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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
DE MÉXICO 
 
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRODUCTOS NOTABLES, FACTORIZACIÓN Y 
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA, 
 UNA PROPUESTA DIDÁCTICA PARA EL BACHILLERATO DEL 
COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES 
 
 
 
 
 
 
 
T E S I S 
 QUE PARA OBTENER EL GRADO DE 
 MAESTRA EN DOCENCIA PARA LA 
 EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR EN 
 EL CAMPO DE LAS MATEMÁTICAS 
 P R E S E N T A 
 
 ACT. ESTHER LÓPEZ HERNÁNDEZ 
 
 
 
 
ASESOR: MTRO. JUAN BAUTISTA RECIO ZUBIETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTADO DE MÉXICO 
 
 
 
 
 
 
MAYO DE 2008 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
 
 
 
 
Al Mtro. Juan Bautista Recio Zubieta, por su gran apoyo, por su paciencia y por 
compartir sus conocimientos, para poder llevar a cabo la realización de este trabajo. 
 ¡Muchas Gracias! 
 
 
 
 
Al M. en C. Oscar Cuevas de la Rosa, al Mtro. Pedro Manuel Zerendieta Méndez, 
por dedicarme parte de su tiempo, por sus orientaciones y comentarios para mejorar 
 este trabajo. 
¡Gracias! 
 
 
 
 
Al Mtro. Andrés Hernández López, por sus consideraciones y apoyo. 
¡Gracias! 
 
 
 
 
A mis maestros sinodales, por sus observaciones y sugerencias. 
 ¡Gracias! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
A mis papás Cruz y Vicente, con cariño por su apoyo incondicional, 
de toda la vida. 
¡Muchas Gracias! 
 
 
 
 
 
A mis hermanos que siempre han estado conmigo. 
 
 
 
 
 
A la Mtra. Georgina Castañeda Ayala, por brindarme su amistad, 
por su ayuda y sus consejos. 
¡Gracias! 
 
 
 
 
Í N D I C E 
 
 
 
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 1 
 
 
CAPITULO I. JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVO DE ESTUDIO 
 
 1.1 Justificación ……………………………………………………………………………… 3 
 1.2 Objetivo General ………………………………………………………………………... 5 
 1.3 Objetivos Particulares ………………………………………………………………….. 6 
 1.4 Hipótesis …………………………………………………………………………………. 6 
 
CAPITULO II. MARCO TEÓRICO 
 
2.1 Sistema Bachillerato de la UNAM ………………………………………………….... 7 
 
 2.1.1 Bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades ………………………. 8 
 2.1.2 Propósitos del área de Matemáticas ………………………………………….. 9 
 2.1.3 Propósitos de la Materia ……………………………………………………….. 10 
 
2.2 Enseñanza …………………………………………………………………………….. 10 
 
 2.2.1 Concepciones sobre el proceso de enseñanza ……………………………… 11 
 
2.3 Aprendizaje ……………………………………………………………………………. 12 
 
 2.3.1 Concepciones sobre el proceso de aprendizaje ……………………………... 12 
 
 2.4 Concepciones sobre las Matemáticas ……………………………………………… 13 
 
CAPITULO III. METODOLOGÍA DEL TRABAJO 
 
 3.1 Instrumentos desarrollados para realizar el trabajo ………………………………. 16 
 3.2 Descripción del instrumento diagnóstico …………………………………………... 16 
 3.3 Propuesta didáctica para la enseñanza de los productos notables, factorización 
 y ecuaciones de segundo grado ……………………………………………………. 18 
 3.4 Características de la población ……………………………………………………… 23 
 3.5 Desarrollo de la enseñanza ….……..……………………………………………….. 24 
 
CAPITULO IV. ANÁLISIS Y RESULTADOS 
 
 4.1 Primera aplicación del instrumento ……………………………………………….. 32 
 4.2 Segunda aplicación de instrumento ……………………………………………….. 33 
 4.3 Comparación con los resultados obtenidos en el Pre Test Post Test …………. 37 
 4.4 Análisis Estadístico (Prueba de hipótesis sobre diferencias de medias) ………. 52 
 
 
CONCLUSIONES …………………………………………………………………………….. 64 
 
BIBLIOGRAFIA .……………………………………………............................................... 66 
 
 
ANEXOS 
 
Anexo 1. Instrumento Diagnóstico (Examen) 
 Sobre el Tema de Ecuaciones Cuadráticas …………………………………… 69 
 
Anexo 2. Actividades de Enseñanza – Aprendizaje ……………………………………… 74 
 
Anexo 3. Registro de las actividades y tareas realizadas ………………………………. 128 
 
Anexo 4. Cuestionario aplicado a los profesores sobre el tema de Ecuaciones 
 Cuadráticas ……………………………………………………………………….. 131 
 
Anexo 5. Información recabada por los profesores de Matemáticas I ………………… 133 
 
Anexo 6. Opinión de los alumnos …………………………………………………….……. 139 
 
 1 
I N T R O D U C C I Ó N 
 
 
 
La presente Tesis tiene como objetivos principales: 
 
Diseñar una propuesta didáctica sobre la enseñanza de las matemáticas, con respecto a 
los temas de productos notables, factorización y ecuaciones de segundo grado con una 
incógnita. Tomando como base el programa de estudios de Matemáticas I que se imparte 
en el primer semestre del Colegio de Ciencias y Humanidades. 
 
Encontrar la manera de reducir al máximo el índice de reprobación, que se da de manera 
alarmante en el bachillerato. 
 
Evitar la deserción de los alumnos, ya que en los últimos años lejos de disminuir se ha 
incrementado. 
 
En el Capítulo I tomando en cuenta lo anterior, abordamos dicha problemática que como 
sabemos se deriva de varios factores, entre los cuales podemos mencionar los siguientes: 
La forma de enseñar las matemáticas, mitos que consideran que solo las personas que 
cuentan con una mente super dotada pueden entenderlas y manejarlas, el poco tiempo 
que se tiene destinado para cada tema y problemas personales de los alumnos. 
 
Ya entrados en materia en el Capítulo II se menciona el marco teórico, conformado por: 
el Sistema de Bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades, cuyo modelo 
educativo tiene como finalidad; la formación integral del estudiante, que éste aprenda a 
aprender, aprenda a hacer y aprenda a ser, así; sin descuidar estos propósitos, se 
elaboró la propuesta didáctica que fue llevada a la práctica en el Plantel Azcapotzalco. 
 
Por otro lado se hace mención de los própositos del área de matemáticas, 
específicamente de la materia de Matemáticas I en relación con el tema de ecuaciones 
cuadráticas. 
 
Se da una breve definición sobre los términos de enseñanza – aprendizaje. Cabe aclarar 
que estos términos pueden ser definidos desde diferentes puntos de vista, es decir, de la 
corriente educativa a la que se haga mención, así mismo; se presentan algunas 
concepciones sobre el proceso de enseñanza – aprendizaje y su relación con las 
matemáticas. 
 
En el Capitulo III se menciona la forma en que se llevó a cabo la realización de este 
trabajo, así como los materiales que se usaron, también plantéo cómo se diseño la 
propuesta didáctica para la enseñanza de los productos notables, factorización y 
ecuaciones de segundo grado, así como las características del exámen diagnóstico que 
les fue aplicado a los alumnos. 
 
Además también se hace mención a las características de la población a quienes se les 
aplico el material didático. 
 
En el Capítulo IV se muestran los resultados obtenidos de los alumnos una vez que se 
aplicaron las actividades de enseñanza - aprendizaje (la propuesta didáctica), así como 
 2 
un análisisde estos resultados. Cabe mencionar que se utilizó el esquema de Pre Test 
Post Test, por lo que también se llevó a cabo una comparación con los resultados. 
 
Por último se presentan los anexos. 
 
El anexo 1 contiene el instrumento diagnóstico (examen) que les fue aplicado a los 
alumnos. 
 
En el anexo 2 contiene las actividades de enseñanza y aprendizaje, para la realización de 
estas actividades. Se buscó la manera de hacerlo de una forma flexible dejando atrás la 
rigidez; esto con la finalidad de obtener un mejor aprovechamiento en el proceso de 
enseñanza – aprendizaje. 
 
En el anexo 3 se llevó a cabo un registro de las actividades y tareas realizadas, de tal 
forma que los alumnos tuvieran un control sobre su propio desempeño durante el curso. 
 
En el anexo 4 se encuentra el cuestionario que les fue aplicado a los profesores que 
imparten la materia de Matemáticas I. 
 
En el anexo 5 se tiene la información de las entrevistas realizadas a profesores de 
Matemáticas I, con el fin de encontrar alternativas didácticas, que sirvieran para optimizar 
la problemática que se tiene en la enseñanza de las matemáticas. 
 
En el anexo 6 y último se recabó la opinión de los alumnos en cuanto al material sobre las 
actividades de enseñanza – aprendizaje que se les aplicó, ya que considero que estas 
opiniones nos ayudan a reflexionar sobre nuestra labor como docentes. 
 
 3 
CAPITULO I. JUSTIFICACIÓN Y OBJETIVO DE ESTUDIO 
 
1.1 Justificación 
 
En la docencia actual, a pesar de los avances de la investigación educativa y de los 
programas de formación de profesores de los últimos años, muchos de ellos muestran un 
poco u nulo interés para tomar en cuenta dichos avances, por lo que además de no saber 
como impartir la docencia se convierten en la mayoría de las veces sólo protagónicos del 
saber, mientras que los alumnos con esto caen en una actividad de pasividad, lo que trae 
como consecuencia el desinterés, la repetición y memorización del conocimiento sin que 
exista lo más importante un sentido analítico y crítico. 
 
En este sentido el investigador Morán Oviedo, afirma que el deber ser de la docencia se 
centraba básicamente en exposiciones magistrales a través de las cuales se iban 
dosificando cápsulas de saber que los estudiantes debían asimilar y aceptar sin 
reflexionar ni protestar, ya que el profesor era la figura dominante, el centro de la clase. 
En este concepto de docencia el grupo es sólo un conjunto de personas que no se 
comunican ni interactúan durante el proceso de aprender. 
 
Sin embargo “con los avances de la investigación educativa, de los últimos tiempos, 
específicamente con sus aportaciones en el descubrimiento de nuevas concepciones 
pedagógicas, de nuevas corrientes educativas y nuevos métodos de enseñanza y de 
aprendizaje, nos encontramos en una perspectiva diferente de pensar y realizar la 
docencia, ya que no se limita sólo a procurar la existencia de la comunicación e 
interacción grupal sino que la promueve y la aprovecha intencionadamente como fuente y 
medio de experiencias de aprendizaje” (Morán Oviedo, 2006, p5). 
 
Por lo mencionado anteriormente, la docencia se caracteriza como un proceso de 
interacción profesor – alumno, donde se presente como un diálogo constructivo entre 
profesor y alumno, ya que se considera que el proceso de comunicación es un proceso 
interactivo en el cual el alumno también emite mensajes hacia el profesor, intercambio de 
experiencias, puntos de vista, etc. “La docencia es, asimismo, una actividad 
profundamente matizada por los componentes ideológicos del docente, del alumno, de la 
institución que la promueve y del propio campo disciplinario que se estudia”. 
 
Por otra parte, “varios investigadores (Tirano y Serrano, 1989; Lapointe, Mead y Askew, 
1992, entre otros) reportan una crisis tanto nacional como global en la enseñanza 
matemática”. “En México la crisis es evidente, estadísticas señalan que en algunas 
universidades se ha incrementado de un 10% a un 30% la demanda de cursos especiales 
de matemáticas…”,”La actual generación de estudiantes seguramente tendrá que 
enfrentarse a cambios tecnológicos que necesitarán estructuras de conocimiento cada 
vez más complejas… Desde las habilidades simples para realizar y organizar 
cargamentos de mercancías, hasta el conocimiento de alto nivel necesario para la ciencia 
y los avances tecnológicos” (Carlson, 1992 en Lara, fuentes y Gómez, V Simposio 
Internacional en Educación Matemática, 1995, p.86). 
 
Por lo tanto la enseñanza de las matemáticas es sumamente importante “Vivimos tiempos 
extraordinarios y acelerados cambios. Surgen y evolucionan continuamente nuevos 
conocimientos, herramientas y formas de usar y comunicar las matemáticas” (Principios y 
Estándares de Educación Matemática, NCTM, 2000). Por lo que se debe buscar 
alternativas que ayuden a optimizar el problema en la enseñanza de la matemática. 
 4 
Con base en la información antes citada, el trabajo de investigación es que los alumnos 
del Colegio de Ciencias y Humanidades del plantel Azcapotzalco tengan una mejor 
comprensión en algunos temas que se mencionan en el programa de matemáticas I, así 
como su importancia para materias posteriores. 
 
La enseñanza de las matemáticas en el bachillerato del CCH presenta problemas en el 
rendimiento de los alumnos, lo cual se refleja en sus calificaciones, por lo que no es muy 
satisfactorio, el índice de reprobación es alto, así como la deserción en el salón de clases, 
como lo muestra la tabla 1. “Dentro de la investigación educativa, es de utilidad conocer el 
comportamiento de la población por medio de cálculo de tasas”. (Datos proporcionados 
por la Secretaria de Apoyo al Aprendizaje, plantel Azcapotzalco). 
 
Tabla 1. Aprovechamiento en la asignatura de Matemáticas I. Distribución de 
calificaciones. Porcentaje de alumnos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con los datos de la tabla se puede observar que la calificación de NP en la generación 
2000 fue la más alta con el 21.31%, la cual disminuyo notoriamente en la generación 2007 
con el 8.02%. La generación 2001 fue la que tuvo mayor porcentaje de alumnos 
reprobados con 5, con el 25.91%, mientras que la generación que menos alumnos tuvo 
con esta calificación fue la 2006, con 17.51%. 
 
La generación que más alumnos obtuvieron la calificación de 6 fue la 2005, con el 21.12% 
y la generación que obtuvo menos alumnos con esa calificación fue la 2000, con 14.90%. 
En cuanto a la calificación de 7, la generación que más alumnos tuvo fue la 2006, con el 
20.08%, mientras que la generación 2001 fue la que menor porcentaje obtuvo, con solo el 
12.61%. 
 
El 13.36% de la generación 2000 obtuvo 8 y fue la más baja, frente a la generación 2003, 
cuya tasa fue de 17.18%. En cuanto a la calificación de 9 la generación 2007 fue la más 
alta con el 12.80%, mientras que la generación 2002 fue la más baja con el 6.44%. Y por 
último la generación 2000 fue la que menor número de alumnos tuvo calificación de 10, 
con el 4.99%, mientras que la generación 2007 tuvo el mayor número de alumnos con 
esta calificación, con el 8.97%. 
 
Esta situación se deriva de varios factores, entre los cuales se mencionan las siguientes: 
 
La forma de enseñar las matemáticas, mitos o creencias que consideran que las 
matemáticas son muy difíciles y sólo para personas dotadas o privilegiadas, problemas 
personales de los alumnos ya que se encuentran en una edad “la adolescencia” en la cual 
Calificaciones 
Generación NP 5 6 7 8 9 10 
2000 21.31 20.85 14.90 15.91 13.36 8.69 4.99 
2001 16.29 25.91 15.61 12.61 14.66 8.93 5.99 
2002 16.81 19.18 18.94 19.40 13.87 6.44 5.36 
2003 11.75 19.04 17.79 14.86 17.18 10.63 8.75 
2004 11.82 25.22 19.73 15.45 13.50 8.46 5.81 
2005 9.72 24.47 21.12 17.33 13.60 7.50 6.26 
2006 10.63 17.51 19.09 20.08 16.83 9.95 5.91 
2007 8.02 18.07 17.60 18.82 15.71 12.80 8.97 
 5 
buscan su propia identidad y de encontrarse asimismo buscando apoyo en su grupo de 
pares. “Para el adolescenteresulta muy importante pertenecer a un grupo de jóvenes 
como él y de seguir las reglas del grupo, por lo tanto si tiene que elegir entre las normas 
impuestas por los padres y las de grupo, se decidirá por las de su grupo, lo cual le crea 
conflictos no sólo con las figuras paternas, sino con la sociedad adulta en general” 
(Tarragona Roing, 2004, p15-16), estos conflictos internos por los que atraviesan los 
alumnos y la falta de entendimiento por parte del profesor, tomando así una actitud rígida 
y autoritaria en el salón de clases, trae como consecuencia que los alumnos no tengan un 
buen desempeño. 
 
Otro factor es la falta de buenos hábitos de estudio, lo cual se refleja en sus calificaciones, 
así como el cambio que tienen de la secundaria al bachillerato, lo cual les ocasiona un 
desequilibrio, ya que es un proceso que presenta cambios para los cuales algunos 
alumnos no están preparados. 
 
Además si agregamos que la Matemática es una ciencia abstracta y lógica, “los alumnos 
que todavía no han pasado de la fase operacional concreta, son incapaces de incorporar 
significativamente a sus estructuras cognoscitivas relaciones entre dos o más 
abstracciones “secundarias”, a menos que dispongan de apoyos empírico-concretos 
actuales o recientes” (Inhelder y Piaget, 1958, en Ausubel, 1976). 
 
Por otra parte, cabe mencionar que anteriormente en los cursos de matemáticas, los 
grupos estaban formados por aproximadamente 50 alumnos, para el ciclo escolar 2007-1 
se hizo un cambio, los grupos de matemáticas I se dividieron a la mitad, buscando así un 
mejor rendimiento en los alumnos, teniendo algunas ventajas como son: una mayor 
atención hacia los alumnos, mejor control sobre su desempeño durante las clases, saber 
escucharlos, estimular su sentido de responsabilidad, etc. 
 
 
1.2 Objetivo General: 
 
• Mejorar el aprendizaje de los alumnos en un tema crucial como son los productos 
notables y la solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita. 
 
Para ayudar a mejorar el aprendizaje se desarrollaron materiales didácticos que 
permitieran una mayor comprensión sobre los temas de productos notables, factorización 
y ecuaciones de segundo grado con una incógnita, que corresponde a la 5ª unidad de 
Matemáticas I, en el bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades, en el plantel 
Azcapotzalco. 
 
Los productos notables, así como la factorización, desempeñan un papel muy importante 
en los cálculos algebraicos. No solamente para el curso de matemáticas I, vemos su 
aplicación en la resolución de ecuaciones de segundo grado; en el curso de matemáticas 
III, en las secciones cónicas correspondientes a la unidad IV, en el tema de parábola de la 
unidad V, entre otros temas. 
 
En términos generales la factorización es parte fundamental de la Matemática. Por lo que 
considero, que es importante tener cuidado en su desarrollo como consecuencia de que el 
manejo de estas expresiones facilita la resolución de diversos problemas. 
 
 
 6 
1.3 Objetivos Particulares: 
 
• Tomando como base el examen diagnóstico, identificar las deficiencias en los 
aprendizajes, así como conocer los antecedentes de los alumnos en cuanto a la 
materia. 
 
• Desarrollar, con base a las deficiencias que se encuentre en los alumnos, un 
material de apoyo para el curso de matemáticas I, el cual estará elaborado a partir 
del modelo educativo del Colegio de Ciencias y Humanidades. El material 
didáctico versará sobre el tema de los productos notables y la factorización, así 
como la resolución de ecuaciones de segundo grado. 
 
• Pilotear el material con tres o cuatro alumnos a fin de detectar posibles fallas en él 
y corregirlas. 
 
• Aplicar el material a un grupo y analizar los resultados. 
 
 
1.4 Hipótesis: 
 
• El uso de materiales que busquen presentar de diferentes maneras los temas de 
productos notables y de factorización, así como la resolución de ecuaciones de 
segundo grado ayudarán a los alumnos a una mejor comprensión de ellos. 
 
Para probar la hipótesis se realizarán pruebas estadísticas, para demostrar que el 
resultado de aplicar un instrumento diagnóstico (examen) a un grupo de estudiantes sin la 
exposición de cierto material didáctico, es menor a los resultados que se obtienen al 
aplicar el mismo examen, pero con el conocimiento del material didáctico al mismo grupo 
de estudiantes. 
 
La intención de los exámenes es para medir el nivel taxonómico de las preguntas como 
son: a) el nivel de conocimiento, b) el nivel algorítmico, c) el nivel de comprensión y d) el 
nivel de aplicación. 
 
Se medirán cada nivel a través de una serie de reactivos clasificados en los 
correspondientes niveles y en donde la ejecución de los alumnos en cada uno de ellos, 
será registrado como 0 y 1, donde: el 0 corresponde a que la respuesta esta mal, si no lo 
hizo o no lo termino; el 1 corresponde a que la respuesta esta correcta. 
 
Para el desarrollo del trabajo, debemos estar conscientes que existen tres variables 
primordiales, que debemos mencionar en forma explícita. 
 
1. El tipo de material didáctico del que se haga uso (variable independiente). 
2. La comprensión que tengan los alumnos de los temas, lo cual se reflejará en la 
calificación que obtengan del examen (variable dependiente). 
3. El profesor, lo cual considero que es la variable principal. 
 
 7 
CAPITULO II. MARCO TEÓRICO 
 
 
2.1 Sistema de Bachillerato de la UNAM 
 
La educación es medio fundamental para adquirir, transmitir y acrecentar la cultura. La 
misión de toda institución educativa es preparar a las nuevas generaciones para el mundo 
en que tendrán que vivir. Propiciar la adquisición de los conocimientos y las habilidades 
que los alumnos requieren para desempeñarse con eficiencia en una sociedad que 
cambia rápidamente. 
 
La matemática tiene una larga trayectoria unida al progreso de la humanidad y ha 
ocupado un lugar central en la educación a lo largo de la historia. 
 
Con los procesos de revisión y modificación de los planes y programas de estudios de la 
Escuela Nacional Preparatoria y del Colegio de Ciencias y Humanidades y su aprobación 
en 1996, el bachillerato de la UNAM avanzó de manera significativa en sus esfuerzos por 
mejorar la calidad de la educación que imparte. 
 
El progreso se manifiesta sobre todo en la actualización de los contenidos programáticos, 
en la propuesta de formas de enseñanza más dinámicas, en general en una estructura 
curricular más coherente con el logro del perfil de egreso deseado. 
 
Para dar atención a los avances del conocimiento, con frecuencia se incrementan los 
contenidos curriculares sin que éstos incidan en aspectos fundamentales de la formación 
de los alumnos; no hay la suficiente coherencia entre programas y finalidades educativas 
y, en general, no se ha contribuido de manera más eficaz para que los egresados de este 
ciclo se desempeñen con éxito en sus estudios de licenciatura y en la vida social y laboral. 
 
Lo anterior ha impulsado desde la década pasada, en prácticamente todos los países, un 
movimiento de reforma de este ciclo entre cuyos elementos destaca la identificación y 
definición explícita de los aprendizajes concretos a los que debe orientarse la educación 
en este nivel. Por ejemplo, la determinación de los Contenidos Básicos comunes de la 
Educación Polimodal en Argentina, los Contenidos Mínimos Obligatorios de la Educación 
Media en Chile, las Enseñanzas Mínimas del Bachillerato en España, los Estándares 
Educativos Nacionales en los Estados Unidos y las reformas curriculares en Canadá y en 
Perú. 
 
En particular, en el bachillerato, la enseñanza de la matemática debe contribuir a 
consolidar los conocimientos y las habilidades para aplicarla a diversas situaciones 
problemáticas y a que el alumno la considere como algo propio y tenga confianza al 
emplearla, y sirva para formar en el alumno una mentalidad organizada y analítica. 
 
A partir de éstas en las que coinciden la Escuela Nacional Preparatoria y el Colegiode 
Ciencias y Humanidades, cuyos programas de estudios constituyeron un referente 
fundamental, es que se han formulado los desempeños correspondientes a matemática 
para el Núcleo de Conocimientos y Formación Básicos que debe proporcionar el 
Bachillerato de la UNAM (NCFB); es decir, lo que es esencial que aprendan los alumnos. 
 
 
 
 8 
 
En los desempeños propuestos se refleja la orientación que se propone para la 
enseñanza y el aprendizaje de la matemática en este nivel educativo: 
 
• Favorecer la comprensión y la capacidad de aplicación de conceptos y 
procedimientos matemáticos esenciales. 
 
• Promover la valoración, el interés y el gusto por la matemática como una ciencia 
en constante desarrollo. 
 
El Colegio de Ciencias y Humanidades, junto con la Escuela Nacional Preparatoria, forma 
parte del bachillerato universitario con mayor demanda de la población estudiantil de 
México. 
 
 
2.1.1 Bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades 
 
El Colegio de Ciencias y Humanidades fue originado como una alternativa que venía a 
resolver diversos problemas, entre otros, la demanda educativa de nivel superior y medio 
superior, efecto de la explosión demográfica y de la generalización de las oportunidades 
de educación elemental y media, fruto del plan de 11 años. 
 
El Colegio de Ciencias y Humanidades es el resultado de una constante preocupación 
universitaria: impulsar por nuevos caminos la enseñanza y la investigación científica. Fue 
concebido como un plantel de nuevo tipo, que rebasando las limitaciones de la 
organización tradicional, abriera sus puertas al mayor número posible de estudiantes y 
reuniera la experiencia de diversas instituciones de educación superior, a fin de orientar 
adecuadamente al alumno en función del campo educacional. 
 
El Colegio de Ciencias y Humanidades dispone de un modelo educativo con el cual 
desarrolla un conjunto de experiencias de aprendizaje en su población estudiantil a través 
de una serie de políticas, programas y proyectos. (Prontuario del profesor, enero, 2002) 
 
Este modelo educativo se caracteriza por una serie de elementos estructurales que son: 
 
• La noción de cultura básica. 
• La organización académica por áreas. 
• El alumno como actor de su formación. 
• El profesor como orientador en el aprendizaje. 
 
“La función principal del modelo educativo es la de establecer lineamientos institucionales 
para organizar y regular los procesos de enseñanza y aprendizaje”. (Prontuario del 
profesor, enero, 2002) 
 
La noción de cultura básica. Éste es el contenido fundamental formativo que le ofrece el 
Colegio a sus alumnos. La cultura básica se encuentra plasmada en todas las asignaturas 
del plan de estudios, y se entiende como el conjunto de principios y elementos de saber y 
de hacer a través de cuya utilización pueda adquirir mayores y mejores conocimientos y 
prácticas. En consecuencia, la cultura básica se integra por las capacidades de: 
 
 9 
- Aprender a conocer. Acceso a la información y su organización: lectura de libros 
y textos. 
- Aprender a hacer. La puesta en práctica de conocimientos: la experimentación en 
los laboratorios, la investigación y producción de textos en la clase-taller. 
- Aprender a ser. La adquisición y ejercicio de los valores de la cultura 
contemporánea: respeto, tolerancia, solidaridad, etc. 
- Aprender a aprender. Capacidad del alumno de seguir aprendiendo y asumirse 
como sujeto de cultura y educación. 
 
La organización académica por áreas. El contenido de la cultura básica se organiza y 
distribuye en las diferentes materias que articulan las 4 áreas que definen la estructura 
curricular del CCH: el área de ciencias experimentales, de talleres, de histórico-sociales y 
de matemáticas. En su conjunto las áreas son grandes campos de conocimiento que 
fomentan una visión humanista de las ciencias y la naturaleza, así como una visión 
científica de los problemas del hombre y la sociedad. 
 
El alumno como actor de su formación. El bachillerato del Colegio se caracteriza por 
colocar en el centro de todas sus actividades, al alumno, su aprendizaje y su formación. 
Para ello se han diseñado políticas, programas y proyectos que tienen como eje 
organizacional este principio. Por lo tanto, el enfoque de las materias, las formas de 
trabajo en el salón de clases, los laboratorios, la formación de profesores y los 
mecanismos de gestión académica y administrativa de la institución toman a esta 
concepción del alumno como el referente para organizar sus actividades. 
 
El profesor como orientador en el aprendizaje. La institución concibe un modelo de 
docencia que, desarrollando y fortaleciendo las habilidades básicas de saber planear, 
instrumentar y evaluar las clases, sea capaz de orientar la adquisición de conocimientos 
de calidad, adapte materiales didácticos y realimente el aprendizaje de los estudiantes de 
manera cotidiana. 
 
2.1.2 Propósitos del área de Matemáticas 
 
La enseñanza de la Matemática en el bachillerato debe orientarse de manera tal que 
permita a los alumnos percibir a esta disciplina como una ciencia en constante desarrollo. 
 
El sentido del Área está determinado por el hecho de que el aprendizaje de la Matemática 
contribuye de diversas maneras al desarrollo de la personalidad del educando. (Prontuario 
del profesor, enero, 2002) 
 
Se busca que el estudiante sea el principal actor en el proceso de su aprendizaje, 
adquiera un desempeño satisfactorio en la comprensión y manejo de los contenidos de 
los cinco ejes temáticos (Álgebra, Geometría, Trigonometría, Geometría Analítica y 
Funciones) y desarrolle: 
 
• El empleo de diversas formas de pensamiento reflexivo (sistemático, especulativo 
y riguroso), particularmente de tipo analógico, inductivo y deductivo. 
• La adquisición de aprendizajes de manera independiente. 
• La comprensión del significado de los conceptos, símbolos y procedimientos 
matemáticos correspondientes al nivel bachillerato. 
• La capacidad para realizar análisis y establecer relaciones mediante la 
identificación de semejanzas y el uso de analogías. 
 10 
• La capacidad para formular conjeturas, construir argumentos válidos y aceptar o 
refutar los de otros. 
• La capacidad de aprender tanto de los aciertos como de los errores. 
• La habilidad en el manejo de estrategias de resolución de problemas. 
• La incorporación a su lenguaje y modos de argumentación habituales, de diversas 
formas de expresión matemática (numéricas, tabulares, gráficas, geométricas y 
algebraicas) 
• La aplicación de conocimientos en distintos ámbitos de su actividad, con actitudes 
de seguridad en sí mismo y de autoestima. 
• El interés por la lectura y comprensión de textos científicos, tanto escolares como 
de divulgación. 
• La valoración del conocimientos científico en todos los campos del saber. 
 
2.1.3 Propósitos de la materia 
 
Dentro de los propósitos generales de Matemáticas I en relación con el tema de 
ecuaciones cuadráticas se tiene que: 
 
• El alumno analizará las condiciones y relaciones que se establecen en el 
enunciado verbal de un problema y expresará las relaciones entre lo conocido y lo 
desconocido a través de una ecuación algebraica de segundo grado. 
• Utilizará los métodos siguientes para resolver una ecuación cuadrática: 
factorización, completar a un trinomio cuadrado perfecto y uso de la fórmula 
general. 
• Transformará una ecuación cuadrática a la forma adecuada para su resolución por 
un método específico. 
• Identificará cuáles son los parámetros a, b y c, aún en ecuaciones “desordenadas” 
o incompletas y los sustituirá correctamente en la fórmula general. 
• Efectuará las operaciones indicadas al aplicar la fórmula general, de modo que 
llegue a obtener las dos soluciones correctas. 
• Sabrá que cuando en el radical se obtiene un número negativo, no existe ningún 
número real que satisfaga esta condición, por lo que se requiere entrar al terreno 
de otro tipo de números llamados complejos. 
• Calcularáel valor del discriminante acb 42 − para conocer la naturaleza y el 
número de soluciones. 
• Dadas las dos raíces de una ecuación, construirá la ecuación de la que provienen. 
 
En relación con actividades de generalización, el alumno comprenderá cómo se obtiene la 
fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. 
 
2.2 Enseñanza 
 
De manera general se define la enseñanza (Del latín. Vulg. Insignare, señalar) como: 
sistema y método de dar instrucción. Conjunto de conocimientos, principios, ideas, etc., 
que se enseñan a alguien. 
 
La palabra enseñanza puede ser definida desde diferentes puntos de vista, es decir, de la 
corriente educativa a la que se haga referencia. 
 
 11 
Para Chadwick y Rivera, 1990 la enseñanza consiste en crear las condiciones adecuadas 
para que se produzca el aprendizaje del alumno. Mientras que el aprendizaje es un 
cambio relativamente permanente que se produce en un aprendiz, debido a ejercitación, 
práctica, entrenamiento o experiencias y no a circunstancias tales como drogas, 
accidentes, maduración. Y al entrar ambos procesos en interacción dinámica, se produce 
lo que se llama “el proceso de enseñanza-aprendizaje”. 
 
Siendo conceptos paralelos y complementarios, es importante distinguir los términos de 
enseñanza y aprendizaje. 
 
2.2.1 Concepciones sobre el proceso de enseñanza 
 
Para Danilov el éxito de la enseñanza sólo puede lograrse si el contenido de la misma y 
los métodos empleados corresponden a los fines de la educación y a las peculiaridades 
de los alumnos, según su edad. La asimilación de conocimientos nuevos se inicia siempre 
por la percepción de las materias estudiadas, de los fenómenos o de las explicaciones del 
maestro. La percepción activa se verifica cuando en el alumno concurren determinados 
motivos. Todo ello caracteriza el proceso asimilativo. La creación de condiciones para que 
surjan dichos motivos constituye un importante elemento de la enseñanza. 
 
“La asimilación de conocimientos por los alumnos rinde sus mayores frutos 
cuando existe una acertada organización de la enseñanza por el maestro” 
(Danilov, 1977, p.21) 
 
El proceso de asimilación de conocimientos por los alumnos sigue dos caminos: a) el 
directo, éste se refiere cuando aquéllos pasan de la observación de los objetos, de los 
procesos y de los fenómenos estudiados, del análisis de las nociones concretas y de la 
experiencia vital que poseen, a las nociones y a los conceptos científicos, y b) el indirecto, 
éste se refiere a cuando los alumnos parten de los conceptos que poseen, de las palabras 
del maestro y del libro de texto, para crear en su mente un objeto, un fenómeno, formando 
un nuevo concepto de los objetos estudiados. Existe un estrecho nexo entre el camino 
directo de asimilación de conocimientos y el camino indirecto. 
 
La enseñanza constituye el camino y el medio fundamental de formación y de educación. 
Es decir, un grado de formación no se adquiere súbitamente, en un momento, sino como 
resultado de un período de enseñanza más o menos prolongado. 
 
Por otra parte Ausubel menciona que al diseñar un curriculum nuevo o al planear un 
segmento de un programa de enseñanza, es importante tener siempre en cuenta que “el 
factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya conoce”. Es 
decir, que la planeación de la enseñanza exige una estimación cuidadosa de los 
conceptos y destrezas que los alumnos poseen y que son relevantes para las nuevas 
tareas de aprendizaje. 
 
Se distinguen tres etapas en la acción didáctica: 
 
a) Planteamiento. En esta etapa se formulan los objetivos educativos y los planes de 
trabajo adaptados a los objetivos previstos. La formulación de un plan implica la toma de 
decisiones anticipada y la reflexión con anterioridad a la puesta en práctica. 
 
 12 
b) Ejecución. Posteriormente al planteamiento, el profesor pone en práctica los recursos y 
métodos didácticos, desarrollándose así el proceso de enseñanza. 
 
c) Evaluación. Es la etapa en la que se verifican los resultados obtenidos con la ejecución, 
materializándose en el proceso de evaluación. 
 
2.3 Aprendizaje 
 
El aprendizaje (del latín. Apprenhendere) es el otro elemento fundamental del proceso y 
de manera común se define como: la adquisición de conocimientos por medio del estudio 
o de la experiencia. 
 
2.3.1 Concepciones sobre el proceso de aprendizaje 
 
Para Ausubel todo el aprendizaje en el salón de clases puede ser situado a lo largo de 
dos dimensiones independientes: La dimensión repetición-aprendizaje significativo y la 
dimensión recepción-descubrimiento. 
 
En realidad, los dos tipos de aprendizaje pueden ser significativos: 1. Si el estudiante 
emplea una actitud de aprendizaje significativo, es decir, una disposición para relacionar 
de manera significativa el nuevo material de aprendizaje con su estructura existente de 
conocimiento, y 2. Si la tarea de aprendizaje en sí es potencialmente significativa, es 
decir, si consiste en un material razonable o sensible y si puede relacionarse de manera 
sustancial y no arbitraria con la estructura cognoscitiva del estudiante particular. 
 
En el aprendizaje por recepción, el contenido principal de la tarea de aprendizaje 
simplemente se le presenta al alumno. En el aprendizaje por descubrimiento, el contenido 
principal de lo que ha de aprenderse se debe descubrir de manera independiente antes 
de que se pueda asimilar dentro de la estructura cognoscitiva. 
 
En el aprendizaje por recepción (por repetición o significativo), el contenido total de lo que 
se va a aprender se le presenta al alumno en su forma final, se le exige sólo que 
internalice o incorpore el material (una lista de sílabas sin sentido, un poema, un teorema 
de geometría, etc.) que se le presenta de tal modo que pueda recuperarlo o reproducirlo 
en un momento posterior. 
 
En el aprendizaje por recepción y repetición, la tarea de aprendizaje, no es ni 
potencialmente significativa ni tampoco convertida en tal durante el proceso de 
internalización, por otra parte el aprendizaje por recepción puede ser significativo si la 
tarea o material potencialmente significativos son comprendidos en la estructura cognitiva 
previa del alumno. 
 
“Gran parte de la confusión en las discusiones sobre el aprendizaje escolar se 
debe al no reconocer que los aprendizajes por repetición y significativo 
no son completamente dicotómicos. Aunque son cualitativamente 
discontinuos en términos de los procesos psicológicos que subyacen a 
cada uno de ellos, y que por lo mismo no pueden ser colocados en 
los polos opuestos del mismo continuo, existen tipos de aprendizaje de 
transición que comparten algunas de las propiedades de los aprendizajes 
antes mencionados (por ejemplo, el aprendizaje de representaciones o el 
 13 
aprendizaje de los nombres de los objetos, los eventos y los conceptos)”. 
(Ausubel, 1976, p. 34) 
 
En términos generales lo anterior se puede representar de manera simplificada en la 
fig1. 
 
 
Aprendizaje 
Significativo Clarificación de las Enseñanza Investigación 
 relaciones entre audiotutelar científica (música o 
 los conceptos bien diseñada arquitectura nuevas) 
 
 
 Conferencias o “Investigación” 
 presentaciones de Trabajo escolar más rutinaria 
 la mayor parte de en el laboratorio o producción intelectual 
 los libros de texto 
 
 
Aprendizaje Tablas de Aplicación de fórmulas Soluciones a 
Por repeticiónMultiplicar para resolver problemas rompecabezas por 
 ensayo y error 
 
 Aprendizaje Aprendizaje por Aprendizaje por 
 por recepción descubrimiento guiado descubrimiento autónomo 
 
 Fig.1.1 Tomada de Ausubel 1976. 
 
Los aprendizajes por recepción y por descubrimiento se hallan en un continuo separado 
del aprendizaje por repetición y el aprendizaje significativo. 
 
Se considera importante mencionar que “el aprendizaje por recepción, si bien 
fenomenológicamente más sencillo que el aprendizaje por descubrimiento, surge 
parodójicamente ya muy avanzado el desarrollo, y, especialmente en sus formas verbales 
puras más logradas, implica un nivel mayor de madurez cognoscitiva” (Ausubel, 1976, p. 
36). 
 
 
2.4 Concepciones sobre las Matemáticas 
 
La concepción que sobre las matemáticas se tenga, es muy importante ya que se 
determina en gran medida para la manera en como el docente concibe su trabajo. 
 
Cuando un profesor está frente a un grupo de alumnos, se manifiestan las siguientes 
dimensiones: conocimientos, habilidades y actitudes. Ya sea de manera consciente o 
inconsciente. 
 
De acuerdo a Sánchez y Santos (1994), la enseñanza tradicional, se considera, en línea 
de descendencia de una concepción objetal de la matemática, como si estuviese 
conformada por objetos que pre-existen a la actividad del sujeto cognoscente. Y como 
resultado de esta concepción, la enseñanza se ha confundido con una presentación de 
objetos. Y por otro lado se menciona que en el constructivismo, el conocimiento producido 
es siempre contextual, el sujeto le otorga una serie de significaciones que van 
 14 
determinando conceptualmente al objeto, es decir no hay una recepción pasiva del 
conocimiento, sino una participación activa del alumno ya que esto constituye parte 
integral de su proceso educativo. 
 
Y para tratar de comprender el mundo de sus experiencias, se dice que las personas 
hacen uso de representaciones. Las representaciones, se basan en una función muy 
importante del sistema cognitivo que es la función simbólica. Por ejemplo, dado un 
problema se puede representar de diferentes maneras. 
 
Generalmente los profesores buscan de alguna manera que sus alumnos entiendan, sin 
embargo esto no es un trabajo fácil. Ya que la mayoría de los alumnos consideran que las 
matemáticas son difíciles de entender. 
 
”Para entender las matemáticas los alumnos necesitan formar representaciones 
internas, mentales, de los conceptos matemáticos y formar conexiones entre 
ellas. Los alumnos también necesitan formar conexiones entre estas 
representaciones internas y las representaciones externas, tales como materiales 
concretos que incorporen los conceptos matemáticos abstractos. Así mismo, 
necesitan formar conexiones entre las representaciones y los símbolos usados 
para denotar conceptos” (Hiebert y Carpenter, 1992, en Flores Peñafiel, 1994. 
p.79) 
 
De acuerdo con Flores Peñafiel (1994), la manera para poder lograr que los alumnos 
entiendan matemáticas, no basta solo con una actitud pasiva del alumno sino que 
debe tener una actitud activa. 
 
También hace mención que la comunicación es muy importante para saber si el 
alumno ha logrado la comprensión de los conceptos y principios matemáticos. Es 
decir, la comprensión de un alumno se desarrolla al comunicar ideas en formación, 
así como tratar de entender las explicaciones de sus compañeros. 
 
Otro aspecto importante que señala para aprender matemáticas, es la reflexión sobre 
lo que hacen, es decir, el profesor no debe quedarse con la simple satisfacción si sus 
alumnos muestran entusiasmo al momento de realizar las actividades asignadas, sino 
que debe propiciar y lograr la reflexión por parte de los alumnos. 
 
Así los tres elementos acción, comunicación y reflexión son esenciales para entender 
las matemáticas y al mismo tiempo los tres contribuyen en la formación de un sistema 
de creencias y actitudes positivas con respecto a las matemáticas y lo que significa 
aprender matemáticas. 
 
Se pueden utilizar materiales concretos para desarrollar conceptos geométricos que 
puedan rotarse y moverse, esto permite a los alumnos evitar la formación de 
conceptos erróneos. También las representaciones concretas pueden ayudar a los 
alumnos de nivel medio a tener una mejor comprensión, por ejemplo, la 
representación de una expresión algebraica por medio de cuadrados y rectángulos. 
 
Así los objetos concretos ayudan al maestro a crear un ambiente propicio de 
aprendizaje, mientras que la manipulación de objetos para establecer relaciones 
entre conceptos matemáticos es más fácil y menos amenazador para la mayoría de 
los alumnos que el uso exclusivo de símbolos. Estas actividades permiten al alumno 
 15 
ver que las matemáticas no son sólo una serie de conocimientos generados por 
expertos y transmitidos por el profesor para ser recibidos por los alumnos. Al 
contrario, los alumnos pueden formarse la idea de que la matemática es un campo 
dinámico en constante expresión. 
 
Además “La participación de los niños en situaciones conflictivas tales como las 
discusiones, propicia el desarrollo de habilidades de toma de perspectiva, generando 
el crecimiento cognitivo” (Piaget 1932, en Flores Peñafiel, 1994, p.84). 
 
Materiales Didácticos 
 
El profesor desempeña un papel muy importante en el proceso de enseñanza-
aprendizaje, los Principios y Estandares de Educación Matemática, NCTM, 2000 
señala que, para que la enseñanza sea eficaz se requiere que los profesores 
favorezcan y fomenten un ambiente propicio para aprender a través de las decisiones 
que toman, las conversaciones que fomentan y el marco físico que crean. Las 
acciones del profesor animan al alumno a pensar, preguntar, resolver problemas y 
discutir sus ideas, estrategias y soluciones. 
 
Se considera que una de las medidas para el mejoramiento del aprendizaje consiste 
en los materiales didácticos, al respecto Ausubel, 1976 afirma que “Los factores más 
importantes que influyen en el valor de aprendizaje de los materiales didácticos 
radican en el grado en que estos materiales facilitan el aprendizaje significativo”. 
Además las estrategias de aprendizaje que se llevan a cabo en el salón de clases 
junto con el uso de materiales didácticos, apoyan la promoción de cambios 
conceptuales para que el aprendizaje sea significativo. 
 
Por lo tanto “Los objetivos de aprendizaje deben especificarse de tal manera que 
para el estudiante resulten evidentes los conceptos o principios que deben 
aprenderse, formulados en un lenguaje que facilite, por medio de ellos, el 
reconocimiento de los vínculos que existen entre lo que los alumnos ya saben y los 
conceptos o principios nuevos que deben aprender” (Ausubel, 1976, p.308). 
 
Con base a la información antes mencionada, los materiales didácticos deben ser 
elaborados de tal manera que los conceptos sean claros, las actividades sean 
interesantes y de una manera flexible, esto con la intención de que el aprendizaje sea 
agradable y significativo, ya que el uso de estos materiales ayuda a los alumnos a 
construir y reafirmar los conceptos que se desea que aprendan. 
 
 16 
CAPITULO III. METODOLOGÍA DEL TRABAJO 
 
 
El presente trabajo muestra un análisis realizado a un grupo de 25 alumnos de primer 
semestre, en donde se recolectaron datos. Este trabajo se basa en una prueba sobre los 
contenidos del tema de ecuaciones de segundo grado correspondiente a matemáticas I, y 
se aplicó en la modalidad de pre test post test. El estudio se llevo a cabo en el Colegio de 
Ciencias y Humanidades plantel Azcapotzalco. 
 
Este trabajo fue realizado en dos fases: La primera fase consistió en la aplicación del 
instrumentodiagnóstico (un examen que considerara los contenidos de la unidad) al inicio 
de la unidad, es decir, antes de aplicar el material didáctico. La segunda fase consistió en 
la aplicación del instrumento diagnóstico una vez que los alumnos ya habían trabajado 
con el material didáctico, es decir, al final de la unidad. 
 
El instrumento diagnóstico tuvo como finalidad evaluar el desempeño de los alumnos a lo 
largo de la unidad, así como conocer cuales son los conceptos que han sido significativos 
en el aprendizaje de los alumnos. 
 
 
3.1 Instrumentos desarrollados para realizar el trabajo 
 
• Se elaboró un examen diagnóstico con un total de 15 reactivos (Anexo 1), con el 
cual se pretende identificar las deficiencias en los aprendizajes, así como conocer 
los antecedentes de los alumnos en cuanto al tema de ecuaciones de segundo 
grado. 
• Se elaboró un cuestionario para los profesores, en el cual se informa la manera en 
como trabajan con los alumnos, el tema de ecuaciones de segundo grado (Anexo 
4). 
• Se elaboró un material didáctico sobre el tema de productos notables, 
factorización y ecuaciones de segundo grado, con actividades de enseñanza 
aprendizaje, con la finalidad de mejorar el proceso de enseñanza – aprendizaje. 
• Se elaboró una descripción sobre el desarrollo de la enseñanza de los productos 
notables, factorización y ecuaciones de segundo grado (material didáctico). 
 
 
3.2 Descripción del instrumento diagnóstico 
 
El instrumento diagnóstico (examen) (Anexo1), se elaboró a partir de revisar el programa 
de estudios actualizado (PER) de la asignatura de Matemáticas I. De acuerdo a los temas 
de la unidad 5 se desarrollaron las preguntas, así mismo se tomaron algunos temas de la 
unidades anteriores, como ecuaciones lineales, funciones lineales, algunas operaciones 
con polinomios. También se desarrollaron preguntas sobre el cálculo de áreas de 
cuadrados y rectángulos (conocimientos previos), ya que se considera que son elementos 
básicos para poder conducirlos a la obtención de las reglas de los productos notables. 
 
También se elaboró una tabla de especificaciones (ver Tabla 1) donde se mencionan los 
contenidos de aprendizajes, así como el nivel taxonómico de la pregunta, esto nos ayuda 
a balancear los contenidos del examen. Tomado de la Taxonomía LMNSA (Matemáticas). 
 
 
 17 
 Tabla 1. Tabla de Especificaciones 
Contenidos de Aprendizajes Nivel Taxonómico Pregunta 
Inciso de la 
Pregunta 
Cálculo de áreas 
Representación algebraica de 
áreas conocidas 
Nivel de conocimiento 
 
1 
 
1 a) 
1 b) 
1 c) 
1 d) 
 
 
Desarrollo de Productos 
Notables: 
Factorización 
Binomio al cuadrado 
Binomios conjugados 
 
Nivel algorítmico 2 
2 a) 
2 b) 
2 c) 
 
Número de soluciones de una 
ecuación de segundo grado 
Nivel de conocimiento 3 3 
 
Resolución de ecuaciones 
lineales y cuadráticas con una 
incógnita, por métodos 
algebraicos 
 
Nivel algorítmico 4 
4 a) 
4 b) 
4 c) 
4 d) 
4 e) 
 
Operaciones con polinomios 
 
Nivel algorítmico 
5 
6 
5 
6 
 
Concepto de factorización 
 
Nivel de comprensión 7 7 
 
Métodos de solución de 
ecuaciones cuadráticas: 
Factorización de una ecuación 
cuadrática de la forma: 
0
2 =++ cbxx 
 
Nivel algorítmico 8 8 
 
Resolución de una ecuación 
cuadrática de la forma: 
0
2 =++ cbxax 
 
Nivel algorítmico 
9 
10 
9 
10 
 
Representación gráfica de una 
función lineal. 
Expresión de la forma: 
bmxy += 
 
Nivel de comprensión 11 11 
 
Representación de una función 
cuadrática. 
Expresión de la forma: 
cbxaxy ++= 2 
Nivel de comprensión 12 12 
 18 
 
Resolución de problemas que 
dan lugar a ecuaciones 
cuadráticas 
 
Nivel de aplicación 
13 
14 
15 
13 
14 
15 
 
 
Como se menciona anteriormente este instrumento diagnóstico se aplicó bajo la 
modalidad pre test post test, es decir, el mismo instrumento diagnóstico fue aplicado a los 
alumnos al inicio de la unidad, esto nos da una información muy valiosa ya que se puede 
explorar los conocimientos que traen los alumnos, una vez sabiendo esto, el profesor 
puede organizarse de una mejor manera para diseñar el ambiente de aprendizaje sobre 
todo en los temas que se tienen deficiencia. 
 
Al terminar el uso del material didáctico (Anexo 2), se les aplicó el mismo instrumento 
diagnóstico, esto con la finalidad de saber cuales son los conceptos que han sido 
significativos en el aprendizaje de los alumnos, y cuales tienen mayor dificultad. Se podrá 
hacer una comparación con el antes y después de haber aplicado el instrumento 
diagnóstico. 
 
Los resultados del instrumento diagnóstico se analizarán como respuestas correctas y 
respuestas incorrectas de manera individual. Así mismo se hará una comparación con el 
antes y despues de haber aplicado los examenes, y por último un análisis estadístico 
(prueba de hipótesis sobre diferencias de medias). 
 
 
3.3 Propuesta didáctica para la enseñanza de los productos notables, factorización 
y ecuaciones de segundo grado. 
 
 
De acuerdo al programa de Matemáticas I, del Colegio de Ciencias y Humanidades 
referente a la unidad 5, se presenta de la siguiente manera: 
 
Matemáticas I. Unidad 5 Ecuaciones Cuadráticas. 
 
Propósitos: Profundizar, a través del planteamiento y resolución de ecuaciones 
cuadráticas, en: el concepto mismo de ecuación, lo que significa que un número sea su 
solución, en la relación que existe entre grado de la ecuación y el número de soluciones. 
Mostrar el poder del Álgebra para encontrar tanto métodos alternos como generales de 
resolución. 
 
Temática Aprendizajes Estrategias 
 
 
 
- Problemas introductorios 
que dan lugar a ecuaciones 
cuadráticas con una 
incógnita. 
 
 
 
 
En relación con la actividad de 
resolución de problemas, el 
alumno: 
 
- Analizará las condiciones y 
relaciones que se establecen en el 
enunciado verbal de un problema y 
expresará las relaciones entre lo 
conocido y desconocido a través de 
 
 
Con el propósito de que el 
alumno parta de lo que conoce, 
analice limitaciones de ello y 
explore nuevos caminos que lo 
lleven a que al final obtenga la 
formula general y aprecie sus 
ventajas, se recomienda la 
siguiente secuencia: 
 19 
 
 
 
 
 
 
- Resolución de ecuaciones 
cuadráticas de las formas: 
 
 02 =+ cax 
 dcax =+2 
 02 =+ bxax 
 ( ) nmxa =+ 2 
 ( )( ) 0=++ dcxbax 
 
 
 
 
- Resolución de la ecuación 
cuadrática completa 
0
2 =++ cbxax 
 
 a) Factorización 
 b) Método de Completar 
 Cuadrados 
 c) Fórmula General 
 
 
 
 
- Análisis del discriminante 
 acb 42 − 
 
 a) El número i 
 b) Raíces dobles 
 c) Número y naturaleza de 
 las ecuaciones de la 
 ecuación 
 02 =++ cbxax 
 
 
 
 
una ecuación algebraica de segundo 
grado 
 
- Reafirmara la estrategia general en 
la resolución de problemas de reducir 
un problema nuevo a otro que ya se 
sabe como resolver. 
 
- A partir del análisis del modelo 
algebraico de un problema, valorará 
el método algebraico de resolución 
que resulta más conveniente. 
 
Con relación a los conocimientos y 
destrezas propios del Tema, el 
alumno: 
 
- Utilizará los métodos siguientes 
para resolver una ecuación 
cuadrática: factorización, completar 
un trinomio cuadrado perfecto y uso 
de la fórmula general. 
 
- Transformará una ecuación 
cuadrática a la forma adecuada para 
su resolución por un método 
específico. 
 
- Identificará cuáles son los 
parámetros a , b y c , aún en 
ecuaciones “desordenadas” o 
incompletas y los sustituirá 
correctamente en la fórmula general. 
 
- Efectuará las operaciones indicadas 
al aplicar la fórmula general, de modo 
que llegue a obtener las dos 
soluciones correctas. 
 
- Sabrá que cuando en el radical se 
obtiene un número negativo, no 
existe ningún número real que 
satisfaga esta condición, por lo que 
se requiere entrar al terreno de otro 
tipo de números llamados complejos. 
 
- Calculará en valor del discriminante 
acb 42 − para conocer la naturaleza 
y el número de soluciones distintas.- Dadas las dos raíces de una 
ecuación, construirá la ecuación de la 
que provienen. 
 
 
 
 
- Enfrentar al estudiante a la 
solución de problemas que por su 
contexto o redacción lo lleven, 
con una alta probabilidad, a 
plantear ecuaciones de las 
siguientes formas: 
dcax =+2 , ( ) nmx =± 2 y 
( ) nmxa =± 2 de modo que con 
la orientación del profesor 
puedan resolverlas por inversión 
de operaciones. 
 
- En alguno de los ejercicios con 
ecuaciones de la forma 
( ) nmxa =± 2 efectuar el 
binomio al cuadrado y solicitar al 
estudiante que resuelva ahora la 
ecuación así escrita. 
 
- Plantear la revisión del método 
corto para elevar un binomio al 
cuadrado, así como la 
factorización del factor común y 
de un trinomio cuadrado perfecto. 
 
- Una vez trabajado con este 
método, apoyar al estudiante 
para que con actividades de 
generalización, llegue a la 
fórmula general de solución de 
una ecuación cuadrática. 
 
- En cuanto a la solución de 
ecuaciones cuadráticas por el 
método de factorización, pueden 
ponerse los ejercicios en los que 
se tenga un producto de dos 
binomios igualado a cero y 
analizar cuándo esto es posible, 
haciendo notar que en cada caso 
la dificultad se reduce a resolver 
una ecuación lineal sencilla. 
 
 
 
 20 
En relación con actividades de 
generalización, el alumno: 
 
- Comprenderá cómo se obtiene la 
fórmula general para resolver 
ecuaciones cuadráticas. 
 
 
Con base a la información antes mencionada, de acuerdo a mi criterio, considero agregar 
los temas de productos notables así como la factorización, esto con la finalidad de tener 
una mejor comprensión en la resolución de ecuaciones de segundo grado. 
 
Por lo que la propuesta didáctica consiste en una forma diferente de enseñar los 
productos notables bajo un enfoque geométrico, así como la factorización y la resolución 
de ecuaciones de segundo grado. Además se pretende que el alumno logre desarrollar 
habilidad en las estrategias que debe seguir para resolver problemas específicos. 
 
 
Temática Aprendizajes Estrategias 
 
 
 
- Productos notables 
 Caso I. ( )2ba + 
 Caso II. ( )2ba − 
 Caso III. ( )( )baba +− 
 
 
 
 
- Factorización 
 Factorización de factores 
comunes. 
 Factorización de 
trinomios: 
 Trinomios de la forma 
cbxx ++2 donde 0≠b , 
0≠c 
 Trinomios de la forma 
cbxax ++2 donde 1≠a , 
0≠b y 0≠c 
 
 
 
 
 
- Se pretende que el alumno tenga 
una mejor comprensión de los 
productos notables. 
 
 
 
 
 
 
 
- Repasar algunas técnicas de 
factorización, las cuales serán 
empleadas en la resolución de 
ecuaciones de segundo grado. 
 
 
 
 
Estas expresiones facilitan la 
resolución de diversos problemas: 
 
- Por medio de un enfoque 
geométrico ya que desempeñan un 
papel muy importante en los 
cálculos algebraicos. 
 
- Cálculo de áreas de cuadrados y 
rectángulos. Estas actividades 
conducirán a los alumnos, a la 
obtención de las reglas de los 
productos notables. 
 
- En cuanto al tema de 
factorización, darles significado a 
los algoritmos de las operaciones, 
reforzando los métodos de 
factorización, 
 
- Se requiere suficientes 
actividades, para que el alumno ya 
no presente dificultades en el 
proceso de resolución de 
ecuaciones cuadráticas. 
 
 
 
Por lo tanto de acuerdo a lo señalado arriba y tomando en cuenta las sugerencias del 
programa de Matemáticas I, se elaboró el material didáctico (ver anexo 2). Más adelante 
se describe el desarrollo de las actividades de enseñanza-aprendizaje. 
 
 
 
 21 
Evaluación 
 
La evaluación es una parte fundamental del proceso enseñanza-aprendizaje. Se 
considera como un proceso muy complejo, que abarca todo el acontecer del trabajo de un 
grupo escolar. 
 
La evaluación educativa “es una reflexión crítica sobre todo los factores que intervienen 
en el proceso didáctico, a fin de determinar cuáles pueden ser, están siendo o han sido 
los resultados del aprendizaje” (Carlos Rosales en Amengual, 1984, p.150). 
 
La evaluación se debe hacer con base a los objetivos que se han establecido, es decir, 
qué es lo que esperamos que los alumnos hayan aprendido y si alcanzaron estos 
objetivos, para esto desde el inicio del curso se observa a los alumnos como trabajan 
durante la clase, formular preguntas de los temas que se han visto, que los alumnos 
planteen sus dudas, hacer ejercicios en clase, tareas, exámenes orales, exámenes 
escritos, realicen mapas conceptuales, exposiciones, etc. 
 
Por lo que la evaluación se hace durante todo el curso, es decir es un proceso continuo y 
además reflexiva. 
 
De acuerdo a Lafourcade, la evaluación constituye una actividad que permitirá al docente: 
 
a) Saber cuáles objetivos fueron cumplidos a través del ciclo didáctico proyectado. 
b) Intentar un análisis de las causas que pudieron haber motivado deficiencias en el 
logro de las metas propuestas. 
c) Adoptar una decisión en relación a la causal que concurrió al logro parcial de los 
objetivos previstos. 
d) Aprender de la experiencia y no incurrir, en el futuro, en los mismos errores. 
 
Con base a la información antes mencionada se considera que la comprobación de los 
resultados de los aprendizajes lleva implícita una evaluación de todos los factores que 
contribuyeron a su realización. 
 
Para la propuesta didáctica se sugieren tres tipos de evaluación, las cuales se mencionan 
a continuación: 
 
Evaluación Diagnóstica 
 
Este tipo de evaluación se realiza previamente al desarrollo del proceso educativo, 
cualquiera que éste sea. 
 
Como resultado de la aplicación de instrumentos para la realización de esta interpretación 
de la evaluación diagnóstica, pueden obtenerse dos tipos de resultados: 
 
1. Los que manifiestan que los alumnos son cognitivamente competentes y pueden, en 
consecuencia, ingresar sin ningún problema al curso correspondiente. 
 
2. Aquellos otros en donde los alumnos demuestren no poseer las aptitudes cognitivas 
mínimas necesarias para abordar con éxito el curso, para lo cual se suelen a su vez tomar 
dos tipos de medidas: 
 22 
a) Modificar la programación impuesta en la medida que sea posible para que haya 
una mejor adecuación entre capacidad cognitiva y el programa escolar. 
b) Que los alumnos participen en algún curso preliminar de carácter propedéutico o 
remedial, o que se les excluya del ingreso al ciclo educativo. 
 
La segunda interpretación de la evaluación diagnóstica inicial, tiene importantes 
implicaciones pedagógicas. Dicha interpretación parte de la idea clásica de Ausubel 
(Ausubel, Novak y Hanesian, 1983) referida a la importancia de valorar los esquemas 
cognitivos de los alumnos a favor del logro de aprendizajes significativos. 
 
Hay que tomar en cuenta que los conocimientos previos que registren los alumnos al 
inicio de un ciclo, pueden asumir las siguientes tres formas distintas: 
 
1. Conocimientos previos alternativos (“mi-concepción”, Carretero, 1993). 
2. Conocimientos previos desorganizados y/o parcialmente relacionados con los nuevos 
que habrá de aprenderse. 
3. Conocimientos previos pertinentes. 
 
Los tres tipos de conocimiento previo exigen estrategias didácticas distintas, y de 
cualquier manera es necesario que el profesor los identifique de alguna manera, para 
ayudarle al alumno a construir sobre ellos o con ellos los contenidos escolares. Por lo 
tanto diversas técnicas o procedimientos simples y complejos pueden utilizarse para 
efectuar la evaluación diagnóstica. 
 
Evaluación Formativa 
 
Esta forma de evaluación se realiza conjuntamente con el proceso de enseñanza-
aprendizaje, por lo que debe considerarse, más que las otras, como un proceso regulador, 
del proceso educativo. 
 
De acuerdo a Morán Oviedo, 2008, la evaluación del aprendizaje se conceptualiza como 
un proceso sistemático de valoración e interpretación de avances, logros y dificultades 
que se producen en el aprendizaje de los alumnos. Teniendo como finalidad orientar y 
mejorar su rendimiento, la labor del profesor en el proceso de enseñanza-aprendizaje,el 
currículum y el contexto, para brindar ayuda y asegurar la formación integral de los 
alumnos. 
 
Características de la evaluación formativa: 
 
• Aplicarse a través de la realización del propio proceso didáctico, a lo largo del 
mismo. 
• Su finalidad principal estriba en el perfeccionamiento del proceso didáctico en 
un momento en que todavía puede producirse. 
• Trata de detectar el nivel de aprovechamiento del alumno en cada habilidad del 
aprendizaje y los tipos de errores que se dan en el mismo. 
• Constituye una constatación permanente del nivel de aprendizaje de cada 
alumno en cada bloque temático o tema de trabajo, y que se puede realizar 
mediante distintos instrumentos o técnicas de evaluación. 
 
 23 
Además debe verse continuada mediante un adecuado tratamiento metodológico, que 
consistirá fundamentalmente en la presentación al alumno de la oportunidad de elección 
de vías alternativas de aprendizaje. 
 
Por lo tanto se considera que la evaluación de los aprendizajes es un proceso de análisis 
y reflexión de la práctica pedagógica, ya que permite al docente construir estrategias 
adecuadas y a los alumnos reflexionar sobre sus aprendizajes, sus obstáculos, sus 
errores, sus estrategias para aprender, así como autoevaluarse. 
 
Evaluación Sumativa 
 
La evaluación sumativa es la que se realiza al término de un proceso o ciclo educativo, 
por lo que está centrada en el producto final. 
 
Su finalidad consiste en certificar el grado en que las intenciones educativas han sido 
alcanzadas. A través de la evaluación sumativa el docente puede tener la certeza si los 
aprendizajes estipulados en las intenciones educativas fueron cumplidos según los 
criterios y las condiciones expresadas en ellas. Pero especialmente este tipo de 
evaluación, proporciona información que alcanzará conclusiones importantes sobre el 
grado de éxito y eficacia de la experiencia educativa global. 
 
Por su propia naturaleza, la evaluación sumativa atiende principalmente a los productos 
del aprendizaje como consecuencia del proceso de enseñanza global. 
 
 
3.4 Características de la población 
 
Las edades de los alumnos de estas cuatro generaciones según datos estadísticos 
(Ingreso Estudiantil al CCH, 2002-2005) se ubican mayoritariamente en el rango de 15 
años, es decir, resalta un porcentaje importante de alumnos menores de 15 años, que se 
ha ido incrementando en los últimos cuatro años. 
 
Una tercera parte de los estudiantes entra al CCH con 14 años o menos, sumados a 
quienes han completado los 15 años, es decir, los alumnos que ingresan al ciclo de 
bachillerato son muy jóvenes, lo cual requiere de atención, de supervisión permanente por 
parte de los padres en sus actividades escolares. Ya que estos se encuentran en una 
etapa formativa tanto en lo referente a su desarrollo físico como emocional. 
 
Así “La orientación hacia una educación interaccional, exige colaboración entre la escuela 
y la familia, a fin de evitar consecuencias desequilibradoras para los educandos y 
problemas de deficiencia y retrasos en el aprendizaje”, “El educador, por lo mismo deberá 
estar atento al ritmo de aprendizaje de cada alumno y, en especial, a su edad psicológica 
y afectiva”. (Fernandes, 1991, p.84). 
 
Es necesario que se establezca una buena interacción alumno-profesor, libertad interior, 
armonía afectiva, esto llevará a que los alumnos tengan un mejor aprovechamiento en su 
aprendizaje. 
 
 
 
 
 24 
3.5 Desarrollo de la enseñanza 
 
A continuación se describe el desarrollo de la enseñanza, la aplicación del material 
didáctico (Anexo 2). 
 
Cabe aclarar que la práctica docente esta influida por varios factores como menciona Díaz 
Barriga Frida, entre los que destacan: 
 
• La trayectoria de vida del profesor. 
• El contexto socioeducativo en el que se desenvuelva. 
• El proyecto currícular en el que se ubique. 
• Las opciones pedagógicas que conozca o le exijan. 
• Las condiciones de la Institución. 
 
Se puede hacer mención que la variable principal es el profesor, así se deberá conocer 
cuales son los conocimientos previos de los alumnos, que son capaces de aprender en un 
momento dado, observar su estilo de aprendizaje, sus hábitos de trabajo, sus actitudes. 
“Enseñar no es sólo proporcionar información, sino ayudar a aprender” (Maruny, 1989, en 
Díaz Barriga, 2002, p.2). 
 
A continuación, se muestra en la tabla 2, el desarrollo de las sesiones que se llevaron a 
cabo. 
 
 Tabla 2. Desarrollo de las sesiones 
No. de 
clase 
No. de Sesión Tema 
Tiempo 
(Horas) 
 
Clase 1 
 
Aplicación del examen 
diagnóstico 
2 horas 
Clase 2 Sesión 1 Productos notables 2 horas 
Clase 3 Sesión 1 Productos notables 1 hora 
Clase 4 
Sesión 1 y 
Sesión 2 
Productos notables y 
factorización 
2 horas 
Clase 5 Sesión 2 factorización 2 horas 
Clase 6 
Sesión 3 y 
Sesión 4 
Problemas introductorios que 
dan lugar a ecuaciones 
cuadráticas 
Resolución de ecuaciones 
cuadráticas incompletas 
2 horas 
Clase 7 Sesión 5 
Resolución de ecuaciones 
cuadráticas completas 
2 horas 
Clase 8 
Sesión 5 y 
Sesión 6 
Resolución de ecuaciones 
cuadráticas completas 
Análisis del discriminante 
2 horas 
Clase 9 Sesión 7 Proceso inverso 1 hora 
Clase 10 Resolución de problemas 2 horas 
Clase 11 
Aplicación del examen 
diagnóstico 
2 horas 
 
 
 
 25 
Clase1. (2 Horas) 
 
En esta sesión se inicia la aplicación de material didáctico (Anexo 2) que elaboré, a un 
grupo formado por 25 alumnos, correspondiente a Matemáticas I del primer semestre del 
Colegio de Ciencias y Humanidades. 
 
Considero importante iniciar el tema, aplicando a los alumnos un examen diagnóstico 
(instrumento diagnóstico) con lo cual se pretende saber con que conocimientos cuentan 
los alumnos al momento de iniciar el tema, de tal forma que se conozcan los 
antecedentes necesarios de los alumnos, así como poder identificar las deficiencias en los 
aprendizajes. 
 
Cabe aclarar que estas deficiencias en los aprendizajes se irán retomando y manejando 
en diferentes niveles a lo largo del desarrollo del tema. 
 
También se hizo mención en como se va a llevar a cabo la evaluación sobre este nuevo 
tema ya que se le harían algunas modificaciones, por una parte el trabajo en equipo sería 
más fuerte, por otra parte el trabajo individual disminuirá, habrá trabajo grupal. 
 
Por lo tanto, para la evaluación final se tomará en cuenta: trabajo en equipo, tareas 
individuales, trabajo extra-clase y un examen. 
 
Clase 2. (2 Horas) 
Sesión 1 Productos notables (ver Anexo 2) 
 
Objetivo: En esta sección 1 se pretende que los alumnos tengan una mejor comprensión 
de los productos notables por medio de un enfoque geométrico ya que desempeñan un 
papel muy importante en los cálculos algebraicos, además el manejo de estas 
expresiones facilita la resolución de diversos problemas. 
 
Desarrollo: Inicié el tema con el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos, el cual de 
alguna manera los alumnos están familiarizados con el tema, así que se hizo una revisión 
acerca del área de un cuadrado y de un rectángulo (Actividad 1). 
 
Se mostraron varias figuras (Actividad 2) (cuadrados y rectángulos) con esta actividad los 
alumnos encontraron el área de cada figura y posteriormente encontraron el área total de 
todas las figuras. Cabe aclarar que las dimensiones de las figuras están indicadas con 
números. 
 
Luego se mostraron figuras (Actividad 3) (cuadrados y rectángulos) donde sus 
dimensiones estaban combinadas, es decir se indican con números y letras, de igual 
manera habría que encontrar las áreas por separado y luego el área total de las figuras. 
 
Posteriormente se realizaron las actividades 4 y 5 modificando el ejercicio anterior, es 
decir, ahora dado un cuadrado al cual se le incrementa la longitud del lado, los alumnos 
calcularon el área del nuevo cuadrado. 
 
Cabe aclarar que estas actividades me conducirán a la obtención de las reglas de los 
productos notables. 
 
Por último se trabajaron las actividades 6 y 7 (versección 1) 
 26 
Las actividades mencionadas anteriormente se trabajaron primero de manera individual, 
luego de manera grupal y posteriormente algunos alumnos pasaron al pizarrón a 
resolverlo y entre todos se verificaron las respuestas. Algunos alumnos no tuvieron claro 
cómo calcular el área puesto que se confundieron con el perímetro. Así durante el 
transcurso de las actividades se fueron aclarando y resolviendo dudas expuestas por los 
alumnos. 
 
Se les dejó la siguiente tarea: De la actividad 3, hacer los ejercicios b) y c), y los ejercicios 
en los cuales primero tienen que desarrollar los cuadrados al binomio y luego completar el 
desarrollo de los cuadrados al binomio. 
 
Clase 3. (1 Hora) 
 
Comencé la clase revisando y recogiendo las tareas y pregunte a los alumnos si había 
dudas de los temas que se trabajaron la clase anterior. Mientras revisaba la tarea, los 
alumnos realizaron las actividades 8 y 9. Aclare algunas dudas y quienes estaban mal en 
su tarea les dije que la volvieran a hacer y la entregaran para la siguiente clase. 
 
Las actividades se hicieron por parejas, una vez terminadas las actividades se 
intercambiaron el material para revisarlas y a un lado tenían que poner la respuesta 
correcta en caso de que no la tuvieran, al final contaban el número de aciertos y sobre 
eso se les ponía una calificación, para esto los alumnos pasaron al pizarrón. 
 
Esta estrategia me pareció muy interesante porque los mismos alumnos se corregían 
entre si y además pudieron observar sus propios errores. El profesor simplemente los 
orientaba. 
 
Por último se les dejó la tarea, la actividad 10, y algunos ejercicios donde tenían que 
elaborar el producto de binomios conjugados y otros ejercicios sobre el proceso inverso. Y 
como tarea extraclase se les dejo que elaboraran un resumen de la sección 1. 
 
Clase 4. (2 Horas) 
 
En la primera hora de clase comencé revisando la tarea, igualmente se intercambiaron el 
material para que ellos mismos se calificaran, los alumnos pasaron al pizarrón a resolver 
los ejercicios, tuvieron algunas dudas en el desarrollo de la expresión ( )( )baba +− 
(Actividad 10) al momento de calcular el área. 
 
En los ejercicios sobre el producto de binomios conjugados los alumnos tuvieron algunas 
fallas, éstas fueron al momento de aplicar las leyes de los exponentes en la multiplicación, 
por lo que les hice énfasis sobre esto. Pero en general los alumnos resolvieron bien la 
tarea. 
 
En la otra hora de clase, se comenzó con el tema factorización (1 hora) 
 
 
Sesión 2. Factorización (ver Anexo 2) 
 
Objetivo: Repasar algunas técnicas de factorización, así como darle significado a los 
algoritmos de las operaciones y reforzar los métodos de factorización, los cuales serán 
empleados más adelante en la resolución de ecuaciones de segundo grado. 
 27 
 
Desarrollo: Con la actividad 1 se pretende inducir a los alumnos al teorema fundamental 
de la aritmética. 
 
Para esto se formaron 5 equipos en el grupo y los alumnos realizaron las actividades 1 y 2 
después de cierto tiempo cada equipo entregó su trabajo en hojas. Al revisarlas sucedió 
que tuvieron mal el desarrollo de la factorización completa, traté de que ellos mismos 
vieran sus errores. Se hizo lo siguiente: 
 
¿Cómo podemos descomponer el 36? Sus respuestas fueron variadas algunos dijeron 
que 4x9, 18x2, 6x6, 3x12, 1x36, luego tome cada combinación que me dijeron por 
ejemplo: les pregunte ¿el 4 como lo podemos descomponer? A lo que contestaron 2x2, 
¿el 9 como lo podemos descomponer? Y así sucesivamente se hizo con las diferentes 
representaciones del número 36, hasta que se llego a la factorización completa. 
 
Y así, después de estarlos indagando, llegaron a la conclusión de que la factorización 
completa se representa como un producto de factores primos. 
 
Con la actividad 2 no hubo problema. Posteriormente realizaron la actividad 3, esta 
actividad se trabajó por parejas y de igual manera se intercambiaron el material para 
revisarlo y calificarlo según las respuestas correctas e incorrectas, para esto los alumnos 
pasaron al pizarrón. Todo el tiempo les aclare sus dudas. 
 
Por último se les dejó la tarea que realizaran las actividades 4, 5 y 6. La actividad 6 se les 
pidió para entregar. 
 
Clase 5. (2 horas) 
 
De igual manera comencé la clase preguntando si había dudas del tema anterior, luego 
pase a revisar la tarea, mientras los alumnos por parejas trabajaron las actividades 7 y 8. 
 
Después de cierto tiempo otra vez intercambiaron su material tratando de que no fueran 
los mismos compañeros que habían calificado la vez anterior. Y así se revisaron las 
actividades tanto de la tarea como las que se trabajaron en clase. Aclarando que de un 
lado se pondría la respuesta correcta en caso de que la hubieran contestado mal. 
 
Los alumnos daban sus respuestas y entre todos se verificaba si estaba bien o mal y por 
qué. Algunos alumnos tuvieron dudas, cuando se les preguntaba en la actividad 4 sobre 
qué podían concluir con los signos. Con la actividad 8 los alumnos se dieron cuenta que 
no todo trinomio es factorizable en el conjunto de los enteros, y así con la participación de 
ellos y la orientación del profesor se llego a la conclusión de que para estar seguro de lo 
anterior utilizamos la expresión acb 42 − para determinar si es cuadrado perfecto, siendo 
esto último es posible aplicar esta regla. 
 
De manera general puedo decir que los alumnos tuvieron una actitud positiva al realizar 
las actividades. 
 
Por último se les dejó la tarea, que desarrollaran la actividad 9 y también se les dejó tarea 
extraclase que hicieran un resumen de la sección 2 del tema de factorización. Se les pidió 
entregar estas tareas. 
 
 28 
Clase 6. (2 Horas) 
Sesión 3 Problemas introductorios que dan lugar a ecuaciones cuadráticas con una 
incógnita (ver Anexo 2) 
 
La primera hora de la clase, la comencé al igual que las anteriores preguntando si había 
dudas del tema anterior y luego recogí las tareas. Hubieron algunas dudas sobre cómo 
factorizar algunas expresiones de la actividad 9, las cuales fueron aclaradas. 
 
Luego se les pidió a unos alumnos que leyeran en voz alta unos problemas, los cuales 
dieron lugar a ecuaciones cuadráticas con una incógnita, en estos problemas sólo se 
plantearon las ecuaciones sin resolverlas. El problema 1 dio como resultado una 
ecuación cuadrática incompleta de la forma 02 =+ cax , el problema 2 y 3 dieron como 
resultado ecuaciones cuadráticas completas. 
 
Les comenté a los alumnos que existen métodos para solucionar o resolver estas 
ecuaciones las cuales abordaríamos más adelante. Así que la siguiente hora de clase 
comenzamos a estudiar las ecuaciones cuadráticas incompletas. 
 
Sesión 4. Resolución de ecuaciones cuadráticas (ver Anexo2) 
 
Objetivo: Reconocer las ecuaciones cuadráticas incompletas, transformar una ecuación 
cuadrática de forma particular a la forma adecuada para su resolución por un método 
específico. 
 
Desarrollo: Se trabajó por parejas las actividades 1, 2 y 3, mientras pasaba por las filas 
para observar como trabajaban y también para resolver las dudas que se les presentaban, 
aunque hice énfasis en que en el material se les plantearon algunos ejemplos para 
resolver ecuaciones cuadráticas incompletas. 
 
Luego los alumnos empezaron a pasar al pizarrón para resolver las actividades, esto con 
la finalidad de que ellos mismos pudieran ver sus resultados. Se hicieron comentarios 
sobre este tipo de ecuaciones cuadráticas. Con la actividad 3 hubo algo de confusión 
sobre todo en la manera en cómo se resuelve este tipo de ecuación, aunque solo se 
trabajaron 2 ejercicios. Puedo mencionar de manera general que todavía presentaron 
dificultades para hacer los despejes. 
 
Por último se les dejó la tarea, la actividad 4. 
 
Clase 7 (2 horas) 
Sesión 5. Resolución de la ecuación cuadrática completa 02 =++ cbxax (ver 
Anexo2) 
 
Objetivo: Utilizar diferentes métodos como son la factorización, completando cuadrados y 
la