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Apuntes 8

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Apuntes de Econometría
Prof. Ricardo Guzmán
Ponti�cia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economía
1er Semestre de 2006
Sección 8: Predicción usando MCO
Supongamos que queremos predecir el valor de un y0 aún
no observado cuando conocemos las variables explicativas
x00.
Del teorema de Gauss-Markov se deduce que el mejor
estimador lineal e insesgado de y0 es
bE(y0 jx00) = x00 b�:
El error de predicción es
b"0 = y0 � by0 = x00(� � b�) + "0
Note que el error de predicción tiene 2 componentes, uno
relacionado con el error de estimación de � y otro con la
incertidumbre inherente al modelo, "0.
La varianza del error de predicción es
�20 = var(b"0 jX;x0) = �2(x00(X0X)�1x0 + 1)
y la podemos estimar así:
b�20 =dvar(b"0 jX;x0) = s2[x00(X0X)�1x0 + 1]:
Pregunta: ¿Por qué la varianza del error de predicción
es mayor que la varianza de las perturbaciones?
Por sí sola, una predicción puntual del valor de y0 carece
de sentido. Necesitamos construir un intervalo de con�-
anza para la predicción. Lo que queremos son dos cotas
alrededor de by0, entre las cuales el verdadero valor de y0
esté con una probabilidad 1� � arbitrariamente grande:
Pr (y0 � a � by0 � y0 + a jX;x0) = 1� �.
Para obtener a manipulamos un poco la expresión ante-
rior:
Pr (y0 � a � by0 � y0 + a jX;x0) =
2Pr
 
t � ab�0 jX;x0
!
� 1;
donde
t =
by0 � yb�0 =
by0�y
�0sb�20
�20
:
Si queremos calcular a necesitamos conocer la distribu-
ción de t. El numerador de t es una variable aleatoria
normal estándar. El denominador de t es la raíz de una
variable aleatoria chi-cuadrado con N �K grados de lib-
ertad. Además, el numerador y el denominador de t son
variables aleatorias independientes (¿por qué?). En con-
clusión, t distribuye t de Student con N �K grados de
libertad.
Luego, es posible encontrar a usando la función de dis-
tribución inversa o percentil de la t de Student:
a = b�0t1��2 (N �K) :
Usando el valor de a que acabamos de calcular podemos
a�rmar que con probabilidad 1� � el siguiente intervalo
contendrá el verdadero valor de y0:
by0 � b�0t1��2 (N �K)
Pregunta: ¿Qué pasará con el tamaño del intervalo si
1� � crece?

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