RECOPILACIÓN DE MATERIAL - MIT - FÍSICA II

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F Í S I C A I I
M I T
M O V I M I E N T O D E
I N C L U S I Ó N T O T A L
RECOPILACIÓN DE MATERIAL
ONLINE PARA FÍSICA II 
TEMA 1
CAMPO ELECTROSTÁTICO
1.- Carga eléctrica. Propiedades fundamentales
Las observaciones sobre la atracción eléctrica se remontan a la Grecia antigua. Thales de Mileto
observó que cuando se frotaba el ámbar (elektrón), atraía pequeños objetos tales como plumas o pajitas.
Confundió esta atracción con la atracción magnética del hierro por la piedra imán (magnetita).
En el siglo XVI, Gilbert estudió sistemáticamente los efectos eléctricos (aparentemente, no detectó
la repulsión eléctrica) y magnéticos (descubrió que la Tierra es un inmenso imán, con su polo Norte y su
polo Sur). Fue el primero que entendió claramente la diferencia entre la atracción eléctrica y magnética
e introdujo los conceptos de fuerza eléctrica, atracción eléctrica y polo magnético.
Alrededor de 1729, el inglés Stephen Gray descubrió que la atracción y la repulsión eléctrica puede
transferirse de un cuerpo a otro si se conectan mediante determinadas sustancias, especialmente metales
(así pues, no solamente frotando puede electrizarse un cuerpo). Charles François du Fay (1698-1739)
observó que una varilla de vidrio, previamente frotada, atraía a una laminilla de oro. Si se ponían en
contacto, entonces se repelían. Pero la laminilla de oro era atraída por otras sustancias previamente
electrificadas como el ámbar o la resina. Por ello, sugirió la existencia de dos tipos de electricidad: la
"vítrea" y la "resinosa".
En 1747, Benjamín Franklin propuso que todo cuerpo tiene una cantidad de electricidad "normal".
Cuando un cuerpo se frota contra otro, parte de la electricidad se transfiere de uno a otro, con lo que uno
de ellos tendrá un exceso de electricidad y el otro un defecto de la misma igual al exceso del primero,
pudiendo escribirse el exceso con un "más" y el defecto con un "menos" (Hoy sabemos que lo que se
transfieren son electrones y, por tanto, al exceso lo caracterizamos con un "menos" y el defecto con un
"más").
El modelo que manejamos en la actualidad se basa en nuestro conocimiento sobre la estructura del
átomo (tabla 1).
Tabla 1.- Partículas fundamentales del átomo.
Partícula Carga (C) Masa (kg)
Núcleo
neutrón 0 1,675·10-27
protón 1,602·10-19 1,673·10-27
Corteza electrón - 1,602·10-19 9,109·10-31
Un cuerpo cuyos átomos poseen el mismo número de protones (cuya carga es positiva) que de
electrones (cuya carga es negativa e igual, en valor absoluto, a la de los protones) no tiene carga
eléctrica neta, pero si conseguimos extraer o introducir algunos electrones (por frotamiento, por
ejemplo), producimos un desequilibrio en dicho número que hace que el cuerpo posea ahora una carga
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 2
(a) (b)
FIGURA 1.- Se puede colocar una carga neta sobre un cuerpo, sin que exista
contacto, mediante inducción electrostática. (a) Cuando un cuerpo cargado
se acerca a uno neutro, la cara próxima adquiere carga opuesta. (b) Si se
separan las esferas y se retira la varilla cargada, cada esfera conserva su
carga. Evidentemente, la suma total de cargas es cero.
FIGURA 2.- Electrización de una esfera por contacto con una varilla
cargada.
neta. Por ejemplo, al frotar un peine con un paño de lana ésta le transfiere un determinado número de
electrones, con lo que la lana tendrá un defecto de electrones y el peine un exceso de ellos. Existen, pues,
dos clases de cuerpos electrizados: cuerpos con carga neta positiva (la correspondiente al defecto de
electrones, lo que es equivalente a un exceso de protones) y cuerpos con carga neta negativa (que se
debe al exceso de electrones). Existen tres formas de transferir carga neta a un cuerpo.
C Electrización por frotamiento
Como su propio nombre indica, se trata de frotar un cuerpo contra otro, de forma que uno de ellos
transfiere electrones al otro.
C Electrización por inducción
En la Fig.1.a pueden observarse dos
esferas conductoras, inicialmente en estado
neutro, suspendidas y en contacto directo.
Debido a la presencia de una varilla cargada,
adquieren cargas opuestas sobre cada extre-
mo. Si las esferas son separadas y la varilla
retirada, cada esfera retiene su carga: la
carga neta de las dos esferas es cero, pero
hemos sido capaces de aislar las cargas
positivas en una esfera y las negativas en la
otra.
C Electrización por contacto
Si una varilla de vidrio cargada positivamente se acerca a una esfera metálica suspendida de un hilo
no conductor, los electrones de la esfera
próximos a la varilla son atraídos a la
superficie, dejando la zona opuesta con un
exceso de carga positiva (es la inducción
electrostática). Si ponemos en contacto la
varilla y la esfera (Fig.2.b), las cargas nega-
tivas de la esfera son neutralizadas por
algunas de las cargas positivas de la varilla,
con lo que la esfera quedará cargada positi-
vamente (por el contacto con la varilla) y
será repelida por la varilla (Fig.2.c).
De las experiencias propuestas podemos inferir dos propiedades fundamentales de la carga: su
conservación (el exceso de electrones del peine coincide con el defecto de electrones de la lana; la carga
1 La palabra cuantización podemos tomarla como sinónimo de restricción. Decimos que una magnitud
cualquiera (por ejemplo, la energía) está cuantizada cuando sólo puede tomar unos determinados valores de entre
muchos posibles.
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 3
Cabeza de
suspensión
Fibra
aislante
a
b
FIGURA 3.- Balanza de torsión de Coulomb.
total de las dos esferas de la Fig.1 es cero antes y después de la separación; la carga total del sistema
varilla-esfera de la Fig.2.a es la misma que la de la Fi.2.b)) y su cuantización1 (sólo puede transferirse la
carga correspondiente a un número entero de electrones). El cuanto elemental de carga es, pues, el
electrón, cuya carga es -1,602·10-19 C, siendo el Culombio (C) la unidad de carga del Sistema
Internacional de unidades. El valor absoluto de la carga del electrón (o, lo que es lo mismo, la carga del
protón) se representa con la letra e (e = 1,6·10-19 C).
2.- Ley de Coulomb
Charles Augustin Coulomb (1736-1806) midió por primera vez, en 1785, las atracciones y
repulsiones eléctricas en forma cuantitativa y enunció la ley que las rige. Para ello, utilizó una balanza
de torsión (Fig.3), dispositivo que, con algunas modificaciones, fue usado más tarde por Cavendish para
medir las atracciones gravitatorias y determinar el valor de la constante de gravitación universal.
Si se cargan las esferas a y b de la Fig.3, la fuerza eléctrica
sobre a tenderá a torcer la fibra de suspensión. Coulomb contrarres-
tó este efecto de torsión girando la cabeza de suspensión un ángulo
θ, necesario para mantener las cargas a la distancia que le interesa-
ba: dicho ángulo es, pues, una medida relativa de la fuerza eléctrica
ejercida sobre la carga de a. Los primeros resultados experimentales
de Coulomb pueden representarse así:
F %
1
r 2
donde F es la magnitud de la fuerza eléctrica que actúa sobre cadauna de las dos cargas y r es la distancia que las separa. Estas
fuerzas, según el principio de acción y reacción de Newton, actúan
en la recta que une las cargas, son de igual módulo y de sentidos
opuestos.
Coulomb también estudió cómo variaba la fuerza eléctrica con
la magnitud de las cargas existentes en las esferas de su balanza de torsión. Siguiendo la técnica de
electrización por contacto, Coulomb amplió la relación de la inversa de los cuadrados: 
F %
q1 q2
r 2
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 4
FIGURA 4.- Interacción entre dos cargas puntuales.
Actualmente, la ley de Coulomb se enuncia así: La
fuerza de interacción entre dos cargas puntuales en
reposo tiene la dirección de la recta que une las cargas
y es directamente proporcional a su producto e inversa-
mente proporcional al cuadrado de la distancia que las
separa. Matemáticamente, si llamamos Pu12 a un vector unitario en la dirección de la recta que une las
cargas, orientado hacia q2 (Fig.4), Pu21 a su opuesto, a la fuerza que la carga 1 ejerce sobre la cargaPF12
2 y a la que actúa sobre q1, tendremos:PF21
[1.1]PF12 ' K0
q1 q2
r 2
Pu12
[1.2]PF21 ' K0
q1 q2
r 2
Pu21 ' !
PF12
[1.3]F ' F12 ' F21 ' K0
q1 q2
r 2
En general, escribiremos la ley de Coulomb en la forma:
[1.4]PF ' K0
q1 q2
r 2
Pu
r
siendo Pur un vector unitario cuya dirección es la de la recta que une las cargas y cuyo sentido va de la
carga que consideramos que ejerce la fuerza hacia la que consideramos que recibe la acción de dicha
fuerza.
La ley de Coulomb presenta varias restricciones contenidas en su propio enunciado y formulación:
1º) Sólo es aplicable a cargas puntuales, es decir, a cuerpos cargados cuyos tamaños sean mucho menores
que la distancia que los separa.
2º) Dichas cargas han de estar en reposo (por eso hablamos del campo electrostático).
3º) La formulación matemática dada sólo es aplicable en el vacío o el aire seco (para cualquier otro
medio, como veremos al final del tema siguiente, es preciso sustituir K0 por K, que es una constante
propia del medio).
Vemos que la ley de Coulomb es similar a la ley de Newton de gravitación universal, pero conviene
resaltar dos diferencias importantes: a) Mientras que en la ley gravitacional la constante de proporcionali-
dad es universal (G), la constante de la ley de Coulomb depende del medio en el que se encuentran las
cargas. Es por ello por lo que utilizamos el subíndice cero: para indicar que estamos hablando del vacío
o del aire seco. b) Las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas, mientras que las eléctricas pueden ser
atractivas o repulsivas.
2 En la teoría de campos hay que realizar muchas integrales de superficie. Cada vez que se hace una de
ellas, aparece el factor 4π: racionalizar las ecuaciones es dejarlas “preparadas” para que dicho factor desaparezca
por simplificación, por lo que habrá que cambiar K0 por una expresión, también constante, en la que aparezca el
factor 4π en el denominador.
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 5
Para racionalizar2 las fórmulas, es costumbre escribir la constante de proporcionalidad K0 como:
[1.5]K0 '
1
4 π ε0
donde g0 es una constante denominada permitividad dieléctrica del vacío.
Hemos introducido una nueva magnitud, la carga, y por tanto hemos de hablar de sus unidades.
Asimismo, tenemos que determinar el valor de K0. Tenemos dos caminos:
1ª) Asignar un valor arbitrario a K0 y, en función de él, definir la unidad de carga.
2º) Definir arbitrariamente la unidad de carga y, en función de ella, determinar el valor de K0.
El primer camino es el que se sigue en el sistema electrostático de unidades y el segundo en el
Internacional.
En el sistema electrostático de unidades (que no es mas que el CGS ampliado), se asigna a K0 el
valor arbitrario 1 (sin unidades). Así pues:
S.E.E.: K0 = 1 [1.6]
La unidad de carga de dicho sistema recibe el nombre de franklin (antiguamente, unidad
electrostática de carga), definida por la ley de Coulomb como la carga que, situada en el vacío a una
distancia de un centímetro de otra idéntica, interacciona con ella con una fuerza de una dina. Según esta
definición:
[1.7]
dina '
Fk ·Fk
cm 2
Y Fk ' cm dina
En el Sistema Internacional de unidades, como dijimos anteriormente, se define arbitrariamente la
unidad de carga. Aún no estamos en condiciones de definir dicha unidad (lo haremos en el tema dedicado
a las fuentes del campo magnético) y, por ahora, nos conformaremos con su nombre: culombio. Situando
en el vacío dos cargas de 1 culombio, separadas una distancia de 1 metro y midiendo la fuerza con que
interaccionan, podemos averiguar el valor de K0 en el Sistema Internacional. Dicho valor resulta ser:
[1.8]S. I . : K0 ' 8,9875 ·10
9 N·m
2
C 2
• 9 ·109
N·m 2
C 2
De la Ec.[1.5] podemos deducir el valor de ε0 en ambos sistemas de unidades. En efecto:
[1.9]S.E.E. : ε0 '
1
4 π
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 6
[1.10]S. I. : ε0 ' 8,85418 ·10
& 12 C
2
N·m 2
Vamos a determinar ahora la equivalencia entre ambas unidades de carga, para lo que nos basaremos
en el valor que toma K0 en ambos sistemas de unidades.
K0 ' 1
K0 • 9· 10
9 N·m
2
C 2
Y 9 ·109 N·m
2
C 2
• 1 Y 1 C • 9 ·109 N·m 2 '
' 9 ·109 N ·105
dinas
N
· m 2 · 104 cm
2
m 2
' 9 ·1018 dinas ·cm 2 ' 3 ·109 cm dina ' 3 ·109 Fk
Así pues,
1 C • 3·109 Fk [1.11]
3.- Campo eléctrico
Si en una región del espacio existe una magnitud física definida en cada punto, la asociación del
valor de esta magnitud en cada instante con cada punto del espacio recibe el nombre de campo, con lo
que la magnitud que caracteriza el campo depende de la posición y del instante que se considera.
Definimos campo eléctrico como cualquier región del espacio en la que una carga eléctrica, qN,
experimenta una fuerza eléctrica, fuerza que, evidentemente, se debe a la presencia en dicha región de
otra u otras cargas. La magnitud que vamos a utilizar para caracterizar este campo se denomina intensidad
de campo eléctrico o, más simplemente, campo eléctrico.
Definimos intensidad de campo eléctrico, en un punto de la región (o campo eléctrico, sin más)PE ,
como la fuerza que el campo ejercería sobre la unidad de carga positiva situada en ese punto (esto,
evidentemente, es equivalente a decir la opuesta de la fuerza que el campo ejercería sobre la unidad de
carga negativa situada en dicho punto). Matemáticamente:
[1.12.1]PE '
PF
q )
donde admitimos que la presencia de qN (llamada carga-testigo o carga-prueba) no modifica la distribución
original de la carga o cargas creadoras del campo. En la práctica, esto es cierto si qN es tan pequeña quesu influencia es despreciable. Por ello, podríamos formular con más rigor la Ec.[1.12.1] en la forma:
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 7
FIGURA 4.- Posibles valores de y en función de los signos de q y qNPE PF
FIGURA 5
[1.12.2]PE ' lim
q )6 0
PF
q )
Evidentemente, la unidad en la que se expresa la intensidad de campo eléctrico en el sistema
internacional de unidades es el N/C.
De la formulación matemática de la intensidad de campo deducimos que los vectores intensidad de
campo y fuerza son de la misma dirección y sentido si la carga-testigo es positiva y de sentidos opuestos
si dicha carga-testigo es negativa (los cuatro casos posibles según el signo que tengan q y qN se
representan en la Fig.4).
Asimismo, de la definición de intensidad de campo eléctrico deducimos que la mejor forma de
dibujar el vector campo en un punto es abandonar imaginariamente en dicho punto la unidad de carga
positiva: la dirección y sentido de la fuerza que actúe sobre ella indica la dirección y sentido del vector
campo eléctrico. En la fig.5 se representa el campo creado por una carga q positiva (Fig.5.a) en dos puntos
A y B y el creado por una carga q negativa (Fig.5.b). Conviene resaltar que depende sólo de la cargaPE
creadora del campo (q) y de la distancia al punto que se considera (figuras 4 y 5) mientras que dependePF
de q, de r y también de qN (Fig.4). De esta forma, una vez creado el campo existe un valor de la intensidad
de campo en cada punto.
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 8
FIGURA 6
Para terminar, diremos que aunque hay muchos adjetivos que califican a los campos, es conveniente
que conozcamos dos de ellos:
C Si el vector campo eléctrico no depende del tiempo, diremos que el campo es estacionario.
C Si en cada instante vale lo mismo (módulo dirección y sentido) en todos los puntos, diremos que el
campo es uniforme.
3.1.- Campo eléctrico creado por una carga puntual. Líneas de campo
Si el campo eléctrico está creado por una única carga puntual, la aplicación simultánea de la ley de
Coulomb y de la Ec.[1.12.1] nos lleva a:
[1.13]PE '
PF
q )
' K0
q q )
r 2 q )
Pu
r ' K0
q
r 2
Pu
r
donde Pur es un vector unitario cuya dirección es la de la recta que une la carga creadora del campo, q, con
el punto en el que se evalúa la intensidad de campo y cuyo sentido es "hacia afuera", es decir, de la carga
creadora del campo hacia el punto en el cual se evalúa la intensidad de campo. La Fig.6 vuelve a mostrar
lo mismo que la Fig.5, pero añadiendo el vector .Pu
r
La presencia de un campo eléctrico en una región puede indicarse fácilmente dibujando las llamadas
líneas de fuerza o líneas de campo, líneas imaginarias que tienen la propiedad de que el vector campo
es tangente a ellas en cada uno de sus puntos. Estas líneas de campo, además, cumplen las siguientes
propiedades:
C El número de líneas de campo que atraviesan la unidad de superficie situada perpendicularmente a ellas
(densidad de líneas de campo) es proporcional al valor del campo en la región. Consecuentemente, el
campo es intenso cuando las líneas están muy próximas entre sí y débil si están muy separadas.
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 9
FIGURA 7
C Las líneas de campo se dibujan siempre saliendo de las cargas positivas (manantiales de líneas de
campo) y entrando en las negativas (sumideros de líneas de campo). Es una consecuencia obvia del
hecho de que el vector es tangente a ellas en cada punto.PE
C El número de líneas de campo que se dibujen saliendo de un manantial o entrando en un sumidero es
proporcional al valor de la carga.
C No pueden cortarse dos líneas de campo en un punto en el que no exista carga, pues ello supondría la
existencia en dicho punto de dos vectores campo diferentes.
En la Fig.7 pueden observarse las líneas de campo cuando el campo lo crea una carga puntual
positiva (Fig.7.a), una carga puntual negativa (Fig.7.b) y las correspondientes a un campo uniforme
(Fig.7.c) como el que existe entre las placas de un condensador. Nótese que en este último caso, de acuer-
do con las propiedades enunciadas para las líneas de campo, las líneas son paralelas y equiespaciadas.
El modelo de las líneas de campo presenta tres inconvenientes destacables:
1º) Pueden hacernos creer que las líneas de campo son algo material y ello es absolutamente falso: sólo
constituyen un artificio para dar una descripción cualitativa del campo eléctrico.
2º) El hecho de que sólo se dibujen algunas líneas puede hacernos pensar que el campo está cuantizado
y que sólo actúa en determinadas direcciones, lo cual también es falso. El campo es continuo y existe
en todo punto.
3º) Puesto que los dibujos son bidimensionales, podemos perder la perspectiva espacial del campo
eléctrico.
3.2.- Principio de superposición
¿Qué ocurre si el campo eléctrico está creado por más de una carga puntual o por una distribución
continua de ellas? La respuesta está en el llamado principio de superposición (de carácter empírico) que,
literalmente, dice que la fuerza con que interaccionan dos cargas no se ve alterada por la presencia de
una tercera carga. Como consecuencia, la fuerza neta que recibe una carga puntual cuando se introduce
en un campo creado por n cargas puntuales será:
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 10
FIGURA 8
dq
P
ur
6
FIGURA 9
[1.14]PF ' PF1 %
PF2 % ... %
PF
n ' '
n
i'1
PF
i
donde es la fuerza que la carga i-ésima ejerce sobre la carga q, fuerza que se calcula como si sóloPF
i
existiesen esas dos cargas. De la Ec.[1.14] y de la definición de intensidad de campo, deducimos que el
campo total creado en un punto por n cargas puntuales es:
[1.15]PE ' PE1 %
PE2 % ... %
PE
n ' '
n
i'1
PE
i
En la Fig.8 podemos apreciar las líneas de campo del campo creado por dos cargas opuestas
(Fig.8.a), por dos cargas del mismo signo (Fig.8.b) y por dos cargas de distinto signo y diferente valor
absoluto (Fig.8.c).
El principio de superposición no sólo se aplica a la fuerza; magnitudes que definiremos más
adelante, como la intensidad de campo, el trabajo, el flujo, la energía potencial electrostática y el
potencial eléctrico, también locumplen. Así pues, para hallar el valor de una determinada magnitud basta
con calcular el valor que cada carga provoca en dicha magnitud y sumar algebraicamente todos los valores
individuales si la magnitud es escalar o realizar la suma vectorial si la magnitud tiene este carácter.
3.3.- Campo eléctrico creado por distribuciones continuas de carga
Si la distribución de carga es continua, el campo que se produce en un punto P cualquiera se puede
calcular dividiendo la carga en elementos infinitesimales dq. El campo que produce cada elemento de
carga, se calcula tratándolo como si fuese una carga puntual, es decir,d PE ,
[1.16]d PE ' K0
dq
r 2
Pu
r
donde r es la distancia de dq al punto P (Fig.9). Por tanto, el campo total
creado por la distribución será:
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 11
[1.17]PE ' K0
distribución
dq
r 2
Pu
r
Si la distribución de carga es espacial, definimos la densidad cúbica de carga como
ρ = dq/dh [1.18]
siendo dq la carga existente en el volumen dh. De la ecuación anterior,
dq = ρ dh [1.19]
Si la distribución de carga es superficial (como en las armaduras de un condensador), definimos la
densidad superficial de carga, σ, como
σ = dq/dS [1.20]
donde dq es la carga existente en la superficie dS. De la ecuación anterior,
dq = σ dS [1.21]
Si la distribución de carga es lineal (como, por ejemplo, un alambre muy fino cargado), definimos
la densidad lineal de carga, λ, como
λ = dq/dR [1.22]
siendo dq la carga existente en una longitud dR. De la ecuación anterior,
dq = λ dR [1.23]
Si las distribuciones de carga son homogéneas, es decir, si la densidad de carga de la distribución
es constante, la Ec.[1.17] se transforma en
- Distribución cúbica: [1.24]PE ' K0 ρ
h
dh
r 2
Pu
r
- Distribución superficial: [1.25]PE ' K0 σ
S
dS
r 2
Pu
r
- Distribución lineal:
[1.26]PE ' K0 λ
R
d R
r 2
Pu
r
Veamos ahora cómo se aplican las ecuaciones anteriores a casos prácticos concretos.
3.3.1.- Campo creado por una distribución lineal y uniforme de carga de longitud L
Sea λ la densidad lineal de carga (constante), L la longitud de la distribución y a la distancia del
punto a la misma (Fig.10). Para descomponer el vector tomamos un eje paralelo al conductor y otrod PE ,
perpendicular a él. En estas condiciones,
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 12
FIGURA 10
d EX ' ! d E senθ ' ! K0
λ d R
r 2
sen θ
d E2 ' d E cosθ ' K0
λ d R
r 2
cos θ
Puesto que tenemos tres variables (R, r y θ), escribiremos
todas ellas en función de θ:
cosθ '
a
r
Y r ' a
cosθ
' a secθ
tg θ '
R
a
Y R ' a tgθ Y d R ' a sec2θ dθ
Sustituyendo en las expresiones de dEX y dE2:
dEX ' ! K0
λ d R
r 2
senθ ' ! K0
λ
a 2 sec2θ
a sec2θ senθ dθ ' ! K0
λ
a
senθ dθ
dE2 ' K0
λ d R
r 2
cosθ ' K0
λ
a 2 sec2θ
a sec2θ cosθ dθ ' K0
λ
a
cosθ dθ
Para obtener EX y E2, integramos las expresiones anteriores entre los límites de θ, es decir entre
θ = -θ2 y θ = θ1 (de esta forma, θ1 y θ2 son ángulos agudos cuyas razones trigonométricas son positivas):
EX '
θ1
&θ2
!K0
λ
a
senθ dθ ' ! K0
λ
a
! cosθ
θ1
&θ2
' K0
λ
a
cosθ1 ! cos ! θ2 ' K0
λ
a
cosθ1 ! cosθ2
E2 '
θ1
&θ2
K0
λ
a
cosθ dθ ' K0
λ
a
senθ
θ1
&θ2
' K0
λ
a
senθ1 ! sen ! θ2 ' K0
λ
a
senθ1 % senθ2
Así pues:
[1.27]PE ' K0
λ
a
cosθ1 ! cosθ2 PuX % senθ1 % senθ2 Pu2
Si la distribución es indefinida (longitud infinita, para lo que basta con que L >> a y que el punto
se encuentre alejado de los extremos de la distribución), θ2 • θ1 • 90º, con lo que el campo será:
[1.28]PE
L » a • 2 K0
λ
a
Pu2
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 13
FIGURA 11
es decir, el campo es perpendicular a la distribución.
Si la distribución es finita y el punto P pertenece a la recta que la contiene, no podemos hacer uso
de la Ec.[1.27]. En estas condiciones, se propone al lector que demuestre que el campo en dicho punto
viene dado por , siendo Q la carga total de la distribución, L su longitud, d laPE ' K0
Q
d (d % L)
PuX
distancia del punto al extremo más próximo de la misma y un vector unitario en la dirección de la rectaPuX
que contiene a la distribución y cuyo sentido, como siempre, es de la distribución al punto.
3.3.2.- Campo creado por un anillo, cargado uniformemente, en un punto de su eje
Sea Q la carga total del anillo, R su radio y a la
distancia del punto al centro del anillo (Fig.11).
Debido a la simetría, el campo resultante sólo tiene
coordenada según el eje del anillo, ya que el elemento
situado al otro extremo del mismo diámetro produce en P
un campo cuya coordenada perpendicular al eje del anillo
anula a la anterior. Así pues, sólo hay que sumar las
coordenadas axiales.
dE
eje ' dE cosα ' K0
λ d R
r 2
cosα ' K0
λ R
r 2
cosα dθ
Aunque r y α son variables, varían para cada punto y no dependen de θ. Así pues:
E
eje ' dEeje ' K0
λ R
r 2
cosα dθ ' K0
λ R
r 2
cosα 2 π
Teniendo en cuenta que λ = Q/L = Q/(2πR) y que cosα = a/r, la expresión anterior se escribe:
E
eje ' 2 π K0
Q
2 π R
R
a
r 3
' K0
Q a
r 3
Puesto que r = (R2 + a2)½, la expresión definitiva del campo es:
[1.29]E
eje ' K0
Q a
R 2 % a 2
3 / 2
Y PE ' K0
Q a
R 2 % a 2
3 / 2
Pu
eje
En el centro del anillo (a = 0):
[1.30]PE
c '
P0
Si a es muy grande comparada con R, (R2+a2)3/2 • (a2)3/2 = a3, con lo que el campo valdrá:
[1.31]PE
a >> R • K0
Q
a 2
Pu
eje
es decir, igual al campo creado por una carga puntual igual a la del anillo y situada en su centro (como
era de esperar, ya que si a >> R, las dimensiones del anillo son despreciables y el anillo se comporta como
una carga puntual).
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 14
FIGURA 12
FIGURA 13
E
dS
FIGURA 14
4.- Flujo del campo eléctrico
Consideremos un campo eléctrico uniforme en una cierta región
del espacio y una superficie de área S perpendicular al campo
(Fig.12). Puesto que la densidad de líneas de campo, N/S, es propor-
cional a la intensidad de campo, evidentemente se cumplirá que:
N % E S [1.32]
Al producto de la intensidad de campo uniforme por el área de
una superficie perpendicular al mismo se le denomina flujo del
campo a través de dicha superficie:
Φ = E S [1.33]
Dada la definición deflujo, se cumple que el número de líneas de campo que atraviesan la superficie
es proporcional al flujo:
N % Φ [1.34]
Supongamos ahora que la superficie no es perpendicular al
campo, sino que el vector superficie forma con él un ángulo α
(Fig.13). El número de líneas de campo que atraviesan la superficie
S es el mismo que las que atraviesan la superficie S' (S' es la
proyección de S sobre un plano perpendicular a las líneas de campo,
es decir, S’ = S cosα). Por lo explicado anteriormente, es cierto que:
N % E S' = E S cos α [1.35]
Al producto de la intensidad de campo uniforme por el área de
una superficie plana cualquiera y por el coseno del ángulo que forman los vectores y (es decir,PE PS
al producto escalar entre los vectores y se le denomina flujo del campo a través de dichaPE PS )
superficie:
[1.36]Φ ' PE · PS
Evidentemente, sigue cumpliéndose la Ec.[1.34].
Generalicemos las situaciones anteriores al caso de que la superficie no
sea plana, sino curva, y el campo no sea uniforme, de modo que el campo
pueda variar en módulo, en dirección o en ambos a la vez (o en ninguno) en los
distintos puntos de la superficie. Si elegimos un elemento infinitesimal de
superficie dS, podemos considerarlo como una superficie plana en la que la
intensidad de campo es constante en todos sus puntos (Fig.14). En estas
condiciones, el flujo elemental a través de dicha superficie elemental vendría
dado por la Ec.[1.36], es decir,
[1.37]dΦ ' PE ·d PS
Para determinar el flujo total a través de toda la superficie, tendremos que sumar todos los flujos
elementales (principio de superposición) en forma algebraica (el flujo es un escalar) y extender dicha
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 15
FIGURA 15
q
FIGURA 16
suma a toda la superficie. Dicha extensión supone la introducción de un nuevo tipo de integral: la
integral de superficie. Así pues,
[1.38]Φ '
S
PE ·d PS
La Ec.[1.38] constituye la definición general de flujo. Como hemos dicho reiteradamente, es una
magnitud proporcional al número de líneas que atraviesan la superficie.
La unidad de flujo eléctrico en el Sistema Internacional es N · m2/C = J · m/C. Cuando hablemos de
potencial eléctrico, veremos que J/C = V (voltio), por lo que el flujo eléctrico también se expresa, en el
Sistema Internacional de unidades, en V · m.
5.- Ley de Gauss para el campo eléctrico
Consideremos una carga puntual q situada en el centro de una superficie esférica de radio r (Fig.15).
Según la ley de Coulomb, el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie esférica es:
PE ' K0
q
r 2
Pu
r '
1
4 π ε0
q
r 2
Pu
r
El flujo elemental a través de una superficie diferencial es
(Ec.[1.37]):
dΦ ' PE ·d PS ' K0
q
r 2
Pu
r
·d PS ' K0
q
r 2
1 dS cos0E ' K0
q
r 2
dS
y el flujo a través de toda la superficie esférica (Ec.[1.38]):
Φ ' �
S
PE ·d PS ' �
S
K0
q
r 2
dS ' K0
q
r 2
�
S
dS ' K0
q
r 2
S ' K0
q
r 2
4πr 2 ' K0 q 4π '
' K0 '
1
4 π ε0
'
1
4 π g0
q 4 π '
q
g0
Si la carga puntual es positiva, q/g0 es mayor que cero y el flujo es saliente; si la carga encerrada por
la superficie esférica es negativa, q/g0 es menor que cero y el flujo es entrante.
Consideremos ahora distintas superficies cerradas que rodean a una
carga puntual q, tal y como se muestra en la Fig.16 (en la que hemos
supuesto que la carga puntual es positiva y, por lo tanto, el flujo es
saliente). La superficie S1 es esférica y la carga puntual se encuentra en su
centro; las restantes superficies tienen diversas formas. Según acabamos
de demostrar, el flujo a través de S1 es q/g0 y, como sabemos, es proporcio-
nal al número de líneas de campo que atraviesan dicha superficie. Ahora
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 16
FIGURA 17
bien, tal y como puede verse en la Fig.16, las líneas de campo que atraviesan las superficies S1, S2 y S3
son las mismas, por lo que resulta razonable concluir que el flujo a través de una superficie cerrada
cualquiera viene dado por q/g0, es decir,
[1.39]Φ ' �
S
PE ·d PS '
q
g0
Este resultado nos indica que el flujo a través de una superficie cerrada cualquiera (que, en adelante,
llamaremos superficie gaussiana) es proporcional a la carga neta encerrada por la superficie. El hecho de
que el flujo sea independiente de la distancia es una consecuencia de la dependencia del campo eléctrico
con el inverso del cuadrado de la distancia (1/r2).
Si en lugar de una sola carga tenemos n cargas, el flujo, según el principio de superposición, será:
[1.40]Φ ' �
S
PE ·d PS '
1
g0
j
n
i ' 1
q
i '
q
n
g0
siendo qn la carga neta encerrada por la superficie gaussiana.
La Ec.[1.40] es la expresión matemática de la ley de Gauss para el campo eléctrico: el flujo total a
través de una superficie cerrada cualquiera es igual a la carga neta encerrada por la superficie dividida
por la permitividad dieléctrica del vacío.
La ley de Gauss tiene una serie de propiedades importantes que la convierten en una herramienta
muy potente para el cálculo del flujo eléctrico y, sobre todo, para el cálculo de intensidades de campo
cuando las cargas que lo crean tienen un alto grado de simetría. Estas propiedades son:
1. El flujo es proporcional a la carga neta encerrada por la superficie. Ésta era una de las propiedades en
que se basa la visualización de campos eléctricos mediante líneas de campo: cuanto mayor sea la carga
puntual, mayor será el número de líneas de campo que atraviesen la superficie cerrada.
En la Fig.17 se ha dibujado una superficie esférica en ambos casos. Puesto que la carga puntual en
el caso de la Fig.17.b es el doble que en la Fig.17.a, el número de líneas dibujadas en dicha situación
es también el doble, con lo que el flujo también lo es.
3 En el primer caso podríamos conocer la carga en el interior de la superficie gaussiana o bien la expresión
del campo eléctrico para poder obtener conclusiones.
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 17
FIGURA 18
FIGURA 19
2. El flujo se calcula a través de una superficie cerrada cualquiera, es decir, el
flujo no depende de la forma de la superficie. En la Fig.18 se ha dibujado el
campo eléctrico creado por una carga puntual y dos superficies cerradas, una
esférica (S1) y otra de forma irregular (S2). El balance del número de líneas que
atraviesan ambas superficies (flujo a través de ellas) es:
Superficie Líneas entrantes Líneas salientes Flujo neto
S1 0 8 +8
S2 2 10 +8
3. El flujo no depende de cómo esté distribuida la carga en el interior de la
superficie cerrada. En efecto, si desplazamos mentalmente la carga +q de la
Fig.18 por los volúmenes delimitados por S1 y S2 el númerode líneas de campo
que las atraviesan no cambia.
4. Las cargas exteriores no contribuyen al flujo porque sus líneas de campo
siempre atravesarán la superficie un número par de veces, la mitad de ellas
entrando en la superficie y la otra mitad saliendo de ella (Fig.19), con lo que el
número neto de líneas de campo, para las cargas exteriores, será cero.
5.1.- Aplicaciones de la ley de Gauss
Ley de Gauss es una ley fundamental del electromagnetismo por lo que es válida en cualquier caso que
nos encontremos, pero esto no significa que resulte útil en cualquier circunstancia. Generalmente la ley
de Gauss suele utilizarse en tres casos:
1. Para demostrar determinadas propiedades de los campos eléctricos.
2. Para calcular la carga encerrada en una región determinada.
3. Para obtener la expresión de campos eléctricos originados por diversas distribuciones de carga.
En los dos últimos casos necesitaremos resolver la integral de superficie para calcular el flujo
eléctrico3. Por eso, la ley de Gauss resultará útil siempre que podamos escoger una superficie cerrada
(superficie gaussiana) que nos permita evaluar fácilmente dicha integral, lo que, generalmente, será
posible si la distribución de carga responsable del campo eléctrico tiene un alto grado de simetría. Para
que sea posible el cálculo del flujo, es conveniente tener en cuenta los siguientes consejos:
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 18
FIGURA 20
1. Elegir la superficie gaussiana de forma que el vector campo eléctrico sea tangente a ella en todos sus
puntos (de esta forma, el vector campo y el vector superficie serán perpendiculares), con lo que
PE @d PS ' 0.
2. Elegirla de forma que el vector campo eléctrico sea perpendicular a ella en todos sus puntos y de
módulo constante en toda la superficie, con lo que y, al ser E constante, podrá salir dePE @d PS ' E dS
la integral, con lo que el flujo a través de la superficie será:
�
S
PE ·d PS ' �
S
E dS ' E S
3. En ocasiones, no será posible elegir una superficie que verifique en su totalidad alguno de los dos
puntos anteriores. En tal caso, elegir la superficie de forma que pueda descomponerse en superficies
abiertas tales que en cada una de ellas se cumpla alguna de las dos propiedades enunciadas, con lo que
el flujo se calcularía:
�
S
PE @d PS '
S1
E1 dS1 %
S2
E2 dS2 % . . . %
Sn
E
n
dS
n
A continuación veremos algunos de los ejemplos más típicos de uso de la ley de Gauss.
5.1.1.- Campo creado por una corteza esférica de carga
Consideremos una corteza esférica (una corteza esférica es un esfera hueca) de radio R cargada
uniformemente con una carga total q. Distinguiremos si pretendemos calcular el campo en un punto
exterior a la distribución (r > R) o interior a la misma (r < R).
a) En el exterior (r $$$$ R). Dada la simetría, el campo eléctrico debe ser radial y
su módulo sólo dependerá de la distancia r al centro de la esfera. En la Fig.20
hemos elegido como superficie gaussiana una esfera de radio r concéntrica con
la corteza. El vector campo eléctrico en cualquier punto de la superficie gaussiana
podemos escribirlo como:
PE ' Er Pur
donde Er (coordenada radial de ) será positiva si la carga de la corteza es positiva y negativa en casoPE
contrario (es decir, el módulo del campo eléctrico es el valor absoluto de Er y, por lo tanto, Er es constante
en toda la superficie). El flujo a través de la superficie gaussiana será:
�
S
PE @d PS ' �
S
E
r
Pu
r @d
PS ' �
S
E
r
1 dS ' Er�
S
dS ' Er S ' Er 4 π r
2
En la situación que estamos estudiando, la carga encerrada por la superficie gaussiana es la carga
total de la corteza, q. Por lo tanto:
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 19
FIGURA 21
�
S
PE @d PS '
q
n
g0
Y Er 4 π r 2 '
q
g0
Y
Y Er '
1
4 π g0
q
r 2
' K0
q
r 2
con lo que el campo en el exterior de la corteza será:
PE ' K0
q
r 2
Pu
r
b) En el interior (r < R). Si elegimos como superficie gaussiana una esfera concéntrica con la corteza
y de radio r, el flujo a través de la misma volverá a ser Er 4 π r
2, pero la carga que encierra la gaussiana
es nula (la carga de la corteza está fuera de la superficie gaussiana) y, por lo tanto, el campo en el interior
de la corteza es nulo.
Así pues, el campo creado por una corteza esférica es:
[1.41]PE '
1
4 π ε0
q
r 2
Pu
r ' K0
q
r 2
Pu
r
si r $ R
P0 si r < R
Hay que destacar que el campo eléctrico creado por la corteza es discontinuo en r = R, donde la
densidad de carga superficial es σ = q/4 π r2. Fuera de la corteza y en sus proximidades (r • R), el campo
eléctrico vale Er = K0 q/r
2 = σ/g0, mientras que el campo es nulo en las proximidades de la corteza por su
parte interior.
5.1.2.- Campo creado por una distribución esférica de carga
Supongamos una distribución esférica y uniforme de carga (ρ = constante) como la mostrada en la
Fig.21. Como en el caso anterior, distinguiremos si pretendemos calcular el campo en un punto exterior
a la distribución (r > R) o interior a la misma (r < R).
a) En el exterior (r > R). Para determinar el campo eléctrico en un punto
cualquiera del exterior de la distribución, escogemos como superficie gaussiana
una esfera concéntrica con la distribución que pase por el punto en el que
pretendemos evaluar el campo (Fig.21). En todos los puntos de la superficie
gaussiana elegida, el campo debe tener el mismo módulo ya que la distribución de
carga es esférica y uniforme y todos ellos equidistan del centro de la distribución.
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 20
FIGURA 22
Como en el caso anterior, el vector campo eléctrico en la superficie gaussiana podemos escribirlo
como:
PE ' Er Pur
donde Er (coordenada radial de ) será positivo si la carga de la esfera es positiva y negativo en casoPE
contrario (es decir, E = *Er* y, por lo tanto, Er es constante en toda la superficie). Al igual que en el caso
de la corteza esférica, el flujo a través de la superficie gaussiana será:
�
S
PE @d PS ' �
S
E
r
Pu
r @d
PS ' �
S
E
r
1 dS ' Er�
S
dS ' Er S ' Er 4 π r
2
En la situación que estamos estudiando, la carga encerrada por la superficie gaussiana es la carga
total de la distribución, carga que verifica que:
q
n ' q ' ρ h ' ρ
4
3
π R 3
siendo R el radio de la distribución.
Aplicando la ley de Gauss:
�
S
PE @d PS '
q
n
g0
Y Er 4 π r 2 '
q
g0
Y
Y Er '
1
4 π g0
q
r 2
' K0
q
r 2
'
1
4 π g0
ρ
4
3
π R 3
r 2
'
ρ
3g0
R 3
r 2
con lo que el campo en el exterior de la distribución será:
PE ' K0
q
r 2
Pu
r '
ρ
3g0
R 3
r 2
Pu
r
b) En el interior (r < R). El flujo a través de la superficie gaussiana adopta la misma expresiónanterior:
�
S
PE @d PS ' �
S
E
r
Pu
r @d
PS ' �
S
E
r
1 dS ' Er�
S
dS ' Er S ' Er 4 π r
2
En la situación que estamos estudiando, la carga encerrada por la superficie
gaussiana no es la carga total de la distribución sino la contenida en una esfera de
radio r (Fig.22). Así pues, dicha carga será:
q
n ' qr ' ρ hr ' ρ
4
3
π r 3 '
q
4
3
π R 3
4
3
π r 3 '
q r 3
R 3
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 21
Aplicando la ley de Gauss:
�
S
PE @d PS '
q
n
g0
Y Er 4 π r 2 '
q
r
g0
Y
Y Er '
1
4 π g0
q
r
r 2
' K0
q
r
r 2
' K0
q
R 3
r '
1
4 π g0
ρ
4
3
π r 3
r 2
'
ρ
3g0
r
con lo que el campo en el interior de la distribución será:
PE ' K0
q
r
r 2
Pu
r '
ρ
3g0
r Pu
r
Es de destacar que, dentro de la distribución, el campo no disminuye con el cuadrado de la
distancia, sino que es función lineal de la propia distancia. Evidentemente, es decir, elPE (r ' 0) ' P0;
campo en el centro de la distribución es nulo.
Demostraremos ahora que el campo es continuo, para lo cual analizaremos el comportamiento del
mismo en la superficie de la distribución (r = R).
- En el exterior, tomando r = R, obtenemos:
PE '
1
4 π ε0
q
R 2
Pu
r '
ρ
3ε0
R 3
R 2
Pu
r '
ρ
3ε0
R Pu
r
- En el interior, tomando también r = R, obtenemos:
PE '
ρ
3ε0
R Pu
r
Luego, efectivamente, el campo es continuo en todo el espacio y vale:
[1.42]PE '
1
4 π ε0
q
r 2
Pu
r '
ρ
3ε0
R 3
r 2
Pu
r
si r $ R
1
4 π ε0
q
R 3
r Pu
r '
ρ
3ε0
r Pu
r
si r # R
En la Fig.23 se muestra una representación gráfica del módulo del campo eléctrico en función de
la distancia. Podemos apreciar en ella cómo, efectivamente, el campo es continuo en r = R.
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 22
σ
dE
dq
dE
dE2
σ
dE
dq
dq’
dE’
dE
dE’
dE2 / dE2’
FIGURA 24
ρ
ε3 0
R
FIGURA 23
5.1.3.- Campo creado por una distribución de carga plana, infinita y uniforme.
Supongamos una distribución uniforme, plana e indefinida de carga y sea σ la densidad superficial
de carga. Por simetría, dado que la distribución es infinita, el campo creado por la distribución en
cualquier punto es perpendicular a la propia distribución. En efecto, el campo creado por cualquier carga
elemental de la distribución, dq (Fig.24.a, en la que se ha supuesto que la distribución es de carga
positiva), puede ser descompuesto en una componente paralela a la distribución ( ) y otrad PEX
perpendicular a la misma ( ). Ahora bien, dado que la distribución es infinita, siempre existirá unad PE2
carga elemental, dq’, situada simétricamente respecto de dq, que creará en el mismo punto un campo
cuya componente paralela a la distribución, , anulará exactamente a , con lo que sólo nosd PE
)
d PE
)
X d
PEX
quedará la componente perpendicular (Fig.24.b).
Teniendo en cuenta, pues, que el campo es perpendicular a la distribución, la superficie gaussiana
más conveniente para hallar el campo eléctrico en un punto que dista r de la distribución es un cilindro
perpendicular al plano, de altura 2r y de área de las bases S (Fig.25).
Puesto que el campo es perpendicular, esta vez lo escribiremos en la forma:
PE ' E
2
Pu
2
donde E2 tiene el mismo significado que antes (E = *E2*).
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TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 23
σ
dS2 u21 dS1
r
dSL
90º
u22
u21
FIGURA 25
El flujo a través de nuestra superficie gaussiana será:
�
S
PE @d PS '
SBase derecha
PE1 @d
PS1 %
SBase izquierda
PE2 @d
PS2 %
SSuperf. lateral
PE
L @d
PS
L '
'
SBase derecha
E
2
Pu
21 @d
PS1 %
SBase izquierda
E
2
Pu
2 2 @d
PS2 %
SSuperf. lateral
E
2
Pu
21 @d
PS
L '
'
S
E
2
dS1 %
S
E
2
dS2 % 0 ' E2S % E2S ' 2 E2S
Tal y como se puede ver en la Fig.25, la
carga que encierra la superficie gaussiana es
la contenida en un círculo de área S:
q
n ' σ S
Aplicando la ley de Gauss:
�
S
PE @d PS '
q
n
g0
Y 2 E2S '
σ S
g0
Y
Y E2 '
σ S
2g0 S
'
σ
2g0
con lo que el campo creado por la distribución será:
[1.43]PE '
σ
2g0
Pu
2
Es de destacar el hecho de que el campo es uniforme (no depende de la distancia). Aún cuando no
existen distribuciones infinitas como la propuesta, la Ec.[1.43] proporciona resultados válidos para
distribuciones finitas si el punto no está muy alejado (en comparación con las dimensiones de la
distribución) y no está próximo a los bordes.
6.- Trabajo necesario para mover una carga puntual. Energía potencial electrostática
Supongamos que en el campo creado por una carga puntual, q, se mueve otra carga, también puntual,
qN. Puesto que la fuerza eléctrica que una carga puntual ejerce sobre otra es central y su módulo depende
de la distancia entre ambas, dicha fuerza será conservativa y, por tanto, existirá una energía potencial
electrostática asociada a ella, de forma que la relación entre ambas es,
PF ' ! PLU
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 24
Si tomamos la distancia r como única variable, la ecuación anterior puede escribirse en la forma:
[1.44]F
r ' !
dU
dr
y, por lo tanto,
! dU ' Fr dr Y !
UB
UA
dU '
rB
rA
F
r
dr Y UA ! UB '
rB
rA
K0
q q )
r 2
dr '
' K0 q1 q2 !
1
r
rB
rA
' K0 q q
) 1
r
A
!
1
r
B
Así pues,
[1.45]U
A
! U
B ' K0 q q
) 1
r
A
!
1
r
B
Puesto que el trabajo realizado por la fuerza conservativa es igual a la disminución de la energía
potencial,
[1.46]W
c
A 6 B ' ! ∆U ' UA ! UB ' K0 q q
) 1
r
A
!
1
r
B
donde con Wc queremos indicar trabajo realizado por el campo. Si el campo está creado por varias cargas
puntuales, q1, q2, ..., qn, el trabajo necesario para mover una carga-testigo q' vendrá dado, según el
principio de superposición, por:
W
c
A 6 B ' K0 j
n
i ' 1
q
i
q )
1
r
iA
!
1
r
iB
' q
) K0 j
n
i ' 1
q
i
1
r
iA
!
1
r
iB
Si tomamos el origen de energías potenciales en el infinito (U4 = 0), lo que parece lógico ya que en
esas condiciones la fuerza de interacción es nula, la Ec.[1.46] se transforma en:
[1.47]W
c
A 6 4 ' U ' K0
q q )
r
Establecido así el origen de energías potenciales, la energía potencial de un sistema de dos cargas
puntuales representa el trabajo que debe realizar el campo para separar las cargas una distancia
infinita. El que la energía potencial sea positiva (q y q’ de igual signo),quiere decir que el trabajo para
separar las cargas lo realiza el campo (evidentemente: si las cargas son de igual signo su interacción es
repulsiva); si es negativa (q y q’ de signos opuestos, con lo que la interacción es atractiva), quiere decir
que el trabajo debe realizarlo un agente exterior en contra de las fuerzas del campo.
Aún podemos dar otra interpretación de la energía potencial de un sistema de dos cargas puntuales
si adoptamos la óptica del trabajo realizado por una fuerza exterior (no conservativa, por tanto):
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 25
W
ext
A 6 B ' ∆U % ∆Ec ' Wc A 6 B ' ! ∆U Y ∆U ' ! Wc A 6 B '
[1.48]' ! Wc A 6 B % ∆Ec Y Wc A 6 B ' ∆Ec ! Wext A 6 B ' ∆Ec % Wext B 6 A
es decir, si realizamos el proceso de forma que la variación de energía cinética sea despreciable, el trabajo
realizado por las fuerzas exteriores en un sentido coincide con el trabajo realizado por las fuerzas del
campo en el camino inverso, por lo que la energía potencial de un sistema de dos cargas puntuales
también representa el trabajo que debe realizar un agente externo para traer las dos cargas desde el
infinito hasta su situación actual sin que cambie su energía cinética.
Podemos resumir la manera de abordar el cálculo del trabajo realizado en la siguiente forma:
C Si adoptamos la óptica del campo, aplicamos la ecuación . Si este trabajo nos saleW
c
A 6 B ' ! ∆U
positivo, es que, en verdad, lo ha realizado el campo; si el trabajo es negativo significa que lo ha
realizado un agente exterior en contra de las fuerzas del campo.
C Si adoptamos la óptica del agente exterior, y no existe variación de la energía cinética, aplicamos la
ecuación . Si este trabajo es positivo, es que lo ha realizado el agente externo; siW
ext
A 6 B ' ∆U
es negativo, significa que lo ha realizado el campo.
C En definitiva, si un trabajo sale positivo significa que lo realiza quien hemos dicho que lo realiza
(campo o agente exterior) y si sale negativo significa que lo realiza “el otro” (agente exterior o campo).
¿Qué ocurre si el sistema está constituido por tres cargas puntuales? La respuesta está en el principio
de superposición: se han de separar una distancia infinita las cargas 1 y 2 las cargas 1 y 3 K0
q1 q2
r12
, K0
q1 q3
r13
y las cargas 2 y 3 Así pues:K0
q2 q3
r23
.
U ' K0
q1 q2
r12
%
q1 q3
r13
%
q2 q3
r23
En general, si el sistema está constituido por n cargas, la energía potencial del sistema es:
[1.49]U ' K0 j
i < j
q
i
q
j
r
i j
y, como ya hemos indicado, la energía potencial de un sistema de cargas puntuales representa el trabajo
que debe realizar el campo para separar todas las cargas una distancia mutua infinita o bien el trabajo
que debe realizar un agente exterior para traer todas las cargas desde el infinito hasta formar la
configuración actual sin que cambie la energía cinética del sistema.
¿Cuál sería la energía potencial de una carga puntual qN en el campo creado por n cargas puntuales
q1, q2, ... , qn? La respuesta está en aplicar el principio de superposición a la Ec.[1.48]:
U ' U1q ) % U2q ) % ... % Unq ) ' K0
q1 q
)
r1
% K0
q2 q
)
r2
% ... % K0
q
n
q )
r
n
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 26
Sacando factor común qN:
[1.50]U ' q ) K0 j
n
i ' 1
q
i
r
i
En el epígrafe dedicado al potencial veremos que la expresión entre paréntesis es el potencial creado
por el conjunto de cargas puntuales q1, q2, ... , qn en el punto en el que se encuentra la carga qN.
7.- Diferencia de potencial y función potencial eléctrico. Superficies equipotenciales
Consideremos una carga-testigo q' moviéndose en el interior de un campo eléctrico de intensidad
. La fuerza eléctrica que actúa sobre q' será y el trabajo realizado por ella es:PE q ) PE
W
c
A 6 B '
B
A
PF
c
·d Pr '
B
A
q ) PE ·d Pr ' q )
B
A
PE ·d Pr ' UA ! UB
Puesto que, al ser la fuerza conservativa, la circulación de la misma entre A y B no depende del
camino, las igualdades anteriores nos dicen que la circulación del campo tampoco depende del camino
y, por tanto, podemos suponer que existe una función escalar (V) tal que dicha circulación quede evaluada
por la diferencia que toma la función escalar en A y en B; por ello, definimos la diferencia de potencial
entre dos puntos como la circulación del campo entre dichos puntos, es decir,
[1.51]V
A
! V
B ' ! ∆V '
B
A
PE ·d Pr
Como el trabajo es igual a la disminución de la energía potencial,
[1.52]V
A
! V
B '
W
c
A 6 B
q )
'
U
A
! U
B
q )
es decir, la diferencia de potencial entre dos puntos representa el trabajo que el campo realiza (agente
exterior) para trasladar la unidad de carga positiva del primer punto al segundo (del segundo al
primero, sin cambiar la energía cinética de la misma). También representa el cambio de energía potencial
que experimenta la unidad de carga positiva al ser trasladada por las fuerzas del campo del primer punto
al segundo.
Al igual que ocurría con la energía potencial, no pueden medirse potenciales absolutos sino
diferencias de potencial (y ello, por definición). Si queremos medir potenciales "absolutos", es preciso
tomar un origen arbitrario de potenciales. Como el potencial está relacionado con la energía potencial,
es conveniente elegir el mismo origen para ambas, con lo que:
[1.53]V
P '
U
P
q )
Si el campo está creado por una carga puntual, el origen que hemos tomado para la energía potencial
es el infinito y ese será también el origen del potencial en estas circunstancias. Así pues, el potencial de
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 27
un punto en el campo creado por una o varias cargas puntuales representa el trabajo que debe realizar
el campo (agente exterior) para trasladar la unidad de carga positiva desde ese punto hasta el infinito
(desde el infinito hasta dicho punto, sin cambiar la energía cinética de la misma). De esta forma,
[1.54]V
P '
W P 64
q )
'
4
P
PE ·d Pr
La unidad de potencial eléctrico en el Sistema Internacional es el voltio, definido como la diferencia
de potencial que existe entre dos puntos de un campo eléctrico cuando las fuerzas del campo deben
realizar un trabajo de un julio para trasladar una carga de un culombio desde el primer punto hasta el
segundo.
De la definición de diferencia de potencial podemos deducir que cualquier unidad de carga
multiplicada por cualquier unidad de potencial nos da una unidad de trabajo (o de energía). Una unidad
de energía muy utilizada es el electrón-voltio (eV), que se define como la energía que adquiere un
electrón (e = 1,6·10-19 C) cuando se acelera a una diferencia de potencial de un voltio, con lo que1 eV = 1,6·10-19 J.
El campo eléctrico lo podemos estudiar como un campo vectorial (asignando a cada punto del campo
el vector ) o como un campo escalar (asignando a cada punto del campo el valor del potencial).PE
Definimos superficie equipotencial como el lugar geométrico de todos los puntos del campo en los
que el potencial toma el mismo valor. De la Ec.[1.51] deducimos que:
[1.55]dV ' ! PE · d Pr
Ahora bien, la diferencial de una función de varias variables en coordenadas cartesianas es:
dV '
MV
Mx
dx %
MV
My
dy %
MV
Mz
dz '
MV
Mx
Pi %
MV
My
Pj %
MV
Mz
Pk · dx Pi % dy Pj % dz Pk
es decir:
[1.56]dV ' PLV ·d Pr
De las ecuaciones [1.55] y [1.56] deducimos que:
[1.57]PE ' ! PL V
Puesto que el vector es perpendicular a las superficies equipotenciales y tiene el sentido de losPL V
potenciales crecientes; la Ec.[1.57] nos dice que el campo eléctrico es perpendicular a las superficies
equipotenciales y tiene el sentido de los potenciales decrecientes.
La Ec.[1.47] nos da la energía potencial de un sistema de dos cargas; utilizándola en la Ec.[1.53]
obtendremos el potencial creado por una carga puntual en un punto que dista r de ella:
[1.58]V '
U
q )
'
K0
q q )
r
q )
' K0
q
r
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 28
Si el potencial está creado por varias cargas puntuales, el principio de superposición nos permite
calcularlo sin más que sumar los potenciales creados por cada carga individualmente:
[1.59]V ' j
n
i ' 1
V
i ' K0 j
n
i ' 1
q
i
r
i
7.1.- Cálculo del potencial eléctrico para diversas distribuciones continuas de carga
Para calcular el potencial creado por distribuciones continuas de carga tenemos dos caminos:
a) Dividir la distribución en elementos infinitesimales de carga dq, que pueden tratarse como cargas
puntuales. Según la Ec.[1.58], el potencial elemental creado por dq será:
dV = K0 dq/r
donde r representa la distancia de dq al punto en el que se pretende calcular el potencial. Según el
principio de superposición, el potencial total creado por la distribución será la suma de todos los
potenciales elementales, es decir,
[1.60]V ' K0
distribución
dq
r
donde la integral será de línea, de superficie o de volumen según sea la distribución.
b) Calcular el valor del campo mediante algún procedimiento (aplicando la ley de Gauss, por ejemplo),
aplicar la definición dada por la Ec.[1.51] y elegir convenientemente el origen del potencial.
7.1.1.- Potencial creado por una distribución lineal, uniforme e infinita de carga
En su momento, dedujimos que el campo creado por esta distribución a una distancia r de la misma
era (Ec.[1.28]):
PE ' 2 K0
λ
r
Pu2 ' Pu2 ' Pur ' 2 K0
λ
r
Pu
r
Aplicando la definición de diferencia de potencial (Ec.[1.51]):
V
A
! V
B '
B
A
PE ·d Pr '
rB
rA
2 K0
λ
r
dr ' 2 K0 λ lnr
rB
rA
' 2 K0 λ lnrB ! 2 K0 λ lnrA
A la vista de la expresión matemática que hemos obtenido, parece lógico elegir el origen de
potenciales a una distancia unidad (r = 1) del conductor:
V
A
! 0 ' VA ' 2 K0 λ ln1 ! 2 K0 λ lnrA ' 0 ! 2 K0 λ lnrA ' ! 2 K0 λ lnrA
con lo que el potencial creado por esta distribución en un punto que dista r de la misma es:
[1.61]V ' ! 2 K0 λ lnr
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 29
FIGURA 26
7.1.2.- Potencial creado por un anillo uniformemente cargado en un punto de su eje
El potencial creado por una carga elemental del
anillo (Fig.26) viene dado por:
dV ' K0
λ dR
r
' K0
λ R dθ
R 2 % a
2
El potencial total será:
V ' dV '
2π
0
K0
λ R dθ
R 2 % a 2
'
' K0
λ R
R 2 % a
2
2π ' λ '
Q
L
'
Q
2 π R
'
' K0
R
R 2 % a
2
2π
Q
2 π R
' K0
Q
R 2 % a
2
[1.62]V ' K0
Q
R 2 % a
2
En el centro del anillo (a = 0):
[1.63]V ' K0
Q
R
Conviene recordar aquí que el campo eléctrico en el centro del anillo es nulo (Ec.[1.30]), por lo que
el hecho de que el campo sea nulo en un punto no implica que lo sea el potencial (ni viceversa: el
potencial puede ser nulo en un punto, como, por ejemplo, a una distancia unidad de una distribución
uniforme, lineal e infinita, y no serlo el campo).
Si a es muy grande comparada con R, (R2+a2)1/2 • (a2)1/2 = a, con lo que el potencial valdrá:
[1.64]V
a >> R • K0
Q
a
es decir, igual al potencial creado por una carga puntual igual a la del anillo y situada en su centro (como
era de esperar, ya que si a >> R, las dimensiones del anillo son despreciables y el anillo se comporta como
una carga puntual).
7.1.3.- Potencial creado por un disco en un punto de su eje
Tomemos como carga elemental la contenida en una corona circular de radio r y anchura dr (Fig.27).
El potencial creado por este anillo elemental de carga, según acabamos de deducir, es:
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 30
FIGURA 27
dV ' K0
dq
r 2 % a
2
' K0
σ dS
r 2 % a
2
'
' S ' π r
2 Y dS ' 2 π r dr ' K0
2 π σ r dr
r 2 % a
2
El potencial en el punto P será:
V '
S
dV ' K0 2 π σ
R
0
r dr
r 2 % a
2
'
' K0 π σ
R
0
2 r dr
r 2 % a
2 1/2
' K0 π σ
r 2 % a
2 !
1
2
% 1
!
1
2
% 1
R
0
' 2 πK0 σ r
2
% a
2 R
0 ' 2 π K0 σ R
2
% a
2 ! a
[1.65]V ' 2 π K0 σ R
2
% a
2 ! a ' K0 '
1
4 π g0
'
σ
2g0
R 2 % a
2 ! a
La raíz cuadrada que aparece en la ecuación anterior la podemos escribir en la forma:
R 2 % a
2
' R
2
% a
2 1/2
' a
2 R
a
2
% 1
1/2
' a 1 %
R
a
2 1/2
En puntos muy alejados del disco (a>>R), ocurre que R/a tiende a cero por lo que, recordando que
(1 + z)n • 1 + nz si z tiende a cero, la expresión anterior se transforma en:
R 2 % a
2
' a 1 %
R
a
2 1/2
• a 1 %
1
2
R
a
2
' a %
1
2
R 2
a 2
a ' a %
1
2
R 2
a
y el potencial creado por el disco será:
V
a >> R '
σ
2g0
R 2 % a
2 ! a ' σ '
q
S
'
q
πR 2
'
q
2 π g0 R
2
R 2 % a
2 ! a •
•
q
2 π g0 R
2
a %
1
2
R 2
a
! a '
q
2 π g0 R
2
1
2
R 2
a
'
1
4 π g0
q
a
' K0
q
a
es decir, el potencial en puntos muy alejados del disco es el que crearía una carga puntual igual a la del
disco situada en su centro (una vez más comprobamos cómo los cuerpos pierden su forma en puntos muy
alejados y se comportan como partículas puntuales).
7.1.4.- Campo creado por un disco en un punto de su eje
Aprovecharemos que tenemos la expresión del potencial creado por un anillo en un punto de su eje
para calcular el campo eléctrico.
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 31
Teniendo en cuenta que y que el potencial creado por el disco, según la Ec.[1.65] sóloPE ' ! PLV
depende de una variable (a, distancia del centro del disco al punto), el campo eléctrico únicamente tendrá
una coordenada y valdrá:
E
a ' !
dV
da
' !
d
da
2 π K0 σ R
2
% a
2 ! a ' ! 2 π K0 σ
2a
2 R 2 % a 2
! 1 '
' 2 π K0 σ 1 !
a
R 2 % a
2
' K0 '
1
4 π g0
'
σ
2g0
1 !
a
R 2 % a
2
Si utilizamos un vector unitario, , en la dirección y sentido del eje del disco, el campo creado es:Pu
eje
[1.66]PE ' 2 π K0 σ 1 !
a
R 2 % a
2
Pu
eje '
σ
2g0
1 !
a
R 2 % a
2
Pu
eje
Para puntos muy alejados del disco (a>>R), podemos hacer la misma aproximación que hicimos en
el caso del potencial, con lo que el campo sería:
PE
a >> R '
σ
2g0
1 !
a
R 2 % a
2
Pu
eje •
1
2g0
q
π R 2
1 !
a
a %
1
2
R 2
a
Pu
eje '
' 2 K0
q
R 2
1 !
a
2a 2 % R 2
2 a
Pu
eje ' 2 K0
q
R 2
1 !
2 a 2
2a 2 % R 2
Pu
eje '
' 2 K0
q
R 2
R 2
2a 2 % R 2
Pu
eje ' 2 K0
q
2a 2 % R 2
Pu
eje • a»R Y 2a 2 % R 2 • 2a 2 •
• 2 K0
q
2a 2
Pu
eje ' K 0
q
a 2
Pu
eje
es decir, el campo es el mismo que crearía una carga puntual situada en el centro del disco y de valor igual
a la carga del mismo.
Si el radio del disco tiende a infinito, el disco se convierte en una distribución plana, uniforme e
infinita de carga. En efecto, el campo creado por un disco de radio infinito es:
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 32
PE ' lim
R 6 4
σ
2g0
1 !
a
R 2 % a
2
Pu
eje '
σ
2g0
Pu
eje
expresión que, efectivamente, coincide con el campo creado por una distribución plana, uniforme e
infinita de carga según dedujimos en una de las aplicaciones de la ley de Gauss (Ec.[1.43]).
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 33
CAMPO Y POTENCIAL ELÉCTRICO PARA DIVERSAS CONFIGURACIONES DE CARGA
Configuración de cargas Campo eléctrico Potencial eléctrico
Ubicación del
potencial cero
Carga puntual
PE ' K0
q
r 2
Pu
r V ' K0
q
r 4
Distribución lineal,
uniforme e infinita
PE
L » r • 2 K0
λ
r
Pu2 V ' ! 2 K0 λ lnr r = 1
Anillo de radio R,
cargado uniforme-
mente, en el eje del
anillo
PE ' K0
Q a
R 2 % a 2
3 / 2
Pu
eje
V ' K0
Q
R 2 % a
2 4
Disco de radio R, car-
gado uniformemente,
en el eje del disco
PE'
σ
2g0
1 !
a
R 2 % a
2
Pu
eje V'
σ
2g0
R 2 % a
2 ! a 4
Corteza esférica de
carga
PE r $ R ' K0
q
r 2
Pu
r
PE r < R ' P0
V r $ R ' K0
q
r
V r < R ' K0
q
R
4
Distribución esférica
y uniforme de carga
PE r $ R '
ρ
3ε0
R 3
r 2
Pu
r
PE r < R '
ρ
3ε0
r Pu
r
V r $ R '
ρ
3ε0
R 3
r
V r < R '
ρ
6ε0
3R 2 ! r 2
4
Distribución plana,
infinita y uniforme de
carga
PE '
σ
2g0
Pu
2 V1 ! V2 ' Ed '
σ
2g0
d
En cualquier
lugar
Placas paralelas, car-
gadas uniformemente
con cargas de signo
opuesto, separadas
una distancia d
PE '
σ
g0
Pu
2 V1 ! V2 ' Ed '
σ
g0
d
En cualquier
lugar
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 34
APÉNDICE
GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN ESCALAR
A.1.- Derivada parcial de una función de varias variables
Dada una función de varias variables, T = f(x, y, z, ...), definimos la derivada parcial de la función
con respecto a una de las variables (la x, por ejemplo) en la forma:
MT
Mx
' lim
∆x60
f x % ∆x , y , z , ... ! f x , y , z , ...
∆x
Como podemos apreciar, sólo se incrementa la variable con respecto a la cual se deriva, por lo que
la definición se corresponde con la de la derivada de una función de una única variable considerando que
el resto de las variables permanece constante.
Así pues, para derivar parcialmente una función con respecto a una variable usaremos las reglas de
derivación conocidas considerando que, puesto que las otras variables son constantes, su derivada es nula.
Por ejemplo, dada la función , su derivadas parciales con respecto a susT ' 4x 2 z ! lnx % y 2 z 2
tres variables son:
MT
Mx
' 8zx !
1
x
% 0 ' 8zx !
1
x
MT
My
' 0 ! 0 % 2z 2 y ' 2z 2 y
MT
Mz
' 4x 2 ! 0 % 2y 2 z ' 4x 2 % 2y 2 z
A.2.- Diferencial total de una función de varias variables
Recordemos que para una función de una variable, y = f(x), la diferencial de la función se define en
la forma:
dy ' f
) x dx '
dy
dx
dx
Dada una función de varias variables, T = f(x, y, z, ...), definimos la diferencial de la función como:
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
TEMA 1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO \ 35
dT '
MT
Mx
dx %
MT
My
dy %
MT
Mz
dz % ...
Así, por ejemplo, la diferencial total de la función que pusimos como ejemplo en el epígrafe anterior
es:
dT '
MT
Mx
dx %
MT
My
dy %
MT
Mz
dz ' 8zx !
1
x
dx % 2z 2 y dy % 4x 2 % 2y 2 z dz
A.3.- Campos escalares y vectoriales. Concepto físico de gradiente
Si en una región del espacio existe una magnitud física definida a cada punto, la asociación del valor
de esta magnitud con cada punto del espacio recibe el nombre de campo.
Supongamos una habitación que tiene una estufa en un lugar determinado. Si midiéramos la
temperatura estacionaria en diferentes puntos de ella encontraríamos, en general, valores diferentes, ya
que las regiones más próximas a la estufa tendrían temperaturas más altas que las más alejadas. Si a cada
punto de la habitación le asociamos su temperatura, la habitación constituiría un campo de temperaturas.
Imaginemos un depósito grande que contiene agua; diferentes puntos del depósito tienen diferente
presión. Si le asociamos a cada punto del depósito su presión, tendremos un campo de presiones.
Pongamos otro ejemplo. Los diferentes puntos de una montaña se encuentran a diferente altura sobre
el nivel del mar; si a cada punto de la montaña le asignamos la altura a la que se encuentra, tendremos
un campo de alturas. En todos los ejemplos que hemos puesto, la magnitud que hemos asociado a cada
punto es de naturaleza escalar y, por ello, los campos correspondientes reciben el nombre de campos
escalares.
Supongamos ahora un río que discurre por su cauce. En distintos puntos de su superficie, la
velocidad del agua es diferente. Si asociamos a cada punto de la superficie la velocidad del agua en ese
punto (magnitud vectorial), tendremos un campo de velocidades. Un cuerpo situado a una cierta distancia
de la Tierra recibe la acción de