Clase 2_ Semana 2_Cinemática Mov errático

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Departamento de Ciencias de la Energía y Mecánica
Elaborado por: Ing. Aníbal López
Cinemática rectilínea: 
movimiento errático
Departamento de Ciencias de la Energía y Mecánica
Elaborado por: Ing. Aníbal López
Cuando el movimiento de una partícula es errático o variable, su posición, velocidad y aceleración no
pueden describirse mediante una sola función matemática continua a lo largo de toda la trayectoria.
En su lugar, se requerirá una serie de funciones para especificar el movimiento en diferentes intervalos.
Si se puede trazar una gráfica del movimiento que relacione dos de las variables s, v, a, t, entonces
esta gráfica puede utilizarse para construir gráficas subsecuentes que relacionen otras dos variables,
puesto que las variables están relacionadas por las relaciones diferenciales v= ds/dt, a =dv/dt o a ds
= v dv
Gráficas de s-t, v-t y a-t. Para construir la gráfica 
de v-t dada la gráfica de s-t
La gráfica de v-t se construye trazando ésta y otros valores en cada instante
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La gráfica de a-t se construye a partir de la gráfica de v-t
Si la curva s-t correspondiente a cada intervalo de movimiento puede expresarse mediante una función
matemática s= s(t), entonces la ecuación de la gráfica de v-t correspondiente al mismo intervalo se
obtiene diferenciando esta función con respecto al tiempo puesto que v= ds/dt
La ecuación de la gráfica de a-t en el mismo intervalo se determina al
diferenciar v=v(t) puesto que a=dv/dt. Como la diferenciación reduce un
polinomio de grado n a uno de grado n-1, en tal caso si la gráfica de s-t es
parabólica (una curva de segundo grado), la gráfica de v-t será una línea
inclinada (una curva de primer grado) y la gráfica de a-t será una constante o
una línea horizontal (una curva de grado cero).
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Si se proporciona la gráfica de a-t, la gráfica de v-t se construye por medio de a= dv/dt, escrita como
para construir la gráfica de v-t, comenzamos con la
velocidad inicial de la partícula v0 y luego
agregamos a ésta pequeños incrementos de área
(∆v) determinados a partir de la gráfica de a-t.
La adición algebraica de los incrementos de área
de la gráfica de a-t es necesaria, puesto que las
áreas situadas por encima del eje t corresponden a
un incremento de v (área “positiva”), mientras que
las que quedan debajo del eje indican una
reducción de v (área “negativa”)
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Asimismo, si se presenta la gráfica de v-t, es posible determinar la gráfica de s-t por medio de v = ds/dt, 
escrita como comenzamos con la posición inicial de la partícula s0
y agregamos a ésta (algebraicamente) pequeños
incrementos de área ∆s determinados a partir de la
gráfica de v-t,
Si segmentos de la gráfica de a-t pueden describirse
mediante una serie de ecuaciones, entonces cada
una éstas puede ser integrada para obtener
ecuaciones que describen los segmentos
correspondientes de la gráfica de v-t.
Del mismo modo, la gráfica de s-t se obtiene al integrar las ecuaciones que
describen los segmentos de la gráfica de v-t. Por consiguiente, si la gráfica de a-t
es lineal (una curva de primer grado), la integración dará una gráfica de v-t que
es parabólica (una curva de segundo grado) y una gráfica de s-t que es cúbica
(una curva de tercer grado)
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Gráficas de v-s y a-s. Si la gráfica de a-s puede construirse, entonces los puntos en la gráfica de v-s se
determinan por medio de v dv =a ds. Si integramos esta ecuación entre los límites v = v0 con s=s0 y v = v1
con s= s1, tenemos,
si se determina el área de color gris se conoce la velocidad inicial v0 en s0= 0, entonces
De esta manera se pueden marcar puntos sucesivos en la gráfica de v-s. Si
se conoce la gráfica de v-s, la aceleración a en cualquier posición s se
determina por medio de a ds = v dv, escrita como
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Por tanto en cualquier punto (s, v)se mide la pendiente dv/ds de la gráfica de v-s. Entonces, con v y dv/ds
conocidas, se calcula el valor de a. La gráfica de v-s también se construye a partir de la gráfica de a-s o 
viceversa, por aproximación de la gráfica conocida en varios intervalos con funciones matemáticas, v= f 
(s) o a= g(s) y luego por a ds =v dv para obtener la otra gráfica.
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Una bicicleta rueda a lo largo de una carretera recta de modo que la gráfica de la figura, describe su 
posición. Construya las gráficas de v-t y a-t en el intervalo 0 ≤ t ≤30 s.
Ejercicio Modelo
Gráfica de v-t. Como v= ds/dt, la gráfica de v-t se 
determina diferenciando las ecuaciones que 
definen la gráfica de s-t.
También podemos obtener valores específicos de v
al medir la pendiente de la gráfica de s-t en un
instante dado. Por ejemplo, con t=20 s, la pendiente
de la gráfica de s-t se determina a partir de la línea
recta de 10 s a 30 s, es decir,
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Gráfica de a-t. Como a = dv/dt, la gráfica de a-t se determina si se diferencian las ecuaciones que
definen las líneas de la gráfica de v-t. Esto resulta
Ejercicio Modelo
NOTA: compruebe que a =2 pies/s ² cuando t =5 s al 
medir la pendiente de la gráfica de v-t.
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La gráfica de v-s describe el movimiento de una motocicleta. Trace la gráfica de a-s del movimiento y 
determine el tiempo requerido para que la motocicleta alcance la posición s = 400 pies.
Ejercicio Modelo
Gráfica de a-s. Como se dan las ecuaciones de los segmentos de la gráfica
de v-s, la gráfica de a-s se determina con a ds =v dv.
Tiempo. El tiempo se obtiene con la gráfica v-s y v= ds/dt, porque esta ecuación relaciona v, s y t. Para el primer
segmento del movimiento, s=0 cuando t= 0, por tanto
Cuando s 200 pies, t= 5 ln[0.2(200) +10] - 5 ln 10= 8.05 s. Por 
consiguiente, si utilizamos estas condiciones iniciales para el 
segundo segmento del movimiento,
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El automóvil arranca del reposo y viaja a lo largo de una pista recta de modo que acelera a 10 m/s ²
durante 10 s y luego desacelera a 2 m/s ² . Trace las gráficas de v-t y s-t y determine el tiempo t´ necesario
para detener el automóvil. ¿Qué distancia ha recorrido el automóvil?
Ejercicio Modelo
Gráfica de v-t. Como dv= a dt la gráfica v-t se determina al integrar los
segmentos de línea recta de la gráfica de a-t. Con la condición inicial
v=0 cuando t = 0, tenemos
Cuando t =10 s, v =10(10)= 100 m/s. Con esto como la condición inicial 
para el siguiente intervalo, tenemos
Cuando t=t ´ requerimos v= 0. Esto resulta
Una solución más directa para t´ es posible si se tiene en cuenta
que el área bajo la gráfica de a-t es igual al cambio de la
velocidad del automóvil. Requerimos ∆v =0= A1 + A2
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Ejercicio Modelo
Gráfica de s-t. Ya que ds =v dt, al integrar las ecuaciones de la gráfica de v-t se obtienen las ecuaciones 
correspondientes de la gráfica de s-t. Al usar la condición inicial s= 0 cuando t= 0, tenemos
Cuando t= 10 s, s = 5(10)² =500 m. Al usar esta 
condición inicial,
Cuando t´=60 s, la posición es
NOTA: una solución directa para s es posible cuando t´= 60 s,
puesto que el área triangular bajo la gráfica de v-t resulta el
desplazamiento ∆s= s - 0 desde t=0 a t´= 60 s. Por consiguiente
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FIN