Ayudantía 1 2013 I Pauta

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Ayudant́ıa #1 Análisis Económico:
Crecimiento: Modelo de Solow
Equipo: Claudia Chiang, Agust́ın Dı́az, Cristóbal Otero, Antonia Paredes.
Miércoles 20 de Marzo 2013
1. Comente
1. Use gráficos para comentar detalladamente la siguiente afirmación, indicando si es verdadera
o falsa:
“A partir de una situación de steady state, una disminución de la tasa de depreciación junto
con un aumento de la cantidad de trabajo se traducen en que, en el nuevo steady state,
aumenta el capital por trabajador (K/L) pero disminuye el producto por trabajador (Y/L)”
Respuesta
Lo importante del comente es mostrar como se corre la recta si baja la tasa de depreciación
y que se corre la curva de producción si hay un aumento de la población (por aumento del
L). También mostrar que en el gráfico per cápita un aumento de la población no provoca
cambios en la curva pero si cambia la recta de la depreciación. Por lo tanto existe un aumento
del capital por trabajador y un aumento del producto por trabajador.
1
2. En el modelo de Solow la tasa de ahorro no tiene ningún efecto sobre la tasa de crecimiento
en EE.
Respuesta
Verdadero. Independiente de la tasa s, en este modelo la economı́a crece a la tasa n en el
largo plazo y el PIB alcanza un nivel de EE. Lo que la tasa de ahorro si afecta es el nivel del
PIB per cápita en EE y la tasa de crecimiento en el Corto Plazo.
Examinemos 2 páıses, uno con una tasa de ahorro sa y otro con una tasa de ahorro sb mayor
que sa. Los 2 tienen la misma n y la misma tasa de depreciación del capital. La diferencia
estará en el punto en el que la curva de ahorro cruza la ĺınea de ampliación del capital. El
páıs B tiene en EE un nivel de ingreso per capita más alto que A, y una razón K/L más
grande. Sin embargo en ambos páıses el PIB per capita alcanza un EE de crecimiento cero.
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3. Usando el modelo de Solow visto en clases muestre mediante un gráfico cual es el efecto en
el crecimiento de un páıs un terremoto que destruye una gran cantidad de capital y no hay
personas fallecidas.
Respuesta
Depende de la función de producción.
En el caso de una función Cobb Douglas con α /∈ {0, 1}: dado que disminuye el capital,
aumenta su Pmg, y por lo tanto aumenta la tasa de crecimiento. Esto podŕıa ser una
posible explicación para el fuerte crecimiento que tuvo por ejemplo chile el 2011.
Si Y = AK, los rendimientos son constantes por lo que el crecimiento estaŕıa dado por
k̇ = sY − (n+ δ)k ⇒ k̇ = sAk − (n+ δ)k. Por lo tanto, gk = k̇k = sA− (n+ δ). Por lo
que el crecimiento seŕıa constante y no habŕıa efectos de un terremoto.
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2. Datos y discusión
Suponga una función de la forma Y = AKαH1−α,Y es la producción, A es una medida de
productividad, K es el stock de capital y H es el capital humano.
(a) Proponga una forma funcional para H en función de la cantidad de trabajadores y de los años
de educación.
H = eφ(s)L
L representa el total de la fuerza de trabajo y φ(s) una media de eficiencia por trabajador
con s años de educación relative a uno sin educación. Esta es la forma en que la literatura
aborda H. La idea es reconocer la interacción entre los años de educación y L. Aśı mismo es
interesante que discutan acerca de φ (hay posibles quiebres que hacen cambiar la pendiente de
productividad entre los años de colegio y universidad por ejemplo).
(b) Discuta cómo podŕıa obtener A. Proponga un método.
De forma residual. Basta trabajar sobre la forma funcional de Y para obtener
ln(A) = ln (Y/L)− α ln (K/L)− (1− α) ln (H/L)
(c) Ahora suponga que Y = Kα(AH)1−α. ¿En qué cambia respecto al caso anterior?
Hay que pensar los tres posibles casos y discutir:
Y = AKα(H)1−α
Y = (AK)α(AH)1−α
Y = Kα(AH)1−α
(d) Derive que y = (K
Y
)
α
1−αhA, donde y = Y/L, h = H/L. ¿Por qué es interesante el coeficiente
K
Y
?
Algebra. Hágalo cada uno. Dividir por L y reordenar (háganlo antes de la ayudant́ıa para que
no se compliquen).
Esta ecuación nos permite descomponer diferencia en output por trabajador a lo largo de los
páıses en capital-output ratio, diferencias en educación y diferencias en productividad.
¿Por qué no usar el coeficiente K/L en vez de K/Y ?. Algunas razones son 1:
En la senda de crecimiento, el capital-output ratio es proporcional a la tasa de inversión,
por lo tanto tenemos una interpretación natural.
1para más detalles vean Hall & Jones (1999).
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Segundo, consideremos un aumento exógeno en la productividad de un páıs, con la tasa
de inversión constante. A lo largo del tiempo la tasa K/L aumentará como resultado del
aumento en productividad. Luego, si solo observamos K/L, parte del incremento de Y ,
que es fundamentalmente dado por el crecimiento de A, seŕıa atribuido a la acumulación
de capita.
(e) Discusión respecto a las tablas. Comparación en el tiempo y entre páıses 2.
Para hacer más sencilla la comparación, todos los términos están expresados como ratios
respecto a USA. Por ejemplo, el output por trabajador en Canadá en 1988 es 0,869 % el de
USA. Vemos que las diferencias provienen fundamentalmente de diferencias en capital humano
por trabajador. Discutir diferentes casos (los que ustedes consideren interesantes). Ojo por
ejemplo con China y los cambios entre 1988 y 2005.
2Para hacer la comparación más fácil, todos los términos son relativos a EEUU.
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3. Usando y expandiendo el Modelo de Solow
Considere un modelo de Solow simple en que la función de producción es
Y = Kα(AL)1−α
Considere además que la tecnoloǵıa crece a una tasa (exógena) g y que el trabajo lo hace a una
tasa (también exógena) n. A su vez la acumulación de capital viene dada por
K̇ = SD + SE
donde SD es el ahorro doméstico y SE es el ahorro externo. El ahorro doméstico viene dado por
SD = sY donde s es una constante exógena y el ahorro externo viene dado por
SE = θSD (0.1)
donde θ es una constante exógena estrictamente menor que 1.
(a) Explique la lógica de la ecuación la ecuación (1).
Respuesta
La ecuación 1 nos dice que por cada peso de ahorro nacional, el sector externo ahorrará θ
peso, sin importar cual sea el nivel de ahorro del páıs en cuestión. Esto nos dice que el retorno
marginal del ahorro externo es constante.
(b) Muestre gráficamente la evolución de esta economı́a en términos de capital y producto por
unidad de eficiencia de trabajo.
Respuesta
K̇ = (SE + SD)− δK
K̇ = (sY + θsY )− δK
K̇ = sY (1 + θ)− δK
k̇ = sy(1 + θ)− (δ + n+ g)k
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Como se observa en este gráfico en este modelo el capital por unidad de eficiencia del trabajo
tendrá una variación distinta de cero, ya sea una acumulación o des-acumulación de capital,
hasta llegar a su nivel de estado estacionario estacionario k*. Una vez alcanzado este nivel,
tanto el capital por unidad de eficiencia del trabajo como el producto por unidad de eficiencia
del trabajo tendrán un crecimiento de cero.
(c) Encuentre el valor del producto por unidad de trabajo eficiente en esta economı́a en el estado
estacionario.
Respuesta
El estado estacionario se alcanza cuando k̇ = 0. Es decir sy(1 + θ) = (n+ g + δ)k
Pero recordemos que y = Y
AL
= K
α(AL(1−α)
AL
= (K
L
)α = kα
Aśı,
sy(1 + θ) = (n+ g + δ)k
skα(1 + θ) = (n+ g + δ)k
k∗ =
(
s(1+θ)
n+g+δ
) 1
1−α
y∗ = k∗α =
(
s(1+θ)
n+g+∂
) α
1−α
(d) Muestre qué pasa en esta economı́a si partiendo de una situación en que θ = 0 se abre al exte-
rior y ahora θ > 0. Discuta el efecto en impacto y la transición al nuevo estado estacionario.
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Respuesta
Cuando θ aumenta desde 0 a un valor mayor que 0 se producirá un impacto en el ahorro de
esta economı́a: aumentará ya que se incorpora el ahorro externo SE.
Esto hará que la economı́a se desplace hacia un nuevo estado estacionario (y∗1, k
∗
1) donde el
Producto por Unidad de Eficiencia y el Capital por Unidad de Eficiencia son mayores que los
de estado estacionario inicial. En la transición entre el estado estacionario inicial y el nuevo,
en esta economı́a se observará una tasa de crecimiento positiva para el Productopor Unidad
de Eficiencia y el Capital por Unidad de Eficiencia.
(e) ¿Puede este modelo explicar la evolución de la economı́a chilena en el peŕıodo reciente en que
se argumenta que, por razones exógenas a las economı́as emergentes (desde 1998 aproximada-
mente), θ cayó?
Respuesta
Este modelo no puede explicar la evolución de la economı́a chilena después de 1998, ya que sus
predicciones (aumento de capital genera aumento de producto) no coinciden con lo que sucede
en Chile en esos años: disminuye el crecimiento del producto pese a que aumenta (levemente)
el crecimiento del capital f́ısico. Es decir, en esos años no disminuyó el capital por trabajador
(efectivo) de Chile, pero aún aśı el crecimiento del producto disminuyó; lo cual no puede ser
explicado por este modelo.
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4. Modelo de Solow con capital humano [PROPUESTO]
Sea Y el producto, K el capital f́ısico, H el capital humano y L la cantidad de trabajadores que
no crece y se normaliza a 1 (i.e L = 1). Suponga que ambos capitales son perfectamente sustitutos
desde el punto de vista de la acumulación de manera que:
4Kt+1 +4Ht+1 = sYt − δ(Kt +Ht)
Es decir ambos capitales se deprecian a la tasa δ y una fracción s del producto se invierte en
ambos capitales. Denote los valores por trabajador usando letras minúsculas (i.e., k = K
L
).
Suponga que la función de producción esta dada por:
Yt = K
α
t H
β
t L
1−α−β
t
Donde α y β son paramentos positivos tal que α + β < 1
(a) Explique porque los productos marginales de ambos capitales deben ser iguales todo momento
del tiempo. Use esta condición para mostrar que:
Ht =
α
β
Kt
Respuesta
En este modelo de Solow el páıs puede elegir k y h por lo que tenemos que maximizar la función
de producción sujeto a estas variables con lo cual tenemos que:
MaxKαt H
β
t L
1−α−β
t
Sacamos las derivadas parciales con lo que nos queda:
∂Y
∂K
= αKα−1t H
β
t L
1−α−β
t
∂Y
∂H
= βKαt H
β−1
t L
1−α−β
t
Hay que notar que ∂Y
∂K
y ∂Y
∂H
son los productos marginales. Si miramos la restricción de aumento
de capital vemos que son perfectos sustitutos lo que nos dice que una unidad de producto se
puede destinar tanto a H como K. Pero dado a que tenemos retornos marginales decreciente si
destinamos por ejemplo todo el producto a k cada unidad nos produciŕıa muy poco Y mientras
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que una unidad de H aumentaŕıa mucho Y por tanto esta situación no puede ser eficiente.
Para maximizar la función Y tenemos que destinar cada unidad de producto a K o H según
sea mas eficiente es por esto que debemos aumentar ambos de tal forma que el retorno de cada
unidad de producto sea el mismo. Es por esto que para maximizar la función de producción
tenemos que igualar PMgK con el PMgL. Con lo que llegamos a la expresión dada.
∂Y
∂K
= ∂Y
∂H
αKα−1t H
β
t L
1−α−β
t = βK
α
t H
β−1
t L
1−α−β
t
Ht =
α
β
Kt
(b) Use su repuesta anterior para encontrar los valores de estado estacionario de h, k e y. Explique
cual es el efecto de un aumento en la tasa de ahorro, s, sobre el ingreso y la tasa de crecimiento
de largo plazo. 3
Respuesta
Dado que nos piden h, k e y, normalizamos por L dividiendo Y
L
con lo que llegamos a que
y = kαyβ
Dado que ahorramos a una tasa s las dinámicas de k y h son:
4k
k
= skα−1yβ − δ
4h
h
= skαyβ−1 − δ
En steady state se cumple que 4k
k
= 0 y 4h
h
= 0. Dado esto tenemos que:
skα−1yβ − δ = 0
Remplazamos h = α
β
k que sacamos en (a) y despejando nos queda:
skα−1
(β
α
)β
kβ = δ
k∗ =
(β
α
) β
α−1
(δ
s
) 1
α−1
3Hint: Elimine H del problema usando su respuesta en (a).
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Luego usando h = α
β
k llegamos a que:
h∗ =
(α
β
) β
α−1−1
(δ
s
) 1
α−1
Por lo que el producto en y queda:
y∗ =
[(β
α
) β
α−1
(δ
s
) 1
α−1
]α[(α
β
) β
α−1−1
(δ
s
) 1
α−1
]β
s solo esta presenta el la forma de ( δ
s
)
1
α−1 que es lo mismo que ( s
δ
)
1
1−α con lo cual se aprecia que
a mayor s mayor ingreso y. El crecimiento en el largo plazo se mantiene en cero pero dado a
que se corrió el SS tenemos crecimiento en el corto plazo. Esto es lógico ya que al ahorrar mas
un periodo al siguiente periodo vamos a destinar mas capital humano y capital f́ısico con lo
cual podemos producir mas. Es importante notar que consumir es lo que genera utilidad por
lo que un s = 1 si bien nos llevaŕıa a lograr el k∗ mas alto no generaŕıa utilidad alguna por lo
que es necesario un equilibrio entre ahorro y consumo.
(c) Repita (b) suponiendo que:
Yt = K
α
t H
1−α
t
Donde α ∈ (0, 1) ¿Por qué difieren de (b)? 4
Al igual que a buscamos la relación maximizando en la función de producción
MaxKαt H
1−α
t
Sacamos las derivadas parciales con lo que nos queda:
∂Y
∂K
= αKα−1t H
1−α
t
∂Y
∂H
= βKαt H
−α
t
Al igual que en a son perfectos sustitutos h y k por tanto igualamos los Pmg′s.
4Hint: Busque una nueva expresión para la relación K y H.
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Ht =
1− α
α
Kt
Pero si nos fijamos tenemos una función de producción que es Cobb-Douglas por tanto es
homogénea de grado 1 y dado que estamos aumentando tanto H como K no enfrentamos
rendimientos decreciente por lo tanto la economı́a va a estar en crecimiento si s > δ, en SS
si s > δ y decreciendo si s < δ. Es por esto que al aumentar s va a cambiar la velocidad de
crecimiento de y el cual no necesariamente converge (solo converge en s > δ).
La particularidad de este modelo es que ya no tenemos la cantidad de trabajo como limitante.
En este modelo de economı́a lo que importa ya no es el numero de empleados sino que sus
conocimientos es por esto que mientras destinemos producción a aumentar tanto capital f́ısico
como humano en la razón calculada arriba nuestro producto aumentara en la misma proporción
del aumento. Si este aumento es mayor a la depreciación de ambos capitales nuestra economı́a
estará constantemente aumentando su ingreso hasta el infinito.
(d) Considerando la evidencia emṕırica sobre convergencia de niveles de ingreso cual de las dos
formas de representar la función de producción con capital le parece mejor.
Respuesta
La segunda logra explicar el hecho emṕırico de que muchos páıses no estén convergiendo sino
que incluso la diferencia de ingresos este aumentando. Ademas que también es interesante que
a partir del aumento en la calidad de los trabajadores se pueda lograr crecimiento cosa que el
primero no hace. El primero por otro lado es mejor para explicar porque páıses como lo fue
Corea en los 60’ o China en los 90’ crecen tanto en un comienzo pero después este crecimiento
empieza a disminuir y se empieza a acercar al de los páıses mas ricos, cosa que el segundo no
hace. Ambos modelos tienen ventajas y desventajas pero ninguno es un modelo general que
nos logre explicar el crecimiento de los distintos páıses en el mundo.
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5. Solow con 2 tipos de capital
Sea la función de producción:
(1) Yt = LtK
α
t (uHt)
1−α
con 0 < α < 1. L es la población, K es el capital f́ısico, H es el capital humano y u es la
fracción de capital humano que se destina a la producción del bien final.
La evolución del capital f́ısico es:
(2) Kt+1 = (1− δK)Kt + sYt
La producción de capital humano, sin embargo, sólo utiliza capital humano (no capital f́ısico),
de acuerdo a:
Ht+1 = B(1− u)Ht
donde (1− u) es la fracción de capital humano destinada a la producción de capital humano.
(a) Escriba la tasa de crecimiento H como una función de B y u. ¿Qué pasa si u crece? ¿Cómo
cambia esta tasa con el nivel de H? ¿Por qué?
Respuesta
Tenemos
Ht+1 = B(1− u)Ht
Ht+1 −Ht = B(1− u)Ht −Ht
Ht+1 −Ht
Ht
=
B(1− u)Ht −Ht
Ht
Definimos g como la tasa de crecimiento
gH = B(1− u)− 1
Por ende g será constante, creciente en b y decreciente en u.
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(b) Defina como k a la razón entre capital humano y capital f́ısico: kt =
Kt
Ht
. Derive la ecuación
que describe la evolución de kt a lo largo del tiempo.
Respuesta
En (1) podemos simplificar Lt a 1 y tenemos
Yt = K
α
t (uHt)
1−α
De (2) tenemos
Kt+1
Ht
= (1− δK)
Kt
Ht
+
sYt
Ht
Kt+1
Ht
= (1− δK)
Kt
Ht
+
sKαt (uHt)
1−α
Ht
Kt+1
Ht
= (1− δK)
Kt
Ht+
sKαt (u)
1−α
Hαt
Kt+1
Ht
∗ Ht+1
Ht+1
= (1− δK)
Kt
Ht
+
sKαt (u)
1−α
Hαt
Sabemos que Ht+1/Ht = 1 + g, por lo tanto podemos escribir
Kt+1
Ht+1
= kt+1 =
(1− δK)kt + skαt (u)1−α
1 + gH
(c) Encuentre e interprete el valor de estado estacionario de k∗. Explique la intuición del efecto
que tienen los parámetros de su solución.
Respuesta
En SS kt+1 = kt = k
∗
De arriba tenemos
k∗(1 + gH) = (1− δk∗)k∗ + sk∗α(u)1−α
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Despejando k obtenemos
k∗ =
s(u)1−α
(1 + gH)− (1− δ∗k)
1/1−α
Explicación:
Con α entre 0 y 1:
A mayor ahorro, mayor acumulacion de K
A mayor u, es decir mayor proporción destinada a producir el bien final, mayor K.
La relación negativa con gh se debe a que a mayor crecimiento de H, necesito más recursos
para H que para la producción y termino con un nivel menor de K.
(d) ¿Cuál es la tasa de crecimiento de k∗ en estado estacionario? ¿Cuál es la tasa de crecimiento
del capital f́ısico? ¿La del capital humano? ¿La del producto? Explique.
Respuesta
Sabemos que en SS k∗ no crece. Para que la relación K/H no crezca;
gH = gK = B(1− u)− 1 = gy
En SS todas las variables crecen a la misma tasa (con retornos constantes α + 1− α = 1).
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