Ayudantía 6 - Pauta

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Economı́a Poĺıtica
Profesores:Rafael Carranza, Juan Dı́az, Pablo Guzmán, Rodrigo Krell,Óscar Landerretche, Javier Núñez .
Ayudantes: Constanza Acuña, Josefa Castillo, Tomás Cortés, Alejandro Crovetto, Francisco Dı́az-Valdés,
Sebastián Espinoza, Mat́ıas Fresard, Pelayo Herraiz, Vania Mart́ınez, Fernando Ochoa, Nicolás Suárez1, Hipolito
Talbot-Wright.
AYUDANTÍA 6
Primavera 2014
Juegos Secuenciales
(a) ¿Cuál es la representación en forma extensiva de un juego?
Respuesta
La representación en forma extensiva de un juego exige precisar (1) los jugadores, (2a) cuándo tiene
que jugar cada jugador, (2b) lo que cada jugador puede hacer cada vez que tiene la oportunidad de
jugar y (3) la ganancia recibida por cada jugador para cada combinación posible de jugadas.
Ejemplo de un juego en forma extensiva:
1. El jugador 1 escoge una acción a1 del conjunto factible A1 = {I,D}.
2. El jugador 2 observa a1 y escoge entonces una acción a2 del conjunto del conjunto A2 = {I ′, D′}.
3. Las ganancias son u1(a1, a2) y u2(a1, a2), como se indica en el siguiente árbol
Este árbol empieza con un nodo de decisión correspondiente al jugador 1, donde escoge entre I y D.
Si el jugador 1 escoge I, se llega a un nodo de decisión del jugador 2, donde 2 escoge entre I ′ y D′.
Del mismo modo, si el jugador 1 escoge D, se llega a otro nodo de decisión del jugador 2, donde 2
escoge entre I ′ y D′. Después de cada una de las decisiones de 2 se llega a un nodo terminal (es decir,
el juego termina) y se reciben las ganancias indicadas.
La representación en forma normal del juego anterior es la siguiente:
1nsuarez@fen.uchile.cl
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Facultad de Economı́a y Negocios
Nota: Ver caṕıtulo 2 del Gibbons para obtener mayores detalles de la materia.
(b) ¿Qué es un subjuego?
Respuesta
Un subjuego es un juego en forma extensiva que:
1. empieza en un nodo de decisión n que sea un conjunto de información con un único elemento
(pero no sea el primer nodo de decisón del juego),
2. incluye todos los nodos de decisón y terminales que siguen a n en el árbol (pero no todos los
nodos que no siguen a n) y,
3. no intersecta a ningún conjunto de información (es decir, si un nodo de decisión n′ sigue a n en
el árbol, todos los otros nodos en el conjunto de información que contiene a n′ deben tambien
seguir a n y, por tanto, deben incluirse en el subjuego).
Nota: En el ejemplo de la parte (a), hay 3 subjuegos.
(c) ¿Cuándo un Equilibrio de Nash es Perfecto en Subjuego (ENPS)?
Respuesta
Un equilibrio de Nash es Perfecto en subjuego si las estrategias de los jugadores constituyen un equilibrio
de Nash en cada subjuego.
Del juego de la parte (a) el ENPS correspode a (D, (D′, I ′)). Notemos que el ENPS se obtuvo re-
solviendo el juego por inducción hacia atrás. Algo importante es que en un juego con información
completa y perfecta, la inducción hacia atrás elimina las amenazas no créıbles (en este caso seŕıa
(I ′, (D′, D′)).
Nota: Cualquier juego dinámico finito con información completa (es decir, cualquier juego dinámico en
el que un número finito de jugadores tiene un conjunto de estrategias factibles finito) tiene un equilibro
de Nash perfecto en subjuegos, posiblemente con estrategias mixtas.
Nota 2: Nótese que es distinto hablar de resultado perfecto en subjuegos y de equilibrio de Nash
Perfecto en Subjuegos (Ver caṕıtulo 2 del Gibbons).
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Aplicación 1: Juego del Ciempiés
Imagine un juego con dos jugadores que procede aśı: Un fondo de dinero es creado cuyo monto inicial es de
$6. El jugador 1 se mueve primero, luego el jugador 2, nuevamente el jugador 1 y finalmente el jugador 2
otra vez. En cada turno cada jugador tiene dos posibles acciones, tomar (G) o compartir (S). Si el jugador
“toma”, él obtiene 23 del actual fondo de dinero, el otro jugador obtiene el tercio restante y el juego termina.
Si el jugador “comparte” entonces el tamaño del actual fondo es multiplicado por 32 y el siguiente jugador
debe mover. En la última etapa en la que el jugador 2 mueve, si él elige compartir el fondo de igual forma
es multiplicado por 32 , el jugador 2 obtiene
1
3 del fondo y el jugador 1 obtiene el
2
3 restante.
(a) Modele este juego en forma extensiva. ¿Es un juego de información perfecta o imperfecta?
Respuesta
Este es un juego de información perfecta. Notar que se dibujó el juego desde la izquierda a la derecha
(es una convención común en el juego de ciempiés). Se utiliza letra mayúscula para el jugador 1 y
minúscula para el juegador 2.
(b) Cuántos nodos terminales tiene el juego? Cuántos conjuntos de información?
Respuesta
El juego tiene 5 nodos terminales.
Un conjunto de información de un jugador es una colección de nodos de decisión que satisface:
– Al jugador le corresponde jugar en cada nodo del conjunto de información y
– Cuando en el transcurso del juego se llega a un nodo del conjunto de información, el jugador al
que le corresponde decidir no sabe a qué nodo dentro del conjunto de informacipon se ha (o no
se ha) llegado.
El juego tiene 4 conjuntos de información.
(c) Cuántas estrategias puras tiene cada jugador?
Respuesta
Cada jugador tiene 4 estrategias puras (2 acciones en cada uno de los 2 conjuntos de información).
(d) Encuentra el (los) equilibrio(s) de Nash del juego. Cuántos resultados pueden ser sostenidos en equi-
librio?
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Respuesta
Utilizando la convención xy para denotar una estrategia de determinado jugador, donde x es la elección
en el primer conjunto de información e y es la elección en el segundo, podemos dibujar la siguiente
representación matricial del juego:
Podemos ver que solo un resultado puede ser sostenible como equilibrio de Nash: El jugador 1 toma
inmediatamente y los pagos de los jugadores son (4, 2)
(e) Ahora imagina que en la última etapa donde el jugador 2 mueve, si él elige compartir el fondo se
dividirá en parte iguales entre los dos jugadores. Cambia la respuesta en la parte (d)?
Respuesta
La respuesta debiese cambiar ya que los pagos del par de estrategias (SS, ss) cambian desde (20.25, 10.125)
a (15.1875, 15.1875) en cuyo caso la mejor respuesta del jugador 2 a SS será ss, y la mejor respuesta
del jugador 1 a ss seguirá siendo SS tal que (SS, ss) será otro equilibrio de Nash, en el cual se dividirán
30.375 en partes iguales (el previo equilibrio de Nash se sigue manteniendo).
Aplicación 2: Juego del terrorista
Un terrorista toma un avión que va desde Washington a Nueva York. Cuando el avión llega a una altura
considerable, el terrorista amenaza al piloto con hacer explotar una bomba si no dirige el avión a México. En
cualquier caso, si explota la bomba la utilidad de ambos será (−1). Si el piloto vuela a México y el terrorista
no explota la bomba la utilidad es (1) para ambos. En cambio, si el piloto vuela a NY y el terrorista no
explota la bomba las utilidades son (2) y (0), respectivamente.
(a) Represente la forma extensiva de este juego e indique cuántos subjuegos hay. ¿Qué hace que este juego
tenga información perfecta?
Respuesta
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Hay 3 subjuegos: el nodo si se fue a México, el nodo si se fue a NY, y el juego completo. Este juego
tiene información perfecta porque el terrorista sabe exactamente qué hizo el Piloto al momento de jugar
(esto es, sabe en cuál nodo está ubicado).
(b) Encuentre el equilibrio perfecto en subjuegos.
Respuesta
Haciendo inducción hacia atrás: si el Piloto se va a México, el Terrorista juega NB (porque 1 > −1).
Si el Piloto vuela a NY el Terrorista juega NB (porque 0 > −1). Como el Piloto sabe esto, entonces
jugará NY, pues el resultado final(dado lo que hará el Terrorista) le es más favorable. El EPS es
[NY, (NB,NB)].
(c) Para cada jugador ¿Son todas las estrategias créıbles?
Respuesta
Analizaremos el juego en forma extensiva utilizando la metodoloǵıa de inducción hacia atrás. Si partimos
desde el final, el último en elegir será el terrorista, y sabemos que dado los pagos asociados a cada
estrategia para él nunca será óptimo jugar Bomba, independiente de lo que elija piloto, por tanto
Bomba será una estrategia no créıble.
Ahora para piloto, el pago asociado a México es inferior al caso en que elige New York, por tanto para
el piloto no será créıble la estrategia México.
(d) Identifique el conjunto de estrategias del piloto y del terrorista. ¿Cuántas acciones tiene a la mano el
terrorista? ¿Y cuántas estrategias?
Respuesta
Las estrategias que puede seguir el Piloto son MX y NY . Aunque el terrorista tiene solo 2 acciones
a la mano, en realidad enfrenta 4 posibles estrategias (ya que las estrategias en un juego dinámico son
planes de acción frente a cualquier situación posible): (B,B), (B,NB), (NB,B) y (NB,NB) donde
el primer elemento del vector indica qué hace en el nodo MX, y el segundo qué hace en el nodo NY .
(e) Represente el juego en la forma normal. Encuentre el o los equilibrios de Nash.
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Respuesta
Como ya identificamos las estrategias, podemos escribir la matriz del juego en forma normal:
Los Equilibrios de Nash son (NY, (B,NB)), (MX, (NB,B)) y (NY, (NB,NB)). Este último corre-
sponde al EPS.
(f) ¿Por qué hay equilibrios de Nash que no son perfectos en subjuegos? ¿Qué representa esto concreta-
mente en situaciones reales?
Respuesta
El EPS tiene la singularidad de que es el único donde cada jugador está haciendo lo mejor que puede en
cada nodo (en los equilibrios de Nash que no son perfectos en subjuegos, el terrorista planea explotar
la bomba en algún nodo, lo que no es su mejor opción, pues siempre estará mejor jugando NB). Lo
que esto representa es la credibilidad de las estrategias: no es créıble que el terrorista vaya a explotar
la bomba si el piloto no le obedece, por eso todas las estrategias que incluyen jugar B en algún nodo
no son EPS.
(g) Suponga ahora que el terrorista no sabe mucho de geograf́ıa, y no logra saber hacia dónde se dirige el
piloto. ¿Cómo puede representar la nueva situación como un juego? ¿Puede encontrar algún tipo de
equilibrio?
Respuesta
Como vimos en el comente (a), si en un juego secuencial el segundo jugador no sabe lo que hizo el
primero, es exactamente lo mismo que si fuera un juego simultáneo. Aśı, podemos representar el juego
en la forma normal:
Vemos que existe un equilibrio de Nash, que corresponde a (NY,NB).
Aplicación 3: Compartiendo los quehaceres del hogar (Propuesto)
Imagine una pareja en la que ambos tienen un trabajo full time, a pesar de esto no les alcanza para pagarle
a un(a) empleado(a) doméstico(a). Entonces, quién limpia? El marido es feliz limpiando si su esposa está
limpiando también (la utilidad del marido es 2). El peor resultado para él es si limpia pero su esposa está
flojeando (la utilidad del marido seŕıa -1). Finalmente, flojear mientras ella está limpiando seŕıa mejor (la
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utilidad del marido es 1) a que ambos flojeen y como consecuencia la casa esté sucia (la utilidad del marido
es 0). La mujer, sin embargo, tiene como estrategia dominante flojear (la utilidad de la esposa es 3 si flojea
mientras el marido limpia; -1 si ella limpia mientras el marido está flojeando). Ambos prefieren que ambos
limpien la casa (la utilidad es de 2) versus que ambos flojeen (la utilidad es 0).
(a) Escribe el juego en forma normal. Cuál es el resultado si ambos deciden simultáneamente?
Respuesta
El Equilibrio de Nash es (Flojear,Flojear) si ambos mueven simultáneamente
(b) Ahora asuma que es un juego secuencial. Dibuje dos juegos- uno mostrando lo que pasaŕıa si la esposa
decide primero y el marido después, y la otra mostrando el escenario inverso. Quién debeŕıa mover
primero para lograr que el juego secuencial tenga un mejor resultado frente al juego simultáneo?
Respuesta
Juego Esposa:
Juego marido:
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Interesante! Si el marido mueve primero el EPS será (Flojear,(Flojear, Flojear)), en cambio si la esposa
mueve primero el EPS será (Limpiar, (Limpiar, Flojear)). Del enunciado se sabe que ambos estarán
mejor si ambos limpian, por tanto la esposa debeŕıa tratar de mover primero para poder crear la primera
versión del juego.
(c) Explica porqué es posible mejorar la situación de ambos jugadores a través del resultado obtenido en
(b). Discuta el rol del compromiso en la respuesta.
Respuesta
Es posible mejorar la situación de ambos porque una vez que el marido ve que su esposa ha hecho un
compromiso créıble de limpiar, su mejor respuesta ex-post es limpiar también, mientras que si elige sin
poder verla limpiar la mejor respuesta de él es flojear.
Aplicación 4:Decisión de Entrada (Propuesto)
Considere una empresa que está decidiendo su momento de ingreso al mercado, dentro de un horizonte de
cinco años. Los beneficios brutos totales del negocio según el año de ingreso son:
Tiempo 1 2 3 4 5
Beneficios 80 70 65 55 45
Para entrar se debe invertir en equipamiento, cuyo costo disminuye en el tiempo debido al progreso tec-
nológico. Si entra en T = 1, la inversión es de $75, monto que disminuye en $15 cada año que retrasa su
entrada. Esta inversión se paga solo una vez.
(a) Estime en qué año entra la única firma.
Respuesta
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Tiempo 1 2 3 4 5
Beneficio 80 70 65 55 45
Inversión 75 60 45 30 15
Beneficio Neto 5 10 20 25 30
Luego como vemos la firma obtiene beneficios que son máximos cuando entra en el periodo 5.
(b) Suponga ahora que existe una firma idéntica que también desea entrar. La firma que ingresa primero
obtiene todos los beneficios que le corresponden según su año de entrada, mientras que la otra no
obtiene nada. Suponga que la decisión es un juego secuencial donde la firma A toma la decisión en
los periodos impares (1,3,5), mientras que la firma B decide en los periodos pares (2,4). Si una firma
decide entrar, se acaba el juego. ¿Cuál firma entra y en qué periodo?
Respuesta
El ENPS es {(E,E,E), (NE,NE)} con la firma A entrando en el periodo 1 y recibiendo beneficios
de 5, mientras que la firma B no entra en el periodo 2, recibiendo 0. Esto debido a que la firma A se
adelanta a la entrada de la firma B evitando el riesgo de obtener beneficios nulos.
Credibilidad y Commitment
Aplicación 1: Testigo de un crimen
Un Testigo observa que un asaltante asesina a una Persona. El criminal se da cuenta de que fue visto. Antes
de arrancar decide si eliminar o no al testigo del hecho. El testigo le promete que no contará nada. ¿Cuál
es el desenlace de la acción? Analice en base al siguiente juego:
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Respuesta
Primero, resolvemos el juego secuencial.
Vemos que la promesa por parte del testigo de no denunciar no es créıble. La imposibilidad de no poder
comprometerse créıblemente a una acción le “cuesta la vida” al testigo.
Aplicación 2: En conquista de la Isla
Dos ejércitos luchan por la captura de una isla que está unida a sus respectivos territorios por puentes.
Ambos ejércitos prefieren no pelear si el oponente decide pelear, sin embargo ambos ganan si obtienen la
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conquista de la isla sin luchar. La matriz depagos del juego es la siguiente:
• Resuelva el juego.
Respuesta
Resolviendo el juego vemos que los equilibrios de Nash seŕıan (Huir,Pelear) y (Pelear,Huir).
• Si los dos ejércitos acuden a la isla con el objeto de disuadir al contrario. La estrategia de quemar su
propio puente qué consecuencias traeŕıa para el descenlace del juego?
Respuesta
La estrategia de quemar su propio puente imposibilita la propia acción de huir. Esta acción convence
al ejército contrario que no le queda otra opción que huir.
Tenemos en este caso la Paradoja del “Commitment” (comprometerse a una estrategia): Ganar por
medio de reducir las opciones propias.
Por lo tanto, la gran lección es reducir las alternativas disponibles puede ayudar a ganar el juego
(obtener mejores resultados).
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