Oscilaciones y Ondas - Hernandez, Perez, Gil

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OSCILACIONES Y ONDAS 
Colección de cuestiones de opción múltiple 
y problemas resueltos 
 
 
 
RICARDO JESÚS FLORIDO HERNÁNDEZ 
RAFAEL RODRÍGUEZ PÉREZ 
JUAN MIGUEL GIL DE LA FE 
 
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Oscilaciones y ondas. Colección de cuestiones de opción múltiple y problemas resueltos. 
Ricardo Jesús Florido Hernández, Rafael Rodríguez Pérez, Juan Miguel Gil de la Fe. 
Abril 2006 
ISBN: 84-7806-324-2 
Editado por la Escuela Universitaria Politécnica de la ULPGC. 
Impreso en el Servicio de Reprografía y Publicaciones de la ULPGC. 
 
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Índice 
 
Cuestiones de opción múltiple .……………….…………………….……………… 1 
Oscilaciones ……………………………………………………………………………………….… 1 
Ondas ……………..…………………….……………………………………………………….…… 15 
 
Respuestas a las cuestiones de opción múltiple ….……..……………… 29 
Problemas resueltos …….…………………………….………………………………… 31 
Oscilaciones ……………………………………………………………………………………… 31 
Ondas ……………..………………………………………………………………………………… 71 
 
 
 
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Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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Cuestiones de opción múltiple 
de OSCILACIONES 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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1. Siendo )(1 tx y )(2 tx soluciones de un movimiento vibratorio armónico simple, que obedece 
a la ecuación 02
2
=+ kx
dt
xdm , efectuado por una partícula de masa m , ¿cuál de las 
siguientes afirmaciones es falsa? 
a) La frecuencia angular para ambos movimientos es mk /=ω . 
b) La función )()()( 21 txtxtx += también será una posible solución para el movimiento de la 
partícula. 
c) El periodo de las oscilaciones será el mismo para ambos movimientos. 
d) Para cualquiera de los dos movimientos se cumplirá que la suma de las energías cinética y 
potencial irá disminuyendo con el tiempo. 
 
2. El complejo )()( φωβ +−= tjt eAetz describe un movimiento oscilatorio amortiguado en 
representación fasorial. Podemos afirmar que: 
a) La magnitud A es la amplitud de las oscilaciones amortiguadas. 
b) La evolución temporal del fasor en el plano complejo da lugar a una circunferencia de radio A. 
c) En cada instante de tiempo, )( φωβ ++− tjt es el ángulo que forma el fasor con el eje real. 
d) La evolución temporal del fasor en el plano complejo da lugar a una espiral que converge al 
el origen del plano complejo. 
 
3. Se superponen dos MM.AA.SS. en la misma dirección con frecuencias angulares 21 =ω 
rad/s y 32 =ω rad/s. El movimiento resultante: 
a) Será un M.A.S. con frecuencia igual a la media de las frecuencias de los movimientos que 
se superponen. 
b) No será un M.A.S., pero sí un movimiento periódico. 
c) No será un M.A.S. ni tampoco un movimiento periódico. 
d) Será un M.A.S. con frecuencia igual a la mayor de las frecuencias componentes. 
 
4. Considérese un oscilador sobre el que actúa una fuerza )(tF periódica de periodo T . El 
espectro de Fourier del movimiento resultante en régimen estacionario: 
a) Será continuo. Habrá contribución para todos los valores de la frecuencia desde 0 hasta ∞ . 
b) Será idéntico al espectro de Fourier que se obtenga del análisis de )(tF . 
c) Tendrá una única contribución para aquel valor de la frecuencia igual a la frecuencia de la 
fuerza impulsora, T/2πω = . 
d) Será discreto. Habrá contribución sólo para aquellos valores de la frecuencia que sean 
múltiplos de la frecuencia de la fuerza impulsora, es decir, para aquellos valores 
T
nn
πω 2= , con ,..2 ,1 ,0=n . 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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5. En situación de resonancia en energía, la potencia media transmitida por el agente externo 
al oscilador es: 
a) Cero. 
b) Máxima o mínima dependiendo de la frecuencia del forzamiento. 
c) Máxima. 
d) Igual a la potencia media transmitida en situación de resonancia en amplitud. 
 
6. La ecuación )()( αω += tAsintx describe: 
a) Un movimiento oscilatorio particular. 
b) Un movimiento periódico particular. 
c) Un movimiento armónico simple. 
d) Todas las opciones anteriores son ciertas. 
 
7. El complejo )()( φω += tjAetz describe un M.A.S. movimiento armónico simple en 
representación fasorial. Podemos afirmar que: 
a) La parte real de )(tz nos da la amplitud del M.A.S. 
b) El ángulo que forma en cada instante de tiempo )(tz con el eje real nos da la fase del 
movimiento. 
c) El módulo de )(tz determina la elongación asociada al M.A.S. 
d) El complejo )()( φωω += tjejAtz& es un fasor paralelo en todo momento a )(tz , que 
representa la velocidad instantánea del M.A.S. 
 
8. La superposición de dos MM.AA.SS. de direcciones perpendiculares da lugar: 
a) A un M.A.S. perpendicular a ambos 
b) A un movimiento bidimensional periódico. 
c) A un movimiento bidimensional descrito por una trayectoria cerrada, siempre y cuando las 
frecuencias de los movimientos componentes sean conmensurables. 
d) A un movimiento bidimensional que no será periódico si las frecuencias de los movimientos 
que superponen verifican una relación de conmensurabilidad. 
 
9. La ecuación diferencial ( ) ( ) 0// 22 =++ kxdtdxdtxdm γ es: 
a) La ecuación fundamental del movimiento armónico simple. 
b) La ecuación fundamental del movimiento oscilatorio amortiguado, que es un movimiento 
conservativo. 
c) La ecuación fundamental del movimiento oscilatorio amortiguado en régimen de 
amortiguamiento débil. 
d) La ecuación fundamental del movimiento oscilatorio amortiguado. 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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10. Una partícula de masa m se encuentra unida a un resorte de constante elástica k . 
Tiramos de la masa y la soltamos cuando ésta se encuentra a una distancia 0x de la posición 
de equilibrio. Si repetimos la misma acción con una partícula de masa m4 : 
a) El periodo del movimiento será la mitad que en el primer caso. 
b) El periodo del movimiento es el doble que en el primer caso y la amplitud valdrá 02x . 
c) El periodo del movimiento será la mitad que en el primer caso y la amplitud valdrá 0x . 
d) Todas las afirmaciones anteriores son falsas. 
 
11. La ecuación fundamental de un cierto sistema es de la forma 02
2
=++ cx
dt
dxb
dt
xd
, 0≥b 
y 0>c . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? 
a) La solución de la ecuación diferencial es de la forma tt eAeAtx 21 21)(
ωω −− += si cb 2> . 
b) En régimen estacionario, la solución es del tipo ( )δω −= tAsintx )( . Las constantes A y 
δ no son arbitrarias. 
c) Si 0=b , la solución es del tipo ( ) ( )α+= tcAsintx . 
d) Diremos que el sistema presenta un amortiguamiento crítico si cb 2= . 
 
12. Señale la afirmación correcta: 
a) El factor de calidad correspondiente a las vibraciones atómicas en un sólido es mayor que 
el asociado a las vibraciones de la corteza terrestre producidas por una onda sísmica. 
b) En un oscilador amortiguado, la velocidad de la partícula sujeta al muelle es máxima (en 
módulo) justo cuando aquélla pasa por la posición de equilibrio. 
c) Se dará una pulsación al superponer dos MM.AA.SS. en direcciones perpendiculares y con 
frecuencias similares. 
d) La ecuación de un M.A.S. es del tipo ( ) ( )αω += tAsintx , siendoα el desfase entre la 
posición y la fuerza impulsora. 
13. La ecuación fundamental de un oscilador amortiguado es del tipo 02
2
=++ cx
dt
dxb
dt
xda . 
Su solución: 
a) Será de la forma )()( αωβ += − tsinAetx t , siempre que )2/(/ abac > . 
b) Será de la forma )()( αωβ += − tsinAetx t , siempre que )2/(/ abac = . 
c) Será )2/()4( 2 aacbbx −±−= , como corresponde a una ecuación de segundo grado. 
d) Será de la forma )()( αω += tAsintx . 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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14. Considérese un sistema conservativo que describe un movimiento oscilatorio en torno a un 
punto correspondiente a un mínimo de energía potencial. Podemos afirmar que: 
a) En estasituación, el movimiento resultante puede considerarse un M.A.S. 
b) Si la energía total del sistema es ligeramente superior al mínimo de energía potencial, la 
amplitud de las oscilaciones será pequeña y el movimiento puede considerarse un M.A.S. 
c) La frecuencia de las oscilaciones es proporcional a la energía potencial del oscilador. 
d) El movimiento no es periódico. 
 
15. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es cierta: 
a) En situación de resonancia en energía, el desfase entre la fuerza impulsora armónica y el 
desplazamiento vale 2/πδ = rad. 
b) El periodo de un M.A.S. depende de las condiciones iniciales del movimiento. 
c) En un circuito LC, la energía magnética almacenada en la bobina y la energía eléctrica 
almacenada en el condensador permanecen constantes en el tiempo. 
a) Cuando se superponen dos MM.AA.SS. de frecuencias similares y direcciones 
perpendiculares se da un fenómeno que recibe el nombre de pulsación. 
 
16. Considérese la superposición de los MM.AA.SS. )()( 111 αω += tsinAtx y 
)()( 222 αω += tsinAtx . 
a) El movimiento resultante es un M.A.S. de la misma frecuencia y de amplitud 21 AA + . 
b) El movimiento resultante es un M.A.S. de la misma frecuencia y de amplitud 21 AA − . 
c) El movimiento resultante no es un M.A.S. porque las frecuencias no son conmensurables. 
d) El movimiento resultante es un M.A.S. cuya amplitud dependerá de la diferencia de fase 
de los movimientos que se superponen. 
 
17. En el contexto del movimiento oscilatorio, el fenómeno de las pulsaciones: 
a) Se da cuando se superponen dos MM.AA.SS. en la misma dirección y frecuencias 
similares. 
b) No se da. Es exclusivo del movimiento ondulatorio. 
c) Se da cuando se superponen dos MM.AA.SS. perpendiculares entre sí. 
d) Se da cuando se analiza el espectro de Fourier de dos ondas armónicas. 
 
18. Cuando en un oscilador amortiguado y forzado, la frecuencia del forzamiento es igual a 
2/122
0 )2( βωω −=f : 
a) Estamos ante una situación de resonancia en energía. 
b) Estamos ante una situación de resonancia en amplitud, por tanto, la transferencia de 
energía al oscilador es máxima. 
c) Estamos en una situación de amortiguamiento crítico. 
d) Se da una resonancia en amplitud. 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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19. En un movimiento armónico simple: 
a) La amplitud del movimiento varía con el tiempo de la forma )( αω +tsin . 
b) La frecuencia de las oscilaciones depende del valor del parámetro de amortiguamiento β . 
c) La amplitud del movimiento queda determinada por la posición y velocidad inicial del 
cuerpo que describe el M.A.S. 
d) La amplitud de las oscilaciones no es constante en el tiempo. 
 
20. Del análisis cinemático y energético de un M.A.S. se deduce que: 
a) La velocidad es mínima en el punto de equilibrio. 
b) La energía cinética alcanza su valor máximo cada vez que el cuerpo pasa por la posición 
de equilibrio. 
c) La energía potencial es mínima en los puntos de elongación máxima. 
d) La energía total del sistema depende de la variación de la amplitud de las oscilaciones con 
el tiempo. 
 
21. Se superponen dos MM.AA.SS. en la misma dirección con frecuencias angulares 21 =ω 
rad/s y 182 =ω rad/s. El movimiento resultante: 
a) Será un M.A.S. con frecuencia igual a la media de las frecuencias de los movimientos que 
se superponen. 
b) No será un M.A.S., pero sí un movimiento periódico. 
c) No será un M.A.S. ni tampoco un movimiento periódico. 
d) Será un M.A.S. con frecuencia igual a la mayor de las frecuencias componentes. 
 
22. Cuando una partícula describe un M.A.S. se verifica que: 
a) Su energía potencial es mínima en los puntos donde la aceleración es máxima (en 
módulo). 
b) Su energía cinética es siempre mayor que su energía potencial. 
c) Su energía total es constante y depende de las condiciones iniciales. 
d) Su energía cinética es máxima en los puntos donde la aceleración es máxima (en módulo). 
 
23. En un oscilador amortiguado y forzado: 
a) La energía total del sistema es igual a la de un oscilador armónico de frecuencia igual a la 
frecuencia de forzamiento. 
b) La energía total del sistema es constante una vez que desaparecen los efectos transitorios. 
c) En régimen permanente y en situación de resonancia en energía, la energía total del 
sistema es igual a la de un oscilador armónico de frecuencia igual a la frecuencia de 
forzamiento. 
d) En situación de resonancia en energía, la energía total del sistema es igual a la de un 
oscilador armónico de frecuencia igual a la frecuencia de forzamiento. 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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24. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? 
a) En cualquier oscilador débilmente amortiguado podría tener lugar un fenómeno de 
resonancia en amplitud. 
b) El fenómeno de resonancia en amplitud no se da en un oscilador sobreamortiguado. 
c) El factor de calidad de un sistema oscilante es tanto mayor, cuanto más pequeño sea el 
coeficiente de amortiguamiento. 
d) La anchura de banda de un oscilador armónico simple es igual a cero. 
 
25. En un circuito LC en serie, con condiciones iniciales 0Q para la carga almacenada en el 
condensador e 0I para la intensidad, ocurre que: 
a) La carga almacenada y la intensidad están en fase. 
b) La frecuencia característica del sistema no depende de la capacidad del condensador. 
c) El período del proceso de carga y descarga no depende de la autoinductancia de la bobina. 
d) La carga máxima que puede almacenarse en el condensador depende de 0Q . 
 
26. Un cuerpo de masa m unido a un muelle de constante elástica k describe oscilaciones 
armónicas de periodo T . Para duplicar el periodo del movimiento podríamos: 
a) Cambiar el muelle por otro de constante elástica k4 . 
b) Duplicar la amplitud del movimiento. 
c) Cambiar el cuerpo por otro de masa m4 . 
d) Duplicar la frecuencia de las oscilaciones. 
 
27. Considere un circuito RLC en serie al que se conecta una fuente de tensión sinusoidal. Si 
1=R kΩ y 16=C µF, ¿cuánto debe valer L para garantizar que se alcanza el estado 
estacionario lo antes posible? 
a) 4 H. 
b) 2 H. 
c) Basta con que 4>L H. 
d) Basta con que 4<L H. 
 
28. Se superponen dos MM.AA.SS. en direcciones perpendiculares y de frecuencias 31 =ω 
rad/s y 1212 =ω rad/s. El movimiento resultante: 
a) Será un M.A.S. de periodo igual a π2 s. 
b) No será un M.A.S. ni tampoco un movimiento periódico. 
c) El movimiento será periódico de periodo π2 s. 
d) El movimiento será periódico de periodo π6 s. 
 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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29. Señale cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: 
a) En situación de resonancia en amplitud, la energía de un oscilador forzado y amortiguado 
será igual a la de un oscilador armónico con frecuencia igual a la del forzamiento. 
b) En todo oscilador forzado existen dos posibles situaciones de resonancia: en amplitud y en 
energía. 
c) En general, la energía total de un oscilador forzado en régimen permanente es una función 
oscilante cuya frecuencia es igual al doble de la frecuencia del forzamiento. 
d) Se produce una situación de resonancia en energía cuando 220 2βωω −=f . 
 
30. La aceleración de una partícula que se mueve sobre el eje OX responde a la expresión 
( ) ( )tCxta = , donde C es una constante, t es el tiempo y ( )tx la posición respecto al origen 
de coordenadas. En este caso, podemos afirmar que: 
a) El movimiento de la partícula es un M.A.S. 
b) El movimiento de la partícula no es un M.A.S. 
c) El movimiento de la partícula es un M.A.S., siempre que 0<C . 
d) El movimiento de la partícula es un M.A.S., siempre que 0>C . 
 
31. Una partícula de masa m se encuentra unida a un resorte de constante elástica k . 
Tiramos de la masa y la soltamos cuando ésta se encuentra a una distancia 0x de la posición 
de equilibrio. Si repetimos la misma acción soltando la partícula desde una distancia 02x : 
a) La energía total del sistema es el dobleque en el primer caso. 
b) El periodo del movimiento es el doble que en el primer caso y la amplitud valdrá 02x . 
c) El periodo del movimiento es el mismo en los dos casos. 
d) Todas las afirmaciones anteriores son falsas. 
 
32. Considérese un oscilador sobre el que actúa una fuerza ( )tttF 2cossin3)( += , con t en 
s. En régimen estacionario, el movimiento resultante: 
a) Será un M.A.S. 
b) Será el correspondiente a una situación en la que se dan dos resonancias en energías, a 
las frecuencias 11 =ω rad/s y 22 =ω rad/s. 
c) No será periódico. 
d) No será un M.A.S., pero sí un movimiento periódico. 
 
 
 
 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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33. La energía media de un oscilador amortiguado decae un factor e cada segundo. ¿Cuál es 
el valor del coeficiente de amortiguamiento? 
a) 5.0=β ms-1. 
b) 1−= eβ s-1. 
c) 5.0=β s-1. 
d) 2=β s-1. 
 
34. Un circuito RLC en serie constituye la base de un aparato receptor de radio. Si 2=R Ω y 
16=C pF, ¿cuánto debe valer L para sintonizar de manera óptima una emisora de frecuencia 
85.1 MHz? 
a) 20 H. 
b) No será posible sintonizarla porque la anchura de banda es muy grande. 
c) 219=L nH. 
d) Basta con que 219<L nH. 
 
35. Un oscilador mecánico caracterizado por los parámetros 500=m g, 50=k N/m y 
4=β s-1 describe oscilaciones de amplitud máxima cuando se somete a un forzamiento de 
tipo armónico. Entonces: 
a) El sistema se encuentra en situación de resonancia en energía. 
b) La potencia absorbida por el oscilador es máxima. 
c) La frecuencia del forzamiento vale 17.9 rad/s. 
d) La frecuencia del forzamiento vale 25.8 rad/s. 
 
36. Se superponen dos MM.AA.SS. de direcciones perpendiculares y ecuaciones 
( ) ( )tAsintx ω= e ( ) ( )πω += tBsinty . El movimiento resultante: 
a) No será un M.A.S., pero sí un movimiento periódico con periodo ωπ /2=T . 
b) No será un M.A.S. ni tampoco un movimiento periódico. 
c) Será un M.A.S. de periodo ωπ /2=T . 
d) Será periódico de periodo ωπ /2=T y presentará polarización elíptica. 
 
37. El factor de calidad de un oscilador mecánico no forzado es tal que ∞→Q . La solución 
del sistema es entonces del tipo: 
a) En régimen estacionario, ( )δω −= tAsintx )( . Las constantes A y δ no son arbitrarias. 
b) ( )αω += tAsintx 0)( , con A y α constantes arbitrarias. 
c) Si 0ωβ < , ( )αωβ += − tsinAetx t)( , con A y α constantes arbitrarias. 
d) Ninguna de las opciones anteriores es correcta. 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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38. Un circuito RLC en serie se conecta a una fuente de tensión ( ) ( )tsinVtV fω0= . Se 
encuentra que en régimen estacionario la carga almacenada en el condensador responde a la 
ecuación ( ) ( )2/0 πω −= tsinQtQ f . En este caso: 
a) Se produce una situación de resonancia en amplitud. 
b) La frecuencia de las oscilaciones amortiguadas es igual a fω . 
c) La energía total almacenada en el sistema es una función oscilante de frecuencia fω . 
d) La potencia transferida por la fuente al sistema es máxima. 
 
39. Considérese un circuito LC en serie y señale la afirmación correcta: 
a) En régimen transitorio, la carga almacenada en el condensador es de la forma 
( ) ( )δtωsineQtQ tβ −= −0' . 
b) La anchura de banda es igual a cero. 
c) La frecuencia de las oscilaciones eléctricas amortiguadas será menor que la frecuencia 
natural del sistema. 
d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta. 
 
40. Una partícula de masa m se encuentra unida a un resorte de constante elástica k . El 
coeficiente de amortiguamiento vale β . Tiramos de la masa y la soltamos cuando ésta se 
encuentra a una distancia 0x de la posición de equilibrio. 
a) La amplitud de las oscilaciones será igual a 0x . 
b) El movimiento resultante responde a la ecuación ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+= − αβ t
m
kextx t sin0 . 
c) La energía total permanece constante e igual a 2/20kx . 
d) La energía total en el instante inicial vale 2/20kx . 
 
41. La ecuación resultante de la superposición de dos MM.AA.SS. es de la forma 
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
−
= β
ωω
α
ωω ttAtx
2
sin
2
cos2 2112 . Podemos afirmar que: 
a) Esta ecuación garantiza que se da un fenómeno de pulsación. 
b) Se están superponiendo dos MM.AA.SS. en la misma dirección. 
c) Como las frecuencias de los movimientos que se superponen son diferentes, la ecuación 
resultante no es la de un M.A.S. 
d) Se están superponiendo dos MM.AA.SS. en direcciones perpendiculares. 
 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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42. El factor de calidad de un oscilador mecánico no forzado es tal que 0→Q . La solución del 
sistema es entonces del tipo: 
a) En régimen estacionario, ( )δω −= tAsintx )( . Las constantes A y δ no son arbitrarias. 
b) ( )αω += tAsintx 0)( , con A y α constantes arbitrarias. 
c) Sobreamotiguado. 
d) Si 0ωβ < , ( )αωβ += − tsinAetx t)( , con A y α constantes arbitrarias. 
 
43. Se superponen dos MM.AA.SS. de direcciones perpendiculares y ecuaciones 
( ) ( )tAsintx ω= e ( ) ( )2/sin πω += tBty . El movimiento resultante: 
a) No será un M.A.S., pero sí un movimiento periódico con periodo ωπ /2=T . 
b) No será un M.A.S. ni tampoco un movimiento periódico. 
c) Será un M.A.S. de periodo ωπ /2=T . 
d) Será periódico de periodo ωπ /2=T y presentará polarización elíptica. 
 
44. En un circuito RLC en serie, 2=L mH y 16=C pF. ¿Cuánto valdrá la frecuencia de la 
fuente de tensión sinusoidal alterna que debemos conectar al circuito para compensar 
exactamente las pérdidas energéticas que se producen en la resistencia? 
a) No será posible, porque el sistema nunca alcanzará el estado estacionario. 
b) 28 kHz. 
c) 2800 kHz. 
d) Para averiguarlo es necesario conocer el valor de la resistencia. 
 
45. Del análisis cinemático y energético de un M.A.S. se deduce que: 
a) La velocidad es máxima en el punto de equilibrio. 
b) La suma de energía cinética y potencial disminuye exponencialmente con el tiempo. 
c) La energía potencial es mínima en los puntos de elongación máxima. 
d) La energía total es constante y, por tanto, es independiente de la posición y velocidad 
inicial del sistema. 
 
46. La intensidad de corriente que circula por un circuito LC en serie viene dada por 
( ) ( )ttI 300cos6= mA, donde t viene dado en segundos. ¿Cuál es la máxima carga 
almacenada en el condensador? 
a) 20 µC. 
b) La carga se disipará en la resistencia. 
c) 20 C. 
d) 50 µC. 
 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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47. Sobre un oscilador amortiguado actúa una fuerza de tipo armónico. Podemos afirmar que: 
a) La fuerza externa siempre comunica energía al sistema. 
b) Si la frecuencia de la fuerza es igual a la frecuencia natural del sistema, el factor de calidad 
se hace infinito. 
c) La fuerza externa compensará exactamente la pérdida de energía debida al 
amortiguamiento. 
d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es cierta. 
 
48. En relación con la superposición de los movimientos ( ) ( )tsintx 531 = cm y 
( ) ( )ttx 5cos42 = cm, señale la respuesta correcta. 
a) La amplitud del movimiento resultante vale 7 cm y la polarización es lineal. 
b) La amplitud del movimiento resultante vale 1 cm. 
c) La amplitud del movimiento resultante vale 5 cm. 
d) La amplitud resultante es variable porque los movimientos que se superponen están 
desfasados 2/π rad. 
 
49. Considérese un circuito RLC en serie conectado a una fuente de tensión alterna sinusoidal. 
En régimen permanente, la carga almacenada en el condensador responde a una ecuación del 
tipo ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −= δt
LC
sinQtQ 10 . Entonces: 
a) En este caso 0=R Ω, porque 0ωω = . 
b) El circuito se encuentra en situación de resonancia en energía. 
c) πδ = rad. 
d) El valor de 0Q dependerá de las condiciones iniciales del circuito. 
 
50. Un oscilador amortiguado está caracterizado por los parámetros 80 =ω rad/s y 6=β s
-1. 
Si sobre el sistema comienza a actuar un forzamiento de tipo armónico: 
a) Las oscilacionesserán sobreamortiguadas. 
b) La transferencia de energía desde el exterior al sistema es máxima. 
c) La anchura de banda del sistema variará. 
d) El sistema nunca podrá experimentar una resonancia en amplitud. 
 
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Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
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51. Señale la afirmación correcta: 
a) La función que describe una onda estacionaria está compuesta, al igual que ocurre con las 
pulsaciones, por dos factores: uno dependiente de la variable espacial y otro dependiente 
de la variable temporal. 
b) La distancia entre dos nodos es una semilongitud de onda mayor que la distancia entre dos 
vientres. 
c) Una onda estacionaria no transporta energía. 
d) En los instrumentos de cuerda pueden generarse ondas estacionarias, en los de viento no. 
 
52. En general, cuando hacemos vibrar una cuerda de un instrumento musical: 
a) Se establece una onda estacionaria que es superposición de diferentes modos de 
vibración. 
b) Se genera una onda estacionaria de frecuencia igual a la frecuencia fundamental. 
c) Se pone de manifiesto el fenómeno de difracción en ondas planas. 
d) El espectro de Fourier de la onda generada nos revelará que sólo está presente la 
frecuencia fundamental. 
 
53. Si quisiésemos que los sonidos agudos procedentes de un altavoz con forma circular 
llegasen a todos los puntos de un auditorio: 
a) Deberíamos utilizar altavoces cuyo diámetro fuese lo más pequeño posible, ya que 
conseguiríamos disminuir la direccionalidad del sonido. 
b) Cualquier tamaño del altavoz es válido, siempre y cuando sea del orden de la longitud de 
onda característica del sonido que se quiere transmitir. 
c) Deberíamos utilizar altavoces cuyo diámetro fuese el mayor posible, ya que la 
direccionalidad es proporcional al diámetro del altavoz. 
d) Deberíamos utilizar altavoces cuyo diámetro fuese el mayor posible, ya que la 
direccionalidad es mayor cuanto mayor sea el diámetro del altavoz. 
 
54. La función 
2)(),( txAetx υψ +−= : 
a) Es solución de la ecuación de onda y describe un pulso que se propaga en la dirección 
positiva del eje OX. 
b) No es solución de la ecuación de onda. 
c) No es solución de la ecuación de onda, porque no es de la forma )sen( txA υ± o 
)cos( txA υ± . 
d) Es solución de la ecuación de onda y describe un pulso que se propaga hacia la izquierda 
(en la dirección negativa del eje OX) con velocidad υ . 
 
 
 
 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 18
55. Una de las magnitudes físicas (hay tres) que caracteriza a una onda sonora que se propaga 
en un medio gaseoso (cumpliendo la ecuación de ondas) es: 
a) El desplazamiento transversal de las partículas del medio. 
b) La densidad volúmica de masa de partículas del medio. 
c) Calor. 
d) Transporte de materia. 
 
56. En relación con el fenómeno de la polarización, señale cuál de las siguientes afirmaciones es 
falsa: 
a) La polarización es un fenómeno característico de las ondas transversales. 
b) Una onda mecánica está linealmente polarizada cuando las partículas que vibran 
produciendo la onda lo hacen siempre en el mismo plano. 
c) La polarización circular es un caso particular de la polarización elíptica. 
d) La polarización es un fenómeno característico de todo movimiento ondulatorio y puede ser 
lineal, circular y elíptica. 
 
57. Considérese un paquete de ondas constituido por la superposición de un conjunto de 
movimientos ondulatorios. 
a) Se define la velocidad de grupo como la velocidad a la que avanza el paquete de ondas. 
b) Se define la velocidad de fase como la velocidad a la que viaja la señal. 
c) La velocidad de fase será igual a la velocidad de grupo si el medio es dispersivo. 
d) La velocidad de fase es siempre distinta a la velocidad de grupo. 
 
58. En relación con los fenómenos de reflexión y/o refracción de las ondas, podemos afirmar que: 
a) El factor de reflexión o reflectividad nos da la fracción de energía de la onda incidente que 
es reflejada. 
b) Cuando una onda se refleja contra un medio más denso o resistivo que el medio por el que 
viene propagándose, no se produce ningún cambio de fase. 
c) La ley de reflexión nos dice que el ángulo de incidencia y el de refracción deben ser 
iguales. 
d) La ley de Snell nos dice que el ángulo de incidencia y el de refracción deben ser iguales. 
 
59. Cuando una onda esférica se propaga en un medio homogéneo, isótropo y absorbente; la 
intensidad de la onda decae exponencialmente con la distancia del frente de onda al foco 
emisor. 
a) La afirmación anterior es cierta. 
b) La afirmación anterior es falsa. 
c) La intensidad sólo decae con el cuadrado de la distancia del frente de onda al foco emisor. 
d) Efectivamente, hay decaimiento exponencial; pero además la intensidad decae con el 
cuadrado de la distancia del frente de onda al foco emisor. 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 19
60. Una onda de choque o de Mach se presenta cuando: 
a) La velocidad de propagación de la onda en el medio y la velocidad de la fuente que la 
produce son iguales. 
b) La velocidad de propagación de la onda en el medio es mayor que la velocidad de la fuente 
que la produce. 
c) La velocidad de propagación de la onda en el medio es menor que la velocidad de la fuente 
que la produce. 
d) No tiene nada que ver la relación que exista entre ambas velocidades. 
 
61. El principio de Huygens: 
a) Afirma que las ondas secundarias generadas en cada punto de un frente de onda son 
siempre ondas planas. 
b) Nos dice que la intensidad de las ondas secundarias es uniforme en todas las direcciones 
del espacio. 
c) Nos dice que el nuevo frente de onda se obtiene construyendo una superficie tangente a 
las ondas secundarias. 
d) Permite explicar en su totalidad el fenómeno de la difracción. 
 
62. Las ondas pueden clasificarse en: 
a) Longitudinales y transversales polarizadas. 
b) Mecánicas y electromagnéticas. 
c) Electromagnéticas y sonoras. 
d) Planas y esféricas. 
 
63. Para que la función )(),( αψ +−= btaxAsintx sea solución de la ecuación 
2
2
2
2
2
xt ∂
∂
=
∂
∂ ψυψ , ha de cumplirse: 
a) ab /=υ . 
b) ab=υ . 
c) ba /=υ . 
d) ba /=υ . 
 
64. Seleccione la respuesta correcta: 
a) Una onda armónica pasa de un medio a otro medio de características distintas variando su 
velocidad de propagación y, por consiguiente, su longitud de onda. 
b) Un foco sonoro que vibra con un periodo T, origina una perturbación en las partículas del 
aire, que oscilarán con un periodo distinto al del foco. 
c) En un movimiento ondulatorio, la energía y la cantidad de movimiento se propagan 
acompañadas de un transporte neto de materia. 
d) Las ondas sonoras longitudinales están linealmente polarizadas. 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 20
 
65. Podríamos decir, sin temor a equivocarnos, que: 
a) Es imposible visualizar la interferencia de ondas luminosas. 
b) Dependiendo de la diferencia de caminos recorridos por las ondas que interfieren 
procedentes de dos fuentes que oscilan en fase, la interferencia puede ser destructiva o 
constructiva. 
c) La distribución de intensidades, generada por dos fuentes luminosas puntuales coherentes 
y registrada en una pantalla lejana, es uniforme; esto es, la intensidad es siempre la misma 
en todos los puntos de la pantalla. 
d) La distribución de intensidades, producida por N fuentes sincrónicas y recogida sobre una 
pantalla lejana, se caracteriza por la presencia de un conjunto de máximos aislados y 
equiespaciados. 
 
66. Según la relación de incertidumbre asociada al teorema integral de Fourier: 
a) Cuanto menor es la duración de un pulso, menor será la anchura frecuencial de su 
espectro. 
b) Cuanto mayor es la duración de un pulso, mayor será la anchurafrecuencial de su 
espectro. 
c) La duración del pulso será igual a la anchura frecuencial del espectro. 
d) Cuanto menor es la duración de un pulso, mayor será la anchura frecuencial de su 
espectro. 
 
67. En relación con las ondas longitudinales que se propagan en un fluido, señale cuál de las 
siguientes afirmaciones es falsa: 
a) La onda longitudinal está asociada a la propagación de pulsos de compresión-
enrarecimiento. 
b) En una región enrarecida, la presión y la densidad aumentan por encima de sus valores 
normales. 
c) La velocidad de propagación depende de las propiedades elásticas del medio, en concreto, 
del módulo de compresibilidad. 
d) Pueden ser descritas como ondas de desplazamiento, como ondas de presión y también 
como ondas de densidad. 
 
68. En un medio homogéneo, isótropo y no absorbente, la intensidad de una onda esférica: 
a) Decae proporcionalmente a re
r
β−
2
1
. 
b) No decae, porque no existe absorción. 
c) Decae de manera exponencial. 
d) Es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el punto considerado y el 
foco. 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 21
69. El análisis de Fourier de una onda monocromática (con número de onda característico igual 
a 0k ) de extensión limitada revela que: 
a) La onda queda representa por una única onda armónica. 
b) El espectro de Fourier es discreto, esto es, sólo contribuyen la longitud de onda 
fundamental y submúltiplos de ella. 
c) El espectro de Fourier es continuo, aunque la contribución principal del espectro se 
concentra en torno a 0k . 
d) El espectro de Fourier es continuo y todas las longitudes de ondas contribuyen por igual. 
 
70. En una onda, la velocidad de fase: 
a) Es igual al producto de la longitud de onda por la frecuencia. 
b) En el caso de ondas armónicas, es igual al producto de la longitud de onda por la 
frecuencia. 
c) Es igual a la velocidad de grupo cuando el medio es dispersivo. 
d) No es igual a la velocidad de grupo cuando el medio es no-dispersivo. 
 
71. En relación a los fenómenos de reflexión y refracción, podemos decir que: 
a) Cuando una onda alcanza la superficie de separación entre dos medios, siempre se 
produce una reflexión total. 
b) El ángulo límite depende del ángulo de la onda refractada. 
c) La ley de Snell nos da la relación entre el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión. 
d) La ley de Snell nos da la relación entre el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción. 
 
72. Si r representa la distancia de un punto cualquiera del espacio al origen de coordenandas, 
entonces )(),( tkrsin
r
Atr ωψ −= : 
a) Es la ecuación de una onda esférica armónica. 
b) Es la ecuación de una onda armónica tridimensional. 
c) Es la ecuación de una onda armónica cuya amplitud decae con la distancia al origen. 
d) Es la ecuación de una onda plana cuya amplitud decae con la distancia al origen. 
 
73. Una onda luminosa plana se propaga por un medio de índice de refracción 1n . Si alcanza la 
superficie que separa este medio de otro de índice de refracción 12 nn < : 
a) El ángulo de refracción será siempre igual al ángulo de incidencia. 
b) La ley de Snell nos permite determinar el ángulo de reflexión, conocido el ángulo de 
incidencia. 
c) Dependiendo del ángulo de incidencia, es posible que se produzca una reflexión total. 
d) No puede darse el fenómeno de reflexión total. 
 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 22
74. La función )cos(),( 2 αυψ +−= txAtx : 
a) Es solución de la ecuación de ondas, aunque no es una onda armónica. 
b) Representa una onda armónica modificada. 
c) Representa una onda plana que viaja de izquierda a derecha. 
d) No es solución de la ecuación de ondas. 
 
75. Si analizásemos el espectro de Fourier de la pulsación resultante de la superposición de 
dos ondas armónicas de la misma amplitud A : 
a) Observaríamos un pico de magnitud A2 en la frecuencia de la onda armónica resultante. 
b) Observaríamos un pico en la frecuencia de la onda armónica resultante. 
c) Observaríamos un pico en la frecuencia de la onda armónica resultante y otros de 
magnitud inferior en las frecuencias correspondientes a los armónicos. 
d) Observaríamos dos picos de la misma magnitud en frecuencias próximas. 
 
76. Cuando en un medio se establece una onda estacionaria: 
a) El flujo de energía de unos puntos a otros es igual a cero. 
b) Hay un pequeño transporte de materia de unos puntos a otros. 
c) Ésta puede caracterizarse por una ecuación similar a la de una onda armónica. 
d) Todos los puntos del medio describen un M.A.S. 
 
77. ¿Cuál es la velocidad del sonido en el punto intermedio entre la Tierra y la Luna? 
a) Será mayor que la velocidad del sonido en la Tierra. 
b) Será menor que la velocidad del sonido en la Tierra. 
c) Será aproximadamente igual a 360 m/s. 
d) Será igual a cero. 
 
78. Un móvil M se aleja de una fuente sonora en reposo a una velocidad 450=Mυ m/s. ¿Cuál 
de las siguientes afirmaciones es cierta? 
a) El sonido percibido en M es de la misma frecuencia que el emitido por la fuente. 
b) No se percibe ningún sonido en M. 
c) La frecuencia percibida en M es mayor que la emitida por la fuente. 
d) La frecuencia percibida en M es menor que la emitida por la fuente. 
 
79. Señale la respuesta correcta: 
a) Las microondas, los rayos X y las ondas sonoras de campo son diferentes tipos de ondas 
electromagnéticas. 
b) Es imposible que los rayos ultravioletas se propaguen en el vacío. 
c) La luz visible no es de naturaleza electromagnética, como tampoco lo es el sonido. 
d) La radiación infrarroja es menos energética que la radiación ultravioleta. 
 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 23
80. Señale la afirmación correcta: 
a) En una pulsación, la frecuencia de la onda moduladora es mayor que la frecuencia de la 
onda modulada. 
b) La función que describe una pulsación ondulatoria está compuesta por dos factores: uno 
dependiente de la variable espacial (onda moduladora) y otro dependiente de la variable 
temporal (onda modulada). 
c) El fenómeno de pulsaciones es exclusivo del movimiento oscilatorio. 
d) En una pulsación, la frecuencia de la onda moduladora es menor que la frecuencia de la 
onda modulada. 
 
81. Según las relaciones de incertidumbre que se derivan del teorema integral de Fourier: 
a) Una onda armónica es ideal para transportar una señal, ya que está perfectamente 
localizada en el tiempo y en el espacio. 
b) Una onda armónica está perfectamente localizada en el dominio temporal, pero 
deslocalizada en el dominio espacial. 
c) La anchura frecuencial del espectro de una onda armónica es infinita. 
d) Una onda armónica está completamente deslocalizada, tanto en el dominio espacial como 
en el dominio temporal. 
 
82. En relación con el fenómeno de la difracción podemos afirmar que: 
a) El ángulo de difracción es igual al ángulo de incidencia. 
b) Es exclusivo de las ondas sonoras. 
c) Aparecería si una onda electromagnética de frecuencia 1410=ν Hz, se encontrase en su 
camino una abertura circular de 1 m de diámetro. 
d) Aparecería si una onda electromagnética de frecuencia 1410=ν Hz, se encontrase en su 
camino una abertura circular de 1 µm de diámetro. 
 
83. En relación con el efecto Doppler podemos decir que: 
a) Es característico del movimiento ondulatorio y describe las variaciones de la frecuencia de 
la onda cuando fuente y/u observador se encuentran en movimiento. 
b) Si un coche de policía se aleja de un observador parado en la acera, el sonido de la sirena 
percibido por el observador es más grave que el sonido percibido si el coche estuviese en 
reposo. 
c) Si una fuente sonora y un observador se mueven con velocidades constantes Sυ y Oυ , 
respectivamente, pero en direcciones perpendiculares; la frecuencia del sonido percibido 
no puede calcularse según la expresión S
S
O
O νυυ
υυ
ν
−
−
= . 
d) Todas las afirmaciones anteriores son ciertas. 
 
 
Oscilacionesy ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 24
84. En relación con el análisis y síntesis armónica de una onda, se puede afirmar que: 
a) El espectro de Fourier resultante del análisis de una onda armónica presenta un único pico 
en una frecuencia determinada, es decir, una onda armónica está perfectamente localizada 
en el tiempo y en el espacio. 
b) Cuanto menor sea la duración de un pulso de onda, menor será la riqueza de su 
composición frecuencial. 
c) Cuanto mayor sea la duración de un pulso de onda, mayor será la riqueza de su 
composición frecuencial. 
d) El espectro de una onda monocromática de longitud de onda 0λ y extensión limitada 
presenta un máximo en 00 /2 λπ=k y contribuciones de menor importancia para otros 
valores del número de onda. 
 
85. Una onda armónica electromagnética se propaga en la dirección del eje OX. El campo 
eléctrico oscila en la dirección del eje OY y su amplitud vale 30 N/C. Entonces: 
a) La amplitud de campo magnético será 710− T y éste oscila en sentido opuesto al campo 
eléctrico. 
b) La amplitud de campo magnético será igual a 81090 ⋅ T. 
c) La amplitud de campo magnético será 710− T y éste oscila en la dirección del eje OZ. 
d) Las afirmaciones a) y c) son ciertas. 
 
86. Las ondas estacionarias proceden de la superposición de dos ondas de: 
a) La misma amplitud, frecuencia y sentido de propagación. 
b) La misma amplitud y frecuencia y sentidos opuestos de propagación. 
c) La misma amplitud, frecuencia ligeramente distinta y el mismo sentido de propagación. 
d) La misma amplitud, frecuencia ligeramente distinta y sentidos opuestos de propagación. 
 
87. Considérese la onda armónica transversal ( ) ( )tkxAsintxy ω−=, que se propaga por una 
cuerda tensa. Podemos afirmar que: 
a) Cada punto de la cuerda se traslada a otro punto de la misma describiendo un M.A.S. cuya 
frecuencia coincide con la de la onda, ω . 
b) Cada punto de la cuerda repite su estado de movimiento transcurrido un tiempo πω 2/ . 
c) La distancia entre dos puntos con idéntico estado de movimiento es k/2π . 
d) Cada punto de la cuerda describe un M.A.S. en la dirección vertical (la del eje OY) con 
velocidad k/ωυ = . 
 
 
 
 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 25
88. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: 
a) Las ondas electromagnéticas pueden propagarse en el vacío. 
b) Los ultrasonidos constituyen una región del espectro electromagnético próxima a las ondas 
de radio. 
c) En una onda electromagnética, el vector BE
rr
× es paralelo a la dirección de propagación 
de la onda. 
d) En el vacío, la velocidad de propagación de la radiación infrarroja y de un rayo X es la 
misma. 
 
89. La intensidad de una onda sonora plana que se propaga en un medio no absorbente vale 1 
mW/m2 a una distancia de 1 m de la fuente. A 10 m de la fuente, la intensidad: 
a) Será igual a 1 mW/m2. 
b) Será igual a 10 µW/m2. 
c) Podrá determinarse haciendo uso de la ley de Lambert, ( ) xeIxI β−= 0 . 
d) Será igual a 5 dB. 
 
90. Una onda plana incide sobre la superficie de separación de dos medios formando un 
ángulo de 0º con la normal a dicha superficie. En esta situación, se cumple que: 
a) El ángulo de refracción y el de reflexión serán también iguales a 0º. 
b) No hay onda refractada, puesto que la incidencia es normal. 
c) La onda refractada se propagará paralela a la superficie de separación. 
d) No hay onda reflejada y la onda refractada forma un ángulo de 0º con la normal. 
 
91. Considérese la onda armónica transversal ( ) ( )tkxAsintxy ω−=, que se propaga por una 
cuerda tensa. Podemos afirmar que: 
a) El desplazamiento vertical de la cuerda en la posición x es igual al desplazamiento vertical 
en la posición kx + . 
b) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
ω
ππ 2,,2 txyt
k
xy . 
c) La distancia entre dos puntos con idéntico estado de movimiento es ωπ /2 . 
d) Cada punto de la cuerda describe un M.A.S. en la dirección vertical (la del eje OY) con 
velocidad k/ωυ = . 
 
92. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es falsa: 
a) Las ondas electromagnéticas pueden propagarse en el vacío. 
b) La luz visible constituye una región muy pequeña dentro del espectro electromagnético. 
c) Las ondas de radio son ondas longitudinales. 
d) Las ondas electromagnéticas pueden ser difractadas. 
 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 26
93. Una ambulancia cuya sirena emite un sonido de frecuencia 290 Hz se aleja de un 
observador O. ¿Cuál es la velocidad de la ambulancia si el observador escucha un sonido de 
frecuencia 264 Hz? 
a) Aproximadamente 120 km/h. 
b) 100 km/h. 
c) 50 m/s. 
d) 80 m/s. 
 
94. Por una cuerda con densidad lineal de masa 15.0=µ kg/m, se propaga una onda de 
acuerdo con la ecuación 2
2
2
2
400
x
y
t
y
∂
∂
=
∂
∂
, donde x e y se miden en metros y t en 
segundos. ¿Cuál es la tensión a la que está sometida la cuerda? 
a) 20 N. 
b) 15 N. 
c) 60 N. 
d) 10 N. 
 
95. Dos sonidos difieren en 30 dB. La intensidad del sonido más fuerte es FI y la del más 
débil DI . El valor de la relación DF II / es: 
a) 1000 . 
b) 30 . 
c) 100 . 
d) 300 . 
 
96. Un tren de ondas que se propaga por una cuerda atraviesa un punto de observación. En 
este punto, el tiempo entre crestas sucesivas es 2.0 s. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es 
verdadera? 
a) La longitud de onda es 5 m. 
b) La frecuencia es 5 Hz. 
c) La velocidad de propagación es 5 m/s. 
d) No hay suficiente información para justificar las afirmaciones anteriores. 
 
97. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? 
a) Las ondas de dos fuentes coherentes que emiten en fase interfieren constructivamente en 
todos los puntos del espacio. 
b) Dos fuentes de ondas que están desfasadas 180º no son coherentes. 
c) Los diagramas de interferencia se observan sólo en fuentes coherentes. 
d) Decimos que dos ondas son coherentes cuando interfieren constructivamente. 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 27
98. Una onda sonora incide sobre la superficie de separación de dos medios formando un 
cierto ángulo con la normal a dicha superficie. Si la velocidad de propagación del sonido en el 
primer medio es 1υ , en el segundo es 2υ y 21 υυ > : 
a) El ángulo que forma con la normal la onda refractada es mayor que el ángulo de incidencia. 
b) Podría darse una situación de reflexión total. 
c) Nunca podría darse una situación de reflexión total. 
d) El ángulo de reflexión será menor que el ángulo de incidencia. 
 
99. La superposición de dos ondas armónicas de frecuencias similares 1ν y 2ν que se 
propagan en un medio no dispersivo da lugar a una pulsación de ecuación 
( ) ( )tkxsintxkAtx ωω −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∆−
∆
=Ψ
22
cos2, . Señale la afirmación correcta. 
a) La pulsación responde también a la ecuación de una onda estacionaria y, por tanto, no 
habrá transporte neto de energía. 
b) Como el medio no es dispersivo, la velocidad de grupo y la de fase no coinciden. 
c) En el espectro correspondiente al análisis tiempo-frecuencia de la onda sólo habrá 
contribución procedente de la frecuencia de la onda moduladora, 21 ν−v , y de la onda 
modulada, ( ) 2/21 νν + . 
d) En el espectro correspondiente al análisis tiempo-frecuencia de la onda sólo habrá 
contribuciones procedentes de las frecuencias 1ν y 2ν . 
 
100. El nivel de intensidad sonora de una onda vale 20 dB. Entonces podemos afirmar que: 
a) La intensidad de la onda es igual a la intensidad de referencia (correspondiente a la 
intensidad del sonido más débil que puede oírse). 
b) El oído humano no es capaz de percibir ese sonido, sea cual sea su frecuencia. 
c) La intensidad es igual a 10 dB/m2. 
d) La intensidad de la onda es 100 veces la intensidad de referencia. 
 
 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 28
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 29
Respuestas a las cuestiones de opción múltiple 
 
Oscilaciones 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
d d b d c d b c d d 
11 12 13 14 1516 17 18 19 20 
b a a b a d a d c b 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
b c c a d c a c c c 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
c d c c d c b d b d 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
b c d b a a d c b d 
 
 
Ondas 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
c a a d b d a a d c 
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 
c b a a b d b d c b 
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 
d a c d d a d b d d 
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 
b d d d c b c b a a 
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 
b c a c a b c c d d 
 
 
Oscilaciones y ondas. Cuestiones de opción múltiple. 
 30
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas resueltos 
de OSCILACIONES 
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 32
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 33
1. Considérese el sistema de la figura. La pizarra Z, de masa 500 g., cuelga de un resorte 
cuya constante elástica es 50=k N/m. Se sabe además que la constante de amortiguamiento 
vale 5=β s-1. En un cierto momento, se tira de la pizarra hacia abajo, haciendo que el resorte 
se estire 3 cm, y se acerca la punta entintada P a la pizarra, de manera que la punta toca la 
superficie de la pizarra. A continuación, la pizarra se suelta. Considérese este instante como el 
instante inicial y analicemos el movimiento de la punta respecto al centro de la pizarra O. 
a) A partir de las condiciones iniciales, calcule la ecuación que describe el movimiento de la 
punta respecto a O. 
b) Transcurrido un cierto tiempo τ , la punta comienza a escribir sobre zonas ya escritas. 
Determine el valor de τ y la longitud de la raya dibujada en la pizarra. 
c) Respecto a la energía media inicial del sistema, ¿cuál es 
el porcentaje de energía media almacenada en el oscilador 
en el instante de tiempo 2ln
5
1
=t s? 
 En un momento dado, la pizarra se conecta a un 
mecanismo que ejerce sobre ella una fuerza periódica 
vertical dada por )8(1037)6(1074)( 33 tsintsintF ⋅+⋅= 
dinas. 
d) Represente el espectro de Fourier a la fuerza )(tF . 
e) ¿A qué frecuencias podría producirse una situación de 
resonancia en energía? 
f) Calcule la ecuación de movimiento de la punta P 
respecto al centro O de la pizarra en régimen estacionario. 
g) ¿Es periódico el movimiento resultante? En caso 
afirmativo, calcule el periodo correspondiente. ¿El 
movimiento es armónico simple? 
NOTA: Considérese que el movimiento tiene lugar en la 
dirección del eje OY (sentido positivo hacia arriba). 
Solución del problema 1: 
a) Según los datos del problema, la frecuencia natural del sistema es ,
5.0
50
0 == m
kω 
100 =ω rad/s. El parámetro de amortiguamiento es 5=β s
-1, luego 0ωβ < . Estamos en 
situación de amortiguamiento débil. 
La ecuación que describe el movimiento de la punta P respecto del punto O es de la 
forma: )()( αωβ += − tsinAety t , donde la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas viene 
dada por: 35510 22220 =−=−= βωω rad/s. 
cm 3
β ,k
Z
O
P
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 34
 Las condiciones iniciales nos van a permitir calcular las constantes A y α . Derivando 
)(ty respecto del tiempo obtenemos la expresión general para la velocidad: 
[ ])()cos()( αωβαωωβ +−+= − tsintAetv t . Las condiciones iniciales son: 3)0( =y cm y 
0)0( =υ cm/s (la pizarra se suelta en el instante inicial). Entonces: 
3 tag 0)0(
3sin 3)0(
==⇒=
=⇒=
β
ωαυ
αAy
 
 De la segunda de estas ecuaciones obtenemos dos posibles valores para la fase inicial 
3
4 ó 
3
ππα = . Sin embargo, de la primera de ellas, teniendo en cuenta que la constante A se 
define como una cantidad positiva, se deduce que 0>αsin . Entonces, 
3
πα = . De la primera 
de las ecuaciones queda: 32 ,3
2
3
== AA cm. 
 La ecuación que describe el movimiento es: 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ += −
3
35sin32)( 5 πtety t cm. 
b) Justo en el instante en que la punta comienza a escribir sobre zonas ya escritas alcanza su 
elongación máxima negativa. Luego, 0)( =τυ . Sustituyendo τ en la ecuación para la 
velocidad e igualando a cero tenemos: 
[ ] 0)()cos( =+−+− αωτβαωτωβτ sinAe . 
 Obtenemos una primera solución ∞=τ , que evidentemente se corresponde con el 
momento en que el movimiento cesa (tendencia asintótica). Éste no es el tiempo que estamos 
buscando. Del otro factor se obtiene: 
β
ωαωτ =+ )(tag , ππαωτ n+=+
3
. 
 El caso 0=n corresponde al instante inicial (como se calculó anteriormente), por 
tanto, la siguiente ocasión en la que la velocidad se anula se corresponderá con el caso 1=n . 
Nos queda entonces: ππαωτ +=+
3
. Dedujimos que 
3
πα = . Por tanto, πωτ = . El 
instante de tiempo en que la punta comienza a escribir sobre zonas ya escritas es: 
35
π
ω
πτ == s. 
 La longitud de la raya será igual a la distancia inicial respecto del punto O (3 cm) más la 
longitud correspondiente a la máxima elongación negativa que alcanza el oscilador. Es decir, 
)(3 τyL += cm 
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 35
2
3323)
3
4(323)
335
35(323 3335
5 πππ πππ −−−
−+=+=++= esinesineL cm 
La longitud de la raya dibujada en la pizarra es )1(3 3
π
−
+= eL cm. 
c) La energía media del oscilador es tekAtkAE β222
2
1)(
2
1 −== . La energía media inicial 
viene dada por 2
0 2
1 kAE = . Así que podemos escribir, teEE β2
0
−= . En el instante de 
tiempo 2ln
5
1
=t s, tenemos: 
2ln
5
152
0
⋅⋅−
= e
E
E
, 
4
1
0
=
E
E
. 
 Por tanto, la energía media almacenada en el oscilador en el instante de tiempo 
2ln
5
1
=t s es un 25% de la energía media inicial. 
d) El análisis de Fourier nos permite descomponer una función periódica como combinación 
lineal de términos armónicos. La fuerza )(tF ya está expresada precisamente como suma de 
términos armónicos, esto es, ya está descompuesta como serie de Fourier. Los coeficientes de 
Fourier en coseno son todos cero y sólo dos coeficientes en seno son diferentes de cero, para 
los valores de la frecuencia 6=ω y 8=ω rad/s. La representación es: 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x 104
ω
nc 31074 ⋅
31037 ⋅
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 36
 Por ser una fuerza periódica el espectro de Fourier será discreto. Sólo son posibles las 
contribuciones para aquellos valores de la frecuencia que sean múltiplos de la frecuencia 
fundamental. La frecuencia de la fuerza )(tF puede deducirse fácilmente teniendo en cuenta 
que se trata de una suma de términos armónicos de frecuencias conmensurables. La 
frecuencia fundamental resulta 2=fundω rad/s. En el caso que nos ocupa sólo hay 
contribución del armónico n=3 ( 63 == fundωω rad/s) y n=4 ( 84 == fundωω rad/s). 
e) Sólo es posible la situación de resonancia en energía a una frecuencia igual a la frecuencia 
natural de vibración del sistema: 100 =ω rad/s. 
f) La fuerza que actúa sobre el sistema es una superposición de dos fuerzas armónicas: 
)8(1037)6(1074)( 33 tsintsintF ⋅+⋅= dinas. De acuerdo con el principio de superposición 
lineal, el movimiento resultante en régimen estacionario será la superposición (suma) de los 
movimientos debidos a cada una de las componentes de la fuerza por separado. Luego: 
)()()()()( 22211121 δωδω −+−=+= tsinAtsinAtytyty , 
donde 61 =ω rad/s y 82 =ω rad/s. Además: 
2
1
22
1
2
0
1
1
)2()(
/
βωωω +−
=
mF
A , ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
= 2
1
2
0
1
1
2
ωω
βω
δ arctag 
2
2
22
2
2
0
2
2
)2()(
/
βωωω +−
=
mFA , ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
= 2
2
2
0
2
2
2
ωω
βω
δ arctag , 
siendo 31 1074 ⋅=F dinas y 
3
2 1037 ⋅=F dinas. Sustituyendo todos los valores y 
simplificando se obtiene: 
13
37
1 =A cm, 753.01 =δ 
13
37
2
1
2 =A cm, 148.12 =δ 
 El movimiento resultante es: )148.18(
13
37
2
1)753.06(
13
37)( −+−= tsintsinty cm, 
para t suficientemente largo (cuando ya se ha alcanzado el régimen estacionario). 
g) El movimiento resultante es una superposición de dos MM.AA.SS. de amplitudes y 
frecuencias diferentes. Este movimiento no será un M.A.S., pero puede ser un movimiento 
periódicosi las frecuencias de sus componentes (o los periodos) son conmensurables. Las 
frecuencias son dos números enteros: 61 =ω rad/s y 82 =ω rad/s. Luego, son 
conmensurables y el movimiento será periódico. El periodo correspondiente vendrá dado por: 
2211 TnTnT == , 
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 37
donde 1n y 2n son dos números naturales que dan cuenta de la relación de conmensurabilidad 
entre periodos: 
3
2
1
1
π
ω
π
==T s, 
4
2
2
2
π
ω
π
==T s, 
3
4
1
2
2
1 ==
n
n
T
T
, 31 =n , 42 =n . 
 El periodo del movimiento es π=== 2211 TnTnT s. 
2. En el interior de un recipiente se coloca un disco de masa 200=m g unido a dos muelles 
ideales de constante elástica k . Los extremos de los muelles se han fijado a las paredes del 
recipiente. La gráfica muestra cómo varía la velocidad del disco frente al tiempo. 
a) Determine la constante elástica k de los muelles. 
b) Calcule y represente la energía total del sistema frente al tiempo. 
c) Determine la ecuación ( )tx que da cuenta de los desplazamientos del disco respecto a su 
posición de equilibrio O . 
d) En un cierto momento, llenamos el recipiente con un líquido que amortigua las oscilaciones 
del disco, observándose que el periodo de las oscilaciones libres es 0.6 veces más pequeño 
que el de las oscilaciones amortiguadas. Considerando como instante inicial de esta nueva 
situación, aquél en el que el disco experimenta un desplazamiento máximo hacia la derecha de 
4.5 cm, determine la nueva ecuación ( )tx que gobierna las oscilaciones del disco. 
Solución del problema 2: 
a) Para determinar el valor de la constante 
elástica de cada uno de los muelles debemos en 
primer lugar analizar el sistema y obtener su 
ecuación fundamental. Para ello aplicamos la 
segunda ley de Newton sobre el disco de masa 
k km
O
x
0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
( )s t
( )cm/s πυ ⋅
muelle 1 muelle 2 
k km
O
x
1F
r 2F
r
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 38
m : amF
i
i
rr
=∑ . Sobre el disco actúan las dos fuerzas elásticas 1F
r
 y 2F
r
 . Planteemos una 
situación arbitraria como la que se muestra en la figura, donde el disco se ha desplazado una 
cantidad x respecto a su posición de equilibrio O. Vemos que el muelle 1 se ha estirado una 
cantidad x y, por tanto, ejerce sobre el disco una fuerza hacia la izquierda ikxF ˆ1 −=
r
. Por otro 
lado, el muelle 2 se ha comprimido la misma cantidad x y la fuerza que ejerce sobre el disco es 
ikxF ˆ2 −=
r
 (los dos muelles poseen la misma constante elástica k ). Así pues, la segunda ley 
de Newton queda: 
amFF r
rr
=+ 21 , idt
xdmikxikx ˆˆˆ 2
2
=−− 
 Como el movimiento tiene lugar en la dirección horizontal podemos prescindir del 
carácter vectorial y escribir: 
2
2
2
dt
xdmkx =− , 022
2
=+ kx
dt
xdm , 022
2
=+ x
m
k
dt
xd
 
 Esta última es la ecuación fundamental del sistema y representa la ecuación de un 
oscilador armónico simple de frecuencia 
m
keq=0ω , donde kkeq 2= . Esto es, el sistema de 
la figura es completamente equivalente a unir el disco de masa m a un único muelle de 
constante elástica k2 . 
 Sabemos, por tanto, que nuestro sistema es un oscilador armónico simple. Así pues, de 
la curva de la velocidad frente al tiempo podemos deducir el periodo del movimiento: 5.0=T s. 
Tenemos entonces: 
Tm
keq πω 20 == , mT
keq 2
24π
= 
 Sustituyendo datos: 2
5
162 π== kkeq N/m y, por tanto, la constante elástica de los 
muelles vale: 
2
5
8π=k N/m 
b) Estamos ante un movimiento armónico simple, así que, la energía total del sistema 
permanecerá constante, por tratarse de un sistema conservativo, y vendrá dada por la 
expresión: 
22
0
2
2
1
2
1 AmAkE eq ω== 
 En la expresión anterior todos los datos son conocidos a excepción de la amplitud de 
las oscilaciones A . El movimiento del disco vendrá dado por una expresión del tipo: 
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 39
( ) ( )αω += tAtx 0sin 
 La velocidad será: 
( ) ( )αωωυ += tAt 00 cos 
 De la gráfica del enunciado deducimos que la amplitud en velocidad vale πω 200 =A 
cm/s y sabiendo que πω 40 = rad/s, encontramos: 
5=A cm. 
 Sustituyendo valores, la energía total del sistema 
vale: 
24π=E mJ. 
 La representación frente al tiempo es la que se 
muestra a la derecha. 
c) En el apartado anterior ya planteamos las ecuaciones de la posición y la velocidad: 
( ) ( )αω += tAtx 0sin 
( ) ( )αωωυ += tAt 00 cos 
 Ahora todas las magnitudes son conocidas con excepción de la fase inicial α . En la 
gráfica que nos dan podemos ver que en el instante inicial la velocidad del disco es máxima: 
( ) 00 ωυ At == , 00 cos ωαω AA = , 1cos =α . 
 Así pues, 
0=α rad. 
 La ecuación que da cuenta de los desplazamientos del disco será: 
( ) ( )ttx π4sin5= cm, t en s. 
d) Al llenar el recipiente de líquido, éste amortiguará las oscilaciones y el sistema se convierte 
en un oscilador amortiguado. El enunciado nos dice que el periodo de las oscilaciones libres es 
0.6 veces más pequeño que el periodo de las oscilaciones amortiguadas, esto es: 
TT 6.00 = , 6.0
0TT = 
 La frecuencia de las oscilaciones amortiguadas resulta: 
06.0
2 ωπω ==
T
, πω 4.2= rad/s 
 Tenemos que calcular también el coeficiente de amortiguamiento. Sabemos que la 
frecuencia de las oscilaciones amortiguadas viene dada por la expresión: 
22
0
2 βωω −= , 
pero 06.0 ωω = . Así que, 
2
0
2 64.0 ωβ = , luego: 
πωβ 2.38.0 0 == s
-1. 
E
t
mJ 4 2π
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 40
 La nueva ecuación ( )tx será la correspondiente a un amortiguamiento crítico: 
( ) ( )αωβ += − tAetx t sin 
 Debemos determinar las dos constantes arbitrarias del movimiento A y α y para ello 
también nos hará falta la ecuación de la velocidad: 
( ) ( ) ( )[ ]αωβαωωυ β +−+= − ttAet t sincos 
 El enunciado nos dice que en el instante inicial (en esta nueva situación) el disco 
experimenta un desplazamiento máximo hacia la derecha de 5.4 cm. Por tanto, las 
condiciones iniciales son: 
( ) 5.40 ==tx cm 
( ) 00 ==tυ cm/s 
 Sustituyendo 0=t en las ecuaciones de desplazamiento y velocidad encontramos: 
( )πααα ,0 0sin sin5.4 ∈⇒>⇒= A 
( )
β
ωααβαω =⇒−= tag sincos0 A 
 De esta última ecuación deducimos: 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
4
3arctagarctag
β
ωα 
 Tenemos dos posibilidades 64.0=α rad o bien πα += 64.0 rad. En un resultado 
anterior dedujimos que ( )πα ,0∈ , así que, finalmente: 
64.0=α rad 
 En una ecuación anterior teníamos que αsin5.4 A= , por lo que, 
αsin
5.4
=A , 
resultando: 
5.7=A cm. 
 La nueva ecuación de movimiento es por tanto: 
( ) ( )64.04.2sin5.7 2.3 += − tetx t ππ cm, t en s. 
3. Se pretende determinar la constante elástica k y el coeficiente de 
amortiguamiento β de un cierto muelle. Para ello se cuelga del mismo una masa 
m , tal y como indica la figura. Entonces se comprueba que en la situación de 
equilibrio el muelle se encuentra estirado una longitud l y que si ponemos la masa a 
oscilar, la amplitud de las oscilaciones se reduce a la mitad después de 50 
oscilaciones. 
a) En primer lugar, demuestre que las oscilaciones de la masa en la dirección vertical están 
descritas por la ecuación fundamental de un oscilador amortiguado. 
m
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 41
b) Determine el valor de la constante elástica k . 
c) Suponiendo amortiguamiento muy débil, determine el valor del coeficiente de 
amortiguamiento β . 
Solución del problema 3: 
a) Cuando la masa m está oscilando, actúan sobre ella tres fuerzas: la fuerza elástica, elF
r
, la 
fuerza de amortiguamiento, amortF
r
, y el peso, P
r
. Si consideramos la dirección vertical como la 
del eje OY (sentido positivo hacia arriba) y medimos con la variable y la posición de la masa 
respecto al punto O (origen de coordenadas correspondiente a la situación de elongación del 
muelle nula), podremos escribir las fuerzas como: jkyFel ˆ−=
r
, j
dt
dyFamortˆγ−=
r
 y jmgP ˆ−=
r
, 
donde k es la constante elástica del muelle, γ es la constante de amortiguamiento y g la 
aceleración de la gravedad. Aplicando sobre la masa la segunda ley de Newton: 
amPFF amortel
rrrr =++ , ( ) jymjmgyγky ˆˆ &&& =−−− , 
2
2
dt
ydmmg
dt
dyky =−−− γ , mgky
dt
dy
dt
ydm −=++ γ2
2
 
gy
m
k
dt
dy
mdt
yd
−=++
γ
2
2
, gy
dt
dy
dt
yd
−=++ 202
2
2 ωβ , 
donde mγβ 2/= y mkω /0 = . 
 La ecuación diferencial que hemos obtenido no es la ecuación de un oscilador 
amortiguado, porque en el segundo miembro aparece una inhomogeneidad de valor g− . Para 
obtener la ecuación fundamental de un oscilador amortiguado bastará expresar las oscilaciones 
de la masa respecto de su posición de equilibrio. En la situación de equilibrio la masa no está 
oscilando, pero cuelga del muelle haciendo que éste se estire, según el enunciado, una 
longitud l . En la situación de equilibrio se cumple: 0
rrr
=+ PFel , mgkyeq =− , k
mgyeq −= . 
m
O
resorte no 
deformado 
situación de 
equilibrio 
'O
l
P
r
elF
r
elF
r
P
r
amortF
r
υr
O
'O
y
'y
oscilación 
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 42
 Si definimos una nueva variable eqyyy −=' que dé cuenta de la posición de la masa 
respecto a la posición de equilibrio, encontramos: 
eqyyy += ' , 'yy && = , 'yy &&&& = . 
 Sustituyendo en la ecuación diferencial a la que habíamos llegado tenemos: 
( ) gyy
m
k
dt
dy
mdt
yd
eq −=+++ '
''
2
2 γ
, gy
m
ky
m
k
dt
dy
mdt
yd
eq −=+++ '
'
2
2 γ
 
 Recordemos que la condición de equilibrio es gy
m
k
eq −= , por tanto, la ecuación 
diferencial queda: 
0'''2
2
=++ y
m
k
dt
dy
mdt
yd γ
, 0''2' 202
2
=++ y
dt
dy
dt
yd ωβ , 
que es la ecuación fundamental de un oscilador amortiguado. 
b) De la condición de equilibrio se deduce que 
k
mgyeq −= . Ahora bien, el enunciado nos dice 
que en la situación de equilibrio el resorte se encuentra estirado una longitud l , o sea, que 
lyeq −= . Por tanto, k
mgl = . Se deduce entonces que: 
l
mgk = . 
c) La amplitud de las oscilaciones amortiguadas viene dada por la expresión ( ) tβeAtA −= 0 . El 
enunciado nos dice que transcurridas 50 oscilaciones, o sea, transcurrido un tiempo T50 (T 
es el tiempo transcurrido en una oscilación), amplitud se reduce a la mitad. Por tanto, 
( )
2
1
)(
50
=
+
tA
TtA
 
Así, 
( )
2
1
0
50
0 =−
+−
tβ
Ttβ
eA
eA
, 
2
150 =− βTe , 2ln50 =βT , 2ln
50
1
T
β = . 
 Ahora bien, 
ω
πT 2= , siendo 220 βωω −= la frecuencia de las oscilaciones 
amortiguadas. Suponiendo amortiguamiento muy débil, 0ωβ << , entonces 0ωω ≈ . Por otro 
lado, 
m
kω =0 y en el apartado b) dedujimos que l
mgk = . Así que, 
l
gω =0 y 
g
lπT 2≈ . Finalmente, 2ln
100
1
l
g
π
β ≈ . 
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 43
4. Una partícula de masa 5.0=m kg se encuentra unida a un resorte de constante elástica 
50=k N/m y coeficiente de amortiguamiento 4/33=γ kg/s. El sistema se encuentra 
dispuesto en posición horizontal (dirección OX). Sobre la masa y también en la dirección OX 
actúan dos fuerzas armónicas de ecuaciones ( ) ( )tsintF 101033 11 −⋅= N y 
( ) ( )tsintF 810312 22 −⋅= N, donde t se mide en segundos. 
a) Determine la ecuación que nos da el desplazamiento de la partícula respecto a la posición 
de equilibrio, ( )tx , en régimen permanente. 
b) ¿Qué conjunto de frecuencias contribuyen en el espectro de Fourier correspondiente a la 
función ( )tx ? 
c) ¿Es periódico el movimiento resultante? En caso afirmativo, calcule el periodo. ¿Es un MAS? 
d) ¿Cómo cambiaría la ecuación ( )tx si sustituyésemos el muelle por otro con la misma 
constante elástica, pero con 0=γ ? 
Solución del problema 4: 
a) Con los primeros datos que nos dan podemos calcular la frecuencia natural del sistema, 
m
k
=0ω . Al sustituir 50=k N/m y 5.0=m kg, resulta 100 =ω rad/s. Por otro lado, 
4
33
2
==
m
γβ s-1. 
 Sobre la masa actúan dos fuerzas armónicas del tipo: ( ) ( )iiii tsinFtF δω −= 0 , 
2 ,1=i . Por tanto, en virtud del principio de superposición lineal, la solución en régimen 
permanente será de la forma: 
( ) ( ) ( )222111 δωδω −+−= tsinAtsinAtx . 
 En esta última expresión, 
( ) ( )22220
0
2
/
ii
i
i
mF
A
βωωω −−
= , ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= 22
0
2
i
i
i arctag ωω
βω
δ , 2 ,1=i . 
 Así pues, 
1
01 1033
−⋅=F N, 101 =ω rad/s ⇒ 41 =A cm, 21
πδ = rad (resonancia en energía), 
2
02 10312
−⋅=F N, 81 =ω rad/s ⇒ 12 =A cm, 62
πδ = rad. 
Finalmente, ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
6
8
2
104 ππ tsintsintx cm, con t medido en segundos. 
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 44
b) En el espectro de Fourier sólo habrá contribuciones correspondientes a las frecuencias 
101 =ω rad/s y 82 =ω rad/s. 
c) El movimiento resultante resulta ser la superposición de dos MM.AA.SS. en la misma 
dirección y con distinta frecuencia. Las dos frecuencias son conmensurables, por tanto, el 
movimiento será periódico, pero no será un M.A.S. 
 El periodo del movimiento puede calcularse de la siguiente manera: 
2
1
2
1
n
n
=
ω
ω
, 
4
5
8
10
2
1 ==
ω
ω
 ⇒ 4 ,5 21 == nn . 
2
2
1
12211
22
ω
π
ω
π nnTnTnT ==== , π=T s. 
d) Como 01 ωω = , tiene lugar una resonancia en energía. Si 0 0 =⇒= βγ , la amplitud de 
las oscilaciones correspondientes se haría infinita, ∞→1A cuando 0→β . 
5. Los desplazamientos de una masa M de un líquido de densidad ρ , vertido en un tubo 
con forma de U de sección circular de radio R respecto al nivel de equilibrio están gobernados 
por la ecuación diferencial 02
2
2
2
=+ y
M
gR
dt
yd ρπ
. La curva de la figura muestra la variación 
con respecto al tiempo de la aceleración correspondiente a este movimiento. 
a) ¿Cuál es la masa M del líquido contenido en el interior del tubo? 
b) ¿Cuánto vale la amplitud de las oscilaciones? 
c) ¿Cuál es la función )(tEc que determina la evolución de la energía cinética del sistema con 
el tiempo? 
d) Supongamos ahora que los efectos de fricción del líquido con las paredes del tubo no son 
despreciables. En este caso las oscilaciones se amortiguarán con el paso del tiempo hasta 
O
y
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
tiempo (s)
ac
el
er
ac
ió
n 
( 
 
 m
m
/s
2 )
π2
 
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 45
alcanzar la situación de equilibrio. Si la amplitud de las oscilaciones decae en un factor π6−e en 
un intervalo de tiempo de 2 s., ¿cuál será la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas? 
Datos: 3=R cm, 5.1=ρ g/cm3, 8.9=g m/s2. 
Solución del problema 5: 
a) Mirando la gráfica correspondiente a la aceleración del movimiento, puede deducirse que el 
tiempo entre dos estados idénticos de movimiento, esto es, el periodo, vale 4.0=T s. La 
frecuencia natural del sistema es ππω 520 == T
 rad/s. Ahora bien, de la ecuación 
fundamental de movimiento se deduce que 
M
gR ρπω
2
2
0
2
= y, por tanto, la masa del líquido 
contenido en el interior del tubo vendrá dada por: 2
0
22
ω
ρπ gRM = . Sustituyendo datos resulta: 
337=M g. 
b) Los desplazamientos del líquido respecto al nivel de equilibrio se corresponden con un 
M.A.S. Así pues, la variable y puede expresarse de la forma: )()( 0 αω += tAsinty . 
Derivando con respecto al tiempo obtenemos la velocidad )cos()( 00 αωωυ += tAt y 
derivando una vez más encontramos la aceleración, )()( 0
2
0 αωω +−= tsinAta . Según esta 
última ecuación y observando la gráfica, el máximo valor de la aceleración será igual a 
22
0 50πω =A mm/s
2. Por tanto, la amplitud de las oscilaciones viene dada por: 
250 2
0
2
==
ω
πA mm. 
c) La energía cinética será )(cos
2
1)(
2
1)( 0
22
0
22 αωωυ +== tMAtMtEc . En esta última 
expresión conocemos todas las magnitudes a excepción de la fase inicial α . Si recuperamos la 
ecuación de la aceleración )()( 0
2
0 αωω +−= tsinAta y nos fijamos en la gráfica, 
encontramos que, por ejemplo, a 05.0=′t s ocurre que 1)( 0 =+′ αω tsin , 20
παω =+′t y, 
por tanto,442
05.05
22 0
πππππωπα =−=⋅−=′−= t , 
4
πα = . 
 Sustituyendo entonces 337=M g, 2=A mm, πω 50 = rad/s y 4
πα = , queda: 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +=
4
5cos85.16)( 22 πππ ttEc µJ. 
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 46
d) La amplitud de las oscilaciones amortiguadas es de la forma teAtA β−= 0)( , donde β es el 
coeficiente de amortiguamiento. El enunciado nos dice que en 2 s., la amplitud decae en un 
factor π6−e , es decir: 
πβπββ
β
π 3 , ,
)(
)2( 62
0
)2(
06 ====
+ −−
−
+−
− ee
eA
eA
e
tA
tA
t
t
 s-1. 
 La frecuencia de las oscilaciones amortiguadas (estamos en amortiguamiento débil, ya 
que 0ωβ < ) viene dada por: 
πππβωω 4925 22220 =−=−= , πω 4= rad/s. 
6. Considérese el circuito RLC que se muestra en la figura. La fuente suministra una tensión 
variable tsinV fω0 . Llamamos R al valor de la resistencia, L a la autoinductancia de la 
bobina, C a la capacidad del condensador y Q a la carga almacenada en el condensador en 
un instante de tiempo. Así, dtdQI = es la intensidad de 
corriente que circula por el circuito, la diferencia de potencial entre 
los extremos de la bobina será )( dtdIL , la diferencia de 
potencial existente entre las placas del condensador es CQ y 
entre los extremos de la resistencia, IR . 
a) Demuestre, razonando cada uno de los pasos seguidos, que la 
ecuación diferencial que gobierna el circuito es 
tsinVQ
C
QRQL fω0
1
=++ &&& . 
b) Considérese que a 0=t el circuito se 
encuentra ya en régimen estacionario. La 
intensidad de corriente medida en el 
amperímetro es la que se muestra en la 
gráfica. ¿Cuál es la ecuación )(tQ que 
determina la carga almacenada en el 
condensador en cualquier instante de 
tiempo? 
c) El coeficiente de autoinducción de la bobina vale 2210 π=L H. Además, el diseño del 
circuito es tal que la potencia suministrada por la fuente es máxima. Demuestre que, entonces, 
la capacidad del condensador vale 1 µF. 
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-100
-50
0
50
100
t (ms)
I (
m
A
)
250
C
L
R
1S
2S
A
tsinV fω0
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 47
d) En el instante 5.47=t ms se abre el interruptor S1 y se cierra el interruptor S2. Compruebe 
que en ese instante de tiempo la carga almacenada en el condensador es π1 mC y que la 
intensidad que circula por el circuito es cero. En este momento, el contador de tiempo se pone 
nuevamente a cero. Si el valor de la resistencia es π16=R kΩ, ¿cuál es la ecuación )(tQ 
que gobierna el proceso de descarga? 
e) ¿Cuánto debería valer R para que el condensador se descargue lo más rápidamente 
posible? 
Ayuda: La ecuación fundamental de un oscilador mecánico amortiguado, sujeto a un 
forzamiento de tipo armónico es tsin
m
F
xxx fωωβ
02
02 =++ &&& . 
Solución problema 6: 
a) Aplicando la segunda ley de Kirchoff al circuito tenemos: 
CLRf VVVtsinV ++=ω0 , 
C
Q
dt
dILIRtsinV f ++=ω0 , dt
dQI = , Q
Cdt
dQR
dt
QdLtV f
1sin 2
2
0 ++=ω . 
b) Si a 0=t el circuito se encuentra ya en régimen estacionario, podemos escribir 
)()( 0 δω −= tsinQtQ f . Si conociésemos los valores de los parámetros que caracterizan el 
circuito podríamos calcular la amplitud 0Q y la fase δ usando las expresiones que conocemos 
para el caso de un oscilador amortiguado y forzado. Como esto no es así, debemos calcularlas 
a partir de la curva de intensidad que se nos proporciona. 
 La intensidad vendrá dada por: 
δωω −= tQtI ff cos()( 0 ). 
 En la gráfica puede verse que el periodo (distancia temporal entre dos puntos en fase) 
vale 20=T ms, luego 2102 ππω ==
Tf
 rad/s. El máximo de intensidad son 100 mA, por 
tanto, 1.00 =fQ ω (trabajando en unidades del S.I.). Finalmente, 
1
20 10
1.0 −== π
π
Q mC. 
 En el instante inicial, δωδω cos)cos()0( 00 ff QQI =−= . Según la gráfica, 
δcos10025 = y, por tanto, ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
2
2cosarδ . Aparecen aquí dos posibilidades, 
4
πδ ±= . 
Para averiguar cuál de ellas es la correcta recurrimos de nuevo a la gráfica. Si, por ejemplo, 
nos damos cuenta de que 250)105( 3 =⋅ −I mA; entonces veremos que necesariamente 
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 48
4
πδ = . También podemos llegar a la misma conclusión teniendo en cuenta el signo de la 
derivada de la curva que se nos proporciona para algún valor de t (que podría ser 0=t ). 
 Finalmente, 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
4
100sin1)( ππ
π
ttQ mC. 
c) El circuito ha sido diseñado de tal manera que se produzca una situación de resonancia en 
energía. En estas condiciones, fωω =0 . La frecuencia fundamental viene dada por la 
expresión LC/120 =ω . Entonces, 
2/1 fLC ω= . Nos queda, 
11 2 ==
fL
C
ω
 µF, 
donde se han sustituido los valores 2
210
π
=L H y πω 100=f rad/s. 
d) La carga venía dada por (apartado b): )
4
100(1)( ππ
π
−= tsintQ mC y la intensidad: 
)
4
100cos(100)( ππ −= ttI mA. Sustituyendo el valor 5.47=t ms, se comprueba fácilmente 
que: π/1)ms 5.47( =Q mC e 0)ms 5.47( =I mA. En este instante, se abre el interruptor S1 
y se cierra el S2, esto es, se desconecta la fuente (el forzamiento) y el sistema se convierte en 
un oscilador amortiguado. El contador de tiempo se pone nuevamente a cero, por lo que los 
valores de carga e intensidad anteriormente calculados son nuestros nuevos valores de carga 
e intensidad a tiempo cero. 
 A continuación debemos averiguar en qué régimen de amortiguamiento estamos, y 
proponer después una expresión para el proceso de descarga del condensador. Comparando 
con la ecuación de un oscilador mecánico, podemos deducir que 
π
π
πβ 80
)/10(2
10)/16(
2 22
3
===
L
R
 s-1. Ya sabemos que πω 100)/1(0 == LC rad/s. Así pues, 
0ωβ < . Estamos en la situación de amortiguamiento débil. La frecuencia de las oscilaciones 
amortiguadas será πβωω 60220 =−= rad/s. Podemos escribir, por tanto, 
)()( 00 αω
β += − tsineQtQ t , 
donde la notación 00Q se introduce con el objetivo de no crear confusión con la magnitud 0Q 
del apartado a). 
 En el proceso de descarga, 
dt
dQtI =)( , luego: 
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 49
)cos()sin()( 0000 αωωαωβ
ββ +++−= −− teQteQtI tt . 
 Según nuestros cálculos anteriores: 
αωαβ
αππ
cos0 0)0(
/1 /1)0( 00
−=⇒=
=⇒=
sinI
sinQQ
. 
 La segunda de estas ecuaciones nos dice: 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
4
3arctagarctag
β
ωα , 
mientras que la primera nos indica que 0>αsin , por tanto, α es un ángulo del primer 
cuadrante y concluimos: 6435.0≈α rad. 
 Si usamos nuevamente la primera de las ecuaciones: 
ππαπ 3
56.11
00 ===
)
sin
Q mC. 
 Así pues, el proceso de descarga está gobernado por la ecuación: 
)6435.060(
3
5)( 80 += − tsinetQ t π
π
π mC. 
e) Para que la descarga fuese lo más rápida posible, o lo que es lo mismo, para que el sistema 
alcance el equilibrio lo antes posible, debería darse una situación de amortiguamiento crítico. 
Esta condición exige 0ωβ = . Entonces, 02
ω=
L
R
, o bien, 
π
ω 202 0 == LR kΩ. 
7. La curva de potencia absorbida media relativa de un cierto circuito RLC en serie es la que 
se muestra en la figura. El circuito ha sido diseñado de tal forma que al conectar una fuente de 
tensión alterna se alcanza el estado estacionario en un tiempo mínimo. 
 
 
2S
C
L
R
1S
1v 2v
0 40 80 120 160 200 240 280
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Curva de potencia absorbida media relativa
( )rad/s πω ⋅f
resext
ext
P
P
Oscilaciones y ondas. Problemas resueltos. 
 50
a) Determine la anchura de banda ω∆ y el tiempo de relajación τ del sistema. 
b) El valor de la resistencia es 
π
2=R kΩ. Demuestre entonces que la capacidad del 
condensador es 5.12=C µF y que la autoinductancia de la bobina vale 2
2
8
10
π
=L H. 
c) Si conectamos al circuito una fuente de tensión alterna, ¿cuál debe ser la frecuencia de la 
señal para que se produzca una situación de resonancia en energía? ¿Y para que tenga lugar 
una resonancia en amplitud? 
d) A tiempo 0=t el interruptor S1 está cerrado, S2 abierto y el condensador cargado con 5 
mC. Se ha comprobado