ≤ y ≤
√
4 − x2
}
e D2 =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 − x
}
.∫∫
D f (x, y) dxdy =
∫∫
D1
f (x, y) dxdy +
∫∫
D2
f (x, y) dxdy =
∫ 0
−2
∫ √4−x2
0 f (x, y) dydx +
∫ 2
0
∫ 2−x
0 f (x, y) dydx .
Exerćıcio 3: D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x2
}
.
∫∫
D x
3 cos(xy) dxdy = 13 (1 − cos 8) .
Exerćıcio 4: a) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ 1
}
=
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x
}
.∫ 1
0
∫ 1
y e
−3x2 dxdy =
∫ 1
0
∫ x
0 e
−3x2 dydx = 16
(
1 − e−3
)
.
b) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 3 e y2 ≤ x ≤ 9
}
=
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤
√
x , 0 ≤ x ≤ 9
}
.∫ 3
0
∫ 9
y2 y cos
(
x2
)
dxdy =
∫ 9
0
∫ √x
0 y cos
(
x2
)
dydx = 14 sen 81 .
c) D =
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2
}
=
{
(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ x ≤ y
}
.∫ 2
0
∫ 2
x x
√
1 + y3 dydx =
∫ 2
0
∫ y
0 x
√
1 + y3 dxdy = 269 .
Exerćıcio 5: D :
{
(x, y) ∈ R2 | −2 ≤ x ≤ 0 , 2 + x ≤ y ≤ 4 − x2
}
.
A(D) =
!
D dx dy =
∫ 0
−2
∫ 4−x2
2+x dydx =
10
3 u.a.
Exerćıcio 6: V(W) = 815 u.v.
Exerćıcio 7: V(W) = 523 u.v.
GMA-IME-UFF

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