Ayudantía 1 II 2010 Solución

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Ayudant́ıa Econometŕıa: Regresión Lineal
Profesor: Jaime Casassus Ayudante: Jocelyn Tapia
1. Comentes
1. Un estimador �1 siempre debeŕıa ser preferido a un estimador alternativo �2 si el primero
tiene una varianza menor que el segundo.
El comente es incierto. El error cuadrático medio: ECM = Sesgo2+V arianza. Si los
dos estimadores son insesgados el comente es veradero. Sin embargo, si difieren
en cuanto a sesgo es mejor comparar sus ECM que solamente sus varianzas, pues
menor varianza no implicará necesariamente menor ECM.
2. Un investigador piensa que las variables y y x están relacionadas por medio de la siguiente
función: y = b1 + b2x+u, donde u es un error aleatorio y b1 y b2 son parámetros desconocidos
a estimar. El investigador cuenta con una muestra de n observaciones pero está confundido
pues no sabe cuál método usar para estimar los parámetros de interés. En particular, él ha
óıdo hablar del método de Mı́nimos Cuadrados Ordinarios, Máxima Verosimilitud. Su jefe le
dice que es equivalente la estimación por ambos métodos.
MICO: Busca valores para los parámetros b y b tales que se minimice la suma de
los cuadrados de los errores de predicción del modelo. Los errores de predicción
son la diferencia entre el valor observado de la variable dependiente y el valor
que se predice en el modelo.
MV: Busca para los parámetros b y b tales que se maximice la probabilidad que
los datos observados en la muestra provengan de una determinada distribución,
la cual es asumida por el investigador (distribución normal por ejemplo).
Bajo los supuestos clásicos ambos son equivalentes.
2 Usted se ha ganado una consultoŕıa en una fábrica de zapatos para estimar una función de
demanda por calzado del tipo Q = b0 + b1P . Al reunirse con el gerente de la firma, éste pone a
su disposición los datos para su trabajo, los cuales consisten en información acerca del precio de
los pares de zapatos y la cantidad vendida. El gerente le dice que un ayudante en práctica armó la
base de datos pero no recuerda si las variables estaban medidas en niveles o en logaritmo natural,
pero que él piensa que eso no es muy importante.
a Explique al gerente por qué es relevante saber si los datos están medidos en niveles o logaritmos.
La importancia de la forma en que están medidas las variables radica en la inter-
pretación que se dará a los parámetros del modelo. En particular, si las variables
están medidas en niveles, entonces b1 nos dice el impacto esperado de un cambio de
una unidad en P sobre el nivel de Q. Por otro lado, si ambas están medidas en logs,
b1 nos dice el cambio porcentual esperado sobre Q ante un cambio porcentual de 1 %
en P. Si una de las variables está en niveles y la otra en logs, entonces b1 mide el
cambio (porcentual o en niveles) que se espera ante un cambio (de 1 unidad o de
1 %) en P.
b El d́ıa de hoy el gerente está algo desocupado, aśı que se sienta al lado suyo y lo ve
plantear el siguiente modelo de estimación: ln(Q) = b0+b1ln(P )+u. Al ver esto, le dice
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que él recuerda de sus cursos de micro que el precio afecta la cantidad demandada,
pero que no sabe qué es la variable u que está en la ecuación. Explique al gerente
por qué usted incluye esta variable y qué supuesto es necesario hacer acerca de su
interacción con las demás variables en el modelo.
La variable u representa factores no observables o no medibles que afectan la can-
tidad demandada pero que no se incluyen en el modelo (por ejemplo, gustos del
consumidor).El supuesto clave respecto a esta variable es que el err or muestral
es independiente de las variables explicativas. Si este supuesto no se cumple hay
problemas con la interpretación y propiedades de b1.
c Encuentre los estimadores de mı́nimos cuadrados para los parámetros b0 y b1. Ex-
plique el resultado obtenido (Ayuda: un gráfico de dispersión con las variables de la
muestra puede ser de gran utilidad).
Los estimadores no se pueden obtener. Si vemos la fórmula para el estimador MICO
del modelo simple, el estimador de b1 está indefinido si la varianza de la variable
explicativa es cero. Intuitivamente esto sucede porque b1 trata de capturar el efecto
de cambios en la variable explicativa sobre la variable dependiente. Si en la mues-
tra tenemos la mala suerte de no observar variabilidad en la var. explicativa nos
será imposible formarnos una idea de cómo cambios en ella afectan a la variable de-
pendiente. Gráficamente, estaŕıamos tratando de estimar la pendiente de una ĺınea
vertical, la cual no está definida.
d Encuentre los estimadores de mı́nimos cuadrados para los parámetros b0 y b1. Ex-
plique al gerente cómo interpretar los resultados obtenidos. En particular, el gerente
está interesado en saber cuál es el impacto esperado sobre los ingresos totales de la
empresa si se aumenta el precio de los zapatos en 1 % y en un 10 %.
Utilizando las fórmulas para estimadores MICO se encuentra que b0 = 8,88 y b1 =
−0,43. Estos resultados muestran que por un aumento de 1 % en el precio se espera
que la cantidad demandada caiga en un 43 %. En este caso, el ingreso esperado de la
empresa caeŕıa aproximadamente en 67 %. Si el precio aumenta en 10 %, el coeficiente
sugiere una cáıda de 430 % en cantidad demandada. Para efectos prácticos, esto
puede verse como una cáıda de 100 %, por lo que el ingreso total caeŕıa en un 100 %
también.
e El gerente sigue aburrido y no se va de su lado. Él nota que usted ha calculado
los errores de predicción del modelo y feliz le dice: ¡este modelo es el mejor posible
porque en promedio no hay error de predicción!. Explique al gerente porqué no debe
entusiasmarse tanto por su hallazgo.
Si el modelo incluye un intercepto, como es el de este ejercicio, las condiciones de
primer orden del problema de MICO garantizan que la sumatoria de los errores
muestrales (y por lo tanto su promedio también) serán cero. Aśı, lo que señala el
gerente se cumple por construcción y no es ninguna cualidad especial del modelo.
f Notando que el gerente aún no se va y que se ve desilusionado, usted decide contarle
acerca del R2, un estad́ıgrafo que śı entrega una mejor idea de la bondad de ajuste
del modelo. Explique al gerente en qué consiste el estad́ıgrafo, calcule el R2 de su
modelo e interprete el resultado para el gerente.
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El R2 es un estad́ıgrafo que mide el porcentaje de variabilidad en la var. dependiente
que es explicado por el modelo. Mientras más bajo (alto) sea este porcentaje, peor
(mejor) será la bondad de ajuste del modelo, pues podemos explicar una parte
chica (grande) de la volatilidad en la var. dependiente. El porcentaje restante seŕıa
explicado por factores no observables o aleatorios.
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