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Apuntes de Econometría Prof. Ricardo Guzmán Ponti�cia Universidad Católica de Chile Instituto de Economía 1er Semestre de 2006 Sección 8: Predicción usando MCO Supongamos que queremos predecir el valor de un y0 aún no observado cuando conocemos las variables explicativas x00. Del teorema de Gauss-Markov se deduce que el mejor estimador lineal e insesgado de y0 es bE(y0 jx00) = x00 b�: El error de predicción es b"0 = y0 � by0 = x00(� � b�) + "0 Note que el error de predicción tiene 2 componentes, uno relacionado con el error de estimación de � y otro con la incertidumbre inherente al modelo, "0. La varianza del error de predicción es �20 = var(b"0 jX;x0) = �2(x00(X0X)�1x0 + 1) y la podemos estimar así: b�20 =dvar(b"0 jX;x0) = s2[x00(X0X)�1x0 + 1]: Pregunta: ¿Por qué la varianza del error de predicción es mayor que la varianza de las perturbaciones? Por sí sola, una predicción puntual del valor de y0 carece de sentido. Necesitamos construir un intervalo de con�- anza para la predicción. Lo que queremos son dos cotas alrededor de by0, entre las cuales el verdadero valor de y0 esté con una probabilidad 1� � arbitrariamente grande: Pr (y0 � a � by0 � y0 + a jX;x0) = 1� �. Para obtener a manipulamos un poco la expresión ante- rior: Pr (y0 � a � by0 � y0 + a jX;x0) = 2Pr t � ab�0 jX;x0 ! � 1; donde t = by0 � yb�0 = by0�y �0sb�20 �20 : Si queremos calcular a necesitamos conocer la distribu- ción de t. El numerador de t es una variable aleatoria normal estándar. El denominador de t es la raíz de una variable aleatoria chi-cuadrado con N �K grados de lib- ertad. Además, el numerador y el denominador de t son variables aleatorias independientes (¿por qué?). En con- clusión, t distribuye t de Student con N �K grados de libertad. Luego, es posible encontrar a usando la función de dis- tribución inversa o percentil de la t de Student: a = b�0t1��2 (N �K) : Usando el valor de a que acabamos de calcular podemos a�rmar que con probabilidad 1� � el siguiente intervalo contendrá el verdadero valor de y0: by0 � b�0t1��2 (N �K) Pregunta: ¿Qué pasará con el tamaño del intervalo si 1� � crece?
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