PR6F8D~1

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
 ________________________________________________ 
 
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLÁN 
 
 
 
 
 
 
PROPUESTA PARA LA ENSEÑANZA DE LAS 
ECUACIONES LINEALES EN UNA INCÓGNITA EN 
EL BACHILLERATO DEL COLEGIO DE CIENCIAS Y 
HUMANIDADES, PLANTEL AZCAPOTZALCO, DE LA 
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
 
 
T E S I S 
 
 
 
QUE PARA OPTAR EL GRADO DE: 
 
MAESTRO EN EDUCACIÓN EN MATEMÁTICAS 
 
 
PRESENTA: MIGUEL ÁNGEL RAMÍREZ JIMÉNEZ 
 
 
ASESOR: M. en C. ALEJANDRO R. REYES ESPARZA 
 
 
 
 
 
 
NAUCALPAN MAYO DEL 2008 
EDO. DE MÉXICO 
 
 
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reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
 
 “Hablaré del valor de educar en el doble sentido de 
la palabra valor: quiero decir que la educación es 
valiosa y válida, pero también que es un acto de 
coraje, un paso al frente de la valentía humana. 
Cobardes o recelosos, abstenerse ” 
Fernando Savater 
EL VALOR DE EDUCAR 
 
 
• Al M. en C. Alejandro Raúl Reyes Esparza, asesor de esta tesis, por su paciencia 
y motivación hacia mi trabajo y que me ha proporcionado sus conocimientos y 
experiencia para poder realizar este trabajo. 
 
• A los profesores: Dra. Asela Carlón Monroy; M; Dr. Sergio Cruz Ramos; Dr. 
Miguel Mercado Martínez; M en C. Juan B. Recio Zubieta, que como sinodales 
me brindaron sus valiosos consejos; sugerencias y observaciones para enriquecer 
este trabajo. 
 
• A la UNAM, por haberme brindado la oportunidad de cursar esta maestría. 
 
• A la persona que quiera darse el tiempo de leerlo y que después de terminarlo 
llegue a la conclusión de que se pudo haber realizado de una mejor manera 
(espero me lo haga saber). 
 
 
 
 
 
 
 
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DEDICATORIA 
 
 
 
 
A mi esposa Vianey, a mi hija Mariana 
quienes me brindan la energía y 
motivación para ser una mejor persona. 
 
 
 
 
 
 
 A mis padres y hermanos con los cuales 
puedo contar en cualquier momento. 
 
 
 
 
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ÍNDICE 
 
 
Introducción...........................................................................................1 
 
Capítulo 1: Marco Referencial...............................................................3 
 
 1.1 El Plan de Estudios Actualizado...........................................4 
 1.2 Concepción de la Matemática en el 
 Colegio de Ciencias y Humanidades.………………………...6 
1.3 Características de la población estudiantil………………….10 
 
Capítulo 2. Marco Conceptual………..................................................13 
 
 2.1 Planteamiento del problema………………………………….14 
 2.2 El currículo como guía………………………………………..14 
 2.3 Recursos del profesor para su trabajo………………………15 
 2.4 Los materiales didácticos y la enseñanza…………………..17 
 2.5 Las características de los materiales………………………..18 
 2.6 Los materiales como herramientas de trabajo para el 
 profesor…………………………………………………………19 
2.7 Evaluación de los materiales…………………………………20 
 2.8 Teorías del aprendizaje………………………………………22 
2.9 Método de enseñanza………………………………………...31 
 
Capítulo 3. La propuesta de enseñanza………………………………...34 
 
3.1 Ubicación de las Ecuaciones lineales en una incógnita…..35 
3.2 Propósito, aprendizajes y contenidos 
 que debe cumplir la propuesta……………………………….37 
 3.3 Consideraciones sobre la propuesta 
 de enseñanza para las ecuaciones 
 lineales en una incógnita….………………………………….40 
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3.4 Materiales que conforman la propuesta de enseñanza…..42 
3.5 Planeación de la unidad 3: Ecuaciones lineales en una 
 incógnita………..………………………………………………43 
3.6 El cuaderno de trabajo………………………………………..88 
 
Capítulo 4. Aplicación de la propuesta de enseñanza y análisis de 
 resultados…………………………………………………...107 
 
4.1 Aplicación de la propuesta de enseñanza………………...108 
4.2 Resultados del examen de la unidad………………………113 
4.3 Análisis de los resultados…………………………………...117 
4.4 Observaciones.………………………………………………117 
 
Conclusiones……………………………………………………………..120 
 
Bibliografía………………………………………………………………..123 
 
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 1 
Introducción 
 
 
 
El presente trabajo consiste en la elaboración de una propuesta didáctica para 
abordar el tema de la unidad 3: Ecuaciones Lineales en una incógnita, incluido 
en el programa de estudios de Matemáticas I, del Colegio de Ciencias y 
Humanidades de la Universidad Nacional Autónoma de México, y que consiste 
en la programación del desarrollo de dicho tema según el tiempo indicado en el 
programa y de un cuaderno de trabajo para los alumnos. 
 
El trabajo está integrado por cuatro capítulos y las conclusiones que se derivan 
de la aplicación de la propuesta de enseñanza. En el primer capítulo se realiza 
una descripción del Plan de Estudios Actualizado y de los Programas de 
Estudios de las asignaturas de Matemáticas I a IV del Colegio de Ciencias y 
Humanidades. 
 
También se indican en este capítulo: la concepción de las Matemáticas en el 
Colegio de Ciencias y Humanidades y algunas características de la población 
estudiantil a la que se dirigen los Programas de Estudios. 
 
En el segundo capítulo se parte de considerar el currículo como una 
herramienta de trabajo de los profesores en su intervención en el proceso de 
enseñanza–aprendizaje. Se habla de la importancia de los materiales 
curriculares como una manera en la que el currículo escolar es desarrollado. 
 
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 2 
A continuación, se indica la relación que existe entre los materiales y el proceso 
de enseñanza–aprendizaje. Se abordan de una manera no muy extensa dos 
teorías de aprendizaje que permean a la metodología de enseñanza del 
Colegio de Ciencias y Humanidades. 
 
En el tercer capítulo se describen: el propósito, los aprendizajes y contenidos 
temáticos de la unidad Ecuaciones lineales en una incógnita, indicados en el 
programa de estudios de la asignatura de Matemáticas I. A partir de lo anterior 
se muestran los el contenidos de la propuesta de enseñanza y del cuaderno de 
trabajo para los alumnos. 
 
En el cuarto capítulo se explica la forma en la que se aplico la propuesta de 
enseñanza, se presenta el examen que se aplicó para evaluar la unidad, se 
describen los resultados obtenidos en dicho examen y se realiza un breve 
análisis de los mismos. 
 
En las conclusiones se proporcionan algunos juicios que se derivan de la 
aplicación de la propuesta de enseñanza de las Ecuaciones lineales en una 
incógnita es susceptible de ser aplicada en el Colegio de Ciencias y 
Humanidades, además de que se expresan algunas propuestas a través de las 
cuales se podrían realizar algunas investigaciones futuras en el área de las 
Matemáticas. 
 
 
 
 
 
 
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 3 
 
Abstrac 
 
 
The main objective of this paper consists in developing a proposal for teaching 
about the linear equations in one variable, issue that is included in unit 3 in the 
subject of Mathematics I Curriculum Update 2001,from the “Colegio de 
Ciencias y Humanidades” that belongs to the “Universidad Nacional Autónoma 
de México”. 
 
The objective is to determine, whether with a didactical material prepared by 
Professor, the students manage to get a more meaningful learning, indicated in 
Mathematics I program. 
 
 
During the proposal elaboration it was considered: the objective, the learning to 
achieve by students and the topics content, indicated in the Mathematics I 
program. It was also consider the methodology of teaching, “learning to learn”, 
used in “Colegio de Ciencias y Humanidades”. 
 
Implemented the proposal into two groups of students. It was also considered 
an pilot group that did not applied the proposal. The results obtained is that 
students who worked with the material reached, on average, an assessment of 
7.02, while those who comprising the pilot group obtained an assessment of 
4,666. 
 
These results suggest the convenience of the elaboration of didactical materials 
by the teacher or a group of teachers, that will allow them to realize their 
pedagogical intervention in a more effective way. These materials should be 
spread in such a way that the community of teachers of mathematics get to 
know them and could make suggestions to improve the material. 
 
 
 
 
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 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO 1 
 
MARCO REFERENCIAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 4 
1.1 El Plan de Estudios Actualizado. 
El Plan de Estudios con el que inició el Colegio de Ciencias y Humanidades de 
la Universidad Nacional Autónoma de México en el año de 1971 fue revisado y 
sustituido en el año de 1996 por un nuevo Plan de Estudios al que se denominó 
Plan de Estudios Actualizado (PEA). 
En éste se modificaron la orientación y el contenido de las asignaturas que se 
imparten en el área de Matemáticas. Pero se conservó la idea principal del 
Colegio de Ciencias y Humanidades, de que la enseñanza debe estar regida 
por el principio de aprender a aprender, que según Díaz (1998) significa: 
“enseñar a los alumnos a que se vuelvan aprendices autónomos, 
independientes y autorregulados”. 
La extensión del nuevo Plan de Estudios en las asignaturas de Matemáticas 
fue de 7 unidades, esto trajo como consecuencia que en la práctica, algunos de 
los profesores que impartían las asignaturas de Matemáticas en los diferentes 
planteles no culminarán los programas, a pesar del incremento en las horas 
que se implementaron para los cursos de 64 a 80. 
 
Lo anterior trajo como consecuencia que en el año de 2001 se realizara una 
nueva revisión del Plan de Estudios Actualizado a partir de la experiencia 
generada por los 4 años de aplicación. En esta revisión se modificó la 
orientación y se conservó el enfoque .del Plan de Estudios Actualizado. Se 
disminuyeron los contenidos en las asignaturas, por ejemplo se redujeron al 
reducir a 5 el número de unidades temáticas para las asignaturas de 
Matemáticas I, II y III, y a 4 para la asignatura de Matemáticas IV. 
La modificación en la orientación establecida en el Plan de Estudios 
Actualizado (2001), consistió en analizar los contenidos de las asignaturas en 
los cuatro primeros semestres, de la forma que se establece en el documento 
de Programas de Estudio de Matemáticas (2001): 
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 5 
"En los cuatro primeros semestres del Plan de Estudios del Colegio de 
Ciencias y Humanidades, se incluyen los cursos obligatorios del área 
de Matemáticas que los estudiantes deberán acreditar y que abarcan los 
conocimientos básicos de cinco importantes ejes de desarrollo 
temático: Álgebra, Geometría Euclidiana, Trigonometría, 
Geometría Analítica y Funciones. A través de estos cuatro cursos, se 
brinda al alumno un panorama de los principales aspectos del 
conocimiento y del quehacer matemático que le permitirán acceder 
posteriormente a conocimientos más especializados, tanto en el ámbito 
de estos mismos ejes temáticos como en el de otros, entre los que están 
incluidos el Cálculo Diferencial e Integral y la Probabilidad y 
Estadística." 
 
De esta forma los primeros cuatro cursos se pueden contemplar como un todo, 
como se indica en el documento anterior: 
 
 "Estos cuatro cursos constituyen un todo en su conjunto, de modo que 
de un semestre a otro se recuperan conocimientos adquiridos 
previamente, ya sea trabajándolos desde otro nivel de profundidad y 
extensión, o remitiéndose a su aplicación en otro contexto o temática, o 
incluso abordándolos desde una nueva perspectiva (por ejemplo, el 
estudio analítico de los objetos geométricos." 
Así mismo, se propone que en el transcurso de estos cuatro cursos 
obligatorios, y en los dos siguientes, se ponga mayor énfasis en el significado 
de conceptos y procedimientos, en el manejo de estrategias, en la integración 
de conocimientos y en el desarrollo de habilidades matemáticas, tal y como se 
expresa en el mismo documento: 
• "Además, en concordancia con los principios educativos del 
Colegio, más que privilegiar la memorización de un cúmulo de 
contenidos matemáticos (subdivididos en muchas ocasiones en 
múltiples casos y fórmulas especiales) y la repetición de 
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 6 
definiciones o la práctica irreflexiva de algoritmos, interesa poner 
énfasis en el significado de conceptos y procedimientos, en el 
manejo de estrategias, en la integración de conocimientos, en el 
tránsito de un registro a otro y en el desarrollo de habilidades 
matemáticas; entre estas últimas están: Generalización (percibir 
relaciones, formas y estructuras; distinguir lo relevante de lo 
irrelevante y lo común de lo diferente); Formalizar "Material 
Matemático" (operar con estructuras más que con el contexto de 
una situación, operar con numerales y símbolos, combinando reglas 
y estrategias); Reversibilidad de Pensamiento (invertir una 
secuencia de operaciones o un proceso de pensamiento); 
Flexibilidad de Pensamiento (disponibilidad para abandonar 
estereotipos o procedimientos en los que se ha tenido éxito para 
utilizar otros nuevos); Visualización Espacial (percibir esquemas 
geométricos contenidos en otros más complejos, o bien adelantar 
mentalmente el tipo de figura resultante al aplicar algún 
movimiento o transformación a una figura dada)."
 
 
 
1.2 Concepción de la Matemática en el Colegio de Ciencias y 
Humanidades. 
La concepción de las Matemáticas se encuentra en el documento Concepción 
de las Matemáticas en el Colegio de Ciencias y Humanidades (2006) de la 
siguiente manera: 
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 7 
 "la concepción de las Matemáticas conlleva una intención del para qué 
queremos enseñarla y cómo contribuye a la formación de un sujeto 
capaz de buscar y adquirir por si mismo nuevos conocimientos, además 
de analizar e interpretar el mundo que lo rodea de manera reflexiva, 
analítica, sistemática y constructiva.
 
 
Posee un carácter dual: Es una ciencia y una herramienta. Como 
ciencia tiene un desarrollo que admite titubeos, conjeturas y 
aproximaciones, al igual que rigor, exactitud y formalidad, por ser el 
producto de una actividad humana que evoluciona, construye, organiza 
y sistematiza conocimientos, a partir de la necesidad de resolver 
problemas teóricos o prácticos. Como herramienta, constituye un 
poderoso instrumento que contribuye con técnicas, procedimientos, 
métodos y teorías a la obtención de conocimientos y sus aplicaciones 
en diversos campos del saber, tanto humanístico como científico y 
tecnológico. 
 
Manifiesta una gran unidad. No obstante la diversidad de ramas y 
especialidades en las que actualmente se divide, éstas presentan 
métodos, principios y estrategias comunes. Muchos de los conceptos y 
procedimientos de cualquiera de sus ramas, se vinculan, complementan 
o trabajan desde otro punto de vista a través de las otras partes que la 
integran.Contiene un conjunto de simbologías propias bien estructuradas, 
sujetas a reglas específicas (simbología numérica, geométrica, 
algebraica, por ejemplo) que permiten establecer representaciones de 
distinto nivel de generalidad sobre características, propiedades, 
relaciones, comportamientos, leyes, etc. Aspecto que contribuye a 
avanzar en su construcción como ciencia ya extender el potencial de 
sus aplicaciones." 
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 8 
También se pretende en el Colegio de Ciencias y Humanidades, generar el 
desarrollo de habilidades del pensamiento que posibiliten al alumno avanzar 
por su cuenta en la adquisición de otros conocimientos. Por lo que se propone 
en documento citado que en la práctica educativa se consideren los siguientes 
elementos: 
• "Introducir el estudio de los contenidos mediante el planteamiento 
de situaciones o problemas que no contemplen de inicio fuertes 
dificultades operatorias, de modo que la atención pueda centrarse 
en el concepto, el procedimiento o las características y propiedades 
que se van a estudiar. 
• Analizar los enunciados de los diferentes problemas planteados, de 
manera conjunta estudiante-profesor, con la finalidad de que el 
alumno adquiera paulatinamente esta habilidad y con el tiempo sea 
capaz de realizarla de manera independiente. 
• Proporcionar diversos ejemplos, con la intención de presentar 
numerosas oportunidades para que el alumno atienda el desarrollo 
conceptual, practique los procedimientos básicos y atienda la 
mecánica de los mismos a partir de ideas o estrategias unificadoras. 
 
• Promover la formación de significados de los conceptos y 
procedimientos, cuidando que éstos surjan como necesidades del 
análisis de situaciones o de la resolución de problemas, y se 
sistematicen y complementen finalmente con una actividad práctica 
de aplicación en diversos contextos. Las precisiones teóricas se 
establecerán cuando los alumnos dispongan de la experiencia y los 
ejemplos suficientes para garantizar su comprensión. 
 
• Propiciar sistemáticamente el tránsito tanto entre distintas 
formas de representación matemática, como entre éstas y la 
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 9 
expresión verbal. Enfatizar las conexiones entre diversos 
conceptos, procedimientos, métodos y ramas de la Matemática. 
 
• Fomentar el trabajo en equipos para la exploración de 
características, relaciones y propiedades tanto de conceptos 
como de procedimientos; la discusión razonada, y la 
comunicación oral y escrita de las observaciones o resultados 
encontrados." 
 
Con los enfoques descritos, se pretende que los alumnos con respecto al eje 
temático 1: enfocado al álgebra, como se indica en el documento de los Planes 
y Programas (2001) estarán capacitados para: 
 
• “Comprender y manejar los conceptos, expresiones y 
procedimientos algebraicos diversos. 
• Comprender e identificar algoritmos, así como relaciones entre 
ellos. .Describir e interpretar la información que proporciona la 
representación algebraica de un objeto matemático y vincular dicha 
información con otras representaciones matemáticas del mismo 
objeto. 
• Utilizar representaciones algebraicas en la resolución de problemas. 
• Apreciar las representaciones algebraicas como una manera eficaz 
de expresar características y propiedades generales, establecer o 
depurar procedimientos, así como favorecer la deducción de 
resultados. 
• Valorar al Álgebra como instrumento para el estudio de 
comportamientos, la construcción de modelos, el análisis de 
relaciones y la posibilidad de hacer predicciones." 
Una vez presentado el programa de las cuatro primeras asignaturas del Plan 
de Estudios del Colegio de Ciencias y Humanidades y su manera de concebir a 
las Matemáticas, a continuación se da una descripción breve de la población 
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 10 
estudiantil con la que se llevan a la práctica los programas de las asignaturas 
como el Plan de Estudios. 
 
1.3 Características de la población estudiantil. 
La población estudiantil con la que se desarrolla e instrumenta el Plan de 
Estudios del Colegio de Ciencias y Humanidades, de acuerdo con los datos 
indicados en la revista Características Sociales-Escolares y Trayectoria de la 
generación 2005 (2005): 
 "se conforma por jóvenes cuyas edades oscilan de 14 a 20 años y el 
47.21% son del sexo masculino y el 52.79% del sexo femenino. 
Con relación al lugar donde viven los estudiantes se observa que 
87.37% de los alumnos del plantel Naucalpan provienen del Estado de 
México. Alrededor del 48% de los estudiantes que acuden al los 
planteles Azcapotzalco, Oriente y Vallejo son también del Estado de 
México. Y de los estudiantes asignados al plantel Sur el 95.56% viven 
en el D. F. 
A partir de sondeos con los alumnos se ha podido determinar que sus 
familias están integradas por los padres y 2 o 3 hijos; que el nivel de 
escolaridad de los padres es del bachillerato o más; y que el ingreso 
económico familiar es mayor de 5 pero menor de 10 salarios mínimos. 
Sin embargo, es necesario señalar que también se presentan casos 
distintos en los que las familias están desintegradas, cuyos padres no 
tienen estudios mayores a la secundaria o que su ingreso es menor a los 
5 o mayor de los 10 salarios mínimos. 
En promedio los alumnos dedican una o dos horas al estudio de los 
contenidos temáticos analizados en los procesos de enseñanza 
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 11 
aprendizaje que se desarrollaron en las aulas y dedican tres o más horas 
ver la televisión”. 
De acuerdo a la edad con la que los estudiantes que ingresan al Colegio 
psicológicamente se observa que están en la etapa de la adolescencia, la cual 
es una etapa vital en el ser humano debido a que en ella los individuos sufren 
transiciones tanto físicas como psicológicas así como periodos de crisis 
emocionales, como lo dice el psicólogo Lewin (1981), en Como es el 
Adolescente y Como Educarlo, G. Mayers Blair: 
“la adolescencia es, en realidad, una especie de “tierra de nadie”. El 
adolescente no es ya un niño ni tampoco un adulto y se encuentra preso 
en medio de un área donde se cruzan fuerzas y expectativas. El rol 
infantil está claramente estructurado. El niño sabe lo que puede y lo 
que no puede hacer. El adulto, por su parte comprende y se adapta 
bastante bien a su rol. El adolescente, por el contrario, se encuentra en 
una situación ambigua. Nunca acierta a conocer realmente su posición. 
Esta incertidumbre con respecto a su rol provoca muchos conflictos en 
el adolescente, le hace ser vacilante, hipersensible y en ocasiones 
inestable e imprevisible en su comportamiento.”
 
Para Havighurst (1981),en el mismo libro anterior, existen diez tareas 
particularmente significativas en las cuales deben trabajar los jóvenes si 
desean alcanzar un rol positivo como adultos, éstas son: 
“1) lograr relaciones nuevas y más maduras con sus compañeros; 2) 
alcanzar un rol social masculino o femenino; 3) aceptar su propio físico 
y utilizar el cuerpo eficazmente; 4) alcanzar independencia emocional 
de los padres y de otros adultos; 5) obtener independencia económica; 
6) elegir y prepararse para una ocupación, 7) prepararse para el 
matrimonio y la vida en familia; 8) desarrollar las capacidades 
intelectuales y los conceptos necesarios para la vida de competencia 
civil; 9) desear i obtener un comportamiento socialmente responsable y 
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 12 
10) formar una tabla de valores y un sistema ético para guiar la 
acción”. 
Se puede decir que las instituciones educativas tienen una gran 
responsabilidad en la formación del carácter de los adolescentes y en contribuir 
para que su concepción de la vida sea compatible con una filosofía que les 
permita desarrollar una personalidad estable y un sentido de seguridad 
emocional. 
Como docentes debemos reflexionar y preguntarnos acerca del 
comportamiento de nuestrosalumnos y percatarnos de las necesidades que 
ellos están tratando de satisfacer y tratar de ayudarlos. 
Al respecto en el Colegio de Ciencias y Humanidades se han tomado medidas 
en el Departamento de Psicopedagogía, desarrollando pláticas y orientación 
tanto para los alumnos como para sus padres. 
En cuanto a los aspectos cognitivos e intelectuales de los alumnos en esta 
edad, será tratado en el capítulo 2 de este trabajo. 
 
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 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO 2 
 
MARCO CONCEPTUAL 
 
 
 
 
 
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 14 
2.1 Planteamiento del problema. 
Al revisar e implementar los programas de las asignaturas de Matemáticas I a IV 
en el Plan de Estudios Actualizado del año 2001, se originó la necesidad de contar 
con materiales didácticos que se apegaran a los nuevos contenidos de dichas 
asignaturas. En este capítulo se presenta el conjunto de elementos que se 
consideran importantes para la elaboración de estos materiales, a través de la 
propuesta de enseñanza para las Ecuaciones lineales en una incógnita. 
 
2.2 El currículo como guía 
Las instituciones educativas para la elaboración de sus planes de estudio parten 
de un currículo, como lo define Contreras (1991): 
"un currículum supone siempre, de forma explícita o tácita, una respuesta 
a las preguntas ¿qué enseñar, cómo y por qué? Cuando un profesor asume 
una propuesta curricular, ya sea de buen grado o no, ya sea de creación 
propia o ajena, está asumiendo una forma de responder a las exigencias de 
su trabajo, esto es, una forma de resolver lo que debe hacer en clase con 
los alumnos." 
Por lo tanto debe considerarse al currículo como la guía del quehacer educativo de 
los profesores ya que éste determina su labor docente, como lo dice el mismo 
autor: 
"Es en este sentido en el que digo que el currículum es la herramienta de 
trabajo de un oficio que no se realiza sólo por la capacidad de disponer de 
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 15 
instrumental con el que operar, sino también con la capacidad de tener 
respuestas a preguntas. 
Por eso mismo, podemos hablar también del currículum como del 
problema profesional con el que se encuentran todos los profesores. En 
definitiva, lo que uno anda buscando siempre, como si fuera la piedra 
filosofal, es aquella manera de plantearse la acción de enseñanza que 
contenga todas aquellas virtudes educativas que le pedimos a la práctica de 
nuestro trabajo. " 
Estas ideas están enlazadas con la intención del Colegio de Ciencias y 
Humanidades en lo que se refiere a lograr que los egresados del ciclo bachillerato 
obtengan un conocimiento en el área de las Matemáticas que les sea útil, como lo 
dice Contreras (1991): 
"Cómo conseguir que lo que se aprende en la escuela tenga un valor para 
los alumnos más allá de las paredes del aula. Qué contextos de relación en 
el aula hacen posible que aprender sea una actividad con un orden 
manejable, pero no aburrido. Qué actividades pueden tener la capacidad de 
intrigar al alumno y de enseñarle a la vez algo valioso. Todos éstos son 
problemas educativos con los que siempre se enfrenta un profesor, y 
suelen ser también algo a lo que trata de responder, con mayor o menor 
fortuna, todo proyecto curricular." 
2.3 Recursos del profesor para su trabajo en el aula. 
Para poder desarrollar el currículo es necesario que el profesor cuente con 
recursos didácticos, entre ellos están: el aula; pizarrón; los recursos tecnológicos: 
como la calculadora, la computadora; la bibliografía recomendada en el Programa 
de Estudios, este trabajo nos referimos a la asignatura de Matemáticas I. (p 17) 
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 16 
Al revisar los textos indicados en la bibliografía se observa que: 
a) aparecen textos en los cuales existen discrepancias en el orden e importancia 
de los temas tratados, además suelen tener temas no considerados o ausencia de 
ciertos contenidos en el programa de estudios del Colegio, etc. También debe 
considerarse que estos textos en muchas ocasiones atienden a necesidades de 
otra cultura y de otro desarrollo social. 
b) no aparecen publicaciones elaboradas por profesores del Colegio 
Las publicaciones elaboradas por los profesores con las que cuenta (o debería de 
contar) el profesor, son un recurso importante para el trabajo del docente en el 
aula. como lo señala Martínez (1991): 
”los profesores y alumnos dependen en gran medida, para el desarrollo de 
su actividad en las aulas, de un conjunto organizado de materiales que en 
la mayoría de los casos se diferencian por «áreas» curriculares y que 
incluyen normalmente una relación de objetivos que se quieren conseguir, 
el contenido temático de la disciplina o área de conocimiento, las 
actividades apropiadas del profesor y de los alumnos, así como las 
respuestas correctas que éstos deben producir, e incluso algunas pruebas 
de evaluación sobre los productos del aprendizaje. Tales materiales 
constituyen preelaboraciones de la práctica de la enseñanza, que facilitan y 
simplifican la tarea docente." 
Ante esta situación existen dos alternativas para poder contar con materiales 
educativos: 1) que los elaboren las compañías editoriales; 2) que los elaboren 
profesores de la propia institución. 
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 17 
En el caso de la primera opción conduce de manera intrínseca a lo siguiente: si 
una editorial o empresa externa se encargara de la elaboración de materiales 
curriculares traería como consecuencia que los objetivos, procesos y criterios de 
evaluación que contemplan un determinado conjunto de materiales serían 
definidos por personas ajenas a la institución. 
Es importante hacer notar el hecho de que las escuelas son un importante 
mercado lucrativo, los materiales curriculares constituyen un fuerte volumen de 
capital que genera importantes beneficios. Consecuentemente, ello produce 
comportamientos empresariales regidos por la lógica del beneficio: publicidad, 
creación de necesidades donde no las hay, encarecimiento, caducidad, 
burocratización y centralización de recambios y adaptaciones, agresividad 
comercial, etc. Y, obviamente, la homologación de los elementos y la forma de un 
producto según la lógica del beneficio. 
En el caso de la segunda opción es necesario resaltar la idea de que el material 
elaborado por profesores de la misma institución tendrían como bases: el 
conocimiento y experiencia de los profesores. Con ello dichos materiales estarían 
estructurados de acuerdo con el señalamiento de los programas como: los temas 
más significativos, distribución y el tiempo en el que es posible abordarlos, 
conocimiento de los alumnos y de la metodología de enseñanza en el Colegio. De 
esta manera los materiales serían más cercanos a la realidad que los profesores 
viven en el aula. 
2.4 Los materiales didácticos y la enseñanza. 
Se entiende por materiales didácticos en el medio educativo, como lo menciona 
Martínez (1991): 
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 18 
“cualquier instrumento u objeto que pueda servir como recurso para que, 
mediante su uso se ofrezcan oportunidades de aprender algo, o bien con su 
uso se intervenga en el desarrollo de alguna función de la enseñanza”. 
Es decir, los materiales comunican contenidos para su aprendizaje y pueden servir 
para estimular y dirigir el proceso de enseñanza-aprendizaje, total o parcialmente. 
Así, por ejemplo, el material sirve no sólo para transmitir conceptos, ideas, 
etcétera, sino también para motivar el interés del alumno, guiarle en un 
determinado proceso de pasos a seguir, facilitarle la sensación de que progresa, 
ejercitarle en unas destrezas, etc. 
Los materiales también comunican potencialmente cultura y formas de conectar 
con ella; inciden en el contenido y en el proceso pedagógico mediante lo que se 
comunica. 
Para expresar en conjunto esta idea se recurrirá al señalamiento que hace al 
respecto Sacristán (1991):"...consideramos que en la selección, uso y papel dominantes 
desempeñados por los materiales están implicadas las formas de entender 
la comunicación cultural, hábitos profesionales individuales y colectivos 
de los profesores, hábitos de consumo, intenciones explícitas y ocultas de 
controlar el contenido de la escolaridad y mecanismos económicos."
 
 
 
 
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 19 
2.5 Las características de los materiales. 
Santos (1991) considera las siguientes características que deben cumplir los 
materiales didácticos: 
• “Que permitan al alumno tomar decisiones razonables respecto a cómo 
utilizarlos y ver las consecuencias de su elección. 
• Que permitan desempeñar un papel activo al alumno: investigar, 
exponer, observar, entrevistar, participar en simulaciones, etc. 
• Que permitan al alumno o le estimulen a comprometerse en la 
investigación de las ideas, en las aplicaciones de procesos intelectuales 
o en problemas personales y sociales. 
• Que implique al alumno con la realidad: tocando, manipulando, 
aplicando, examinando, recogiendo objetos y materiales. 
 
• Que puedan ser utilizados por los alumnos de diversos niveles de 
capacidad y con intereses distintos, propiciando tareas como imaginar, 
comparar, clasificar o resumir. 
 
• Que estimulen a los estudiantes a examinar ideas o la aplicación de 
procesos intelectuales en nuevas situaciones, contextos o materias. 
 
• Que exijan que los estudiantes examinen temas o aspectos en los que 
no se detiene un ciudadano normalmente y que son ignorados por los 
medios de comunicación: sexo, religión, guerra, paz; etc. 
 
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 20 
• Que obliguen a aceptar cierto riesgo, fracaso y crítica; que pueda 
suponer salirse de caminos trillados y aprobados socialmente. 
 
• Que exija que los estudiantes escriban de nuevo, revisen y 
perfeccionen sus esfuerzos iniciales. 
• Que comprometan a los estudiantes en la aplicación y dominio de 
reglas significativas, normas o disciplinas, controlando lo hecho y 
sometiéndolo a análisis de estilo y sintaxis. 
• Que den la oportunidad a los estudiantes de planificar con otros y 
participar en su desarrollo y resultados. 
 
• Que permitan la acogida de los intereses de los alumnos para que se 
comprometan de forma personal." 
2.6 Los materiales como herramienta de trabajo para el profesor. 
¿Qué se pretende lograr con los materiales didácticos? Esta pregunta tiene la 
siguiente respuesta: que el profesor tenga una guía en donde se le brinden una 
serie de elementos para poder abordar algún tema en específico. Algunos 
investigadores sobre esto han realizado una clasificación de los mismos, como la 
realizada por Santos (1991): 
"Unos tienen un carácter globalizados, articulante y orientativo de todo el 
proceso (materiales curriculares, libros de texto, por ejemplo) y otros son 
elementos vicarios, de carácter auxiliar (ordenadores, material de 
laboratorio, retroproyectores, diapositivas, etc.) Los materiales no son un 
fin en sí mismos, por lo que ya desde aquí estamos refiriéndonos aún 
criterio de valoración que no se encuentra exclusivamente en su calidad 
sino en el modelo de enseñanza que se persigue, en la finalidad a la que se 
los destina, en el modo de utilizarlos y en las repercusiones que su uso 
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 21 
conlleva. En definitiva, solamente su uso, puesto al servicio de un proceso 
de enseñanza/aprendizaje y analizado desde una concepción determinadas 
de éste, permitirá entender si resultan útiles, estériles o incluso, 
perjudiciales." 
 
2.7 Evaluación de los materiales. 
Es importante que cuando se elaboren materiales, sea posible realizar una 
evaluación de ellos, ya que esto permitiría realizar los ajustes necesarios para su 
mejoramiento. 
Puede ser que los materiales no sean auxiliadores eficaces en el proceso de 
enseñanza-aprendizaje, ya sea porque el profesor haga una utilización mecánica 
de ellos, o porque los materiales resulten ininteligibles para los alumnos. Más aún, 
puede ser que un uso excesivamente servil del material impida una dinámica viva 
y reflexiva por parte del profesor como animador del proceso de enseñanza-
aprendizaje. 
Por lo anterior surge la necesidad de realizar una evaluación de los materiales 
asentada en una pluralidad de recolección de evidencias y firmemente arraigada 
en cuestiones de valor. 
Es necesario indagar, sobre todo en aquello que nos permita determinar si los 
materiales pueden convertirse en los peores y que no hay materiales en si mismos 
didácticos. Todo depende de la concepción que los sustente, de la intención con 
que se utilicen y de las condiciones de dicho uso. 
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 22 
En este sentido es necesario precisar que se comparte el punto de vista 
manifestado por Santos (1991), con respecto a que la evaluación de un material 
se realice mediante los siguientes criterios: 
"- Observar cómo esos materiales orientan la práctica, cómo ayudan al 
profesor a ponerla en cuestión, cómo potencian una serie de actividades y 
de estrategias de pensamiento y de acción, cómo favorecen la discusión..., 
será un camino que permita recoger datos significativos y relevantes para 
la cuestión. 
 
-Preguntar a los protagonistas (profesores y alumnos sobre todo, y 
también padres) qué valor atribuyen a los materiales, qué facilidades o 
dificultades encuentran en su uso, qué aspectos potencian y cuáles 
atrofian..., será otro sendero que nos lleve a buen fin. 
-Contrastar la utilización de unos materiales con la de otros, sean éstos de 
carácter descendente o ascendente (llamo ascendentes a los que han sido 
elaborados por los profesores y por los alumnos, frente a los que tienen el 
marchamo de la aprobación legal) ayudará a conocer las particularidades 
de ambos, si se somete a discusión ya un análisis compartido sus 
virtualidades didácticas." 
2.8 Teorías del aprendizaje. 
A continuación se mencionan de una forma no muy extensa dos teorías del 
aprendizaje que se han desarrollado con el fin de explicar como aprenden las 
personas. 
Empezaremos por el conductismo, que tiene como máximos representantes a: 
Pavlov; Watson; Skinner y Thorndike, su teoría tiene como base la observación de 
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 23 
la conducta deseada; sin considerar los procesos internos que realiza la mente 
para lograr dicha conducta. 
El conductismo establece que los sujetos aprenden si se les presentan 
reforzamientos adecuados para adquirir un aprendizaje previamente establecido 
como un objetivo, como lo señala Sacristán (2005): 
 “Dos son los supuestos fundamentales en que se asientan las diferentes 
técnicas y procedimientos didácticos del conductismo: por una parte, la 
consideración del aprendizaje como un proceso ciego y mecánico de 
asociación de estímulos, respuestas y recompensas; por otro, la creencia en 
el poder absoluto de los reforzadores siempre que se apliquen 
adecuadamente sobre unidades simples de conducta”
 
Visto de esta manera según Cabanne (2006) en el conductismo: 
”el conocimiento es una acumulación de unidades o piezas aisladas, de tal 
modo que su almacenamiento o acumulación se toma como indicativo del 
nivel de conocimiento. Es lo que se llama el saber enciclopédico, que 
justifica un modelo de enseñanza basado en la asociación y fijación de 
ideas, gracias a la repetición” 
 
En esta teoría no existe diferencia entre aprendizaje y memorización, ya que la 
memoria es la que se encarga de fijar el conocimiento. La enseñanza consiste n 
vaciar el conocimiento en la mente de los estudiantes, para luego, con la 
ejercitación fijarlos en la memoria. 
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 24 
Para el desarrollo de la enseñanza, se parte de que todos los estudiantes tienen la 
misma capacidad para memorizar, y si el profesor expone con claridad, todos 
pueden aprender al mismo ritmo. 
 El papel que juega el profesor en estetipo de enseñanza lo define Cabanne 
(2006); de la siguiente manera: 
“El profesor es el transmisor que vierte el conocimiento, 
establecido en el programa y desarrollado en el libro de texto, en la 
mente de los niños (como si fuera un papel en blanco). 
Debe conseguir que el niño atienda, controlar el tiempo de trabajo 
y los ejercicios que hace decidir cuando debe pasar a la tarea 
siguiente. Este paso debe ser visto como un avance, un objetivo a 
conseguir, y lograrlo será una recompensa para el niño y hará que 
se sienta satisfecho. 
Por todo esto la clase se desarrolla magistralmente, reproduciendo 
el libro con el mayor de los detalles y en forma clara” 
La evaluación en esta teoría se basa en el saber observable, se debe 
tener éxito en las respuestas estipuladas y no se toma en cuenta el 
camino seguido. Lo que cuenta es que se conteste correctamente 
sin importar si se entiende lo que se esta haciendo. Por lo tanto la 
evaluación se vuelve sencilla, ya sólo se cuentan los aciertos. 
Para el profesor los errores indican, falta de atención; desinterés; falta de 
estudio, y no son motivo de reflexión para su reflexión ni para reencausar 
el aprendizaje. 
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 25 
Respecto a la enseñanza de las Matemáticas, aprenderlas significa 
aprender y practicar “recetas”, dictadas por el profesor. Es secundario el 
papel que juega la comprensión y si el alumno no responde con rapidez a 
los ejercicios, significa que tiene un aprendizaje muy lento”. 
Por otro lado se tienen las teorías cognitivas, por un lado tenemos la teoría 
constructiva de Jean Piaget y por el otro a la teoría cognitiva de Ausubel, estas 
teorías proporcionan elementos que auxilian y fundamentan el aprendizaje de las 
Matemáticas como se desea desarrollar en el Colegio de Ciencias y 
Humanidades, desde un entorno en el que los alumnos pueden investigar, 
descubrir, construir una comprensión gracias a su esfuerzo, asegurando con ello 
un proceso de construcción esencial para el aprendizaje. 
Estas teorías se explican brevemente a continuación: 
Según Piaget (1997) se dan cuatro etapas principales en el desarrollo del 
conocimiento humano a saber: 
“Primero está la etapa sensoriomotora, que va desde el nacimiento hasta 
aproximadamente los dos años, es aquí donde el bebé está adquiriendo 
aptitudes y se esta adaptando al ambiente en una forma conductual directa, 
estas adaptaciones no van acompañadas de representaciones mentales. 
Etapa preoperacional, que va de desde los dos años hasta los siete años, es 
la etapa durante la cual el niño desarrolla un lenguaje, pero todavía no es 
capaz de llevar operaciones concretas. 
Etapa de las operaciones concretas, desde los siete años a los 12 años, para 
Piaget, esta etapa es decisiva dentro del desarrollo mental, en ella, 
aparecen nuevas formas de organización mental, que rematan las 
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 26 
construcciones esbozadas en la etapa anterior. Al mismo tiempo se inicia 
una serie ininterrumpida de construcciones nuevas. 
La cuarta etapa, que es la que nos debe interesar por la edad de nuestros 
estudiantes, es la del pensamiento formal. Es en este momento cuando el 
individuo aprende a formular hipótesis, cuando llega a ser capaz de un 
razonamiento deductivo y cuando puede emprender un razonamiento 
causal y dar explicaciones científicas de los sucesos. 
La diferencia entre esta etapa y la anterior radica en que el adolescente 
puede prestar atención tanto a la forma como al contenido de un 
argumento, de un experimento, de un silogismo o de una proposición. En 
esta etapa el adolescente ya puede manejar sus aspectos estructurales, es 
decir; puede razonar acerca de su propio razonamiento”. 
Por su parte Ausubel, en Díaz (1998), Estrategias Docentes para un Aprendizaje 
Significativo, editorial Mc Graw Hill, señala que no todos los tipos de aprendizaje 
son iguales, como se había señalado en el conductismo, sino que en el aula 
ocurren diferentes tipos de aprendizaje, mismos que ubica en dos dimensiones 
posibles del mismo: 
1. “la que se refiere al modo en que se adquiere el conocimiento: en esta 
primer dimensión encontramos dos tipos de aprendizaje posibles: por 
recepción y por descubrimiento. 
2. la relativa a la forma en que el conocimiento es subsecuentemente 
incorporado en la estructura de conocimientos o estructura cognitiva 
del aprendiz: en esta segunda dimensión encontramos las modalidades 
por repetición y significativo. 
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 27 
La interacción de estas dos dimensiones se traduce en las denominadas 
situaciones del aprendizaje escolar: aprendizaje por recepción repetitiva, 
por descubrimiento repetitivo, por recepción significativa, o por 
descubrimiento significativo”. 
 En el siguiente cuadro se sintetiza las ideas de Ausubel acerca de las situaciones 
anteriores: 
 
 Primera dimensión: modo en que se adquiere la información 
Recepción 
• El contenido se presenta en su forma 
final. 
• El alumno debe internalizarlo en su 
estructura cognitiva. 
• No es sinónimo de memorización. 
• Propio de etapas avanzadas del 
desarrollo cognitivo en la forma de 
aprendizaje verbal hipotético sin 
referentes concretos (pensamiento 
formal). 
• Útil en campos establecidos del 
Descubrimiento 
• El contenido principal a ser 
aprendido no se da, el alumno 
tiene que descubrirlo. 
• Propio de la formación de 
conceptos y solución de 
problemas. 
• Puede ser significativo o 
repetitivo. 
• Propio de las etapas iniciales del 
desarrollo cognitivo en el 
aprendizaje de conceptos y 
proposiciones. 
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 28 
conocimiento. 
• Ejemplo: se pide al alumno que estudie 
el fenómeno de la Difracción, en su 
libro de texto de Física. 
 
• Útil en campos de conocimiento 
donde no hay respuestas unívocas. 
• Ejemplo: el alumno, a partir de 
una serie de actividades 
experimentales induce los 
principios que subyacen al 
fenómeno de la combustión. 
Segunda dimensión: forma en que el 
estructura cognitiva del alumno 
Conocimiento se incorpora en la 
Significativo 
• la información nueva se relaciona con 
la ya existente en la estructura 
cognitiva de forma sustantiva, no 
arbitraria ni al pie de la letra. 
• El alumno debe tener una disposición o 
actitud favorable para extraer el 
significado. 
• El alumno posee los conocimientos 
previos pertinentes. 
• Se puede construir una red conceptual. 
Repetitivo 
• consta de asociaciones arbitrarias, 
al pie de la letra. 
• El alumno manifiesta una actitud 
de memorizar la información. 
• El alumno no tiene conocimientos 
previos pertinentes. 
• Se puede construir una plataforma 
o base de conocimientos factuales. 
• Se establece una relación arbitraria 
con la estructura cognitiva. 
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 29 
• Condiciones: material con significado 
lógico, alumno con significación 
psicológica. 
• Puede promoverse mediante estrategias 
apropiadas, por ejemplo, organizadores 
anticipados y mapas conceptuales. 
 
• Ejemplo: aprendizaje mecánico de 
símbolos, algoritmos, etc. 
 
(cuadro tomado de Díaz (1998)) 
Para Ausubel, en el mismo libro, establece que: 
 “la esencia del aprendizaje significativo reside en que las ideas expresadas 
simbólicamente son relacionadas de modo no arbitraria, sino sustancial 
con lo que el alumno ya sabe. El material que aprende es potencialmente 
significativo para él”
 
Así se puede decir que la clave para que exista un aprendizaje significativo está 
en la vinculación entre las nuevas ideas y conceptos con el bagaje cognitivo que 
ya tiene el individuo. 
Ausubel, en libro indicado anteriormente, distingue la significatividad de un 
material de aprendizaje: 
§ “significatividad lógica, coherencia en la estructura interna 
del material, secuencia lógica en los procesos y 
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 30 
consecuencia en las relaciones entre sus elementos 
componentes.§ Significatividad psicológica, que sus contenidos sean 
comprensibles desde la estructura cognitiva que posee el 
sujeto. 
§ Disposición positiva del individuo respecto al aprendizaje, 
se refiere al componente motivacional que debe estar 
presente en todo aprendizaje”. 
De acuerdo a Díaz (1998) para que se pueda producir un aprendizaje matemático 
de manera significativa; según la teoría de Ausubel, es imprescindible: 
• “Incorporar los nuevos contenidos a las redes de significados ya construidos por 
el alumno. 
• Presentar el contenido matemático en su estructura interna, de forma clara y 
coherente. 
• Que el alumno posea una actitud positiva hacia la matemática”. 
De acuerdo Sacristán (1997) con estas teorías cognitivas, se pueden dar las 
siguientes conclusiones que deben orientar la intervención didáctica del proceso 
de enseñanza-aprendizaje: 
a) el conocimiento y comportamiento son el resultado de procesos de 
construcción subjetiva en los intercambios cotidianos con el medio 
circundante. Los sujetos construyen sus esquemas de pensamiento y 
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 31 
acción, sobre los esquemas anteriormente elaborados. Los procesos 
educativos pueden concebirse como procesos de comunicación que 
potencian los intercambios del individuo con el medio físico y 
psicosocial que rodea al sujeto. 
b) La significación que para el desarrollo de las capacidades cognitivas 
tiene la actividad de los alumnos, desde las actividades sensomotrices 
de discriminación y manipulación de objetos, hasta las operaciones 
complejas. 
c) el espacio central que ocupa el lenguaje como instrumento insustituible 
de las operaciones más complejas. La carencia de un desarrollo 
satisfactorio de este instrumento impide el desarrollo de dichas 
operaciones complejas. 
d) La importancia del conflicto cognitivo para provocar el desarrollo de 
los alumnos. El progreso requiere el conflicto cognitivo, la percepción 
de la discrepancia entre sus esquemas y la realidad o las 
representaciones subjetivas de la realidad elaboradas por los demás. 
e) La significación de la cooperación para el desarrollo de las estructuras 
cognitivas. Los intercambios de opiniones, la comunicación de 
diferentes puntos de vista es una condición necesaria para superar el 
egocentrismo del conocimiento infantil y permitir la descentralización 
que exige la conquista de la “objetividad”. 
En este sentido, corresponde al profesor promover situaciones didácticas que 
propicien en los alumnos aprendizajes significativos ya sea por recepción o por 
descubrimiento. 
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 32 
La evaluación en esta teoría se debe basar en la observación de los procesos y 
las formas de llegar al resultado, esto hace que la evaluación no sea tan sencilla, 
ya que también se debe tomar en cuenta las actitudes que tiene el estudiante ante 
el conocimiento que se le presenta. 
 
2.9 Método de enseñanza 
Vistas algunas teorías del aprendizaje, ahora se hablará de un método de la 
enseñanza que se considera apegado a los propósitos del Colegio de Ciencias y 
Humanidades. 
Como se dijo anteriormente en el Colegio de Ciencias y Humanidades se pretende 
aplicar el principio de aprender a aprender, lo cual implica que el alumno elimine 
lo más posible su dependencia del profesor, para lograr esto, se propone en este 
trabajo el Método Activo, desarrollado por Gutiérrez (1990), el cual señala: 
 “A partir de los años sesentas y los años setentas, y con una fuerza 
expansiva cada vez mayor, se ha iniciado en todos los niveles educativos 
el llamado método activo”. 
Este autor, establece los siguientes principios en los cuales se basa dicho método: 
• “A. El principio del dinamismo: ya no se trata de dar conocimientos, 
sino de facilitar el aprendizaje, la asimilación de datos, actitudes y 
valores, el ejercicio de las operaciones mentales, de la responsabilidad 
y de la comunicación interpersonal. 
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 33 
• B. El principio del valor: el principio axiológico de la educación ( 
asumido por completo en la metodología activa) parte del valor 
intrínseco del educando como persona, deriva una actitud de respeto, 
aceptación y confianza en el educador, el cual orienta su actividad en 
función del incremento de ese valor del estudiante, propone 
motivaciones intrínsecas y organiza sesiones de autoevaluación. 
• C. Principio de la libertad: el método activo crea situaciones que 
propician el ejercicio de la responsabilidad del estudiante. La 
liberación de los estudiantes hace referencia a la supresión de los 
controles aversivos. Siempre es factible, y a veces indispensable, si 
efectivamente se quiere la maduración del estudiante. 
• D. Principio de la comunicación interpersonal: el método activo 
propicia el diálogo, el trabajo en equipo y la atención a los aspectos 
afectivos de las personas”. 
Como puede observarse este método aplica las teorías cognitivas e invita a que el 
alumno este en actividad constante y en comunicación con sus compañeros. Para 
lograr esto en clase, es necesario como lo marca el programa de estudios del 
Colegio de Ciencias y Humanidades que las clases se desarrollen en forma de 
taller, pero ¿en qué consiste el taller?, para contestar esta pregunta podemos 
tomar a Hurtado (1995), en Memorias del VI Simposio Internacional en Educación 
Matemática, editorial Iberoamérica, México, 1995: 
 “Es una forma de trabajo a establecer dentro del aula, en la que lo 
fundamental es el hacer significativo, individual y colectivo del estudiante y la 
confrontación de sus elaboraciones. Hacer orientado por el maestro con el 
propósito de que a partir de él, los estudiantes construyan o reelaboren 
conocimientos matemáticos, socialmente aceptados y exigidos. 
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 34 
• Para el estudiante, el taller es un espacio de transformación intelectual 
donde con la orientación del maestro aprende a partir del trabajo y 
reflexión personal y colectiva, actividades y experiencias cotidianas, 
textos y documentos y en la confrontación y contrastación crítica de la 
propia organización de sus saberes con la organización de los saberes 
de los demás. 
• Para el maestro, el taller es su laboratorio de experimentación 
didáctica, donde la observación de las situaciones que se dan en el aula 
y la reflexión sobre las mismas, le permite aprender acerca de: como 
sus estudiantes construyen sus conocimientos, cómo interpretan 
sugerencias, observaciones y órdenes; qué nivel de de comprensión 
tienen y cómo reelaboran las nociones matemáticas, cómo se 
aproximan a otras nociones, cómo verbalizan sus pensamientos y qué 
niveles de comprensión van logrando durante el proceso”
 
. 
Según la misma autora una de las actividades exigidas al maestro para el taller es: 
“Seleccionar y adecuar el material teórico complemento de las 
actividades de taller, material que incluye: textos escolares que 
traten el tema, notas de clase elaboradas por el maestro etc.”. 
Y para el alumno sugiere: 
“Realizar las actividades propuestas por el maestro, acordadas con 
el grupo o que considere necesarias para su aprendizaje, 
favoreciendo la participación de cada integrante y la efectividad en 
el trabajo”. 
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 35 
Con estas premisas en el siguiente capitulo se presenta la propuesta didáctica 
para la enseñanza de las ecuaciones lineales en una incógnita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
 
LA PROPUESTA DE ENSEÑANZA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 35 
3.1 Propuesta de enseñanza. 
 
La propuesta de enseñanza sobre las ecuaciones lineales en una incógnita, 
que a continuación se presenta consta dos materiales: un material que sirve 
como apuntes tanto para el profesor como para los alumnos y un cuaderno de 
trabajo para el alumno, que le permite practicar los contenidos de la unidad. 
 
La unidad sobre laque se va trabajar corresponde a la unidad 3 del Programa 
de Estudios Actualizados (2001); de la asignatura de Matemáticas I en el que 
se establece: 
 
“las unidades que se trabajan en este curso, corresponden 
fundamentalmente al eje 1: Álgebra, pero sin descuidar la perspectiva de 
que ésta sirve de sustento y está relacionada con conceptos y 
procedimientos de los otros ejes temáticos, eje 2: Geometría Euclidiana, 
eje 3: Trigonometría, eje 4: Geometría Analítica y eje 5: Funciones y 
Plano Cartesiano”. 
 
Así en el primer semestre de Matemáticas I se inicia con el estudio de los 
Números y operaciones básicas, que permite favorecer el tránsito de la 
aritmética al álgebra, y en esta unidad también se da inicio hacia algunas 
estrategias de resolución de problemas. 
 
En la unidad 2 se estudia la Variación directamente proporcional y se da inicio 
al estudio del concepto de función; con la función lineal. 
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 36 
 
En la unidad 3 se estudian las Ecuaciones lineales en una incógnita, en la cual 
el tratamiento de los contenidos, más que la memorización de un algoritmo, 
interesa que el alumno perciba la necesidad de contar con un camino más 
eficiente para resolver o representar cierto tipo de problemas, que es la 
representación por medio de una ecuación. 
 
En este sentido es importante que el alumno comprenda la riqueza de la 
estrategia algebraica que le permite establecer relaciones entre cantidades 
conocidas y desconocidas. También se debe observar a la ecuación lineal en 
una incógnita como un caso particular de las funciones lineales. 
 
Más que la repetición interminable de ejercicios, se pretende que el alumno 
analice la estructura básica de ellos y vea cómo pasar a la comprensión de una 
situación nueva desde otra que ya conoce. 
 
Posteriormente en la siguiente unidad 4 se estudia las Ecuaciones cuadráticas. 
Y en la unidad 5 se estudian Los sistemas de ecuaciones de 2 x 2. 
 
Por otra parte en la unidad: Solución de Sistemas de Ecuaciones, en el curso 
de Matemáticas III y en la unidad: Funciones Algebraicas, que incluye la 
temática sobre Ecuaciones de grado superior a dos, en el curso de 
Matemáticas IV, se consolida el estudio de las ecuaciones. 
 
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 37 
En estas unidades de dichos cursos, se integran conceptos y procedimientos 
algebraicos que el alumno ha venido asimilando en los cursos de Matemáticas I 
y Matemáticas II, tanto en el manejo de expresiones algebraicas, del plano 
cartesiano, como en el estudio de relaciones numéricas entre objetos 
geométricos. 
 
3.2 Propósito, aprendizajes y contenidos que debe cumplir la propuesta. 
 
La propuesta de enseñanza de las Ecuaciones lineales en una incógnita debe 
posibilitar cumplir el propósito establecidos para esta unidad. Es decir, el 
material elaborado debe, como se señala en el Programa de Estudio de la 
asignatura de Matemáticas I, para la Unidad 3: 
 
“Incrementar la capacidad del alumno para plantear problemas que 
conducen a ecuaciones lineales en una incógnita y su resolución por 
métodos algebraicos. Estudiar la noción de ecuación desde diversas 
perspectivas. Manejar su relación con las funciones lineales. Avanzar en el 
manejo del lenguaje algebraico.” 
 
El conjunto de aprendizajes establecidos en el programa de estudios es: 
 
• “Interpreta la expresión verbal o escrita de un problema y expresa la 
relación entre datos e incógnita por medio de la ecuación lineal 
correspondiente. 
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 38 
• Interpreta en el contexto del problema, el significado de la solución 
encontrada, en particular cuando se trata de números negativos o 
fracciones. 
• Redacta el contexto de una situación que corresponde a un modelo 
expresado por medio de una ecuación lineal con una incógnita, o bien, 
incorpora los cambios pertinentes en la redacción de una situación dada, al 
introducir modificaciones en el modelo que la representa. 
• Relaciona o reduce un problema dado con otro que ya ha resuelto o que 
resulta más sencillo de trabajar. 
 
Con relación a los conocimientos y destrezas propios de la temática de la 
unidad, el alumno. 
 
- Comprende que las ecuaciones lineales en una incógnita, son un 
caso especial de igualdad entre expresiones algebraicas. 
- Maneja con soltura la prioridad de las operaciones y el significado 
del uso de paréntesis para modificar dicha prioridad. 
- Resuelve ecuaciones lineales en una incógnita a través de los 
procedimientos siguientes: a) operaciones con ambos miembros de 
la igualdad, b) transportación de términos. 
- Reduce por medio de operaciones y propiedades válidas, una 
ecuación lineal a otra más simple de resolver. 
- Observa que cualquier forma que adopte una ecuación lineal, desde 
la más simple hasta las que involucran expresiones racionales, 
siempre puede reducirse, al simplificar términos semejantes o 
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 39 
realizar las operaciones indicadas, a una ecuación de la forma ax + 
b = 0 y con ello, resolverse fácilmente. 
- Relaciona a las formas ax + b = 0 y ax + b = c de la ecuación lineal 
como casos particulares de la función lineal y = ax + b, 
correspondientes respectivamente a los valores específicos de y = 0 
y y = c. es decir, identifica a la ecuación lineal como un caso 
particular de una función lineal. 
- A partir de la relación establecida en el punto anterior, asocia de 
manera adecuada, la solución de una ecuación de la forma ax + b = 
0, con la abscisa del punto en donde la gráfica de la función y = ax 
+ b, corta al eje x. 
- Interpreta el hecho de que las ecuaciones lineales expresan una 
condición que debe satisfacer un valor buscado, como lo que 
permite modelar diversas situaciones”. 
 
Los contenidos temáticos establecidos en el programa de estudios son: 
 
- “Problemas que dan lugar a ecuaciones lineales en una incógnita. Su 
resolución por métodos informales. 
- Ecuaciones lineales en una incógnita, como: 
- un caso especial de una igualdad entre expresiones 
algebraicas 
- una condición que debe satisfacer un número buscado. 
- un caso particular de una función lineal. 
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 40 
- Resolución de ecuaciones lineales en una incógnita, por métodos 
algebraicos: 
- operar con ambos miembros de la igualdad. 
 
- Resolución de ecuaciones de los siguientes tipos: 
- bax = 
- cbax =+ 
- dcbxax =++ 
- )()( dxcbxa +=+ 
- 
d
c
b
ax
= 
- 
e
dx
c
b
ax
=+ 
- ( ) ))((2 dxcxbx ++=+ 
 
- Interpretación gráfica de la solución de una ecuación lineal en una 
incógnita. 
- Planteamiento y resolución de problemas de diversos contextos que dan 
lugar a ecuaciones lineales en una incógnita”. 
 
En el diseño de propuesta de enseñanza de las ecuaciones lineales en una 
incógnita, se debe considerar el tiempo de 15 horas, que se marca en el 
Programa de Estudios de la asignatura, para el desarrollo de la unidad. 
 
 
 
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3.3 Consideraciones sobre la propuesta de enseñanza para las 
ecuaciones lineales con una incógnita. 
 
Con el estudio de las Ecuaciones lineales en una incógnita, se continúa con el 
proceso de tránsito de la aritmética y de la transformación algebraica de 
situaciones problemáticas a una expresión algebraica, iniciado desde las 
unidades 1 y 2 del mismo curso. 
 
Para realizar estas tareas se puede considerar lo que manifiesta Duval (1993): 
 
“Se puede observar en todos los niveles un encasillamiento de los registros 
de representación en la gran mayoría de los alumnos. Estos no reconocen 
al mismo objeto a través de las representaciones que se dan de él en los 
sistemas semióticos diferentes: la escritura algebraica de una relación y su 
representación gráfica; la escritura numérica de una razón y su 
representación geométrica sobre una recta del plano; el enunciado de una 
fórmula en español y su escrituraen forma literal; la descripción de una 
situación y su planteamiento en una ecuación,… Este encasillamiento 
subsiste aún después de una enseñanza sobre los contenidos matemáticos 
que ha utilizado frecuentemente esos registros diferentes. 
 
Naturalmente, la ausencia de coordinación no impide toda la comprensión. 
Pero esta comprensión, limitada al contexto semiótico de un solo registro, 
apenas favorece las transferencias y los aprendizajes ulteriores: los 
conocimientos adquiridos mediante ella se pueden movilizar poco o nada 
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hacia todas las situaciones donde deberían realmente ser utilizadas. En 
definitiva, esta comprensión mono-registro conduce a un trabajo a ciegas, 
sin posibilidades de control del sentido de lo que se hace”. 
 
Así que es importante presentar al alumno una propuesta de enseñanza, con 
los señalamientos que da Cabanne (2006): 
 
“es importante en el estudio del álgebra retrazar las técnicas formales por 
procedimientos más informales, hasta que los procesos sean identificables 
en distintos contextos. 
 
Hay muchos estudios realizados en enseñanza-aprendizaje del álgebra que 
muestran que los alumnos pueden desarrollar aspectos estructurales, si se 
les hace vivir experiencias que incluyan: propiedades de campo, tanto en 
ambiente aritmética como algebraico; el registro de generalizaciones 
numéricas, utilizando notación no-ambigua; la resolución de problemas 
que contengan datos literales y la manipulación de parámetros de 
ecuaciones funcionales con ayuda de computadoras”. 
 
Considerando los criterios establecidos en las líneas anteriores a continuación 
se presenta la propuesta de enseñanza: 
 
 
 
 
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3.4 La propuesta de enseñanza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIDAD 3 
 
 
ECUACIONES LINEALES EN UNA INCÓGNITA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tiempo aproximado: 2 horas 
 
I. Problemas que dan lugar a ecuaciones lineales en una incógnita. 
 
El objetivo de los siguientes ejemplos es introducir a los estudiantes hacia la 
representación de enunciados mediante una expresión algebraica: 
 
 
Ejemplo 1 
 
El edificio de una empresa que consta de 3 pisos. Se sabe que hay 96 
empleados en la empresa. Si en el segundo piso hay el doble de los empleados 
que están en el primer piso y en el tercer piso sólo hay la mitad de empleados 
de los que tiene el segundo piso. ¿Cuál es la expresión algebraica que permita 
calcular el número total de empleados existentes en cada piso de la empresa? 
 
Solución: 
 
Si representamos como x al número de empleados que hay en el primer piso, 
entonces: 
 En el Primer Piso hay x empleados 
 En el Segundo Piso hay 2x empleados 
 En el Tercer Piso hay x empleados 
 
La igualdad que se establece según el enunciado del problema es: 
 
 x + 2x + x = 96 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 2 
 
Tres máquinas A, B, C, producen 162 artículos, en la máquina B se producen 
10 artículos más que en la máquina A y en la máquina C se producen 8 
artículos menos que en la máquina B, ¿cuál es la ecuación o modelo 
matemático que permite calcular cuantos artículos se producen en cada 
máquina? 
 
Solución: 
 
Como son tres máquinas que producen 162 artículos se puede expresar la 
siguiente ecuación: 
 
Si x representa el número de artículos producidos en la máquina A. 
 
En la máquina B se producen 10 artículos más que en la máquina A entonces: 
 
El número de artículos que se producen en la máquina B, es: x + 10 
 
En la máquina C se producen 8 artículos menos que en la máquina B es decir: 
 
 x + 10 – 8 = x + 2 
 
según el enunciado la igualdad es: 
 
x + x + 10 + x + 2 = 162 
 
 
 
 
 
 
 
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Los siguientes ejemplos se dejan a los alumnos para que intenten plantear la 
expresión, el profesor prestará ayuda al supervisar el trabajo de ellos. 
 
 
Ejemplo 3 
 
Un pasante de medicina que desea hacer su tesis y para ello distribuye el 
trabajo a tres amigas que tienen computadora (A, B y C). La tesis contiene 
368 cuartillas ¿Cuántas cuartillas escribirá cada amiga?, si, la amiga B 
escribirá el triple de cuartillas que las de la amiga A y la amiga C escribirá 8 
cuartillas más que el doble de la amiga A. 
 
 
 
Ejemplo 4 
 
¿Cuál es su representación algebraica?, del enunciado que dice: el doble de un 
número más el mismo número. 
 
 
 
Ejemplo 5 
 
Determinar cuál de las siguientes opciones representa algebraicamente el 
enunciado: el cuatro veces un número disminuido en 10 unidades. 
a) 4x + 10 
b) 4(x + 10) 
c) 4x – 10 
 
 
 
 
 
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Ejercicios No. 1 
 
1. En una secundaria hay x número de estudiantes en la planta baja, mientras 
que en el primer piso hay el doble de los que hay en la planta baja, y en el 
segundo piso solo la mitad de los que tiene el primero. ¿Cuál es la expresión 
algebraica que representa al enunciado? 
a) expresión: x + 2x + x/2 
b) expresión: x + 2x + x 
c) expresión: x + 2x + x 
d) expresión: x + 2x + x/2 
 
2. El enunciado, el triple de un número más el mismo número se representa 
mediante el modelo algebraico: 
 a) 3x + 3 
 b) 3x + x 
 c) x/3 + x 
 d) x/3 + 3 
 
3. Escribe el modelo algebraico que represente a los siguientes enunciados: 
 
a) En un grupo de 25 estudiantes hay 8 hombres menos que el doble de 
mujeres. 
 
b) La suma de dos números consecutivos es 143. 
 
c) La suma de dos números es 27, si el mayor es el triple del menor menos 5 
unidades. 
 
 
 
 
 
 
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Conclusión de la clase: 
 
De acuerdo a los ejemplos anteriores, se solicita a alumnos de una definición 
de las expresiones anteriores. Después de escribir en el pizarrón algunas 
definiciones, el profesor explica que las expresiones corresponden a una 
ecuación y enuncia la definición de ecuación que se manejará en este curso: 
 
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones, en donde se establecen 
relaciones entre cantidades conocidas y cantidades desconocidas, a las que se 
les llama incógnitas. 
 
Las ecuaciones se conforman de los siguientes elementos: 
 
 
a) primer miembro: son las expresiones que se encuentran a la izquierda del 
signo igual. 
 
b) segundo miembro: son las expresiones que se encuentran a la derecha del 
signo igual. 
 
c) términos: son cada una de las expresiones separadas con signos de + ó de - 
 
 
 
A la ecuación en donde sólo aparece una incógnita con un exponente unitario, 
se le llama, ecuación de primer grado con una incógnita o ecuación lineal 
con una incógnita. 
 
El conjunto solución de una ecuación, son aquellos valores de las incógnitas 
que satisfacen la igualdad. A estos valores se les llama raíces o soluciones 
de la ecuación. 
 
 
 
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Tiempo aproximado: 2 horas 
 
II. Resolución de problemas por métodos informales (método aritmético y 
método algebraico). 
 
A continuación se verán dos formas de resolver un problema que implica una 
ecuación lineal. 
 
 
Ejemplo 1 
 
¿Cuántos años tienen que pasar para que un estudiante de 15 años tenga la 
mitad de la edad de su mamá, si ella tiene 35 años? 
 
Primera solución: por medio de la aritmética 
 
Se le suma a cada edad un año hasta que la comparación de ambas edades 
cumpla con la condición requerida del ejemplo. 
 
 Edad del Estudiante Edad de la Mamá 
15 35 
15+ 1 = 16 35 + 1 = 36 
16 + 1 =17 36 + 1 = 37 
17 + 1 = 18 37 + 1 = 38 
18 + 1 = 19 38 + 1 = 39 
19 + 1 = 20 39 + 1 = 40 
 
 
Esto es pasan 5 años para que la edad del estudiante sea la mitad de la edad 
de su máma. 
 
 
 
 
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Segunda solución: por medio del método algebraico 
 
 
A ambas edades, tanto del estudiante como el de la mamá, se le suma x años 
que tienen que pasar para cumplir con condición del problema, esto es: 
15 + x ; 35 + x 
 
Pero para colocar el signo de “igualdad” entre ambas edades a la edad del 
estudiante, se tiene que cumplir que la edad de la mamá sea el doble que la del 
hijo; esto es: 
35 + x = 2 (15 + x) 
 
Al desarrollar la multiplicación, se obtiene la siguiente ecuación: 
35 + x = 30 + 2x 
 
La solución de esta ecuación se obtendrá más adelante, cuando se vea el tema 
solución de ecuaciones lineales. 
 
 
 
Ejemplo 2 
 
Se desea saber que número se debe sumar a 8 y restar al 20 para obtener la 
misma cantidad. 
 
Solución 
 
Primero se resuelve aritméticamente. 
 
En un miembro de la igualdad al 8 le sumamos un número y en el otro miembro 
al 20 le restamos el mismo número y al cumplirse la igualdad se obtendrá el 
resultado, esto es: 
 
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 8 + 1 ≠ 20 – 1, 9 no es igual a 19 
 8 + 3 ≠ 20 - 3, 11 no es igual a 17 
 8 + 5 ≠ 20 – 5, 13 no es igual a 15 
 8 + 6 = 20 – 6 14 si es igual a14 
 
Por lo tanto, el número buscado es 6. 
 
 
Ahora se resuelve en forma algebraica. 
 
 
Ahora se escriben las expresiones de acuerdo al enunciado, esto es: 
 
 8 + x ; (al 8 le sumamos la incógnita x) 20 – x (restar a 20 la incógnita) 
 
Al señalar que estas dos expresiones deben ser iguales se representa 
mediante la ecuación: 
 8 + x = 20 – x 
Al igual que el ejemplo anterior la ecuación se resolverá más adelante. 
 
 
 
Debe observarse que en el método aritmético es necesario comprobar caso por 
caso hasta que se de con el resultado solicitado. En problemas que se verán 
posteriormente se notará que este método no es muy conveniente. 
 
Por otra parte hay Y que el método algebraico facilita la solución de los 
problemas, pero este método requiere de práctica, la cual realizaremos 
posteriormente. 
 
 
 
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Ejercicios No. 2 
 
De los siguientes problemas obtener la solución por el método aritmético y 
escribir la ecuación del problema: 
 
1. La edad de Pedro y la de su primo Pablo suman 35 años; si Pablo tiene el 
triple de la de Pedro menos 5 años. ¿Qué edad tiene cada uno? 
 
2. La suma de tres números enteros consecutivos es de 246. Determinar cada 
número. 
 
3. A dos familias se les repartió arroz de un bulto de 50 Kg., si la familia A 
recibió el doble de kilogramos que recibió la familia B menos 7 Kg. ¿Cuántos 
recibió cada familia? 
 
4. En una alcancía hay monedas de $10, $50 y $1, haciendo un total de 
$3952.00, el número de monedas de $50 es el triple de las de un peso, y el 
número de $10 es el doble del número de monedas de $50. ¿Cuántas 
monedas de cada denominación hay en la alcancía? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tiempo aproximado: 5 horas 
 
III. Resolución de ecuaciones lineales en una incógnita de diferentes 
tipos. 
 
Resolver ecuaciones lineales con una incógnita consiste en encontrar el 
valor de la incógnita que satisface la igualdad; a este valor se le llama raíz o 
solución. 
 
Al método que se presenta a continuación para resolver ecuaciones lineales 
con una incógnita, se le puede llamar: operando en ambos miembros. 
 
En este método se aplican las siguientes propiedades de las ecuaciones: 
 
 
a) Si se suma o se resta la misma cantidad en ambos miembros de una 
ecuación, la igualdad persiste. 
b) Si ambos miembros de una ecuación se multiplican por una misma 
cantidad, la igualdad persiste. 
c) Si ambos miembros de una ecuación se dividen por una misma 
cantidad; diferente de cero, la igualdad persiste. 
 
 
A continuación se presenta la solución de ecuaciones lineales con una 
incógnita con algunas de sus formas: 
 
 
Ecuaciones de la forma: ax b= 
 
Ejemplo1: Resolver la ecuación: 6 7x = 
 
Solución: 
 
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Se dividen ambos miembros entre 6: 
 
6 7
6 6
x
= 
 
 
Al simplificar se obtiene la solución: 
 
 
7
6
x = 
 
 
 
Ecuaciones de la forma: ax b c+ = 
 
Ejemplo 2: Resolver la ecuación 5 7 12x + = 
 
Solución: 
 
Se suma el inverso aditivo de 7 en ambos miembros: 
 
 5 7 7 12 7x + − = − 
 
Al Simplificar se obtiene: 
 
 5 5x = 
 
Dividir ambos miembros entre 5 se obtiene la solución: 
 
5 5
5 5
1
x
x
=
=
 
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Ecuaciones de la forma: ax bx c d+ + = 
 
Ejemplo 3: Resolver la ecuación 5 9 6 11x x+ − = 
 
Solución: 
 
Sumar 6 en ambos miembros: 
 
5 9 6 6 11 6x x+ − + = + 
 
5 9 17x x+ = 
 
Al simplificar: 
 
14 17x = 
 
Dividir ambos miembros entre 14, se obtiene la solución: 
 
14 17
14 14
x
= 
 
 x = 
17
14
 
 
Para comprobar que el resultado es correcto o no se sustituye el valor de la x 
en la ecuación inicial: 
 
5
17
14
 
 
 
 + 9
17
14
 
 
 
 – 6 = 11 
 
85 153
6 11
14 14
+ − = 
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 56 
 
 
 
238
6 11
14
− = 
 
 17 – 6 = 11 
 
 11 = 11 
 
Como la igualdad se satisface se determina que la solución es correcta. 
 
 
 
 
Ecuaciones de la forma : ( ) ( )a x b c x d+ = + 
 
Ejemplo 4: Resolver la ecuación 8( 7) 10( 9)x x+ = + 
 
Solución: 
 
Al realizar las multiplicaciones indicadas se obtiene: 
 
 8 56 10 90x x+ = + 
 
Al sumar a ambos miembros el inverso aditivo de 56: 
 
 8 56 56 10 90 56x x+ − = + − 
 
 8 10 34x x= + 
 
Al sumar en ambos miembros el inverso aditivo de 10x : 
 
 8 10 10 10 34x x x x− = − + 
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 2 34x− = 
 
Dividir entre - 2 ambos miembros (para que la x quede con signo positivo): 
 
 
 
2 34
2 2
17
x
x
−
=
− −
= −
 
 
 
Ejemplo 5: Resolver la ecuación 5( 7) 3( 8)x x+ = + 
 
Solución: 
 
Al realizar las multiplicaciones indicadas se obtiene: 
 
 5 35 3 24x x+ = + 
 
Agregar el inverso aditivo de 35 en ambos : 
 
 5 35 35 3 24 35x x+ − = + − 
 
simplificando: 
 
 5 3 11x x= − 
 
Al agregar el inverso aditivo en ambos miembros de 3x : 
 
 5 3 3 3 11x x x x− = − − 
 
Al simplificar: 
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2 11x = − 
 
Dividir entre 2 y simplificando se obtiene la solución: 
 
2 11
2 2
11
2
x
x
=
=
 
 
 
 
Ecuaciones de la forma: 
ax c
b d
= 
 
Ejemplo 6: Resolver la ecuación: 
3 2
4 5
x
= 
Solución 
 
Para encontrar la solución en este tipo de ecuaciones, primero se debe 
encontrar el mínimo común múltiplo (m c m) de los denominadores (en 
este ejemplo del 4 y 5), para obtener una ecuación equivalente cuyos 
términos contengan coeficientes enteros. 
 
El m c m de 4 y 5 es el 20. 
 
A continuación se multiplican ambos miembros por el m c m, en este ejemplo 
por 20: 
 
 
3 2
20 20
4 5
x   
=   
   
 
 
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Al simplificar la ecuación se tiene: 
 
 
60 40
4 5
x
= 
 
 15 8x = 
 
Al dividir ambos miembros entre 15 se obtiene la solución: 
 
 
15 8
15 15