Algebra Modulo 1 2017

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U.N.JU. – FACULTAD DE INGENIERÍA 
Álgebra y Geometría Analítica 
Guía de Trabajos Prácticos 
 
Cartilla N° 1 
 
Números Complejos. Polinomios y Ecuaciones. Vectores en E2 y E3 
Recta en E2 y E3 
 
CARRERAS: 
 Ingenierías Industrial – Informática 
 Ingenierías Química – en Minas 
 Licenciaturas en: Sistemas, Tecnología de los Alimentos y en Cs. Geológicas 
 Tecnicaturas Universitarias en: Explotación de Minas, Procesamiento de Minerales, 
Perforación, Ciencias de la Tierra y Ciencias de la Tierra Orientada a Petróleo. 
 
 
PROFESORA A CARGO DE LA CÁTEDRA: 
Esp. Torres Bugeau de Bernal, Celia M. 
 
EQUIPO DOCENTE DE LA CÁTEDRA: 
Ing. Condorí, Patricio – Ing. Flores, Roberto – Ing. Grágeda, Adelma 
Esp. Llanos, Lydia – Lic. Medina, José Luis – Ing. Saravia, Ismael 
Esp. Tarifa, Héctor – Ing. Vargas, Nelson 
 
 
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REGLAMENTO DE CÁTEDRA 
CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR EL ALUMNO PARA REGULARIZAR LA MATERIA 
1.- ASISTENCIA 
 La asistencia a las clases teóricas no es obligatoria. 
 Los alumnos deberán cumplir con el 80 % de asistencia a las clases de Trabajos Prácticos. Se 
computará como presente a los alumnos que en el curso de la clase hayan resuelto, como mínimo, el 
60 % de la práctica correspondiente. 
 Las inasistencias serán justificadas, únicamente mediante presentación de constancia oficial 
(certificado médico del Ministerio de Bienestar Social, constancia policial, etc.). Esta deberá ser 
presentada, conjuntamente con el práctico resuelto correspondiente a la inasistencia que justifica, al 
auxiliar docente a cargo de la práctica, en la clase siguiente a la de la inasistencia. 
 Se tendrá una tolerancia de 10 minutos para el ingreso a clases. Superados éstos y hasta la media 
hora, se computará media falta. Si un alumno llegara más de 30 minutos tarde tendrá AUSENTE. 
2.- EVALUACIONES PARCIALES 
 Se realizarán tres evaluaciones parciales, referidas a los Trabajos Prácticos, las que tendrán una 
instancia de recuperación cada una. 
 Los alumnos deberán aprobar tres evaluaciones parciales. La aprobación de cada evaluación en la 
primera fecha o en la instancia de recuperación correspondiente, se obtendrá teniendo correcto como 
mínimo el 60% del Parcial. 
 Los alumnos que no hayan aprobado una y solo una de las tres evaluaciones parciales en las dos 
instancias que corresponde a cada una, podrán recuperar el parcial que adeude en una nueva y 
última fecha (flotante). 
 Los alumnos que hayan aprobado las tres evaluaciones parciales de Práctica, teniendo correcto como 
mínimo el 60% del Parcial y en cualquiera de las instancias, adquirirán la condición de REGULAR. 
3.- TRABAJOS PRÁCTICOS – CONSIDERACIONES 
 Antes de comenzar el desarrollo del Trabajo Práctico, el docente a cargo dará las orientaciones que 
correspondan y hará una breve reseña de los conceptos teóricos que se utilizarán: fórmulas, 
definiciones, propiedades, etc. El trabajo del alumno podrá ser individual o en grupo, a libro abierto si 
así lo desea, debiendo llevar una carpeta en donde resolverá los ejercicios propuestos en la guía. 
 Al finalizar cada Trabajo Práctico, el mismo podrá ser solicitado por el docente a cargo para su 
control; si no estuviera cumplimentado en un 60% se anotará AUSENTE en la clase correspondiente. 
La carpeta podrá ser requerida por el Profesor de Comisión si así lo considera necesario. 
 
 
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CONDICIONES QUE DEBE CUMPLIR EL ALUMNO PARA APROBAR LA MATERIA 
APROBACION CON EXAMEN FINAL 
El alumno que tenga la condición de REGULAR, podrá aprobar la materia rindiendo un examen teórico, a 
libro cerrado, en las fechas previstas por el calendario académico de la Facultad. Si el tribunal examinador 
lo considerase necesario, podrá pedírsele una exposición oral. Los exámenes se calificarán de 0 (cero) a 
10 (diez) puntos, considerándose aprobado aquel que reúna 4 (cuatro) o más puntos. 
APROBACION SIN EXAMEN FINAL (PROMOCIÓN). 
Para aprobar la materia Álgebra y Geometría Analítica sin examen final (promoción), el alumno deberá 
cumplir las siguientes condiciones: 
ASISTENCIA 
Bajo los términos fijados en 1. 
EVALUACIONES PARCIALES: 
 Los alumnos que aprobaran la 1ra, 2da. y 3ra. evaluación parcial de práctica con un porcentaje igual 
o superior al 70%, podrán rendir las EVALUACIONES PARCIALES DE TEORIA REFERIDAS A LOS 
TEMAS CORRESPONDIENTES. La primera se realizará después de la recuperación del primer 
parcial de práctica, la segunda y tercera se tomarán en las mismas fechas que se realicen las 
evaluaciones recuperatorias de los parciales de práctica correspondientes. 
 Los alumnos que no hayan aprobado una y solo una de las seis evaluaciones parciales (3 de teoría y 
3 de práctica) en las instancias correspondientes, podrán recuperarla en una nueva y última fecha 
(flotante). 
 Cada evaluación de teoría se dará por aprobada si el alumno desarrolla correctamente por lo 
menos el 60 % de dicha evaluación. 
 El alumno habrá aprobado la asignatura por promoción si aprueba las tres evaluaciones 
parciales de práctica y las tres de teoría. 
 La nota final del examen de promoción será el promedio de los porcentajes obtenidos en las 6 partes 
evaluadas y redondeado al entero más próximo. 
HORARIOS DE CLASES 
Clases Teóricas 
Día Turno Horario Aula A cargo de: 
Lunes 
Martes 
Tarde 
Mañana 
14
00
 a 16
30 
 
08
00
 a 10
30 
 
Anfiteatro 
Anfiteatro 
Esp. Tarifa Hector R. 
Esp. Torres Bugeau de Bernal, Célia M. 
 
Clases Prácticas 
Día Turno Horario Com. Aula A cargo de: 
Miércoles Mañana 09
30
 a 12
00
 C1 Anfiteatro Llanos, Lydia 
Jueves Mañana 07
30
 a 10
00 C7 12 Grageda, Adelma – Condorí, Patricio. 
Jueves Tarde 14
00
 a 16
30
 C2 12 Grageda, Adelma 
Jueves Tarde 14
00
 a 16
30
 C8 11 Saravia, Ismael – Vargas, Nelson 
Viernes Mañana 08
00
 a 10
30
 C3 11 Medina, J. Luis 
Viernes Mañana 08
00
 a 10
30
 C4 12 Llanos, Lydia – Flores, Roberto 
Viernes Tarde 14
00
 a 16
30
 C5 Anfiteatro Condorí, Patricio 
Viernes Tarde 14
00
 a 16
30
 C6 11 Medina, J. Luis – Vargas, Nelson 
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Clases de Consultas 
Clases Teóricas: 
Día Turno Horario Aula A cargo de: 
 
 
Clases Prácticas: 
Día Turno Horario Aula A cargo de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FECHAS DE PARCIALES 
Parcial Fecha Hora 
1
ero
 de práctica Martes 06/06 11
45
 
Recuperatorio 1
ero
 de práctica Martes 27/06 11
45
 
1
ero
 de teoría Martes 04/07 11
45
 
2
do
 de práctica Martes 29/08 11
45
 
Recuperatorio 2
do
 de práctica y 2
do
 de teoría Martes 12/09 11
45
 
3
ero
 de práctica Martes 24/10 11
45
 
Recuperatorio 3
ero
 de práctica y 3
ero
 de teoría Martes 07/11 11
45
 
Flotante 1º ó 2º ó 3º de práctica ó 1º ó 2º ó 3º de teoría Miércoles 15/11 10
45
 
NOTA: De producirse cambios en las fechas y/u horarios de los parciales, la cátedra comunicará 
oportunamente. 
 
Página Web: Se podrá consultar información de la Cátedra en: http://www.unjudigital.unju.edu.ar/ 
 
 
http://www.unjudigital.unju.edu.ar/
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FACULTAD DE INGENIERÍA 
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 
PROGRAMA CICLO LECTIVO 2017 
CARRERAS: 
Ingenierías: Industrial. Informática. Química y En Minas. Licenciaturas en: Tecnología de los alimentos, 
Ciencias Geológicas y Sistemas. Técnico Universitario en: Ciencias de la Tierra, Explotación de Minas, 
Procesamiento de Minerales, Perforación y Ciencias de la Tierra orientada a petróleo. 
UNIDAD I: NÚMEROS COMPLEJOS 
Forma cartesiana, binomial, polar y trigonométrica. Representación gráfica. Conjugado e inverso. 
Operaciones: suma, diferencia, producto por un escalar, producto, división, potenciación y radicación. 
Propiedades de las operaciones con números complejos. 
UNIDAD II: POLINOMIOS - ECUACIONES 
Divisibilidad. Máximo Común Divisor. Algoritmo de Euclides. Ecuaciones Algebraicas. Raíces Múltiples. 
Relación entre coeficientes y raíces
de una ecuación. Raíces complejas. Raíces enteras. Raíces 
Fraccionarias. 
UNIDAD III: VECTORES 
Vectores en R2 y R3. Definición. Elementos. Igualdad. Operaciones: suma y diferencia, producto por un 
escalar. Producto escalar y vectorial. Propiedades. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad. 
Producto mixto. Propiedades. Interpretación geométrica. 
UNIDAD IV: RECTA y PLANO 
Ecuación vectorial y cartesiana de la recta en el plano y en el espacio. Representación gráfica. Distancia de 
un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas. Angulo entre rectas. 
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas. Ecuación vectorial y cartesiana del plano. 
Representación gráfica. Distancia de un punto a un plano. Distancia entre planos paralelos. Angulo entre 
planos y entre recta y plano. Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre planos y entre plano y 
recta. 
UNIDAD V: MATRICES 
Definición de matrices. Operaciones. Propiedades. Matrices especiales. Matrices equivalentes. Rango de 
una matriz: determinación. Matriz inversa. Propiedades. 
UNIDAD VI: DETERMINANTES 
Definición de determinante. Propiedades. Menor complementario. Adjunto o cofactor. Cálculo de 
determinantes: Diversos métodos. Matriz Adjunta. 
UNIDAD VII: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
Distintas formas de representación de un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. 
Propiedades. Resolución y clasificación de sistemas lineales: Teorema de Rouché-Frobenius. Métodos de 
resolución de sistemas lineales: Gauss-Jordan, Cramer, de la matriz inversa. Sistemas homogéneos. 
UNIDAD VIII: ESPACIOS VECTORIALES 
Espacios Vectoriales: Definición y propiedades. Subespacio vectorial. Criterio de subespacio. Combinación 
lineal de vectores. Vectores linealmente independientes y linealmente dependientes. Sistema de 
generadores. Base de un espacio vectorial. Dimensión. Coordenadas. 
 
 
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UNIDAD IX: TRANSFORMACIONES LINEALES 
Transformaciones Lineales: Definiciones y Propiedades. Núcleo e imagen de una transformación lineal. 
Propiedades. Teorema de las dimensiones. Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales. Matriz 
asociada a una transformación lineal. Autovalores y autovectores. Polinomio característico. Diagonalización 
de matrices. 
UNIDAD X: CÓNICAS Y CUÁDRICAS 
Circunferencia: definición, ecuación y representación gráfica. Elipse, parábola e Hipérbola: definición, 
ecuación y representación gráfica, tangente y normal. 
Cuádricas: Superficie esférica, elipsoide, hiperboloides de una y dos hojas, paraboloides elíptico e 
hiperbólico. Superficies cónicas y cilíndricas. Definición, ecuación y representación gráfica. 
 
BIBLIOGRAFÍA 
1. Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen I y II. Gráfica Munro Editora. 
Argentina. 1.984. 
2. Rojo, Armando. Álgebra I y Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de 1.993. 
3. Sagastume Berra-Fernández. Álgebra y Cálculo Numérico. Editorial Kapeluz. Buenos Aires. 
Argentina. 1960. 
4. Lehman, Charles . Geometría Analítica. Editorial Limusa. 1.995. 
5. De Sunkel, María A. Geometría Analítica en forma vectorial y matricial. Editorial Nueva Librería. 
6. Di Pietro, Donato. Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Nomografia. Editorial Alsina. 
Argentina 1.999. 
7. Selzer, Samuel. Álgebra y Geometría Analítica. Editorial Nigar, S.R.L. 
8. Ovejero, Salvador. Comprender y ejercitar el Álgebra Lineal. Editorial Ediciones Técnicas 
Contemporáneas. 
9. Kindle, Joseph H. Geometría Analítica Plana y del Espacio. Editorial Mc Graw Hill. México D. F. 
Marzo 1995. 
10. Hernández, Eugenio. Álgebra y Geometría. Segunda edición. Addison-Wesley Iberoamérica. 
11. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. I. 
EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010. 
12. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. II. 
EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010. 
13. Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. III. 
EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2015. 
 
 
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TEMA: “NÚMEROS COMPLEJOS” 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: 
Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen I y II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 
1.984. 
Rojo, Armando. Álgebra I y Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de 1.993. 
Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. I. EdiUnju 
Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010. 
CUESTIONARIO DE REPASO: 
1) ¿Qué operación no es posible realizar en el conjunto de los números reales? 
2) ¿Cómo define número complejo? 
3) ¿Cuál es el inverso aditivo de un número complejo? 
4) ¿Cómo determina el elemento neutro del producto de números complejos? 
5) ¿A qué se llama conjugado de un número complejo? 
6) ¿Cómo se encuentra el cociente de dos números complejos dados como pares ordenados de 
números reales? 
7) ¿Cómo representa geométricamente un número complejo? 
8) ¿Qué entiende por complejo real y por complejo imaginario o imaginario puro? 
9) Indique una regla práctica para obtener las potencias sucesivas de la unidad imaginaria. 
10) ¿Qué entiende por módulo de un número complejo? 
11) ¿Cómo halla la raíz de un número complejo dado en forma binómica? 
12) ¿Cómo obtiene la forma polar o trigonométrica de un número complejo? 
13) ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que dos números complejos dados en forma polar 
sean iguales? 
14) ¿Cómo halla analíticamente el producto y el cociente de dos números complejos dados en forma 
polar? 
15) ¿Cómo demuestra la fórmula de Moivre, aplicando Inducción Completa? 
16) ¿Por qué las raíces n-ésimas de un número complejo son “n”? 
17) ¿Cómo se representan las raíces de un número complejo? 
 
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EJERCICIOS RESUELTOS 
Ejemplo 1: Determinar las raíces de la siguiente ecuación. Representar gráficamente. 
3 6
2
( 2 i) 64 ( 3 i) 1
i
2(1 i)
z       
   
  
 
3 6
2
( 2 i) 64 ( 3 i) 1
i
2(1 i)
z     
  

 Una de las formas de resolver (1 + i)
2
 es: 
 (1 + i)
2
 = 1 + 2i + i
2
 
 = 1 + 2i + (–1) 
 = 2i 
3 6 1( 2 ) 64 ( 3 ) 2
2
z i i i i
 
        
 
 Realizando el producto de dos complejos 
 
21 i 2 i 2 i
2
 i 2 ( 1)
 2 i
i
 
      
 
   
 
 
3 6( 2 i) 64 2 i ( 3 i)z        Para la potencia n de un complejo 
  
66
330( 3 i) 2   
 = 641980°  64180° 
 = – 64 
3 ( 2 i) 2 i ( 64) 64z        
3 2 i
 2 i
z


 
 Haciendo el cociente de complejos: 
 
 
 
 
 
  
 
     
       
    
 
2
2
2 i 2 i2 i
 2 i 2 i 2 i
 4 2 i 2 i i 4 ( 1) 5
 1
4 ( 1) 54 i
 3 1z     3
180
1z

 
 3
180
1z

   3 180 360
 0,1,2
3
1 kk
k
z  

 
0 601z  1 1801z  2 3001z  
 
La representación gráfica de las raíces obtenidas es: 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 2: Representar gráficamente el conjunto de puntos del plano que satisface la siguiente relación: 
{𝑧 ∈ 𝐶 ∧ | 𝑧 − 1 + 𝑖 | = 2 } 
Como 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 entonces el módulo será: 
|𝑎 + 𝑏𝑖 − 1 + 𝑖| = 2 agrupando términos semejantes 
| 𝑎 − 1 + (𝑏 + 1)𝑖 | = 2 por lo tanto 
√(𝑎 − 1)2 + (𝑏 + 1)2 = 2 de donde 
(𝑎 − 1)2 + (𝑏 + 1)2 = 4 
 Recordar que: 
 Una ecuación de la forma: 
 (𝑎 − ℎ)2 + (𝑏 − 𝑘)2 = 𝑟2 
 representa una circunferencia cuyo centro es 
 el punto 𝐶(ℎ, 𝑘) y de radio 𝑟. 
 Como caso particular si el centro es el origen 
 de coordenadas, la ecuación será:
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑟2 
Por lo tanto el conjunto de puntos del plano que satisfacen la ecuación dada, son todos los puntos que 
pertenecen a la circunferencia cuya ecuación es: (𝑎 − 1)2 + (𝑏 + 1)2 = 4 
Esta circunferencia tiene como centro el punto (1, 1) y la longitud de su radio es 2 [ ul ]. 
 
 
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TRABAJO PRÁCTICO N° 1 
 Números Complejos (I) 
EJERCICIOS A RESOLVER 
1. Realizar las operaciones que se indican en cada caso. 
a) 𝑖 ∙ (3 − 2𝑖) ∙ (1 + 𝑖) f) [𝑖 ∙ (−1 − 𝑖) − (2 − 5𝑖)2]−1 
b) (1 − 𝑖) ∙ (1 − 2𝑖) ∙ (1 − 2𝑖) g) 5(4 − 3𝑖)−1 + 10(4 + 3𝑖)−1 
c) [(2 − 5𝑖) − (2 − 5𝑖) ∙ (−1 − 𝑖)] h) 
𝑖+𝑖2+𝑖3+𝑖4
1+𝑖
 
d) [2 − 5𝑖 + 3(−1 − 𝑖)]2 i) 
𝑖26−𝑖
𝑖−1
 
e) [(2 − 5𝑖) + (−1 − 𝑖) − 1]2 j) (
4𝑖11−𝑖
1+2𝑖
)
2
 
2. Dados los siguientes complejos iz 421  ; iz 22  ; iz 243  ; iz 34  ; resolver 
gráficamente las siguientes operaciones. 
42z a) z 31
2
1
z2 b) z 41 2z c) z 432
2
1
z d) zz  
3. Dados los complejos: 𝑧1 = 2(cos
𝜋
4
+ 𝑖 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) ; 𝑧2 = 330° ; 𝑧3 = 1 − √3 𝑖 𝑦 𝑧4 = √3 + 𝑖 ; realizar las 
operaciones que se indican. 
a) (𝑧3 − 𝑧2) ∙ 𝑧4 b) 
𝑧1
𝑧3
 c) 𝑧1
3 ∙ 𝑧2
−2 d) 𝑧3 ∙ 𝑧2 + 𝑧4 e) 𝑧1
2 ∙ ( 2𝑧2 + 𝑧3 )
 
4. Representar gráficamente el conjunto de los puntos del plano que satisfacen las siguientes relaciones. 
1 2-z a) i 3 2-z b)  z 4zz c)  
  3 Re(z) / z d)    2 Img(z) / z e)    1 Img(z) (z) Re / z f)  
5. Dados los números complejos: z1 = 1 + i , z2 = √3 + i , z3 =
1
√2
−
1
√2
i y z4 = 1 − √3 i . Efectuar las 
operaciones que se indican. 
a) 𝑧1
12 b) 𝑧2
7 c) 𝑧3
−6 d) 𝑧4
−10 
e) 
𝑧2
4
𝑧45
 f) (
𝑧1
𝑧2
)
8
 g) 
𝑧2
7
𝑧4−10
∙
𝑧1
12
𝑧3−6
 h) 
(𝑧1−𝑧2)
6
𝑧25 + 𝑧48
 
6. Determinar y representar gráficamente las siguientes raíces en C 
7. Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones. 
a) (𝑖 − 𝑧) + (2𝑧 − 3𝑖) = −2 + 7𝑖 d) 𝑧3 = 1 + (1 + 𝑖 (1 +
𝑖
1+𝑖
)
−1
)
−1
 
b) −𝑧4 + 2𝑖 = −(1 + 𝑖)4 e) −6 +
2𝑧3
( 1+𝑖 )−4
= 0 
c) [𝑧 − (1 + 𝑖)] ∙ [𝑧 − (1 − 𝑖)] = 5[(𝑧 + 1 − 𝑖) ∙ (𝑧 + 1 + 𝑖)]−1 f) 𝑧 + 4 − 4𝑖 = −𝑖 +
2
𝑖 + 1
1+𝑖
 
 
 a) √1 − √3 𝑖
6
 b) √−𝑖 c) √−27
3
 d) √81
4
 e) √−1 + 𝑖
5
 
 f) √(1 + 3𝑖)2 ∙ (3 − 4𝑖)
3
 g) √
3−5𝑖
(1+𝑖)(2−5𝑖)
 h) √
1−𝑖
1−√3 𝑖
3
 i) √−4 + 4√3 𝑖
4
 
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TRABAJO PRÁCTICO N° 2 
Números Complejos (II) 
EJERCICIOS A RESOLVER 
1. Resolver y verificar las siguientes ecuaciones en C. 
  03 2 ) 2  ixixa
 
012 ) 24  xxc
 
0103 ) 24  xxb 
2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, donde a , b y c  C. 
a) {
𝑎𝑖 − 𝑏𝑖 = −2
2𝑎 + 𝑏 = 𝑖 
 b) {
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3 
𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 2 + 2𝑖
𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = −1
 
3. Calcular x  R para que: 
a)  2 x-1 i sea imaginario puro. 
b) se verifique la siguiente igualdad i
i
ix



2
1
 
c)    ixi 6 23  sea 
c1) un número real 
c2) un número imaginario puro 
d) se verifique la siguiente igualdad: 5
1



i
ix
 
4. a) Indicar si cada número es solución de la ecuación dada: 
a1) x
2
 + 2x + 5 = 0 ; x1 = –1 + 2i , x2 = –1 – 2i. 
a2) x
3
 +4x
2
 +9x +36 = 0 ; x1 = –4 , x2 = –3i. 
 b) Encontrar x e y, números reales, que satisfacen las siguientes ecuaciones: 
 b1) 𝑥 𝑖 + 𝑦(1 + 𝑖) = 3 − 2𝑖 
 b2) 𝑥(2 + 3𝑖) + 𝑦(1 − 4𝑖) = 7 + 5𝑖 
5. Determinar a y b  R para que: 
a) iz  1 sea solución de la ecuación 0 
35  bzaz 
b) se cumpla la siguiente igualdad: 1
 34
23



i
aib
 
c) 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 satisfaga la siguiente ecuación   092 22  zzzz 
 
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AUTOEVALUACIÓN: NÚMEROS COMPLEJOS 
1. Responder V (Verdadero) o F (Falso). NO justificar la respuesta. 
a) Si 𝑧 =
1
2
−
1
2
𝑖, entonces la forma polar reducida de z es: 
√2
2
 315° 
b) Si z = √2 + √2 𝑖, entonces 𝑧6 = – 64 𝑖. 
c) Sea z = 2 + 2 i, entonces 𝑧−1 =
1
2
+
1
2
𝑖 
d) El cociente 
16 + 5𝑖
−𝑖
 tiene como resultado 𝑧 = 5 + 16 𝑖 
2. Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta 
a) Si 𝑧3 = 27𝑖 , entonces las raíces de z son: 𝑧0 = ……… ; 𝑧1 = …….. y 𝑧2 = ……… 
b) Si 𝑧2 =
𝑧1 
 𝑧1
⁄ con 𝑧1 = 1 − 2𝑖 , entonces: 𝑅𝑒 (𝑧2) = …………… y 𝐼𝑚(𝑧2) = ………….… 
 c) Sea el complejo 𝑧 = (2 + 𝑖) ∙ (1 + 𝑥𝑖), el valor de 𝑥 ∈ 𝓡𝒆 para que Im(z) = 0 es: x =…………… 
 
3. Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir 
una N. 
a) Si 𝑧 = 4270° , entonces la forma binomial de z
3
 es: 
A) −64𝑖 B) 64𝑖 C) 64 − 64𝑖 D) −64 + 64𝑖 
 b) Dado el conjunto de los puntos del plano de los complejos: {𝑧 2 ≤ 𝑅𝑒(𝑧) ≤ 4⁄ ∧ 2 < 𝐼𝑚(𝑧) < 5}, su 
representación gráfica es: 
 
A) 
 
B) 
 
C) 
 
D) 
 
 
 
 
 
pág. 12 
 
TEMA: “POLINOMIOS - ECUACIONES POLINÓMICAS” 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: 
Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen I y II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 
1.984. 
Rojo, Armando. Álgebra I y Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de 1.993. 
CUESTIONARIO DE REPASO: 
1) ¿Cómo se define polinomio? 
2) ¿Cuál es el grado de un polinomio? Que características tiene. 
3) ¿Qué relación existe entre dividendo, divisor, cociente y resto en un cociente de polinomios? 
4) ¿A qué es igual el resto de la división de un polinomio entero en “x” por el binomio (x – a)? 
5) ¿Cómo se define el M.C.D. entre dos polinomios? 
6) ¿Qué pasos se deben seguir para calcular el máximo común divisor de dos polinomios A(x) y B (x)? 
7) ¿Cuál es el enunciado del Teorema Fundamental del álgebra? 
8) ¿Cuál es la condición necesaria y suficiente para que un número “a” sea raíz múltiple de orden “h” de 
un polinomio P(x)? 
9) ¿Cómo se puede encontrar una ecuación que tenga sólo las raíces múltiples de la ec. P(x) = 0 pero 
con un orden de multiplicidad disminuida en una unidad? 
10) Si una ec. P(x) = 0 a coeficientes reales admite una raíz compleja a + b i, ¿admite también su 
conjugada? 
11) Si una ec. P(x) = 0 a coeficientes complejos admite una raíz compleja a + b i, ¿admite también su 
conjugada? 
12) ¿Cuál es la relación entre los coeficientes y raíces de una ecuación de 4º grado? 
13) ¿Cómo se expresa una ec. P(x) = 0 de grado 5 en función de sus raíces, si todas sus raíces son 
simples? 
14) ¿Cuál es la condición necesaria pero no suficiente para que el n° entero “a” sea raíz de una ecuación 
algebraica mónica, a coeficientes reales? 
15) ¿Cuál es la condición necesaria pero no suficiente para que el número racional 
𝑝
𝑞
 (con p y q primos 
entre si y q  0) sea raíz de una ecuación algebraica a coeficientes enteros? 
 
 
pág. 13 
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
Ejemplo 1: Sean: P(x) = 2 x4 + x2 + 2 y Q(x) = x – 2 para dividir P(x) y Q(x), se puede proceder de las 
siguientes maneras: 
a) Aplicando el algoritmo de la división entre dos polinomios, para lo cual es necesario ordenar en forma 
decreciente y completar el dividendo, mientras que al divisor simplemente lo ordenamos también en forma 
decreciente. 
Aplicando el algoritmo, se tiene: 
 −2𝑥4 + 0𝑥3 + 𝑥2 + 0𝑥 + 2 |𝑥 − 2 
 +2𝑥4 − 4𝑥3 −2𝑥3 − 4𝑥2 − 7𝑥 − 14 
 −4𝑥3 + 𝑥2 
 +4𝑥3 − 8𝑥2 
 −7𝑥2 + 0𝑥 
 +7𝑥2 − 14𝑥 
 −14𝑥 + 2 
 +14𝑥 − 28 
 −26 
Como el resto es de un grado menor (grado 0) que el divisor (grado 1) finaliza el algoritmo; obteniéndose 
como cociente 𝐶(𝑥) = −2𝑥3 − 4𝑥2 − 7𝑥 − 14 y como resto 𝑅(𝑥) = −26 
b) Aplicando la regla de Ruffini, para
lo cual previamente se realiza, con el dividendo y el divisor, 
exactamente la misma tarea que en caso anterior. 
Usando la disposición práctica de la regla, se tiene: 
 
2 
– 2 0 1 0 2 
 – 4 – 8 –14 – 28 
 – 2 – 4 – 7 –14 -26 
Con los coeficientes encontrados formamos los polinomios cociente y resto: 
 𝐶(𝑥) = −2𝑥3 − 4𝑥2 − 7𝑥 − 14 y 𝑅(𝑥) = −26 
 
 Recordar que: 
 En una división de dos polinomios se puede aplicar la regla de 
Ruffini cuando el divisor es de la forma (x + a ) con a  R. 
 Si se puede aplicar la regla de Ruffini, también se puede obtener 
directamente el resto de la división aplicando el Teorema del Resto. 
Para el ejemplo presentado se tiene: 
 𝑅(2) = −2. 24 + 22 + 2 = −26 
Ejemplo 2: Dada la ecuación x
3
 – 3 x
2
 + 4 = 0, encontrar las raíces sabiendo que tiene una raíz doble. 
Para encontrar las raíces de esta ecuación se puede proceder de las siguientes maneras: 
pág. 14 
 
a) Aplicando derivadas. 
“Si el número  es una raíz de orden h del polinomio P(x),  es una raíz de orden (h – 1) de la derivada de 
P(x)”. 
El polinomio dado tiene una raíz doble (h = 2), esta raíz también será raíz de la ecuación asociada al 
polinomio P’(x) que se obtiene de derivar el polinomio P(x) = x
3
 – 3 x
2
 + 4. 
Derivando el polinomio P(x), se obtiene: P’(x) = 3 x
2
 – 6 x + 0. 
La ecuación asociada a este último polinomio es: 3 x
2
 – 6 x = 0 
Factorizando esta última ecuación, se tiene: 
3x.(x – 2) = 0, las raíces de esta ecuación cuadrática son: x = 0  x = 2. 
La primera raíz, x = 0, no es solución de la ecuación original, x
3
 – 3 x
2
 + 4 = 0, ya que: 
0
3
 – 3.0
2
 + 4  0 
 4  0 
La segunda raíz, x = 2, si es raíz de la ecuación original ya que: 
2
3
 – 3 . 2
2
 + 4 = 0 
8 – 12 + 4 = 0 
 0 = 0 
Para comprobar que x = 2 es raíz de multiplicidad dos utilizamos la regla de Ruffini: 
 
2 
1 – 3 0 4 
 2 – 2 – 4 
 
2 
1 – 1 – 2 0 
 2 2 
 1 1 0 
Por lo tanto x = 2 es raíz doble de la ecuación original. Además, luego de todo esto solo queda por resolver 
la ecuación: x + 1 = 0, (ecuación asociada al polinomio cociente de la ultima división realizada) cuya 
solución es x = – 1. 
Finalmente las raíces de la ecuación x
3
 – 3 x
2
 + 4 = 0, son: x1 = x2 = 2 (raíz doble)  x3 = – 1. 
 
Recordar que: 
 La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la 
suma algebraica de sus derivadas: 
 f (x) = g(x) ± h(x)  f ’(x) = g’(x) ± h’(x) 
 La derivada de una potencia es igual al producto del exponente 
por la base elevada a un exponente disminuido en una unidad: f(x) = 
x 
n
  f ’(x) = n . x 
n−1
 
 La derivada de una constante es cero: f (x) = k  f ’(x) = 0 
b) Aplicando M.C.D. 
Por tener al menos una raíz de multiplicidad mayor que uno, el polinomio P(x) = x
3
–3x
2
+ 4 y su derivada 
P’(x) = 3 x
2
 – 6 x deben tener al menos un polinomio no nulo y de orden uno, como divisor común. 
pág. 15 
 
El M.C.D. (P(x), P’(x)) tiene las misma raíces múltiples que la ecuación asociada a P(x) pero con la 
multiplicidad disminuida en una unidad. 
Aplicamos el algoritmo de Euclides para encontrar el M.C.D. entre P(x) y P’(x). 
 x – 1 x 
x
3
 – 3x
2 
 + 4 x
2
 – 2x (x – 2) 
– x
3
 + 2x
2
 . 
– x
2
 + 0x + 4 
x
2
 – 2x . 
–2x + 4 
R1 (x): –2x + 4 = –2 (x – 2) 
– x
2
 + 2x 
R2(x) = 0 . 
 
M.C.D.: (P(x) , P’(x)) = x – 2. 
Si x – 2 = 0,  x = 2. Por lo tanto P(x) = 0 tiene como raíz doble x = 2. 
Aplicando la regla de Ruffini dos veces, como se hizo en el ítem anterior, se obtiene de nuevo la tercera raíz 
simple x = – 1. 
c) Aplicando las relaciones entre coeficientes y raíces. 
x
3
 – 3x
2
 + 4 = 0  a0 = 1, a1 = –3, a2 = 0, a3 = 4. Además como la ecuación tiene una raíz doble: x1 
= x2. 
Relaciones entre coeficientes y raíces: 
)()1( 321
1
0
1 xxx
a
a
  )2()1(3 31 xx   32 31  xx 
)()1( 323121
2
0
2 xxxxxx
a
a
  0 2 )()1(0 31
2
13131
2
1
2  xxxxxxxx
 
)()1( 321
3
0
3 xxx
a
a
  4 )()1(4 3
2
1311
3  xxxxx 
Por lo tanto se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones: {
2𝑥1 + 𝑥3 = 3 [𝑎]
𝑥1
2 + 2𝑥1𝑥3 = 0 [𝑏] 
𝑥1
2𝑥3 = 4 [𝑐]
 
De [a] despejamos x3:  𝑥3 = 3 − 2𝑥1 reemplazamos esto; en [b]. 
𝑥1
2 + 2𝑥1. (3 − 2𝑥1) = 0 
𝑥1
2 + 6𝑥1 − 4𝑥1
2 = 0 
−3𝑥1
2 + 6𝑥1 = 0 
−3𝑥1(𝑥1 − 2) = 0 
𝑆𝑖 − 3𝑥1 = 0 ⇒ 𝑥1 = 0 ⋀ 𝑥3 = 3 
𝑆𝑖 𝑥1 − 2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 2 ⋀ 𝑥3 = −1 
Verificamos si 𝑥1 = 0 ⋀ 𝑥3 = 3 satisfacen [c] 
0
2
 . 3  4. Por lo tanto se descartan esas soluciones. 
Verificamos si 𝑥1 = 2 ⋀ 𝑥3 = −1 satisfacen [c] 
2
2
 . (1) = 4  4 = 4 
Por lo tanto las raíces buscadas son 𝑥1 = 𝑥2 = 2 ⋀ 𝑥3 = −1 
pág. 16 
 
d) Finalmente podemos observar que la ecuación x
3
 – 3 x
2
 + 4 = 0 es mónica y de coeficiente reales. 
“La condición necesaria pero no suficiente para que un número Z “a” sea raíz de una ecuación es que sea 
divisor del término independiente”. 
Los divisores del término independiente son: 1, 2, 4. 
Haciendo uso de la regla de Ruffini tenemos: 
 
1 
1 –3 0 4 
 1 –2 –2 
 1 – 2 –2 2 
Como el resto R(x) = 2 es distinto de cero, 1 no es raíz de la ecuación dada. 
 
–1 
1 –3 0 4 
 –1 4 –4 
 1 – 4 4 0 
Como el resto R(x) = 0, –1 es raíz de la ecuación dada. 
El polinomio cociente es C(x) = x
2
 – 4x + 4 cuya ecuación asociada es x
2
 – 4x + 4 = 0. Se puede escribir 
esta última ecuación como (x – 2)
2
 =0, en consecuencia x = 2 es raíz doble. 
FINALMENTE LAS RAÍCES DE X
3
 – 3 X
2
 + 4 = 0 SON 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝟐 ⋀ 𝒙𝟑 = −𝟏 . 
 
pág. 17 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 3 
Polinomios – Ecuaciones (I) 
EJERCICIOS A RESOLVER 
1. Calcular el MCD entre los siguientes pares polinomios. Identificar aquellos pares de polinomios primos 
entre sí. 
a) 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 − 3𝑥2 − 3𝑥 + 3 y 𝑄(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 1 
b) 𝑅(𝑥) = 𝑥5 − 32 y 𝑆(𝑥) = 𝑥3 − 8 
c) 𝑀(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2 y 𝑁(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 + 7𝑥 + 3 
d) 𝐺(𝑥) = 𝑥4 + 4𝑥3 − 16𝑥 − 16 y 𝐻(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 
e) 𝐽(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 + 4 y 𝐾(𝑥) = 𝑥 − 3 
2. Dadas las ecuaciones: 
a) x
4
 –2x
3
 + 2x –1 = 0 
b) x
4
 + 2x
3
 – 3x
2
 – 4x + 4 = 0 
c) x
4
 – x
3
 – 3x
2
 +5x – 2 = 0 
i) Investigar las raíces múltiples. ii) Determinar todas las raíces de la ecuación. 
3. Utilizando el concepto de relación entre coeficientes y raíces, reconstruir la ecuación que tiene por 
raíces: 
a) –1 , –2 y 2 raíz doble. 
b) –3 , 3 , 2i y –2i. 
c) 
1
2
 y –3, ambas raíces dobles. 
d) (2 – 2i) , (2 + 2i) y 2. 
4. Utilizando el concepto de relación entre coeficiente y raíces hallar las raíces de: 
a) x
3
 –3x
2
 –4x + 12 = 0 sabiendo que la suma de dos de sus raíces es cero. 
b) 8x
3
 –14x
2
 + 7x –1 = 0 sabiendo que están en progresión geométrica. 
c) x
4
 –2x
3
 –3x
2
 +8x – 4 = 0 sabiendo que x1 = x2 y x3 = –x4 
5. Dadas las siguientes ecuaciones, aplicar la condición necesaria pero no suficiente para que un número 
entero “a” sea raíz de una ecuación f(x) = 0 para determinar las raíces enteras de la ecuación dada. 
Determinar todas las raíces de cada ecuación. 
a) 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥2 − 13𝑥 − 6. 
b) 𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 13𝑥2 + 56𝑥 − 80. 
c) 𝑅(𝑥) = 3𝑥5 + 19𝑥4 + 45𝑥3 + 49𝑥2 + 24𝑥 + 4 
6. Resolver las siguientes ecuaciones, sabiendo que tienen al menos una raíz racional.
a) 6𝑥4 – 11𝑥3 – 𝑥2 – 4 = 0 . 
b) 2𝑥3 + 3𝑥2 + 6𝑥 – 4 = 0 . 
c) 6𝑥4 – 7𝑥3 + 8𝑥2 – 7𝑥 + 2 = 0 . 
7. Determinar las raíces de las siguientes ecuaciones aplicando el método de las derivadas. 
a) 3𝑥3 − 13𝑥2 + 16𝑥 − 4 = 0 b) 𝑥4 − 18𝑥2 + 81 = 0 
c) 𝑥4 + 5𝑥3 + 9𝑥2 + 7𝑥 + 2 = 0 d) 𝑥5 + 15𝑥4 + 50𝑥3 − 250𝑥2 − 1875𝑥 − 3125 = 0 
 
pág. 18 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 4 
Polinomios – Ecuaciones (II) 
EJERCICIOS A RESOLVER 
1. Escribir la ecuación mónica desarrollada con coeficientes reales de menor grado que admita como 
raíces a: 
a) 2, √3 , −√3 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 
b) 2 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒, (1 − i)𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙e, −1 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 
c) 1 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒, −𝑖 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒, 3 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 
d) −2, 
1
3
 , −2 +
1
2
𝑖 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 
2. Dados los números 0, 2 y – i; escribir la ecuación mónica desarrollada que admita como raíces a los 
números dados, tal que: 
a) sea de menor grado posible 
b) con coeficientes reales de grado 5. 
c) de grado 4. 
d) con coeficientes reales de grado 4. 
3. Plantear y resolver los siguientes problemas 
a) Dada la ecuación 𝑥3 + 𝑎𝑥2 – 𝑥 + 𝑏 = 0 
a1) Determinar los números reales a y b para que 2 y –1 sean raíces de la ecuación. 
a2) Calcular la otra raíz. 
b) Hallar “a” en la ecuación 2𝑥3 – 𝑥2 – 7𝑥 + 𝑎 = 0 de tal modo que la suma de dos de sus raíces sea 
1. 
c) Calcular “k” para que la ecuación 𝑥3 – 8𝑥2 + 19𝑥 – 𝑘 = 0 tenga la siguiente relación entre sus 
raíces x3 = x1 + x2. 
4. Resolver las siguientes ecuaciones 
a) 𝑥4 − 25𝑥2 + 144 = 0 
b) 4𝑥4 + 4𝑥3 − 3𝑥2 − 4𝑥 − 1 = 0, sabiendo que dos de sus raíces son iguales y las otras dos son 
opuestas. 
c) 𝑥4 + 6𝑥3 + 13𝑥2 + 24𝑥 + 36 = 0 
d) 𝑥5 − 6𝑥4 + 12𝑥3 − 8𝑥2 = 0, sabiendo que al menos tiene una raíz múltiple. 
e) 4𝑥5 − 4𝑥4 + 101𝑥3 − 100𝑥2 + 25𝑥 = 0, admite a –5i como raíz. 
f) 𝑥8 − 𝑥7 − 11𝑥6 + 13𝑥5 + 38𝑥4 − 56𝑥3 − 32𝑥2 + 80𝑥 − 32 = 0, sabiendo que todas sus raíces son 
múltiples. 
 
pág. 19 
 
AUTOEVALUACIÓN: POLINOMIOS – ECUACIONES 
1. Responder V (verdadero) o F (falso), según corresponda. NO justificar la respuesta. 
a) Dados 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 7𝑥2 + 8𝑥 − 16, su derivada 𝑃’(𝑥) = 3𝑥2 + 14𝑥 + 8 y 𝑀𝐶𝐷[𝑃(𝑥), 𝑃’(𝑥)] =
 𝑥 + 4, entonces x = –4 es raíz doble de 𝑃(𝑥) = 0 
 
b) Si la ecuación asociada al polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥4 – 5𝑥2 + 4 solo admite raíces simples, 
entonces P(x) no es divisible por (𝑥 – 1)
2
. 
 
c) Si las raíces de la ecuación 3𝑥3 + 𝑎1𝑥
2 + 9𝑥 − 𝑎3 = 0 son 𝑥1 = 𝑥2 = −3 𝑦 𝑥3 = 1, esto implica 
que 𝑎1 = 9. 
 
d) La ecuación 𝑥3 − 2𝑥 + 4 = 0 admite como raíces a: 𝑥1 = 𝑥2 = 2 𝑦 𝑥3 = 1 − 𝑖. 
2. Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta 
a) Dados 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 − 9 y 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 3, entonces el 𝑀𝐶𝐷[𝑃, 𝑄] =…………………........ 
b) La ecuación mónica desarrollada de menor grado que admite como raíces a 1, 2 y 1– i, 
es:……………… 
c) Sea la ecuación 3𝑥3 − 𝑥2 + 27𝑥 − 9 = 0, sabiendo que 𝑥1 = 3𝑖 es una de sus raíces y que 
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 =
1
3
, entonces sus otras dos raíces son: 𝑥2 =………………. y 𝑥3 =………………. 
3. Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir 
una N. 
a) La ecuación 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0, tiene por raíces: 
A) 𝑥1 = 3 , 𝑥2 = −3 𝑦 𝑥3 = 1 − 𝑖 B) 𝑥1 = 3 , 𝑥2 = 𝑖 𝑦 𝑥3 = −𝑖 
C) 𝑥1 = 𝑖 𝑦 𝑥2 = −𝑖 D) 𝑥1 = 0 , 𝑥2 = 𝑖 𝑦 𝑥3 = −𝑖 
b) Si la ecuación 4𝑥3 + 𝑎1𝑥
2 − 𝑥 + 𝑎3 = 0 tiene por raíces: 𝑥1 =
1
2
 , 𝑥2 = −
1
2
 𝑦 𝑥3 = 3, entonces los 
valores coeficientes 𝑎1 𝑦 𝑎3 son: 
 
 
 
A) 𝑎1 = 3 , 𝑎3 = −3 B) 𝑎1 = 12 , 𝑎3 = 0 
C) 𝑎1 = 12 , 𝑎3 = −3 D) 𝑎1 = −3 , 𝑎3 = 12 
 
 
pág. 20 
 
TEMA: “VECTORES” 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: 
Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen I y II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 
1.984. 
Rojo, Armando. Álgebra I y Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de 1.993. 
Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. I. EdiUnju 
Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2010. 
CUESTIONARIO DE REPASO 
1) ¿Qué diferencias hay entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales? 
2) ¿Qué elementos definen un vector? 
3) Dibuje tres vectores y realice geométricamente su suma 
4) ¿Cuándo se dice que dos vectores son iguales? 
5) ¿Cómo se define proyección de un vector sobre otro? 
6) ¿A qué es igual el módulo de un vector u

 = ( u1 , u2 , u3 )? 
7) ¿Qué entiende por ángulos directores y cosenos directores de un vector? 
8) ¿Cómo define producto de un vector por un escalar “  “? 
9) ¿Cómo se define Producto Escalar?. 
10) ¿ Cómo se define Producto Escalar en función de sus componentes?. Demostrarlo 
11) ¿Cómo se expresan las Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad entre dos vectores?. 
Demostrarlas 
12) ¿Cómo se define Producto vectorial?. 
13) ¿Cuál es el significado geométrico de su módulo?. Demostrarlo. 
14) ¿Cómo se expresa el P. Vectorial en función de sus componentes?. Demostrarlo. 
15) ¿Qué se entiende por producto Mixto de tres vectores ?. 
16) ¿Cuál es la condición para que tres vectores sean coplanares? 
 
 
 
pág. 21 
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
Ejemplo 1: Dados los siguientes puntos A(1, 1), B(2, 4), C(6, 4) y D(5, 1) 
a) Comprobar que son los vértices de un paralelogramo. 
Determinamos los vectores 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ Realizaremos a modo de ejemplo solamente el primer 
caso, ya que los demás se obtienen en forma similar. 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, 4) − (1, 1) = (1, 3) 
Graficamos los vectores obtenidos: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 3), 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 3), 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (4, 0) 𝑦 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (4, 0) 
 
Se puede observar que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∕∕ 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ lo que se comprueba ya que sus componentes homologas son 
proporcionales: 
1
1
=
3
3
= 1 
También se puede observar que 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∕∕ 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ Otra forma de comprobar que dos vectores son paralelos es 
calculando el ángulo ( ) que forman los mismos. 
𝑐𝑜𝑠 𝜑 =
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗∙𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
| 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ |.| 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
 Cálculos auxiliares 
𝑐𝑜𝑠 𝜑 =
(4,0)∙(4,0)
| (4,0) |.| (4,0) |
 (4, 0) ∙ (4,0) = 4 .4 + 0 .0 = 16 
𝑐𝑜𝑠 𝜑 =
16
16
= 1 | (4, 0) | = √42 + 02 = 4 
𝜑 = 0º 
Por lo tanto los vectores son paralelos. 
Como los vectores formados por los puntos dados son dos pares de vectores paralelos, la figura que forman 
es un paralelogramo. 
b) Calcular el perímetro del paralelogramo que tiene por vértices los puntos dados. 
Para determinar el perímetro del paralelogramo calculamos los módulos de los vectores que determinamos 
en el inciso anterior: 
 | 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ | = √12 + 32 = √10 | 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ | = √42 + 02 = 4 
 | 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ | = √12 + 32 = √10 | 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | = √42 + 02 = 4 
Por lo tanto el perímetro pedido es: 8 + 2√10 [𝑢𝑙] 
c) Calcular los ángulos interiores del paralelogramo que tiene por vértices los puntos dados. 
Para el ángulo en el vértice A. 
𝑐𝑜𝑠 �̂� =
𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗∙𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
| 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |.| 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
 
𝑐𝑜𝑠 �̂� =
(1,3)∙(4,0)
| (1,3) |.| (4,0) |
 
pág. 22 
 
𝑐𝑜𝑠 �̂� =
4
√10.4
 
�̂� ≅ 71° 33´ 54" 
 
Para el ángulo en el vértice B. 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1,−3) 𝑦 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (4, 0) 
𝑐𝑜𝑠 �̂� =
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗∙𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗
| 𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |.| 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ |
 
𝑐𝑜𝑠 �̂� =
(−1, −3)∙(4,0)
| (−1, −3) |.| (4,0) |
 
𝑐𝑜𝑠 �̂� =
−4
√10.4
 
�̂� ≅ 108° 26´ 06" 
Por propiedad de los paralelogramos, sabemos que �̂� = �̂� 𝑦 �̂� = �̂� Por lo tanto la amplitud de los ángulos 
es: 
�̂� = �̂� = 71° 33′54" 
�̂� = �̂� = 108° 26′06" 
d) Calcular el área del paralelogramo que tiene por vértices los puntos dados. 
Para calcular
el área del paralelogramo necesitamos la longitud de la base ( 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ) y de la altura ( h ). 
Solamente para evidenciar la aplicación de vectores calcularemos estas longitudes aplicando los mismos, 
ya que existe otra forma más sencilla de determinar estas longitudes (¿cuál es?). 
Área del paralelogramo: base ( 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ) x altura ( h ) 
La longitud de la base es el módulo del vector (𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ o sea, 4 [ul]. 
Para calcular la longitud del segmento h usamos la fórmula del seno de un ángulo. 
𝑠𝑒𝑛 �̂� =
ℎ
| 𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ |
 
ℎ = 𝑠𝑒𝑛 �̂�. | 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ | 
ℎ = 3 [𝑢𝑙] 
Por lo tanto el área pedida es: 
𝐴𝑃 = | 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ | . ℎ 
𝐴𝑃 = 4 .3 
𝐴𝑃 = 12 [𝑢𝑙]
2 
Ejemplo 2: Dados los siguientes vectores en R
3
: �⃗� = (2, 1, 2) 𝑦 𝑣 = (1, 4, 3) 
a) Representarlos en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. 
 
1
1
1 x
y
u
v
pág. 23 
 
b) Determinar si los vectores dados, son perpendiculares. 
�⃗� ⊥ 𝑣 ↔ �⃗� ∙ 𝑣 = 0 
(2, 1, 2) ∙ (1, 4, 3) = 0 
2 .1 + 1 .4 + 2 .3 = 0 
2 + 4 + 6 ≠ 0 
En consecuencia los vectores no son perpendiculares. 
c) Determinar un vector �⃗⃗� unitario y perpendicular a los vectores dados. 
Para determinar un vector perpendicular a �⃗� 𝑦 𝑣 calculamos el producto vectorial de los mismos. 
�⃗� × 𝑣 = |
𝑖 𝑗 𝑘
2 1 2
1 4 3
| 
�⃗� × 𝑣 = 3𝑖 + 2𝑗 + 8𝑘 − 8𝑖 − 6𝑗 − 𝑘 
�⃗� × 𝑣 = −5𝑖 − 4𝑗 + 7𝑘 = (−5,−4, 7) 
Para que el vector obtenido sea unitario hacemos: 
�⃗⃗� =
1
| �⃗⃗� ×�⃗� |
∙ (�⃗� × 𝑣 ) 
�⃗⃗� =
1
3√10
∙ (−5, −4, 7) 
�⃗⃗� = (−
5
3√10
, −
4
3√10
,
7
3√10
) 
d) Determinar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores �⃗� 𝑦 𝑣 
El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial de los vectores dados. 
𝐴𝑃 = | �⃗� × 𝑣 | 
𝐴𝑃 = 3√10 [𝑢𝑙]
2 
e) Determinar el área del triángulo determinado por �⃗� 𝑦 𝑣 
El corolario de la propiedad anterior establece que el área del triángulo determinado por dos vectores es la 
mitad del área del paralelogramo que tiene por lados dichos vectores. 
𝐴𝑇 =
1
2
∙ | �⃗� × 𝑣 | 
𝐴𝑇 =
3√10
2
 ∙ [𝑢𝑙]2 
f) Determinar el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores �⃗� , 𝑣 𝑦 �⃗⃗� 
El volumen del paralelepípedo cuyas aristas son tres vectores llevados a un origen en común, es la 
interpretación geométrica valor absoluto del producto mixto de dichos vectores. 
𝑉𝑃 = |( �⃗� × 𝑣 ) ∙ �⃗⃗� | Cálculos auxiliares. 
𝑉𝑃 = | |
2 1 2
1 4 3
−5 −4 7
| | |
2 1 2
1 4 3
−5 −4 7
| = 56 − 15 − 8 − (−40 − 24 + 7) 
𝑉𝑃 = 90 [𝑢𝑙]
3 |
2 1 2
1 4 3
−5 −4 7
| = 90 
 
 
pág. 24 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 5 
Vectores (I) 
EJERCICIOS A RESOLVER: 
1. i) Dado los puntos Po(2, –3); P1 (–2, –5), P2(–1 ,1) en R
2
 ; P3(–2 , 3 ,5) ; P4(5, –2 , –3) y P5(0, 1 ,1) en R
3
; 
encontrar los siguientes vectores y representarlos gráficamente. 
a) 𝑃0𝑃1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ; 𝑃2𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ; 𝑃0𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ b) 𝑃3𝑃4⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ; 𝑃4𝑃3⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ; 𝑃5𝑃4⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
ii) Encontrar el origen o el extremo según corresponda: 
a) �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ; con A(2, –3, 1), tal que �⃗� sea equipolente a (5, 7, –2) 
b) 𝑣 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ; con A(–1, –2, 5), tal que 𝑣 sea equipolente a (2, –3 , –5) 
c) �⃗⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ; con B(–2, 0, –2), tal que �⃗⃗� sea equipolente a (–5, 2, –3) 
d) 𝑥 = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ; con B(3, 2, –2), tal que 𝑥 sea equipolente a (–2, 3, 0) 
2. Determinar gráfica y analíticamente: �⃗� + 𝑣 , �⃗� − 𝑣 , 3�⃗� − 2𝑣 siendo: 
a) �⃗� = (−1, 3) 𝑦 𝑣 = (2, 4) c) �⃗� = (3, 2) 𝑦 𝑣 = (−2, 0) 
b) �⃗� = (−4, − 3) 𝑦 𝑣 = (5, 2) 
3. i) Sean �⃗� = 2𝑖 − 3𝑗 ; 𝑣 = −5𝑖 − 5𝑗 𝑦 �⃗⃗� = 𝑖 + 𝑗 ; calcular: 
a) �⃗� ∙ (7𝑣 + �⃗⃗� ) c) |�⃗� | (𝑣 ∙ �⃗⃗� ) e) |2�⃗� − 𝑣 |. (�⃗⃗� ∙ �⃗� ) 
b) −2(𝑣 − 8�⃗⃗� ) d) ( |�⃗� |. 𝑣 ) ∙ �⃗⃗� f) (�⃗� + 𝑤⃗⃗⃗⃗ ) ∙ �⃗⃗� 
ii) Sean �⃗� = (5, −1, 3) ; 𝑣 = (0, 8, −2) 𝑦 �⃗⃗� = (3, −2, 1) ; calcular: 
a) −3(v⃗ − 8w⃗⃗⃗ ) d) |u⃗ + v⃗ | (u⃗ ∙ w⃗⃗⃗ ) g) �⃗� ∙ ( 𝑣⃗⃗⃗ + �⃗⃗� ) 
b) 5(v⃗ + 4u⃗ ) e) |u⃗ | + |v⃗ | h) (�⃗� − 𝑣⃗⃗⃗ ) ∙ �⃗⃗� 
c) (2u⃗ − 7w⃗⃗⃗ ) + (8v⃗ + u⃗ ) f) (�⃗� ∙ 𝑣⃗⃗⃗ ). �⃗⃗� 
4. Sean �⃗� = (−4, 3) ; 𝑣 = (2, −5) 𝑦 �⃗⃗� = (𝑤1, 𝑤2) determinar 𝑤1 𝑦 𝑤2 tales que: 
a) �⃗⃗� =
5
2
. 𝑣 b) �⃗⃗� = 2. �⃗� + 3. 𝑣 c) �⃗� + �⃗⃗� = 2. �⃗� − 𝑣 
5. Sean �⃗� = (−2,−1, 3) ; 𝑣 = (4, 0, −2) 𝑦 �⃗⃗� = (4, 1, −6) 
a) Determinar los números reales ,  y  para que se cumpla: 𝛼 ∙ �⃗� + 𝜆 ∙ �⃗⃗� +
1
2
𝛽 ∙ 𝑣 = (4, 0, 2) 
b) Encontrar las componentes del vector 𝑦 ⃗⃗⃗ que satisface a: 𝑦⃗⃗⃗ + 3�⃗� − 2𝑣 = 5𝑦 ⃗⃗⃗ + 2�⃗⃗� 
c) Determinar el vector x ⃗⃗ para que se cumpla la siguiente relación: 2𝑥 ⃗⃗⃗ + �⃗� − �⃗⃗� = 4𝑥 ⃗⃗⃗ + 2𝑣 
d) Hallar, si es posible, x , y , z tales que: (1, 2 ,3) = 𝑥(2, 4 , 3) + 𝑦 (1, 2, −3) + 𝑧(0, 0, 3) 
6. Sean �⃗� = (2, −2, 3) ; 𝑣 = (1, −3, 4) 𝑦 �⃗⃗� = (3, 6, −4) Calcular en cada inciso la expresión dada. 
a) | 𝑢⃗⃗⃗ + 𝑣 | c) |−2. �⃗� | + 2. | �⃗� | e) 
1
| �⃗⃗� |
∙ �⃗⃗� 
b) | 𝑢⃗⃗⃗ | + | 𝑣 | d) | 3. �⃗� − 5. 𝑣 + �⃗⃗� | f) |
1
| �⃗⃗� |
∙ �⃗⃗� | 
7. a) Calcular el ángulo entre los siguientes pares de vectores: en el plano (2, 4) con (–1, –2) y en el 
espacio (2, 1, ,1) con (1, –1, 2). 
b) Sean �⃗� = 𝛼 𝑖 + 𝑗 ; 𝑣 = 4𝑖 − 3𝑗 Determinar  tal que: 
i) �⃗� 𝑦 𝑣 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 
ii) �⃗� 𝑦 𝑣 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 
pág. 25 
 
 c) Dado �⃗� = (𝑏1 , 𝑏2 , 0), determinar los valores de 𝑏1 𝑦 𝑏2 tal que: 
i) 𝑎 = (1, 0, 1) ; 𝜑(�⃗� ,�⃗� ) = 45° 𝑦 |�⃗�
 | = 2 ii) 𝑎 = (−1, 0, 0) ; 𝜑(�⃗� ,�⃗� ) =
𝜋
3
 𝑦 |�⃗� | = 1 
8. Dados �⃗� = (2, −2, 3) ; 𝑣 ⃗⃗⃗ = (3, −3, 2) 𝑦 �⃗⃗� = (𝛼, −10, 𝛽); determinar, si es posible, 𝛼 𝑦 𝛽 para 
que �⃗⃗� : 
a) sea paralelo a: 𝑣 ⃗⃗⃗ + �⃗� . c) sea perpendicular a (𝑣 ⃗⃗⃗ − �⃗� ) y |�⃗⃗� | = 10 ∙ √6 
b) sea paralelo a: 𝑣 ⃗⃗⃗ − �⃗� . d) sea perpendicular tanto a 𝑣 ⃗⃗⃗ como a 𝑢 ⃗⃗ ⃗ 
9. Sean �⃗� = (3, 2, −1) ; 𝑣 = (0, 2, − 3) 𝑦 �⃗⃗� = (2, 6, 7) Calcular: 
a) �⃗� × (𝑣 − 2. �⃗⃗� ) c) �⃗� × (𝑣 × �⃗⃗� ) 
b) (�⃗� × 𝑣 ) − 2. �⃗⃗� d) (�⃗� × 𝑣 ) × �⃗⃗� 
 
pág. 26 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 6 
Vectores (II) 
EJERCICIOS A RESOLVER: 
1. a) Sea el paralelogramo formado por los vectores �⃗� = (1, −1) 𝑦 𝑣 = (2, 1): 
i) Graficar los vectores y el paralelogramo formado por los mismos 
ii) Hallar, gráficamente y analíticamente, los vectores diagonales. 
iii) Calcular las longitudes de las diagonales y el perímetro del paralelogramo. 
b) Dados dos vectores, 𝐴 𝑦 �⃗� , sabiendo que forman un ángulo de 60°, que |𝐴 + �⃗� | = 9 y que el 
paralelogramo que ellos determinan es un rombo, calcular el módulo de 𝐴 𝑦 𝑑𝑒 �⃗� . 
c) Encontrar, de ser posible, el área del paralelogramo y del triángulo determinado por los vectores: 
 i) �⃗� = (1, −1, 2) 𝑦 𝑣 = (3, 0 , −4) 
 ii) �⃗� = 3𝑖 − 𝑗 𝑦 𝑣 = 𝑖 + 4𝑗 − 2𝑘 
 iii) �⃗� = (1, −2,−3) 𝑦 𝑣 = (−3, 6, 9) 
2. Sabiendo que �⃗� ∙ (𝑣 × �⃗⃗� ) = 3, determinar: 
a) �⃗� ∙ (�⃗⃗� × 𝑣 ) = d) 𝑣 ∙ (�⃗� × �⃗⃗� ) = 
b) (𝑣 × �⃗⃗� ) ∙ �⃗� = e) (�⃗� × �⃗⃗� ) ∙ 𝑣 = 
c) �⃗⃗� ∙ (�⃗� × 𝑣 ) = f) 𝑣 ∙ (�⃗⃗� × �⃗⃗� ) = 
3. a) Determinar si �⃗� , 𝑣 𝑦 �⃗⃗� son coplanares: 
i) �⃗� = (1, 3 , −2) , 𝑣 = (6, 3, 3) 𝑦 �⃗⃗� = (4, −3 , 7) 
ii) �⃗� = (1, 0 , 1) , 𝑣 = (2, −1,−2) 𝑦 �⃗⃗� = (1, −3, 2) 
b) Dado los vectores �⃗� = (1, −3, 1) 𝑦 𝑣 = (2, 1, −1) determinar un vector 𝑥 que sea coplanar con 
�⃗� 𝑦 𝑣 , además ortogonal a �⃗⃗� = (1, 2, 2) 
4. Determinar
el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los vectores: 
a) �⃗� = 2𝑖 − 𝑗 ; 𝑣 = 𝑖 − 2 𝑗 − 2𝑘 𝑦 �⃗⃗� = 3𝑖 − 𝑗 + 𝑘 
b) �⃗� = 𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘 ; 𝑣 = 3𝑖 + 4𝑗 + 𝑘 𝑦 �⃗⃗� = −𝑖 + 𝑗 + 𝑘 
5. Dados los vectores �⃗� = (2, 4) ; 𝑣 = (−1,−2) ; �⃗⃗� = 2𝑖 + 𝑗 + 𝑘 𝑦 𝑥 = 𝑖 − 𝑗 + 2𝑘 
a) Calcular el ángulo determinado por �⃗� , 𝑣 y el determinado por �⃗⃗� , 𝑥 
b) Determinar un vector unitario paralelo a �⃗� 
c) Determinar un vector paralelo a 𝑣 y de módulo 4. 
d) Determinar un vector paralelo a 𝑥 y de módulo 6. 
e) Determinar un vector perpendicular a �⃗⃗� 𝑦 𝑎 𝑥 , de modulo 8. 
pág. 27 
 
AUTOEVALUACIÓN: VECTORES 
1. Responder V (verdadero) o F (falso), según corresponda. NO justificar la respuesta. 
a) Con los puntos 𝑃(2, 3 , 2) y 𝑄(6 , −3 , 4) se puede formar el vector 𝑣 = (−4 , 6 , −2). 
b) Los vectores 𝑣 = (−4 , 3 , 2) y �⃗⃗� = (4 , 2 , 5) son perpendiculares. 
c) Dados los vectores 𝑣 = (3, −1 ,0) y �⃗⃗� = (1 ,4 , −2), entonces: 𝑣 × �⃗⃗� = (0 , 6 , 1) 
d) Los vectores 𝑣 = (1, 0 , 2) , 𝑣 = (1, 0 ,2) y �⃗⃗� = (1 , −2 , 3), son coplanares 
 
2. Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta 
a) El volumen del paralelepípedo formado por los vectores (-2 ,0 ,-2) ; (0 ,3 ,-3) y (1 ,-3 ,1) es: 
Vol =……..…..…[ul]
3
. 
b) Dado el vector �⃗� = (2, −4, 2), un vector unitario y paralelo �⃗� , es: …………………………………….. 
c) Sean los vectores �⃗� = (1 ,0 , 𝑚) 𝑦 𝑣 = (2 , 0 , 3𝑚), los valores de “m” para que el área del 
paralelogramo que ellos determinan sea igual a 3[ul]
2
, entonces los valores de “m” son: m = …… 
3. Escribir, con tinta, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir una N. 
a) Los valores de m y n para que los vectores �⃗� = (2,𝑚 , −4) 𝑦 �⃗⃗� = (−4, 10, 𝑛) sean paralelos, 
son: 
A) A) 
𝑚 = 5
𝑛 = −8
 C C) 
𝑚 = 8 
𝑛 = −5 
 
B) B) 
𝑚 = 5
𝑛 = 8 
 D) D) 
𝑚 = −5
𝑛 = 8 
 
b) Dados 𝑟 = (3, 𝑝 , 1) 𝑦 𝑣 ⃗⃗⃗ = (𝑞, 3, 3), los valores de “p” y “q” para que sean perpendiculares y para 
que 𝑟 + 𝑣 = (4, 1, 4) son: 
A) A) 
𝑝 = 2 
𝑞 = 1 
 C C ) 
𝑝 = −2 
𝑞 = 1 
 
B) B) 
𝑝 = 2 
𝑞 = −1 
 D) D) 
𝑝 = 2 
𝑞 = 2 
 
c) Un vector �⃗⃗� perpendicular a los vectores �⃗� = (1, 0, 3) 𝑦 𝑣 ⃗⃗⃗ = (2, 3, 9), es: 
A) A) �⃗⃗� = (3, 3, 12) C C ) �⃗⃗� = (−9,−3, 3) 
B) B) �⃗⃗� = (−1,−3, −6) D) D) �⃗⃗� = (2, 0, 27) 
 
 
 
 
 
pág. 28 
 
TEMA: “RECTA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO” 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: 
Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica. Volumen I y II. Gráfica Munro Editora. Argentina. 
1.984. 
Rojo, Armando. Álgebra I y Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. Febrero de 1.993. 
Kindle, Joseph H. Geometría Analítica Plana y del Espacio. Editorial Mc Graw Hill. México D. F. Marzo 1995. 
Torres Bugeau, C; Lasserre, A; García, A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. III. EdiUnju 
Editorial. Jujuy. Argentina. Septiembre 2015. 
CUESTIONARIO DE REPASO 
1) Dado un punto P0 y un vector u

en el plano o en el espacio, ¿Cómo se obtiene la ecuación Vectorial 
Paramétrica de la recta que pasa por el punto P0 y es paralela al vector u

? 
2) ¿Qué nombre recibe el vector u

 paralelo a la recta? 
3) Partiendo de la Ecuación Vectorial Paramétrica, a) ¿Cómo obtiene la ecuación Cartesiana 
Paramétrica?; b) ¿Cómo obtiene la ecuación Simétrica? 
4) Dada la Ecuación General o Implícita de una recta en el plano: Ax + By + C = 0, ¿Qué nombre toma el 
vector que tiene por componentes los coeficientes de las variables x e y? 
5) Si la Ecuación de una recta en el plano, tiene la forma: 1
b
y
a
x
, ¿Qué representan las constantes 
“a” y “b”? 
6) ¿Cuántos datos son necesarios para determinar una recta? 
7) ¿Cuándo dos rectas, (en el plano o el espacio), son paralelas? 
8) ¿Cuándo dos rectas, (en el plano o el espacio), son perpendiculares? 
9) ¿Cómo se calcula el Angulo que determinan dos rectas en el plano o el espacio? 
10) ¿Cómo se calcula la distancia de un punto P0 a una recta “l” en el plano? 
11) ¿Cuál es la Ecuación Simétrica de una recta del espacio determinada por dos puntos? 
12) ¿Cuál es la Ecuación de una recta, del plano, que pasa por P0(x0,y0) y es paralela al eje “y”? 
13) ¿Cuál es la Ecuación Vectorial Paramétrica de una recta, del espacio, que pasa por P0(x0,y0,z0 ) y es 
paralela al eje z? 
14) ¿Cuál es la Ecuación Vectorial Paramétrica de una recta, del espacio, que pasa por P0(x0,y0,z0 ) y es 
paralela al plano“yz”? 
 
 
pág. 29 
 
EJERCICIOS RESUELTOS: 
Ejemplo 1: Hallar la ecuación vectorial paramétrica, cartesiana paramétrica, simétrica, segmentaria, general 
y explícita de la recta que paso por el punto P0(1, 2) y es paralela a la recta de ecuación: 𝑥 − 2 =
𝑦+2
 3
 . 
Representar gráficamente la recta encontrada. 
Para resolver, vectorialmente, este ejercicio es necesario conocer un punto perteneciente a la recta y su 
vector dirección. En este caso como las rectas son paralelas sus vectores direcciones también lo son. La 
recta solicitada debe pasar por (1, 2) y ser paralela a �⃗� = (1, 3) 
Por lo tano la ecuación vectorial paramétrica será: 
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝜆 𝑢⃗⃗⃗ 
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, −2) + 𝜆 (1, 3) 
De la ecuación anterior podemos deducir la ecuación cartesiana paramétrica ya que: 
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, −2) + 𝜆 (1, 3) 
(𝑥, 𝑦) = (1, −2) + 𝜆 (1, 3) por lo tanto 
{
𝑥 = 1 + 𝜆
𝑦 = −2 + 3𝜆
 
A partir de esta última ecuación se despeja el parámetro para formar la ecuación simétrica 
{
𝑥 = 1 + 𝜆 ⟹ 𝜆 = 𝑥 − 1
𝑦 = −2 + 3𝜆 ⟹ 𝜆 =
𝑦+2
3
 
𝑥 − 1 =
𝑦+2
 3
 
A partir de esta última ecuación se puede deducir la ecuación general de la recta ya que: 
𝑥 − 1 =
𝑦+2
 3
 ⟹ 3(𝑥 − 1) = 𝑦 + 2 
3(𝑥 − 1) = 𝑦 + 2 ⟹ 3𝑥 − 3 = 𝑦 + 2 
3𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 
A partir de esta última ecuación se puede deducir la ecuación explícita de la recta ya que: 
3𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 ⟹ 𝑦 = 3𝑥 − 5 
También a partir de la ecuación general se puede deducir la ecuación segmentaria de la recta. 
3𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 ⟹ 3𝑥 − 𝑦 = 5 
 3𝑥 − 𝑦 = 5 ⟹ 
3𝑥
5
−
𝑦
5
=
5
5
 
𝑥
5
3
+
𝑦
−5
= 1 
Para representar gráficamente la recta encontrada se puede utilizar la ecuación: 
a) Segmentaria. 
b) Vectorial paramétrica. 
 
 
 
 
 
pág. 30 
 
 
Ejemplo 2: Demostrar que los puntos A(2, 0, 3), B(3, 10, 7) y C(1,6, 3) están alineados. 
Una de las formas de resolver este ejercicio es encontrar la recta que pasa por dos puntos y verificar que el 
tercer punto pertenezca a dicha recta. 
Encontramos la recta que pasa por los puntos A y B por ejemplo. 
Determinamos el vector dirección de la recta que estamos buscando. 
�⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (5, 10,−10) 
Por lo tanto la ecuación vectorial paramétrica que pasa por A y tiene dirección 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ será: 
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝜆 �⃗� 
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2, 0, 3) + 𝜆 (5, 10, −10) 
De la ecuación anterior podemos deducir la ecuación cartesiana paramétrica ya que: 
𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−2, 0, 3) + 𝜆 (5, 10, −10) 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−2, 0, 3) + 𝜆 (5, 10, −10) por lo tanto 
{
𝑥 = −2 + 5 𝜆
𝑦 = 0 + 10 𝜆
𝑧 = 3 − 10 𝜆
 
A partir de esta última ecuación se despeja el parámetro para formar la ecuación simétrica 
{
 
 
 
 𝑥 = −2 + 5 𝜆 ⟹ 𝜆 =
𝑥+2
5
 
𝑦 = 0 + 10 𝜆 ⟹ 𝜆 =
𝑦
10
𝑧 = 3 − 10 𝜆 ⟹ 𝜆 =
𝑧−3
−10
 
𝑥+2
5
=
𝑦
10
=
𝑧−3
−10
 
En esta última ecuación es más fácil comprobar si el tercer punto C pertenece o no a la recta encontrada. 
𝑥+2
5
=
𝑦
10
=
𝑧−3
−10
 ∧ 𝐶(1, 6, −3) ⟹ 
 
1+2
5
=
6
10
=
−3−3
−10
 ⟹ 
3
5
=
6
10
=
−6
−10
=
3
5
 
Por lo tanto el punto C pertenece a la recta y en consecuencia los puntos están alineados. 
 
1
1
5
3
_
_
5
a) 
1
1
b) 
Po
u
pág. 31 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 7 
Rectas (I) 
EJERCICIOS A RESOLVER: 
1. Hallar las ecuaciones: vectorial paramétrica, cartesiana paramétrica, simétrica, general, explícita y 
segmentaria de las rectas que cumplen con las siguientes condiciones. Representar gráficamente. 
a) Pasa por el punto P0(1, 2) y es paralela al vector �⃗� = (3 , 5). 
b) Pasa por P1(4 , – 1) y forma un ángulo de 135° con el semi eje positivo de 𝑜𝑥⃗⃗⃗⃗ . 
c) Cuya ordenada al origen es 
5
3
 y pasa por el punto P1(2, 3). 
d) Pasa por P1(3 ,2) y es paralela a: x + 2y + 4= 0. 
e) Pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a y + 2x  2 = 0. 
f) Pasa por el punto de intersección de las rectas 2x + y  8 = 0 y 3x  2y + 9 = 0 y es 
perpendicular al vector �⃗⃗� = (2, 1). 
2. Hallar las ecuaciones: vectorial paramétrica, cartesiana paramétrica y simétrica de las rectas que 
cumplen con las siguientes condiciones. Representar gráficamente. 
a) Pasa por el punto P1(1, 2, 5) y tiene como vector dirección a �⃗� = (3, 1, −2) 
b) Pasa por el punto P1(0, 1, 5) y es paralela a {
𝑥 = 3𝜆 
𝑦 = 𝜆 
𝑧 = 2 + 2𝜆
 
c) Pasa por el punto P1(4, 2, 5) y es paralela a 𝑜𝑧⃗⃗⃗⃗ 
d) Pasa por los puntos P1(1, 2,. 5) y P2(2, 1, 0). 
e) Pasa por el punto P1(1, 3, 0) y es paralela al vector �⃗� × 𝑣 siendo �⃗� = (1, −1, 2) 𝑦 𝑣 = (2, 0, 0) 
f) Pasa por el punto P1(2, 1, 3) y es perpendicular a las rectas cuyas ecuaciones son: 
 {
𝑥 = 1 − 𝜆 
𝑦 = 2 + 2𝜆 
𝑧 = 2
  𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 1, 1) + 𝜆(2, −1, 3) 
3. Determinar cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles son perpendiculares. 
𝑙1: 4𝑥 + 3𝑦 − 7 = 0 𝑙2: 𝑦 = 4𝑥 + 11 
𝑙3 : 
𝑥
16
−
𝑦
12
= 1 𝑙4: 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1 , 3) + 𝜆(3, −4) 
𝑙5: {
𝑥 = −2 − 4𝜆
𝑦 = −3 + 𝜆
 𝑙6 : 
𝑥+1
4
− (𝑦 + 2) = 0 
4. Hallar el valor de k para que las siguientes rectas sean: 
a) paralelas: 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, −1, 1) + 𝜆(6, 9, 𝑘)  {
𝑥 = 1 + 2𝜆 
𝑦 = 3𝜆 
𝑧 = 2 − 5𝜆
 
b) perpendiculares 
𝑥−2
𝑘
=
𝑦−5
1
 =
𝑧
−1
  {
𝑥 = 7 − 2𝜆 
𝑦 = −1 − 𝜆 
𝑧 = 5 + 5𝜆
 
 
 
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5. Determinar el valor del parámetro k para que: 
a) La recta: 13x + (2 – k) y – 23 = 0 pase por el punto (2, –3). 
b) La recta: k
2 
x + (k
2
 – 1)y – 18 = 0 sea paralela a la recta: 4x + 3 y + 7 =0 
c) La recta: k
2
x + (k
2
 – 1)y – 18 = 0 sea perpendicular a la recta: 4x + 3 y + 7 =0. 
6. Hallar el ángulo formado por los siguientes pares de rectas que tienen por ecuaciones: 
a) 
𝑥−3
2
=
𝑦+1
3
  {
𝑥 = −4 − 3𝜆
𝑦 = 5 + 𝜆
 
b) 3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0  𝑦 = −
3
4
𝑥 −
1
8
 
c) 
𝑥−1
6
=
𝑦+2
−3
 =
𝑧−4
−6
  
𝑥+2
3
=
𝑦−3
6
 =
𝑧+4
−2
 
d) {
𝑥 = 1 + 2𝜆 
𝑦 = 3𝜆 
𝑧 = 2 − 5𝜆
  𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, −1, 1) + 𝜆(6, 9, −15) 
7. Hallar la distancia: 
a) del punto P(2, –3) a la recta 4x  5y + 10 = 0. 
b) entre las rectas 3x – 4y + 8 = 0  6x – 8y + 9 = 0. 
c) del punto (7, 7, 4) a la recta 
d) entre las rectas paralelas: 
𝑥−2
3
=
𝑦−2
4
=
8−𝑧
4
  {
𝑥 = 1 + 3𝜆
𝑦 = 2 + 4𝜆
𝑧 = −3 − 4𝜆
 
 
pág. 33 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 8 
Rectas (II) 
EJERCICIOS A RESOLVER: 
1. Hallar el lugar geométrico de los puntos del plano o del espacio que equidistan de los puntos fijos: 
a) (5, 2) y (2, 1) 
b) (3, 2, 4), (5, 3, 2) y (0, 4, 2). 
2. Usando haz de rectas, hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas: 
𝑥 − 5𝑦 − 7 = 0  2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0, y además: 
a) Pasa por el punto (–5 , 2). 
b) Es paralela a la recta 6x – 8y + 9 = 0. 
3. Usando haz de rectas hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto: 
a) P(3, 2) y es paralela a 2x  3y  4 = 0. 
b) P(1, 3) y es perpendicular a 5x  2y + 3 = 0. 
4. Plantear y resolver los siguientes problemas. 
a) Encontrar las coordenadas del punto simétrico a P(2, 2) respecto de la recta 2x + y  3 = 0. 
b) Demostrar que las tres rectas 3x – 5y + 7 = 0, 2x + 3y – 8 = 0  6x – 7y + 8 = 0 son 
concurrentes. 
c) Encontrar la ecuación de la mediatriz del segmento de recta que tiene por extremos a: A(2, 0) y 
B(4, 2). 
d) Determinar el valor del parámetro “k” para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes 
coordenados un triángulo rectángulo de área igual 2,5 [ul]
2
. 
e) Determinar si los siguientes pares de rectas se intersectan. En caso afirmativo, dar las 
coordenadas del punto de intersección: 
i- {
𝑥 = 1 + 𝜆 
𝑦 = 1 + 2 𝜆 
𝑧 = −3𝜆
  
𝑥−2
2
=
𝑦−1
2
=
𝑧−4
7
 
ii- {
𝑥 = 1 + 𝜆 
𝑦 = −1 − 2 𝜆 
𝑧 = 1 + 2𝜆
  {
𝑥 = 2 + 2𝜇 
𝑦 = −3 + 𝜇 
𝑧 = −2 + 2𝜇
 
f) Comprobar si los puntos (0, 1, –1), (3, 4, 2) y (4, 5, 3) están alineados. 
g) Determinar si la recta {
𝑥 = 4 − 2𝜆 
𝑦 = −6 + 3 𝜆 
𝑧 = −3 + 𝜆
 se intersecta con algunos de los ejes coordenados. En caso 
afirmativo, dar las coordenadas de los puntos de intersección. 
 
 
 
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AUTOEVALUACIÓN: RECTAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 
1. Responder V (verdadero) o F (falso), según corresponda. NO justificar la respuesta. 
a) El vector (−1 , 3) es un vector dirección de la recta de ecuación: 3𝑥 + 𝑦 − 4 = 0. 
b) La recta {
𝑥 = 1 + 2𝜆 
𝑦 = 3𝜆 
𝑧 = 2 − 5𝜆
 pasa por el punto 𝑃(3, 3, −3). 
c) Las rectas 
𝑥+4
−3
= 𝑦 − 5  {
𝑥 = 1 + 2𝜆
𝑦 = 3 + 3𝜆 
 son perpendiculares entre si 
 
d) La recta la recta {
𝑥 = 4 − 2𝜆 
𝑦 = −6 + 3 𝜆 
𝑧 = −3 + 𝜆
 es perpendicular al eje 𝑜𝑧⃗⃗⃗⃗ 
 
 
2. Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta. 
a) La ecuación general de la recta, de R
2
, que tiene abscisa al origen: 3 y ordenada al origen: –2, 
es:………….………… 
b) El ángulo entre las rectas 
𝑥−1
2
=
𝑦
3
 y 2𝑥 − 𝑦 − 2 = 0, es:………………………………………….. 
c) La distancia del origen de coordenadas y la recta (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 1, −1) + 𝜆(2, 1, −2), es:………….. 
3. Escribir, con tinta, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir una N. 
a) La recta que pasa por el punto (6, 0) y que pertenece al haz formado por las rectas: 
3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0  𝑥 − 𝑦 + 4 = 0, es: 
 
A) 𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 B) −𝑥 + 6𝑦 + 6 = 0 C) 𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 D) 2𝑥 − 3𝑦 − 12 = 0 
 
b) La ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 1, –2) y es perpendicular a los vectores: �⃗� =
(−2, 2, 0) y �⃗⃗� = (0, 1 , −1), es: 
A) A) {
𝑥 = −2 + 𝜆
𝑦 = 2 + 𝜆 
𝑧 = −2𝜆
 
C C) 
𝑥−1
−2
=
𝑦−1
−2
=
𝑧+2
−2
 
B) B) 
𝑥−1
−2
=
𝑦−1
3
=
𝑧+2
−1
 
D) D) {
𝑥 = −2 + 𝜆
𝑦 = −2 + 𝜆 
𝑧 = −2 − 2𝜆
 
c) La ecuación de la recta representada en el gráfico es: 
 
A) 
𝑥−6
−4
=
𝑦−4
3
 
B) 𝑦 = −
4
3
𝑥 + 3 
C) 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 
D) (𝑥, 𝑦) = (0, 3) + 𝜆(−4, 3) 
 
 
 
 
 
pág. 35 
 
Autoevaluación: Modulo I 
1.- Marcar con tinta, en la casilla correspondiente, las opciones correctas en cada uno de los enunciados. 
(16 puntos). 
a) Si 𝑧 = √3 − 𝑖, su forma polar es: 
230º 
 y 𝑧5 es igual a: 
32210º 
2330º 32150º 
 
b) Sea 𝑃(𝑥) = 16𝑥5 − 8𝑥3 + 𝑥 , si el 𝑀𝐶𝐷(𝑃(𝑥), 𝑃′(𝑥)) = 4𝑥2 − 1, entonces P(x) = 0 tiene 
2 dobles y 1 simple 
y esas raíces son: 
𝑥1 =
1
2
 (𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒), 𝑥2 = 0 (𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒) 
1 raíz triple y 1 doble 𝑥1 =
1
2
 (𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒) 𝑦 𝑥2 = −
1
2
 (𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒), 𝑥3 = 0 (𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒) 
 
c) Sean �⃗� = (1, −2,−2); 𝑣 ⃗⃗⃗ = (2,𝑚, 0) 𝑦 �⃗⃗� = (3, −1, 1), si �⃗� 𝑦 𝑣 ⃗⃗⃗ son perpendiculares, entonces: 
m = –1 
m = 1 
, y el volumen del paralelepípedo de aristas �⃗� , 𝑣 ⃗⃗⃗ 𝑦 �⃗⃗� , es: 
15 [ul]
3 
1 [ul]
3
 
 
d) Sea la recta 5𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0, un vector dirección de la misma es: 
(3, 5) 
(5,
−3) 
 , y pasa por el punto: 
(1, 2) 
(−1, 2) 
 
 
2.- Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta (30 puntos). 
a) El número complejo, z, que verifica la ecuación: (5𝑧 – 3𝑖) – (𝑧 – 2𝑖) = – 2 + 7𝑖 , es: z =………… 
b) Dados los números complejos: z1 = 2 + 2i y z2 = 2 𝟔𝟎°, entonces: 
𝑧1
2
𝑧2
3 = ……………..….………… 
c) Sean 𝑣⃗⃗⃗ = ( 5, −2 ) , �⃗⃗� = (1 , 2 ), �⃗� = (−1 , 1 ) y 𝑠 ⃗⃗ = (𝑣 ⃗⃗⃗ − �⃗⃗� ), el ángulo entre los vectores: 𝑠 ⃗⃗ y 𝑢 ⃗⃗ ⃗ 
es:…………. 
d) Dados 𝑣 = (0 , 2 , 1) y �⃗⃗� = (2 , 0 , 0), un vector unitario y perpendicular a 𝑣 𝑦 �⃗⃗� es: ….…….. 
e) La ecuación vectorial paramétrica de la recta que pasa por el punto (1 , –2) y que además forma un 
ángulo de 
3
4
𝜋 con el semieje positivo de las abscisas es:…………………………………………………….. 
 
 
 
pág. 36 
 
3.- Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, 
escribir una N (24 puntos). 
a) Si 𝑧 = 1 − 𝑖, entonces z
-1
 es igual a: 
A) −1 + 𝑖 B) −
1
2
−
1
2
𝑖 C) 
1
2
+
1
2
𝑖 D) −1 − 𝑖 
 
b) La ecuación que tiene como únicas raíces a: x1 = –4 , x2 = –4 y x3 = 0, es: 
A) 𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 0 
 
B) 4𝑥3 + 32𝑥2 + 64𝑥 = 0 
C) 𝑥3 + 4𝑥2 + 16 = 0 
 
D) 4𝑥3 − 16𝑥2 + 64𝑥 = 0 
 
c) El volumen del paralelepípedo formado por los vectores: (−2 , 2 , 0) ; (−2 , 0 , −2) 𝑦 (2 , 2 , −1) es: 
A) 10 [ul]
3
 B) –20 [ul]
3
 C) 0 [ul]
3
, los vectores son coplanares D) 20 [ul]
3
 
d) La recta que pasa por (0 , 0) y pertenece al haz de rectas formado por: 
 x – 2y – 9 = 0  –2x + y +3 = 0, es: 
 
A) 5𝑥 + 𝑦 = 9 B) −𝑥 + 5𝑦 = 0 C) −5𝑥 + 𝑦 + 2 = 0 D) −5𝑥 + 𝑦 = 0 
 
4.- Desarrollar el siguiente ejercicio en la presente hoja. El desarrollo puede ser con lápiz (26 puntos). 
Dado el polinomio: 𝑃(𝑥) = 8𝑥
3 − 12𝑥2 + 6𝑥 − 1 
a) Determinar si 𝑃(𝑥) y 𝑃′(𝑥) son primos. En caso negativo, indicar MCD [ P(x), P’(x)]. 
b) Establecer si la ecuación 𝑃(𝑥) = 0 tiene alguna raíz múltiple y, en caso afirmativo, indicar cuál es y su 
orden multiplicidad. 
c) Expresar la ecuación 𝑃(𝑥) = 0 en función de sus raíces.