Guia 1 Evaluación - Principios fundamentales de ingeniería económica

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JUJUY
FACULTAD DE INGENIERIA – FORMULACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Evaluación de Proyectos - Guía N° 1: Fundamentos de Matemática Financiera 
BREVE INTRODUCCIÓN TEÓRICA
PRINCIPIOS DE INGENIERÍA ECONÓMICA
La lógica de decisión implicada en la resolución de problemas de ingeniería económica es muy similar a cualquier otro tema de las materias de ingeniería; existen principios fundamentales básicos que deben tomarse en cuenta. Estos principios conforman los conceptos y las técnicas que permiten enfocarnos en la lógica inherente a la práctica de la ingeniería económica. 
Los cuatro principios de ingeniería económica son los siguientes: 
Principio 1: Un peso que está cerca vale más que un peso que está lejos. Un concepto fundamental en ingeniería económica es que el dinero tiene un valor en el tiempo. Como podemos ganar intereses sobre el dinero que recibamos hoy, es mejor recibir el dinero antes que después. Este concepto será el cimiento básico para la evaluación de todo proyecto de ingeniería. 
Principio 2: Lo único que cuenta son las diferencias entre las alternativas. Una decisión económica debe basarse en las diferencias entre las alternativas consideradas. Todo lo que sea común es irrelevante para la decisión. Sin duda, cualquier decisión económica no es mejor que cualquiera de las alternativas que se están considerando. Por lo tanto, una decisión económica debe basarse en el objetivo de hacer el mejor uso de los recursos limitados. Siempre que se hace una elección, se sacrifica algo. El costo de oportunidad de una elección es el valor de la mejor alternativa sacrificada. 
Principio 3: Los ingresos marginales deben exceder el costo marginal. Cualquier actividad económica mayor tiene que justificarse con esta base. Aquí, el ingreso marginal es el ingreso adicional que se generó al incrementar la actividad en una unidad. De igual forma, el costo marginal es el costo adicional en el que se incurre por el mismo aumento en la actividad. Los recursos productivos, tales como los recursos naturales, los recursos humanos y los bienes de capital disponibles para hacer bienes y servicios, son limitados. Por lo tanto, las personas no pueden tener todos los bienes y servicios que desean; como resultado, deben elegir aquellas opciones que resulten más redituables. 
Principio 4: No se toma un riesgo adicional si no existe una ganancia adicional esperada. Para el consumo a futuro, los inversionistas demandan una ganancia mínima que debe ser mayor que el costo de oportunidad, el índice anticipado de inflación y cualquier riesgo percibido. Si no creen que recibirán suficientes ganancias para compensarlo, no asumirán la decisión. 
Estos cuatro principios son cuestiones de sentido común, así como principios teóricos. Plantean la lógica detrás de lo que se debe seguir en este tipo de análisis. Nos basamos en ellos e intentamos exponer sus implicaciones en la toma de decisiones. Los factores de tiempo e incertidumbre son los aspectos determinantes de cualquier proyecto de inversión.
Existe una variedad de problemas de ingeniería económica que se encuentran normalmente en el mundo de los negocios, que hacen que el lugar y el papel que desempeñan los ingenieros en una organización sean de la mayor importancia. Normalmente, se requiere que los ingenieros participen en una serie de decisiones estratégicas de negocios, las cuales van desde el diseño del producto hasta la comercialización, en los cuales los factores de tiempo e incertidumbre son los aspectos determinantes de cualquier proyecto de inversión.
El término “decisión de ingeniería económica” se refiere a todas las decisiones de inversión relacionadas con proyectos de ingeniería. La faceta más interesante de una decisión económica, desde el punto de vista de un ingeniero, es la evaluación de costos y beneficios asociados con una inversión de capital.
Algunos de los tipos principales de decisiones de ingeniería económica son: 
1. mejoras en el servicio o en la calidad, 
2. nuevos productos o expansión de productos, 
3. equipo y selección de procesos, 
4. reducción de costos 
5. reemplazo de equipo. 
EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Con el tiempo el dinero puede ganar intereses y acrecentarse; es decir, cuanto más pronto se reciba una suma de dinero, más valor tendrá. Siempre es necesario explicar el efecto del interés que opera sobre las sumas de efectivo con el paso del tiempo. Las fórmulas de interés nos permiten ubicar diferentes flujos de efectivo recibidos en distintos momentos de un mismo periodo y compararlos. 
Interés. El costo del dinero
La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el término interés. Sabemos que el dinero que se deposita en una cuenta de ahorros genera intereses y que, con el tiempo, el saldo será mayor que la suma de los depósitos. Sabemos que pedir un préstamo para comprar un bien significa que tendremos que pagar esa cantidad después de un tiempo más otra por concepto de intereses, de manera que la cantidad pagada será mayor que la suma solicitada. 
Lo que quizá no nos resulte tan familiar es la idea de que, en el mundo financiero, el dinero en sí es un bien. El costo del dinero se establece y se mide mediante una tasa de interés, un porcentaje que se aplica y se suma periódicamente a una cantidad (o a una variedad de cantidades) de dinero por un periodo determinado. Cuando se pide dinero prestado, el interés que se paga es el cargo al prestatario por el uso de la propiedad del prestamista; cuando se presta o se invierte dinero, el interés obtenido es la ganancia del prestamista por proveer un bien a otra persona. Así, podemos definir el interés como el costo de tener dinero disponible para su uso.
El valor del dinero en el tiempo
El valor del dinero en el tiempo parece un concepto complejo, pero es algo con lo que usted tiene que lidiar todos los días. ¿Le conviene comprar algo en este momento o ahorrar el dinero y comprarlo después? A todas luces, la tasa a la cual usted gana intereses debe ser más alta que la tasa de inflación para que la compra a futuro tenga sentido. 
En otras palabras, en una economía inflacionaria, su poder adquisitivo continuará disminuyendo a medida que siga retrasando la compra del refrigerador. Para compensar esta pérdida futura en el poder adquisitivo, la tasa a la cual usted gana intereses debe ser suficientemente más grande que la tasa de inflación anticipada.
Después de todo, el tiempo, como el dinero, es un recurso finito. Debemos relacionar la capacidad de generar ganancias y el poder adquisitivo con el concepto de tiempo. La forma como opera el interés refleja el hecho de que el dinero tiene un valor en el tiempo. Por eso, las cantidades de interés dependen de los periodos de tiempo; las tasas de interés, por ejemplo, normalmente se dan en términos de un porcentaje anual. 
Podemos definir el principio del valor del dinero en el tiempo de la siguiente manera: el valor económico de una suma depende de cuándo se reciba.
Ya que el dinero tiene tanto capacidad de generar ganancias como poder adquisitivo con el paso del tiempo (es decir, se puede poner a trabajar generando así más dinero para su dueño), un peso que se recibe en este momento tiene un valor mayor que un peso que se recibirá en el futuro, lo que evidentemente implica un sacrificio, lo que afecta la asignación de los recursos escasos entre usos presentes y futuros. 
Cuando hay que decidir entre propuestas alternativas, debemos tomar en cuenta la función del interés y el valor del dinero con el paso del tiempo para hacer comparaciones válidas de cantidades diferentes de dinero en distintos momentos.
Cuando las instituciones financieras fijan tasas de interés sobre préstamos de dinero en el mercado, esas tasas de interés reflejan la tasa de ganancia deseada, así como cualquier protección contra pérdidas futuras en el poder adquisitivo del dinero. 
Elementos de transacciones que implican intereses 
Muchos tipos de transacciones tienen que ver con intereses (por ejemplo, pedir dinero prestado, invertir dinero,comprar maquinaria a crédito, etc.), pero ciertos elementos son comunes a todos estos tipos de transacciones. 
Esos elementos son los siguientes: 
1. La cantidad inicial de dinero que se invierte o se solicita en préstamo en una transacción se llama capital (C o P, por la inicial del término principal en inglés). 
2. La tasa de interés (i) mide el costo o precio del dinero y se expresa como un porcentaje durante un periodo. 
3. Un periodo llamado periodo de capitalización (n) determina la frecuencia con la que se calcula el interés. (Observe que, aunque la duración de un periodo de capitalización puede variar, las tasas de interés se establecen formalmente en términos de una tasa porcentual anual). 
4. Un periodo especificado determina la duración de la transacción y, por ende, establece un cierto número de periodos de capitalización (N). 
5. Un plan de ingresos o egresos (An) nos da un patrón específico de flujo de efectivo en un periodo determinado. (Por ejemplo, podríamos tener una serie de pagos mensuales iguales que liquiden el préstamo.) 
6. Una cantidad futura de dinero (F) es el resultado de los efectos acumulativos de la tasa de interés a lo largo de varios periodos de capitalización.
Diagramas de flujo de efectivo 
Los problemas relacionados con el valor del dinero en el tiempo tienen la posibilidad de poder representarse de forma gráfica con un diagrama de flujo de efectivo. 
Los diagramas de flujo representan el tiempo mediante una línea horizontal marcada con el número de los periodos de capitalización especificados. Las flechas representan los flujos de efectivo en puntos relevantes en el tiempo. 
Las flechas hacia arriba representan flujos positivos (ingresos) y las flechas hacia abajo representan flujos negativos (egresos). Las flechas representan flujos netos de efectivo; se suman dos o más ingresos o egresos registrados al mismo tiempo y se muestran como una sola flecha. El largo de las flechas también puede sugerir los valores relativos de ciertos flujos de efectivo. Los diagramas de flujo de efectivo nos presentan un resumen de todos los elementos importantes de un problema y sirven como un punto de referencia para determinar si los elementos del problema se han transformado en sus parámetros apropiados. 
Convenio del fin del periodo 
En la práctica, los flujos de efectivo pueden darse al principio o a la mitad de un periodo de capitalización o, prácticamente, en cualquier momento. Una de las suposiciones simplificadoras que hacemos en el análisis de ingeniería económica es el convenio del fin del periodo, que es la práctica de colocar todas las transacciones de flujo de efectivo al final de un periodo de capitalización. Esta suposición nos libera de la responsabilidad de lidiar con los efectos del interés dentro de un periodo de capitalización, lo que complicaría enormemente nuestros cálculos. 
Al igual que muchas de las suposiciones simplificadoras y estimaciones que hacemos para ejemplificar problemas de ingeniería económica, el convenio del fin del periodo nos lleva inevitablemente a algunas discrepancias entre los resultados de nuestro modelo y los del mundo real. 
Métodos para calcular intereses 
El dinero se puede prestar y liquidar de muchas formas, y también, puede generar intereses de muchas maneras distintas. Sin embargo, normalmente, al final de cada periodo de capitalización, el interés generado sobre el capital se calcula de acuerdo con una tasa de interés determinada. Los dos esquemas para calcular este interés generado producen un interés simple o un interés compuesto. El análisis de ingeniería económica utiliza el esquema de interés compuesto solamente, ya que es el de mayor uso en el mundo real. 
Interés simple 
El primer esquema considera el interés generado sólo sobre el capital inicial durante cada periodo de capitalización. En otras palabras, en el marco del interés simple, el interés generado durante cada periodo de capitalización no genera intereses adicionales en los periodos restantes, aunque usted no lo retire. 
En general, para un depósito de P pesos con una tasa de interés simple de i por N periodos, el interés total obtenido I sería: 	 I = (i * P)* N. 
La cantidad total disponible al final de N periodos, sería: F = P + I = P * (1 + i * N). 
El interés simple comúnmente se usa en préstamos o bonos suplementarios. 
Interés compuesto 
En el esquema de interés compuesto, el interés generado en cada periodo se calcula con base en la cantidad total al final del periodo anterior. Esta cantidad total incluye el capital original más el interés acumulado que se ha dejado en la cuenta. En este caso, usted está incrementando la cantidad del depósito mediante la cantidad del interés ganado. 
En general, si usted depositara (invirtiera) P pesos a una tasa de interés i, tendría:
 P + i * P = P * (1 + i) pesos al final de un periodo de capitalización. 
Si la cantidad entera (capital e interés) se reinvirtiera a la misma tasa i por otro periodo, usted tendría, al final del segundo periodo:
 P * (1 + i) + i * [P * (1+ i)] = P * (1 + i) * (1 + i) = P * (1 + i)2 
A continuación, vemos que el saldo después del tercer periodo es:
 P * (1 + i)2 + i * [P * (1 + i)2 ] = P* (1 + i)3 
Este proceso de generación de intereses se repite y, después de N periodos, el valor acumulado total (saldo) F se habrá incrementado a:
F = P * (1 + i)N
Equivalencia económica
El factor central al decidir entre diferentes flujos de efectivo tiene que ver con comparar su valor económico. Los cálculos para determinar los efectos económicos de uno o más flujos de efectivo se basan en el concepto de equivalencia económica.
Existe una equivalencia económica entre flujos de efectivo que tienen el mismo efecto económico y que, por lo tanto, podrían cambiarse uno por otro. Aunque las cantidades y el tiempo de los flujos de efectivo pueden diferir, una tasa de interés apropiada puede hacerlos iguales.
 Así la equivalencia económica se refiere al hecho de que cualquier flujo de efectivo, ya sea un solo pago o una serie de pagos, puede convertirse en un flujo de efectivo equivalente en cualquier momento. Lo que es importante recordar sobre el valor presente de los flujos de efectivo futuros es que la suma actual es equivalente en valor a los flujos de efectivo futuros. Es equivalente porque si usted tuviera el valor presente hoy, podría transformarlo en los futuros flujos de efectivo simplemente invirtiéndolo a la tasa de interés vigente, también conocida como tasa de descuento. 
El concepto estricto de equivalencia puede extenderse para incluir la comparación de las alternativas. Por ejemplo, podríamos comparar los valores de dos propuestas encontrando los valores equivalentes de cada una en cualquier punto común en el tiempo. Si las propuestas financieras que aparentan ser diferentes resultan tener el mismo valor monetario, entonces podemos ser económicamente indiferentes al elegir entre ellas. Esto es, en términos de efecto económico, ambas propuestas son equivalentes, por lo que no existe ninguna razón para preferir una sobre la otra en términos de su valor económico. Una forma de ver los conceptos de equivalencia e indiferencia económica operando en el mundo real es analizar la variedad de planes de pago ofrecidos por las instituciones crediticias para los préstamos a consumidores.
Si usted deposita P pesos hoy por N periodos a una tasa i, tendrá F pesos al final del periodo N. 
F = P * (1 + i)N 
F pesos al término del periodo N es igual a la suma única de P pesos ahora si su capacidad de generar ganancias se mide en términos de la tasa de interés i.
P = F * 1/ (1 + i)N 
Los cálculos de equivalencia requieren una base de tiempo común para su comparación. Así como debemos convertir las fracciones a denominadores comunes para sumarlas, debemos convertir los flujos de efectivo a una base común para comparar sus valores. Un aspecto de esta base es la elección de un solo punto en el tiempo en el cual efectuar nuestros cálculos. 
Cuando se elige un punto en el tiempo en el que se comparan los valoresde flujos de efectivo alternativos, normalmente utilizamos el tiempo presente, lo que nos da lo que llamamos el valor presente de los flujos de efectivo, o un punto en el futuro lo que resulta en su valor futuro. La elección del punto en el tiempo a menudo depende de las circunstancias que rodean una decisión en particular, aunque también puede hacerse a conveniencia. 
Factor de cantidad compuesta 
Dada una suma presente P invertida por N periodos de capitalización a una tasa de interés i, ¿qué suma se habrá acumulado al término de los N periodos? Note que esta descripción encaja en el caso cuando calculábamos los intereses compuestos. Para despejar F (la cantidad futura), utilizamos la ecuación: F = P * (1 + i)N. 
A causa de su origen en los cálculos de interés compuesto, el factor (1 + i)N se conoce como factor de cantidad compuesta. Al igual que el concepto de equivalencia, este factor es uno de los fundamentos del análisis de ingeniería económica. Dado este factor, se pueden obtener todas las demás fórmulas de interés importantes. 
El proceso para determinar F a menudo se conoce como proceso de capitalización. La convención de la escala de tiempo: el primer periodo comienza en n = 0 y termina en n = 1.) Es muy sencillo calcular (1 + i)N directamente y se registran los resultados en las llamadas Tablas de interés. Para simplificar el proceso de cálculo, se desarrollaron tablas de factores de interés compuesto. Estas tablas nos permiten encontrar el factor apropiado para una tasa de interés dada y el número de periodos de capitalización.
Notación con factores 
Los factores de interés compuesto (1 + i)N resultantes se expresan según una notación convencional que pueda sustituirse en una fórmula que indique con precisión qué factor de la tabla usar para resolver una ecuación.
Por ejemplo:
F = P * (1 + i)N podemos expresar ese factor en una notación funcional como (F/P, i, N), que se lee como “Encontrar F, dados P, i y N ”. Este factor se conoce como el factor de cantidad compuesta para pagos únicos. 
Factor del valor presente 
Encontrar el valor presente de una cantidad futura es simplemente lo contrario a calcular el interés compuesto, y se conoce como el proceso de descuento. En la ecuación anterior, podemos ver que si necesitamos encontrar una suma presente P, dada la cantidad futura F, simplemente despejamos P. 
P = F * [1 / (1 + i)N ] podemos expresar ese factor en una notación funcional como = F (P/F, i, N).
El factor 1 / (1 + i)N se conoce como el factor del valor presente para pagos únicos y se designa (P/F, i, N). Se han construido tablas para los factores P/F y para diversos valores de i y N. La tasa de interés i y el factor P/F también se conocen como tasa de descuento y factor de descuento, respectivamente.
Soluciones para tiempo y tasas de interés 
Debe quedar claro que los procesos de capitalización y descuento son recíprocos y que hemos estado tratando con una ecuación en dos formas: 
Forma del valor futuro: 		F = P * (1 + i)N y 
Forma del valor presente: 		P = F * 1/(1 + i)N 
Existen cuatro variables en estas ecuaciones: P, F, N e i. Si usted conoce los valores de tres de ellas, puede encontrar el valor de la cuarta. 
Series de pagos desiguales 
Una transacción común de flujos de efectivo implica una serie de egresos o ingresos. Algunos ejemplos comunes de series de pagos son los pagos a plazos sobre préstamos para automóviles y los pagos de hipotecas, los cuales implican sumas idénticas que deben pagarse a intervalos regulares. Cuando no hay un patrón claro sobre las series, esta transacción recibe el nombre de serie de flujo de efectivo desigual. Podemos encontrar el valor presente de cualquier grupo de pagos desiguales si calculamos el valor presente de cada pago y sumamos los resultados. Una vez encontrado el valor presente, podemos hacer otros cálculos de equivalencia. (Por ejemplo, el valor futuro se puede calcular mediante los factores de 
Series de pagos iguales 
Siempre se puede encontrar el valor presente de una serie de flujos de efectivo futuros si sumamos el valor presente de cada flujo de efectivo. Sin embargo, si existen regularidades de flujo de efectivo en este conjunto, sería posible utilizar atajos, como encontrar el valor presente de una serie uniforme. A menudo nos encontramos con transacciones en las que existe una serie uniforme de pagos. Los pagos de alquileres, rentas, los pagos de intereses sobre bonos y los pagos a plazos comerciales entre otros se basan en series de pagos uniformes. Nuestra preocupación es encontrar el valor presente equivalente (P) o el valor futuro (F) de una serie así.
Factor de la cantidad compuesta: Determinar F, dados A, i y N
Suponga que nos interesa la cantidad futura F de un fondo al cual contribuimos con A pesos cada periodo y sobre el cual ganamos un interés a una tasa i por periodo. Las contribuciones se realizan al término de cada uno de los periodos N. 
Vemos que si se invierte una cantidad A al final de cada periodo durante N periodos, la cantidad total F que se puede retirar al término de N periodos será la suma de las cantidades compuestas de los depósitos individuales. 
Los A pesos que colocamos en el fondo al final del primer periodo valdrán:
A * (1 + i)N–1 al final de los N periodos. 
Los A pesos que colocamos en el fondo al final del segundo periodo valdrán:
A * (1 + i)N–2, al final de los N periodos y así sucesivamente. 
Al final, los últimos A pesos con los que contribuimos al final del enésimo periodo valdrán exactamente A pesos en ese momento. 
Esto significa que tenemos una serie de la forma:
 F = A * (1 + i)N-1 + A * (1 + i)N-2 +… + A * (1 + i) + A, 		notación F = A(F/A, i, N)
o, expresado de manera alternativa, 
F = A + A * (1 + i) + A * (1 + i)2 + A * (1 + i)3 +… + A * (1 + i)N-1
Multiplicando la última ecuación por (1 + i) da como resultado 
(1 + i) * F = A * (1 + i) + A * (1 + i)2 + A * (1 + i)3 +… + A * (1 + i)N
Restando ambas ecuaciones para eliminar términos comunes, obtenemos:
(1 + i) * F - F = - A + A * (1 + i)N		
Al despejar F se obtiene 
		notación F = (F/A, i, N). 
El término entre corchetes en la ecuación anterior se conoce como el factor de cantidad compuesta para series de pagos iguales, o el factor de cantidad compuesta para series uniformes; su notación factorial es (F/A, i, N). Este factor de interés también se ha calculado para diversas combinaciones de i y N en las tablas mencionadas.
Factor del fondo de amortización: 
Para determinar A, dados F, i y N, despejamos A de la ecuación anterior y obtenemos:
 ]		notación F = (A/F, i, N). 
El término dentro de los corchetes se llama factor del fondo de amortización para series de pagos iguales, o simplemente el factor del fondo de amortización, y se designa con la notación (A/F, i, N). Un fondo de amortización es una cuenta que genera intereses en la cual se deposita una suma fija cada periodo de capitalización; por ejemplo puede establecerse con el propósito de reemplazar activos fijos, o generar un fondo de disposición a futuro.
Factor de recuperación de capital (factor de anualidad): 
Podemos determinar la cantidad de un pago periódico, A, si conocemos P, i y N. 
Para relacionar P con A, recordemos que: 
F = P * (1 +i)N, 	y además que 		
Sustituyendo F obtenemos
	
 		notación A = P (A/P, i, N)
Ahora tenemos una ecuación para determinar el valor de la serie de pagos de fin de año, A, cuando se conoce la suma presente P. La parte entre corchetes se llama factor de recuperación de capital para series de pagos iguales, o simplemente, factor de recuperación de capital, y se designa como (A/P, i, N). En finanzas este factor A/P se conoce como el factor de anualidad. El factor de anualidad indica una serie de pagos de una cantidad fija o constante durante un número especificado de periodos. Suele aplicarse para el cálculo de una cuota o anualidad para el pago de un préstamo.
Valor presente de perpetuidades 
Una perpetuidad es una serie de flujos de efectivo que continúa por siempre. Un buen ejemplo son las acciones preferenciales que pagan undividendo fijo de efectivo cada periodo (normalmente un trimestre) y que nunca vencen. El concepto es aplicable también cuando evalúa obra pública, por ejemplo una presa hidroeléctrica o un puente, que su vida útil es muy larga, prácticamente indeterminada.
Una característica interesante de cualquier anualidad perpetua es que no se puede calcular el valor futuro de sus flujos de efectivo porque es infinita. No obstante, tiene un valor presente bien definido. Parece un contrasentido el hecho de que una serie de flujos de efectivo que dura por siempre pueda tener un valor finito hoy. 
¿Cuál es el valor de una perpetuidad? Sabemos cómo calcular el valor presente para una serie de pagos iguales con el flujo finito, según la ecuación:
	
Si tomamos un límite en esta ecuación dejando que N → ∞, podemos encontrar la solución en forma cerrada de la siguiente manera: 
P = A / i 
RESUMEN
El dinero tiene un valor en el tiempo porque puede ganar más dinero con el paso del mismo. Se usan habitualmente varios términos que tienen que ver con el valor del dinero en el tiempo: 
Interés es el costo del dinero: Más específicamente, es un costo para el prestatario y una ganancia para el prestamista, superior a la suma inicial solicitada o prestada. 
Tasa de interés: es un porcentaje aplicado periódicamente a una suma de dinero para determinar la cantidad de interés que se debe añadir a esa suma. 
Interés simple: es la práctica de cobrar una tasa de interés sólo a la suma inicial. 
Interés compuesto: es la práctica de cobrar una tasa de interés a una suma inicial y a cualquier interés acumulado previamente que no haya sido retirado de la suma inicial. El interés compuesto es, por mucho, el sistema más utilizado en el mundo real. 
Equivalencia económica: existe entre flujos de efectivo individuales o entre patrones de flujos de efectivo que tienen el mismo valor. Aunque las cantidades y el tiempo de los flujos de efectivo puedan diferir, una tasa de interés apropiada los iguala. 
Fórmula de interés compuesto: es quizá la ecuación más importante en este texto: 
F = P * (1 + i)N. 
En esta fórmula, P es la suma presente, i es la tasa de interés, N es el número de periodos para los que está capitalizado el interés, y F es la cantidad futura resultante. Todas las demás fórmulas de interés importantes se obtienen a partir de ésta. 
Diagramas de flujo de efectivo: son representaciones visuales de entradas y salidas de efectivo sobre una línea de tiempo. Son particularmente útiles para ayudarnos a detectar cuál de los cinco patrones de flujo de efectivo se representa mediante un problema en particular.
UTILIZACIÓN DE MICROSOFT EXCEL PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Ubicar la solapa “Fórmulas” en la parte superior de la pantalla.
Al desplegar la solapa ingresar en “Financieras”. Aparecen una serie de funciones. Al hacer click en ellas, se inicia un cuadro de diálogo, en el cual podrán:
· Acceder a una sucinta definición de la función elegida.
· Obtener ayuda sobre las aplicaciones particulares de la función seleccionada.
· Introducir las variables principales.
· Observar el resultado obtenido.
Si además se opera en paralelo con las ecuaciones aquí descritas, se podrá comprender cabalmente la aplicación de la barra de cada fórmula.
Ejemplo:
Supongamos que queremos conocer la tasa efectiva anual que nos aplicará una Institución crediticia.
Nos ofrecen un préstamo a una Tasa Nominal anual del 50%, capitalizable trimestralmente.
TEA = ? 		
N = 12 / 3 (Cantidad de trimestres en un año)
Función: 	“INT.EFECTIVO”
		Ofrece dos aclaraciones en el cuadra de diálogo.
Variables:	“Tasa_nominal”		= 50%
		“Num_per_año”		= 4
Resultado de la Fórmula 			= 60.18067%
Ayuda sobre esta función: 		Nos da una definición de la función seleccionada.
Nos muestra una versión resumida de la sintaxis y los argumentos la función. Observaciones que incluyen los principales errores que pueden cometerse durante la aplicación.
Desarrolla un ejemplo.
	
PARA RESOLUCIÓN 
Consigna 1: Ud. quiere depositar $28000 en una cuenta de ahorros y ha reducido sus opciones a las cuatro instituciones siguientes, ¿Cuál es la de mayor rendimiento?:
	Orden
	INSTITUCION	
	TASA DE INTERES SOBRE DEPOSITOS DE $10000 A $50000
	A
	BBVA
	Tasa nominal anual de 42 % compuesta bimestralmente
	B
	MACRO
	Tasa efectiva anual de 48,3%
	C
	PATAGONIA
	Tasa nominal anual de 40,9 % compuesta mensualmente
	D
	SANTANDER
	Tasa nominal anual de 39.5 % compuesta diariamente
Consigna 2: ¿Cuál es la tasa nominal anual necesaria para producir las siguientes tasas efectivas anuales, si se está utilizando capitalización continua:
a) 30 %?
b) 21.2 %?
Consigna 3: Calcular el valor futuro a tres años de un depósito a plazo fijo de 8000 dólares colocado al 3% nominal anual capitalizado trimestralmente.
Consigna 4: Encontrar la tasa de interés con capitalización trimestral, para que el capital se triplique en cuatro años.
Consigna 5: Si se invierten $6,380 en este momento esperando obtener $11,300 en una fecha futura, ¿Cuándo deberá recibirse el dinero a fin de ganar al menos el 10% Anual de interés?
Consigna 6: Un inversionista tiene 4 posibilidades de invertir su dinero, ¿Cuál de las cuatro opciones siguientes debe elegir?
a) 28.5% Anual capitalizada mensualmente.
b) 32% Simple Anual.
c) 30% Anual capitalizada semestralmente.
d) 28% Anual capitalizada diriamente
Consigna 7: ¿Cuánto debe depositarse en un banco si se desea tener un monto de $ 250,000 dentro de 4 años a una tasa de 20% Anual capitalizada bimestralmente?
Consigna 8: ¿Al cabo de cuánto tiempo una inversión de $600,000 se convierte en $1.650, 000, si el rendimiento del dinero es del 30% Nominal capitalizable continuamente?
Consigna 9: Una persona debe $20,000 pagaderos dentro de 3 años y $30,000 a 6 años de plazo. Quiere proponerle a su acreedor efectuar un pago único al final de 4 años a la tasa del 57% anual, capitalizado mensualmente, calcular el valor del pago único.
Consigna 10: ¿Qué tasa anual capitalizada bimestralmente es equivalente al 30% anual capitalizada semestralmente?
Consigna 11: ¿Qué tasa capitalizada continuamente es equivalente al 50% Anual con capitalización semestral?
Consigna 12: Si una persona deposita $1000 hoy, $3000 dentro de 4 años y $1500 dentro de 6 años a una tasa de interés de 12% anual capitalizada semestralmente. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta 10 años después?
Consigna 13: Al comprar un equipo de control de temperaturas con valor de $25,000 nos ofrecen la facilidad de pagarla mediante 24 cuotas iguales si se pacta la operación con una tasa de interés del 5% mensual. ¿Cuál será el importe de los pagos?
 Consigna 14: Calcular el tiempo en que un capital de $10,580 se pague en pagos iguales de $1000 con una tasa de interés mensual de 4%.
 Consigna 15: ¿Cuál será el monto que se obtendría si se depositan $5,000 mensuales durante 28 meses a una tasa de interés mensual del 3%?
Consigna 16: Un electrodoméstico se comercializa con un precio de contado de $200,000. Ofrecen también como opción la compra a plazos. Para lo cual se le recarga el valor en un 20% y se ofrece con el siguiente plan: $50,000 de enganche y el saldo en 12 cuotas mensuales. Hallar el valor de los abonos y la tasa de interés cargada.
Consigna 17: Un obrero deposita en una cuenta de ahorros $6,000 al principio de cada mes. Si la cuenta paga 3.2% mensual de interés, ¿Cuánto habrá ahorrado al cabo del tercer año?
Consigna 18: Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar $25,000 de renta; por anticipado. Como desea realizar un único pago anual, le propone al propietario una renta anual equivalente anticipada. Si los intereses vigentes en plaza a la firma del contrato son del 47.5% nominal anual capitalizable mensualmente, ¿Cuál es el monto a pagar anticipado por la renta anual?
Consigna 19: En una tienda se vende una bicicleta por $80,000 al contado o mediante cinco abonos mensuales anticipados. Si el interés de plaza es igual a 47,5% Anual capitalizado mensualmente, calcúlese el valor del pago.
Consigna 20: Una empresa constructoradebe pagar por un terreno $900,000 dentro de 18 meses. El sector contable de la empresa a los fines de reunir esta cantidad decide hacer 9 depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 6.2% de interés bimestral. ¿De cuánto deben ser sus depósitos si hoy realiza el primero?
Consigna 21: En un almacén se vende un mueble de comedor por $4,600 al contado, o mediante pagos mensuales anticipados de $511.625. Si el interés es de 29.36% Anual Cap/Mes. ¿Cuántos pagos es necesario hacer?
Consigna 22: Un empleado bancario contrata un fondo de retiro para contar con $1,000,000 al jubilarse, para lo cual retira a partir de hoy la suma mensual de $2,000 de su salario e inicia con sus respectivos depósitos mensuales en una cuenta a plazo fijo renovable mensualmente en forma automática. La tasa de interés nominal anual, es de 35%. ¿En cuánto tiempo reunirá la cantidad buscada?
Consigna 23: ¿Cuál es tasa de interés anual a la cual deben colocarse 30 depósitos sucesivos anuales anticipados de $7,800 para acumular un monto de $600,000?
Consigna 24: La señora González debe pagar $9000 dentro de dos años, y para reunir esta cantidad decide hacer 12 depósitos bimestrales en una cuenta de inversión que rinde 4.2% de interés bimestral. ¿De cuánto deben ser sus depósitos si hoy realiza el primero?
Tiene también tres posibilidades distintas para realizar lo mismo:
a) Depositar una suma fija a determinar al cumplirse el año y otra igual al final del 2do año.
b) Depositar una suma fija a determinar hoy y al cumplirse el año otra igual.
c) Depositar una suma fija a determinar hoy, otra igual al cumplirse el año y otra igual al final del 2do año.
Determinar para cada caso las sumas a depositar
https://moodle2.unid.edu.mx/dts_cursos_mdl/pos/AN/MA/AM/07/Problemas_resueltos.pdf
https://jcastrom.jimdofree.com/matematica/matem%C3%A1tica-financiera/tasas-equivalentes/
http://www.esap.edu.co/portal/wp-content/uploads/2017/10/6-Matematica-Financiera.pdf
https://www.rankia.co/blog/mejores-creditos-y-prestamos-colombia/4315944-como-calcular-cuota-credito
https://es.slideshare.net/amarilismarisolmerchanminchalo/ejercicios-de-matematica-43118280
https://riuma.uma.es/xmlui/bitstream/handle/10630/13600/Solucionario%20Ejercicios%20Matem%C3%A1tica%20Financiera%20Nivel%20II.pdf?sequence=1
https://issuu.com/anfel/docs/ejercicios_de_anualidades_matematic
RESPUESTAS:
Consigna 1:			A
Consigna 2:			a) 26.25% Nominal Anual		b) 19.23% Nominal Anual
Consigna 3:			$10438.19
Consigna 4:			38.35% Nominal Anual
Consigna 5:			6 años
Consigna 6:			a) 
Consigna 7:			$116,626.85
Consigna 8:			4.53 años
Consigna 9:			$44,753.99 pagadero a los 4 años
Consigna 10:			28.61% anual capitalizada bimestralmente
Consigna 11:			44.66% anual capitalizada mensualmente
Consigna 12:			$11,634.50
Consigna 13:			$1,811.77
Consigna 14:			14 meses
Consigna 15:			$214,654.61
Consigna 16:			$15,833.33 			3.84%
Consigna 17:			$407,881.51
Consigna 18:			$244,504.91
Consigna 19:			$17,265.71
Consigna 20:			$77,674.15
Consigna 21:			10 pagos
Consigna 22:			Aprox. 8 años
Consigna 23:			5.54%
Consigna 24:			$568.26
a) $3,956.54		b) $3,103.86		c) $2,307.92
Evaluación de Proyectos - Ing. Marcos Urquiola 8
Valor del 
Préstamo
Valor Neto 
Recibido
Comisión
12345
0Cuotas a Pagar
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5