Apunte_cinem_tica

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Universidad Nacional de Jujuy Física 1 
Facultad de Ingeniería Año 2008 
 1
 
MECÁNICA 
 
 Estudia el comportamiento de los cuerpos sometidos a la acción de fuerzas 
 
 CLÁSICA (no relativista) 
MECÁNICA RELATIVISTA 
 CUÁNTICA 
 
 No existen cuerpos aislados, todos interactúan. 
 Interacción mutua 
 
 Hay por los menos 3 tipos de interacciones o fuerzas: 
 
 Gravitacional 1 2
2
m m
F G
r

  
 Electromagnéticas 
 
 Nuclear 
fuerte protón-protón 
protón-neutón 
 
débil 
Desintegración β 
Emisión de electrones (e) 
 
 Las llamadas fuerzas de contacto (mano que empuja, tensión de vínculo, fuerzas de 
roce) son de naturaleza electromagnética. 
 En la mecánica clásica todos los fenómenos de movimiento de cuerpos se deben a 
o Fuerzas gravitacionales y 
o Fuerzas electromagnéticas. 
 
 
CINEMÁTICA 
 
 “Trata del Movimiento de los cuerpos esto es, su ubicación relativa en el espacio 
y en el tiempo, sin considerar las causas que lo provoca (fuerzas)”. 
 
 El movimiento es un concepto relativo. Un cuerpo se mueve respecto del 
observador. Esto es un “Referencial” o “Sistema de Referencia”: Sistema de 
coordenada fijo o anclado en el espacio. 
 Objetivo: determinación de la TRAYECTORIA es decir la posición de un cuerpo 
en el espacio en función del tiempo. 
Sistemas de ejes coordenados cartesianos. Sistemas de coordenadas polares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P1 
y 
x 
z y 
z 
x 
z
y 
x
P1 
θ zenital 
φ azimutal 
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 2
 
 Punto material o partícula: Es cualquier cuerpo cuyas dimensiones (tamaño) 
están dentro del error con que se determine su posición su posición respecto al 
origen. 
Esto nos evita considerar las rotaciones. Un punto material no tiene rotación 
alrededor de un eje que pase por él. 
Tren (puede ser considerado punto material): velocidad v = 60 km/h ± 5 km/h 
 
Si t = 2,5 h  x = v . t = (60 ± 5) km/h 2,5 h 
 x = 150 km ± 12,5 km 
 
El error (e) = 25 km no tiene sentido preocuparse de su tamaño para ubicar su posición 
e>>D del tren 
 
Traslación del punto material 
 
Coordenadas cartesianas Coordenadas Polares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ya sea en coordenadas polares o cartesianas se necesitan 3 números para determinar la 
posición del punto. 
Decimos que el movimiento de traslación tiene 3 grados de libertad o de traslación. 
 
 
P1 (t1) 
trayectoria 
y 
x 
z y 
z 
x 
1
r

2 1
r r r    
P2 (t2) 
2
r

z
Φ azimutal 
y 
x
r

θ zenital 
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 3
 
MECÁNICA 
 
 Estudia el comportamiento de los cuerpos sometidos a la acción de fuerzas 
 
 CINEMÁTICA 
Movimiento 1D  
 
MRU 
MRUV 
MECÁNICA 
Movimiento 2D  
 
Movimiento 3D
Tiro Oblicuo 
Mov. circular 
 
 DINÁMICA 
 
 DESPLAZAMIENTO. Ej. Carrera de los 100 m llanos 
 
-20
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t (s)
d (m)
 
 Desplazamiento es el cambio de posición de la partícula en el tiempo transcurrido 
 
(1) 2 1( ) ( )x x x vector  
  
 
(2) 2 1( ) ( )x x x escalar   
 
En el movimiento en 1D (una dimensión) sólo importa el signo de Δx; pero en realidad es 
un vector: 
Distancia (m) Tiempo (s) 
0 0 
5 1,36 
10 2,01 
15 2,57 
20 3,09 
25 3,60 
30 4,09 
35 4,55 
40 5,01 
45 5,47 
50 5,92 
55 6,37 
60 6,83 
65 7,28 
70 7,74 
75 8,20 
80 8,65 
85 9,11 
90 9,57 
95 10,04 
100 10,50 
t1 t2 
x1
x2
x = f (t) 
1
2 
∆t
∆x
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 4
 
 
 
E
l
 
v
El vector posición depende del origen 
 elegido. El vector desplazamiento es 
 independiente del origen o marco de 
 referencia. 
 2 1( ) (3)x x x  
  
 
En notación empleando el vector unitario î (que apunta en la dirección +x) resulta: 
2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ( ) ( ) (4)x i x i x i x x       

 
Ej. 1: Encuentre los vectores posición a los 2 s y a los 5 s. ¿Cuál es el vector 
desplazamiento entre esos tiempos? 
R: En la figura 1: 1 ˆ 10x i m 

 
 2 ˆ 40x i m 

 
2 1
ˆ ˆ ˆ( ) ( 40 10 ) 30 (4)x x x i m i m i m        
  
 
 
RAPIDEZ Y VELOCIDAD 
 
Rapidez Media: tanto “rapidez” como “velocidad” describen cuán rápidamente cambia la 
posición de un cuerpo. 
distancia total recorrida
rapidez media =
intervalo de tiempo
 es una cantidad escalar y siempre positiva (+) 
 
Si cambia el intervalo de tiempo, la rapidez media puede también cambiar: por ej., en toda 
la carrera de 100 m. 
100
9,5
10,5m
m m
rap
s s
  
Si tomamos un Δt = 5,01 s y la distancia recorrida es 40 m (ver tabla): 
 
40
8,0
5,01m
m m
rap
s s
  
Si elegimos el último intervalo de tiempo Δt = 5,49 s (10,50s – 5,01 s, ver tabla) el 
corredor avanza una distancia de 60 m 
60
10,9
5,49m
m m
rap
s s
  
 
Velocidad Media: La velocidad se refiere a cuán rápidamente cambia el 
“desplazamiento” (no la distancia total recorrida) 
 
2 1
2 1
x xdesplazamiento x L m
v =
intervalo de tiempo t t t T s
               
  
 
 
1x

 
“vectores posición” 
2x

 
x

 “vector desplazamiento” 
or
ig
en
 
O 
1x

2x

x

î 1x 2x x (m) 
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 5
La mv

 no dice cómo fue el movimiento entre las posiciones x1 y x2 (si fue más rápido o 
más lento al comienzo, o al final, o si fue constante) sólo se refiere al desplazamiento para 
ése intervalo de tiempo. 
Por ej. Si Ud. hace un recorrido alrededor de la manzana y regresa a su casa en un intervalo 
Δt, su 0mv 

 pues 0x 

. 
 
Velocidad Instantánea 
 
Como la velocidad puede variar en magnitud y sentido, si se hacen los Δt más pequeños 
obtenemos mejor información. Si queremos la velocidad en un instante determinado t, 
debemos hacer un Δt más pequeño y por lo tanto considerar un x

 también más pequeño 
alrededor del punto considerado x(t). Si tanto Δt como x

 tienden a cero podemos definir: 
 
( ) ( )
0 0
t t t
t t
x x x dx
v lim lim
t t dt

   
 
  
 
   
 
 
Rapidez Instantánea 
Es la magnitud o módulo de la velocidad instantánea (o sea el valor absoluto de v

) 
 
d x
v v
dt
 

 (es escalar y siempre positiva) 
 
En notación vectorial, con vectores unitarios, para el movimiento en una dimensión, la 
velocidad instantánea 
ˆ
xv i v 

 
 
vx es (+) si la v apunta en el sentido de i y (-) en el sentido contrario. 
 
 
 
El proceso de límites 
 
 
 
 
 
Cuando los intervalos se hacen más 
pequeños alrededor de P, llega un 
momento en que no se puede 
distinguir más entre secante y 
tangente de modo que la velocidad 
instantánea en P (o en cualquier punto 
arbitrario) es la pendiente de la 
tangente a la gráfica en dicho punto. 
 
 
 
 
 
 
Δt’ 
Δt 
A’ 
θ 
B
B’ 
t 
D
A 
O 
P 
A
Δx
Δx’
x
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 6
10
0 
2 
4 
6 
8 
10 
12 
0 2 4 6 8 12
t [s]
v [m/s] 
Suponga un gráfico x = f(t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aceleración 
 
Es el cambio de la velocidad de un cuerpo con respecto al tiempo 
 
Aceleración media 
2 1
2 2
2 1
m
v v v L m
a 
t t t T s
               
  
 
 
Aceleración instantánea 
0t
v d v
a lim
t dt 

 

 
 
 
También 
 
2
2
d v d d x d x
a
dt dt dt dt
     
  
 
 
Del mismo modo que se puede determinar la velocidad a partir de a gráfica de la posición 
en función del tiempo x = f(t), se puede determinar la aceleración en cualquier tiempo t 
calculando la pendiente de la tangente a la curva v = f(t) para ese tiempo en particular. Por 
ej. Para la carrera de 100 m. 
 
 
t 
θ > 90º
v < 0
x
θ < 90º 
v > 0 
θ = 0º 
v = 0 
v2 
v1 
t2 t1 
t 
v
v = f(t)
10 12
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8
a [m/s2]
t [s]
P 
Q
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 7
CINEMÁTICA 
MovimientoRectilíneo 
 
La trayectoria es recta. Las abscisas nos dan en cada instante el vector posición del punto. 
 
 
 
Hay que observar que el vector 
desplazamiento es independiente del 
origen o marco de referencia. 
 
Si la v v el movimiento es Movimiento Rectilíneo Uniforme M.R.U. esto significa que el 
módulo y la dirección son constantes. 
Aunque xv

y x

 son vectores para cualquier x  x xv v cte 

 
 
x
x
v
t



 (1) 
x
d x
v
dt
 (2) 
De la ecuación (2) sigue que xd x v dt  
El desplazamiento total de x0 a x1 es 1 0( )x x x   y no es más que la Σ de los 
desplazamientos elementales dx esa suma se expresa de la siguiente manera: 
 
 
1 1
0 0
x t
xx t
d x v dt   como vx = cte 
 
1
1 0 0
( )
t
xx x x v dt     
 1 0 1( ) xx x v t   
y en general 0 xx x v t   (3) 
si en x = 0; t ≠ 0 0 0( )xx x v t t    (3’) 
 
Si hacemos que el origen del referencial coincida con la posición inicial y desde allí 
contamos los tiempos t (ej. carrera de los 100 m) 
 
 
Diagramas (v , t) y (x , t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
x0 = 0 
t0 = 0 
xx v t  (3’’) 
t 
v 
v 
dt 
v
dx 
b 
a 
x0 
O 
dx
∆t 
t 
x
∆x
dt 
x0
O 
1x

2x

x

x (+) x (-) 
t0 
x1 x2
t2 
dx
t1 
La superficie bajo la recta nos da 
el desplazamiento dx 
Si en (3”) damos 
valores 
particulares al t se 
obtiene a. 
Si en (3) se 
obtiene b 
La pendiente da la velocidad v que da 
igual, calc. x dxo
t dt


 pues x xv v cte 

 
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 8
Aceleración 
Cambio de la velocidad con respecto a t. 
 
Aceleración media 
 
2 1
2 2
2 1
v v v L m
a 
t t t T s
               
  
 (4) 
 
Aceleración instantánea 
 
0t
v d v
a lim
t dt 

 

 
 (5) 
 
También 
 
2
2
d v d d x d x
a
dt dt dt dt
     
  
 (6) 
 
Si la a a

, el movimiento es Movimiento rectilíneo Uniformemente Acelerado M.R.U.A 
De (5) sigue .d v a dt
 
 integrando 
 
0 0
v t
v t
dv a dt   
De (4) v a t   
 
 0 0( )v v a t t    
 
 0 0( )v v a t t    (7) 
 
si t = 0 en t0 0v v a t   (7’) 
 
Para obtener el desplazamiento partimos de d x v dt  con v dado por (7’) 
 0( )d x v a t dt    que integrando sigue 
 20 0
1
2
x x v t a t      
 20 0
1
2
x x v t a t      (8) 
La ecuación (8) es más completa, pues, incluye la situación inicial del movimiento 
(¡condiciones iniciales!) 
 
 
 
Q
Q’’ 
Q’ 
v2 
v1 
t2 t1 
t 
v
P
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 9
Diagramas (v , t) y (x , t) del MRUA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La pendiente de la recta v = f(t) nos da la 
aceleración 
Se verifica que 
 a a

 
 
v d v
t d t



 
En x = f(t) , la pendiente de la secante por 
los tiempos t1 y t2 da la v (velocidad 
media) 
La pendiente de la tangente a la curva en 
cada punto da la v

 instantánea en ese 
punto 
 
Existe otra relación importante entre x y v 
De (5) sigue dv a dt  
De (2) 
d x
v
dt
 
Multiplicando (5) y (2) miembro a miembro 
 
d x
v dv a dt a d x
dt
 
      
 
 integrando 
 
0 0
v x
v x
v dv a d x    como a = cte 
 
 2 20 0
1 1
( )
2 2
v v a x x    (9) 
 2 20 02 ( )v v a x x     
si colocamos x0 en 0 
2 2
0 2v v a x    (9’) 
 
ec (7’) 
v0 
O 
dv 
∆t 
t 
v
∆v
dt 
α β 
x0 
O 
∆t 
t 
x
∆x
t1 t2 
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 10
 
MECÁNICA 
 
Repaso: “La velocidad de una partícula es la rapidez con que cambia su posición al 
transcurrir el tiempo”. 
 
VELOCIDAD MEDIA 
 
Una partícula se mueve de A a B en el intervalo de tiempo Δt = t2-t1 y experimenta un 
desplazamiento 2 1r r r  
  
. La velocidad media v

entre 
A y B: 
2 1
2 1
r rr
v
t t t

  
 
 
 (1) 
Unidades de v 
 
unidad de distancia
;
unidad de tiempo
L m km
v
T s h
      

 
 
VELOCIDAD MEDIA 
Si la velocidad entre A y B es variable, vemos que 
los valores de la v

(velocidad media) no son iguales 
para distintos intervalos de tiempo Δt. 
Si hacemos Δt cada vez más pequeños, aproximando 
el punto B sucesivamente a B’; B’’; vemos que la v

 
tiende a ser la v

(velocidad instantánea) en el punto 
A, cuya dirección es tangente a la trayectoria en A. 
Esto es, en el límite, para Δt 0 
 
0t
r d r
v lim
t dt 

 

 
 (2) 
ACELERACIÓN 
 
Si v

 cambia en magnitud, en dirección o sentido, la partícula tiene una aceleración que 
es la rapidez con que cambia su velocidad al transcurrir el tiempo. 
 Definimos la 
 
ACELERACIÓN MEDIA 
 
2 1
2 1
v v v
a 
t t t
 
 
 
  
 (3) 
Vector que tiene la dirección y el sentido del vector Δv

 
 
Unidades de a 

 
2 2 2 2
; ;
L m cm pie
T s s s
    
 
 
 
 
Si la a

 en varios intervalos Δt no es constante (obviamente es variable), esto nos lleva a 
considerar la aceleración en un punto. 
x 
 A (t1) 
O 
y 
1
r
 r
B (t2) 
2
r

2
''r

2
'r

'r
''r

B’ (t2’) 
B” (t2”) 
v

O 
y 
x 
A (t1) 
1
r
 2 1
r r r    
B (t2) 
2
r

A (t1) 
O 
y 
x 
B (t2) 2v

1
v

2
v

1
v

2 1
v v v    
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 11
 
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA 
 
0t
v d v
a lim
t dt 

 

 
 (4) 
 
POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN de una partícula que sigue una 
trayectoria curva en el plano xy 
Notar que ay es negativa. 
 
En la notación de vectores unitarios 
 
Posición 
ˆ ˆ
x yr i r j r   

 (5) 
 
Derivando se tiene la velocidad 
ˆ ˆ yx drdrd rv i j
dt dt dt
    

 o sea 
 
Velocidad 
 
 ˆ ˆx yv i v j v   

 (6) 
 
Derivando se tiene la aceleración 
ˆ ˆ yx dvdvdva i j
dt dt dt
    

 o sea 
Aceleración 
 
 ˆ ˆx ya i a j a   

 
 
MOVIMIENTO EN 2D CON a

 = cte 
En el espacio, un cuerpo que se mueve con aceleración constante sólo lo puede hacer en un 
plano situado en el espacio. 
 
 
Si a

 = cte 
 
ax = cte 
 
ay = cte 
 
Ecuaciones del movimiento para las componentes en x e y 
 
(8.a) 
 
(8.b) 
 
(8.c) 
 
(8.d) 
0x x xv v a t   
0
0
( )
2
x xv vx x t

   
2
0 0
1
2x x
x x v t a t      
2 2
0 02 ( )x x xv v a x x     
 
0y y yv v a t   
0
0
( )
2
y yv vy y t

   
2
0 0
1
2y y
y y v t a t      
2 2
0 02 ( )y y yv v a y y     
 
(8) 
 
t 
v

ˆ.
x
i v
r

O
y 
x ˆ.
x
i r
ˆ.
y
j r
ˆ.
y
j v
ˆ.
y
j a
ˆ.
x
i a
î
ĵ
a

 
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 12
 
Si expresamos en forma vectorial: de (6) 
 
ˆ ˆ
x yv i v j v   

 
 
0 0
ˆ ˆ( ) ( )x x y yv i v a t j v a t       

 agrupando 
 
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )x y x yv i v j v i a j a t        

 (7) 
 
En forma compacta 
 
0v v a t  
  
 (9) 
 
2
0 0
1
2
r r v t a t     
   
 (10) 
 
APLICACIÓN DEL MOVIMIENTO EN 2 DIMENSIONES 
 
Movimiento de Proyectiles (Tiro Oblicuo) 
 
Es un movimiento en 2 dimensiones con a constante ay = -g ax = 0 m/s
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Condiciones iniciales 
 
Las componentes x e y de 0v

 son: 
 0 0 0cosxv v   
 0 0 0syv v en  
 
y 
0v

x 0
0
ˆ
yj v
0
ˆ
xi v
v

xv v
 
v

0v

yv

xv

xv

yv

0 xv

0 yv

0yv 



0
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 13
 
 Para cualquier t 
 
Como ax = 0; la vx = cte (en cualquier t) ó sea vx = v0x = cte 
 
 0 0cosxv v   (1) 
 0 0syv v en g t    (2) 
 
La magnitud de la velocidad en cualquier instante es 2 2x yv v v  
y su dirección y
x
v
arctg
v

 
  
 
 
 
La coordenada x en cualquier tiempo t0 0( cos )xx v t v t     (3) 
 
La coordenada en y 
 
 20 0
1
( s )
2
y v en t g t     (4) 
 
La ecuación cartesiana de la trayectoria 
 
Eliminando el t; de (3) : 
0 0cos
x
t
v 


 reemplazando en (4) 
 
 20 0
2 2
0 0 0 0
s
cos 2 cos
v en g
y x x
v v

 

   
  
 (5) 
 
 2y b x c x    Ecuación de la parábola con eje paralelo al eje y 
 
 Alcance horizontal (distancia horizontal desde el punto de partida al punto de impacto 
sobre el suelo) 
 
De (4) haciendo y = 0 0 0
2 s
R
v en
t
g
 
 
 
y en (3) haciendo x = R 0 00 0
2 s
cos
v en
R v
g
     
 
sabiendo que 0 0 02 cos s s 2en en     
 
 
2
0 0s 2v enR
g

 (6) 
 
 
 
Ecuaciones paramétricas 
de la trayectoria 
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 14
 
Se ve que el alcance depende de v0 y del ángulo de tiro θ0. En (6) se puede deducir que 
ángulos complementarios tienen el mismo alcance y que el alcance máximo R máx se da 
para θ0 = 45º 
 
2
0
máx
v
R
g
 (7) 
 
 Altura Máxima 
 
La altura máxima se obtiene haciendo haciendo vy = 0 en (2) y obteniendo el t del 
semivuelo 
 0 0
sv en
t
g

 
Que introducida en (4) da 
 
2 2
0 0 0 0
0 0 2
s s1
s
2máx
v en v en
y v en g
g g
        
 
 
2 2
0 0s
2máx
v en
y
g



 (8) 
2
0
2máxvert
v
y
g


 (9) 
 Región Inalcanzable 
 
Para una misma velocidad v0, la forma de la parábola depende del ángulo de tiro θ0 
 
 
x 
y 
2
0
2
v
g
45º 
15º 
30º 
60º
75º 
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 15
 
MOVIMIENTO CIRCULAR ó CIRCUNFERENCIAL 
 
 En este movimiento, la trayectoria de la partícula es una circunferencia de radio r. 
 La descripción de este movimiento se simplifica si empleamos coordenadas polares 
planas r  radial 
 φ  angular . 
 La posición de la partícula queda determinada por el 
ángulo φ y por el módulo del vector posición r

 que es 
constante ( y que es el radio) 
 El vector r

 barre el ángulo Δφ en el tiempo Δt, lo que 
nos permite definir la 
 
Velocidad Angular Media 
 
 
t






 (1) 
 
 
 
La dirección y sentido de  queda determinado por la dirección y sentido de la rotación 
de la partícula en el plano. Es decir, coincide con la dirección del vector unitario nu

 o 
versor normal al plano determinado por Δφ y r

. Por 
convención, asignamos al sentido antihorario el signo 
positivo (+), y el sentido de  será hacia arriba en la 
figura 2 (o saliendo del plano en el dibujo de la figura 1). 
Se aplica la regla del tirabuzón de giro derecho; o la 
regla de la mano derecha: los dedos de la mano señalan 
el sentido de giro y el pulgar señala hacia donde debe 
apuntar el vector  
 
 
Velocidad Angular Instantánea 
 
0
lim n
t
d
u
t dt
 
 

  

 
 (2) 
 
 
La unidad de ω es 
rad
s
 
  
 porque el ángulo φ se mide en radianes. La razón de ello es que 
la longitud de un arco de círculo de radio r se expresa por la siguiente relación 
 
longitud de arco (s) circunferencia del círculo (2 r)
ángulo de ese arco ( ) ángulo total del círculo (2 )

 

 
2
2
s r
 

 
 
Cuando el ángulo se mide en radianes el ángulo 
total es 2π, ya que 360º = 2π radianes 
 
 
 
 
P1 (t1)
r

v

∆φ
P0 (t0)
φ0
∆φ 

nu

P 
Fig.1 
Fig.2 
2
ángulo total
s r

 
    
 
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 16
2
2
s r


     
 
 y s r   (3) 
 
 También se expresa  en revoluciones por minuto [r.p.m.] 
121
60 30
rad
rpm s
s
      
 
 El radián es por definición, el ángulo cuyo arco es igual al radio 
r
s
  
donde φ está medido en radianes. 
 
 
CINEMÁTICA ANGULAR 
 
 
 
 
 
Si 
d
t dt
 


 
  se tiene Movimiento Circular Uniforme – MCU – o sea  = cte 
 
y el desplazamiento angular será 0( )t t t        
 
 0 0( )t t      donde, si t = 0 y φ0 = 0 
 
 t   (4) 
 
 Si varía el módulo de la velocidad angular  , aparecerá una aceleración angular α 
 
Aceleración Angular Media 
t
 


 (5) 
 
Aceleración Angular Instantánea 
d
dt
 

 (6) 
 
Si 
d
t dt
 


 o sea si α es constante, el movimiento se denomina “circular uniformemente 
acelerado” – MCUA- cuyas ecuaciones se pueden obtener por semejanza con el MRUA. 
 
Ecuaciones del Movimiento Circular Uniforme Acelerado 
 
(7) 0 t     
(8) 20
1
2
t t        
(8’) 20 0
1
2
t t         
(9) 2 20 2       
 
 
 
s 

r 
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 17
 
Relación entre velocidad angular  y velocidad tangencial Tv

 
 
 Consideremos un punto Pi de un cuerpo 
(disco) en rotación. La velocidad angular  
es la misma para todos los puntos, no así la 
velocidad de translación que será distinta 
para los puntos ubicados sobre cada 
circunferencia. 
 En Δt el punto se desplaza Δr . Si hacemos 
paulatinamente más chico a Δt, hasta llegar 
a dt llega un momento en que no se puede 
distinguir la cuerda dr del arco ds, o sea 
dr = ds, siendo la velocidad instantánea de 
Pi 
 
d r
v
dt


 (10) 
donde la dirección de v

 es la del vector d r

 y coincide con la tangente a la circunferencia 
en el punto considerado, por eso se llama velocidad tangencial Tv

 (o periférica). 
 
Como dr = ds y de (3) ds R d  resulta derivando respecto t 
 
ds d
R
dt dt

  
 
El módulo de Tv

 es 
Tv R  (11) 
 
La (11) muestra la relación entre los módulos de los 3 vectores e Tv

, r

 y  
 
Vectorialmente: Para el caso más general 
 
 Tv r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pi 
dr = ds 
O 
R 
vT 
vT 
vT 
∆r
vT 
s (cuerda)
r (arco) 
Tv

P’
P

r

R
R
θ
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 18
 
Aceleración centrípeta 
 En el MCU, el módulo de la Tv

 es constante, no así su dirección. 
Esta variación de Δv

 conduce a una 
c
v
a
t




 
cuya dirección y sentido será la del vector Δv

, que en límite, cuando Δt  0 Δφ  0, será 
perpendicular a la Tv

 (o sea apunta hacia el centro “O”, coincidente con el radio r) 
1 2v v v 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El módulo o magnitud de la ca

 se obtiene de los triángulos semejantes 1 2POP

 y ACB

(sus 
ángulos Δφ son iguales por ser v

perpendicular a r

 
 
r v
r v
 
  
v
v r
r
   
 
Dividiendo a esta última ecuación por Δt 
 
v v r
t r t
 
 
 
 
 
Y si consideramos Δt cada más pequeño, en el límite se obtiene 
 
0 0 0
lim lim limc
t t t
v v r v r v dr
a
t r t r t r dt     
  
      
  
 y 
dr
v
dt
 
 
2
c
v v
a v
r r
   (13) 
 
Y vimos que Tv R  , en (11), resulta: 
2
ca r  (14) ó ( )c Ta r v       (15) 
 
Estas ecuaciones relacionan la aceleración centrípeta con la velocidad angular y la 
velocidad tangencial. 
 
r

∆φ
r

r

O 
P1 
P2
∆φ 
2v

1v

v

A
B 
C 
P1 
P2 
r

2v

∆φ 
φ0 
1v

r
 1v

O 
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 19
Que es un producto vectorial 
ca r 
 
 (15’) 
su módulo es 
 
( , )c Ta r sen r v      
  
 
 
Debemos recordar que  y Tv

 son perpendiculares y el seno 90º = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Componentes tangencial y normal de la Aceleración 
 
Si la Tv

 no es constante. 
 
C Tv v v    
  
 
 
Dividiendo m.a.m. por Δt tenemos y 
 en el límite para Δt  0 
 
C Ta a a 
  
 (16) 
 
 
El cambio en el módulo de la velocidad tangencial  Ta

 
 
El cambio en la dirección de la velocidad tangencial  Ca

 
 
En consecuenciael vector a

 
tiene su módulo igual a 2 2T Ca a a 
  
 (17) 
Su dirección T
C
a
tg
a
  
 
Relación entre Ta

 y α 
 
T
T
dv d
a R R
dt dt
       Ta R  

 (18) 
 
Tv r 
 
P’
y

r

R
θ


ca v 
 
x
z
∆φ
Tv

Tv

v
Cv
Tv

∆φ O 
R
Tv

Tv

Ta

a

Ca


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 20
 
MOVIMIENTO RELATIVO DE TRASLACIÓN 
TRANSFORMACIÓN DE GALILEO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La velocidad relativa del móvil 2 respecto del móvil 1 (o sea la velocidad que mide un 
observador en O’) es: 21 2 1 (60 80) 20
km km
v v v
h h
      
El signo menos significa que el móvil 2 se aleja hacia la izquierda sobre el eje x. 
 
Esta es una operación vectorial que se puede deducir de una expresión general que permite 
pasar de un sistema a otro en movimiento relativo. 
 
Los sistemas O y O’ y un punto P que se mueve con un velocidad v

 respecto a un punto 
O’. 
¿Cuál es la velocidad v

 respecto a O? 
 
En el triángulo vectorial OO’P 
 
r r OO  
 
 (19) 
 
Tomando diferenciales y derivando respecto 
de t 
 
dr dr dOO
dt dt dt
 
 
 
 
 
v v u 
  
 (20) 
 
donde u

 (velocidad de arrastre) y es constante 
 
En el ejemplo 1v u
 
 2v v
 
 (80 60) 20
km km
v v u
h h
      
  
 
 
Si derivamos la ecuación (20) nuevamente respecto del tiempo tenemos 
 
dv dv du
dt dt dt

 
  
 como u

 es constante 0
du
dt


 
a a
 
 
 
 
v1 = 80 km/h v2 = 60 km/h 
O 
O’
O’ 
O 
P 
r
 r

v

v

u

u

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 21
Transformación de Galileo 
 
En (19), si para t = 0, los referenciales O y O’, son 
coincidentes; las componentes OO

 son 
 
 
Luego las componentes de r serán: 
(para cualquier t) 
 
 
 
 
Problema de Aplicación I 
 
 
 
v v u 
  
 
 
 Son datos 
 El módulo y la dirección de u

 
 El módulo de v

 
 La dirección de v

 
 
 
 
 
 
Un bote, que se dirige hacia el Norte, atraviesa un río ancho con una 
rapidez de 10 km/h respecto del agua. El río tiene una corriente tal 
que el se mueve con una rapidez uniforme de 
5 km/h en dirección Este respecto de la tierra (a) ¿Cuál es la 
velocidad del barco respecto de un observador fijo que se encuentre 
en la orilla del río?. 
Solución 
 
v v u 
  
 
2 2 100 25 125v v u      v =11,25 km/h 
5
10
u
arctg arctg
v
           
  θ = 26,6º 
 
(b) ¿Con qué ángulo deberá dirigirse el barco para poder viajar en 
dirección Norte a lo largo del río y cuál es la magnitud de la 
velocidad del barco respecto de tierra? 
Solución 
 
v v u 
  
 
2 2 100 25 75v v u      v =8,66 km/h 
 
5
8,66
u
arctg arctg
v
          
  θ = 30º 
 
ux . t 
uy . t 
uz . t 
 
rx = rx’+ ux . t 
ry = ry’+ uy . t 
rz = rz’+ uz . t 
t = t’ (es el mismo t 
que se mide) 

5u 

A
B
v

10v 

C
N
EO
S
A
B
v

5u 

10v 


N
EO
S
P 
O’ 
O 
r
 r

u

A
B
v

v

Pu

v

N
EO
S
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 22
 
Problema de Aplicación I 
 
Una bomba se deja caer desde un avión cuya velocidad es u

 situado en ese momento a una 
altura h medida desde el suelo. Determinar la trayectoria de la bomba. 
 
Si para t = 0, el sistema está en la vertical 
de O cuando se suelta la bomba, la ecuación 
vectorial es: 
r r OO  
 
 
Al tiempo t, el observador O’ ve la bomba 
en caída libre en su vertical, entonces la 
posición de la bomba es: 
1
2
r g t    
Debemos notar que ambos observadores 
miden la misma aceleración 
a a  g g 
 
El observador O ve que la bomba describe una trayectoria curva, cuyas componentes 
cartesianas paramétricas son 
x u t  
21
2
y h g t    
Eliminando t 
2
2
1
2
x
y h g
u
    
 
TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ 
 
En 1905 Einsten estableció que “Todas las leyes de la naturaleza son las mismas (es decir 
permanecen invariante) para todos los observadores en movimiento relativo de traslación 
uniforme” 
Supuso que la velocidad de la luz es una invariante física es decir que tiene el mismo valor 
para todos los observadores. Bajo esta suposición la transformación Galileana no es 
correcto. En particular la ecuación t = t’ no puede ser correcta. Puesto que la velocidad es 
la distancia dividida el tiempo para que permanezca constante debemos ajustar tanto el 
tiempo como la distancia para que la velocidad de la luz pueda ser constante. 
Por ello debemos reemplazar la transformación Galileana por otra de modo que la 
velocidad sea un invariante. 
Y la nueva transformación, compatible con la invariancia de la velocidad de la luz, es 
entonces: 
2
2
1
x
x
r u t
r
u
c
  


 que muestra la contracción longitudinal 
 y yr r  z zr r  
2
2
1
xu rt
ct
u
c
 


 que muestra la dilatación del tiempo 
r
y 
x
O
O
O 
r’ 
h 
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