Algebra Modulo 3 2017

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U.N.JU. – FACULTAD DE INGENIERÍA 
Álgebra y Geometría Analítica 
Guía de Trabajos Prácticos 
 
Cartilla N° 3 
 
Transformaciones Lineales. Circunferencia y Parábola. Elipse e Hipérbola. 
Superficies Esféricas y Elipsoides. Superficies Hiperbólicas y Parabólicas. 
Superficies Cilíndricas y Cónicas. 
 
CARRERAS: 
 Ingenierías: Industrial, Informática, Química, en Minas 
 Licenciaturas en: Sistemas, Tecnología de los Alimentos, en Ciencias Geológicas 
 Tecnicaturas Universitarias en: Explotación de Minas, Procesamiento de Minerales, 
Perforación, Ciencias de la Tierra, Ciencias de la Tierra Orientada a Petróleo. 
 
 
PROFESORA A CARGO DE LA CÁTEDRA: 
Esp. Torres Bugeau de Bernal, Celia M. 
 
EQUIPO DOCENTE DE LA CÁTEDRA: 
Ing. Condorí. Patricio – Ing. Flores, Roberto – Esp. Grágeda, Adelma 
Esp. Llanos, Lydia – Lic. Medina, José Luis – Ing. Saravia, Ismael 
Esp. Tarifa, Héctor – Ing. Vargas, Nelson 
 
 
 
2017 
 
1 
 
TEMA: “TRANSFORMACIONES LINEALES” 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA 
 
Torres Bugeau, C.; Lasserre, A.; García, A. (2010). “Elementos de Álgebra y Geometría Analítica”. Vol. II. 
EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. 
Rojo, Armando. (1993). “Álgebra II”. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. 
Grossman Stanley. (2008). “Álgebra Lineal con aplicaciones”. Mc Graw Hill. México. 
Lay David. (2012). “Algebra Lineal y sus Aplicaciones”. Pearson Educación. México. 
 
CUESTIONARIO DE REPASO 
 
1.- ¿Cómo se define una Transformación Lineal? 
2.- ¿Cómo se define Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal? 
3.- Enunciar las propiedades de una Transformación Lineal. 
4.- Demostrar que el Núcleo de una Transformación Lineal f: VW es un subespacio vectorial 
de V. 
5.- ¿Cuál es la relación que existe entre las dimensiones del Núcleo, la Imagen y el primer espacio 
en una T.L.: f: V W? 
6.- Enunciar el Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales. 
7.- Sea f: V W una Transformación Lineal, ¿cómo se encuentra la matriz asociada a dicha 
transformación, respecto de una base en cada espacio? 
8.- ¿Cómo se define autovalores y autovectores de una transformación lineal f: V V? 
9.- ¿Por qué en la definición de autovalor se hace la salvedad de que �⃗� ≠ 0⃗ ? 
10.- Demostrar que el subespacio L(  ), asociado a un autovalor “ ” de una T.L. f: V V, es un 
subespacio vectorial de V. 
11.- ¿A qué se llama Polinomio Característico? 
12.- ¿Cuándo una T.L. f: V V es diagonalizable? 
 
2 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
Ejemplo 1: Dada la función f: R
3
 →R
2
 / f(x, y, z) = (2x, y – 2z), determinar si es o no una 
transformación lineal. 
Si f es una transformación lineal, se verifica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por cumplirse 1º/ y 2º/, f es una transformación lineal 
 
Ejemplo 2: En la transformación lineal f: R
3
 →R
2
/ f(x, y, z) = (2x, y – 2z), encontrar: 
i. El núcleo, una base del núcleo y su dimensión. Graficar 
ii. La imagen, una base de la imagen y su dimensión. 
iii. Verificar la propiedad de las dimensiones Dim N(f) + Dim Img(f) = Dim (V). 
Solución: 
i.- Hallar el núcleo, una base y su dimensión 
N(f) = (x, y, z) R
3
 / f(x, y, z) = ( 0, 0) 
f(x, y, z) = (2x, y – 2z) = (0, 0) 
{
2 x = 0
y − 2 z = 0
 x = 0  y = 2 z 
 N(f) = (0, 2 z, z) / z R} [N(f)] = (0, 2, 1) ; Dim N(f) = 1 
Interpretación Geométrica de N(f): es la recta 





z2y
0x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Demostración Demostración 
 
3 
 
ii.- Hallar la Imagen, una base y su dimensión 
Img(f) = (a, b) R
2
 /  (x,y,z)  R
3 
f(x, y, z) = ( a, b) 
f(x, y, z) = (2x, y – 2z) = (a, b) 





b2zy
ax2







z 2 b y 
a
2
1
x
 (x, y, z) ,  a y b 
Img(f) = R
2
, [Img(f)] = { (1,0) , (0,1) } ; Dim Img(f) = 2 
Interpretación Geométrica de Img(f): es el plano R
2
 
iii.- Dim N(f)) + Dim Img(f) = Dim (R
3
) 
1 + 2 = 3 
 
Ejemplo 3: Si f: R
3 
→ R
2
 es TL, encontrar la imagen de (1, 2, 1), sabiendo que: 
f(1, 0, 2) = (1, 3) , f(-1, 0, 2) = (-1, 1) y f(3, 1, 0) = (5, 3) 
Solución: 
 {(1, 0, 2) , (– 1, 0, 2) , ( 3, 1, 0)} es una base de R
3
 
( 1, 2, 1) =  (1, 0, 2) +  (– 1, 0, 2) +  (3, 1, 0) 
 ( –  + 3 , , 2  + 2) = ( 1, 2, 1 ) 
{
α − β + 3δ = 1
δ = 2
2α + 2β = 1
 si se resuelve el sistema, se tiene:  = −
9
4
, = −
9
4
 y  = 2 
(1, 2, 1) = −
9
4
(1, 0, 2) + 
11
4
 (– 1, 0, 2) + 2 (3, 1, 0) 
f(1, 2, 1) = −
9
4
 f (1, 0, 2)] + 
11
4
 f (– 1, 0, 2) + 2 f (3, 1, 0) 
f(1, 2, 1) = −
9
4
 (1, 3) + 
11
4
 (–1, 1) + 2 (5, 3) 
f(1, 2, 1) = (−
9
4
 , −
27
4
) + (−
11
4
,
11
4
) + ( 10 , 6 ) 
f(1, 2, 1) = ( 5 , 2 ) 
 
Ejemplo 4: Dado que f: R
3
 →R
2
 y además f(1, 1, 3) = (  2 , 1) , f( 0, 2 , 0 ) = ( 0, 2 ) , 
f( 1 , 1 , 0 ) = (1 , 1 ) y f (1 , 0 , 3 ) = (4 , 0 ), averiguar si f es una transformación lineal. 
Solución: 
{ (1, 1, 3) , ( 0, 2 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 ) } es base de R
3
 
 (1, 0, 3) = (1, 1, 3) + (0, 2 , 0) + (1 , 1 , 0) 








33α
0γ2βα
1γα
 = 1 , = 2 ,  = 
2
1
 
 
4 
 
 (1 , 0 , 3 ) = 1 (1, 1, 3) + 
2
1
( 0, 2 , 0 ) 2 ( 1 , 1 , 0 ) 
 f (1 , 0 , 3 ) = 1 f (1, 1, 3) + 
2
1
 f ( 0, 2 , 0 ) 2 f ( 1 , 1 , 0 ) 
 f (1 , 0 , 3 ) = (2, 1) + 
2
1
( 0, 2 ) 2 ( 1 , 1 ) 
 f (1 , 0 , 3 ) = (2, 1) + ( 0, 1 )  ( 2 , 2 ) 
f (1 , 0 , 3 ) = (4, 0)  f: R
3
 →R
2
 es Transformación lineal 
Ejemplo 5: Obtener la expresión genérica de la transformación lineal f: R
3
 R
2
, sabiendo que: 
f(1, – 1, 1) =(2, – 1) , f(1, 0, 2) = (3, – 1) , f(0, 1, 0) = (0, 1) 
 Solución 
 {(1,–1, 1) ,(1, 0, 2) , (0, 1, 0) } es una base de R
3
 
se expresa el vector (x, y, z)  R
3
 como C. L. de la Base dada 
 ( x , y, z) = (1, –1, 1) +  (1, 0, 2) +  (0, 1, 0) ( I ) 
 ( x , y, z) = (+ , – +  , + 2 ) 








zβ2α
yδα
xβα
 
si se resuelve el sistema, tenemos 








xzβ
zx2yδ
zx2α
 ( II ) 
Se reemplaza ( II ) en ( I ) y se tiene: 
(x , y, z) = (2x – z ) (1,–1, 1) + ( z – x) (1, 0, 2) + ( y + 2x – z ) (0, 1, 0) 
Por definición de T.L. 
f (x, y, z) = f [(2 x – z) (1,–1, 1) + ( z – x) (1, 0, 2) + (y + 2 x –z) (0, 1, 0)] 
f (x, y, z) = (2 x – z) f (1,– 1, 1) + ( z – x) f (1, 0, 2) + (y + 2 x –z) f (0, 1, 0) 
f (x, y, z) = (2 x – z) (2,– 1) + ( z – x) (3,– 1) + (y + 2 x –z) (0, 1) 
f (x, y, z) = ( 4 x – 2z + 3z – 3x , – 2 x + z – z + x + y + 2 x –z ) 
f(x, y, z) = (x + z , x + y – z) 
Ejemplo 6: Dada la transformación lineal: f: R
3
 →R
2
 / f(x, y, z) = (xz, y) 
i.- Encontrar la matriz A, asociada a f, respecto de las bases dadas: 
B1= {(1, 1, -1), (1, 2, 1), (1, 0, 0)} en R
3
 
 B2= {(1, 0), (0, 2)} en R
2
 
ii.- Empleando A, obtener la imagen de v = (1, 1, 4) 
Solución: 
 i.- Mediante f se obtienen las imágenes de los vectores de la base B1 y se expresan como 
combinaciones lineales de los vectores de la base B2 
 
5 
 
Cálculos auxiliares: 
f(1, 1, -1) = (2, 1) 
(2, 1) =  (1, 0) +  (0, 2)






2
1
β1β2
2α
 
f (1, 2, 1)= (0, 2) 
(0, 2) =  (1, 0) +  (0, 2) 





1β2β2
0α
 
f (1, 0, 0)= (1, 0) 
(1, 0) =  (1, 0 ) +  ( 0, 2 ) 





0β0β2
1α
 
 
La matriz A, es la matriz transpuesta de las coordenadas de cada una de las imágenes de los 
vectores de la base B1 expresadas en la base B2 
𝐴 = (
2 0 1
1 2⁄ 1 0
) 
ii.- Utilizando la matriz A, se obtiene la imagen de v = (1, 1, 4) de la siguiente manera: 
a) Se calculan las coordenadas de v, respecto de la base en R
3
 , o sea ,  , y  
(1, 1, 4) = (1,1,–1) + (1, 2, 1) + (1, 0, 0) 
(1, 1, 4) = (+  + , + 2, – + ) 
 Si se resuelve el sistema, se tiene:  = 
3
7
 ,  = 
3
5
 y  = 
3
5
 
 Entonces las coordenadas de V en la base de R
3
 es: VB1= 

















3
5
3
5
3
7
 
b) La imagen está dada por: Y[B2] = A V[B1] = 







01
2
1
102

















3
5
3
5
3
7
 = 








2
1
3
 
 Los escalares 3 y 
2
1
 son las componentes de f(v) respecto de la base B2 
Si aplicamos f a la terna ( 1 , 1 , 4 ), tenemos: f ( 1 , 1 , 4 ) = (3, 1 ) 
Expresando esta imagen como combinación línea de la base B2 , se tiene 
 (3 , 1 ) = 3( 1 , 0 ) + 
2
1
 ( 0 , 2 ) 
 
6 
 
Ejemplo 7: A partir de la transformación linealf: R
2
 → R
2
 / f(x, y) = (x+y, 3x– y), encontrar los 
autovalores y autovectores,los espacios asociados a cada autovalor, una base para cada espacio y su 
dimensión. Determinar si la matriz asociada a la transformación lineal es diagonalizable y en caso 
positivo escribir la matriz diagonal. 
i.- Encontramos la matriz asociada según las bases canónicas 
f ( 1 , 0 ) = ( 1 , 3 ) 
f ( 0 , 1 ) = ( 1 , 1 )  A = (
1 1
3 −1
) 
ii.- Para hallar los autovalores, consideramos el Polinomio  A  I  = 0 
0
10
01
13
11













  0
13
11





 
(1– ) (–1– ) – 3 = 0 

2
–1– 3= 0 

2 
– 4 = 0  =  2 
 A tiene dos autovalores: 1 = 2 y 2 = –2 
iii.- Para hallar los autovectores trabajamos con : ( A – I ) . X = 0 




















0
0
x
x
13
11
2
1


 
 Para 1 = 2 




















0
0
x
x
33
11
2
1





03x3x
0xx
21
21
x1 = x 2 
 L(2) = { ( x , x ) } [L(2)] = { ( 1 , 1 ) } Dimensión 1 
 Para 1 = – 2 


















0
0
x
x
13
13
2
1
3 x 1 + x2 = 0  x2 = – 3 x 1 
 L(–2) = { ( x , –3x ) } [L(–2)] = { ( 1 , –3 ) } Dimensión 1 
 
iv.- Los vectores {( 1 , 1 ), ( 1 , –3 ) }, son Linealmente independientes y forman una base de R
2
. 
A es diagonalizable, y la matriz diagonal es 
 
𝐷 = (
𝜆1 0
0 𝜆2
) = (
2 0
0 −2
) 
 
 
7 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 16 
Transformaciones Lineales (I) 
EJERCICIOS A RESOLVER 
 
1.-Determinar cuáles de las siguientes aplicaciones f son transformaciones lineales: 
a) f : R2 R3 / f ( x , y ) = ( 2x , y , x ) 
b) f : R3 R3 / f ( x , y , z ) = ( x + 2y , y  z , x + 2z ) 
c) f : R3 R3 / f ( x , y , z ) = ( x + 1 , y + 2 , 0 ) 
d) f : R2 R2 / f ( x , y ) = ( x + y , x + y ) 
e) f : R3 R2 / f ( x , y , z ) = ( x + y , y + z ) 
f) f : R2  R / f ( x , y ) = –y 
g) f: R2  R2x2 / f ( a , b ) = 







ba0
0ba
 
 
2.- Para las transformaciones lineales del punto 1), hallar el núcleo, la imagen y sus respectivas 
dimensiones. 
3.- Para cada una de las siguientes transformaciones lineales, verificar que Dim N(f) + Dim Img(f) = 
Dim del primer espacio (V) 
a) f : R3 R2 definida por f ( x , y , z ) = ( y , x ) 
b) f : R2 R2 definida por f ( x , y ) = ( 2x – y , x ) 
c) f : R3 R3 / f ( x , y , z ) = ( 0 , x + y , 0 ) 
d) f: R2 →R2x2 / 








xy
yyx
y)f(x, 
4.- Sabiendo que f es transformación lineal y si: 
a) f: R
2
 R / f (8, 1) = – 7, f (4, 2) = – 5, hallar la imagen de (8, 10) 
b) f: R
3
 R
2
/ f (–1, 1, 4) = (1, 5), f (1, 0, 2) = (2, 2) , f (1, 0, 0) = (1, 0); determinar la imagen 
de (2, 2, 2) 
c) f: R
3
R[x] / f (1, 1, 1) = 1 – 2x + x
2
 , f (2, 0, 0) = 3 + x – x
2
 , f (0, 4, 5) = 2 + 3x + 3x
2
; 
determinar la imagen de (2, 4, –1) 
 
5.- Hallar la expresión genérica de la transformación lineal f para cada uno de los siguientes casos: 
a) f : R
2 R3 sabiendo que: f (–2 , 4) = (2 , 0 , 4) y f (1 , 1) = (2 , 3 , 1) 
b) f : R
3 R2 sabiendo que: f (1 , 1 , 1) = (–1 , 2) ; f (2 , 2 , 0) = (2 , 2) y f (3 , 0 , 0) = (3 , 0) 
c) Sea f : R
3
 R definida por: f (4 , 1 , 1) = 2 ; f (2 , 3 , 5) = –2 y f (0 , 1 , 0) = –2 
 
8 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 17 
Transformaciones Lineales (II) 
EJERCICIOS A RESOLVER 
 
1.- Dada la transformación lineal f : R
3
 R
2
 definida por f ( x , y , z ) = ( x – 2 z , y + z ) 
a) Hallar la matriz asociada A de f, respecto de las bases dadas [V] y [W] 
[V] = { ( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 ) } en R
3
 
[W] = { ( 2 , 0 ) , ( 0 , 2 ) } en R
2
 . 
b) Mediante A, obtener la imagen de (2 , 2 , 2 )  R3. 
c) Determinar la matriz B de f, respecto de las bases canónicas en ambos espacios. 
d) Obtener la matriz C de la misma transformación lineal, respecto de la base canónica en R3 y 
la base del punto a) en R
2
. 
 
2.- Hallar la expresión genérica de la T.L. f: R
3
R
2
, tal que respecto de las bases 
 { ( 1, 1, 1 ) , ( 1, 1 , 0 ) , ( 1, 0, 0 ) } en R
3
 
 { ( 1, 3 ) , ( 1, 4 ) } en R
2
, su matriz sea (
 3 11 5
−1 −8 −3
) 
3.- Sea f: R
2
 R
2
 una transformación lineal tal que la matriz asociada respecto de las bases 
B1 = { ( 1 , 0 ) ; ( 0 , 1 ) } y B2 = { ( 1 , 3) ; ( 2 , 5) }, es A = (
−8 23
 5 −13
) ; hallar f 
 
4.- Demostrar que si la matriz asociada a una transformación lineal f: R
3
 R
3
, respecto de las bases 
canónicas es A = 












112
101
011
, entonces el núcleo de f es una recta y la imagen es un plano. 
5.- Dada la transformación lineal f : R
2x2
 R
3 
definida por 
f 





dc
ba
= ( a + b  c , a + b + d , b + c + d ) 
i) Obtener la matriz de f respecto de las bases 






























11
10
,
10
00
,
01
01
,
11
11
 en R
2x2 
 
 { ( 0 , 2 , 1 ) , ( 2 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , 1 ) } en R
3 
 
ii) Utilizando la matriz hallada, obtenga la imagen de 




 
22
31
 
 
9 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 18 
Transformaciones Lineales (III) 
EJERCICIOS A RESOLVER 
 
1.- Obtener los autovalores y autovectores, si existen, de las matrices siguientes con elementos en 
R. Hallar una base de cada subespacio asociado. 
 A = (
2 1
0 3
) B = (
1 0
4 3
) C =










702
060
2010
 
 
2.- Hallar la matriz diagonal, cuando sea posible, de las siguientes matrices: 
 
 i) (
5 3 2
0 4 0
0 0 4
) ii) (
−9 1 1
−18 0 3
−21 4 0
) 
 
3.- Para las siguientes transformaciones lineales, determinar los autovalores y una base para cada 
espacio asociado y su dimensión. 
a) f : R2R2, / f( x , y ) = (x – 4y , –x + y) 
b) f : R3R3, / f( x, y, z ) = (x – y + z , –2x + 2y – 2z , z) 
4.- Sea A, la matriz asociada a una transformación lineal f: R
2
 R
2
, respecto de las bases 
canónicas: 
a) Calcular los autovalores de f. 
b) Calcular los autovectores asociados a cada autovalor. 
c) Indicar si la transformación es diagonalizable. 
d) En caso afirmativo, encontrar una base respecto de la cual, la matriz asociada a f sea 
diagonal. 
e) Escribir la matriz diagonal. 
i) A = 





31
22
 ii) A = 





33
24
 iii) A = 




 
31
15
 
 
5.- Igual al ejercicio anterior pero cuando la matriz asociada a la transformación f : R
3
 R
3
, 
respecto de la base canónica, es : 
 i) A = 













466
353
331
 ii) A = 












411
121
221
 
 
10 
 
AUTOEVALUACIÓN: TRANSFORMACIONES LINEALES 
 
1.- Responder V (Verdadero) o F (Falso). NO justificar la respuesta. 
 
a) f: R
2
 →R / f (x, y) = x.y es unatransformación lineal 
b) Si f (2 , –1 , 0) = (3 , –1) , f (0 , 2 , –2) = (4 , 4) y f (1 , 0 , 1) = (1 , –1)  la 
transformación lineal definida entre R
3
 y R
2
 es: f(x , y , z) = (x + y  z , y  z) 
 
c) Sea A = (
2 3
4 −2
) la matriz asociada a la transformación lineal f, entonces los autovalores 
de f son: 1 = 4 y 2 = –4 
 
d) En la transformación lineal f: R
3
 R
3
 / f (x , y , z) = (0 , x + y , 0), el N(f) = {(x , –x , z)} 
 
2.- Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta. 
a) Sabiendo que f: R
2
R
2
 es una transformación lineal y que f(1 , 0) = (0 , 2) y f(0 , 1) = (1 , 0), 
entonces f (3 , –3) = …………. 
b) Sea f: R
3
 R
2
 una transformación lineal tal que, respecto a las bases canónicas, su matriz 
asociada está dada por 𝐴 = (
1 2 −4
1 −1 3
), entonces: f(0 , 1 , 2) = …..…….. 
c) Dada la matriz 𝐴 = (
1 1 1
0 2 1
0 0 1
), sabiendo que v = (1 , 1 , 0) es un autovector de A, entonces 
el autovalor de dicho vector es: =……………. 
d) Sea la matriz 𝐴 = (
0 1 1
1 0 1
1 1 0
), sabiendo que L(–1) = {(x , y , –x – y)} y L(2) = {(x , x , x)} 
son los sub-espacios asociados a sus autovalores, entonces la matriz A es diagonalizable y está 
dada por: ( ) 
3.- Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna 
es, escribir una N. 
a) Dada A=










100
010
011
, asociada a la transformación f: R
3
 R
3
, entonces una base de L(1) es: 
A) [L(1)] = {(1 , 0 , 0) , (0 , 1 , 0)} B) [L(1)] = {(1 , 0 , 0) , (0 , 0 , 1)} 
C) [L(1)] = {(0 , 1 , 0) , (0 , 0 , 1)} D) [L(1)] = {(1 , 0 , 0) , (0 , 0 , –1)} 
 
 
11 
 
b) El núcleo de la transformación lineal f : R
3
 R
2
 / f (x , y , z) = (x + y , z) es: 
A) N(f) = {(0 , –x , x)} B) N(f) = {(x , x , 0)} 
C) N(f) = {(–x , –x , 0)} D)N(f) = {(x , –x , 0)} 
c) La transformación lineal f: R
2
 R
3
 tal que: f(2 , 2)= (6 , –2 , 0) y f(1 , 0) = (1 , –1 , –1) es: 
A) f(x , y) = (x + 2y , −x , y − x) B) f(x , y) = (x − 2y , −x , y − x) 
C) f(x , y) = (x − 2y , −x , x − y) C) f(x , y) = (x + 2y , −x , x − y) 
d) Dada la matriz A=(
7 0 −2
1 3 0
2 2 2
), sus autovalores son: 
A) Números complejos B) 1 = 2 = 5 y 3 = 2 
C) 1 = 2 = 2 y 3 = 5 D)1 = 2 = 3 = 2 
 
 
 
 
12 
 
TEMA: “CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA” 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA 
Torres Bugeau, C.; Lasserre, A.; García, A. (2015). “Elementos de Álgebra y Geometría Analítica”. Vol. III. 
Académica Ediciones. Jujuy. Argentina. 
Di Caro, H. (1984). “Álgebra y Elementos de Geometría Analítica”. Volumen II. Gráf. Munro Ed. Argentina. 
Di Pietro, Donato. (1999). “Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Nomografía”. Ed. Alsina. 
Argentina. 
Lehman, Charles. (1995). “Geometría Analítica”. Ed. Limusa. 
Spiegel Murray R., Moyer Robert E. (2007): “Álgebra Superior”, McGraw Hill. México. 
Zill Denis, Dewar J. (2012). “Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica”. Mc Graw Hill. México. 
 
CUESTIONARIO DE REPASO 
1.- ¿Cómo se define Circunferencia? 
2.- ¿Cómo se obtiene la ecuación de una Circunferencia centrada en el origen y radio “r”? 
3.- ¿Qué relación guardan la tangente a una Circunferencia, en un punto perteneciente a la misma, 
con el radio correspondiente a ese punto? 
4.- ¿Cuál es la ecuación canónica de una circunferencia, con centro en (h, k) y radio “r”? 
5.- Dada la ecuación general de 2º grado en dos variables: Ax
2
 + B y
2 
+ Dx + Ey + F = 0, ¿qué 
condición deben cumplir los coeficientes A y B para que represente una Circunferencia? 
6.- ¿Cuántos datos se necesitan para poder escribir la ecuación de una circunferencia: 
a) con centro en el origen y radio “r” ; b) con centro en (h, k) y radio “r”? 
7.- ¿Cómo se define Parábola? 
8.- ¿Cómo se obtiene la ecuación de una Parábola con vértice en el origen y eje “x”? 
9.- ¿Cuáles son los elementos de una Parábola? 
10.- ¿Cuál es la ecuación de una Parábola, con centro en (h, k)? 
11.- Dada la ecuación de una Parábola, ¿qué característica distingue al eje focal? 
12.- Dada la ecuación general de 2º grado en dos variables: Ax
2
 + B y
2 
+ Dx + Ey + F = 0, ¿qué 
condición deben cumplir el coeficiente A ó B para que represente una Parábola? 
13.- Dada la Parábola: y
2
 = 4px, y un punto P(x, y), perteneciente a la misma, ¿cuál es la ecuación 
de la tangente a la Parábola? 
14.- ¿Cuántos datos se necesitan para poder escribir la ecuación de una Parábola: 
a) con vértice en el origen? ; b) con vértice en (h, k)? 
15.- ¿Cuál es la Propiedad Focal de la Parábola? 
 
 
13 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
Ejemplo 1: Determinar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene como centro C (3 , 6) , y 
que pasa por el punto (4 , 4) . 
Ecuación canónica:   222 rkyhx  
  222 63 ryx  
Para calcular el valor del radio r, hacemos cumplir la condición de que todo punto de la 
circunferencia debe verificar la ecuación, por lo tanto el punto ( 4 , 4 ) debe hacerlo. 
  
222 6434 r 
25 r 
Entonces la ecuación canónica es:   563 22  yx 
Representación gráfica: 
 
Ejemplo 2: Para la siguiente circunferencia 02186
22  yyxx , determinar las 
coordenadas del centro y el radio. 
Llevar la ecuación a su forma canónica, lo cual se logra completando trinomios cuadrados perfectos 
en la ecuación general. 
  02116493 22  yx 
  443 22  yx 
Que es la ecuación canónica de la circunferencia de centro C (3 ,– 4) ; y radio r = 2. 
 
Ejemplo 3: Encontrar la ecuación canónica de la parábola que tiene como vértice el origen de 
coordenadas y tiene por foco el punto ( 3 , 0 ). 
La parábola solicitada, es de focal coincidente con el eje x, y ramas hacia la derecha, responde a la 
siguiente expresión canónica: y
2 
= 4p x 
Coordenadas del foco: F ( p , 0) = F ( 3 , 0 )  p = 3 
Entonces la ecuación canónica es: y
2
 = 12 x 
 
14 
 
Ejemplo 4: Encontrar la ecuación canónica de la siguiente parábola 025122
2  xyy . 
Determinar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de su directriz y el lado recto. 
Para llevar a su forma canónica debemos completar cuadrados: 

  2121
0251211
2
2


xy
xy
 
La ecuación canónica encontrada, es de la forma   hxpky  42 , por lo tanto se trata de una 
parábola con eje focal paralelo al eje x, con ramas hacia la derecha. 
 
Elementos: 
 
Las coordenadas del vértice: 
V ( h , k ) = V ( 2 ,– 1 ) 
Las coordenadas del foco: 
F ( h+p , k ) , 4p = 12  p = 3 F ( 5 ,– 1 ) 
Ecuación del eje focal: 
y = k ; y = –1 
Ecuación de la directriz: 
x = h – p ; x = –1 
Lado recto: 
LR = 4 p = 12 
 
Representación gráfica: 
 
 
 
 
 
15 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 19 
Circunferencia y Parábola 
EJERCICIOS A RESOLVER 
 
1.- Hallar las ecuaciones de las circunferencias determinadas por las condiciones que se indican, y 
representarlas gráficamente: 
a) Centro en el punto C(3 , 2) y radio, r = 6 
b) Centro en el punto (2 , 1) y contiene el punto (3 , 4) 
c) El diámetro es el segmento de extremos (1 , 2) y (2 , 1) 
d) El diámetro es el segmento de la recta x + 2y – 4 = 0 y comprendido entre los ejes 
coordenados. 
e) Es tangente a la recta 4x + 3y  25 = 0 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 
3x  y  7 = 0 y 2x + 3y  1 = 0 
f) Pasa por los puntos: P(2 , 1) , Q(2 , 2) y R(2 , 1) 
 
2.- En cada una de las siguientes ecuaciones verificar si corresponden a: una circunferencia real 
(indicar las coordenadas del centro y el radio) o una circunferencia imaginaria, o un punto. 
a) x2 + y2 + 3x  5y – 
1
2
 = 0 
b) 2x2 + 2y2  3x + 7y + 10 = 0 
c) x2 + y2 – 6x  4y + 13 = 0 
d) 3x2 + 3y2 + 5x – 6y + 1 = 0 
 
3.- Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que satisface la condición indicada 
en cada caso. Representar gráficamente: 
a) Foco en(0 , 3) 
b) Directriz: y  3 = 0 
c) Con eje de simetría en el eje “x” y pasa por el punto (3 , 6) 
d) Foco (2 , 0) 
e) Pasa por (4 , 2) y su eje de simetría es el eje "y" 
4.- Determinar los elementos (vértice, foco, eje focal, directriz, excentricidad y lado recto) de las 
siguientes parábolas. Representar gráficamente. 
a) y
2
 = 8x b) x
2 
= 10y c) 2y
2
 = 10x 
d) x
2
 + 16y = 0 e) y
2
 + 4x – 4y + 8 = 0 b) x
2
 + 2x – 4y + 9 = 0 
 
5.- Hallar los elementos (vértice, foco, eje focal, directriz, excentricidad y lado recto) y la ecuación 
canónica de la parábola que cumple con las siguientes condiciones. Representar gráficamente: 
 
16 
 
a) De foco (3 , 2) y vértice (5 , 2). 
b) De foco (3 , 4) y vértice (1 , 4). 
c) De foco (3 ,2) y directriz y  2 = 0 
d) Con vértice V (4 , 6), eje focal paralelo al eje “x”, y pasa por (–4 , –2). 
e) De eje paralelo a “y”, vértice en “x” y que pasa por los puntos A(2 , 3) y B(−1 , 12). 
f) De eje horizontal y que pasa por los puntos (6 , 4) , (0 , 2) y (6 , 4). 
 
6.- Hallar la ecuación de las siguientes parábolas y escribir todos sus elementos (vértice, foco, 
directriz, lado recto y excentricidad): 
 
7.- Hallar y graficar el lugar geométrico de los puntos P(x , y): 
a) Que disten 4 unidades de C(–3 , 4) 
b) Cuya suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos fijos (2 , 3) y (–1 , –2) sea igual a 
49 
c) Tales que las rectas que los unen a los puntos (4 , 5) y (–2 , 1) son perpendiculares 
d) Cuya distancia a A(2 , 0) sea el doble de la distancia a B(1 , 0) 
8.- Hallar y graficar el lugar geométrico de los puntos P(x , y), equidistantes del punto fijo: 
a) (3 , 2) y del eje “y” 
b) (1 , 0) y de la recta x = 1 
c) (0 , 5) y de la recta y = 5 
 
9.-Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia: 
a) x2 + y2  2x + 3y  18 = 0, que pasa por el punto (1 , 1) 
b) (x + 7)2 + (y – 5)2 – 25 = 0, que pasa por el punto P0 (–3 , 8) 
c) x2 + y2 = 5, paralela a la recta y = 2x + 1 
d) x2 + y2 + 6x – y – 6 = 0, que pasa por el punto P, de la circunferencia, de ordenada 3 
 
10.- Determinar la ecuación de la recta tangente a la parábola: 
a) x2 = 2y, paralela a la recta x – 2y – 4 = 0 
3 
−
4
3
 
x x x 
y y y 
a) b) c) 
 
17 
 
b) x2 = 2y, perpendicular a la recta y = 
3
2
 x  2 
c) x2 = 8y, que pasa por el punto (4 , 2) 
d) x2 = 8y, que pasa por el punto (0 , −
1
2
) 
 
11.- Un túnel de una carretera tiene la forma de un arco parabólico, que tiene 5 metros de ancho y 
4m de altura, ¿Cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 3m de ancho, 
para poder pasar por el túnel? 
12.- El cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los 
pilares que lo soportan tienen una altura de 60 metros y están separados por una distancia de 500 
metros, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 metros sobre la calzada del puente. 
Tomando como eje x la horizontal que define el puente, y como eje y el de simetría de la parábola, 
hallar la ecuación de ésta. Calcular la altura de un punto situado a 80 metros del centro del puente. 
 
 
18 
 
AUTOEVALUACION: CIRCUNFERENCIA Y PARÁBOLA 
 
1.- Responder V (Verdadero) o F (Falso). NO justificar la respuesta. 
a) La cónica de ecuación y
2
 + 8x – 2 y – 15 = 0 representa una parábola con vértice V(2 , 1) 
c) La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2 , 0), B(0 , 1) y C(1 , 1) es: 
x
2 
+ y
2 
 x + y 2 = 0 
 
b) El lugar geométrico de los puntos P(x , y) que equidistan del punto fijo F(2 , 4) y del eje x, 
es la parábola de ecuación: (x – 2)
2 
= – 8(y – 2) 
 
d) La ecuación de la recta tangente a la parábola x
2
 = 2y, que pasa por el punto P(4 , 8) es: 
y = 4x – 8 
 
 
2.- Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta. 
a) La ecuación canónica de la circunferencia de centro C(3 , −2) que contiene al punto P(1 , 3) 
es ……………………. 
b) La ecuación y
2 
− 6x − 4y − 20 = 0 corresponde a una parábola de vértice V(….…….) y foco 
F(…….….) 
c) La ecuación de la recta tangente a la parábola y
2
 = 4x que pasa por el punto P(–1 , 0) es: 
………………………. 
d) La parábola con foco F(1 , –2) y directriz: y – 2 = 0, tiene como ecuación canónica: 
………….......... 
 
3.- Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna 
es, escribir una N. 
 a) La parábola, cuya ecuación es y
2
 = 8x, tiene: 
A) F(2 , 0) y directriz x = 2 B) F(2 , 0) y directriz x = 2 
C) F(0 , 2) y directriz y = 2 D) F(0 , 2) y directriz y = 2 
b) Las coordenadas del vértice de la parábola y
2 
 4y = x  4, son: 
A) V(4 , 2) B) V(2 , 0) C) V(0 , 2) D) V(0 , 2) 
 
 
 
 
19 
 
c) La ecuación x
2
 +y
2
 – 2y 8 = 0 corresponde a la circunferencia de: 
A) C(0 , 1) y r = 3 B) C(0 , –1) y r = 3 
C) C(0 , –1) y r = 9 D) C(0 , 1) y r = 9 
 
d) La gráfica de la parábola de ecuación (y  1)
2
 = 4(x  2) es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
D) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
TEMA: “ELIPSE E HIPÉRBOLA” 
 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA 
Torres Bugeau, C.; Lasserre, A.; García, A. (2015). “Elementos de Álgebra y Geometría Analítica”. Vol. III. 
Académica Ediciones. Jujuy. Argentina. 
Di Caro, H. (1984). “Álgebra y Elementos de Geometría Analítica”. Volumen II. Gráf. Munro Ed. Argentina. 
Di Pietro, Donato. (1999). “Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Nomografía”. Ed. Alsina. 
Argentina. 
Lehman, Charles. (1995). “Geometría Analítica”. Ed. Limusa. 
Spiegel Murray R., Moyer Robert E. (2007): “Álgebra Superior”, McGraw Hill. México. 
Zill Denis, Dewar J. (2012). “Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica”. Mc Graw Hill. México. 
 
CUESTIONARIO DE REPASO 
1.- ¿Cómo se define Elipse? 
2.- ¿Cómo se obtiene la ecuación de una Elipse con centro en el origen y eje “x”? 
3.- ¿Cuáles son los elementos de una Elipse? 
4.- Dada la ecuación de una Elipse, ¿qué característica, en la ecuación, distingue el eje focal? 
5.- En la ecuación de una Elipse, ¿qué relación existe entre “a”, “b” y “c”? 
6.- ¿Cuál es la ecuación de una Elipse, con centro en (h, k)? 
7.- Dada la ecuación general de 2º grado en dos variables: Ax
2
 + By
2 
+ Dx + Ey + F = 0, ¿qué 
condición deben cumplir los coeficientes A y B para que represente una Elipse? 
8.- Dada la Elipse 1
2
2
2
2

b
y
a
x
, y un punto P(x, y), perteneciente a la misma, ¿cuál es la ecuación 
de la tangente a la Elipse? 
9.- ¿Con cuántos datos se debe contar para encontrar la ecuación de una Elipse: 
a) con centro en el origen? ; b) con centro en (h, k)? 
10.- ¿Cuál es la Propiedad Focal de la Elipse? 
11.- ¿Cómo se define Hipérbola? 
12.- ¿Cómo se obtiene la ecuación de una Hipérbola con centro en el origen y eje “x”? 
13.- ¿Cuáles son los elementos de una Hipérbola? 
14.- Dada la ecuación de una Hipérbola, ¿qué caracteriza su eje focal? 
15.- En la ecuación de una Hipérbola, ¿qué relación existe entre “a”, “b” y “c”? 
16.- ¿Cuál es la ecuación de una Hipérbola con centro en (h, k)? 
17.- Dada la ecuación general de 2º grado en dos variables: Ax
2
 + B y
2 
+ Dx + Ey + F = 0, ¿qué 
condición deben cumplir los coeficientes A y B para que represente una Hipérbola? 
 
21 
 
18.- Dada la Hipérbola 1
2
2
2
2

b
y
a
x
, y un punto P(x, y), perteneciente a la misma, ¿cuál es la 
ecuación de la tangente a la Hipérbola? 
19.- ¿Con cuántos datos se debe contar para encontrar la ecuación de una Hipérbola: 
a) con centro en el origen? ; b) con centro en (h, k)? 
20.- ¿Cómo se define Hipérbola Equilátera? 
21.- ¿Cuál es la Propiedad Focal de la Hipérbola? 
 
 
 
22 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
Ejemplo 1: Representargráficamente las siguientes ecuaciones: 0144724894
22  yxyx (1) 
y (2) 144169
22  yx 
La ecuación (1) representa una elipse ya que tiene sus términos cuadráticos distintos de cero, del 
mismo signo y con coeficientes distintos. Para graficar esta elipse expresaremos la ecuación dada en 
forma canónica. 
0144724894 22  yxyx 
Reordenando los términos: 144729484 22  yyxx 
Agrupando en x y en y extrayendo factor común: 144......) 8(9.....) 12(4 22  yyxx 
Completando los trinomios cuadrados perfectos: 
144144144)16 8(9)36 12(4 22  yyxx 
Factorizando los trinomios: 144)4(9)6(4 22  yx 
1
16
)4(
36
)6( 2
2



 yx
que es la ecuación canónica de la elipse. 
Observando la ecuación canónica de la elipse podemos deducir que 6a ; 4b ; 5220 c
 6h ; 4k .Por lo tanto los elementos de la elipse son: 
(6, 4) ; (6 2 5 ; 4)C F   ; )4 ; 66( V ; 
3
5
6
52
e ; 
3
16
6
162


LR Eje focal 4y ; 
Directriz 
5
518
3
5
6
6 x 
Representamos gráficamente la elipse 
 
 
23 
 
 
La ecuación (2) representa una hipérbola ya que sus términos cuadráticos son distintos de cero y 
tienen distintos signos. Para graficar expresamos esta ecuación en forma canónica. 
144169 22  yx 
1
916
22

yx
 Dividiendo en 144. 
Observando la ecuación canónica de la hipérbola podemos deducir que el eje real o eje transverso 
tiene 8 unidades de longitud por lo tanto 4a (semieje real o transverso), el eje imaginario o eje 
conjugado tiene 6 unidades de longitud, por lo tanto 3b (semieje imaginario o conjugado), 5c
y 0 kh En consecuencia los elementos de la hipérbola son: 
C (0, 0) 
F (±5, 0) 
V (±4, 0) 
4
5
e 
2
9
4
92


LR 
Directrices 
5
16
x 
Asíntotas xy
4
3
 
 
Finalmente representamos gráficamente la cónica. 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 20 
Elipse e Hipérbola 
EJERCICIOS A RESOLVER 
 
1.- Determinar los elementos (centro, focos, eje focal, vértices, lado recto y excentricidad) de las 
siguientes elipses. Representar gráficamente. 
2.- Hallar los elementos (centro, focos, eje focal, vértices, lado recto y excentricidad) y la ecuación 
canónica de la elipse que cumpla las condiciones indicadas en cada caso. Representar gráficamente. 
a) Focos en (±4 , 0) y vértices en (±5 , 0) 
b) Focos en (0 , ± 6) y semieje menor igual a 8 
c) Vértices en (±10 , 0) y lado recto igual a 5 
d) Focos en (±5 , 0) y e = 
5
8
 
e) Centro en ( 1 , 0 ), uno de sus vértices es (6 , 0) y pasa por el punto (5 , 2) 
f) Focos en (3 , 8) y (3 , 2) y la longitud de su eje menor es 8 
g) Centro sobre la recta y = 2x + 6, uno de sus focos en (0 , 4) y un vértice en (1 , 4) 
h) Centro en (4 , 1), un foco en (1 , 1) y que pasa por (8 , 0) 
3.- Para cada una de las siguientes ecuaciones, determinar si es una elipse real, un punto o una 
elipse imaginaria: 
a) 9x
2 
+ 25y
2
 + 36x – 50y – 164 = 0 b) 2x
2
+ 12x + y
2
 – 10y + 43 = 0 
c) 3x
2
 + 4y
2 
– 6x– 16y + 31 = 0 d) 8x
2 
+ 3y
2 
– 16x + 6y + 11 = 0 
4.- Determinar los elementos (centro, focos, vértices, lado recto, excentricidad y asíntotas) de las 
siguientes hipérbolas. Representar gráficamente. 
a) 7x
2 
– 9y
2 
= 63 b) 4y
2 
 9x
2 
 36 = 0 
c) y
2
 – 2x
2
 – 4x – 4y = 0 d) 9x
2 
– y 
2
 36x + 4y + 23 = 0 
5.- Determinar la ecuación canónica de las siguientes hipérbolas, los elementos (centro, focos, 
vértices, lado recto, excentricidad, eje focal y asíntotas) y representarlas gráficamente. 
a) Un foco F(0 , 5), un vértice V(0 , 3) y de centro C(0 , 0) 
b) Que tiene centro (0 , 0), eje real 8 y distancia focal 10 
a) 
𝑥2
8
+ 
𝑦
2
2
= 2 b) 
(𝑥−2)2
16
+ 
(𝑦−3)2
9
 = 1 
c) 3x
2
 + y
2
 – 24x + 39 = 0 d) 25x
2
 + 9y
2
 – 18y  216 = 0 
 
25 
 
c) Un foco F(7 , 2), un vértice V(5 , 2) y de centro C(3 , 2) 
d) Un foco F(−2 , 5), un vértice V(−2 , 3) y de centro C(−2 , −5) 
e) Con vértice en (0 , ±6) y excentricidad e = 
4
3
 
f) Con focos en (1 , 1) y (5 , 1) y un vértice V(0 , 1) 
g) Con focos en F(3 , 4), F’(3 , 2) y excentricidad e = 2 
h) Pasa por los puntos A(3 , 2) y B(7 , 6), tiene centro en el origen y el eje transverso (eje real) 
coincide con el eje x 
i) Determina la ecuación reducida (con centro en el origen) de una hipérbola que pasa por el 
punto (2 , √3) y su excentricidad es √3 
 
6.- Escribir las ecuaciones y los elementos de cada una de las siguientes gráficas: 
 
7.- Hallar el lugar geométrico: 
a) De los puntos P(x, y) tales que su distancia al punto (0 , 6) es 
3
2
 de la distancia a la recta de 
ecuación 3y = 8, e identificar a que cónica corresponde. 
 
b) De un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos A(3 , 0) y 
B(3 , 0) es siempre igual a 8. 
8.- Obtener la ecuación de la tangente a: 
a) 5x2 + y2 = 5 desde el punto (2 , 1) 
b) x2 + 4y2 = 5 en los puntos donde interseca a la recta y = x 
c) x2 + y2 = 4 paralela a la recta de ecuación x  y + 3 = 0 
8 
y 
x 
1 
0 2 
 
 (10,0) 
 0 
(-10,0) 
x 
y 
P(5,3) 
 
 
3 
4 
a) b) 
c) d) e) 
 
26 
 
d) 2x2  y2  20x  6y + 37 = 0 en el punto (7 , 1) 
e) x2 – y2 = 1 por P(0 , 1) 
 
9.- Dada la hipérbola 
(𝑦−1)2
3
−
(𝑥−2)2
9
= 1, 
a) Completar: 
 a = …………… b =……………………. 
V ( , ) V’ ( , ) F ( , ) F’ ( , ) 
Ecuación de las asíntotas: ……………………………. 
Ecuación del eje focal: ……………………………. 
b) Graficar la cónica 
 
10.- Obtenga la ecuación de la hipérbola que tiene como focos los extremos del eje menor de la 
elipse 16x
2
 + 25y
2
 – 625 = 0 y cuya excentricidad es recíproca a la que tiene la elipse. 
 
11.- La órbita de Mercurio es una elipse con el Sol en uno de sus focos. La longitud del eje mayor 
de esta órbita es de 72 millones de millas, y la longitud del eje menor es de 70.4 millones de millas. 
¿Cuál es la distancia mínima (perihelio) entre Mercurio y el Sol? ¿Cuál es la distancia máxima 
(afelio)? ¿Cuál es la excentricidad de la órbita de Mercurio? 
 
12.- Un arco de 80 m. de luz tiene forma semielíptica. Sabiendo que su altura es de 30 m. Hallar la 
altura del arco en un punto situado a 15 m. del centro. 
 
13.- Una pista de automóviles tiene forma de elipse, el eje mayor mide 10 km. y el eje menor 6 km. 
Determine la distancia a que se encuentra un carro del centro de la pista en el momento en que pasa 
a la altura de uno de los focos. 
 
 
 
27 
 
AUTOEVALUACIÓN: ELIPSE E HIPÉRBOLA 
 
1.- Responder V (Verdadero) o F (Falso). NO justificar la respuesta. 
a) La ecuación x
2
 + 2y
2
 – 10x + 12y + 43 = 0 corresponde a una elipse imaginaria 
b) La ecuación canónica de la hipérbola con V(±3 , 0) y e = 
4
3
, es 
𝑦2
7
− 
𝑥2
9
= 1 
c) Las asíntotas de la hipérbola 
(𝑥−2)2
4
− 
(𝑦+1)2
9
= 1, tienen como ecuación y + 1= ± 
3
2
 (x – 2) 
d) La ecuación de la recta tangente a la elipse 2x
2 
+ y
2
 = 2, paralela a la recta y = 2x, es: 
y = 2x ± 6 
 
2.- Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta. 
a) La elipse de ecuación 
𝑥2
4
+ 
(𝑦−1)2
9
= 1, tiene sus focos en F(….…) y sus vértices en V(….…) 
b) La ecuación de la hipérbola que tiene los vértices en (0 , ±4) y eje imaginario 6, es: …………. 
c) La ecuación 25x
2
 + 9y
2
 – 50x + 36y – 164 = 0 corresponde a una …………… de centro…....... 
d) Las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola –x
2
 + y
2
 = 25 son …………………………… 
3.-Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, 
escribir una N. 
a) La ecuación general de la siguiente hipérbola es: 
 A) y
2– x
2
 – 6y + 6x – 9 = 0 
 B) x
2 
– y
2
 – 6y + 6x – 9 = 0 
 C) x
2 
– y
2
 – 6y + 6x – 81 = 0 
 D) x
2 
– y
2 
– 9 = 0 
 
b) Las coordenadas de los focos de la hipérbola 
𝑥2
16
−
𝑦2
9
= 1 , son: 
A) (4 , 0) y (4 , 0) B) (5 , 0) y (5 , 0) C) (0 , 3) y (0 , 3) D) (0 , 5) y ( 0 , 5) 
c) Las asíntotas de la hipérbola 16 x
2 
 y
2
 = 1, tienen como ecuación: 
A) y = ±
1
4
x B) y = ±4x C) y = ±16x D) y = ±x 
d) Si la excentricidad de una elipse es e = 
3
5
 y el semieje mayor es a = 4, el semieje menor y la 
semidistancia focal valen: 
A) b =
8
5
 y c = 
12
5
 B) b = 
8
5
 y c =
24
5
 C) b = 
16
5
 y c =
12
5
 D) b = 
16
5
 y c =
24
5
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
TEMA: “SUPERFICIES ESFÉRICAS Y ELIPSOIDES” 
 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA 
Torres Bugeau, C.; Lasserre, A.; García, A. (2015). “Elementos de Álgebra y Geometría Analítica”. Vol. III. 
Académica Ediciones. Jujuy. Argentina. 
Di Caro, H. (1984). “Álgebra y Elementos de Geometría Analítica”. Volumen II. Gráf. Munro Ed. Argentina. 
Di Pietro, Donato. (1999). “Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Nomografía”. Ed. Alsina. 
Argentina. 
Lehman, Charles. (1995). “Geometría Analítica”. Ed. Limusa. 
 
CUESTIONARIO DE REPASO 
1.- Dada la ecuación general de 2º grado en tres variables: 
Ax
2
 + B y
2
 + C z
2
 + D x + E y + F z + G = 0, ¿qué condición deben cumplir los coeficientes A, B 
y C para que represente una esfera? 
2.- ¿Cuáles son las cuádricas con centro? 
3.- ¿Cómo se define superficie esférica? 
4.- ¿Cuántos puntos se necesitan para poder escribir la ecuación de una superficie esférica no 
centrada en el origen? 
5.- ¿Qué relación existe entre el radio de la esfera y un plano tangente a ella? 
6.- Dada la ecuación general de 2º grado en tres variables: 
Ax
2
 + B y
2
 + C z
2
 + D x + E y + F z + G = 0, ¿qué condición deben cumplir los coeficientes A, B 
y C para que represente un elipsoide? 
7.- ¿Cuál es la ecuación de un elipsoide con centro en (  ,, )? 
8.- ¿Cómo se reconoce cuál es el eje de un elipsoide? 
9.- ¿Cuál es la ecuación de un elipsoide con centro en el origen? 
i) ¿Cuáles son los pasos a seguir para analizar un Elipsoide? 
ii) Escribir las intersecciones del elipsoide con los ejes coordenados e identificarlas. 
iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: 
 a) x = k, cuando: k> 0 ; k = 0 y k < 0 
 b) y = k, cuando: k> 0 ; k = 0 y k < 0 
 c) z = k, cuando: k> 0 ; k = 0 y k < 0 
 
 
 
29 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
Ejemplo 1: Dada la ecuación x
2
 + y
2
 + z
2
 – 6x  8y – 6z + 9 = 0, hallar la ecuación canónica de 
la superficie que representa. 
1. Agrupamos los términos en x, en y, y en z para obtener trinomios cuadrados perfectos: 
(x
2
 – 6x + … ) + ( y
2
 – 8y + … ) + ( z
2
 – 6z + … ) = –9 
2. Obtenemos los trinomios cuadros perfectos: 
( x
2
 – 6x + 9) + ( y
2
 – 8y + 16 ) + ( z
2
 – 6 z + 9 ) = –9 + 9 + 16 + 9 
3. Y escribimos los cuadrados de un binomio 
( x – 3)
2
 + ( y – 4)
2
 + ( z – 3)
2
 = 25 
4. Obtenemos la ecuación de una superficie esférica con centro en ( 3, 4 , 3) y radio 5. 
 
 
Ejemplo 2: Identificar la superficie dada por la ecuación: 9x
2
 + 4y
2
 + z
2 
– 36x = 0, expresar la 
ecuación canónica y representarla gráficamente. Sombrear la superficie en el primer octante. 
Arreglamos la ecuación con el fin de completar cuadrados de binomios. 
9x
2
 + 4 y
2
 + z
2 
– 36x = 0 
9 (x
2
– 4x) + 4 y
2
 + z
2
 = 0 
9 (x
2
 – 4 x + 4 ) + 4 y
2
 + z
2
 = 36 
9 (x – 2)
2
 + 4 y
2
 + z
2
 = 36 
Multiplicando por 
1
36
 queda: 
(𝑥−2)2
4
+
𝑦2
9
+
𝑧2
36
= 1 
 
La ecuación resultante es un elipsoide de C ( 2 , 0 , 0 ) 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 21 
Superficies Esféricas y Elipsoides 
EJERCICIOS A RESOLVER 
 
1. Determinar las coordenadas del centro y el radio de las superficies esféricas siguientes: 
a) x2 + y2 + z2  6x  2y  4z + 5 = 0 
b) x2 + y2 + z2  6x  6y  7 = 0 
c) x2 + y2 + z2  8y + 16 = 0 
 
2. Hallar la ecuación de las siguientes superficies esféricas, indicar el centro y/o el radio: 
a) Con centro en C(2 , –1 , 2) y que contiene al punto A(0 , –1 , 2) 
b) Con centro en (0 , 0 , 0) y tangente al plano 9x  2y + 6z + 11 = 0. Graficar 
c) Con centro en (6 , 3 , 4) y que es tangente al eje x 
d) Con centro en C(– 2 , 1 , 2) y que sea tangente al plano XY. 
e) Tangente a los planos x – 2z – 8 = 0 ; 2x – z + 5 = 0 y que tiene su centro en la recta {
𝑦 = 0
𝑥 = 2
 
f) Que pasa por los puntos (1 , 3 , 2) ; (3 , 2 , 5) ; (0 , 1 , 0) y (0 , 0 , 0) 
 
3. Analizar las superficies cuyas ecuaciones se indican, según los siguientes pasos: 
I. Identificar la superficie. 
II. Realizar la figura de análisis. 
III. Encontrar e identificar las intersecciones con los ejes coordenados. 
IV. Encontrar e identificar las trazas sobre los planos coordenados. 
V. Encontrar e identificar las secciones sobre planos paralelos a los planos coordenados. 
VI. Representar gráficamente la superficie. 
VII. Graficar en el primer octante la superficie limitada por los planos dados. 
a) x2 + y2 + z2 = 49 ; y = 3 ; y = 5 
b) x2 + y2 + z2 = 100 ; x = 0 ; x = 5 
c) x2 + y2 + z2 = 16 ; z = 0 ; z = 3 
 
4. Hallar los puntos de intersección de la superficie esférica 
x
2
 + y
2
 + z
2 
– 4x + 6y + 8z + 20 = 0 con la recta : x – 1 = 
𝑦+1
−2
= 
𝑧+6
2
 
5. Escribir la ecuación del elipsoide con centro en el origen y cuyos radios tienen las siguientes 
medidas: a = 5, b = 4 y c = 3 
 
32 
 
6. Analizar las superficies cuyas ecuaciones se indican, según los pasos dados en el punto 3. 
a) 1
9
z
16
y
4
x 222
 , i) con los planos y = 1 e y = 3 
 ii) con los planos z = 2 y z = 3 
b) 1
4
z
9
y
x
22
2  , con los planos z = 0 y z = 1 
c) 1
9
z
4
y
4
x 222
 , i) con los planos x = 0 y x = 1 
 ii) con los planos y = 1 e y = 2 
 iii) con los planos z = 1 y z = 2 
d) 3x2 + 6y2 + 2z2  6 = 0, con los planos x = 0 y x = 1 
 
7. Hallar e identificar el lugar geométrico de los puntos del espacio: 
a) Cuya distancia al origen es siempre 4 
b) Cuya distancia al punto fijo A(1 , 3 , 2), es 3 
c) Cuya suma de distancias a los puntos (3 , 0 , 0) y (3 , 0 , 0) es constante e igual a 8 
 
 
 
33 
 
AUTOEVALUACIÓN: SUPERFICIES ESFÉRICAS Y ELIPSOIDES 
1.- Responder V (Verdadero) o F (Falso). NO justificar la respuesta. 
a) La intersección del plano y = 4 con la superficie x
2
 + y
2 
+ z
2
 = 16 es un punto 
b) La superficie esférica de ecuación x
2
 + y
2
 + z
2
 – 2x – 4z + 1 = 0, tiene como centro C(1,0,2) 
y radio r = 4 
 
c) El lugar geométrico de los puntos P(x , y , z) cuya suma de distancias a los puntos (0, 2, 0) y 
(0, –2, 0) es constante e igual a 8, es un elipsoide de ecuación: 4x
2
 + 3y
2
 + 4z
2
 – 48 = 0 
 
d) La intersección de la superficie 
𝑥2
4
+ 
𝑦2
16
+ 
𝑧2
9
= 1 con el eje x son los puntos (±4, 0, 0) 
2.- Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta. 
a) La ecuación de la superficie esférica con centro (4, –2, 3) y tangente al plano x – z = 4 es 
……………………………. 
b) La cónica que se obtiene al intersecar la superficie 
𝑥2
4
+ 
𝑦2
9
+ 
𝑧2
4
= 1 con el plano coordenado 
XY tiene por ecuación canónica a …………………y representa una ……..……..… 
c) La ecuación de la superficie esférica que pasa por los puntos A(1, 1, 1), B(1, 2, 1), C(1, 1, 2) y 
D(2, 1, 1) es ………………………………….. 
d) La ecuación del plano perpendicular a la superficie esférica x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4 = 0 en 
el punto P(2, 4, –3) es ……………………………. 
3.-Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, 
escribir una N. 
a) La intersecciónde la superficie de ecuación 4x
2
 + y
2
 + z
2 
= 4: con el plano z = 4 es: 
A) Un punto B) Una elipse C) Una circunferencia D) No existe intersección 
 
b) El lugar geométrico de los puntos del espacio, cuya distancia al punto fijo C(1 , –2 , 3) es 
igual a 3, es una superficie esférica de ecuación: 
A) (x – 1)
2
 + (y + 2)
2
 + (z – 3)
2
 = 3 B) (x – 1)
2
 + (y + 2)
2
 + (z – 3)
2
 = 9 
C) (x + 1)
2
 + (y – 2)
2
 + (z + 3)
2
 = 9 D) (x – 1)
2
 + (y – 2)
2
 + (z – 3)
2
 = 9 
 
 
 
 
34 
 
c) La traza TXZ de la superficie 1
924
222

zyx
, es la: 
A) Elipse: 
𝑥2
4
+
𝑦2
2
= 1 B) Elipse: 
𝑦2
2
+
𝑧2
9
= 1 
C) Elipse: 
𝑥2
4
+
𝑧2
9
= 1 D) Hipérbola: 
𝑥2
4
−
𝑧2
9
= 1 
d) La ecuación de la superficie esférica con centro (3, –1, 2) y tangente al plano YZ es: 
A) (x – 3)
2
 + (y + 1)
2
 + (z – 2)
2
 = 3 B) (x + 3)
2
 + (y – 1)
2
 + (z + 2)
2
 = 9 
C) (x + 3)
2
 + (y – 1)
2
 + (z + 2)
2
 = 3 D) (x – 3)
2
 + (y + 1)
2
 + (z – 2)
2
 = 9 
 
 
 
 
 
 
35 
 
TEMA: “SUPERFICIES HIPERBÓLICAS Y PARABÓLICAS” 
 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA 
Torres Bugeau, C.; Lasserre, A.; García, A. (2015). “Elementos de Álgebra y Geometría Analítica”. Vol. III. 
Académica Ediciones. Jujuy. Argentina. 
Di Caro, H. (1984). “Álgebra y Elementos de Geometría Analítica”. Volumen II. Gráf. Munro Ed. Argentina. 
Di Pietro, Donato. (1999). “Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Nomografía”. Ed. Alsina. 
Argentina. 
Lehman, Charles. (1995). “Geometría Analítica”. Ed. Limusa. 
 
CUESTIONARIO DE REPASO 
1.- Escribir la ecuación de un Hiperboloide de una Hoja. 
2.- En la ecuación de un Hiperboloide de una Hoja, ¿qué caracteriza su eje? 
3.- Escribir la ecuación de un Hiperboloide de una Hoja de eje “z” 
i) ¿Cuáles son los pasos a seguir para analizar un Hiperboloide de una Hoja? 
ii) Escribir las intersecciones del Hiperboloide de una Hoja con los ejes coordenados e 
identificarlas. 
iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: 
a) x = k, cuando: k > 0 ; k = 0 y k < 0 
b) y = k, cuando: k > 0 ; k = 0 y k < 0 
c) z = k, cuando: k > 0 ; k = 0 y k < 0 
4.- Escribir la ecuación de un Hiperboloide de dos Hojas. 
5.- ¿Cómo se diferencia un Hiperboloide de una Hoja con un Hiperboloide de dos Hojas? 
6.- En la ecuación de un Hiperboloide de dos Hojas, ¿qué caracteriza su eje? 
7.- Escribirla ecuación de un Hiperboloide de dos Hojas de eje “y”. 
i) ¿Cuáles son los pasos a seguir para analizar un Hiperboloide de dos Hojas? 
ii) Escribir las intersecciones del Hiperboloide de dos Hojas con los ejes coordenados e 
identificarlas. 
iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: 
a) x = k, cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
b) y = k cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
c) z = k cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
8.- Escribirla ecuación de un Paraboloide Elíptico. 
9.- En la ecuación de un Paraboloide Elíptico, ¿Qué caracteriza su eje? 
 
36 
 
10.- Escribirla ecuación de un Paraboloide Elíptico de eje “y”. 
i) ¿Cuáles son los pasos a seguir para analizar un Paraboloide Elíptico? 
ii) Escribir las intersecciones del Paraboloide Elíptico con los ejes coordenados e identificarlas. 
iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: 
a) x = k, cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
b) y = k cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
c) z = k cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
11.- Escribirla ecuación de un Paraboloide Hiperbólico. 
12.- En la ecuación de un Paraboloide Hiperbólico, ¿Qué caracteriza su eje? 
13.- Escribirla ecuación de un Paraboloide Hiperbólico de eje “z” 
i) ¿Cuáles son los pasos a seguir para analizar un Paraboloide Hiperbólico? 
ii) Escribir las intersecciones del Paraboloide Hiperbólico con los ejes coordenados e identificarlas. 
iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: 
a) x = k, cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
b) y = k cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
c) z = k cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
 
 
 
 
 
37 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
Ejemplo 1: Estudiar y graficar los hiperboloides, cuyas ecuaciones se indican. 
 a) 1
9
z
16
y
4
x 222
 
I. Identificación de la superficie: 
1
9
z
16
y
4
x 222
 Hiperboloide de una hoja con eje en el eje Z 
II. Intersección con los ejes coordenados: 
a) Intersección con el eje X: y = 0 ; z = 0  41
4
2
 x
x
x = ±2 
Son los puntos: (2, 0, 0 ) y ( 2 , 0 , 0 ) 
ii) Intersección con el eje Y: x = 0 ; z = 0  16y1
16
y2
 y = ±4 
Son los puntos: (0, 4 , 0 ) y ( 0 , 4 , 0 ) 
iii) Intersección con el eje Z:  x = 0 y = 0  9z9z
2   No  
intersección real con el eje Z 
 
III. Trazas sobre los planos coordenados: 
i) Traza sobre el plano XY: z = 0 
1
16
y
4
x 22

 
Elipse con eje focal en el eje Y 
ii) Traza sobre el plano XZ: y = 0 
1
9
z
4
x 22
 Hipérbola con eje focal en el eje X 
iii) Traza sobre el plano YZ: x = 0 
1
9
z
16
y 22
  Hipérbola con eje focal en el eje Y 
 
IV. Intersección con el plano paralelo al plano coordenado XY: 
Para z = ±3: 
 
1
9
3
164
222



yx
 1
32
y
8
x 22
 Elipse con eje focal en el eje Y 
V. i) Gráfico completo 
 
ii) Graficar, en el primer octante, la superficie limitada por los planos z = 0 y z = 3 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 36 x
2
 – 9 y
2
 – 4 z
2
 – 36 = 0 ; x = 3 y x = 5 
I. Identificación de la superficie: 
1
941
222

zyx
 Hiperboloide de dos hojas con eje en el eje X 
II. Intersección con los ejes coordenados: 
i) Intersección con el eje X:  y = 0 ; z = 0  11
1
2
 x
x
 x = ±1 
Son los puntos: V( 1 , 0 , 0 ) y V´( 1 , 0 , 0 ) 
ii) Intersección con el eje Y:  x = 0 ; z = 0  41
4
2
 y
y
 
 No intersección real con el eje Y 
iii) Intersección con el eje Z:  x = 0 ; y = 0  91
9
2
 z
z
 
 No  intersección real con el eje Z 
 
III. Trazas sobre los planos coordenados: 
i) Traza sobre el plano XY:  z = 0 
1
41
22

yx
 Hipérbola con eje focal en el eje X 
ii) Traza sobre el plano XZ:  y = 0: 
1
91
22

zx
 Hipérbola con eje focal en el eje X 
iii) Traza sobre el plano YZ:  x = 0: 
1
94
22

zy
 No existe intersección real 
32 32 
8 
8 
32 32 
8 
8 
4
 
4
 
2
 
3
 
3
 
2
 
x 
y 
z 
 
39 
 
IV. Intersección con los planos paralelos al plano coordenado YZ: 
Para x = 3: 1
7232
22

zy
Elipse con eje focal paralelo al eje z 
Para x = 5: 1
21696
22

zy
 Elipse con eje focal paralelo al eje z 
V. Gráfico completo 
ii) Grafico, en el primer octante de la superficie limitada por los planos x = 3 y x = 5 
 
 
Ejemplo 2: Estudiar los siguientes paraboloides, cuyas ecuaciones se indican. 
 
a) 3 x
2
 + 2 y
2
 = 6 z ; z = 3 
 
I. Identificación de la superficie: 
z
3
y
2
x 22
 Paraboloide elíptico con eje en el eje z 
 
II. Intersección con los ejes coordenados: 
i) Intersección con el eje x: y = 0 ; z = 0  0x0
2
x 2
 
Es el punto: V (0, 0, 0) 
ii) Intersección con el eje y: x = 0 ; z = 0  0y0
3
y2
 
Es el punto: (0, 0, 0) 
iii) Intersección con el eje z: x = 0 ; y = 0 z = 0 
Es el punto: (0, 0, 0) 
 
40 
 
 
III. Trazas sobre los planos coordenados: 
i) Traza sobre el plano XY: z = 0 
0
3
y
2
x 22
 Elipse reducida al punto (0, 0, 0) 
ii) Traza sobre el plano XZ: y = 0 
x
2
= 2 z Parábola con eje focal en el eje z, las ramas abrazan z
+
 
iii) Traza sobre el plano YZ: x = 0 
y
2
= 3 z Parábola con eje focal en el eje z, las ramas abrazan z
+
 
IV. Intersección con el plano paralelo al plano coordenado XY: 
Para z = 3: 1
9
y
6
x 22
 Elipse con eje focal paralelo al eje y 
V. i) Gráfico completo. 
ii) Grafico, en el primer octante de la superficie limitada por los planos z = 0 y z = 3 
 
 
 
b) x
2
 – 2 y
2
 = 8 z ; z = 2 y z = -2 
I. Identificación de la superficie: 
 
z
yx

48
22
 Paraboloide hiperbólico con eje en el eje z 
 
II. Intersección con los ejes coordenados: 
i) Intersección con el eje x: y = 0 ; z = 0  00
8
2
 x
x
 
Es el punto: (0, 0, 0) 
 
41 
 
ii) Intersección con el eje y: x = 0 ; z = 0  00
4
2
 y
y
 
Es el punto: (0, 0, 0) 
iii) Intersección con el eje z: x = 0 ; y = 0 z = 0 
Es el punto: (0, 0, 0) 
 
III. Trazas sobre los planos coordenados: 
 i) Traza sobre el plano XY:z = 0: 
0
48
22

yx
 Hipérbola reducida a dos rectas: (
𝑥
√8
+ 
𝑦
2
) . (
𝑥
√8
− 
𝑦
2
) = 0 
{
𝑥
√8
+ 
𝑦
2
= 0
𝑥
√8
− 
𝑦
2
= 0
 par de rectas 
 
 ii) Traza sobre el plano XZ: y = 0 x
2
 = 8 z Parábola con eje focal en el eje z y ramas 
que abrazan z
+ 
iii) Traza sobre el plano YZ: x = 0 y
2
 = 4 z Parábola con eje focal en el eje z y 
ramas que abrazan z
 
IV. Intersección con planos paralelos al plano coordenado XY: 
Para z = 2: 1
816
22

yx
 Hipérbola con eje focal paralelo al eje x 
Para z = 2: 1
168
22

xy
 Hipérbola con eje focal paralelo al eje y 
 
V. i) Gráfico completo. 
 
 
ii) Grafico en el primer octante de la superficie limitada por los planos z = 0 y z = 2 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 22 
Superficies Hiperbólicas 
EJERCICIOS A RESOLVER 
 
1.- Estudiar y representar las siguientes superficies, según los pasos que se indican a continuación: 
I. Identificar la superficie. 
II. Realizar la figura de análisis 
III. Encontrar e identificar las intersecciones con los ejes coordenados. 
IV. Encontrar e identificar las trazas sobre los planos coordenados. 
V. Encontrar e identificar las secciones sobre planos paralelos a los planos coordenados. 
VI. Representar gráficamente la superficie. 
VII. Graficar en el primer octante la superficie limitada por los planos dados. 
a) 
x2
4
+ 
y2
25
− 
z2
4
 = 1 z = ± 4 
b) 
𝑦2
9
+ 
𝑧2
9
− 𝑥2 = 1 x = ±√3 
c) 25y2  50x2 – 20z2 = 100 y = ± 6 
d) 
𝑥2
8
− 
𝑦2
7
− 
𝑧2
9
= 1 x = ± 8 
2.- Identificar las superficies dadas y graficar en el primer octante la porción de superficie limitada 
por los planos que se especifican en cada caso. Analizar y reconocer las trazas encontradas. 
a) 2x2  y2 + z2  4 = 0 ; limitada por: y = 0 , y = 2 
b) 
𝑥2
8
+ 
𝑦2
8
− 
𝑧2
5
= 5 ; limitada por: z = 0 , z = 5 
c) 2x2 + 4y2  3z2 = 24 ; limitada por: z = 0 , z = 4 
d) 2x2 + 2z2 – 3y2 = 18 ; limitada por: y = 0 , y = 6 
e) x2  4y2 + 4z2 + 4 = 0 ; limitada por: z = 0 , z = 4 
f) 2x2  4y2  3z2 24 = 0 ; limitada por: x = 0 , x = 6 
g) 
x2
9
+ 
y2
4
− 
z2
3
 = 1 ; limitada por: z = 0 , z = 3 
3.- a) Identificar y graficar la superficie: x
2
 – 3y
2 
+ z
2
 = 1; hallar e identificar las intersecciones con 
los ejes coordenados, las trazas sobre los planos coordenados y la traza sobre el plano y = √5 
b) Dada la superficie: 4x
2 
+ 8y
2
 – z
2 
= 16; 
i) Identificarla e indicar el eje si corresponde; 
ii) Hallar e identificar las trazas sobre el plano XY y sobre el plano z = 4; 
iii) Graficarla en el primer octante limitada por los planos z = 4 y z = 8 
 
44 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 23 
Superficies Parabólicas 
EJERCICIOS A RESOLVER 
 
1.- Estudiar y representar las siguientes superficies, según los pasos que se indican a continuación: 
I. Identificar la superficie. 
II. Realizar la figura de análisis 
III. Encontrar e identificar las intersecciones con los ejes coordenados. 
IV. Encontrar e identificar las trazas sobre los planos coordenados. 
V. Encontrar e identificar las secciones sobre planos paralelos a los planos coordenados. 
VI. Representar gráficamente la superficie. 
VII. Graficar en el primer octante la superficie limitada por los planos dados. 
a) z2
9
y
4
x
22

 
; z = 2 
b) z2
4
y
2
x
22
 ; z = ±4 
c) x2 + z2 – y = 0 ; y = 9 
d) x2 – 16y2 = 2z ; z = 8 
e) x2 + 4y2 = –4z ; z = –9 
f) 2x2 – y2 – 4z = 0 ; z =  2 
 
2.- Escribir la ecuación de la intersección de la superficie 9x
2
 + 4 y
2
 = z en los planos: 
a) x = 0 
b) y = 2 
c) z = 4 
Identificar las curvas, indicando en cada caso las coordenadas de los vértices. 
 
3.- Hallar, identificar y graficar el lugar geométrico de los puntos del espacio: 
a) Cuya diferencia de distancias a los puntos (0, 5 , 0) y (0 , 5 , 0) es igual a 6 
b) Que equidistan del punto (2, 1, 0) y del plano y = 3 
c) Cuya distancia al punto fijo (2, 1, 3) es el doble de la correspondiente al eje “x” 
 
 
 
45 
 
AUTOEVALUACIÓN: SUPERFICIES HIPERBÓLICAS Y PARABÓLICAS 
 
1.- Responder V (Verdadero) o F (Falso). NO justificar la respuesta. 
a) La intersección del plano z = 2 con la superficie 
x2
4
+ 
y2
25
− 
z2
4
 = 1 es una elipse con eje y 
b) Las trazas con el plano XY de la superficie de ecuación x
2
 – 4y
2
= 2z son las rectas x = ±2y 
c) La intersección de la superficie 
x2
4
−
y2
9
+ 
z2
16
= 1 con el eje y, son los puntos (0 , ±3 , 0) 
d) La ecuación 2x
2 
 4y
2 
 3z
2 
 24 = 0, corresponde a un hiperboloide de dos hojas con eje 
en y 
 
 
2.- Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta. 
a) La superficie de ecuación x
2 
 z
2
 – y = 0 corresponde a un …………………………………. 
con eje en………. 
b) La ecuación canónica de la traza TXZ de la superficie 3x
2
 + 4y
2
 – 9z = 0 es 
……………………. y representa una ……………………………… 
c) El lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan del punto (0 , 2 , 1) y del plano 
y = 2 representa un …………………., cuya ecuación es………………………….. 
d) La intersección de la superficie 
x2
2
−
y2
4
+
z2
9
= 1 con el plano y = –4 representa una 
.………..… y su ecuación es……………….. 
 
3.- Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna 
es, escribir una N. 
a) En la superficie x
2
 + 16y
2
 = 2z ; la traza sobre el plano z = 8 es una elipse: 
A) Imaginaria B) De eje focal x C) No existe elipse D) Ninguna es correcta 
b) Dada la superficie 0z
2
y
4
x 22
 , la traza sobre el plano: 
A) z = 2 es un punto B) z = 0 es una elipse real 
C) z = 2 es una elipse real D) z = 2 es una elipse imaginaria 
 
c) La ecuación de la siguiente superficie es: 
 
 
 
 
 
46 
 
 
A) 
x2
2
+
y2
4
−
z2
9
= 1 
B) 
x2
4
−
y2
16
+
z2
9
= 1 
C) 
x2
4
+
y2
16
−
z2
9
= 1 
D) 
x2
4
+
y2
16
+
z2
9
= 1 
 
 
 
d) La intersección del paraboloide: 
y2
4
− 
z2
9
− 2x = 0 con la recta: {
𝑥 =
1
2
𝑦 = 0
 , es: 
A) Un punto B) Una elipse 
C) No existe intersección D) Es una recta 
 
 
y 
x 
z 
 
 
47 
 
TEMA: “SUPERFICIES CILÍNDRICAS Y CÓNICAS” 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA 
Torres Bugeau, C.; Lasserre, A.; García, A. (2015). “Elementos de Álgebra y Geometría Analítica”. Vol. III. 
Académica Ediciones. Jujuy. Argentina. 
Di Caro, H. (1984). “Álgebra y Elementos de Geometría Analítica”. Volumen II. Gráf. Munro Ed. Argentina. 
Di Pietro, Donato. (1999). “Geometría Analítica del Plano y del Espacio. Nomografía”. Ed. Alsina. 
Argentina. 
Lehman, Charles. (1995). “Geometría Analítica”. Ed. Limusa. 
 
CUESTIONARIO DE REPASO 
1.- ¿Cómo se define superficie cilíndrica? 
2.-¿A qué se llama generatriz y a que se llama directriz? 
3.- ¿A qué se llama superficie cilíndrica “recta”? 
4.- ¿Cómo se reconoce el eje de una superficie cilíndrica recta? 
5.- Escribir la ecuación de un cilindro elíptico recto de eje “z”. 
6.- Escribir la ecuación de un cilindro hiperbólico recto de eje “y”. 
 i) Escribir las intersecciones con los ejes coordenados e identificarlas. 
ii) Encontrar las trazas con los planos coordenados e identificarlas. 
iii) Encontrar analíticamente sus trazas con: 
a) x = k, cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
b) y = k cuando:k  0 ; k = 0 y k  0 
c) z = k cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
7.- ¿A qué se llama superficie cónica? 
8.- ¿A qué se llama directriz, generatriz y vértice en una superficie cónica? 
9.- ¿Cómo se reconoce el eje de una superficie cónica recta? 
10.- Escribir la ecuación de una superficie cónica con vértice en el origen, de eje “Y”. 
a) Escribir las intersecciones con los ejes coordenados e identificarlas. 
b) Escribir las trazas con los planos coordenados e identificarlos. 
c) Encontrar analíticamente sus trazas con: 
i) x = k, cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
ii) y = k cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
iii) z = k cuando: k  0 ; k = 0 y k  0 
 
48 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
Ejemplo 1: Dadas las ecuaciones de superficies y planos limitantes: 
a) 1
916
22

yx
 y los planos z = – 5  z = 5. 
b) 
222 416 zyx  y los planos y = – 2  y = 4. 
Estudiarlas y representarlas gráficamente, siguiendo los siguientes pasos: 
I. Identificar la superficie. 
II. Encontrar e identificar las intersecciones con los ejes coordenados. 
III. Encontrar e identificar las trazas sobre los planos coordenados. 
IV. Encontrar e identificar las secciones sobre planos paralelos a los planos coordenados. 
V. Representar gráficamente la superficie. 
VI. Graficar en el primer octante la superficie limitada por los planos dados. 
Resolución: 
a) 1
916
22

yx
 y los planos z =  5 y z = 5. 
 I.- Identificación de la superficie 
Se trata de un cilindro hiperbólico recto, cuyas generatrices son paralelas al eje z (de la variable 
faltante), y la directriz es una hipérbola. 
 II.- Intersecciones con los ejes coordenados 
i) Intersección con eje “x”  y = z = 0 
 x =  4 , son los puntos (4 , 0 , 0 ) y ( 4 , 0 , 0 ) 
ii) Intersección con eje “y” x = z = 0 
 
 y
2
 = – 9  no  solución real 
 No existe intersección con el eje y 
 
iii) Intersección con eje “z” x = y = 0. 
 0 = 1 es un absurdo  No hay intersección con eje z. 
III.- Trazas sobre los planos coordenados 
i) Traza sobre el plano “x y”  z = 0 
 Hipérbola de eje focal en el eje “x”. 
ii) Traza sobre el plano “x z”  y = 0 
 
49 
 
  x = ± 4  son las rectas {
x = 4
y = 0 
 y {
𝑥 = − 4
𝑦 = 0 
 
iii) Traza sobre el plano “y z”  x = 0 
  y2 = – 9 No  solución real 
 no existe traza sobre el plano “y z”. 
IV.- Secciones sobre planos paralelos a los planos coordenados 
Sección sobre el plano paralelo al plano “x y”  z = k, con k  Re. 
Cualquiera sea k: es la hipérbola 1
916
22

yx
 , de eje focal paralelo al eje “x”. 
 V.- Representación grafica 
 VI.- Gráfica en el primer octante 
 
 
 
 
b) 
222 416 zyx  y los planos y = 4 y = 2 
0416 222  zyx 
I. Identificación de la superficie 
Se trata de una superficie cónica elíptica con vértice en el origen y eje “y” (Las tres variables 
están al cuadrado y tiene distinto signo) 
II. Intersección con los ejes coordenados 
i) Intersección con eje “x”: y = z = 0. 
  16 x
2
 = 0  x = 0, es el punto: (0 , 0 , 0) 
 
ii) Intersección con eje “y” x = z = 0. 
 
50 
 
  y = 0 , es el punto: (0 , 0 , 0) 
iii) Intersección con eje “z”  x = y = 0. 
  z = 0  Punto: (0, 0, 0) 
La superficie cónica intersecta a los tres ejes en el origen, este punto es el vértice de la 
superficie cónica. 
III. Trazas sobre los planos coordenados 
i) Traza sobre el plano “x y”  z = 0 
  es el par de rectas: 16 x
2
 y
2
 = 0 
 (4x +y) (4xy) = 0, el par de rectas está dado por: {
4x + y = 0
4x − y = 0
 
ii) Traza sobre el plano “x z”  y = 0 
  16 x
2
 4 z
2
 = 0  x = z = 0  la intersección es el punto (0, 0 , 0 ) 
 iii) Traza sobre el plano “y z”  x = 0 
 es el par de rectas y
2
 4z
2
 = 0 
( y + 2z) (y 2z) = 0, el par de rectas está dada por: {
𝑦 + 2𝑧 = 0
y − 2z = 0
 
IV. Secciones sobre planos paralelos a los coordenados 
 Sobre el plano “x z”  y = k, con k R. 
 
222 416 kzx  
Si k = – 2  
 
1
1
4
1
22

zx
 ; elipse de semiejes a = 1 y b = 1/2. 
Si k = 4  1
41
22

zx
 ; elipse de semiejes a = 2 y b = 1. 
V. Representación gráfica 
 
VI. Representación en el primer octante 
 
 
51 
 
TRABAJO PRÁCTICO N° 24 
Superficies Cilíndricas y Cónicas 
EJERCICIOS A RESOLVER 
 
1.- Estudiar y representar las siguientes superficies, según los pasos que se indican: 
I. Identificar la superficie. 
II. Realizar la figura de análisis 
III. Encontrar e identificar las intersecciones con los ejes coordenados. 
IV. Encontrar e identificar las trazas sobre los planos coordenados. 
V. Encontrar e identificar las secciones sobre planos paralelos a los planos coordenados. 
VI. Representar gráficamente la superficie. 
VII. Graficar en el primer octante la superficie limitada por los planos dados. 
a) 9 x2 + 16 y2 = 144 ; z = 0 y z = 4 
b) y2 + z2 = 16 ; x = 0 y x = 3 
c) 9 x 2 – 4 y2 = 36 ; z = 0 y z = 3 
d) y2 = 12x ; z = 0 y z = 5 
e) 3x2 + 18z = 0 ; y = 0 e y = 5 
f) x2 – y2 = 0 ; z = 0 y z = 4 
 
2.- Estudiar y representar las siguientes superficies cónicas, siguiendo los pasos del ítem anterior 
a) x2 + y2 – 4z2 = 0 ; z = ± 2 
b) 2x2 – 4y2 – z2 = 0 ; x = ± 2 
c) 9x2 + 4y2 – z2 = 0 ; z = ± 6 
d) x2 – 4y 2 + 2 z2 = 0 ; y = ± 5 
 
3.- Reconocer las superficies dadas y graficar en el primer octante, limitadas por los planos que se 
especifican en cada caso. Analizar y reconocer las trazas realizadas. 
a) –x2 + y2 – z2 = 0 ; y = 3 e y = 6 
b) 2y2 + 3x2 = 12 ; z = 2 y z = 5 
c) x2 + 4 y2 – z2 = 0 ; z = 0 y z = 5 
d) 4y2 x2 = 9 ; z = 2 y z = 4 
e) x2 + z2 = 9 ; y = 2 e y = 3 
f) x = 4y² ; z = 2 y z = 4 
 
 
52 
 
4.- a) Dada la superficie x
2
 + z
2
 = 9: 
i) Identificarla 
ii) Hallar e identificar las intersecciones con los ejes “x” y “z” 
iii) Hallar e identificar las trazas sobre los planos coordenados XY ,XZ, 
iv) Graficar en el primer octante la porción de superficie limitada por los planos y = 2 e y = 4 
b) Identificar y graficar la superficie x 
2
 + y 
2
 – z
2
 = 0; hallar e identificar las intersecciones 
con los ejes coordenados, las trazas sobre los planos coordenados y la traza sobre el plano z = 4 
c) Dada la superficie x
2
 + y
2
 – 2z
2
 = 0: 
i) Identificarla e indicar el eje si corresponde, 
ii) Hallar e identificar las intersecciones con el eje coordenado “x”, 
iii) Hallar e identificar las trazas sobre el plano coordenado XZ , 
iv) Graficar en el primer octante la porción de superficie limitada por los planos z = 0 y z = 2. 
 
5.- a) Hallarla ecuación del lugar geométrico de los puntos C del espacio tales que el área del 
triángulo ABC es 1, siendo A (0, –1, 0) y B (0, 1, 0). Identificar el lugar. 
b) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P del espacio, tales que la distancia al 
eje “z” es igual a 2. ¿Qué superficie es? 
c) Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P del espacio, tal que su distancia al 
plano “YZ” sea el doble de su distancia al eje “x”. 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
AUTOEVALUACIÓN: SUPERFICIES CILÍNDRICAS Y CÓNICAS 
 
1.- Responder V (Verdadero) o F (Falso). NO justificar la respuesta. 
a) La intersección de la superficie cilíndrica y
2
 = z con el plano x = 2 no existe 
b) La ecuación x
2
 + y
2
 – z
2
 = 0 corresponde a una superficie cónica con eje sobre el eje z 
c) La intersección del plano z = 2 con la superficie 4 x
2
 y
2
 + 4 z
2
 = 0 es una hipérbola con 
eje paralelo al eje y 
 
d) Las trazas TYZ de la superficie 4x
2
 + y
2
 = 4 son las rectas {
𝑥 = 0
𝑦 = ±2
 
 
 
2.- Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirsecon tinta. 
a) La ecuación x
2
 + 4y
2 
 16 = 0 representa en R
2
 una …………… y en R
3
, una……….............. 
b) Las trazas de la superficie x
2
 + y
2
 – z
2 
= 0 con el plano XZ son las …………… de 
ecuación{
𝑙 ……………
𝑙 ……………
 
c) La intersección de la superficie 9x
2
 + 4y
2
 = 36 con el plano z = 4 representa una ………….. de 
ecuación canónica…………………. 
d) El lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al eje “y” es igual a 4 
es……………. y representa una…………… 
3.- Escribir, con tinta y en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna 
es, escribir una N. 
a) La ecuación de la superficie cilíndrica es 
A) x
2
 – y = 0 
B) y
2
 + x = 0 
C) x
2
 + y = 0 
D) y
2
 – x = 0 
 
 
b) La intersección dela superficie cónica z
2
 = x
2
 + y
2 
con el plano y = 3 es una: 
A) Recta B) Circunferencia C) Hipérbola D) Elipse 
 
-y 
z 
x 
 
 
 
54 
 
c) La traza TYZ de la superficie 2x
2
 – 4y
2
 – z
2
 = 0: 
A) Es el origen del sistema B) Son las rectas 2y = ±z C) Una elipse D) No existe 
 
d) La intersección de la superficie 
𝑥2
25
−
𝑦2
9
= 1 con el plano z = 5 es una: 
A) Hipérbola de eje focal paralelo al eje X B) Elipse de eje focal paralelo al eje Y 
C) Hipérbola de eje focal paralelo al eje X D) Elipse de eje focal paralelo al eje X 
 
 
 
 
55 
 
AUTOEVALUACIÓN: Módulo III 
 
1.- Recuadrar con tinta, la letra correspondiente a las opciones correctas en cada uno de los enunciados. (16 puntos). 
a) Sea f: R
2
R
2 
una transformación lineal, con L(2) = {(x , x)} y L(3) = {(2y , y)}, entonces f es diagonalizable respecto 
 
 
 
 
 
 
2.- Completar con la respuesta que corresponda. Las respuestas deben escribirse con tinta (35 puntos). 
a) Sea f:R
2
R
3
 una transformación lineal tal que, respecto de las bases canónicas, su matriz asociada es 
A = (
1 −2
1 0
2 −1
), entonces f(x , y) = …..………………………………………………………..… 
b) La ecuación de la recta tangente a la parábola x
2
 = 4y, que pasa por el punto P(–2 , 1), es: ……………………..… 
c) La elipse con centro en (5 , 2), un vértice en (8 , 2) y que pasa por el punto (5 , 4), tiene como ecuación: 
…………………………………..……… 
d) El paraboloide de la gráfica tiene como traza sobre el plano z=3 la cónica de ecuación: ………………… y la traza 
sobre el plano XZ representa una:…………… 
 
 
 
 
 
 
e) Las trazas sobre el plano XZ de la superficie de ecuación x
2
 + 2y
2
 – 4z
2
 = 0 son las rectas: y 
 
de la base 
{(2 , 3), (2 , 1)} A 
y la matriz diagonal es 
D = (
2 0
0 3
) C 
{(1 , 1), (2 , 1)} B D = (
0 2
3 0
) D 
b) La ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x , y) que equidistan del punto (2 , 0) y de la recta x = 2 es 
y
2
 = 8x A 
x
2
 = 8y B 
 con eje focal coincidente con el eje 
𝑜𝑥⃗⃗⃗⃗ C 
 𝑜𝑦⃗⃗⃗⃗ D 
c) La hipérbola 
𝑥2
4
− 
(𝑦−2)2
9
= 1, tiene sus focos en 
(±√13 , 2) A 
y la ecuación de sus asíntotas es 
𝑦 − 2 = ±
2
3
𝑥 C 
(2 ,±√13) B 𝑦 − 2 = ±
3
2
𝑥 D 
d) La superficie esférica de ecuación x
2
 + y
2
 + z
2
  4x  6z + 9 = 0 tiene centro y radio 
C(2 , 0 , 3) y r = 4 A 
y la traza 
C(2 , 0 , 3) y r = 2 B 
 sobre el plano y = 1 es la cónica de ecuación 
(x – 2)
2
 + (z – 3)
2
 = 3 C 
 
(x – 2)
2
 + (z – 3)
2
 = 15 D 
……………. 
……………. 
……………. 
……………. 
-3 
-2 
2 
3 
1 
x 
 
56 
 
3.- Escribir con tinta, en el recuadro, la letra correspondiente a la respuesta correcta. Si ninguna es, escribir N (24 
puntos). 
a) Sea f: R
3 
 R
2 
/ f(x , y , z) = (2x – y , y + 2z) una transformación lineal, la matriz asociada a f respecto de las bases 
canónicas es: 
A) (
2 −1 0
0 1 2
) B) (
0 1 2
2 −1 0
) C) (
2 0
−1 1
0 2
) D) (
0 2
1 −1
2 0
) 
b) La ecuación canónica de la hipérbola con vértices en (±4 , 0) y lado recto de longitud igual a 
9
2
 , es: 
A) 
y2
16
− 
x
9
2
= 1 B) 
y2
9
− 
x
16
2
= 1 C) 
x2
9
− 
y
16
2
= 1 D) 
x2
16
− 
y
9
2
= 1 
c) La superficie de ecuación 
x2
9
− 
y
16
2
−
z2
4
= 1 tiene como traza sobre el plano YZ: 
A) una elipse real B) un punto C) una hipérbola D) una elipse imaginaria 
d) La traza sobre el plano z = 4 de la superficie cilíndrica y
2
 = 4z: 
A) son dos rectas paralelas al eje z B) son dos puntos C) son dos rectas paralelas al eje x D) 
no existe 
 
4.- Desarrollar el siguiente ejercicio en el reverso de la presente hoja. El desarrollo puede ser con lápiz (25 puntos). 
a) Demostrar que f: R
2
 R
2
 / f(x , y) = (2x – y , x) es transformación lineal. 
b) Hallar el N(f) y su dimensión. 
c) Hallar la I(f) y su dimensión.