MIT - FÍSICA I - TRANQUILATE

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FÍSICA I
MOVIMIENTO DE
INCLUSIÓN TOTAL
Esta recopilación fue realizada
por un integrante de MIT,
esperamos poder seguir
ayudando a los estudiantes
con los apuntes que
proporcionemos
TRANQUILATE
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 UNIDAD 1: Magnitudes Físicas. Errores de Medición 
 
¿Qué es la Física?: 
 
 Física es un término que proviene del griego phisis y que significa “realidad” o “naturaleza”. Se trata de 
la ciencia que estudia las propiedades de la naturaleza con la asistencia del lenguaje matemático. La física se 
encarga de las propiedades de la materia, la energía, el tiempo y sus interacciones. 
 Esta ciencia no es sólo teórica: también es una ciencia experimental. Sus conclusiones pueden ser 
verificadas mediante experimentos. Además sus teorías permiten realizar predicciones acerca de los 
experimentos futuros. 
 La física es considerada como una ciencia fundamental o central. Esta ciencia se encarga desde la 
descripción de partículas microscópicas hasta del nacimiento de las estrellas en el universo, por ejemplo. 
Magnitudes y Cantidades Físicas: 
 
 Una magnitud física es una propiedad o cualidad medible de un objeto o sistema físico, es decir, a la que 
se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición. Las magnitudes físicas se cuantifican 
usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa 
propiedad que posea el objeto patrón. 
 
 Las leyes de la física se expresan en función de cantidades fundamentales: longitud, masa y tiempo. La 
física es experimental, por ello los fenómenos observados deben ser medidos. Para medir una cantidad física 
se la compara con una unidad patrón adoptada convencionalmente. El resultado de una medición debe 
expresarse con un valor numérico y el símbolo de la unidad. 
 
Sistema de Unidades: 
 
 Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida. Definen un conjunto básico de 
unidades de medida a partir del cual se derivan el resto. Existen varios sistemas de unidades: 
 
 Sistema Internacional de Unidades (SI): es el sistema más usado. Sus unidades básicas son: 
el metro, el kilogramo, el segundo, el ampere, el kelvin, la candela y el mol. Las demás unidades 
son derivadas del Sistema Internacional. 
 Sistema métrico decimal: primer sistema unificado de medidas. 
 Sistema cegesimal (CGS): denominado así porque sus unidades básicas son el centímetro, 
el gramo y el segundo. 
 Sistema Natural: en el cual las unidades se escogen de forma que ciertas constantes físicas valgan 
exactamente 1. 
 Sistema técnico de unidades: derivado del sistema métrico con unidades del anterior. Este sistema 
está en desuso. 
 Sistema anglosajón de unidades: aún utilizado en algunos países anglosajones. Muchos de ellos lo 
están reemplazando por el Sistema Internacional de Unidades. 
 
 El sistema adoptado internacionalmente es el S.I. (Sistema Internacional) que tiene siete unidades básicas. 
 
 Longitud: m (metro) 
 Masa: kg (kilogramo) 
 Tiempo: s (segundo) 
 Temperatura: K (kelvin) 
 Cantidad de sustancia: mol 
 Corriente eléctrica: A (Ampere) 
 Intensidad lumínica: Cd (Candela) 
 
 Otras cantidades físicas como el volumen, fuerza, densidad, superficie, presión, etc. Se expresan en función 
de las anteriores y se llaman cantidades derivadas y sus unidades derivadas (N, Pa, Watt, Joule, etc.) 
 
http://definicion.de/ciencia
http://definicion.de/energia/
http://definicion.de/teoria
http://es.wikipedia.org/wiki/Cosa_(ontolog%C3%ADa)
http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_de_medida
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades
http://es.wikipedia.org/wiki/Metro
http://es.wikipedia.org/wiki/Kilogramo
http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_(unidad_de_tiempo)
http://es.wikipedia.org/wiki/Ampere
http://es.wikipedia.org/wiki/Kelvin
http://es.wikipedia.org/wiki/Candela
http://es.wikipedia.org/wiki/Mol
http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_derivadas_del_Sistema_Internacional
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_m%C3%A9trico_decimal
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_cegesimal
http://es.wikipedia.org/wiki/Cent%C3%ADmetro
http://es.wikipedia.org/wiki/Gramo
http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_(unidad_de_tiempo)
http://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_Planck
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_t%C3%A9cnico_de_unidades
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_anglosaj%C3%B3n_de_unidades
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Errores de Medición: 
 
 Para estudiar cuantitativamente los fenómenos naturales en general y los físicos en particular deben 
efectuarse mediciones y la técnica a emplear en la medida de una magnitud depende de las características de 
la misma, y del dispositivo experimental empleado, y la confianza que merezca el resultado de la medida 
dependerá a su vez del método usado, de la calidad del instrumental empleado y del entrenamiento del 
observador. Por la imposibilidad de disponer de métodos, instrumentos y observadores perfectos podemos 
afirmar que en toda medición hay una incertidumbre o indeterminación en el valor de una medida. 
 En consecuencia definiremos: 
 
 Error Absoluto de una medida: es la diferencia entre el valor medido ( ix ) y el valor verdadero de la 
magnitud. 
 La calidad de una medición depende no solamente del error absoluto cometido, sino también del tamaño de 
la magnitud. 
 
 Error relativo: es la relación entre el error absoluto de la medida y el valor verdadero de la magnitud. 
 
 Error porcentual: es la expresión del error relativo expresado en porcentaje. 
 Debemos notar que en general, tanto el error absoluto como el relativo, se podrán calcular únicamente en el 
caso de magnitudes discretas ya que sólo para ellas se puede conocer su valor verdadero, lo que es imposible 
cuando se miden magnitudes continuas. 
 
Por ello distinguiremos tres tipos de errores: 
 
 Errores Sistemáticos: se deben en general a defectos en el aparato o instrumento de medida empleado y 
a vicios del observador en el uso del método o la técnica elegida. Por ejemplo: el instrumento de 
medición dilatado por aumento de temperatura. 
 Si una medida tiene errores sistemáticos pequeños se dice que es de gran exactitud. En general, es muy 
difícil saber cuándo se comete un error sistemático y para eliminarlos se deberán contrastar previamente 
los instrumentos a emplear con otros más exactos y entrenar cuidadosamente a los observadores. 
 
 Errores de Apreciación: todo instrumento supuesto sin errores, posee una escala con la cual se compara 
la magnitud a medir. Esta escala posee divisiones, y en general, el valor de la magnitud no corresponde a 
un número entero de estas divisiones. 
 Supongamos efectuar la medición de una longitud empleado una regla milimetrada y que la lectura 
correspondiente se encuentre entre 14 y 15 mm. Es evidente que el valor medido es 14 mm y que la zona 
de indeterminación (d) de la medida es de 1 mm, puesto que la longitud medida se encuentra 
comprendida entre 14 y 15 mm. En general se acostumbra a tomar como zona de indeterminación de una 
medida al valor de la menor división de la escala del aparato empleado en cuyo caso el error de 
apreciación es igual o menor que la mitad del valor de la zona de indeterminación, es decir: 
 
 
 
 
 Así por ejemplo, en el caso anterior, la medida quedaría expresada de la siguiente manera: 
 
 
Donde ± 5 mm es el error de apreciación. Sabiendo con toda certeza que el valor verdadero está 
comprendido en dicho intervalo. 
 
 Errores Accidentales: se deben a factores no previsibles como la variación de las condiciones 
ambientales durante la medición, la falta de definición del objeto a medir (bordes no uniformes), fatiga 
momentánea del observador, etc. Los errores accidentales son más pequeños cuanto más preciso es el 
instrumento de medida usado y se agrupan en ambos sentido respecto de cero. 
 Si la medición de una magnitud hasido realizada n veces, todas ellas en iguales condiciones, es decir 
merecen igual confianza, se acepta que el valor más probable de la magnitud está dado por el promedio (
x ) de los valores obtenidos. 
 
2
ap
d
 
(14.5 0.5)mmx  
1 2 1...
n
i
n
x
x x x
x
n n
  
 

 
Tranquilate! Junto a la Física 
 De acuerdo con la Teoría de Gauss, el valor de x se aproximará tanto más al valor exacto cuanto 
mayor sea el número n de mediciones realizadas. Entonces podemos calcular el Error absoluto del valor 
más probable 
 
 
 Es posible establecer la indeterminación σ de x , es decir, la cota de error que, de acuerdo a las 
medidas realizadas, podrá tener x , puede afirmarse que este valor estará comprendido entre x + σ y x - 
σ (el intervalo de indeterminación valdrá 2σ), donde σ se calcula: 
 
 
 
 
 
 
 Donde i ix x   es la desviación de la medida ix de orden i. 
 De todo lo dicho se deduce que la medición de una magnitud resulta expresada por su valor más 
probable X y su indeterminación σ y que su valor está comprendido entre los límites: 
 
 
 Cuanto menor es σ tanto más exacto es el resultado de la medida. La indeterminación relativa está dada 
por: 
 
 o sea que 
 
 El error relativo y la indeterminación relativa son números adimensionales. Usualmente se 
 emplea la indeterminación porcentual, definida como: 
 
 
Propagación de Errores y Cifras Significativas: 
 
 Cuando se determina en forma indirecta el valor de una cantidad física el resultado tendrá un error debido 
a las incertidumbres de las cantidades que operan en el cálculo. Esto limita el número de cifras en el 
resultado quedando solamente las cifras significativas. 
 
 Dos buenas reglas prácticas son: 
1°) El resultado de un cálculo que implica productos y/o cocientes no debe tener más cifras 
significativas que el dato con menor número de cifras significativas que interviene en el cálculo. 
Por ejemplo: 40212,96 m × 3,8 m = 1,5 × 
510 m 
 7 c.s. 2 c.s. 2 c.s. 
2°) En el caso de sumas y/o restas, el resultado debe tener la misma cantidad de cifras significativas que 
el término con el menor número de lugares decimales. 
Por ejemplo: 300,3 m + 0,000220 m = 300,3 m 
 4 c.s. 3 c.s. 4 c.s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x x  
2 2
1 1
( )
( 1) ( 1)
n n
i
st
x x
n n n n



 
   
 
stx 
e
x

 e x  
% 100e e 
 
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 UNIDAD 2: Vectores 
 
Magnitudes escalares y vectoriales: 
 
 Las magnitudes escalares son aquellas que quedan completamente determinadas por un número que 
especifica su cuantía (módulo o magnitud) y un símbolo de la unidad. Operan según las reglas del cálculo 
algebraico. Ejemplo: volumen, masa, tiempo, etc. 
 
 Las magnitudes vectoriales son aquellas que, además del coeficiente numérico (módulo o magnitud) y del 
símbolo de la unidad, necesitan especificar su dirección y sentido. Estas cantidades se llaman vectores y 
operan de acuerdo al cálculo vectorial. Ejemplo: vector desplazamiento, 
vector velocidad, vector fuerza, etc. 
 
 El vector se representa gráficamente por un segmento orientado por 
una flecha y una longitud proporcional de su magnitud o módulo. 
 
 El vector desplazamiento mide el desplazamiento de un cuerpo 
especificando la distancia que se ha movido, la dirección y el sentido en 
el cual se mueve: 
 
Clasificación de vectores: 
 
 Vectores Libres: Son aquellos que cumplen la condición de igualdad y no 
necesariamente son coincidentes. Pueden ser trasladados paralelamente, sin variar. 
Ejemplo: Momento de rotación τ, impulso angular L. 
 
 La fuerza no es un vector libre, pues la acción de un cuerpo 
depende de su punto de aplicación. Las F1 y F2 si bien son iguales en 
módulo, dirección y sentido producen un momento de rotación 
distinto. 
 
 
 
 
 
 Vectores Deslizantes: Además de la condición de igualdad pueden 
actuar sobre la misma recta de acción, pero pueden tener distintos orígenes por 
ejemplo: el vector fuerza se puede aplicar en A o tirar con una cuerda en B. La 
fuerza es un vector deslizante. 
 
 
 Vectores Fijos o Aplicados: Son los que además de la propiedad de 
igualdad, tienen el mismo origen. Por ejemplo: el vector velocidad v , el vector desplazamiento D . 
 
 Vectores Opuestos: Son los que tienen igual módulo, igual dirección y sentido opuesto. (es el negativo 
de un vector A y A ). 
 
Vectores Unitarios o Versores: 
 
 Son vectores cuya magnitud es igual a 1 (uno). 
 
 Son adimensionales y se utilizan para señalar una dirección 
determinada. 
 
 
 
 
 
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  Es conveniente emplear vectores unitarios en las direcciones 
de los ejes coordenados. 
 
 Supongamos dos vectores A y B en el plano x-y, ambos 
pueden escribirse en función de sus componentes y de los 
versores como sigue: 
 
 
 
 
 
Operaciones con Vectores: 
 
 Hay dos maneras de operar: gráficamente y analíticamente 
 
 Método Grafico: 
 
 Suma de Vectores: 
 
 
 
 
 
 
 
Arriba el Método del Polígono, y abajo el Método del Paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resta de Vectores: 
 
 Para restar un vector A de otro B se suma el opuesto de este último ( B ): 
 
que se puede considerar como 
 
 Cuando se suman o restan vectores debe cuidarse que sean de la misma 
naturaleza. 
 
 Método Analítico: 
 
 Componentes de un vector: “Todo vector puede ser considerado como resultante de dos vectores de 
direcciones arbitrarias concurrentes en un punto sobre su recta de acción”. 
 
 Es esta propiedad la que permite transformar la suma geométrica en algebraica, por lo tanto, para sumar o 
restar vectores se procede a encontrar las componentes ortogonales del vector dado, designadas con los 
índices x e y. 
 
 Los componentes son colineales en las direcciones x e y por lo que se puede operar algebraicamente con 
ellas y no son otra cosa que las proyecciones ortogonales de los vectores A y B sobre los ejes dados. 
ˆ ˆ( )
ˆ ˆ( )
x y
x y
A i A j A
B i B j B
   
   
D A B  ( )D A B  
 
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 Los vectores componentes del vector resultante son: 
 
 
 
 
 
 
 El módulo de C es: 
 
 
 Y su dirección es: 
 
Producto vectorial: 
 
 El producto vectorial de dos vectores A y B (simbólicamente: A B ), se define como el vector 
perpendicular al plano determinado por A y B en la dirección de avance de un tornillo de rosca derecha que 
ha sido rotado de A hacia B . Un tornillo de rosca derecha es aquel que, si colocamos nuestra mano 
derecha como se muestra en la figura con los dedos señalando en la dirección de la rotación, el tornillo 
avanza en la dirección del pulgar. La mayoría de los tornillos ordinarios son de rosca derecha. 
 
 La magnitud del producto vectorial A B está dada por A B A B sen    
 Otra regla sencilla útil para establecer la dirección de A B es la siguiente: Colocar el pulgar, 
índice y el dedo mayor de la mano derecha en la posición mostrada en la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 De la definición del producto vectorial, llegamos a la conclusión de que: 
 
 
 
 Ya que el sentido de rotación del tornillo se invierte cuando el orden de los vectores se cambia, de modo 
que el producto vectorial es anticonmutativo. 
 
 Producto Escalar: 
 
 Es posible definir otras operaciones con vectores además de la suma. Una de estas operaciones es el 
producto escalar; otra es el producto vectorial. Entonces dados los vectores: 
 
 
 
 
 Donde  es el ángulo que se forma entre los vectores A y B . 
cosxA A  
yA A sen 
cosxB B  
yB B sen 
cos cosx
y
C A B
C A sen Bsen
 
 
   
   
2 2
x yC C C 
1 y
x
C
tg
C
 
( )A B B A   
ˆˆ ˆ( )
ˆˆ ˆ( )
x y z
x y z
A A i A j A k
B B i B j B k
  
  
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 El producto escalar de dos vectores A y B , representado por el símbolo A B , se define como la 
cantidad escalar obtenida hallando el producto de las magnitudes de A y B , con el coseno del ángulo entre 
los dos vectores. 
 
 
 Escribiendo ambos vectores en sus componentes rectangulares, obtenemos: 
 
 
 Aplicando propiedad distributiva, obtendremos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cos A B A B   
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )( )x y z x y zA B A i A j A k B i B j B k     
x x y y z zA B A B A B A B   
 
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 UNIDAD 3: Cinemática 
 
Definición: “Estudio del movimiento de los cuerpos esto es, su ubicación relativa en el espacio y en 
el tiempo, sin considerar las causas que lo provoca (fuerzas)”. 
 
Objetivo: Determinación de la trayectoria es decir la posición de un cuerpo en el espacio en función 
del tiempo. 
 
Trayectoria: Es la sucesiva posición de puntos en el espacio, donde queda definida una línea recta 
entre dos puntos sucesivos o cualquier otra forma pueda tomarse en el espacio. 
 
Cinemática de una partícula: 
 
 Para el estudio de la cinemática, tomaremos como referencia el movimiento de una partícula en línea recta, 
para poder introducirnos en algunos conceptos básicos de la cinemática. 
 
 También consideraremos simplemente el movimiento de una partícula únicamente, es decir, trataremos a 
un objeto complejo como si fuera un simple punto de masa. Esto nos permite despreciar todos los 
movimientos internos posibles (ejemplo, el movimiento de rotación del objeto o la vibración de sus partes) 
 
El movimiento es un concepto relativo. Un cuerpo se mueve respecto del observador. Esto es un 
“Referencial” o “Sistema de Referencia”: Sistema de coordenada fijo o anclado en el espacio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Clasificación de Movimiento: 
 
Según la trayectoria: 
 
 Movimiento rectilíneo: La trayectoria que describe el punto es una línea recta. 
 Movimiento curvilíneo: El punto describe una curva cambiando su dirección a medida que se 
desplaza. Casos particulares del movimiento curvilíneo son el movimiento circular describiendo un 
círculo en torno a un punto fijo, y las trayectorias elípticas y parabólicas. 
 
Según la velocidad: 
 
 Movimiento uniforme: La velocidad de movimiento es constante. 
 Movimiento uniformemente variado: La aceleración es constante (si negativa retardado, si 
positiva acelerado) como es el caso de los cuerpos en caída libre sometidos a la aceleración de 
la gravedad. 
 
Movimiento uniforme unidimensional: 
 
 También conocido como movimiento rectilíneo uniforme (MRU), trata del movimiento de una partícula a 
velocidad constante en forma horizontal (unidimensional) en función del tiempo, es decir, solo se moverá en 
sentido positivo o negativo al eje x de nuestro sistema de referencias. 
 
http://enciclopedia.us.es/index.php/Movimiento_circular
http://enciclopedia.us.es/index.php/Gravedad
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para ello debemos tener en claro algunos conceptos: 
 
 Vector Posición: Es el vector que nos permite ubicar nuestra 
partícula en el sistema de referencias ( 1x y 2x ). El vector posición 
depende del origen del sistema de referencias elegido. 
 
 Vector Desplazamiento: Es la diferencia entre la posición final de la 
partícula y su posición inicial ( 2 1x x x  ). El vector 
desplazamiento es independiente del origen del sistema referencial. 
 
 Por lo cual podemos definir desplazamiento como: “el cambio de posición de la partícula en el tiempo 
trascurrido”. 
 
 Empleando notación con vectores unitarios podríamos decir que: 
 
 
 
 Velocidad Media o Promedio (V ): Es el cociente entre el vector desplazamiento en un intervalo de tiempo. 
 
 
 
 
 De esta fórmula se puede sacar las siguientes afirmaciones: 
 Si el desplazamiento es negativo (-), la velocidad media tiene sentido negativo. 
 Si el desplazamiento es positivo (+), la velocidad media tiene sentido positivo. 
 Si el desplazamiento es cero, la velocidad media también lo es. 
 
 La V no dice cómo fue el movimiento entre las posiciones ix y fx (si fue más rápido o más lento al 
comienzo, o al final, o si fue constante) sólo se refiere al desplazamiento para ése intervalo de tiempo. Por ej. 
Si Ud. hace un recorrido alrededor de la manzana y regresa a su casa en un intervalo 
t , su 0V  pues 0x  . 
 
 Espacio Total Recorrido: es el desplazamiento que tuvo que recorrer una partícula hasta alcanzar su 
posición final. 
 
 
 
2 1 2 1ˆ ˆ ˆ( ) ( )x i x i x i x x       
f i
f i
x x x
V
t t t
 
 
 
 m
m
seg
 
  
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Rapidez Media: tanto “rapidez” como “velocidad” describen cuán rápidamente cambia la posición de un 
cuerpo, es una cantidad escalar y siempre positiva (+) 
 
 
 
 
 
 
 
Diagramas (v, t) y (x, t) 
 
 
 
 
 
 Velocidad Instantánea: Como la velocidad puede variar en magnitud y sentido, si se hacen los t más 
pequeños obtenemos mejor información. Si queremos la velocidad en un instante determinado tiempo, 
debemos hacer un t más pequeño y por lo tanto considerar un x también más pequeño alrededor del 
punto considerado ( )x t . Si tanto t como x tienden a cero podemos definir: 
 
 
 
 
 Rapidez Instantánea: Es la magnitud o módulo de la velocidad instantánea (o sea el valor absoluto de v ). 
 
 Es escalar y siempre positiva (+) 
 
 
 Cuando los intervalos se hacen más pequeños alrededor de 
P, llega un momento en que no se puede distinguir más entre 
secante y tangente de modo que la velocidad instantánea en 
P (o en cualquier punto arbitrario) es la pendiente de la 
tangente a la gráfica en dicho punto. 
 
 De la formula de velocidad, podemos obtener dos formulas 
para el MRU. 
 
 
 
 
 
Movimiento Uniforme Variado: 
 
 Si v cambia en magnitud, en dirección o sentido, la partícula tiene una 
aceleración que es la rapidez con que cambia su velocidad al transcurrir el 
tiempo. 
 
 Aceleración Media: 
 
 
 
 
 
 Al igual que el concepto de velocidad media, la aceleración media solo se 
refiere a la aceleración en ese intervalo de tiempo. Es decir, no nos dice si la 
aceleración en ese intervalo de tiempo es constante o varia en dicho 
intervalo. 
 Si en el intervalo de tiempo dicha aceleración no es constante, si queremos saber cuál es la aceleración en 
recorridoe
rapidez
t


( ) ( )
0 0
lim lim
t t t
t t
x x x dx
v
t t dt
 
   
 
  
 
dx
rapidez v
dt
 
f o
f o
v v v
a
t t t
 
 
 
m
seg
 
  
2
m
seg
 
  
0fx x
t
v

 0fx x v t  
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 un cierto punto del intervalo dicha aceleración se denomina aceleración instantánea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aceleración Instantánea: Es el límite de la aceleración media cuando 0t  . 
 
 
 
 También: 
 
 
 
 
 
 Si observamos la formula de la aceleración podremos notar que la misma puede tomar valores tanto 
negativos como positivos. Es decir, la aceleración representa el aumento o disminución de la velocidad, ya 
sea esta positiva o negativa. 
 
 Cuando hablamos de un MRU Variado, nos referimos a un aumento de la velocidad (MRU Acelerado) o a 
una disminución de la velocidad (MRU Retardado), siendo la velocidad positiva o negativa. 
 
 De la formula de la aceleración podemos obtener las siguientes formulas para el MRUV.Si hacemos un estudio más detallista del movimiento de una partícula con aceleración constante podremos 
obtener la siguiente fórmula: 
 
 
 
 De esta fórmula, y apoyándonos en las anteriores, podremos obtener las siguientes igualdades: 
 
 
 
 
 
 
 Caída Libre y Tiro Vertical: 
 
 Si permitimos que un cuerpo caiga en un vacio, de modo que la resistencia del aire no afecta su 
movimiento, encontramos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o 
composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta 
aceleración, denotada con el símbolo g, se denomina aceleración en caída libre. 
 
 La dirección de la aceleración en caída libre en un punto determina lo que queremos significar con las 
palabras “hacia abajo” en ese punto. 
0
lim
t
v dv
a
t dt 

 

2
2
dx
d
dv d xdt
a
dt dt dt
 
 
   
0v v
a
t


0v v a t  
0v v
t
a


2
0 0
1
2
x x v t a t     
2 2
0 02 ( )v v a x x    
0 0
1
( )
2
x x v v t    
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimientos hacia 
arriba experimentan la misma aceleración en caída libre (en magnitud y 
dirección), es decir, cuando se trata de un tiro vertical de un cuerpo. Esto es, 
sin importar que la velocidad de la partícula sea hacia arriba o hacia abajo, la 
dirección de su aceleración bajo la influencia de la aceleración de la gravedad 
de la Tierra es siempre hacia abajo. 
 
 El valor exacto de la aceleración en caída libre varia por diversos factores, 
tales como la distancia desde el centro de la Tierra, la latitud y la longitud 
donde esté ubicado el cuerpo entre otros factores. 
 
 Las ecuaciones vistas para el MRU Variado, son aplicables para caída libre 
y tiro vertical de un cuerpo. Para ello, solo tendremos en cuenta dos cambios: 
marcamos la dirección de la caída libre como el eje y, y tomamos como 
positiva la dirección hacia arriba. 
 
 
 
 
 
 
 
Movimiento en el Plano (Mov. Bidimensional): 
 
 Los conceptos de posición, velocidad y aceleración vistos para 
movimiento rectilíneo son aplicables en el movimiento de 2D, 
teniendo en cuenta que ahora se cuenta netamente con vectores, 
ya que en movimiento rectilíneo solo se necesitaba saber el 
sentido del desplazamiento, ya que la dirección era siempre la 
misma. 
 
 También notaremos que el vector velocidad de la partícula es 
siempre tangencial a la trayectoria de la misma. 
 
 r (m): Vector Posición 
 r (m): Vector Desplazamiento 
 
 Velocidad Media ( m s ): 
 
 
 Velocidad Instantánea ( m s ): 
 
 
 Aceleración Media ( 2m s ): 
 
 El vector aceleración, tiene la misma dirección y sentido del 
vector v 
 
 Aceleración Instantánea ( 2m s ): 
 
 
 Dado que estamos trabajando en un plano, tendremos que expresar la posición, velocidad y aceleración de 
la partícula en sus vectores unitarios. 
 
 
 
0
0 0
2
0 0
0 0
1 2
2
2
1
2
2 ( )
( )
v v g t
y y v t g t
v v g y y
y y v v t
  
     
    
    
m
r
v
t



0
lim
t
r dr
v
t dt 

 

m
v
a
t



0
limm
t
v dv
a
t dt 

 

 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Posición: 
 
 Velocidad: 
 
 Aceleración: 
 
 Recordemos que en este caso estamos tratando con aceleración 
media, por lo tanto no sabemos si la aceleración en el intervalo de 
tiempo es o no constante durante toda la trayectoria de la partícula. 
 
 Movimiento en 2D con Aceleración Constante: 
 
 En este caso consideramos el caso particular de la aceleración constante, donde a no varía ni en magnitud 
ni en dirección, y por consecuencia sus componentes también se mantienen constantes. 
 
 
 
 
 Teniendo en cuenta que estamos en movimiento en 2D, expresaremos los conceptos de posición y 
velocidad con sus componentes en los ejes x y . 
 
 
 
 
 
 
 
 Si expresamos la velocidad en forma vectorial tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 De la misma forma podemos llegar a las siguientes formulas: 
 
 
 
 
 Ahora vamos a ver un caso particular del movimiento en 2D, se trata del movimiento de un proyectil o 
comúnmente llamado Tiro Oblicuo. 
 
Movimiento de Proyectiles (Tiro Oblicuo): 
 
 Se trata del movimiento bidimensional de una partícula lanzada oblicuamente en el aire. El movimiento del 
proyectil es aquel de aceleración constante g, dirigido hacia abajo. Aun cuando pueda haber una componente 
horizontal de la velocidad, no hay una componente horizontal de la aceleración. Por lo tanto: 
 
 
 
 
 Dispondremos de un sistema coordenado x y donde en el origen del mismo la partícula iniciará su 
movimiento, con una velocidad 0v con un ángulo 0 , cuya trayectoria es una trayectoria parabólica. 
ˆ ˆx yr i r j r   
ˆ ˆx yv i v j v   
ˆ ˆx ya i a j a   
x
y
a ctte
a
a ctte



0 0
0 0
0
0 0
1
2
1 2
2
2 2
( )
2 ( )
x x
x x
x x x
x x x
x x v v t
x x v t a t
v v a t
v v a x x
    
     
  
    
0 0
0 0
0
0 0
1
2
1 2
2
2 2
( )
2 ( )
y y
y y
y y y
y y y
y y v v t
y y v t a t
v v a t
v v a y y
    
     
  
    
0 0
0 0
0
ˆ ˆ
ˆ ˆ( ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )
x x y y
x y x y
x yv i v j v
v i v a t j v a t
v i v j v i a j a t
v v a t
   
       
        
  
0 0
0 0
1 2
2
2 2 2 ( )
r r v t a t
v v a r r
     
    
0x
y
a
a ctte
a g

 
 
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Descomponemos la velocidad 0v en sus componentes rectangulares (condiciones iniciales de la velocidad): 
 
 
 
 
 Para un tiempo determinado, tendremos que la velocidad varia en magnitud 0v y sentido. Analizando las 
componentes de dicha velocidad y las aceleraciones correspondientes, teniendo en cuenta la formula de 
velocidad en MRUV, tendremos que: 
 
 
 
 
 La primera formula nos dice que: la componente horizontal de la velocidad retiene su valor durante todo 
el vuelo. Es decir, la componente horizontal de la velocidad es de MRU. La componente vertical de la 
velocidad es la de la caída libre. 
 
 Si queremos saber la magnitud y dirección de la velocidad en un determinado tiempo empleamos sus 
componentes xv y yv , por lo tanto tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 El vector velocidad es tangente a la trayectoria de la partícula en todo punto. Para determinar la posición de 
la partícula en un tiempo t en su trayectoria, teniendo en cuenta las aceleraciones y las condiciones iniciales 
de la velocidad, emplearemos las siguientes formulas: 
 
 
 
 
 De la combinación de estas dos formulas, de manera tal de eliminar el parámetro t obtendremos: 
 
 Ecuación Cartesiana de la Trayectoria 
 
 
 Si observamos esta ultima formula podremos ver el por qué de la trayectoria parabólica de la partícula, 
dado que la componente y la podemos expresar en función de la componente x la cual resulta ser una variable 
de grado 2 (ecuación cuadrática). 
 
0 0 0 
0
0 0 0 
cos (1)
(2)
x
y
v v
v
v v sen


 

 
0 0 0 
0 0 0
2
cos (3)
 (4)
x x x
y y y
v v a t v
v v a t v sen g t


    
      
2 2 (5)
 (6)
x yv v v
vy
arctg
vx

 
 
  
 
0 0 0 0
0 0 0 0
1 2
2
1 12 2
2 2
( cos ) (7)
( ) (8)
x x
y y
x x v t a t v t
y y v t a t v sen t g t


        
           
0
0 0
2
2
( ) (9)
2 ( cos )
g
y tg x x
v


   
 
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Alcance Horizontal (R): El alcance de la partícula representa la distancia horizontal máxima que alcanza 
la partícula desde su punto de partida hasta su impacto en elsuelo. 
 
 Si analizamos la trayectoria de la partícula, al impactar en el suelo la componente vertical 0y  , 
reemplazando este valor en ecuación (8), obtendremos que: 
 
Tiempo de Vuelo 
 
 
 Por lo tanto, reemplazando el valor t en la ecuación (7) obtendremos que: 
 
 
 
 
 
 
 El alcance horizontal de la partícula va a depender del ángulo de tiro, por lo cual para que el alcance de la 
misma sea el máximo posible 0 2 1sen   , por lo tanto 0 45   . 
 
 
 
 Altura Máxima: ( maxy ) Es la máxima altura que puede alcanzar la partícula durante su vuelo. Para ello la 
componente de la velocidad 0yv  , para lo cual y es máximo. 
 
 
 
 La altura máxima se alcanza en la mitad de la trayectoria, siendo este el tiempo de semivuelo. 
Reemplazamos este valor en la ecuación (8), obteniendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El valor de 0 para el cual la altura es la máxima que podría llegar a alcanzar la partícula es cuando 
0 90   : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 02 v sen
t
g
 

0 0
2 2
 (10)
v sen
R
g


0 0
0 0
2 
( cos )
v sen
R x v
g


 
   
0
max
2v
R
g

0 0 v sen
t
g


0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
2
1
2
2 2 2 2
1
2
 
 
 
v sen v sen
y v sen g
g g
v sen v sen
y
g g
 

 
    
        
   
 
  
0 0
max
2 2 
 (11)
2
v sen
y y
g

 
0
max vert.
2
2
v
Y
g

 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Movimiento Circular o Circunferencial: 
 
 Se trata del movimiento de una partícula cuya trayectoria es 
circunferencial (de radio r), y cuyas coordenadas que se usan en este tipo 
de movimiento son las coordenadas polares. 
 
 La posición de la partícula queda determinada por el ángulo  y por el 
modulo del vector posición r que es constante. Dado que el vector r
barre el ángulo  en el tiempo t , podemos definir la velocidad 
angular media. 
 
 
 
La dirección y sentido de  queda determinado por la dirección y sentido de la rotación de la partícula en 
el plano. Es decir, coincide con la dirección del vector unitario nu o versor normal al plano determinado por 
 y r . Por convención, asignamos al sentido anti horario 
el signo positivo (+), y el sentido de  será hacia arriba en la 
figura. Se aplica la regla del tirabuzón de giro derecho; o la 
regla de la mano derecha. 
 
 
 Velocidad Angular Instantánea: 
 
 
 
 La unidad de  es rad
s
 
 
 
 dado que  se mide en radianes. La razón de ello es que la longitud de un arco de 
círculo de radio r se expresa por la siguiente relación: 
 
 
 
 Por lo tanto, la longitud de arco será s r   
 
 Cinemática Angular: 
 
 Para el caso en el que m  , la velocidad angular ctte  . Es decir que: 
 
 
 
 Por lo cual tendremos que: 0 0 0 0( ) ( ) con 0, 0t t t         
 
 
 Si se da el caso en que la velocidad angular varía en el tiempo, tendremos una aceleración angular ( ), 
que al igual que en cinemática de una partícula tendremos: 
 
 
 
 
 
 
 Si la aceleración angular media es igual a la velocidad angular instantánea m  , quiere decir que 
ctte  y por lo tanto estamos en presencia de un movimiento circular uniforme variado. 
 
 Al igual que en cinemática de una partícula, las mismas formulas son aplicables para cinemática angular. 
 
m
t





0
lim n
t
d
u
t dt
 

 

  

long. de arco (s) circunferencia del círculo 2
. del arco ( ) angulo total del círculo 2
s r
ang

  
  
 se tiene un mov. Círcular Uniforme
d
ctte
t dt
 


   

 (1)t  
 m Aceleración Angular Media
t





0
= Instántanealim
t
d
Aceleración Angular
t dt
 

 



 
Tranquilate! Junto a la Física 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Relación entre Velocidad Angular y Velocidad Tangencial: Consideremos un punto iP de un cuerpo 
(disco) en rotación. La velocidad  es la misma en todos los puntos, no así la velocidad de traslación que 
será distinta para los puntos ubicados en cada circunferencia. 
 
 En t el punto se desplaza r . Si paulatinamente hacemos más 
chico a t hasta llegar a dt llega un momento en que no se puede 
distinguir la cuerda dr del arco ds , o sea ds dr siendo la 
velocidad instantánea de iP . 
 
 
 
 Donde la dirección de v es la del vector dr y coincide con la 
tangente a la circunferencia en el punto considerado, por ello se 
llama velocidad tangencial Tv . 
 
 Como ds dr y de ds r d  , dividiendo miembro a miembro esta última igualdad por dt : 
 
 
 
 Por lo tanto: 
 
 Vectorialmente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aceleración Centrípeta: Representa la variación de la dirección de la velocidad aun si esta mantiene su 
magnitud, representa una variación vectorial de la velocidad. La dirección y sentido de dicha aceleración será 
la misma de la del vector v . 
 
 
El modulo o magnitud de ca se obtiene de los triángulos de la 
figura (semejantes y sus  son iguales). 
 
 
 
 
 
 Dividiendo miembro a miembro por t : 
 
 
0 0 (2)v v a t t        
0 0
1 1
2 2
( ) ( ) (3)x v v t t           
0 0 0 0
1 12 2
2 2
 (4)x x v t a t t t               
0 0
2 2 2 22 2 (5)v v a x            
dr
v
dt

dr d
r
dt dt

 
 (6)Tv r  
Tv r  
 Tv r sen   
 con 90Tv R sen      
Tv R  
c
v
a
t



r v v
v r
r v r
 
   
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 
2
ca r 
c Ta v 
 
 
 
 
 
 
 
 Por lo tanto: Relación entre aceleración centrípeta y velocidad tangencial 
 
 Como Tv r  : Relación entre aceleración centrípeta y velocidad angular 
 
 Relación entre aceleración centrípeta, velocidad tangencial y angular 
 
 Vectorialmente: c Ta v  cuyo modulo es c T Ta v sen v       
 
 Debemos recordar que  y Tv son perpendiculares, y que por lo tanto 1sen   . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Componentes Tangencial y Normal de la Aceleración: 
 
 Si la velocidad tangencial no es constante, es decir varia su modulo, surge lo que se denomina aceleración 
tangencial. 
 
 
 Dividiendo miembro a miembro por t y en el límite de 0t  
 
 
 El cambio en el modulo de la velocidad tangencial: Ta 
 El cambio en la dirección de la velocidad tangencial: Ca 
 
 En consecuencia, el modulo y dirección del vector a serán: 
 
 
 
 Relación entre Ta y  : 
 
 
 
 
Movimiento Relativo: 
 
 Transformación de Galileo: Los puntos O y O’ y un punto P que se mueve con una velocidad v respecto 
al sistema referencial de origen O’, donde tendremos que en triangulo vectorial 'OO P

: 
2
T
c
v
a
r

v v r
t r t
 
 
 
0 0
lim lim
T
c T
t t
v v r v
a v
t r t r   
 
    
 
C Tv v v   
C Ta a a 
2 2
C Ta a a  1 T
C
a
tg
a
 
 
  
 
T
T T
dv d
a R R a R
dt dt

        
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Tomando diferenciales y derivando con respecto a t. 
 
 
 
 
 
 
 
 Donde u se denomina velocidad de arrastre y es constante. 
 
 Si derivamos esta última ecuación nuevamente con respecto a t 
tendremos que: 
 
 
 
 
 
 Si para 0t  , los sistemas coordenados de orígenes O y O’ son coincidentes: 
 
 
 
 
 
 Luego las componentes de r serán (para cualquier tiempo t): 
 
 
 
 
 
 
 
 Transformación de Lorentz: En 1905 Einstein estableció que “Todas las leyes de la naturaleza son las 
mismas (es decir permanecen invariante) para todos los observadores en movimiento relativo de traslación 
uniforme”. 
 
 Supuso que la velocidad de la luz es una invariante física es decir que tiene el mismo valor paratodos los 
observadores. Bajo esta suposición la transformación Galileana no es correcto. En particular la ecuación t = 
t’ no puede ser correcta. Puesto que la velocidad es la distancia dividida el tiempo para que permanezca 
constante debemos ajustar tanto el tiempo como la distancia para que la velocidad de la luz pueda ser 
constante. 
 
 Por ello debemos reemplazar la transformación Galileana por otra de modo que la velocidad sea un 
invariante. Y la nueva transformación, compatible con la invariancia de la velocidad de la luz, es entonces: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
'' OOr r

 
'' OOdr dr d
dt dt dt

 
'v v u 
'
 como es ctte. 0
dv dv du du
u
dt dt dt dt
  
'a a
x
y
z
u t
u t
u t
 




'
'
'
'
x x x
y y y
z z z
r r u t
r r u t
r r u t
t t
  

  

  
 
2
1
2
'
 que muestra la xx
u
c
r u t
r constraccion longitudinal

 

'
'
y y
z z
r r
r r


'
2
1
2
 que muestra la 
u r
xt
c
u
c
t dilatación del tiempo




 
Tranquilate! Junto a la Física 
 UNIDAD 4: Dinámica de la partícula 
 
 Dinámica: “La dinámica es la parte de la mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos y su relación 
con las causas que lo provocan.” 
 
 En cinemática estudiamos la descripción del movimiento de un cuerpo sin interesarnos por las causas que 
lo provocaban: 
 
 
 
 
 
 En dinámica se estudia y se analiza: 
 
 Fuerza vs. Cambios de Movimiento de un Cuerpo 
 
 Principios o Axiomas de Newton: Para el estudio de la dinámica introduciremos el concepto de 
fuerza (F) y la definimos en función de la aceleración a que experimenta determinado cuerpo. 
 
 1° Axioma de Newton: Principio de Inercia 
 
 “Todo cuerpo conserva su estado inicial de “reposo” ó de “movimiento rectilíneo uniforme”, a menos que 
sobre él actué una fuerza externa neta que lo obligue a cambiar ese estado”. 
 
 O también: “Toda partícula libre se mueve con movimiento rectilíneo uniforme. Si está en reposo continua 
en reposo”. 
 
 Partícula Libre: es la que no interactúa con ninguna otra partícula. 
 
 2° Axioma de Newton: Principio de Masa 
 
 “La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza externa resultante (ó neta) que 
actúa sobre dicho cuerpo y tiene la misma dirección y sentido que esa fuerza”. Esto se expresa 
matemáticamente mediante la ecuación vectorial llamada “Ecuación fundamental de la DINÁMICA”. 
 
 
 
 
 
 
 
 3° Axioma de Newton: Principio de Acción y Reacción 
 
 “Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, este reacciona sobre aquél, con una fuerza de igual magnitud y 
de sentido contrario y que tiene la misma línea de acción”. 
 
 
 
 Observación: Las parejas acción – reacción se ejercen sobre 
cuerpos diferentes. 
 
Comentarios y Aplicaciones de los Axiomas de Newton: 
 
 Con respecto al 1° Axioma: Hay que observar que el 1er Axioma no distingue entre en un cuerpo en 
reposo y otro que se mueve a velocidad constante. Esto depende del sistema o del marco de referencia con 
respecto del cual se mide la aceleración del cuerpo. 
 
 El 1er Axioma se describe asignando a la materia de la partícula, una propiedad llamada masa inercial y se 
aplica solamente a marcos de referencias inerciales. 
( )
( )
( )
r r t
v v t
a a t



F m a 
 m R iDonde F F F y es la masa inerte 
LT TLF F 
 
Tranquilate! Junto a la Física 
  Sistemas Inerciales: Un sistema de referencias es inercial cuando no está acelerado. La primera ley de 
Newton es aplicable en este tipo de sistemas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sistemas No Inerciales: Teniendo en cuenta el sistema de referencias de la figura, vemos que si al 
sistema O’ se le aplica una aceleración a , el cuerpo tiende a quedar en reposo respecto del sistema O, 
pero para ello tendrá una aceleración a respecto de O’ sin que actué ninguna fuerza sobre ella. 
 Entonces para que se mantenga en reposo con respecto a este sistema O’ deberíamos aplicarle una 
fuerza inercial horizontal, la cual es ficticia. Esto no concuerda con el enunciado del 1° axioma, por lo 
cual decimos que el sistema es No Inercial o Acelerado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Con respecto al 2° Axioma: Experimentalmente se comprueba que: 
 
 La dirección de a es la misma de F . 
Para un cuerpo dado, la magnitud de a es proporcional a la de F ( F k a  ) donde el factor de 
proporcionalidad (k) depende del cuerpo y representa su inercia y la llamamos masa m. 
 
 
 
 Inercia: es la mayor o menor resistencia de un cuerpo a ser acelerado. 
 
 Como aplicaciones simples tenemos: 
 
a) El Peso de los Cuerpos: como vimos anteriormente, la aceleración de caída libre en un mismo lugar 
de la Tierra y despreciando el rozamiento del aire es la misma para todos los cuerpos y se denomina 
aceleración de la gravedad g . De la ecuación F m a  reemplazamos g por a y P por F , 
teniendo que: P m g  
b) Movimiento sobre un plano inclinado sin rozamiento: El cuerpo se desliza con movimiento 
acelerado por la acción de la fuerza F paralela al plano que proviene 
de la descomposición del peso del cuerpo en las direcciones paralela y 
normal al plano: TF y nF . Esta última se compensa con nR del plano. 
La componente TF P sen   por lo tanto la ecuación del 
movimiento es según: P sen m a   y como P m g  tenemos 
que a g sen   . 
 
 
 
F
F m a y m
a
  
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Leyes de Mach – Definición Operacional de la Masa: 
 
 La fórmula F m a  contiene la masa m que normalmente se define como una magnitud intrínseca del 
cuerpo que mide su inercia y cuando se quiere precisar el concepto de inercia se dice que es la “resistencia 
(o fuerza) que opone un cuerpo cuando se trata de cambiar su movimiento”. 
 
 Estamos tratando de definir la masa m que es una magnitud intrínseca (propia) del cuerpo a través del 
concepto de Fuerza que depende de la interacción con otros cuerpos. Esto plantea una inconsistencia que se 
elimina a través del método de Mach. 
 
 Método de Mach: 
 
Los resortes son los mecanismos de interacción que pertenecen a 
cada cuerpo. 
 
 
 Dos cuerpos puntuales están apoyados sobre una superficie lisa (o sobre un colchón de aire). 
 Se quema el hilo y los cuerpos 1 y 2 parten en direcciones opuestas con aceleraciones 1a y 2a 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 Se comprueba experimentalmente: 
 
1°) Las aceleraciones del cuerpo 1 y del cuerpo 2, tiene la dirección de la recta que los une y sentidos 
opuestos (cualquiera sea el mecanismo de interacción). 
2°) El cociente de los módulos 1
2
a
a
 tiene siempre el mismo valor, cualquiera sea el mecanismo de interacción 
y depende exclusivamente de los cuerpos que interactúan. 
 
 O sea que, a ése cociente de las aceleraciones, que es independiente de las interacción y sólo representa una 
cualidad inherente a los cuerpos 1 y 2, la llamaremos masa inercial del cuerpo 2 en unidades del cuerpo 1 o 
sea 21m . Luego para diferentes mecanismos o para diferentes estados de tiempo obtendremos: 
 
 
 
 
 
 Comprobando que sus cocientes se mantienen constantes. 
 
 
 
 Si hacemos interactuar el cuerpo 1 con otro como el 3 (ó 4 u otro) 
 
 
 
 Si ahora ponemos en interacción los cuerpos 2 con 3. 
 
 
 
 
 Debemos observar que: 
 
 
1 2
1 2
1 2
, 
', '
'', ''
a a
a a
a a
1 1 1
21
2 2 2
' ''
' ''
a a a
ctte m
a a a
   
1 1 1
31
3 3 3
' ''
' ''
a a a
ctte m
a a a
   
32 2 2
32
3 3 3 2
' ''
' ''
ma a a
ctte m
a a a m
    
3 31
32
2 21
m m
m
m m
 
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Como medir es comparar (o sea el número de veces que el patrón o unidad está contenido en la magnitud a 
medir) y esto implica dividir, se puede escribir: 
 
 
 
 
(1) 
 
 
 
 
 Por fin, si convenimos que elpatrón de masa inercial sea la masa del cuerpo 1, entonces la masa de 
cualquier otro cuerpo puede obtenerse midiendo las interacciones cuando se lo hace interactuar con el patrón, 
luego: 
 
Unidades: 
 
 La unidad de masa inercial en el SI es la masa del kg patrón a 1 3dm de agua destilada a 4 ºC de 
temperatura y presión normal de 760 mm de Hg. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En el sistema c.g.s., la unidad es el gramo 
310g kg . 
 En el sistema técnico no se define patrón de masa, pues ésta es una unidad derivada. 
 
La Fuerza según el Método de Mach: 
 
 Si generalizamos el resultado expresado en la ecuación (1) podemos escribir para dos cuerpos A y B. 
 
 
 
 Y teniendo en cuenta que las aceleraciones son vectores: A A B Bm a m a    (2). 
 
 Esta igualdad se verifica en todas las experiencias y para cualquier mecanismo de interacción podemos 
adoptar el producto m a como el ente representativo de la interacción y la llamamos fuerza. 
 
 
Entonces en (2): o 0A B A BF F F F    que no es más que el 3° Axioma de Newton (que con el método 
de Mach, es sólo una consecuencia de su procedimiento para medir masas). 
 
Unidades: La fuerza es una magnitud derivada, cuya dimensión será: 
 
 
 
 
 
 
 En el SI: la unidad de masa es el Newton (N), que se define como la fuerza que aplicada al 1kg de 
masa le imprime una aceleración de 21
m
s
. 
1 2
21
2 1
31
31
3 1
312
32
3 21
a m
m
a m
ma
m
a m
ma
m
a m
 
 
 
A B
B A
a m
a m

 A A A B B BF m a y F m a   
 
Tranquilate! Junto a la Física 
  En el c.g.s.: la unidad de fuerza es la dina (dyn), es la fuerza que aplicada a 1g le imprime una 
aceleración de 21
cm
s
. 
 En el sistema técnico: Los patrones son: 
 
y la masa es una unidad derivada 
 
 
 La unidad de fuerza es el kg o kgf que se define como la fuerza que aplicada a 1kg masa le imprime 
una aceleración de 21 1 9,81 9,81
mkg kg N
s
   . 
 
 O sea, se eligió el mismo patrón para 1kgm ; para definir la unidad de fuerza que es 1kg , pero 
considerando el peso del mismo en un lugar donde 29,81
mg
s
 . 
 
 
 
 Existen tres fuerzas fundamentales en la naturaleza: 
 
 Fuerza Gravitatoria: son leyes, dependen de la masa. 
 Fuerzas Magnéticas: electromagnéticas. 
 Fuerzas de Origen Nuclear: aquellas que intervienen en la cohesión del núcleo atómico. 
 
Fuerzas de Rozamiento entre Sólidos: 
 
 Si lanzamos un cuerpo de masa m con una velocidad 0v en una superficie rugosa, veremos que en algún 
momento llega al reposo. Esto significa que, mientras se está moviendo, experimenta una aceleración a que 
apunta en dirección opuesta a su movimiento. Si vemos que un cuerpo es acelerado, siempre lo asociamos a 
una fuerza, definida por la segunda ley de Newton, con el movimiento. En este caso afirmaremos que la 
mesa ejerce una fuerza de fricción sobre el bloque que se opone a su movimiento. 
 
 Consideremos un bloque en reposo, dispuesto en un mecanismo como el de la figura, para medir la fuerza 
horizontal F requerida para poner el bloque en movimiento. Veremos que si aplicamos una fuerza pequeña (
1F ) el bloque todavía no se mueve, por lo cual decimos que la fuerza que aplicamos está equilibrada por la 
fuerza de fricción f opuesta, ejercida sobre el bloque por la superficie de apoyo. Al aumentar la fuerza 
aplicada, hallamos alguna fuerza definida mediante la cual se desprende de la superficie y comienza a 
acelerar. Al reducir la fuerza una vez iniciado el movimiento, encontraremos que es posible mantener al 
bloque en movimiento uniforme sin aceleración. 
 
 Las fuerzas de fricción que actúan entre superficies en reposo una respecto de otra se llaman fuerzas de 
fricción estática; la fuerza máxima de fricción estática será la misma que la fuerza aplicada más pequeña 
necesaria para iniciar el movimiento ( lF ). Una vez iniciado el movimiento, las fuerzas de fricción que actúan 
entre las superficies usualmente disminuyen de manera que solo es necesaria una fuerza más pequeña para 
mantener el movimiento uniforme. Las fuerzas que actúan entre superficies en movimiento relativo se llaman 
fuerzas de fricción dinámica. 
 
 La fuerza máxima de fricción estática entre cualquier par de superficies no lubricadas responde a estas dos 
leyes: (1) Es aproximadamente independiente del área de contacto, y (2) es proporcional a la fuerza normal 
(La fuerza normal se debe a las propiedades elásticas de los cuerpos en contacto). La razón entre la magnitud 
de la fuerza máxima de fricción estática y la magnitud de la fuerza normal se llama coeficiente de fricción 
estática ( e ) de las superficies implicadas. 
 
 
 
Longitud L m
Tiempo T s
Fuerza F kg



21 1 9,81 9,81
mkg kg N
s
  
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 La fuerza de fricción dinámica ( Rdf ) entre superficies no lubricadas, siguen las mismas leyes que las dos 
de fricción estática. La relación entre la magnitud de la fuerza de fricción dinámica y la magnitud de la 
fuerza normal se llama coeficiente de fricción dinámica ( d ). 
 
 
 Tanto e como d son constantes sin dimensión, siendo cada una la razón de dos fuerzas, y además de 
que son valores que oscilan entre 0 y 1. 
 
Dinámica del Movimiento Circular: 
 
 Estudiamos que si un cuerpo se mueve a velocidad uniforme v en un circulo o en un arco circular de radio 
r, experimenta una aceleración centrípeta ca cuya magnitud es 
2 /v r . La dirección de esta aceleración es 
siempre hacia el centro del círculo, por lo cual es un vector variable q cambia su dirección según progresa el 
movimiento. 
 
 Cada cuerpo debe tener una fuerza neta que actúe sobre él, de acuerdo con la segunda ley de Newton. 
Entonces si vemos que el cuerpo experimenta un movimiento circular uniforme, podemos estar seguros de 
que la magnitud de la fuerza neta que actúe sobre el cuerpo debe estar dada por: 
 
 
 
 El cuerpo no está en equilibrio porque la fuerza neta F no es cero. La dirección de la fuerza neta en 
cualquier instante debe ser la de a en dicho instante. 
 
 Si el cuerpo en M.C.U. es un disco que gira amarrado al extremo de una cuerda sobre una mesa horizontal 
sin fricción, la fuerza neta sobre el disco es proporcionada por la tensión T de la cuerda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para mantener al disco moviéndose en círculo, debe ser proporcionada una fuerza que jale de él hacia el 
centro. Las fuerzas responsables del M.C.U. se llaman fuerzas centrípetas porque están dirigidas hacia el 
centro del movimiento circular. 
 
 
Re ef N 
Rd df N 
2v
F m a m
r
   
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Aplicaciones de la Dinámica: 
 
 Conjunto de Cuerpos Vinculados: como ejemplo tomaremos el movimiento de tres cuerpos vinculados 
por cuerdas las cuales serán las encargadas de transmitir el movimiento producido por la fuerza aplicada en 
uno de los cuerpos. 
 
 
 
 
 
 
 Nuestro objetivo es determinar: 
 
 ¿Cuál es la aceleración del sistema en conjunto? 
 ¿Cómo se determinan las tensiones en los vínculos? 
 
 Para ello seguiremos los siguientes pasos: 
 
1°) Hacer un croquis (como la figura) 
2°) Diagrama de cuerpo libre: analizamos cada cuerpo en particular y determinamos cuales son las 
fuerzas actuantes en los mismos 
3°) Trabajar con alguna componente y la segunda ley de Newton ( RF m a F   ). 
 
 Como al conjunto de cuerpos le aplique una sola fuerza: 
 
 
 
 
 Para determinar las tensiones, realizamos los diagramas de cuerpo libre correspondientes: 
 
 
 Cuerpo 1 
 
 
 
 
 
 Cuerpo 2 
 
 
 
 
 
 
 Cuerpo 3 
 
 
 
 
 
 Teniendo que: 
 
 
 
 
1 2 3( )T
F F
a
m m m m
 
 

0yF  1
1 1
xF m a
F T m a
 
  

0yF 
0yF 
2
2 1 2'
xF m a
T T m a
 
  

3
2 3'
xF m a
T m a
 
 

1 1
2 1 2
2 3(1) 
(2) '
(3) '
F T m a
T T m a
T m a
   

   
  
1 1
2 2
'
'
T T
T T


 
Tranquilate! Junto a la Física 
  Sumamos (1) y (2) y luego sumando con (3) miembro a miembro, obtenemos que: 
 
 
 
 Reemplazando este valor en (3), tendremos: 
 
 
 
 Sumando (2) y (3) miembro a miembro, y despejar el valor de la tensión 1T , reemplazando el valor 
de la aceleración, tendremos que: 
 
 
 
 
 
 Para superficie con rozamiento: para este caso consideraremos que el coeficiente de rozamiento dinámico (
d ) es el mismo para los tres cuerpos. En el cual la aceleración ( ra ), será la siguiente: 
 
 
 
 Donde podemos observar que la aceleración ra se puede expresar en función de la aceleración de gravedad 
y la aceleración cuando no existe rozamiento. 
 
 Para determinar las tensiones se sigue el mismo procedimiento que en el movimiento en superficie sin 
rozamiento. 
 
 Maquina de Atwood: Cosiste en una polea de eje horizontal de la que penden 
dos cuerpos de pesos 1P y 2P , para lo cual consideraremos que no existe ninguna 
fuerza de fricción entre la polea y la cuerda como entre su eje. También 
consideraremos los pesos de la polea y de la cuerda despreciable. 
 
 Si 1 2P P  existe equilibrio (no hay movimiento). 
 Si 1 2P P  el sistema se acelera, teniendo que la polea gira en 
sentido de las agujas del reloj, mientras que el cuerpo 1 desciende el 
cuerpo 2 asciende. 
 
 Nuestro objetivo es determinar: 
 
 ¿Cuál es la aceleración del sistema? 
 ¿Cuál es la tensión del sistema? 
 
 Para despejar estas incógnitas seguimos los mismos pasos que en el caso anterior. 
 
Diagrama de cuerpo libre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3
F
a
m m m

 
2 2 3
1 2 3
'
F
T T m
m m m
 
    
  
1 2 3
1 1 2 3
1 2 3
' ( )
' ( )
T m m a
F
T T m m
m m m
  
 
     
  
1 2 3
1 2 3
( ) d
r d
F P P P
a a g
m m m


   
   
 
1 1(1) 'P T m a   2 2(2) T P m a  
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Del diagrama de cuerpo libre, obtenemos que: 
 
 
 
 
 Sumando miembro a miembro estas últimas ecuaciones obtenemos que: 
 
 
 
 
 
 Reemplazando el valor de la aceleración obtenido (3) en alguna de las ecuaciones (1) o (2), podremos 
determinar el valor de la tensión T . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Péndulo Cónico: La figura muestra un cuerpo de masa m que gira en un círculo horizontal a velocidad 
constante v en el extremo de una cuerda de longitud L. Al moverse el cuerpo alrededor, la cuerda barre la 
superficie de un cono imaginario. Este dispositivo se denomina péndulo cónico. 
 
 Si la cuerda forma un ángulo  con la vertical, el radio de la 
trayectoria circular es R L sen   . Las fuerzas que actúan sobre 
el cuerpo son su peso m g y la tensión T de la cuerda, como se 
muestra en la figura. En este caso la segunda ley de Newton da: 
 
 
 Podemos descomponer T en cualquier instante en una 
componente radial y otra vertical: 
 
 
 La componente radial es negativa ya que definiremos que la 
dirección positiva es hacia afuera del eje. Puesto que el cuerpo no 
tiene aceleración vertical, según la segunda ley de Newton podemos escribir 0y yF T m g    . O sea 
que: cos T m g   (1). 
 
 La aceleración radial es negativa porque actúa radialmente hacia adentro, la cual es proporcionada por xT . 
Por lo tanto, de la componente radial de la segunda ley de Newton: x xF T m a   
 O sea que: 
2
 
v
T sen m
R
     
 Al dividir esta ultima igualdad miembro a miembro, por la ecuación (1) tendremos: 
 
 
 
 Teniendo que el valor de la velocidad v será tan v R g    , lo cual da la velocidad constante del 
cuerpo. 
 
 
 
 
1 1
2 2
'
 '
m g T m a
sabiendo que T T
T m g m a
    

    
1 2 1 2
1 2
1 2
( ) ( )
( )
 (3)
( )
m m g m m a
m m g
a
m m
    
 


2 2
1 2
2
1 2
1 2
2
1 2
1
T m g m a
m m
T m g g
m m
m m
T m g
m m
   
 
    
 
 
    
 
1 1
1 2
1
1 2
1 2
1
1 2
1
T m g m a
m m
T m g g
m m
m m
T m g
m m
   
 
    
 
 
    
 
F T m g m a    
 cos x yT T sen T T     
2 /
cos 
T sen m v R
T m g


 

 
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Curva Peraltada: Supongamos que el bloque de la figura de 
arriba representa a un automóvil que se mueve a velocidad 
constante v sobre una carretera a nivel en una curva de radio R. 
Además de las dos fuerzas horizontales ( m g y N ), existe una 
fuerza ( P ), la cual proporciona la fuerza centrípeta necesaria para 
el movimiento circular. Esta fuerza es proporcionada por la fuerza 
lateral de fricción que ejerce la carretera sobre las llantas. 
 
 En la figura de abajo, la carretera esta peraltada en las curvas, por 
lo cual, en este caso, la fuerza normal N no solo tiene una 
componente vertical, sino también proporciona una componente 
horizontal que proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el 
M.C.U. Por lo tanto no se necesita ninguna fuerza lateral adicional. 
En ausencia de una fricción, el ángulo  correcto de peralte se 
obtiene de la siguiente manera. No existe movimiento vertical, por 
lo cual: 
 
 
 La componente radial de la normal es cos N   y la 
aceleración radial es 
2 /m v R  . La componente radial de la 
segunda ley de Newton nos da: 
 
 
 
 Dividiendo estas dos ecuaciones obtenemos: 
 
 Observamos que el ángulo de peralte apropiado solo depende de la velocidad del carro y de la curvatura del 
camino, no depende de su masa. 
 
 Fuerzas Inerciales (seudofuerzas): Hasta ahora hemos supuesto que las mediciones y las observaciones se 
realizaron desde un marco de referencia inercial. La elección de un marco de referencia lo hacemos siempre 
nosotros. Entonces podemos, si lo hayamos conveniente, aplicar la mecánica clásica desde el punto de vista 
de un observador en un marco no inercial, es decir, un marco unido a un cuerpo que está acelerando tal como 
se ve desde un marco inercial. 
 
 Para aplicar la mecánica clásica a marcos no inerciales debemos introducir fuerzas adicionales ficticias, 
conocidas como seudofuerzas o fuerzas inerciales. Al contrario de las fuerzas que hemos examinado, no 
podemos asociar a las seudofuerzas con ningún objeto particular en el entorno del cuerpo sobre el cual 
actúen, y no podemos clasificarlas en ninguna de las categorías conocidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Consideramos a un observador S’ que viaja en una vagoneta que se mueve a velocidad constante. La 
vagoneta contiene una pista aérea con un planeador carente de fricción que descansa en un extremo. La 
vagoneta comienza a frenar (a decelerar). El observador S en tierra mide la aceleración constante de la 
vagoneta en va a  . El observador S’ que viaja en la vagoneta esta, por lo tanto, en un marco de referencia 
no inercial cuando la misma decelera, observando que el planeador se mueve por la pista con una aceleración 
de pa a  . 
 
 0yF N sen m g    
2 /x xF N sen m a m v R       
2
tan 
v
R g
 

 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Para el observador S en tierra el análisis del fenómeno es sencillo. El planeador, que se ha estado moviendo 
hacia adelante a velocidad constante antes de que la vagoneta comenzara a frenar, simplemente continúa 
haciéndolo. 
 
 Sin embargo, el observador S’ ve que el planeador acelera y no puede hallar un objeto del entorno del 
mismo que ejerza una fuerza sobre él y le proporcione la aceleración hacia el frente observado. Para 
conservar la aplicabilidad de la segunda ley de Newton, el observador debe suponer que sobre el planeador 
actúa una seudofuerza. Esta fuerza F debe ser igual a 
pm a donde p va a a   . 
 
 La dirección de esta fuerza es la misma que la de 
pa . Esta fuerza, quees muy real desde el punto de vista 
de S’, no es aparente para el observador S en tierra, quien no necesita introducirla para explicar el 
movimiento del planeador. 
 
 Una indicación de que las seudofuerzas son no newtonianas es que violan la tercera ley de Newton. Para 
aplicar esta ley, S’ debe hallar una fuerza de reacción ejercida por el planeador sobre algún otro cuerpo. No 
puede ser hallada tal fuerza de reacción y, por lo tanto, se viola la tercera ley de Newton. 
 
 Fuerza de Coriolis: es una fuerza ficticia que aparece cuando un cuerpo está en movimiento con respecto a 
un sistema en rotación y se describe su movimiento en ese referencial. La fuerza de Coriolis es diferente de 
la fuerza centrífuga. La fuerza de Coriolis siempre es perpendicular a la dirección del eje de rotación del 
sistema y a la dirección del movimiento del cuerpo vista desde el sistema en rotación. La fuerza de Coriolis 
tiene dos componentes: 
 
 una componente tangencial, debido a la componente radial del movimiento del cuerpo, y 
 una componente radial, debida a la componente tangencial del movimiento del cuerpo. 
 
 La componente del movimiento del cuerpo paralela al eje de rotación no engendra fuerza de Coriolis. 
 
 El valor de la fuerza de Coriolis cF es: 
2 ( )cF m v    
 Donde: 
 m es la masa del cuerpo. 
 v es la velocidad del cuerpo en el sistema en rotación. 
  es la velocidad angular del sistema en rotación vista desde un sistema inercial (el producto v 
representa un producto vectorial) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_ficticia
http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_centr%C3%ADfuga
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 UNIDAD 5: Trabajo y Energía 
 
 Trabajo Mecánico: 
 
 Consideramos una partícula sobre la que actúa una fuerza constante F , y supongamos es casi más sencillo 
en el que el movimiento tiene lugar en línea recta en dirección de la fuerza. En tal situación definimos el 
trabajo W efectuado por la fuerza sobre la partícula como el producto de la magnitud de la fuerza F y la 
magnitud del desplazamiento x a través del cual actúa la fuerza. 
 
 
 La fuerza constante que actúa sobre una partícula puede no actuar en la dirección en que se mueve la 
partícula. En este caso definimos el trabajo efectuado por la fuerza sobre la partícula como el producto de la 
componente de la fuerza a lo largo de la línea del movimiento y la magnitud del desplazamiento. 
 
 
 Obsérvese que el signo del trabajo depende del valor del cos  : 
 
 Si 90   respecto de la dirección del movimiento cos ( ) ( )W    
 Si 90   respecto de la dirección del movimiento cos ( ) ( )W    
 Si  es perpendicular a la dirección del movimiento cos 0 0W    
 
 Trabajo de una Fuerza Variable: 
 
 Trabajo de Fuerza Variable Unidimensional: Consideremos ahora 
el trabajo efectuado por una fuerza F ctte , actuado en una sola 
dirección, la cual tomaremos como la dirección x. 
 
 En la figura (a) muestra las variación de ( )F x en función del 
desplazamiento de la partícula, dividido en N intervalos pequeños x 
desde ix hasta ix x . En este intervalo de desplazamiento, la fuerza 
( )F x tiene un valor 1F casi constante, y una pequeña cantidad de 
trabajo: 
 
 
 Lo mismo ocurre con los otros N-1 intervalos. El trabajo total W 
efectuado por ( )F x para desplazar al cuerpo desde ix hasta fx es, 
aproximadamente, la suma de todos los pequeños trabajos: 
 
 
 
 
 
 Si hacemos tender el valor de 0x  (por lo cual N  ) podremos encontrar una mejor 
aproximación. Por lo cual el valor real del trabajo W será: 
 
 
 
 
 
 
 
 Numéricamente, esta cantidad es exactamente igual al área entre la curva de la fuerza y el eje x entre los 
límites ix y fx , como en la figura (c). De aquí que una integral pueda ser interpretada gráficamente como 
W F x 
cos W F x  
1 1W F x  
1 2 3 1 2 3... ...W F x F x F x W W W             
1
N
n
n
W F x

 
0
1
0
lim
lim ( )
f
i
n
x
n
x
n
x
x
W F x
F x F x dx








 
  

 
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 un área. Por lo cual, podemos escribir el trabajo total efectuado por F al desplazar un cuerpo desde ix hasta 
fx , así: 
 
 
 
 Trabajo de Fuerza Variable Bidimensional: La fuerza F puede variar tanto en magnitud como en 
dirección, y la partícula puede moverse a lo largo de una trayectoria curva. Para calcular el trabajo en este 
caso general dividiremos la trayectoria un número grande de 
desplazamientos pequeños s , cada uno tangente a la trayectoria 
en dirección del movimiento. Podemos hallar la cantidad de 
trabajo W efectuado sobre la partícula durante el 
desplazamiento s : 
 
 
 El trabajo efectuado por la fuerza variable F sobre la 
partícula cuando esta se mueve desde i hasta f se halla 
aproximadamente sumando los elementos del trabajo sobre cada 
uno de los segmentos lineales que forman la trayectoria. Si los segmentos lineales s resultan 
infinitesimalmente pequeños, pueden ser sustituidos por diferenciales ds y la suma de todos los segmentos 
lineales puede ser sustituida por una integral, teniendo que el trabajo se halla: 
 
 
 
 
 Escribiendo la fuerza F y ds en términos de sus componentes tendremos ˆ ˆx yF F i F j    y 
ˆ ˆds dx i dy j    , de modo que x yF ds F dx F dy     . Sustituyendo este valor en (1): 
 
 
 
 
 Las integrales como estas de las ecuaciones (1) y (2) se llaman integrales de línea. Para evaluarlas 
debemos saber cómo varían cos F  o y cuando la partícula se va moviendo a lo largo de una línea 
determinada. 
 
 Para el caso tridimensional, sabiendo que ˆˆ ˆx y zF F i F j F k      y 
ˆˆ ˆdr dx i dy j dz k      , 
tendremos que para la definición de trabajo de la ecuación (2) para este caso será: 
 
 
 
 
 Unidades: Teniendo en cuenta la definición de trabajo W F dr  podremos determinar las diferentes 
unidades en los diferentes. 
 
 
 
 Sistema Internacional:   ( )W N m J joule   
 Sistema c.g.s.:  W dina cm ergio   
 Sistema Técnico:   (kilográmetro)W kg m kgm   
 
Energía Cinética y Teorema de Trabajo-Energía: 
 
 En este caso consideraremos el efecto del trabajo sobre el movimiento de la partícula. Consideraremos el 
trabajo neto netoW efectuado por todas las fuerzas que actúen sobre una partícula. Existen dos maneras de 
( )
f
i
x
x
W F x dx 
cos W F s F s       
cos (1)
f f
i i
W F ds F ds     
( ) (2)
f
x y
i
W F dx F dy   
( )
f f
x y z
i i
W F dr F dx F dy F dz        
   W F dr   
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 hallar el trabajo neto. La primera es hallar la fuerza neta, esto es, la suma vectorial de todas las fuerzas que 
actúan sobre la partícula. 
 
 
 Tratando esta fuerza neta como la única fuerza al calcular el trabajo. Por el segundo método, calculamos el 
trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan en la partícula. 
 
 
 Puesto que el trabajo es un escalar, podemos sumar el trabajo hecho por cada fuerza para hallar el trabajo 
neto: 
 
 
 Ambos métodos arrojan iguales resultados y por cuál de ellos nos inclinemos, constituye una cuestión de 
mera convención. Sabemos que una fuerza neta aplicada a una partícula cambiará su estado de movimiento a 
acelerado, de una velocidad inicial iv a una velocidad final fv . Veremos cuál es el efecto del trabajo en el 
caso de una fuerza constante en una dimensión. Bajo la influencia de esta fuerza, la partícula se mueve desde 
ix hasta fx , y acelera desde iv hasta fv . El trabajo hecho es: 
 
 
 Puesto que la aceleración a es constante, podemos usar la ecuación que expresa 
2 2 2 ( )f i f iv v a x x     podremosobtener: 
1 12 2
2 2neto f i
W m v m v      
 
 Es decir, el resultado del trabajo neto en la partícula ha consistido en producir un cambio en el valor de la 
cantidad 
1 2
2
m v  desde el punto i al punto f. Esta cantidad se denomina energía cinética cE de la partícula, 
donde 
1 2
2c
E m v   . En términos de energía cinética podemos expresar el trabajo neto como: 
 
 
 Esta ecuación es la representación matemática de un importante resultado llamado teorema trabajo-
energía, el cual puede enunciarse como: “El trabajo neto efectuado por las fuerzas que actúan sobre una 
partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula”. 
 Al igual que el trabajo, la energía cinética es una cantidad escalar; a diferencia del trabajo, la energía 
cinética nunca es negativa. 
 
 Analizaremos ahora la ecuación (3) para el caso de fuerzas no constantes en una dimensión. Hagamos que 
netaF represente la fuerza neta que actúa sobre la partícula. El trabajo neto efectuado por todas las fuerzas 
externas que actúan sobre la partícula es precisamente neto netaW F dx  . Lo que haremos es llevar a cabo 
un cambio de la variable de integración y poner esto de una manera más útil: 
 
 
 
 Entonces: 
 
 
 
 La variable de integración es ahora v. Integremos desde la velocidad inicial iv hasta la velocidad final fv : 
 
 
 
 
 Esta última ecuación es idéntica a la ecuación (3) y demuestra que el teorema trabajo-energía se mantiene 
incluso para fuerzas no constantes. 
 
 
 
1 2 3 ...netoF F F F   
1 1 2 2 3 3, , , ....W F dr W F dr W F dr       
1 2 3 ...netoW W W W   
( ) ( )neto neta f i f iW F x x m a x x      
 (3)
f ineto C C cW E E E   
neta
dv dv dx dv
F m a m m m v
dt dx dt dx
         
neto neta
dv
W F dx m v dx m v dv
dx
          
1 1 12 2 2 2
2 2 2
( )
f f
i i
v v
neto f i f i
v v
W m v dv m v dv m v v m v m v                
 
Tranquilate! Junto a la Física 
 Potencia: 
 
 Al diseñar un sistema mecánico es a menudo necesario considerar no solamente cuánto trabajo debe 
efectuarse sino también a qué velocidad se efectuará este. Por lo cual, definimos a la potencia como a razón a 
la que se efectúa el trabajo. Aquí consideramos solamente la potencia mecánica, la cual es una consecuencia 
del trabajo mecánico. La potencia promedio p desarrollada por un agente que ejerza una fuerza particular 
sobre un cuerpo es el trabajo total efectuado por esa fuerza sobre el mismo dividido por el intervalo de 
tiempo total: 
 
 
 
 La potencia instantánea de P producida por un agente es: 
 
 
 
 Donde dW es la pequeña cantidad de trabajo efectuada en el intervalo infinitesimal de tiempo dt . Si la 
potencia es constante en el tiempo, entonces p p y: 
 
 
 Podemos expresar la potencia suministrada a un cuerpo en función de la velocidad del mismo y de la 
fuerza que actúa sobre él. En general, podemos escribir: 
 
 
 
 Por lo cual, se puede expresar la potencia como: p F v  
 
 Si F y v son paralelas entre sí, esto podemos expresarlo como: p F v  
 
 La potencia puede ser tanto positiva como negativa. Suministrar una potencia negativa a un cuerpo 
significa hacer un trabajo negativo sobre él: la fuerza ejercida sobre el cuerpo por el agente externo esta en 
dirección opuesta a su desplazamiento dr y, por lo tanto, opuesta a v . 
 
 Unidades: teniendo en cuenta el análisis dimensional de la formula de potencia 
 
 
 
 
 Sistema Internacional:  
J
p Watt
s
  
 Sistema c.g.s.:  
ergio
p
s
 
 Sistema Técnico:  
kgm
p
s
 
 
 Equivalencias: 
 
 Sistema Técnico y Sistema Internacional 
 
Fuerza: 1 9,81kg N 
Trabajo: 1 9,81 9,81kgm N m J   
Potencia: 1 9,81 9,81 
kgm J
Watt
s s
  
 
 Sistema Técnico y Sistema c.g.s. 
 
W
p
t

dW
p
dt

W p t 
dW F dr dr
p F
dt dt dt

   
 
 
 
W
p
t

 
Tranquilate! Junto a la Física 
 
Trabajo: 3 2 71 10 10 9,81 9,81 10
dina
kgm gr cm ergio
gr
     
 
 Sistema Técnico Ingles 
 
Potencia: 
 
 
 
 
 
 
 Conservación de la Energía Mecánica: 
 
 Fuerzas Conservativas y No Conservativas (o Disipativas): Para ilustrar el comportamiento de los 
sistemas conservativos, consideremos el movimiento unidimensional de una partícula sobre la que actúan 
tres fuerzas diferentes: 
 
 La fuerza de un Resorte ( F k x   ): La figura (1) muestra un 
bloque de masa m unido a un resorte de constante de fuerza k; el bloque 
se desliza sin fricción sobre una superficie horizontal. Inicialmente, un 
agente externo comprime el resorte de modo que el bloque se desplaza a 
x d  desde su posición inicial 0x  cuando en resorte esta en 
equilibrio. Al eliminar súbitamente el agente externo, veremos que el 
resorte comienza a efectuar un trabajo sobre el bloque. 
 
 Cuando el bloque se mueve desde x d  hasta 0x  , el resorte 
efectúa un trabajo 
1 2
2
kd (el mismo aparece como energía cinética del 
bloque). Cuando el bloque pasa por 0x  el signo de la fuerza del 
resorte se invierte, retarda al bloque y efectúa un trabajo negativo 
1 2
2
kd sobre él, hasta llegar a x d  . De igual manera, desde x d  
hasta 0x  , la fuerza del resorte efectúa un trabajo 
1 2
2
kd , y desde 
0x  otra vez de regreso a x d  , efectúa un trabajo 
1 2
2
kd . El bloque esta ahora otra vez en su posición 
original y vemos al sumar las cuatro contribuciones distintas que el trabajo total efectuado sobre el bloque 
por la fuerza del resorte en el ciclo completo es cero. 
 
 La fuerza de la Gravedad ( F m g  ): La siguiente figura (2) muestra un ejemplo de un sistema que 
consta de una pelota que recibe la acción de la gravedad de la Tierra. La pelota es lanzada hacia arriba por un 
agente externo que le da una velocidad 0v , con una energía cinética 
de 
1 2
02
mv . Mientras la pelota se eleva, la Tierra efectúa un trabajo 
sobre la misma hasta que la lleva momentáneamente al reposo en 
y h . El trabajo efectuado por la Tierra desde 0y  hasta y h 
es mgh . El teorema de trabajo-energía relaciona el cambio de 
energía cinética 
1 2
02
mv con el trabajo neto efectuado por la única 
fuerza (la gravedad) mgh . Al caer la pelota desde y h hasta 
0y  , la fuerza de la gravedad efectúa el trabajo mgh . El trabajo 
efectuado por la fuerza de la gravedad en recorrido completo es de cero. 
 
 La fuerza de Fricción ( F N  ): En nuestro tercer ejemplo (figura 3), consideremos un disco de masa 
m en el extremo de un cordón de longitud R. Al disco se le da una velocidad inicial 0v y el cordón lo obliga a 
moverse en círculo de radio R sobre una superficie horizontal que ejerce una fuerza de fricción sobre el 
disco. La única fuerza que efectúa un trabajo sobre el disco es la fuerza de fricción ejercida por la superficie 
1 550( )
1 75
1 736 ( )
1 746 ( . . . .)
ft pn
s
kgm
s
HP
HP
HP Watt Ingles
HP Watt E E U U





 
Tranquilate! Junto a la Física 
 sobre la base del disco. Esta fuerza actúa siempre en dirección opuesta a la velocidad del disco, de modo que 
el trabajo efectuado por la 
fuerza de fricción sobre el disco 
es siempre negativo. Cuando el 
disco ha regresado a su punto 
de partida, el trabajo efectuado 
por la fuerza de fricción en 
recorrido completo 
definitivamente no es cero; el trabajo total efectuado es una cantidad negativa. El disco regresa a su punto de 
partida con una energía cinética siempre menor después del viaje completo. 
 
 Analizando estos tres ejemplos, llegamos a la primera forma de distinguir las fuerzas conservativas: “Si el 
cuerpo se mueve bajo la acción de una fuerza que no efectué trabajo neto durante un recorrido completo, 
entonces la fuerza es conservativa; de lo contrario, es no conservativa”. La fuerza elástica de restitución