Apuntes 9

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Apuntes de Econometría
Prof. Ricardo Guzmán
Ponti�cia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economía
1er Semestre de 2006
Sección 9: Bondad de ajuste
En esta sección introduciremos R2 y R2 ajustado, dos
medidas de �bondad de ajuste�. Antes de siquiera de�nir-
los, es preciso enfatizar: R2 y R2 ajustado miden que tan
bien se ajusta el modelo estimado a la muestra, y no a
la población. Es decir: Ni R2 ni R2 ajustado sirven para
decidir si un modelo estimado se aproxima mejor que otro
al modelo verdadero. Además, lo más probable es que un
modelo con R2 genere peores predicciones que un modelo
con R2 más bajo.
Comenzamos por introducir algunos términos: suma de
cuadrados totales (SCT ), suma de cuadrados explicados
(SCE) y suma de cuadrados residuales (SCR):
SCT = y0M0y = N b�2y;
SCE = by0M0by = N b�2ŷ;
SCR = b"0cM0b" = N b�2:
Si en el modelo de regresión hay un término constante,
entonces se cumple que
SCT = SCE + SCR;
o bien
b�2y = b�2ŷ + b�2:
Tarea: ¡demostrarlo!
La expresión anterior, nos dice que podemos descomponer
la variabilidad total de y, dada por SCT , en dos partes.
La primera, SCE, es la variabilidad de y explicada por
el modelo. La segunda, SCR, es la variabilidad de los
residuos estimados, es decir, la variabilidad no explicada
por el modelo.
La descomposición nos sugiere un posible indicador del
�poder explicativo�de un modelo:
R2 = 1� SCR
SCT
:
Si el modelo incluye una constante, R2 nos dice qué por-
centaje de la varianza total de y es explicada por el mod-
elo.
Algunas propiedades de R2 :
1. Si todos los valores de (yi; x0i) están el un mismo
hiperplano, R2 será igual a uno.
2. Si la regresión incluye un término constante, en-
tonces R2 2 [0; 1]
3. Si la regresión no incluye término constante, en-
tonces R2 2 [�1; 1].
4. R2 nunca decrece cuando se agrega una variable ex-
plicativa a la regresión.
Tarea: demostrar las propiedades de R2.
A veces se usa una medida alternativa de poder explica-
tivo, la que corrige por la pérdida de grados de libertad
que se produce cuando se adiciona regresores al modelo.
R2ajustado = 1�
SCR
(N �K)SCT
: