Apuntes de Clases - Matemáticas Financieras

Vista previa del material en texto

1 
 
Apunte de Clases EAA213A 
Matemáticas Financieras 
Primer semestre de 2011 
 
Martita del Sante, Catherine Tornel, Eduardo Walker 
 
 
1. Valor tiempo del dinero 
 
Suponga que se  le ofrece elegir entre $1 hoy y $1 dentro de un año más, probablemente usted 
elegirá $ 1 hoy. La razón es que ese peso hoy puede ser ahorrado, obteniendo al final del año $1 
más el interés generado. Si por ejemplo, el banco le ofrece una tasa de interés del 10%, al final del 
año usted tendrá $1,1.  
 
A la tasa de interés ofrecida por el banco se le llama “costo alternativo de los fondos” o “costo de 
oportunidad”, pues es lo que se sacrifica si se decide dar a los fondos un uso distinto que ahorrarlo 
en el banco, por ejemplo consumirlo o  invertirlo en algún proyecto. En nuestro ejemplo el costo 
alternativo de los fondos es $0,1. 
 
Una  manera  alternativa  de  expresar  la  misma  idea,  es  decir  que  $1  es  “financieramente 
equivalente” a $1.1 a final del año, esto es debido a que podemos transformar una suma en la otra 
utilizando el mercado de  capitales. Esto es,  si  tiene un  flujo hoy de $1 pero usted preferiría no 
consumirlo hoy, sino al cabo de 1 año, podrá ahorrarlo y obtener $1,1 al  final de un año. De  la 
misma manera, si tuviese derecho a recibir $1,1 al final de un año pero usted preferiría consumir 
su riqueza hoy, podría obtener un préstamo, consumir $1 hoy y pagar $1,1 al final de un año.  
 
2. Valor futuro y valor presente con un solo periodo 
 
Al valor que  se  recibe al  final del periodo y que es  financieramente equivalente a una  suma de 
dinero M hoy, se le llama valor futuro de M. Mientras que al  monto de dinero que se debe recibir 
hoy para estar indiferente con recibir $F en el futuro, se le llama valor presente de F. 
 
Definamos: 
r= tasa de interés 
M=monto invertido hoy 
F=flujo recibido en el futuro 
VF=valor futuro  
VP = valor presente 
 
Si suponemos un solo flujo: 
 
VF=M + r x M  
2 
 
F
1 r
 
 
3. Interés simple e interés compuesto 
 
Si se tiene más de un período es necesario definir el tipo de interés considerado, el cual podría ser 
interés simple o  interés compuesto. El concepto de  interés simple es aquel que no considera    la 
reinversión de los intereses ganados en periodos intermedios. Por ejemplo si se desea conocer el 
valor futuro de $1 en 2 años más con una tasa de interés simple de 10%, se tiene lo siguiente: 
 
VF=$1+ $1x10%+ $1x10% = $1 + 2x10% = 1,2 
 
Esto es, al final del período se tendrá el principal, más el interés del primer periodo, el cual no se 
reinvierte, más  el  interés  del  segundo  año.  Si  se  llama  n  al  número  de  períodos  las  fórmulas 
generales serán las siguientes: 
 
VF= M x (1 + n x r) 
F
1 n x r
 
 
En contraposición, en el caso de  interés compuesto se asume que  los  intereses  intermedios son 
reinvertidos, de manera que en nuestro ejemplo se tendría: 
 
VF = $1 + $ 1x10% + $ 1x10%+ $ 1x10%x10% = 1,21 
 
El último término representa  los  intereses ganados durante el segundo año por  la reinversión de 
los intereses ganados el primer año. La fórmulas generales a aplicar son las siguientes: 
 
VF = M x (1 + r)n 
F
1 r
 
 
Adicionalmente,    un  flujo  puede  recibirse  en  un  período  distinto  que  aquel  para  el  cual  se 
encuentra definida la tasa de interés, a modo de ejemplo, se recibe un flujo al final del semestre, 
pero  no  se  conoce  la  tasa  semestral,  sino  sólo  la  tasa  anual.  Para  encontrar  la  tasa  semestral 
nuevamente debe considerarse si se trata de una tasa de interés simple o compuesta.  
 
En el caso de interés simple, para obtener la tasa para un subperíodo se tiene: 
 
í    
r
n
 
 
3 
 
Donde n es el número de subperíodos contenidos en el periodo  para el cual se ha definido la tasa 
de interés. En nuestro ejemplo, n=2, pues en un año hay 2 semestres. 
 
En  el  caso  de  interés  compuesto,  se  debe  encontrar  una  tasa  semestral  que  al  componerla 
anualmente sea igual a la tasa definida para el período anual. En términos generales: 
 
1  1 í  
 
Por último, es necesario considerar que algunas veces  se comunica  la  tasa en  términos anuales 
pero  sin embargo ésta  se  compone  en  subperíodos, por ejemplo  se  compone  trimestralmente, 
esto es, los intereses ganados luego de un trimestre se reinvierten y generan nuevos intereses. En 
este caso, se debe determinar la tasa de interés efectiva anual: 
 
Tasa Efectiva =  1)1(  m
m
r
 
Donde r es la tasa anual y m es el número de veces que se compone esa tasa. De esta manera, si r 
es anual, entonces la tasa efectiva también quedará expresada en términos anuales.  
 
Ejemplo: Supongamos una tasa anual de 4,5% compuesta a 90 días. Esto significa que tengo que 
dividir 4,5% en 4 para encontrar  la  tasa  trimestral.  Luego  si necesito  la  tasa anual,  tendría que 
componer esta tasa trimestralmente. 
 
%64,41)
4
%5,4
1( 4   
¿Qué pasa se m→∞? 
 
Se sabe que: 
 
 
Aplicando esta definición a la fórmula obtenida para tasa efectiva se obtiene: 
 
lim 1    
 
Para efectos de este apunte definiremos la tasa continuamente compuesta como rc. Si R  es la tasa 
de  interés  “efectiva  anual”,  entonces  la  tasa  de  interés  continuamente  compuesta  será 
ln 1 , de modo tal que  1 . Por ejemplo, si R=10%, entonces  ln 1 10%
9.53%.  
   
4 
 
4. Tasas Nominales y Reales 
 
La  inflación  se  define  como  un  aumento  sostenido  y  generalizado  del  nivel  de  precios.  La 
existencia de  inflación provoca que  la misma  canasta de  consumo experimente un aumento de 
precios produciendo una pérdida de poder adquisitivo del dinero.   
 
La  inflación se mide mensualmente a partir del  IPC  (índice de precios al consumidor), el cual es 
construido  a partir de una  canasta de  consumo promedio.  El  valor del  IPC no es el  valor de  la 
canasta sino un índice de base 100.  
 
Podremos  medir  el  poder  adquisitivo  en  función  de  la  cantidad  de  canastas  que  podemos 
consumir en un determinado de tiempo.  
 
Ejemplo 
Suponga que se tienen los siguientes valores para el IPC. 
 
 
 
Suponga además que su sueldo es de $400.000 en Diciembre y de $402.000 en Enero, ¿ha variado 
su poder adquisitivo?  
 
Al no tener el valor de su propia canasta de consumo, se considerará la canasta promedio del IPC.  
 
N° de canastas diciembre: $400.000/($102,47/1 canasta) = 3.903,48 canastas 
N° de canastas enero: $402.000/($102,76/1 canasta) = 3.912,03 canastas 
 
O  sea,  usted  tiene  un mayor  poder  adquisitivo  en  enero  y  por  lo  tanto  aumentó  su  nivel  de 
bienestar. El alza de $2.000 de sueldo  le permitió no sólo mantener el poder adquisitivo dado el 
aumento en los precios, sino también aumentarlo.  
 
Cada  cierto  tiempo, el  valor del  IPC  se  cambia de base para que  volver  a partir en  algún  valor 
arbitrario (100, por ejemplo). Cuando esto sucede, se ajusta la serie completa de IPC hacia atrás de 
manera que no haya inconsistencias.  
 
 
 
 
Mes IPC
Nov 102,35
Dic 102,47
Ene 102,76
Feb 102,98
Mar 103,77
5 
 
Existen  instrumentos  financieros  y  contratos  que  protegen  contra  el  riesgo  de  inflación,  éstos 
instrumentos ofrecen flujos (y tasas) reales,  mientras que aquellos instrumentos que no protegen 
contra  el  riesgo  de  inflación,  ofrecen  flujos  (y  tasas)  nominales.  Note  que  la  inflación,  sólo 
representa un riesgo en la medida que se desconoce, pues en un mundo con certeza, se conocería 
hoy  la  inflación  del  próximo  período  y  usted  estaría  indiferente  entre  invertir  en  instrumentos 
nominales y reales, pues ambos rendirían lo mismo en términos de poder adquisitivo.  
 
En cambio, en un mundo con incertidumbre, los agentes económicos se forman expectativas sobre 
la  inflación  de  periodos  futuros,  llevando  a  que  por  arbitraje  ex  ante  las  alternativas  reales  y 
nominales rentenlo mismo, sin embargo, ex post si la inflación efectiva es distinta de la inflación 
proyectada  las alternativas reales y nominales habrán rentado distinto. Por definición, ex post,  la 
relación entre tasas de interés nominales y reales será 1+i =(1+r)(1+), donde  es la variación en 
el  índice de precios (IPC) o  inflación observada. Esto es cierto por definición y hasta aquí no hay 
una teoría. 
Fisher propone una relación que sería cierta ex ante. La ecuación que relaciona  tasas de  interés 
nominales y reales con inflación esperada sería: 
 
Ecuación de Fisher:   (1+i) = (1+r)(1+e) 
 
Donde  i = tasa de interés nominal 
  r = tasa de interés real 
  e = inflación esperada 
 
Sin embargo, nótese que es posible que, enfrentados a dos alternativas  (una que protege de  la 
inflación y otra que no) el  inversionista  refiera  la alternativa que asegura en  interés  real. Por  lo 
tanto, es posible que exista un premio por riesgo en las tasas de interés nominales, en cuyo caso se 
daría que esperamos ganar mas invirtiendo nominal que real: 
 
1+i >(1+r)(1+e) 
 
Por último no se debe olvidar que, al evaluar instrumentos financieros y/o proyectos, hay que ser 
coherente con los flujos y tasas utilizados, es decir, si se trata de flujos reales deben descontarse a 
tasas reales mientras que los flujos nominales deben ser descontados a tasas nominales. 
 
5. Valor Presente y Valor Futuro con varios períodos 
 
Una vez determinado el flujo y la tasa de interés pertinente para dicho flujo, podremos traer dicho 
flujo al presente, en cuyo caso determinaremos el  llamado valor presente o  llevarlo al  futuro al 
período n, encontrando así su valor futuro.  
 
Tenemos entonces que: 
6 
 
 
VF (C₀,N,r) = C₀ (1+r)n 
 
VP (CN;N;r) =  Cn/(1+r)
n 
 
La tasa r es aquella pertinente para descontar los flujos que representa el costo de oportunidad y 
que incluye riesgo y en caso de ser flujo reales, también la inflación.  
 
Cuando existe un mercado de capitales perfecto, estaremos indiferentes entre C₀ hoy y CN al cabo 
de N  períodos.  En  cambio  si  por  ejemplo  existiese  una  tasa  distinta  para  prestar  y  para  pedir 
prestado ya no estaríamos indiferentes.  
 
¿Qué pasa cuando tenemos múltiples tasas?  
 
VF (C₀,N,ri) = C₀ ∏ 1 rni 1 t  
ó 
VF (C₀,N,rci) = C₀ * ℮∑   (con interés continuamente compuesto)
 
 
VP (CN;N;ri) = CN/∏ 1 rni 1 t  
ó 
VP (CN,N,rci) = CN * ℮ ∑   (con interés continuamente compuesto)
 
 
 
Ejemplo 
Suponga que  le ofrecen un proyecto  con  la  siguiente estructura de  flujos  y  tasas de  interés de 
mercado:  
 
   t=0  t=1 t=2 t=3
Flujos  ‐500 100 200 300
Tasas de mercado    3% 5% 7%
 
Aplicando la fórmula tendremos: 
 
  500
100
1 0,03
100
1 0,03 1 0,05
100
1 0,03 1 0,05 1,07
41,26 
 
 
6. Sensibilidades (elasticidades) 
 
Habiendo  visto  que  el  valor  presente  y  el  valor  futuro  dependen  tanto  de  la  tasa  de  interés 
(promedio) r como del número de períodos (N), ahora podemos obtener  la sensibilidad de éstos 
frente a cambios en los parámetros descritos. Obtener las sensibilidades es especialmente útil en 
7 
 
la realidad, donde la incertidumbre es la regla y es importante suponer escenarios alternativos al 
caso base, o sea estresar el valor del proyecto ante cambios (o errores) en las tasas esperadas y el 
periodo en el cuál se recibirán los flujos. Por ejemplo, si estamos evaluando un proyecto con dos 
flujos nos interesará conocer la tasa de reinversión del flujo que se recibirá al final del primer año. 
Supongamos que esperamos una  tasa de  interés del 10%, pero dada  la volatilidad histórica ésta 
podría tomar un valor de 12% con 50% de probabilidad o de 8% con 50% de probabilidad. En ese 
caso sería importante ver si el proyecto continúa siendo rentable en el caso que la tasa resulte ser 
de 12%. Por otra parte si estamos evaluando una empresa que vende a crédito, nos interesaría por 
ejemplo, ver si continúa siendo rentable si nuestros clientes se demoran en promedio un mes más 
que lo esperado inicialmente en pagarnos, o en el extremo, ver cuánto es la demora máxima hasta 
la  cual  nuestro  proyecto  continúa  siendo  rentable,  dicho  de  otra  forma  para  qué  valor  de  n 
nuestro VPN se transforma en cero. 
 
Las sensibilidades son por definición en cuánto cambia el valor (presente o futuro) ante un cambio 
porcentual en  la variable relevante (r o n). Por definición entonces, debemos obtener  la primera 
derivada del VP o VF respecto a r y a n, dependiendo del caso que nos interese. A continuación se 
presentan  las  sensibilidades del  valor  furo  y el  valor presente  ante  cambios en n  y  luego,  ante 
cambios en r. Recuerden que %X = X/X = log(X), cuando  los cambios son pequeños. De este 
modo, 
 
1       ∆% VF / ∆ N =  ln (VF) /  N =  (ln (C₀) + N ln (1+r)) /  N = ln (1+r) = rc 
Frente  a un  cambio  en N,  el  cambio porcentual  en  el  valor  futuro  es positivo  e  igual  a  la  tasa 
continuamente compuesta. 
 
2       ∆% VP / ∆ N =  ln (VP) /  N =  (ln (CN ) ‐ N ln (1+r)) /  N = ‐ ln (1+r) = ‐rc 
Contrario  al  caso  anterior,  frente  a  un  cambio  en  N,  el  valor  presente  se  ve  afectado 
negativamente.  
 
Pensemos en una persona que hoy a los 40 años está pensando en jubilarse anticipadamente a los 
55  en  vez  de  a  los  65  años.  La  jubilación  anticipada  tiene  dos  aristas  pero  por  ahora  nos 
quedaremos con una de ellas. Por un lado, si esta persona jubila anticipadamente habrán 10 años 
en que no va a depositar plata en la AFP. Por otro lado, y lo que nos interesa en este caso es que la 
plata que tenga acumulada a los 55 no generará intereses en lo últimos 10 años y será esto lo que 
nos hará disminuir el valor presente de  lo depositado hasta  los 55. Podríamos concluir así que  la 
jubilación anticipada puede bajar significativamente las pensiones. 
 
3       ∆% VF / ∆ r =  ln (VF) /  N =  (ln (C₀) + N ln (1+r)) /  N = N/(1+r) 
 
4       ∆% VP / ∆ r =  ln (VP) /  N =  (ln (CN ) ‐ N ln (1+r)) /  N = ‐ N/(1+r) 
Frente a un cambio en  r, el cambio porcentual en el valor presente  se ve afectado  tanto por N 
como por la tasa de interés y de forma negativa.  
 
8 
 
Si se comparan varios proyectos con distintas tasas, se puede notar que en tiempos de altas tasas, 
los proyectos con flujos más lejanos se ven mucho más afectados que los proyectos a corto plazo. 
Tomemos dos proyectos, el primero pagará un flujo de $100 en el año 5 y el segundo pagará un 
flujo de $195 en 12 año más. Si  la  tasa aumenta, el proyecto dos  se verá más afectado que el 
proyecto uno, ya que el flujo está más lejano en el tiempo por lo que al aumentar la tasa se hace 
menos importante aún. 
 
7. Casos Particulares: Perpetuidades y Anualidades 
 
En  esta  sección  se  tratan  dos  casos  particulares  de  estructuras  de  flujos,  la  anualidad  y  la 
perpetuidad.  Se  tiene  una  anualidad  cuando  flujos  iguales  e  se  repiten  por  un  tiempo  finito, 
mientras que se tiene una perpetuidad si flujos iguales se repiten hasta el infinito.1  
 
Perpetuidad:  
VP (C;N;r) =         … .     
 
Si n→∞, entonces VP (C; n=∞;r) =    
 
Sensibilidades de una Perpetuidad: 
∆% VP / ∆ r =  ln (VP) /  r =  (ln (C) ‐ ln (r)) /  r = ‐ 1/r 
∆% VP / ∆ C =  ln (VP) /  C =  (ln (C) ‐ ln (r)) /  C = 1/r 
 
Anualidad:  
VP (C;N;r) =         … .     
 
En este caso n es un número finito, entonces VP (C;N;r) =    *   1    ) 
 
Sensibilidades de una Anualidad: 
∆% VP / ∆ r =  ln (VP) /  r =  (ln (C) ‐ ln (r) + ln   1 1  )) /  r  
  1  
∆% VP / ∆%C =  ln (VP) /  ln  = ln (C) ‐ ln (r) + ln   1 1  )) /   ln (C) = 1 
∆% VP / ∆ N =  ln (VP) /  N =   [ln (C) ‐ ln (r) + ln   1 1  )] /  r = 
 
 
 
                                                            
111 Si se quiere profundizar aún mas este tema se puede consultar: “Apuntes de Contabilidad II”, Profesor 
Gustavo Maturana, capítulo 1.  
9 
 
¿Cómo calculamosel Valor futuro de una perpetuidad? Una vez traídos los flujos a valor presente, 
aplicamos la formula de valor futuro: VF = VP (1+r)N, donde el VP será el valor calculado a partir de 
la formula anterior.Podemos encontrar también flujos que van creciendo a una tasa constante: 
 
Perpetuidad Creciente: 
 
VP (C;N;r;g) =     
 
   … .     
 
Donde r es la tasa de interés y g la tasa de crecimiento de los flujos 
 
VP (C;N=∞;r;g) =    , donde g < r 
 
El  crecimiento  puede  usarse  por  ejemplo  cuando  queremos  mantener  un  poder  adquisitivo 
constante y no poseemos instrumentos indexados en la economía.  
 
Ejemplo 
Necesitamos $500 en términos reales de aquí al infinito. No hay instrumentos que nos protejan de 
la  inflación y sabemos que ésta será un 4% anual. Si  la tasa de  interés nominal es 10%, ¿cuánto 
debemos depositar en el banco? 
 
VP = 500/(0,1‐0,04) = 8.333,33 
 
¿Qué pasa  si ya ahorramos esa cantidad  (8.333,33), cuánto  se puede  retirar  si ahora queremos 
que los flujos vayan creciendo a una tasa de 6%? 
 
8.333,33 = C1 / (0,1‐0,06)      g = r ‐ C1/VP0 
C1 = 333,33 
C2 = 353,33 
 
En cada período estamos ganando intereses pero a la vez estamos repartiendo. ¿Cuál es la tasa de 
retención de los intereses ganados (si es que la hay)? ¿Hay alguna relación con el crecimiento? 
 
Tomemos el período 0‐1.  Los  intereses ganados  son 8.333,3 * 0,1 = 833,33 y el  consumo en el 
período  1  es  333,33.  Podemos  apreciar  que  de  los  intereses  ganados  hay  una  parte  que  está 
siendo retenida y otra repartida.  
 
Definiremos entonces a ρ = Ct+1 / r*St , donde ρ es la tasa de reparto. En nuestro ejemplo, la tasa 
de reparto es 333,33/833,33 = 0,4. 
 
¿Cómo relacionamos la tasa de reparto con el crecimiento?  
10 
 
El crecimiento que podrán obtener mis flujos serán lo que retenga (o no reparta) por el interés que 
genera esa retención. 
Obtenemos entonces que:   g = (1‐ρ) * r 
 
Comprobando para nuestro ejemplo: g = (1‐0,4)*0,1 = 0,06 = 6%. 
 
 
En una perpetuidad, cuando r cae, entonces el VP de  los flujos aumenta, sin embargo  la relación 
del VP con g es  inversa, a medida que este aumenta el VP de  los  flujos aumenta. Lo anterior se 
puede ver en el siguiente gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Anualidad Creciente: 
 
Partiendo de la misma fórmula anterior, si N es un número finito obtenemos la siguiente fórmula: 
 
VP (C;N;r) =    *   1 ) 
 
Nótese que como N es finito, en este caso la fórmula sirve incluso si g>r. 
 
8. Propiedades del Valor Presente 
 
Resulta  importante  por  último  señalar  las  propiedades  del  valor  presente.  Piense  en  algunos 
ejemplos que muestren estas propiedades. 
 
1. Función homogénea de grado 1: 
 
VP( a + b FCt) = a + b * VP (FCt) 
 
2. Es aditivo: 
 
VP (FCat  + FCbt) = VP  (FCat) + VP (FCbt) 
VP Perpetuidad (C1=$1; r=15%)
0
50
100
150
200
0% 5% 10% 15% 20%
g
V
P
 P
e
rp
e
tu
id
a
d
VP Perpetuidad (C1=$1; g=5%)
0
50
100
150
200
0.0% 5.0% 10.0% 15.0% 20.0%
r
V
P
 P
e
rp
e
tu
id
a
d
11 
 
9. Ejercicio 
 
Los afiliados a  los fondos de pensiones normalmente cotizan durante un período activo de entre 
35 y 45 años. El capital acumulado en el fondo de pensiones luego lo retira en cuotas mensuales, 
ya sea hasta su muerte o la de sus beneficiarios. 
 
1) Un afiliado cotiza un 10% de su renta de 60 UF mensuales durante 40 años, (a) cuánto capital 
acumula si en promedio la rentabilidad del fondo es 8% anual (b) si viviera 25 años más ¿cuál es la 
máxima pensión mensual? Para este  segundo período  se  supone una  rentabilidad de 4%;  (c)  si 
quiere  vivir  con  la  misma  renta  que  antes,  ¿le  sobra  dinero  al  jubilar?  (¿hay  retiro  de  libre 
disponibilidad?) 
 
2) Encuentre una expresión que relacione  la pensión que recibirá con el monto acumulado de  la 
riqueza. ¿Cuánto aumenta la pensión si la cotización aumenta en 10%? 
 
3)  Las  autoridades  estimaron  que  con  una  cotización  del  10%  del  salario  durante  40  años  se 
alcanzaría  una  jubilación  equivalente  al  70%  del  sueldo  activo.  ¿Qué  rentabilidad  promedio  se 
supuso? 
 
4) Se analiza las siguientes posibilidades de aumentar la pensión futura: a) contratar un asesor que 
indique  la AFP que  será más  rentable  lo que generará una  rentabilidad adicional de 1%  ‐ cobra 
10% de  la  riqueza  final; b) aumentar  la cotización de 10% a 10%(1+x); c) postergar  la  jubilación 
durante N años. 
 
Solución 
 
1. (a) VF = [6/(1.081/12‐1)][1‐1.08‐40]1.0840 = 19362,5 (322,11 sueldos) 
  (b) 19362,5 = [P/(1.041/12‐1)][1‐1.04‐25] => P= 101,25 
  (c) LD = 19362,5(1 ‐ 60/101,25) = 7873,83 
 
2. (C/rA)[1‐(1+rA)
‐NA](1+rA)
NA = (P/rP)[1‐(1+rP)
‐NP] 
  Si cotización aumenta en 10% Pensión también lo hará 
 
3.  0,1S/[(1+r)1/12‐1][(1+r)NA‐1] = 0,7S/[(1+r)1/12‐1][1‐(1+r)‐NP]  
  Si NA = 40 NP = 25   r = 4,41% (NP = 20   r = 4%) 
 
4. a) Aumenta la WP a 421,9 sueldos‐10% = 379,73 sueldos 
  b) aumentar la cotización de 10% a 10%(1+x) = 379,73/322,1 => 17,9%  
  c) postergar  la  jubilación durante p años: 379,73=322,1(1+r)N N = 2,14 sin cotizaciones 
  adicionales