Apuntes estructura de tasa de interés

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APUNTE: ESTRUCTURA DE TASAS DE INTERÉS, DURACIÓN E INMUNIZACIÓN 
EDUARDO WALKER 
15 DE MAYO DE 2009 
1. Estructura de tasas de interés 
“Estructura  de  Tasas”,  “Curva  de  Tasas”,  “Yield  Curve”  y  “Term  Structure  of  Interest Rates”  se 
refiere todo a lo mismo. Para bonos con características determinadas, ve la relación entre la TIR de 
los bonos y su plazo al vencimiento. 
En general trabajaremos con bonos cero‐cupón con pago de 1 unidad de dinero (Peso, UF, Dólar) a 
distintos plazos. El precio de un bono que paga 1 en t  se denomina bt. Por definición, el precio de 
dicho  bono  es  el  valor  presente  del  pago  final  usando  su  propia  TIR  (yt).  Así,  bt  =  (1+yt)
‐t.  El 
siguiente gráfico  ilustra  las curvas para bonos cero‐cupón en pesos nominales y en UF para el 15 
de mayo de 2009. 
 
Fuente: LVA Índices 
 
Los ceros con plazo de 5 años tienen tasas de 4,73% y 2,86% en pesos y UF, respectivamente. 
BONOS CERO CUPÓN 
PLAZO  TIR CLP (%)  TIR UF (%)  PRECIO CLP (%)  PRECIO UF (%) 
1  1.72  1.43  0.9831  0.9859 
2  2.64  2.00  0.9493  0.9612 
3  3.45  2.42  0.9032  0.9308 
5  4.73  2.86  0.7936  0.8683 
10  6.37  3.25  0.5392  0.7263 
Fuente: LVA Índices 
 
2. Tasas forward 
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Definimos  las  tasas  forward  como  las  tasas de  interés  implícitas en  los precios de  los bonos de 
largo plazo para períodos futuros. Por ejemplo, ¿qué tasa de interés hay implícita en los precios de 
mercado entre los años 2 y 3? Tomando los precios de los papeles nominales, se ve que el precio 
de un cero con vencimiento en t=2 es 0.9493 y aquél con vencimiento en t=3 es 0.9032. ¿Por qué 
este último es menor? Lo es por el valor tiempo del dinero y en el caso del bono a 3 años el flujo se 
recibe  un  año  después.  ¿Qué  tasa  de  interés  está  utilizando  el mercado  implícitamente  para 
descontar flujos del año 3 por un período, para llevar los valores al año 2? La respuesta es 0.9032 = 
0.9493/(1+x), donde x es por definición la tasa forward para el año 3, f3. Así, 
1+ f3 = 0.9493/0.9032 = b2/b3 = (1+y3)
3/(1+y2)
2 = 1 + 5.11%. 
> Preguntas que pueden responderse a partir del cuadro y gráfico anteriores: 
i) ¿Por qué puede darse a corto plazo que la tasa en UF sea mayor que la tasa en 
pesos? 
ii) Ilustre en un mismo gráfico las TIR de los bonos cero-cupón nominales y reales 
y las tasas forward sucesivas 
iii) Qué tasa de inflación promedio anual igualaría las ganancias a diferentes 
vencimientos producto de invertir en papeles reales y nominales 
iv) Si existe aversión al riesgo y los inversionistas consideran que invertir en 
instrumentos reales tiene menor riesgo, ¿corresponden las tasas de inflación 
encontradas en el punto iii) a la “inflación esperada”? 
v) ¿Cuál es la tasa de “inflación forward” promedio anual entre los años 5 y 10? 
 
3. Las tasas forward pueden asegurarse 
Desde un punto de vista  financiero,  la única diferencia entre un  inversionista y un deudor es  la 
secuencia de  los  flujos: para el primero  la  secuencia es negativa y positiva y para el deudor,  la 
inversa. Suponiendo que el  inversionista / deudor puede  transar a  las  tasas del cuadro, si desea 
asegurarse una tasa de interés desde ya entre el año 2 y el 3 (por ejemplo), entonces debe: 
Inversionista (forward)  Endeudarse  a  2  (t)  años  e  invertir  la  cantidad 
que se pidió prestada a 3 (t+n) años 
Deudor (forward)  Endeudarse a 3 (t+n) años e invertir la cantidad 
que se pidió prestada a 2 (t) años 
Resultado  Se asegura una tasa de  interés entre 2 y 3 (t y 
t+n), que resulta ser la forward 
Estas operaciones permitirían asegurarse la tasa de interés 5.11% en una da las dos calidades. 
4. Portafolio imitador 
Supongamos que existe un bono en UF (“bullet”) con tasa de cupón de 4% y valor par de 1000 con 
plazo de vencimiento de 3 años. ¿A qué precio debería transarse el bono y cuál debería ser su TIR? 
Para responder se aplica el principio del portafolio  imitador unido a  la ausencia de arbitraje: dos 
formas  alternativas  de  generar  los mismos  flujos  deben  tener  el mismo  costo.  El  bono  recién 
descrito  tiene pagos de 40  en  los  años 1  y 2  y de 1040  en  el  año 3.  ¿Qué portafolio daría  los 
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mismos flujos? La respuesta es simple: uno que tenga 40 bonos cero‐cupón que venzan en 1 y en 2 
más otro cero cupón por 1040 que venza en 3. Por lo tanto, el “precio justo” del bono sería igual el 
costo de este portafolio, que resulta ser: 
PLAZO  PRECIO UF (%)  Cantidad Valor
1  0.9859  40 39.43 
2  0.9612  40 38.45 
3  0.9308  1040 968.01 
TOTAL  1045.89 
Con este precio, la TIR de este bono es 2.4%. 
5. Teorías para la estructura de tasas de interés 
Por años se ha  intentado estimar el por qué de  la  forma y comportamiento de  la estructura de 
tasas de interés. Hay una relación intuitiva entre las tasas de interés vigentes hoy para diferentes 
plazos (el “corte transversal” de las tasas) y las tasas de interés que se espera estén vigentes en el 
futuro (la “serie de tiempo” de las tasas). Las hipótesis más conocidas (que intentan relacionar el 
corte transversal con la serie de tiempo) son las siguientes: 
a. Hipótesis de segmentación 
Establece  que  no  hay  relación  entre  las  tasas  de  diferentes  plazos  y  las  expectativas  de  tasas 
futuras.  Simplemente  habría  mercados  segmentados  (oferta  y  demanda  de  fondos)  para 
diferentes plazos. Si las tasas de corto plazo son menores que las de largo plazo, esta hipótesis la 
explica por una abundancia relativa de fondos para el corto plazo (o escasez relativa de bonos de 
corto plazo) y para el  largo plazo ocurriría  lo contrario – según esta hipótesis – en cuanto a que 
hay menor abundancia relativa de liquidez a largo plazo (mayor oferta relativa de bonos de largo 
plazo). Entonces, ¿por qué  la curva en general  tendría pendiente positiva? Porque  las empresas 
desean  financiarse  a  largo  plazo  y  los  inversionistas  prefieren  los  instrumentos  de  corto  plazo, 
pero cada uno permanecería en su segmento. 
El  mayor  problema  de  esta  hipótesis  es  precisamente  suponer  que  se  trata  de  mercados 
incomunicados,  cuando  en  realidad no  lo  son.  En  efecto, por  ejemplo una  empresa que desea 
llevar a cabo un proyecto de  largo plazo preferiría financiarse con fondos (bonos) de  largo plazo. 
Sin  embargo,  si  le  resultara  “demasiado  caro”  financiarse  a  ese  plazo,  quizás  (transitoria  o 
definitivamente)  optaría  por  un  financiamiento  de  corto  plazo. Asimismo,  un  inversionista  que 
desea  liquidez de  corto plazo  en principio prefiere  invertir  en  instrumentos de  corto plazo,  sin 
embargo,  si  la  retribución  por  invertir  a  dicho  plazo  es  “muy  baja”  en  comparación  con  la  de 
invertir en bonos de mayor plazo, el  inversionista estará dispuesto a correr el riesgo de comprar 
un  bono  de  largo  plazo,  debiendo  venderlo  antes  de  su  vencimiento,  con  la  consiguiente 
incertidumbre en cuanto a la ganancia que obtendrá. 
b. Hipótesis de expectativas 
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Esta hipótesis establece que las tasas forward son las tasas esperadas (spot) futuras. En el ejemplo 
desarrollado más arriba, para el período que va entre mayo de 2011 a mayo de 2012 el mercado 
esperaría que la tasa nominal a un año sea 5.11%. Ésta es una forma simple de relacionar las tasas 
esperadas futuras (serie de tiempo) con las tasas vigentes hoy (corte transversal). 
c. Hipótesis de preferencia por liquidez 
Esta hipótesis  se  construye  sobre  la base de  la hipótesis de  expectativas unida  con  aversión  al 
riesgo y horizontes de  inversión de corto plazo. El argumento es que si el horizonte de  inversión 
dominante es el de corto plazo, para inducir a los inversionistas a invertir en instrumentos de largo 
plazo hay que pagarles un premio por riesgo.  
> ¿Por qué en esta perspectiva invertir en un bono de largo plazo tendría mayor riesgo 
que invertir en uno de corto plazo? 
Es  aproximadamente  cierto  que  si  lastasas  forward  en  promedio  corresponden  a  las  tasas 
esperadas spot futuras, entonces  invertir a corto o  largo plazo ofrecerá rentabilidades esperadas 
similares. Entonces, para que efectivamente se pague un premio por riesgo,  los papeles de  largo 
plazo  deben  descontarse  a  tasas mayores,  lo  que  equivale  a  que  las  tasas  forward  deban  ser 
mayores que la tasa esperada futura. Por ejemplo, el 5,11% para el período que va entre mayo de 
2011 y mayo de 2012 constituiría una especie de cota superior a  la tasa de  interés que espera el 
mercado para ese año. Es decir, en términos generales, esta hipótesis establece ft>E(rt). 
d. Hipótesis de hábitat preferido 
Ésta  establece  que  hay  determinados  inversionistas  /  deudores  que  se  sienten  “cómodos”  en 
distintos tramos de  la curva de tasas. La “comodidad” se entiende a partir de  las necesidades de 
liquidez,  de  la  naturaleza  de  los  activos  que  se  desea  financiar  (véase  sección  referida  a 
inmunización del patrimonio) o de  la naturaleza de  las obligaciones existentes. Esta hipótesis es 
una mezcla  ecléctica  de  todas  las  anteriores.  Los  deudores  /  inversionistas  preferirán  ciertos 
tramos de la curva, ceteris paribus, pero eventualmente estarán dispuestos a abandonar su hábitat 
preferido si la recompensa es lo suficientemente atractiva. 
6. El concepto de Duración 
El concepto de Duración se asemeja al de una elasticidad: cuán sensible es el valor de un activo o 
pasivo  frente  a  cambios  en  su  tasa  de  descuento.  Normalmente  se  aplica  a  bonos,  pero  su 
aplicabilidad  es  completamente  general.  Este  concepto  fue  desarrollado  originalmente  por 
Macaulay, quien derivó  la  fórmula correspondiente utilizando  tasas continuamente compuestas. 
Recuérdese que si y es una tasa geométrica, la tasa continuamente compuesta yc es ln(1+y). 
Utilizando este tipo de tasas de interés, el valor de un activo (bono) es: 
  ∑ −= t tyt ceFCB0
5 
 
El  cambio  porcentual  en  el  precio  del  bono  producto  de  un  cambio  en  la  tasa  continuamente 
compuesta (o derivada del logaritmo del precio) es: 
 
La Duración de Macaulay se define como: 
 
Es decir, resulta ser el plazo restante para cada pago futuro ponderado por la importancia relativa 
de cada flujo en el valor total del bono. 
> ¿Cuál es la duración de un bono cero cupón? 
> ¿Cuál es la duración de una perpetuidad con pagos anuales? 
Para el bono con cupones de 4% descrito más arriba, su Duración se estima como: 
(1) 
PLAZO 
Pago (2) V. Pte
con TIR (2.4%)
(1) X (2)
t x VP(FCt) 
0  ‐1045.89
 
1  40 39.06 39.06
2  40 38.15 76.30
3  1040 968.68 2906.04
Suma  1045.89 3021.40
Duración  3021.40 / 
1045.89 = 
2.9
> La Duración del bono es 2.9, sólo ligeramente menor que la del bono cero cupón a 
3 años. ¿Por qué? 
Nótese que  aún  siendo  la duración una elasticidad,  tiene unidad de medida. Puesto que es un 
promedio ponderado del plazo restante para el pago de cada uno de los flujos futuros (medido en 
días, semanas, meses, años), el promedio ponderado también quedará expresado en unidades de 
tiempo.  
Nótese además que, utilizando  la propiedad de aditividad del valor presente,  la Duración puede 
estimarse como DMAC = VP{tFCt}/VP{FCt}. 
> Si la Duración se mide días, meses o años, ¿cuál debe ser la unidad de tiempo de la 
TIR para que haya coherencia en el cálculo? 
La Duración se utiliza para ver  la sensibilidad del precio del activo frente a cambios en su tasa de 
interés. Por ejemplo, si Δyc = 1%, se espera que el precio del bono caiga en ‐2.9 × 1% = 2.9%. 
( )∑ −−== t tyt
cc
cetFC
Bdy
dB
Bdy
Bd
0
0
0
0 11ln
∑∑ ≡⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=−=−≡
−
t tt
ty
t
cc
MAC twB
eFCt
dy
dB
Bdy
BdD
c
0
0
0
0 1ln
6 
 
Una  complicación  de  los  cálculos  anteriores  es  que  normalmente  las  TIR  de  los  bonos  no  se 
expresan en su forma continuamente compuesta sino como tasas geométricas efectivas anuales. 
La pregunta es entonces cómo se usa la duración cuando se nos da como dato el cambio en la tasa 
geométrica. Puesto que por definición yc = ln(1+y), entonces Δyc = Δ ln(1+y) = Δy/(1+y). Entonces, 
para estimar el cambio en el valor del activo o pasivo utilizando la duración, a partir de un cambio 
en la tasa geométrica, se debe hacer lo siguiente: 
ΔB/B = ‐DMAC × Δyc = ‐DMAC × Δy/(1+y) 
Por ejemplo, si el nivel  inicial de  la TIR es 2.4% y queremos ver el  impacto de un aumento de 50 
puntos base en la TIR sobre el precio del bono, se calcula   2.9  × (‐0.005/1.024) = ‐1.41%. 
> Explique usando la Duración por qué un bono de largo plazo es considerado más 
riesgoso para un inversionista con horizonte de corto plazo. 
 
7. Inmunización 
Un uso  interesante de  la duración se  llama  Inmunización del Patrimonio. Esto da respaldo a que 
los proyectos o activos con flujos a largo plazo deberían financiarse con recursos de largo plazo, ya 
sea deuda o patrimonio. La pregunta que  intenta responderse es: para un nivel determinado de 
endeudamiento, y dadas las características de los activos, ¿qué estructura debería tener la deuda, 
para que el patrimonio resulte inmune frente a los cambios en los niveles de las tasas de interés? 
Esta pregunta se responde bajo el supuesto simplista de que existe una misma tasa de descuento 
para los activos y la deuda. La derivación es la siguiente: 
− Tanto en términos contables como económicos se cumple la identidad contable, Activos = 
Pasivos + Patrimonio. Por lo tanto, ΔActivos = ΔPasivos + ΔPatrimonio.  
− Se supone en este caso que la variación en el valor económico de activos y pasivos se debe 
exclusivamente  a  cambios  en  ‘la’  tasa  de  interés.  El  cambio  porcentual  en  el  valor  del 
activo, pasivo o patrimonio se  relaciona con el cambio en  la  tasa de  interés de  la  forma 
ΔB/B = ‐DBΔy/(1+y), por lo que el cambio en el valor absoluto es ΔB = ‐ BDB Δy/(1+y) 
− Inmunizar el patrimonio equivale a hacer ΔPatrimonio = 0.  
− Para ello se necesita ΔActivos = − A0DACT Δy/(1+y) = ΔPasivos = − PAS0DPAS Δy/(1+y). 
− Simplificando se obtiene DACT /DPAS = PAS0/A0 
 
> ¿Puede el patrimonio tener una duración negativa? 
Por ejemplo, una empresa tiene activos con un valor económico de 1000 y decide utilizar una 
relación Deuda / Patrimonio de 1.2. Los activos tienen una Duración de 18 años, porque 
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corresponde a bosques de pinos. ¿Qué duración debe tener el pasivo para que el patrimonio 
resulte inmunizado? 
Utilizando los resultados anteriores se tiene que la relación pasivos a activos es 0.55. Si la 
duración del activo es 18, la del pasivo debe ser 33. 
> Si la empresa del ejemplo usa más deuda, ¿su duración deberá aumentar o disminuir? 
> ¿Qué pasa cuando el nivel deuda/activos tiende a 1?