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Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
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CAPITULO 2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION. 
 
La cinemática es la rama de la mecánica que estudia la geometría del movi-
miento. Usa las magnitudes fundamentales longitud, en forma de camino reco-
rrido, de posición y de desplazamiento, con el tiempo como parámetro. La 
magnitud física masa no interviene en esta descripción. Además surgen como 
magnitudes físicas derivadas los conceptos de velocidad y aceleración. 
 
Para conocer el movimiento del objeto es necesario hacerlo respecto a un sis-
tema de referencia, donde se ubica un observador en el origen del sistema de 
referencia, que es quien hace la descripción. Para un objeto que se mueve, se 
pueden distinguir al menos tres tipos de movimientos diferentes: traslación a 
lo largo de alguna dirección variable pero definida, rotación del cuerpo alre-
dedor de algún eje y vibración. Generalmente el movimiento de traslación en 
el espacio está acompañado de rotación y de vibración del cuerpo, lo que hace 
que su descripción sea muy compleja. Por esto, se considera un estudio con 
simplificaciones y aproximaciones, en el cual se propone un modelo simple 
para estudiar cada movimiento en forma separada,. La primera aproximación 
es considerar al cuerpo como una partícula, la segunda es considerar sólo el 
movimiento de traslación, una tercera aproximación es considerar el movi-
miento en una sola dirección. 
 
 
2.1 DEFINICIONES. 
Antes de hacer la descripción del movimiento, es necesario definir algunos 
conceptos y variables físicas que se usarán en este curso. 
 
Cinemática: describe el movimiento de los cuerpos en el universo, sin consi-
derar las causas que lo producen. 
 
Movimiento: es el cambio continuo de la posición de un objeto en el transcur-
so del tiempo. 
 
Partícula: el concepto intuitivo que tenemos de partícula corresponde al de un 
objeto muy pequeño que puede tener forma, color, masa, etc., como por ejem-
plo un grano de arena. El concepto físico abstracto es una idealización de un 
objeto considerado como un punto matemático sin dimensiones, que tendrá 
sólo posición, masa y movimiento de traslación. Esto significa que cualquier 
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objeto puede ser considerado como partícula, independiente de su tamaño, 
considerando su masa concentrada en un punto que lo representa. Ejemplos de 
objetos que se pueden considerar como una partícula son un átomo, una hor-
miga, un avión, la Tierra, etc., en este último caso se justifica si se estudia su 
movimiento de traslación en torno al Sol. 
 
Posición: es la ubicación de un objeto (partícula) en el espacio, relativa a un 
sistema de referencia. Es un vector y se denota por: 
 
 
kzjyixr ˆˆˆ ++=r (2.1) 
 
 
donde x, y y z son los valores de la posición en cada dirección, e kji ˆy ˆ ,ˆ son 
los vectores unitarios en la dirección de cada eje x, y y z, respectivamente. En 
una dimensión es simplemente ixr ˆ=r . Es una de las variables básicas del 
movimiento, junto con el tiempo, en el SI se mide en metros. La posición se 
puede dibujar en un sistema de referencia en una y dos dimensiones como se 
muestra en la figura 2.1a y 2.1b respectivamente: 
 
 
Figura 2.1a: Posición en una dimensión. Figura 2.1b: Posición en dos dimensiones. 
 
 
Desplazamiento: el desplazamiento se define como el cambio de posición de 
una partícula en el espacio (para indicar cambios o diferencias finitas de cual-
quier variable en física se usa el símbolo delta, ∆). Es independiente de la tra-
yectoria que se siga para cambiar de posición. Para determinarlo se debe co-
nocer la posición inicial ir
r y final fr
r de la partícula en movimiento. E1 des-
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plazamiento es un vector, que puede ser positivo, negativo o cero, en el SI se 
mide en metros; se dibuja en el esquema de la figura 2.2. En una dimensión y 
en dos dimensiones, el desplazamiento es: 
 
 
ixxx if ˆ)( −=∆
r (2.2) 
 
)ˆˆ()ˆˆ( jyixjyixrrr iiffif +−+=−=∆
rrr 
 
 
 
Figura 2.2. Vector desplazamiento en dos dimensiones. 
 
 
Trayectoria: es la curva geométrica que describe una partícula en movimiento 
en el espacio, y se representa por una ecuación de la trayectoria. En una di-
mensión es una recta y = cte, paralela al eje x; en dos dimensiones puede ser 
una parábola y = a + bx2 o una circunferencia x2 + y2 = r2 u otra curva. 
 
Distancia: es la longitud que se ha movido una partícula a lo largo de una tra-
yectoria desde una posición inicial a otra final. Su valor numérico en general 
no coincide con el valor numérico del desplazamiento, excepto en casos muy 
particulares. 
 
Tiempo: ¿Qué es el tiempo? No es fácil definir físicamente el concepto de 
tiempo. Es más simple hablar de intervalo de tiempo, que lo podemos definir 
como la duración de un evento, o si consideramos la posición y sus cambios, 
podemos decir que el tiempo es lo que tarda una partícula en moverse desde 
una posición inicial a otra final. 
 
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2.2 VELOCIDAD Y ACELERACION. 
 
Para describir el movimiento debemos definir otras variables cinemáticas, que 
son la velocidad y la aceleración. 
 
 
2.2.1 Velocidad media. 
Para una partícula que se mueve en dirección del eje x, desde la posición ini-
cial xi que en un instante inicial ti se encuentra en el punto P, hasta la posición 
final xf que en un instante final tf se encuentra en el punto Q, el desplazamien-
to de la partícula en el intervalo de tiempo if ttt −=∆ es .xxx if
rrr
−=∆ Se 
elige el sistema de referencia que se muestra en la figura 2.3. Se define la 
componente x de la velocidad media mxv
r de la partícula como el cambio de 
posición en un intervalo de tiempo por la expresión: 
 
 
if
if
mx tt
xx
t
xv
−
−
=
∆
∆
=
rrr
r
 (2.3) 
 
 
 
Figura 2.3 Sistema de referencia en una dimensión para definir la velocidad media. 
 
 
De su definición se obtiene que la unidad de medida de la velocidad media en 
el SI es el cuociente entre la unidad de medida de longitud y de tiempo, esto es 
m/s, que se lee metros por segundo. La velocidad media es independiente de la 
trayectoria en el movimiento desde P a Q, es un vector y puede ser positiva, 
negativa o cero, según el signo o valor del desplazamiento (ya que ∆t > 0 
siempre). En una dimensión, si la posición x aumenta con el tiempo (xf > xi) ∆x 
> 0, entonces 0vmx >
r
, y la partícula se mueve en dirección positiva del eje x, y 
viceversa si ∆x < 0. 
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Una interpretación geométrica de la velocidad media se puede ilustrar en un 
gráfico x/t llamado gráfico posición - tiempo. La recta PQ es la hipotenusa del 
triángulo de lados ∆x y ∆t, que se muestra en la figura 2.4. La pendiente de la 
recta PQ, que tiene el mismo valor numérico que la mxv
r , está dada por la tan-
gente del ángulo α que forma la pendiente con el eje horizontal, cuyo valor es: 
 
pendiente
t
x
=
∆
∆
=αtan 
 
 
 
Figura 2.4a Figura 2.4b 
 
 
Notar que el gráfico de la figura 2.4 no es un sistema de referencia en dos di-
mensiones, a pesar de tener dos ejes, ya que el eje horizontal no es de posi-
ción, sino de tiempo. 
 
 
2.2.2 Velocidad instantánea. 
Es la velocidad de la partícula en un instante determinado. Si se considera que 
el intervalo de tiempo ∆t se puede hacer cada vez más y más pequeño, de tal 
manera que el instante final tf tiende a coincidir con el instante inicial ti, en-
tonces se dice que el intervalo de tiempo tiende a cero, o sea ∆t → 0. En el 
límite cuando ∆t → 0, rr∆ también tiende a cero, por lo que la partícula se en-
cuentra en una posición instantánea. Por lo tanto se puede definir el vector ve-
locidad instantánea v
r
 de la siguiente forma: 
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dt
rd
t
rlimv
0t
rr
r
=
∆
∆
=
→∆
 (2.4) 
 
 
La velocidad instantánea, que llamaremos simplemente velocidad, puede ser 
positiva (negativa) si la partícula se mueve en dirección positiva (negativa) del 
eje x, o cero, en estecaso se dice que la partícula está en reposo. La velocidad 
tiene la misma interpretación geométrica que la velocidad media y en la figura 
2.4b se ilustra en el gráfico x/t una curva de pendiente positiva, que representa 
una velocidad positiva. 
 
Rapidez. 
Se define como rapidez instantánea v a la magnitud o valor numérico del vec-
tor velocidad, por lo tanto es siempre positiva. 
 
 
2.2.3 Aceleración media. 
Lo normal es que la velocidad de una partícula en movimiento varíe en el 
transcurso del tiempo, entonces se dice que la partícula tiene aceleración. Se 
define la aceleración media am como el cambio de velocidad en un intervalo 
de tiempo, lo que se escribe como: 
 
 
if
if
m tt
vv
t
va
−
−
=
∆
∆
=
rrr
r
 (2.5) 
 
 
La aceleración media es un vector, su unidad de medida en el SI es el resulta-
do de dividir la unidad de medida de velocidad y de tiempo, esto es (m/s)/s, 
que se lee m/s2. 
 
 
2.2.4 Aceleración instantánea. 
Es la aceleración a de la partícula en un instante determinado. De manera aná-
loga a la definición de la velocidad, se escribe: 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
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dt
vd
t
vlima
0t
rr
r
=
∆
∆
=
→∆
 (2.6) 
 
 
Como vector, si la aceleración es positiva (negativa) apunta en dirección posi-
tiva (negativa) del eje x, independientemente de la dirección del movimiento 
de la partícula. Puede existir una aceleración positiva o negativa y la partícula 
puede estar aumentando su velocidad, y viceversa. En el esquema de la figura 
2.5 se muestra para algunos casos el sentido de la aceleración para diferentes 
valores y signos de la velocidad. 
 
 
 
Figura 2.5 Esquema de diferentes sentidos de la aceleración. 
 
 
Si la aceleración es constante, entonces la rapidez promedio se puede calcular 
como el promedio aritmético entre los distintos valores de rapidez de la forma: 
 
 
( )fim vvv += 2
1 
 
 
Una interpretación geométrica de la aceleración se obtiene del gráfico rapidez 
versus tiempo o gráfico v/t, donde la pendiente de la curva representa el valor 
numérico de la aceleración, como se ve en la figura 2.6. Si la rapidez, esto es 
la pendiente de la curva, es positiva (negativa), la aceleración es positiva (ne-
gativa). En el gráfico se observa una curva con pendiente positiva que dismi-
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nuye su valor hasta cero, que representa un movimiento con aceleración posi-
tiva, pero disminuyendo su valor, luego la pendiente se hace negativa, aumen-
tando negativamente su valor y lo mismo ocurre con la aceleración. 
 
apendiente
t
v
==
∆
∆
=αtan 
 
 
 
Figura 2.6 Gráfico rapidez versus tiempo. 
 
 
La aceleración también se puede escribir como: 
 
2
2
dt
xd
dt
xd
dt
d
dt
vda
rrr
r
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛== 
 
que corresponde a la segunda derivada de la posición respecto al tiempo. 
 
La aceleración también puede variar en el tiempo, pero esa variación no tiene 
significado físico de importancia, por lo que no se le da un nombre en particu-
lar. Aunque da/dt podría representar o llamarse algo así como “sacudón” o 
“empujón”. También puede existir un d(empujón)/dt y así hasta el infinito. 
 
 
Ejemplo 2.1: Una partícula se mueve en dirección x > 0 durante 10 s con ra-
pidez constante de 18 km/h, luego acelera hasta 25 m/s durante 5 s. Calcular: 
a) su desplazamiento en los primeros 10 s, b) la aceleración media en cada 
intervalo de tiempo, c) la rapidez media del movimiento. 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
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Solución: Datos ∆t1 = 10 s, vi = 18 km/h = 5 m/s, ∆t2 = 5 s, vf = 25 m/s 
 
a) ms
s
mtvx
t
xv 50105 =×=∆=∆⇒
∆
∆
= 
 
b) para ∆t1: vi = cte => a = 0 
 
para ∆t2: 245
/)525(
s
m
s
sm
t
va =−=
∆
∆
= 
 
c) 
s
msmvvv fim 152
/)255(
2
=
+
=
+
= 
 
 
2.3 DESCRIPCIÓN CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO EN UNA DI-
MENSIÓN CON ACELERACIÓN CONSTANTE. 
 
E1 movimiento de una partícula se describe por completo si se conoce su po-
sición en cualquier instante. Para encontrar leyes que expliquen los diferentes 
cambios de los cuerpos en el tiempo, se deben registrar los cambios y descri-
birlos. Algunos cambios son difíciles de describir, como por ejemplo los mo-
vimientos de una nube, formada por billones de gotitas de agua que se mueven 
al azar y pueden evaporarse o unirse para formar gotas más grandes, o bien los 
cambios de opinión de una mujer. 
 
Describir el movimiento significa poder responder a la pregunta ¿en que posi-
ción se encuentra el cuerpo en movimiento en cualquier instante de tiempo? Si 
la aceleración ar varía en el tiempo el movimiento puede ser muy complejo y 
difícil de analizar. Un caso simple de movimiento es aquel que se realiza en 
una dirección con aceleración constante. Si la aceleración es constante, enton-
ces la maa
rr = , lo que significa que la velocidad cambia de manera uniforme en 
todo el movimiento. 
 
Consideremos primero el caso de una partícula que se mueve en dirección del 
eje x con la magnitud de la aceleración a constante. Si v0 es el valor de la ve-
locidad o rapidez en el instante inicial t0, y v su valor en el instante t, de la de-
finición de a se tiene: 
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⇒−=−
==⇒=⇒= ∫ ∫∫
)( 00
00
ttavv
dtaadtdvadtdv
dt
dva
t
t
t
t
v
v o
 
 
)()( 00 ttavtv −+=
rrr
 (2.7) 
 
 
La ecuación 2.7 permite determinar la velocidad v = v(t) de una partícula que 
se mueve en una dirección con aceleración ar constante, para cualquier instan-
te t > t0. Como v0, a y t0 son valores conocidos, se observa que v es una fun-
ción lineal del tiempo t, por lo tanto el gráfico rapidez versus tiempo o gráfico 
v/t es de la forma que se muestra en la figura 2.7a. Para a < 0, y para el caso 
de una partícula que está disminuyendo su rapidez, los gráficos v/t y a/t se 
muestran en la figura 2.7b. 
 
 
 
Figura 2.7a. Gráficos v/t y a/t, para a > 0. 
 
 
 
Figura 2.7b. Gráficos v/t y a/t, para a < 0. 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
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El valor de la pendiente de la tangente a la curva v(t) en el gráfico v/t es igual 
al valor numérico de la aceleración. Para el movimiento con aceleración cons-
tante v(t) es la ecuación de una recta. 
 
Conocida v = v(t) se puede usar la definición de la velocidad para obtener la 
posición de la partícula en cualquier instante. 
 
∫ ∫=⇒=⇒= vdtdxvdtdxdt
dxv 
 
Si inicialmente, para t = to, la partícula se encuentra en la posición xo y en 
cualquier instante t se encuentra en la posición x, la velocidad en función del 
tiempo es )tt(av)t(v 00 −+= , reemplazando en la integral, con los límites 
de integración correspondientes queda: 
 
 
[ ] 2000
x
x
t
t 00
)tt(a
2
1)tt(vdt)tt(avdx
0 0
−+−=−+=∫ ∫ 
 
 
Escrita en forma vectorial, se obtiene: 
 
 
2
0000 )tt(a2
1)tt(vxx −+−=− rrrr 
 
 
Como xo, vo y a son los valores conocidos para t = to, se deduce que x es sólo 
función del tiempo, así la ecuación que describe la posición de una partícula 
en movimiento en función del tiempo x = x(t) es: 
 
 
2
0000 )tt(a2
1)tt(vxx −+−+= rrrr (2.8) 
 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
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La ecuación 2.8 es la expresión que permite determinar el valor de la posición 
de la partícula en cualquier instante, conocido los valores iniciales. El gráfico 
posición/tiempo es una parábola, ya que la ecuación x = x(t) es cuadrática en t. 
La pendiente de la tangente a la curva en cualquier instante t representa el va-
lor numérico de la velocidad de la partícula (figura 2.8). Esta ecuación x(t) 
también se conoce como “ecuación de itinerario”. 
 
 
 
Figura 2.8 Gráfico x/t 
 
 
Las ecuaciones x = x(t), v = v(t) y a = cte., forman el conjunto de ecuaciones 
cinemáticas, que permiten describir el movimiento simple de una partícula que 
se mueve con aceleración constante en una dirección, y como con esas ecua-
ciones se pueden determinar los valores de esas variables para la partícula en 
cualquier instante, el movimiento queda completamente descrito. Para el caso 
particular de un movimiento con rapidez constante, la aceleración de la partí-
cula es cero,y las ecuaciones del movimiento 2.7 y 2.8 se reducen a: 
 
 
)tt(vxx 000 −+=
rrr
 
 
.ctevv 0 ==
rr
 
 
 
Ejemplo 2.2: Demostrar que si la aceleración de una partícula en movimiento 
es constante, se tiene que xavv o ∆+= 2
22 . 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
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Solución: 
De )tt(av)t(v oo −+= , se despeja a
vvtt 00
−
=− , 
reemplazando en 20000 )tt(a2
1)tt(vxx −+−+= , 
2
00
00 a
vva
2
1
a
)vv(vxx ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
−
=− 
 
a2
)vvv2v(
a
v
a
vvxx
2
00
22
00
0
+−
+−=− , dividiendo por 2a 
 
2
0
22
00
22
000 vvvvv2vv2vv2)xx(a2 −=+−+−=− 
 
xa2vv 20
2 ∆+=⇒ 
 
Esta es una expresión escalar independiente del tiempo, no es una ecuación 
general, por lo que no se puede usar en cualquier problema, es de utilidad res-
tringida ya que sólo permite obtener la magnitud de las variables que contiene. 
 
 
Ejemplo 2.3. un móvil parte desde el reposo en el instante t = 5 s y acelera 
hacia la derecha a razón de 2 m/s2 hasta t = 10 s. A continuación mantiene su 
velocidad constante durante 10 s. Finalmente frena hasta detenerse, lo que 
logra hacer 3 segundos más tarde. a) Determinar a qué distancia del punto de 
partida se encuentra en t = 10 s. b) ¿Con qué velocidad se mueve en ese ins-
tante? c) ¿A qué distancia de la partida se encuentra cuando empieza a fre-
nar? d) ¿Dónde se detiene respecto al punto de partida? e) Escriba las ecua-
ciones correspondientes a: a(t), v(t), x(t) para cada etapa del movimiento. 
 
Solución: Se puede elegir el SR como el cliente guste; una posibilidad se ilus-
tra en la figura 2.9, donde inicialmente se ubica a la partícula en el origen O y 
se empieza a medir el tiempo desde el instante inicial 5 s. 
 
a) Se pide evaluar x(t) para t = 10 s, con las condiciones xo = 0, vo = 0, ao = 
2m/s2, to = 5s, t1 = 10s, en el tramo A 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
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 200000 )tt(a2
1)tt(vx)t(x −+−+= 
 
 m25s)510(
s
m2
2
100)10(x 222 =−⋅++= 
 
 
Figura 2.9 
 
 
b) Ahora hay que calcular v(t) en t = 10 s, usando la ecuación: 
 
)tt(av)t(v 000 −+= 
 
 m/s 10s)510(
s
m20)10(v 2 =−+= 
 
c) Piden evaluar x(t) para t = 20 s, usando esquema y datos del tramo B: 
 
2
1111010 )tt(a2
1)tt(vx)t(x −+−+= 
 
m1250s)1020(
s
m10m25)20(x =+−+= 
 
d) Aquí se pide calcular x(t) para t = 23 s, se conoce vf = 0, t3 =23 s, pero no 
se conoce a2, por lo que se debe calcular. 
 
 2232020 )20t(a2
1)20t(vx)t(x −+−+= 
 
cálculo de a2: 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
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 )tt(avv 222 −+= en el tramo C 
 
20t
va)20t(av0
3
2
2322 −
−=⇒−+= 
 
Pero v2 = cte en el tramo B v2 = 10 m/s 
 
2s
m
3
10
s)2023(
s/m10a −=
−
−= 
 
m140)23(x
m140)2023(
3
10
2
1)2023(10125)t(x 2
=⇒
=−⋅−−+=
 
 
e) Ecuaciones de movimiento: 
Para el tramo A: 20o000 )tt(a2
1)tt(vx)t(x −+−+= 
 
Con xo = 0, vo = 0, ao = 2m/s2, to = 5s 
 
 22o )5t()t(x)5t(a2
1)t(x −=⇒−= 
 
 )5t(2)t(v)tt(av)t(v 000 −=⇒−+= 
 
Las ecuaciones para los tramos B y C las puede deducir el alumnos de los re-
sultados obtenidos en c) y d), donde basta reemplazar los valores en las fun-
ciones de posición y rapidez en función de t. 
 
 
Ejemplo 2.4. Un auto ingresa en Concepción al puente nuevo a San Pedro 
con una rapidez de 54 km/h, la que mantiene constante mientras recorre el 
puente. En el mismo instante en San Pedro otro auto ingresa lentamente al 
puente con una rapidez inicial de 10.8 km/h hacia Concepción, acelerando a 1 
m/s2. Si la longitud del puente es de 1838 m. Calcular a) la posición donde se 
cruzan, b) la rapidez del auto de San Pedro en el instante en que se cruzan, 
¿qué comentario puede hacer de este resultado? 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
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Solución: Datos: toA = toB = 0, xoA = 0, xoB = 1838m 
 
s
m 15
1
1000
3600
154 =××=
km
m
s
h
h
kmvoA , aA = 0 
 
m/s 3km/h 8.10 ==oBv , aB = 1m/s
2 
 
El esquema de la figura 2.10, muestra el sistema de referencia elegido: 
 
 
Figura 2.10. 
 
 
a) El movimiento es en una dimensión con a =cte, las ecuaciones para cada 
móvil (A en Concepción, B en San Pedro) son: 
 
( ) ( ) t15xtvxtta
2
1ttvxx AA0A
2
0A0A0A0A =⇒=⇒−+−+= 
 
( ) m/s 15vvvttavv AA0A0AA0A =⇒=⇒−+= 
 
( ) ( ) 2B20B0B0B0B t2
1t31838xtta
2
1ttvxx −−=⇒−+−+= 
 
( ) t3vttavv B0BB0B −−=⇒−+= 
 
Cuando se cruzan: xA = xB, entonces 
 
01838t18t5.0t5,0t31838t15 22 =−+⇒−−= 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 55
ststt 6.40 ,2.45
1
)1838)(5.0(41818
21
2
−==⇒
+±−
= 
 
( ) m678)2.45(152.45x ==∴ 
 
 
b) ( ) km/h 5.173m/s2.482.4532.45 =−=−−=Bv 
 
El automóvil de San Pedro no puede acelerar durante todo ese tiempo, porque 
alcanzaría una rapidez muy alta, superando en mucho la máxima permitida y 
posible de alcanzar. 
 
 
2.4 CALCULO GRÁFICO DE ∆x Y ∆v. 
 
El proceso de integración es gráficamente equivalente a encontrar el área bajo 
la curva y = f(x). Se puede usar esta propiedad de las integrales para calcular 
gráficamente el valor del desplazamiento ∆x y el cambio de rapidez ∆v de una 
partícula en movimiento. 
 
De la definición de velocidad se tiene: 
 
∫
∫∫
=∆
⇒=⇒=⇒=
t
t
t
t
x
x
dttvx
dttvdxvdtdx
dt
dxv
o
0
0
)(
)(
 
 
donde v(t) es la velocidad en cualquier instante. Si se conoce la forma analítica 
de v(t) se puede calcular la integral, pero si no se conoce, se puede evaluar 
gráficamente y por definición de integral, la expresión anterior se interpreta 
como (ver figura 2.11a): 
 
desplazamiento = área bajo la curva v/t 
 
Considerando primero el caso en que la partícula se mueve con rapidez cons-
tante vo (significa que su aceleración es cero), entonces del gráfico v/t, que se 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
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muestra en la figura 2.11a, el desplazamiento es el área del rectángulo de la-
dos vo y ∆t, esto es: 
 
 
desplazamiento = área rectángulo 
 
tvx o∆=∆ , con vo = cte. 
 
 
 
Figura 2.11 a) izquierda, b) derecha. 
 
 
Considerando ahora el caso en que la partícula se mueve con rapidez v(t) fun-
ción lineal del tiempo (en este caso la aceleración es constante), o sea v(t) = vo 
+ a(t - to), el desplazamiento ∆x de la partícula durante el intervalo de tiempo 
desde to a t es igual al área bajo la recta v(t) de la figura 2.11b: 
 
desplazamiento = área rectángulo + área triángulo 
 
2
o
o
)t(a
2
1t
tv
2
1t
vx
vx
∆+∆=
⇒∆∆+∆
∆
=∆
 
 
 
De manera similar se obtiene el calculo gráfico para el cambio de rapidez. 
Considerar una partícula que se mueve con rapidez vo en el instante inicial to y 
con rapidez v en el instante t, que aumenta su aceleración linealmente con el 
tiempo, o sea a(t) = ao + k(t - to), donde ao es el valor inicial de la aceleración 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 57
y k representa el valor de la pendiente de la recta en el gráfico aceleración ver-
sus tiempo, que debe tener unidad de medida de m/s3. En este caso estamos 
extendiendo la descripción del movimiento al caso de una partícula con acele-
ración variable, dejando de lado la restricción impuesta al principio de este 
capítulo. El cambio de rapidez ∆v de la partícula durante el intervalo de tiem-
po desde to a t es igual al área bajo la recta a(t) de la figura 2.12: 
 
cambio de rapidez = área rectángulo + área triángulo 
 
ta
2
1toav ∆∆+∆=∆ 
 
Como se propuso, a es una función lineal de t de la forma a(t) = ao +k(t - to), 
entonces a(t) - ao = k(t - to), o bien ∆a = k∆t, reemplazando se tiene: 
 
2
o )t(k2
1tav ∆+∆=∆ 
 
Observar que en este caso se tiene un método para describir un movimiento 
con aceleración variable (en este caso linealmente) en el tiempo. 
 
 
 
Figura 2.12 
 
 
Ejemplo 2.5: En la figura 2.13 se muestra el gráfico rapidez/tiempo para una 
partícula que se mueve en dirección positiva del eje x. a) calcular el despla-
zamiento de la partícula, b) hacer el gráfico aceleración/tiempo, c) determi-
nar las ecuaciones de movimiento en cada intervalo de tiempo, d) calcular su 
posición en los instantes 5, 10 y 20 segundos. 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 58
 
 
Figura 2.13 Ejemplo 5. 
 
 
Solución. a) El desplazamientoes igual al área (A) bajo la curva v/t, que es 
conveniente calcular por intervalos de tiempo, entonces: 
st 50 <≤ : ( ) ms
s
mxA 50520
2
1
11 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=∆= 
st 105 <≤ : ( ) ms
s
mxA 10052022 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=∆= 
st 2010 ≤≤ : ( ) ( ) mssxA 15010
s
m1010
s
m10
2
1
33 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=∆= 
 
m30015010050xxxx 321T =++=∆+∆+∆=∆ 
 
b) Los valores de la aceleración que se pueden calcular de la pendiente del 
gráfico v/t en cada intervalo de tiempo, se indican en el gráfico a/t de la figura 
2.14. 
 
 
Figura 2.14. Ejemplo 5, parte b). 
 
 
c) Determinación de las ecuaciones de movimiento, suponiendo que xo = 0 
para to = 0. 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 59
st 50 <≤ : 22o t2)t(xat2
1tv)t(x =⇒+= 
 
st 105 <≤ : 
( ) ( )
( )5t2050)t(x
5ta
2
15tv)5(x)t(x 2o
−+=
⇒−+−+=
 
 
st 2010 ≤≤ : 
( ) ( )
( ) ( )2
2
o
10t
2
110t20150)t(x
10ta
2
110tv)10(x)t(x
−−−+=
⇒−+−+=
 
 
d) La posición en los instantes pedidos (y en cualquier otro tiempo) se puede 
calcular con las ecuaciones de movimiento anteriores 
 
 para t = 5s: x(t) = 2t2 ⇒ x(5) = 2(5)2 = 50 m 
 
 para t = 10s: x(t) = 50+20(t-5) ⇒ x(10)=50+20(10-5) = 150 m 
 
 para t = 20s: x(t) = 150+20(t-10)- ½(t-10)2 ⇒ x(20) = 300 m 
 
Ejercicio: calcular la posición en los instantes 2.5, 8 y 15 segundos. 
 
 
2.5 CUERPOS EN CAÍDA LIBRE. 
 
Un caso particular de movimiento en una dimensión, es aquel de los objetos 
que se mueven libremente en dirección vertical cerca de la superficie de la 
Tierra, que se conoce como movimiento de caída libre. Galileo (1564 – 1642), 
físico y astrónomo italiano, fue el primero en estudiar el movimiento de caída 
libre, al observar que dos cuerpos diferentes, al dejarlos caer desde la torre 
inclinada de Pisa, llegaban al suelo casi al mismo tiempo. 
 
Experimentalmente se demuestra que todos los cuerpos que se dejan caer cer-
ca de la superficie de la Tierra, lo hacen con una aceleración aproximadamente 
constante. Esta aceleración, que se llama aceleración de gravedad, es produci-
da por una fuerza que existe entre cuerpos con masa, llamada fuerza de atrac-
ción gravitacional, cuyo origen será explicado en el Capítulo 9. 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 60
 
La aceleración de gravedad, que se denota por gr es un vector que apunta 
hacia el centro de la Tierra, su magnitud aumenta levemente al aumentar la 
latitud, es decir desde el ecuador hacia los polos, y disminuye al aumentar la 
altura sobre la superficie terrestre. Su valor medio en la superficie de la Tierra 
es aproximadamente de 9.8 m/s2. 
 
Se dice que un objeto está en caída libre cuando se mueve bajo la influencia 
sólo de la aceleración de gravedad, despreciando la resistencia (es otra fuerza 
que se resiste al movimiento y que también será estudiada más adelante) que 
el aire opone a los cuerpos en movimiento, sin importar la velocidad inicial 
del objeto. Todos los cuerpos que se lanzan hacia arriba o hacia abajo, o se 
dejan caer, lo hacen libremente una vez que se dejan en libertad. La acele-
ración que adquieren es siempre la aceleración de gravedad, vertical hacia 
abajo, cualquiera sea la dirección inicial del movimiento. 
 
Como el movimiento de caída libre es en una dimensión, con aceleración 
constante, se puede adoptar como dirección del movimiento al eje vertical y. 
Por lo tanto se pueden aplicar las ecuaciones para el movimiento en una di-
mensión, tomando al eje y en la dirección del movimiento de caída, por con-
vención positivo hacia arriba. Con esta convención, un movimiento de caída 
libre de ascenso o de descenso tiene una aceleración g negativa. También se 
debe tener en cuenta que si el cuerpo asciende (desciende) su velocidad será 
positiva (negativa) en este sistema de referencia. De está forma las ecuaciones 
de movimiento 2.7 y 2.8 se transforman en las ecuaciones para caída libre: 
 
 
( )2
2
1
ooyo ttgvyy −−+=
rrrr
 (2.9) 
 
( )ooyy ttgvv −−= rrr (2.10) 
 
 
Los gráficos posición/tiempo, velocidad/tiempo y aceleración/tiempo para una 
partícula que se lanza verticalmente hacia arriba, desde una posición inicial yo, 
que no tiene porque ser el suelo, son los que se muestran en la figura 2.15 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 61
 
 
Figura 2.15. Gráficos y/t, vy/t y a/t, para a = -g 
 
 
Ejemplo 2.6: Tito lanza una piedra hacia arriba desde la terraza de un edifi-
cio de 50 m de alto, con una rapidez inicial de 20 m/s. Cuando está cayendo 
la piedra pasa justo por el costado del edificio. Calcular a) el tiempo para 
que la piedra alcance su altura máxima, b) la altura máxima, c) el tiempo que 
tarda en pasar por el punto inicial, d) la velocidad de la piedra en ese instan-
te, e) el tiempo que tarda en llegar al suelo, f) la velocidad en ese instante. 
 
Solución: Considerando un sistema de referencia que se muestra en la figura 
2.16, con el eje y positivo vertical hacia arriba y el origen yo = 0 donde co-
mienza el movimiento de la piedra, con to = 0 y vo = 20 m/s. 
 
a) Cuando la piedra alcanza la máxima altura v = 0: 
 
s2
10m/s
m/s200)( 2 ==⇒=⇒=−= tgtvgtvtv oo 
 
 
b) Se pide evaluar y(t) para t = 2 s 
 
2)(
2
1)( oooyo ttgttvyy −−−+=
rrrr ⇒ 2
2
1 gttvy o −= 
 
( ) ( )( ) mssyy 202m/s10
2
1)2(m/s20)2( 22max =−== 
 
Figura 2.16 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 62
c) Cuando pasa por el punto inicial y = 0 ⇒ 
 
s
g
v
tgtvt
tgtvgttvy
o
o
oo
4
10
)20)(2(20
2
1y 0
0
2
10
2
1
1
2
===⇒=−=
⇒=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −⇒=−=
 
 
d) Hay que evaluar v para t = 4s 
 
s
m20)4)(10(20)4()( −=−=⇒−= vgtvtv o 
 
e) En esta posición y = -50 m ⇒ 
 
ststtt
ttgttvy o
7.1y 7.50104
52050
2
1
21
2
22
−==⇒=−−
−=−⇒−=
 
 
Se descarta el tiempo negativo, porque físicamente no es posible. 
 
f) 
s
m37)7.5)(10(20)7.5()( −=−=⇒−= vgtvtv o 
 
 
2.5.1 Efectos de g en las personas. 
La capacidad de una persona para soportar una aceleración depende tanto de la 
magnitud como de la duración de ésta. Debido a la inercia de la sangre y de 
los órganos dilatables, las aceleraciones pequeñas tienen poca importancia si 
duran sólo fracciones de segundo. El límite de tolerancia se encuentra cercano 
a 10g y depende de la resistencia estructural de los cuerpos. La mayoría de las 
personas han experimentado aceleraciones verticales moderadas en los 
ascensores. La sangre circula por vasos dilatables de manera que cuando el 
cuerpo es acelerado hacia arriba, la sangre se acumula en la parte inferior de 
éste. Cuando la aceleración es hacia abajo, aumenta el volumen de sangre en 
la parte superior del cuerpo, a su vez los órganos internos no se mantienen rí-
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 63
te superior del cuerpo, a su vez los órganos internos no se mantienen rígidos 
en su sitio y su desplazamiento durante la aceleración puede producir sensa-
ciones desagradables. 
 
Cuando un avión despega, aterriza o realiza giros muy rápidos, está sometido 
a aceleraciones de hasta 9g. El grado de tolerancia de un humano a esta acele-
ración dependerá entre otros factores del peso, edad y condición física de la 
persona. A modo de ejemplo, un piloto que en tierra pesa 80 kilos, cuando es 
sometido a este valor de aceleración siente repentinamente que su peso es al-
rededor de 720 kilos. Esta misma aceleración hace que la sangre fluya hacia 
los pies del piloto, esto disminuye el retorno venoso al corazón con lo cual la 
presión baja y el piloto puede perder la visión temporalmente, para luego per-
der la conciencia. También existen aceleraciones negativas durante el vuelo en 
la cual el piloto experimenta la aceleración en posición invertida. En ese caso 
la aceleración hace que la sangre fluya al cerebro, el piloto sufre de palidez y 
su visión se torna roja. 
 
Estudios han determinado que los humanos pueden soportar hasta 9g de acele-
raciones positivas y 3g para aceleraciones negativas. Un piloto que viaja en 
aviones modernos que incluso alcanzan velocidades cercanas a la del sonido, 
podría detenerse sin peligro en una distancia aproximada de200 m, pero si 
esta velocidad fuese unas 100 veces mayor (valores que pueden ser alcanzados 
en viajes interplanetarios), la distancia de frenado que necesitaría para no pro-
ducir efectos nocivos en sus tripulantes debe ser de aproximadamente 
16000km. La razón de esta diferencia está en que la cantidad total de energía 
que se disipa durante la desaceleración es proporcional al cuadrado de la velo-
cidad, lo que es suficiente para aumentar la distancia unas 10000 veces. Por 
esta razón se han creado procedimientos y aparatos especiales para proteger a 
los pilotos del colapso circulatorio que aparece durante aceleraciones positi-
vas. Primero, si el piloto aprieta sus músculos abdominales en grado extremo 
y se inclina hacia adelante para comprimir el abdomen, puede evitar la 
acumulación de sangre en los grandes vasos abdominales, evitando así la 
perdida de conciencia. Además se han diseñado trajes “anti-g” para prevenir el 
estancamiento de sangre en la parte más baja del abdomen y las piernas. Este 
tipo de traje aplica una presión positiva en piernas y abdomen, inflando 
compartimientos de aire a medida que aumenta la aceleración positiva. 
Además el cuerpo humano presenta de 1 a 2 cm de tejido blando externo, lo 
que aumenta la distancia de desaceleración y por lo tanto disminuye la fuerza 
de impacto, por ejemplo, durante una caída. 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 64
PROBLEMAS. 
 
2.1 Cuando Carlos viaja en una autopista, pasa por la marca de 260 km. 
Después sigue moviéndose hasta la marca de 150 km. y luego se de-
vuelve hasta la marca 175 km. ¿Cuál es su desplazamiento resultante 
respecto a la marca de 260 km.? R: –85 km. 
 
2.2 Un gato negro se encuentra en una posición final de 3.6 m en dirección 
240º respecto a x, después de realizar un desplazamiento de 120 cm en 
135º respecto de x. Determine su posición inicial. R: 4.1m, 256.5º. 
 
2.3 La luz del Sol llega a la Tierra en 8.3 min. La rapidez de la luz es de 3 x 
108m/s. Calcular la distancia de la Tierra al Sol. R: 1.5 x 1011 m. 
 
2.4 Usted y un amigo conducen recorriendo 50 km. Usted viaja a 90 km/h y 
su amigo a 95 km/h. ¿Cuánto tiempo tiene que esperarlo su amigo al fi-
nal del viaje? R: 1.8 min. 
 
2.5 Ana conduce calle abajo a 55 km/h. Repentinamente un niño atraviesa la 
calle. Si Ana demora 0.75 s en reaccionar y aplicar los frenos, ¿cuántos 
metros alcanza a moverse antes de comenzar a frenar? R: 11 m. 
 
2.6 Las condiciones de movimiento de una partícula que se mueve en direc-
ción x son 2m/s ̂4 ,m/s ˆ3 , ˆ7 iaivmix oo −=−==
rrr , en el instante inicial 
t0 = 0. a) Escribir las ecuaciones vectoriales de la posición y velocidad 
del cuerpo en cualquier instante. b) Calcular la posición del cuerpo res-
pecto al origen a los 10 s de iniciado el movimiento. c) Averiguar si el 
cuerpo se detiene en algún instante. R: b) –223i m, c) no. 
 
2.7 Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación 
x(t)=(3t2-2t+3)m. Calcular a) la rapidez promedio entre t = 2s y t = 3s, 
y b) la velocidad instantánea en t = 2s y t = 3s, c) la aceleración prome-
dio entre t = 2s y t = 3s y d) la aceleración instantánea en t = 2s y t = 
3s. 
 
2.8 Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación 
x(t)=2+3t-t2, donde x está en metros y t en segundos. Para t=3s, calcular 
a) la posición de la partícula , b) su velocidad c) su aceleración. R: a) 
2m, b) –3m/s, c) –2m/s2. 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 65
 
2.9 Las ecuaciones de movimiento para dos partículas A y B que se mueven 
en la misma dirección son las siguientes (x en m y t en s). 
 
2
2
1.45.829)(
2062.3)(
tttx
tttx
B
A
−+=
−−=
 
 
Calcular: a) el instante para el cual las posiciones de A y B coinciden, b) 
las velocidades de A y B en el instante en que se encuentran en la misma 
posición.R: a) 3.8s, b) 18.3 m/s, -22.7 m/s. 
 
2.10 Un electrón en un tubo de rayos catódicos acelera de 2x104m/s hasta 
6x106m/s en 1.5cm. a) ¿Cuánto tiempo tarda el electrón en recorrer esta 
distancia? b) ¿Cuál es su aceleración? 
 
2.11 Un electrón tiene una velocidad inicial de 3x105m/s. Si experimenta una 
aceleración de 8x1014 m/s2, a) ¿Cuánto tardara en alcanzar una velocidad 
de 5.4x105 m/s, y b) qué distancia recorre en ese tiempo? 
 
2.12 Determine la velocidad final de un protón que tiene una velocidad ini-
cial de 2.35 x 105 m/s, y es acelerado uniformemente en un campo eléc-
trico a razón de –1.10x1012 m/s2 durante 1.5x10-7s. R: 7.0 x 104 m/s. 
 
2.13 Un jet supersónico que vuela a 145 m/s acelera uniformemente a razón 
de 23.1 m/s2 durante 20s. a) ¿Cuál es su velocidad final? b) La rapidez 
del sonido en el aire es 331 m/s. ¿Cuántas veces mayor es la velocidad 
final del avión comparada con la del sonido? R: a) 607 m/s, b) 1.83 ve-
ces la rapidez del sonido. 
 
2.14 Dos autos A y B se mueven en línea recta en dirección positiva del eje 
x. En el instante inicial A está en reposo y acelera con 2m/s2. El movi-
miento de B es con rapidez constante de 20m/s. Calcular: a) la distancia 
que recorren en un minuto, b) el tiempo que demoraría A en igualar la 
rapidez de B, c) la distancia que los separa cuando sus rapideces son 
iguales, d) la aceleración que debería ejercerse sobre B para que pudiera 
detenerse en 4 s. R: a) 3600m, 1200 m, b) 10 s, c) 100 m, d) –5 m/s2. 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 66
2.15 Un auto que se mueve con aceleración constante recorre en 6 s la distan-
cia de 60 m que separa dos puntos; su rapidez al pasar por el segundo 
punto es de 14 m/s. Calcular: a) la aceleración del auto, b) su velocidad 
al pasar por el primer punto, c) la posición donde se encontraba en repo-
so. R: a) 4/3 m/s2, b) 6 m/s, c) –14.4m. 
 
2.16 Dos autos viajan a lo largo de una carretera recta. En el instante t = 0h, 
el auto A tiene una posición xA = 48 km y una rapidez constante de 36 
km/h. Más tarde en t=0.5h, el auto B está en la posición xB=0 km con 
una rapidez de 48 km/h. Responda las siguientes preguntas: primero, 
gráficamente, haciendo una gráfica de posición versus tiempo; segundo, 
algebraicamente, escribiendo las ecuaciones para las posiciones xA y xB 
en función del tiempo t. a) ¿Cuál es la lectura del cronómetro cuando el 
auto B sobrepasa al auto A? b) ¿En qué posición A es alcanzado por B? 
c) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que A estaba en su punto de refe-
rencia hasta que B lo alcanza? R: a) 6 h, b) 260 km, c) 7.3 h. 
 
2.17 Un auto y un tren se mueven al mismo tiempo a lo largo de trayectorias 
paralelas a 25m/s. Debido a una luz roja el auto experimenta una acele-
ración uniforme de –2.5m/s2 y se detiene. Permanece en reposo durante 
45s, después acelera hasta una velocidad de 25m/s a una tasa de 25m/s2. 
¿A qué distancia del tren está el auto cuando alcanza la velocidad de 
25m/s, suponiendo que la velocidad del tren se ha mantenido en 25m/s? 
 
2.18 Una partícula parte desde el reposo de la parte superior de un plano in-
clinado y se desliza hacia abajo con aceleración constante. El plano in-
clinado tiene 2m de largo, y la partícula tarda 3s en alcanzar la parte in-
ferior. Determine a) la aceleración de la partícula, b) su velocidad en la 
parte inferior de la pendiente, c) el tiempo que tarda la partícula en al-
canzar el punto medio del plano inclinado, y d) su velocidad en el punto 
medio. R: a) 0.44m/s2, b) 1.3m/s, c) 2.1s, d) 0.94m/s. 
 
2.19 Dos trenes expresos inician su recorrido con una diferencia de 5 min. A 
partir del reposo cada uno es capaz de alcanzar una velocidad máxima 
de 160km/h después de acelerar uniformemente en una distancia de 2km. 
a) ¿Cuál es la aceleración de cada tren? b) ¿A que distancia está el pri-
mer tren cuando el segundo inicia su trayecto? c) ¿Qué tan separados se 
encuentran cuando ambos viajan a máxima velocidad? 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 67
2.20 Un automóvil que se mueve a una velocidad constante de 30m/s pierde 
velocidad repentinamente en el pie de una colina. El auto experimenta 
unaaceleración constante de –2 m/s2 (opuesta a su movimiento) mien-
tras efectúa el ascenso. a) escriba ecuaciones para la posición y la velo-
cidad como funciones del tiempo considerando x = 0 en la parte inferior 
de la colina, donde vo = 30m/s. b) Determine la distancia máxima reco-
rrida por el auto después de que pierde velocidad. R: a) –30t-t2, -30-2t b) 
225m. 
 
2.21 Paco manejando a 30m/s entra en un túnel de una sola pista. Después 
observa una camioneta que se mueve despacio 155m adelante viajando a 
5m/s. Paco aplica sus frenos pero puede desacelerar sólo a 2m/s2, debido 
a que el camino está húmedo. ¿Chocará? Si es así, calcular a qué distan-
cia dentro del túnel y en qué tiempo ocurre el choque. Si no choca, cal-
cular la distancia de máximo acercamiento entre el auto de Paco y la 
camioneta. R: 11.4s, 212m. 
 
2.22 Una bala indestructible de 2cm de largo se dispara en línea recta a través 
de una tabla que tiene 10cm de espesor. La bala entra en la tabla con una 
velocidad de 420m/s y sale con una velocidad de 280m/s. a) ¿Cuál es la 
aceleración promedio de la bala a través de la tabla? b) ¿Cuál es el tiem-
po total que la bala está en contacto con la tabla? c) ¿Qué espesor de la 
tabla se requeriría para detener la bala? 
 
2.23 Un africano que se encuentra a 20 m de un león hambriento arranca con 
una rapidez constante de 36 km/hr, alejándose en línea recta del león, 
que está inicialmente detenido. El león tarda 2 segundos en reaccionar 
cuando empieza a perseguir al africano con una aceleración de 4 m/s2, 
siempre en línea recta hacia el africano, que huye hacia un árbol que se 
encuentra más adelante en la misma recta. a) Hacer un esquema ilustra-
tivo de la situación. b) ¿Cuál debe ser la máxima distancia a la que debe 
estar el árbol para que el africano pueda subirse justo antes que el león 
lo alcance? c) Calcular la rapidez con la que el león llega al árbol. R: b) 
116m, c) 30.4 m/s. 
 
2.24 Un camión se mueve a 90 km/hr en una carretera recta. Cuando se 
encuentra a 70 m de un árbol atravesado en la carretera, el conductor se 
da cuenta de ello, tardando 0.5 s en reaccionar y presionar los frenos del 
camión que le imprimen una aceleración de –5 m/s2. Determinar si el 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 68
camión choca o no con el árbol cruzado en la carretera. R: si a 25.5 
km/h. 
 
2.25 Dos autos se aproximan uno al otro; ambos se mueven hacia el oeste, 
uno a 78 km/h y el otro a 64 km/h. a) ¿Cuál es la velocidad del primer 
auto relativa al (en el sistema de referencia del) segundo auto? b) ¿Cam-
bian su velocidad relativa después de que el uno sobrepasa al otro? R: a) 
14km/h, oeste, b) no. 
 
2.26 En la figura 2.17 se muestra el gráfico rapidez/tiempo para una partícula 
que se mueve en dirección del eje x. a) Dibujar el gráfico posi-
ción/tiempo, b) calcular el desplazamiento de la partícula, c) hacer el 
gráfico aceleración/tiempo, d) calcular su posición en los instantes 5, 10, 
20, 25, 30 y 40 segundos, e) calcular el cambio de rapidez en los inter-
valos 0 y 5, 5 y 20, 20 y 25, 25 y 40 segundos. 
 
 
Figura 2.17. Problema 2.26. 
 
2.27 Dos autos viajan a lo largo de una línea en la misma dirección, el que va 
adelante a 25m/s y el otro a 30m/s. En el momento en que los autos es-
tán a 40m de distancia, el conductor del auto delantero aplica los frenos 
de manera que el vehículo acelera a –2 m/s2. a) ¿Cuánto tiempo tarda el 
carro para detenerse? b) suponiendo que el carro trasero frena al mismo 
tiempo que el carro delantero, ¿Cuál debe ser la aceleración negativa 
mínima del auto trasero de manera que no choque con el auto delantero? 
c) ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse el auto trasero? R: a) 1.25s, b) –
2.3m/s2 c) 13.1s. 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 69
2.28 Un automovilista conduce por un camino recto a una velocidad constan-
te de 15m/s. Cuando pasa frente a un policía motociclista estacionado, 
éste empieza a acelerar a 2 m/s2 para alcanzarlo. Suponiendo que el po-
licía mantiene esta aceleración, determine a) el tiempo que tarda el poli-
cía en alcanzar al automovilista, encuentre b) la velocidad y c) el des-
plazamiento total del policía cuando alcanza al automovilista. 
 
2.29 Dos objetos se conectan mediante una barra rígida de longitud L. Los 
objetos deslizan a lo largo de rieles perpendiculares, como se muestra en 
la figura 2.18. Si el que está en el eje x se desliza hacia la izquierda con 
rapidez constante vo, calcular la rapidez del otro cuando α = 60°. R: 
0.58vo. 
 
 
Figura 2.18 Problema 2.29. 
 
2.30 Un tren viaja de la siguiente manera: en los primeros 60 minutos se des-
plaza con velocidad v, en los siguientes 30 minutos lleva una velocidad 
de 3v, en los 90 minutos que le siguen viaja con una velocidad v/2; en 
los 120 minutos finales, se mueve con una velocidad de v/3. a) Dibuje la 
gráfica velocidad-tiempo para este recorrido. b) ¿Qué distancia recorre 
el tren en el viaje? c) ¿Cuál es la velocidad promedio del tren en el viaje 
completo? 
 
2.31 Un tren puede minimizar el tiempo t entre dos estaciones acelerando a 
razón de a1= 0.1 m/s2 por un tiempo t1 y después experimenta una acele-
ración negativa a1 = -0.5 m/s2 cuando el maquinista usa los frenos du-
rante un tiempo t2. Puesto que las estaciones están separadas sólo por 
1km, el tren nunca alcanza su velocidad máxima. Encuentre el tiempo 
mínimo de viaje t y el tiempo t1. R: 155s, 129s. 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 70
 
2.32 Cuando un semáforo cambia a verde, un auto arranca con una acelera-
ción constante de 6 m/ss. En el instante en que comienza a acelerar es 
sobrepasado por un camión con una velocidad constante de 21 m/s. a) 
¿Qué distancia recorre el auto antes de alcanzar el camión? b) ¿Qué ve-
locidad tendrá el auto cuando alcance el camión? R: 150 m, b) 42 m/s 
 
2.33 El conductor de un auto que viaja a 90 km/h súbitamente ve las luces de 
una barrera que se encuentra 40 m adelante. Transcurren 0.75 s antes de 
qué él aplique los frenos; la aceleración media durante la frenada es –10 
m/s2. a) Determine si el carro choca contra la barrera. b) ¿Cuál es la ra-
pidez máxima a la cual puede viajar el auto para no chocar contra la ba-
rrera? Suponga aceleración constante. R: a) Si, golpea la barrera, b) 22 
m/s. 
 
2.34 Con el fin de proteger su alimento de osos, un boy scout eleva su paque-
te de comida, de masa m, con una cuerda que lanza sobre la rama de un 
árbol de altura h. El scout camina alejándose de la cuerda vertical con 
velocidad constante vs mientras sostiene en sus manos el extremo libre. 
a) Hacer un esquema de la situación. b) Demuestre que la velocidad vp 
del paquete de comida es s
2/122 v)hx(x −+ , donde x es la distancia que 
el muchacho ha caminado alejándose de la cuerda vertical. c) Demuestre 
que la aceleración ap del paquete de comida es 2s
2/3222 v)hx(h −+ . d) 
¿Qué valores de la aceleración y la velocidad se tienen después que él se 
aleja de la cuerda vertical? e) ¿A qué valores se aproximan la velocidad 
y la aceleración cuando la distancia x continúa aumentando? 
 
2.35 Un objeto se mueve en un medio donde experimenta una aceleración de 
resistencia al movimiento proporcional a su rapidez, esto es a = -kv, 
donde k es una constante positiva igual a 0.5 s-1. a) Calcular la rapidez y 
posición del objeto en cualquier instante. b) Si para t = 0 el objeto se 
encuentra en el origen moviéndose con una rapidez de 10 m/s, calcular 
la posición donde se detiene. R: b) 20 m. 
 
NOTA: En algunos problemas de caída libre, se usa g = 10 m/s2 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 71
2.36 Un astronauta deja caer una pluma a 1.2 m de la superficie de la Luna. 
Si la aceleración de la gravedad en la Luna es 1.62 m/s2, ¿cuánto tiempo 
emplea la pluma en llegar a la superficie? R: 1.2 s. 
 
2.37 Una piedra cae libremente desde el reposo durante 8 s. a) Calcule la ve-
locidad de la piedra a los 8 s. b) ¿Cuál es el desplazamiento de la piedra 
durante ese tiempo? R: a) –78 m/s, haciaabajo, b) –310 m. 
 
2.38 Un estudiante deja caer una roca al agua desde un puente de 12 m de 
altura. ¿Cuál es la rapidez de la roca cuando llega al agua? R: 15.5 m/s. 
 
2.39 Un globo meteorológico flota a una altura constante sobre la Tierra 
cuando deja caer un paquete. a) Si el paquete choca contra el piso a una 
velocidad de –73.5 m/s, ¿Qué distancia recorrió el paquete? b) Durante 
cuanto tiempo cayó el paquete? R: a) –276 m, b) 7.5 s. 
 
2.40 Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 
10 m/s desde una altura de 10 m respecto al suelo. Determine a) su posi-
ción en el punto más alto, b) su velocidad cuando pasa por el punto ini-
cial, c) su velocidad y aceleración justo antes de golpear el suelo. R: a) 
15m 
 
2.41 Un globo inflado con aire caliente se eleva verticalmente con una rapi-
dez constante de 5 m/s. Cuando está a 50 m sobre el suelo, se deja caer 
un paquete desde el globo. a) Calcular el tiempo que tarda el globo en 
llegar a los 50 m. b) ¿Cuánto tiempo demora el paquete en llegar al sue-
lo después que se ha soltado? c) ¿Cuál es la velocidad del paquete justo 
antes de llegar al suelo? d) Repetir b) y c) para el caso en que el globo 
desciende a 5 m/s desde una altura de 50 m. R: a) 10s, b) 3.7s, c) –32 
m/s. 
 
2.42 Un globo sonda meteorológico se lanza desde la superficie de la tierra 
con una velocidad inicial vertical hacia arriba de magnitud 18 km/h, la 
que mantiene constante durante 15 min. A partir de ese instante se co-
mienza a comportar como partícula libre. Calcular: a) la altura máxima 
que alcanza, b) su velocidad justo antes de llegar nuevamente al suelo. 
R: a) 4501.25m. 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 72
2.43 Se deja caer una piedra desde el borde de un acantilado. Una segunda 
piedra se lanza hacia abajo desde el mismo lugar un segundo más tarde 
con una rapidez inicial de 15 m/s. a) Si ambas piedras golpean el suelo 
simultáneamente, determine la altura del acantilado. b) Calcular la velo-
cidad de cada piedra justo antes de llegar al suelo. R: a) 20m, b) –20 y –
25 m/s. 
 
2.44 Un cohete parte del reposo y sube con aceleración neta constante verti-
cal hacia arriba de 5 m/s2 durante un minuto. A partir de ese momento 
deja de acelerar y sigue subiendo, pero comportándose como partícula 
libre. Determinar: a) la altura que alcanza el cohete durante el primer 
minuto, b) su velocidad en ese instante, c) la altura máxima que alcanza, 
d) el tiempo total de vuelo. R: a) 9000m, b) 300m/s, c) 13.5km, d) 142s. 
 
2.45 Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 
10 m/s. Un segundo más tarde se lanza una piedra verticalmente hacia 
arriba con una rapidez inicial de 25 m/s. Determinar a) el tiempo que 
tarda la piedra en alcanzar la misma altura que la pelota, b) la velocidad 
de la pelota y de la piedra cuando se encuentran a la misma altura, c) el 
tiempo total que cada una está en movimiento antes de regresar a la altu-
ra original, d) la altura máxima de las dos. R: a)0.2s, b) –2 y 23m/s, c) 2 
y 6s. 
 
2.46 Angélica deja caer una pelota de tenis desde la terraza de un edificio, y 
un segundo después tira verticalmente hacia abajo otra pelota con una 
rapidez de 20 m/s. Calcular la altura mínima del edificio para que la se-
gunda pelota pueda alcanzar a la primera. R: 11.25m 
 
2.47 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una 
velocidad inicial de 15m/s. Calcular: a) el tiempo que la pelota tarda en 
alcanza su altura máxima, b) la altura máxima, c) la velocidad y la ace-
leración de la pelota para t = 2s. R: a)1.5s, b)11.5m, c)-4.6m/s, g. 
 
2.48 La altura de un helicóptero sobre el suelo está representada por h= 3t3, 
donde h está en metros y t en segundos. Después de 2s, el helicóptero 
deja caer una pequeña valija con la correspondencia. ¿Cuánto tiempo 
tarda la valija en llegar al suelo? R: 8s 
 
Cap. 2 Movimiento en una dimensión. 
 73
2.49 Una pelota se deja caer al suelo desde una altura de 2m. En el primer 
rebote la pelota alcanza una altura de 1.85m, donde es atrapada. Encuen-
tre la velocidad de la pelota a) justo cuando hace contacto con el suelo y 
b) justo cuando se aleja del suelo en el rebote. c) Ignore el tiempo que la 
pelota mantiene contacto con el suelo y determine el tiempo total que 
necesita para ir del punto en que se suelta al punto donde es atrapada. R: 
a) -6.3 m/s, b) 6m/s, c) 1.25s. 
 
2.50 Una pelota de tenis que se deja caer al piso desde una altura de 1.2 m, 
rebota hasta una altura de 1 m. a) ¿Con qué velocidad llega al piso? b) 
¿Con qué velocidad deja el piso al rebotar? c) Si la pelota de tenis está 
en contacto con el piso durante 0.01 s, calcular su aceleración durante 
este tiempo, compárela con g. R: a) –4.85 m/s, b) 4.43 m/s, c) +930 
m/s2, 93g. 
 
2.51 Una pulga salta 20 cm en un salto vertical. a) Calcular su rapidez inicial. 
b) Si ha alcanzado esa rapidez encogiendo y luego estirando sus patas 
una longitud del orden de 1 mm, calcular su aceleración inicial. c) La 
distancia de aceleración en una persona adulta es del orden de 50 cm, si 
una persona saltara con la misma aceleración que una pulga, ¿a que altu-
ra llegaría? R: a) 2m/s, b) 2000m/s2, c) 
 
2.52 Cuando las ranas saltan, típicamente aceleran en una distancia vertical 
de unos 10 cm, y pueden alcanzan alturas de hasta 30 cm, medidas des-
de el suelo. Calcular: (a) la velocidad de despegue de la rana, y (b) la 
aceleración media que ella siente entre que comienza el salto y el mo-
mento del despegue. Suponga una aceleración constante.