Guía Econometría 2004-1 3

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Guía Econometria E-250 Regresión Múltiple: Estimadores MICO, supuestos y propiedades 
Prof. Verónica Gil y Aldo Lema 
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3. MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE 
 
3.1 Estimadores MICO, supuestos y propiedades. 
 
 
Ejercicio 3.1.1 
 
Comente las siguientes afirmaciones 
 
a) Si Yi y X i2 son variables no correlacionadas entre sí, es decir, )X)(XY(Y 2i2i −−∑ = 0, entonces la estimación MICO 
del coeficiente β2 en el modelo: 
Yi = β1 + β2 Xi2 + β3 Xi3 +.........+ βk Xik + ui 
es cero. 
 
b) El vector de residuos muestrales es siempre ortogonal a la matriz de variables explicativas del modelo. Sin embargo, no 
siempre la media de los residuos muestrales es igual a 0. 
 
c) Para obtener los estimadores MICO en el modelo de regresión múltiple es necesario suponer que el rango de (X´X) es 
igual a k. 
 
d) La media de los residuos muestrales es siempre 0. Ello por cuanto se ha supuesto que la E(ui) = 0 para todo i. 
 
e) El vector de residuos muestrales no siempre es ortogonal a la matriz de variables explicativas del modelo. 
 
f) El incumplimiento del supuesto de normalidad respecto a la distribución de los errores invalida la propiedad de que los 
MICO son de mínima varianza, dentro los estimadores lineales. Sin embargo, no invalida la propiedad de insesgadez. 
 
g) Si se agrega una variable adicional a una regresión, el valor estimado de σ2 permanecerá 
igual o se reducirá. 
 
h) A medida que el tamaño muestral aumenta, el test t debería incrementarse. 
 
i) Suponga que el coeficiente de una variable de una ecuación es significativamente diferente de cero a un nivel de 
significación de 20%. Por lo tanto, si se elimina esta variable de la regresión, el R2 y el R c
2 se reducirán. 
 
j) Si n=k en el modelo de regresión múltiple, no podrá obtenerse valores únicos de los estimadores MICO. 
 
k) Al minimizar la suma de cuadrados residuales, los estimadores MICO están maximizando simultáneamente el R2. 
 
l) En el modelo de regresión lineal general, los residuos son ortogonales a sus variables explicativas. 
 
m) Si Yi y X i2 son variables ortogonales, entonces la estimación MICO del coeficiente β2 en el modelo: 
Yi = β1 + β2 Xi2 + β3 Xi3 + ui 
es cero. Comente, justificando su respuesta. 
 
n) Si se estima la siguiente regresión Yt=β1+β2 Xt+β3 Zt +ut , se computa el error de estimación et y luego se 
estima et=α1+α2Zt +vt , los αi estimados serán cero. 
 
 
 
Ejercicio 3.1.2 
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Dada la siguiente información: 
 
( )
, , ,
, ,
,
X X′ =
− −









−1
0 78741 0 17961 0 03531
0 06028 0 00515
0 00241
 X Y′ =










460
820 9
5227 5
,
,
 
 
 Yi
2∑ = 12516 N =20 
 
a) (4 puntos) Estime los parámetros del modelo: 
 
Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 Xi3 + ui 
 
b) (4 puntos) Calcule el R2 y el R c
2 . 
c) (4 puntos) Estime el valor de σ2 usando un estimador insesgado de este parámetro. Construya un intervalo de confianza 
para el mismo. Utilice α = 5%. 
d) (8 puntos) Testee la significación global del modelo y la significación de β2 y β3 en forma individual. Utilice α = 5%. 
 
 
 
Ejercicio 3.1.3 
 
Se ha estimado la siguiente función de consumo agregado a partir de 20 observaciones: 
 
Ci = -4,16 - 0,23 Ri + 0,8 Yi + ei 
 
donde: 
Ci = logaritmo natural del consumo agregado. 
Ri = tasa de interés real 
Yi = logaritmo natural del ingreso esperado 
ei = residuo 
 
Además se sabe que: 
 
( )
, , ,
, ,
,
X X′ =
− −









−1
0 78741 0 17961 0 03531
0 06028 0 00515
0 00241
 
 
a) (6 puntos) Evalúe la hipótesis nula de que la tasa de interés no afecta al consumo. 
b) (6 puntos) Evalúe la hipótesis nula de que la elasticidad respecto al ingreso es 1. 
c) (8 puntos) Construya un intervalo de confianza para la elasticidad respecto al ingreso. 
d) (5 puntos) Estime el valor de σ2 usando un estimador insesgado de este parámetro. Construya un intervalo de confianza 
para el mismo. 
e) (5 puntos) A partir de los datos disponibles explique cuidadosamente los procedimientos necesarios para calcular el R2 
de la regresión. 
 
En todos los casos usted debe plantear hipótesis nula y alternativa, el test y la distribución utilizada, los grados de libertad 
y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α = 5%. 
 
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Ejercicio 3.1.4 
Usted tiene dispone de la siguiente estimación de una demanda por dinero en Chile para el período 1970-1994, efectuada en 
base a datos anuales: 
 
ln M/P i = 1,4 + 1 ln Yi - 015 Ii + ei 
 
donde M/P es la cantidad real de dinero, Y es el PIB, I es la tasa de interés nominal de corto plazo y ln significa que las 
variables están expresadas en logaritmos naturales. 
Además usted sabe que el R2 corregido (R c
2 ) es 0,8 
Con la información disponible evalúe la significación global del modelo, planteando la hipótesis nula y alternativa, el test y 
la distribución utilizada, los grados de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α = 5%. 
 
 
 
Ejercicio 3.1.5 
Usted tiene el siguiente modelo: 
 Yi = β1 + β2 Ci + ui 
 
La variable explicativa sólo puede tomar valores cero o uno. En N1 observaciones tomó el valor cero y en N2 el valor uno. 
El valor medio de la variable dependiente cuando Xi = 0 fue igual a 2 y cuando Xi = 1 fue cinco. Se pide encontrar los 
valores de los estimadores de los coeficientes, así como sus varianzas. 
 
 
Ejercicio 3.1.6 
En un estudio de 89 empresas la variable dependiente es costo total, Y, y las variables explicativas son: producción (X2), y 
proporción de ausencias de trabajo (X3). Se dispone de la siguiente información: 
 
Y = 0,8 X = 2,92 X = 3,93 
y’y = 113,9 x’y = 
368
39 1
,
,




 x’x = 
50 5 66 2
967 1
, ,
,
−



 
 
a) (8 puntos) Estime los coeficientes de la siguiente regresión: 
Yi = β1 + β2Xi2 +β3Xi3 + ui 
 
b) (8 puntos) Contraste la significación individual de la variable Xi3. Utilice α = 5%. 
 
c) (10 puntos) Evalúe la significación global del modelo, planteando la hipótesis nula y alternativa, el test y la distribución 
utilizada, los grados de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α = 5%. 
 
d) (4 puntos) Calcule el coeficiente de determinación múltiple corregido (R c
2 ). 
 
 
Ejercicio 3.1.7 
Un economista desea examinar los efectos de algunas variables sobre el nivel de educación de un país. A estos efectos 
especifica la siguiente regresión: 
 
Ln Ei = β1+ β2 Ln Yi + β3 TIEi + ui 
 
Donde: 
Ln representa logaritmo natural. 
Ei es la cantidad de niños escolarizados de un país en el año i. 
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Yi es el ingreso del país en el año i 
TIE es una variable de tendencia que toma el valor 1 en el primer año, 2 en el segundo, etc. 
 
Se obtienen los siguientes resultados (entre paréntesis se reporta el desvío standard de cada coeficiente) 
 
Ln Ei = 7,71 + 1,64 Ln Yi + 0,015 TIEi + ui 
 (0,113) (0,605) (0,005) 
 
Además: SCE= 123,2 
 SCR= 21,4 
 N=60 
 
a) Explique intuitivamente el significado de los coeficientes 
b) Pruebe la hipótesis: “ el ingreso no tienen efecto sobre el nivel de educación de un país”. c) Un economista cree que el 
parámetro asociado a la variable TIE es algo elevado ya que otros estudios han encontrado un valor en torno a 0,01. Dada la 
estimación presentada, ¿se validaría esta hipótesis? 
d) Calcule el R2 y el R2 corregido 
e) Plantee un test de significancia del modelo en su conjunto. 
 
En todos los casos usted debe plantear hipótesis nula y alternativa, el test y la distribución utilizada, los grados de libertad 
y el criterio de aceptación o rechazo. 
Las pruebas se deben realizar utilizando α = 5%. 
 
 
Ejercicio3.1.8 
Sea el modelo Yi = β2 Xi + ui ∀ i (1) 
 
Asumiendo que se cumplen los supuestos clásicos se calcula ei = Yi - 
$β 2 Xi y se estima por MICO 
Yi = α2 Xi + α3 ei + εi ∀ i (2) 
 
a) Definir las matrices en (2) especificando las dimensiones. 
b) Calcular los estimadores MICO de αi. 
c) Calcular el vector de residuos de la regresión (2). 
d) Calcular el R2 de la regresión (2). 
Se debe resolver en forma matricial. Explique cuidadosamente los resultados. 
 
 
Ejercicio 3.1.9 (Control 2, 2do. Semestre de 1997) 
 
La parte deterministica de una regresión donde Yt es siempre la variable dependiente y pueden haber una o dos 
variables explicativas X2t y X3t, puede especificarse de alguna de las siguientes formas: 
 
• Yt= A (X2t)
β1(X3t)
β2 
• Yt=e 1 2 2t
+ Xβ β
 
• X2t=β β1 2
Yt 
• Yt=β1+β2(1/X2t) 
• Yt=β1+β2X2t+β3 (X2t
 )2 
 
a. (7.5 puntos) ¿Es necesario hacer alguna transformación para poder estimar por MICO los parámetros de los 
modelos anteriores?. En caso afirmativo, realice estas transformaciones. 
 
b. (7.5 puntos) Interprete los coeficientes en cada uno de los casos, planteando su significado económico. 
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c. (3 puntos) Introduzca el término de aleatoriedad en cada caso. 
 
d. (7 puntos) Suponga que la variable X2 se duplica. Discuta qué sucede con el valor del coeficiente asociado a 
dicha variable en las cuatro primeras especificaciones planteadas. 
 
 
Ejercicio 3.1.10 (Control 2, 2do. Semestre de 1997) 
 
Un investigador no tiene claro si la variable Y está explicada por la variable X o por la variable Z. Para elegir 
cuál es el modelo correcto, realiza una regresión tomando X como variable explicativa, y analiza si el estimador 
de la pendiente es significativo. Si lo es, decide que este es el modelo correcto. En caso contrario, dice que el 
modelo correcto es el que incorpora la variable Z como explicativa. 
 d1) ¿Qué defecto teórico tiene este método? 
 d2) Explique para este caso, cuáles serían los errores de tipo I y de tipo II que cometería el 
 investigador. 
 
 
Ejercicio 3.1.11 (Control 3, 2do. Semestre de 1997) 
Utilizando algebra matricial: 
i) Derive los estimadores MICO. 
ii) Demuestre que son estimadores insesgados. 
iii) Deduzca la matriz de varianzas-covarianzas de dichos estimadores. 
 
 
 
Ejercicio 3.1.12 (Control 2, 2do. Semestre de 1998) 
 
a) (5 puntos) Explique intuitiva y matemáticamente el concepto de independencia lineal entre las columnas de 
la matriz X necesario para calcular los estimadores MICO. 
 
b) (5 puntos) Explique y defina el concepto de R2 corregido. ¿Por qué no basta con utilizar el R2? 
 
 
Ejercicio 3.1.13 (Control 2, 2do. Semestre de 1998) 
 
Utilizando notación matricial demuestre que los estimadores MICO son lineales e insesgados. Calcule su 
varianza. En cada paso, explicite los supuestos clásicos que está utilizando. 
 
 
Ejercicio 3.1.14 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1999) 
 
Utilizando algebra matricial demuestre para el modelo de regresión múltiple con k variables que: 
iv) (un punto) Los estimadores MICO son lineales en Y. 
v) (2 puntos) Los estimadores MICO son insesgados. 
vi) (4 puntos) )X'X( )ˆ(V)ˆ(Cov-Var 12 −σ=β=β 
vii) (17 puntos) Los estimadores MICO son MELI explicitando en cada caso el 
supuesto clásico requerido. 
 
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3.2 Análisis de Varianza, Test de hipótesis lineales y cambio estructural. 
 
Ejercicio 3.2.1 
 
Un economista desea estimar una función de producción para la economía chilena. Usando datos anuales para el período 
comprendido entre 1960 y 1991, él estima la siguiente ecuación de regresión: 
 (1) Ln Y = 1,37 + 0,632 Ln K + 0,452 Ln L + ei 
 (0,85) (0,257) (0,219) 
donde Ln Y es el logaritmo natural del producto, Ln K es el logaritmo natural del stock de capital, y Ln L es el logaritmo 
natural del trabajo. Los términos entre paréntesis corresponde a los desvíos estándares de los parámetros. La suma de 
cuadrados explicados fue 109,6 y la suma de cuadrados residuales 18,48. Además la covarianza entre los coeficientes de 
capital y trabajo fue de 0,055. 
 
a) Testee la significancia de cada uno de los coeficientes de la regresión. 
 
b) Testee la hipótesis de que la función de producción es homógenea de grado 1. 
 
c) Calcule el coeficiente de determinación múltiple sin corregir (R2) y el coeficiente de 
determinación múltiple corregido (R c
2 ). 
 
d) Testee la hipótesis de que todos los coeficientes son 0, exceptuando la constante. 
 
e) Dos regresiones adicionales, basadas en la especificación original de la ecuación (1) fueron estimadas para los 
subperíodos 1960 a 1975 y 1976 a 1991, produciendo sumas de cuadrados residuales de 9,32 y 7,46 respectivamente. 
Testee la hipótesis nula que los coeficientes son idénticos en los dos subperíodos. 
 
f) Utilizando la información para todo el período, el economista intentando mejorar su estimación introduce una variable de 
capital humano (Ln H) en la regresión obteniendo la siguiente relación: 
 
 (2) Ln Y = 1,37 + 0,632 Ln K + 0,452 Ln L + 0,112 Ln H + ei 
 (0,85) (0,257) (0,219) (0,054) 
 
 R2 = 0,91 SCR = 11,53 
 
A usted se le pide que determine con cual modelo -ecuación (1) o ecuación (2)- el economista realiza una mejor estimación 
de la función de producción. Fundamente su respuesta. 
 
g) Suponga ahora que el economista en vez de plantear un modelo alternativo como el de la ecuación (2), él plantea y estima 
la siguiente especificación alternativa: 
 
 (3) Y = 1,37 + 0,632 Ln K + 0,452 Ln L + ei 
(0,85) (0,257) (0,219) 
 
 R2 = 0,81 SCR = 19,32 
Se le pide a usted que exprese como es posible comparar y elegir el mejor modelo entre el (1) y el (3). Describa todos los 
pasos necesarios y los supuestos que necesita hacer para ese caso. 
Nota: En la realización de los test de las preguntas (a), (b), (d) y (e) usted debe señalar: la hipótesis nula y 
alternativa, el test y la distribución utilizada, los grados de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilize 
un nivel de significancia de 5%. 
 
 
Ejercicio 3.2.2 
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Un economista desea examinar los efectos del grado de educación y del número de años de experiencia laboral sobre el nivel 
de remuneraciones. Utilizando datos de corte transversal, obtiene la siguiente estimación a través de usar mínimos 
cuadrados ordinarios: 
 
(1) Ln R = 7,71 + 1,648 E + 2,153 N - 0,0297 N2 + ei 
 (0,113) (0,605) (1,023) (0,0187) 
 
 SCE= 123.2 SCR= 21,4 N=60 
 
donde el Ln R es el logaritmo natural de las remuneraciones, E es el número de años de educación y N es el número de años 
de experiencia laboral. Los valores entre paréntesis corresponden a los desvíos estándares de los parámetros. 
 
a) Testee la significancia de cada uno de los coeficientes de la regresión. 
b) Calcule el coeficiente de determinación múltiple sin corregir (R2) y el coeficiente de determinación múltiple corregido 
(R c
2 ). Además realize un análisis de la significación global del modelo. 
c) (i) Suponga ahora que el economista plantea el siguiente modelo: 
 
(2) Ln R = 9,21 + 1,648 E + ei 
 (3,234) (0,975) 
 
 R2 = 0,81 N = 60 
A usted se le pide que determine con cual modelo -ecuación (1) o ecuación (2)- el economista realiza una mejor estimación 
de la función de remuneraciones. Fundamente su respuesta. 
 
 (ii) Qué sucede si el economista en vez de estimar la ecuación (2), estima la siguiente ecuación:(3) Ln R = 8,71 + 1,976 E + 2,465 N - 0,0342 E2 + ei 
 (4,113) (0,505) (1,214) (0,0203) 
 
 R2 = 0,88 N = 60 
¿Cómo se modifica la respuesta dada en (i)?. 
 
(d) Con la información que se le ha entregado testee la hipótesis “los años de experiencia laboral no tienen efecto en el nivel 
de remuneraciones”. 
Nota: En la realización de los test de las preguntas (a), (b), (d) y (e) usted debe señalar: la hipótesis nula y 
alternativa, el test y la distribución utilizada, los grados de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilize 
un nivel de significancia de 5%. 
 
Ejercicio 3.2.3 
Una consultora ha estimado dos modelos de previsión de ventas para una empresa química (V), en función de los precios 
de venta (P) y la calidad de su producto (C), con datos mensuales de los últimos tres años. Los modelos utilizados son: 
 
(1) Vi = β1 + β2 Pi +β3 Ci + ui 
(2) Vi = β1 + β2 (-2Pi + Ci ) + vi 
 
donde se ha impuesto la restricción β1= -2β2 
 
Testee dicha restricción sabiendo que las sumas residuales estimadas de ambos modelos son: 
 
(1) SCR = 43.75 
(2) SCRr = 230 
 
Ejercicio 3.2.4 
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Demuestre 
F
e e e e
R
e e
N K
R R
R
R
N K
R R R
=
−
−
=
−
−
−
' '
'
2 2
21
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3.2.5 
 
A partir de la siguiente información 
 
 
 1 X1 X2 Y 
1 10 30 40 20 
X1 92 119 59 
X2 163 88 
Y 88.2 
 
a) Comprobar que la estimación por MICO es Yi = -13 + Xi2+ 3 Xi3 + ei 
b) Calcular el R2 y el R c
2 . 
c) Testear las siguientes hipotesis: 
 
i) H0: β2 = 0 H1: β2 ≠ 0 
ii) H0: 3β2 = β3 H1: 3β2 ≠ β3 
iii) H0: β2 = β3 = 0 H1: Alguno distinto de 0 
 
Ejercicio 3.2.6 
 
Se tiene la siguiente función de producción estimada para una firma: 
 
Q e F F ei i i
e i= 10 6314 1
0 80241
2
0 1347, , ,
 
donde Q es la cantidad de producto, F1 es la cantidad del factor 1 y F2 es la cantidad del factor 2. 
Además se sabe que: N=20, e i
2 1270 58=∑ , , ( ) .Y Yi∑ − =2 4364 87 y la matriz de varianza-covarianza de 
los parametros es la siguiente: 
 
V( $ )
, , ,
, , ,
, , ,
β =










0 1134 0 5220 0 8474
0 5220 0 2038 0 1110
0 8474 0 1110 0 0052
 
 
a) ¿Explican F1 y F2 de manera significativa los cambios en Q? 
b) Calcule el R2 y el R c
2 . 
c) Calcule una estimación insesgada de la varianza de los errores. 
d) Desarrolle y evalúe una prueba F para inferir si existen retornos constantes a escala. 
 
Ejercicio 3.2.7 (Prueba 1, 1er. Semestre de 1995) 
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Un economista ha estimado una función de producción de la economía chilena para el período 1961-1994, obteniendo los 
siguientes resultados:. 
 
(1) Ln Y = 8,739 + 0,322 Ln K + 0,731Ln L + 0,494 FEC+ ei 
 (1,197) (0,081) (0,092) (0,061) 
 
donde Ln Y es el logaritmo natural del producto, Ln K es el logaritmo natural del stock de capital, Ln L es el logaritmo 
natural del trabajo y FEC es una variable que mide el impacto de las condiciones externas sobre la producción doméstica. 
Los términos entre paréntesis corresponde a los desvíos estándares de los parámetros. La suma de cuadrados residuales fue 
de 0,0343, el R2= 0,9871 y la covarianza entre los coeficientes de capital y trabajo fue de -0,0065. 
 
a) (6 puntos) Testee la hipótesis de que la elasticidad de producción del trabajo es el doble de la elasticidad de producción 
del capital. 
b) (6 puntos) Testee la hipótesis de que la función de producción es homógenea de grado 1. 
c) (6 puntos) Dos regresiones adicionales, basadas en la especificación original de la ecuación (1) fueron estimadas para los 
subperíodos 1961 a 1976 y 1977 a 1994, produciendo sumas de cuadrados residuales de 0,00665 y 0,00559, 
respectivamente.Testee la hipótesis nula que los coeficientes son idénticos en los dos subperíodos. 
d) (7 puntos) Sabiendo que los R2 de cada período fueron 0,9774 y 0,9944, respectivamente, testee la significación global 
del modelo en cada uno de ellos. Repita el mismo test para la regresión que cubre todo el período. 
 
En todos los casos usted debe plantear hipótesis nula y alternativa, el test y la distribución utilizada, los grados 
de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α = 5%. 
Ejercicio 3.2.8 (Prueba 2, 2do. Semestre de 1995) 
 
Un economista que está estudiando los determinantes de las importaciones en Chile para el período 1960-1995, postula la 
siguiente regresión: 
 
ln M i = β1 + β2 ln Yi + β3 ln TCR i + µi 
 
donde M es el nivel de importaciones totales, Y es el PIB y TCR el tipo de cambio real. Este economista presume que la 
apertura comercial de 1974 y otras reformas económicas provocaron un cambio de parámetros en la función de 
importaciones. Por lo tanto, tomando en cuenta esta hipótesis, estima los parámetros de dicho modelo para diferentes 
períodos, encontrando los siguientes resultados: 
 
Período 1960-74 
β1 = -8,95 β2 = 1,5 β3 = 0,08 σ2 = 0,0048 
 
Período 1975-94 
β1 = -10,67 β2 = 1,79 β3 = -0,55 σ2 = 0,0055 
 
Período 1960-94 
β1 = -10,66 β2 = 1,72 β3 = -0,32 σ2 = 0,0077 
 
¿Es posible afirmar que existió cambio estructural? ¿Por qué? Si lo hubiere, ¿cómo haría para detectar en que parámetro(s) 
se produjo? 
 
Si fuera necesario usted debe plantear la hipótesis nula y alternativa, el test y la distribución utilizada, los grados de 
libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α = 5%. 
 
Ejercicio 3.2.9 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1996) 
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Se ha postulado la siguiente función de producción de una empresa: 
 
ln Qi = β1 + β2 ln Li + β3 K i + µi 
 
obteniéndose los siguientes resultados: 
 
ln Qi = 0,5 + 0,75 ln Li + 0,20 ln K i + ei 
 (0,71) (0,14) 
 
donde Qi es el nivel de producción, L es el nivel de empleo y K es el nivel utilizado de capital (ln significa logaritmo 
natural). Los términos entre paréntesis corresponden al desvío estándar de cada parámetro. Además se sabe que el tamaño 
muestral es 23, la covarianza entre los coeficientes de capital y trabajo fue de +0,06, y el R2 = 0,969. 
 
a) (10 puntos) Testee la significancia de cada uno de los coeficientes de la regresión y la significancia global del modelo. 
 
b) (10 puntos) Testee la hipótesis de que la función de producción es homogénea de grado 1. ¿Puede afirmarse que los 
requerimientos del factor trabajo en la empresa son el cuádruple de los requerimientos de capital? 
 
c) (10 puntos) La estimación de los modelos de regresión simple de la producción de la empresa respecto a la dotación de 
cada uno de los factores ha producido los siguientes resultados: 
 
ln Qi = -5,5 + 1,71 ln Li + ei 
 (0,09) 
 
ln Qi = 5,3 + 0,34 ln Ki + ei 
 (0,02) 
 
Discuta rigurosamente la aparente contradicción entre los dos tipos de contrastes realizados en el apartado a) a la vista de 
estos resultados. 
 
Si fuera necesario, usted debe plantear la hipótesis nula y alternativa, el test y la distribución utilizada, los 
grados de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α = 5%. 
 
 
 
Ejercicio 3.2.10 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1996) 
a) Explique la secuencia de pasos necesarios para construir un intervalo de predicción. No es necesario realizar 
demostraciones o cálculos matemáticos, pero si utilizar las fórmulas más importantes. 
b) Cuando una restricción verdadera se impone a los datos el R2 de la regresión aumenta, mientras que si es falsa el R2 
disminuye. 
c) El error cuadrático medio del estimador de un parámetro de una ecuación que ha sido estimada incorporando una 
restricción incorrecta entre sus coeficientesserá mayor que el obtenido si el modelo es estimado sin restricción. 
Comente. 
d) En el modelo de regresión lineal general, el supuesto de normalidad de los errores es necesario para poder estimar los 
parámetros del modelo. 
e) La introducción de una restricción lineal aumentará la suma de cuadrados residuales de una regresión si ella es 
verdadera y la reducirá si es falsa. 
 
 
Ejercicio 3.2.11 (2do control del Segundo Semestre 96) 
Se ha estimado la siguiente función de producción: 
 
ln Yt = 2.25 + 0.332 ln Kt+ 0.752 ln Lt 
 
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 43
a) Determine la forma del estadístico F que debería utilizar para testear la hipótesis de que la elasticidad de producción del 
trabajo es el doble de la elasticidad de producción del capital usando el test Cβ. 
b) Usted sospecha que hay cambio estructural en el año 1975, explique como testearía su hipótesis a través de la suma de 
cuadrados residuales (o test de Chow o test de cambio estructural) ¿Cuáles son las ventajas de hacer el mismo test 
utilizando variables dummies? 
 
 
Ejercicio 3.2.12 (2da prueba del Segundo Semestre 96) 
 
El director del Departamento Latinoamericano de Seguridad Aérea (DELSA) está muy preocupado por la cantidad de 
accidentes aéreos ocurridos en el último año. Él postula que el número de personas que pierden la vida en accidentes aéreos 
(N) es una función lineal del gasto en control aéreo de los aeropuertos (GCA) y del gasto en mantenimiento de los aviones 
(GMA). 
 
Al estimar por MICO, una regresión con las series mensuales para el período enero de 1986 a diciembre de 1995, se 
obtienen los siguientes resultados: 
 
Nt= 25 -1.0 GCAt -1.2 GMAt 
(5.0) (0.71) (0.81) 
 
(entre paréntesis se presenta el desvío estandar de cada coeficiente) 
 
R2= 0.9 (X’X)-1=
10 0 9 11
0 9 0 2 017
11 017 0 26
. .
. . .
. . .
−
−










 
 
Si se amplía la muesta hasta octubre de 1996 se obtiene que la suma de cuadrados residuales es de 200. La suma de 
cuadrados residuales de la regresión corrida para los 10 meses del año 96 es de 19. 
 
a) Analice los resultados de la regresión realizada. ¿Cuál es el problema econométrico que posee esta estimación? ¿Cuáles 
serían las propiedades de los estimadores MICO obtenidos de esta regresión? De acuerdo a estas propiedades, qué puede 
usted decir respecto a la utilidad de estos estimadores? 
 
b) El Director de DELSA asegura que el presupuesto se distribuye entre los dos tipos de gastos sin desviaciones, por lo 
que él cree que β2 debe ser igual a β3. ¿ Valida la evidencia su afirmación? ¿Mejoraría su estimación usando esta 
información? ¿Por qué? 
 
c) Evalúe la siguiente afirmación: 
“ El problema reciente de caída de aviones se debe a que el monto gastado en mantenimiento de aeropuertos y aviones ha 
disminuido”. 
 
Ejercicio 3.2.13 
 
Se ha estimado por MICO el siguiente modelo 
 
Yi = β1 + β2 Xi2 + β3 Xi3 + ui ∀ i 
 
El R2 de la regresión entre la variable dependiente Y y las variables explicativas X’s es 0,9 mientras que el coeficiente de 
correlación simple al cuadrado (r2) entre X2 y X3 es 0,95. 
 
También se sabe que: 
 
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 44
y
x
2
2
2 1
∑
∑ = 
y
x
2
3
2 2
∑
∑ = N= 33 
 
 
a) A partir de estos datos, calcule las varianzas estimadas de los estimadores MICO de β2 y β3 
 
b) Para disminuir las varianzas de los estimadores se sugiere multiplicar las variables explicativas por constantes mayores 
que 1 (por ejemplo, expresando las unidades en gramos en vez de kilos). ¿Cómo se ven afectadas las varianzas de los 
estimadores ? ¿y los test t de significancia individuales? 
 
 
Ejercicio 3.2.14. 
 
a) El R2 de una regresión múltiple no puede ser alto en el caso en que los coeficientes de las variables 
explicativas sean individualmente no significativos, porque esto último implica que un gran porcentaje de la 
variación total queda sin explicar y esto se refleja en R2 bajos. Comente. 
b) En la estimación de Yi respecto a X1 y X2 no se obtienen los mismos resultados imponiendo la restricción 
β2+β3 =1 que estimando la regresión de (Yi-X1) respecto a (X2-X1) 
c)¿Puede ser negativo el R2 corregido? Explicar conceptualmente. 
 
Ejercicio 3.2.15. 
Un agrónomo desea examinar el efecto de distintos tipos de fertilizantes sobre el rendimiento de la tierra. Como 
es un experimento controlado, aplica cantidades de fertilizantes de forma que las variables explicativas sean 
ortogonales. El modelo estimado es: 
 
yi=
$β 2xi2+ $β 3xi3+ $β 4xi4+ei 
 
donde las variables están medidas en desvíos respecto a la media. 
La regresión se hace con 30 datos. Los valores de los test t de significancia de los estimadores de β2, β3 y β4 
son 3; 0,5 y 2,3 respectivamente. 
 
a) (10 puntos) Cuál es el valor del estadígrafo F para el test de la hipótesis conjunta de que ambos β3 y β4 son 
iguales a cero? 
b) (5 puntos) ¿ Aceptaría la hipótesis nula con un 95% de confianza? 
c) (5 puntos) ¿ Aceptaría que β3 y β4 son ambos cero al hacer los tests individuales? 
Ejercicio 3.2.16 
Un economista cree que inversión trimestral en Chile se puede explicar bien mediante un modelo de aceleración 
de inversiones. 
Los resultados que se anexan refieren a la estimación de un modelo que intenta explicar la inversión bruta en 
capital fijo a nivel trimestral en Chile. Se utiliza como variable dependiente el logaritmo natural de la formación 
bruta de capital fijo (LFBKF) y como variables independientes el logaritmo natural del PIB (LY), variables 
dummies estacionales para el primer y segundo trimestre (D1 y D2) y la tasa de interés de captación a un año, 
rezagada en cuatro períodos (TIRC1(-4)) 
 
a) (6 puntos) Interprete cuidadosamente el significado económico de los 6 parámetros estimados del modelo 
(Anexo 1). 
b) El economista sospecha que a partir del primer trimestre de 1990, los coeficientes pueden haber cambiado 
por la influencia de la inversión extranjera. Para eso estima el mismo modelo para dos subperíodos, obteniendo 
los resultados que se reportan en los Anexos 2 y 3 respectivamente. 
 b.1) (8 puntos) ¿Cuál sería el test a realizar para confirmar la sospecha del economista? Explique 
claramente cuál es la hipótesis nula a contrastar y el mecanismo de decisión. Aplique el test propuesto. ¿Qué 
conclusiones obtiene? 
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 45
 b.2 (8 puntos) Analizando el coeficiente de la variable explicativa LY, el investigador piensa que la 
mayor parte del cambio se refleja en esta variable. 
¿Qué test realizaría si sólo quiere analizar la estabilidad del coeficiente de la variable explicativa LY? En el caso 
de que el test anterior resultara que el coeficiente de LY es diferente en los dos subperíodos, ¿Cómo 
especificaría el modelo? 
 
Anexo 1 
LS // Dependent Variable is LFBKF 
Sample: 1986:1 1996:2 
Included observations: 42 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -10.41558 0.514226 -20.25488 0.0000 
LY 1.657531 0.037022 44.77150 0.0000 
D1 -0.169426 0.018983 -8.925102 0.0000 
D2 -0.088311 0.018924 -4.666597 0.0000 
TIRC1(-4) -0.021615 0.004426 -4.883468 0.0000 
 
R-squared 0.982086 Mean dependent var 12.50782 
Adjusted R-squared 0.980149 S.D. dependent var 0.357112 
S.E. of regression 0.050314 F-statistic 507.1030 
Sum squared resid 0.093667 Prob(F-statistic) 0.000000 
 Anexo 2 
LS // Dependent Variable is LFBKF 
Sample: 1986:1 1989:4 
Included observations: 16 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C -16.67928 1.509626 -11.04862 0.0000 
LY 2.113605 0.106026 19.93478 0.0000 
D1 -0.166028 0.017950 -9.249715 0.0000 
D2 -0.099045 0.017934 -5.522610 0.0002 
TIRC1(-4) -0.0237800.009819 -2.421740 0.0339 
 
R-squared 0.987301 Mean dependent var 12.15828 
Adjusted R-squared 0.982683 S.D. dependent var 0.222346 
S.E. of regression 0.029259 F-statistic 213.7993 
Sum squared resid 0.009417 Prob(F-statistic) 0.000000 
Anexo 3 
LS // Dependent Variable is LFBKF 
Sample: 1990:1 1996:2 
Included observations: 26 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C -7.711107 1.446052 -5.332523 0.0001 
LY 1.467390 0.101138 14.50881 0.0000 
D1 -0.138895 0.023432 -5.927565 0.0000 
D2 -0.052892 0.023195 -2.280347 0.0376 
TIRC1(-4) -0.024923 0.005076 -4.910341 0.0002 
 
R-squared 0.964750 Mean dependent var 12.64589 
Adjusted R-squared 0.955350 S.D. dependent var 0.200139 
S.E. of regression 0.042291 F-statistic 102.6320 
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 46
Sum squared resid 0.026827 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
Ejercicio 3.2.17 (Prueba 1, 2do. Semestre de 1997) 
 
Un científico está realizando un experimento que intenta medir el efecto de dos medicamento (X2 y 
X3) sobre el control de una enfermedad. Como es un experimento controlado, aplica cantidades de 
medicamento de forma que las variables explicativas sean ortogonales ( es decir que la covarianza 
entre las variables explicativas sea cero). El modelo estimado es: 
 
yi= $β 2xi2+ $β 3xi3+ei 
 
donde las variables están medidas en desvíos respecto a la media. 
Se tienen además la siguiente información: 
 
x x′





=
10
5
?
?
 x y′





=
10
20
 Y’Y=190 Y = 3 
 
a) (4 puntos) Calcule $β 2 y $β 3. 
b) (4 puntos) Calcule el R2 y el R2 corregido. 
c) (6 puntos) ¿Son los coeficientes significativos? 
d) (2 puntos) Genere intervalos de confianza para los coeficientes. 
e) (4 puntos) ¿Puede usted calcular la constante del modelo? Si es posible, hágalo. 
f) (5 puntos) Presente un test de significancia global del modelo. 
 
Si fuera necesario usted debe plantear la hipótesis nula y alternativa, el test y la 
distribución utilizada, los grados de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α 
= 5%. 
 
Ejercicio 3.2.18 (Prueba 1, 2do. Semestre de 1997) 
 
1) (4 puntos) ¿Cuáles supuestos deben plantearse para que el test de cambio estructural basado en los 
residuos sea válido? 
 
2) (6 puntos) Usted está interesado en probar las siguientes hipótesis utilizando el test CB 
ii) H0: 3β2 = β3 H1: 3β2 ≠ β3 
ii) H0: β2 = β3 = β4 = 0 H1: Alguno distinto de 0 
iii) H0: β2 + β3 + β4 = 1 H1: β2 + β3 + β4 ≠ 1 
 
Plantee las hipotesis nula y alternativa definiendo en cada caso la forma de la matriz C. 
 
 
Ejercicio 3.2.19 (Prueba 1, 2do. Semestre de 1997) 
 
La producción de una empresa está bien representada por una función Cobb-Douglas. Por ello se ha estimado 
la siguiente función para el período 1981-1995 
 
LS // Dependent Variable is LOG(Q) 
Sample(adjusted): 1981 1995 
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 47
Included observations: 15 after adjusting endpoints 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.500561 4.480023 0.111732 0.9129 
LOG(L) 0.757540 0.707328 1.070989 0.3052 
LOG(K) 0.188012 0.138675 1.355773 0.2001 
 
R-squared 0.968882 Mean dependent var 7.788604 
Adjusted R-squared 0.963696 S.D. dependent var 0.067435 
S.E. of regression 0.012849 Sum squared resid 0.001981 
F-statistic 186.8157 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 
a. (7 puntos) ¿Cuál es el problema econométrico que posee esta estimación? ¿Cuáles serían las propiedades de 
los estimadores MICO obtenidos de esta regresión? 
 
b. (7 puntos) El investigador sospecha que existen rendimientos constantes a escala en la producción por lo 
que estima una segunda regresión. 
 
(log Q- log K)= β1+ β2 (log L - log K)+ u i 
 
cuyos resultados se anexan a continuación. 
 
LS // Dependent Variable is LOG(Q)-LOG(K) 
Sample(adjusted): 1981 1995 
Included observations: 15 after adjusting endpoints 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.072631 0.007843 9.261127 0.0000 
LOG(L)-LOG(K) 0.825073 0.020724 39.81167 0.0000 
 
R-squared 0.991865 Mean dependent var 0.357884 
Adjusted R-squared 0.991239 S.D. dependent var 0.131936 
S.E. of regression 0.012349 Sum squared resid 0.001983 
F-statistic 1584.969 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
Testee la existencia de rendimientos constantes a escala. ¿Mejoraría su estimación usando esta información? 
¿Por qué? 
 
c. (7 puntos) Conocidos los datos macroeconómicos correspondientes al año 1996, se estimó la siguiente 
regresión: 
 
LS // Dependent Variable is LOG(Q)-LOG(K) 
Sample: 1981 1996 
Included observations: 16 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.072631 0.007843 9.261127 0.0000 
LOG(L)-LOG(K) 0.825073 0.020724 39.81167 0.0000 
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 48
D96 -0.056811 0.013488 -4.212096 0.0010 
 
R-squared 0.993255 Mean dependent var 0.343419 
Adjusted R-squared 0.992217 S.D. dependent var 0.139981 
S.E. of regression 0.012349 Sum squared resid 0.001983 
F-statistic 957.1265 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
Donde D96 es una variable dummy que toma valor 1 para en el año 1996 y cero en el resto. Interprete el 
coeficiente, el desvío standar y el test t asociado a D96. 
 
En todos los casos que sea necesario usted debe plantear hipótesis nula y alternativa, el 
test y la distribución utilizada, los grados de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. 
Utilice α = 5%. 
 
 
Ejercicio 3.2.20. (Prueba 2, 2do. Semestre de 1997) 
 
Los parámetros del siguiente modelo de regresión han sido estimados por MICO utilizando datos 
trimestrales de los años comprendidos entre 1968 y 1986 (ambos inclusive). 
 
Yt= 2,2+0,104 X2t - 3,48 X3t+ 0,34 X4t+et 
 
Además SCR=18,48 y SCE= 109,6 
 
Posteriormente, se han estimado dos nuevas regresiones basadas en el modelo original, con datos 
trimestrales de 1968 a 1978 y de 1979 a 1986, respectivamente. Las sumas de cuadrados de los 
residuos obtenidos para cada uno de los subperíodos son 9,32 y 7,46, respectivamente. Si queremos 
contrastar la hipótesis de estabilidad de los coeficientes del modelo anterior en los dos subperíodos: 
 
a) (5 puntos) ¿Cuál sería el test a realizar? Explique claramente cuál es la hipótesis nula a contrastar 
y el mecanismo de decisión. 
 
b) (3 puntos) Aplique el test anterior al ejercicio propuesto. ¿Qué conclusiones obtiene? 
 
c) (6 puntos) ¿Qué test realizaría si sólo quiere analizar la estabilidad del coeficiente de la variable 
explicativa X2? 
 
d) (6 puntos) En el caso de que el test anterior resultara que el coeficiente de X2 es diferente en los 
dos subperíodos, ¿Cómo especificaría el modelo? 
 
e) (5 puntos) Testee la presencia de estacionalidad trimestral en el modelo sabiendo que al añadir 
tres variables ficticias que recogen este efecto la suma de cuadrados explicados es 114,8. 
 
 
 
 
Ejercicio 3.2.21 (Control 3, 2do. Semestre de 1997) 
 
Describa la prueba de estabilidad estructural basada en los residuos (o test de cambio estructural). 
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 49
 
 
 
Ejercicio 3.2.22 (Control 3, 2do. Semestre de 1997) 
 
Explique cuidadosamente cómo utilizar variables dicotómicas (variables dummies) para detectar cambio 
estructural. ¿Cuáles son sus ventajas respecto a la prueba de estabilidad estructural basada en las sumas de 
cuadrados residuales? 
 
 
Ejercicio 3.2.23 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1998) 
 
Se postula el siguiente modelo de demandapor agua en Santiago en base a datos trimestrales: 
 
Ln (Ai) = β1 + β2 Ln(Ci) + β3 Ln(POB i) + β4 Ln (Yi )+ β5 Ln (P i ) + β6 Ln (LL i ) + µi 
 
donde A es el consumo total de agua, C es el número de casas, Y es el ingreso per cápita, P es el precio del 
agua y LL es la lluvia del período. Ln indica logaritmo natural. 
 
 
a) (5 puntos) ¿Qué signos esperaría para los coeficientes de los parámetros β2 a β6? 
 
Utilizando datos anuales para el período 1962-1997 (ambos años inclusive), los resultados obtenidos fueron los 
siguientes: 
 
Ln (Ai) = 5,3 + 0,33 Ln(Ci) + 0,35 Ln(POB i) – 0,1 Ln (Yi ) - 0,5 Ln (P i ) – 0,25 Ln (LL i ) + ei 
R2=0,9 
 
b) (3 puntos) ¿Coinciden los signos con los esperados? Si alguno difiere especule una interpretación 
alternativa a la planteada en a). 
 
c) (10 puntos) Testee la significancia de cada uno de los coeficientes de la regresión y la significancia global 
del modelo. De acuerdo a los resultados que obtuvo, identifique las variables candidatas a ser excluidas. 
 
d) (12 puntos) Con la información disponible pruebe las siguientes hipótesis: 
 
“Un aumento de 1% en la población tiene un efecto similar en términos de variación porcentual de la demanda 
por agua a un incremento de 1% en el número de casas”. 
 
“Un aumento simultáneo de 1% en el número de casas y población no tendría efectos en la demanda de agua si 
también se incrementan simultáneamente en 1% las lluvias y el precio”. 
 
 
 
Ejercicio 3.2.24 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1998) 
 
















−−
−−
==− −
010,0
0250,0
010,002,00036,0
00025,00289,0
00015,0020,00121,0
)'(ˆ*)ˆ(ˆ 12 xxOVCVAR σβ
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 50
Intentando modelar el comportamiento del producto en Chile en base a datos trimestrales, se 
encontraron los siguientes resultados: 
 
 
LS // Dependent Variable is LY 
Sample: 1986:1 1997:4 
Included observations: 48 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C 13.59285 0.009637 1410.454 0.0000 
D1 0.045916 0.006785 6.767642 0.0000 
D2 0.013580 0.006627 2.049128 0.0476 
D3 -0.031387 0.006470 -4.850808 0.0000 
TIE 0.019617 0.000862 22.76076 0.0000 
DUM1 0.486341 0.136210 3.570508 0.0010 
DUM2 -0.186945 0.051893 -3.602540 0.0009 
DUM3 -0.010680 0.027272 -0.391618 0.6976 
DUM1*TIE -0.028123 0.007367 -3.817334 0.0005 
DUM2*TIE 0.006933 0.002208 3.140605 0.0033 
DUM3*TIE -0.000237 0.001082 -0.218880 0.8279 
 
R-squared 0.997300 Mean dependent var 14.06724 
Adjusted R-squared 0.996570 S.D. dependent var 0.268391 
S.E. of regression 0.015719 Akaike info criterion -8.107703 
Sum squared resid 0.009142 Schwarz criterion -7.678886 
Log likelihood 137.4758 F-statistic 1366.478 
Durbin-Watson stat 1.514775 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 
donde Y es el PIB, Di son variables que capturan estacionalidad (1 en el trimestre i y 0 en el resto), 
TIE es el tiempo (1,2,....,48) y DUM1 una variable dummy que adopta el valor 1 entre el primer y 
último trimestre de 1991 (ambos inclusive), DUM2 una variable dummy que adopta el valor 1 entre 
el primer trimestre de 1992 y el segundo de 1993 (ambos inclusive) y DUM3 una variable dummy 
que adopta el valor 1 entre el tercer trimestre de 1993 y el cuarto de 1997 (ambos inclusive). 
 
a) (5 puntos) ¿Qué hipótesis se está intentando probar? 
b) (10 puntos) ¿Qué muestran los resultados anteriores? Interprete cuidadosamente el significado de los 
coeficientes estimados. 
c) (5 puntos) Luego de controlar por cambios de nivel ¿puede afirmarse que cuando la economía crece, lo 
hace siempre a la misma tasa? ¿Qué información adicional requiere para probar dicha hipótesis? 
d) (7 puntos) Por otro lado, se plantea que para modelar el comportamiento del PIB en Chile alcanza con el 
siguiente modelo: 
 
Ln (Y) = 13.6 + 0.051*D1 + 0.015*D2 - 0.030*D3 + 0.019*TIE + ei R2=0,967 
 
Explicitando los modelos libre y restringido pruebe con la información disponible que los parámetros incluidos 
en la primera regresión y ausentes en la segunda son globalmente significativos. 
 
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 51
 
Ejercicio 3.2.25 (Prueba 2, 2do. Semestre ’98) 
 
Considerando un modelo de regresión simple, demuestre que los siguientes estadísticos son equivalentes para 
contrastar la hipótesis de que β2=0: 
)ˆ(ŜD
 ˆ
 t
2
2
β
β
= 
 
aˆ
ˆ
F
22
2
2
2
σ
β
= 
[ ]
 
)2n(
e'e
R/)rˆC( 'C )X'X(C )'rˆC(
F
2
112
−σ
−βσ−β
=
−−
 
 
 
Ejercicio 3.2.26 (Prueba 2, 2do. Semestre de 1998) 
 
Un economista desea explicar las ventas de su empresa en función del PIB y de la tasa de 
interés real (r) en base a datos anuales para el período comprendido entre 1974 y 1997. 
 
 (1) Ln VTAS = -2.78 + 1,12 Ln PIB - 0,065 r + ei 
 (0,34) (0,02) (0,01) 
 
R2=0,94 y'y = 2,0 
 
Los términos entre paréntesis corresponde a los desvíos estándares de los parámetros. 
 
a) (4 puntos) Testee la significancia de cada uno de los coeficientes de la regresión. 
b) (4 puntos) Realice un test de significancia global del modelo. 
c) (10 puntos) Dos regresiones adicionales, basadas en la especificación original de la ecuación (1) 
fueron estimadas para los subperíodos 1974 a 1985 y 1986 a 1997, generando SCR de 0,01 y 0,004, 
respectivamente. Si queremos contrastar la hipótesis de estabilidad de los coeficientes del modelo anterior 
en los dos subperíodos, ¿Cuál sería el test a realizar? Explique claramente cuál es la hipótesis nula a 
contrastar y el mecanismo de decisión. Realice dicho test con la información disponible? ¿Qué 
conclusiones obtiene? 
d) (6 puntos) El Instituto de Economía de la Universidad Católica estima que el crecimiento del PIB se 
ubicaría en torno a 2% durante 1999 y que la tasa de interés real disminuirá en dos puntos porcentuales. 
Considerando la información disponible ¿cuánto sería la predicción individual de crecimiento de las ventas 
de esta empresa? ¿Y la predicción media? Considerando los resultados obtenidos en c) ¿la predicción 
obtenida le genera alguna aprensión? 
e) (6 puntos) Explique la secuencia de pasos necesarios para construir un intervalo de predicción. No es 
necesario realizar demostraciones o cálculos matemáticos, pero si utilizar las fórmulas más importantes. 
 
 
Ejercicio 3.2.27 (Prueba 2, 2do. Semestre de 1998) 
 
2
2
R1
R)2n(
F
−
−
=
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 52
Partiendo de la misma muestra, se han encontrado los siguientes resultados para explicar el comportamiento de 
la variable Y: 
(1) Yi = 1,72 + 0,37 Xi + ei para i =1,2, ....n 
2
XR = 0,71 
 
(2) Yi = 2,37 + 0,81 Zi + ei para i =1,2, ....n 
2
XR = 0,22 
 
a) (15 puntos) Considerando que las variables X y Z no están correlacionadas entre sí, y que la media de la 
variable dependiente es 20, calcule los valores de los estimadores MICO y el R2 de la siguiente regresión: 
Yi = β1 + β2Xi + β3Zi3 + µi para i =1,2, ....n 
 
b) (5 puntos) ¿Se puede decir que la SCR del modelo (3) es igual a la suma de las SCR de los modelos (1) y 
(2)? ¿Por qué? Ejercicio 3.2.28 (Control, 2do. Semestre de 1998) 
 
Explique por qué en el modelo de regresión múltiple el test de significancia global basado en el estadístico F es 
más relevante que en el modelo de regresión simple. Explique paso a paso cómo se realiza esta prueba. 
 
 
Ejercicio 3.2.29 
Una compañía de viajes ha utilizado un modelo lineal para explicar la demanda de viajes a Europa de sus 50 
agencias repartidas por el territorio nacional (Di) en función del ingreso per cápita de la zona en que están 
situadas (Yi), los gastos de permanencia (Gi) y los precios de transporte (Ti).La regresión estimada fue la 
siguiente: 
 
Di = 1,124 + 8,44Yi - 1,4288 Gi - 1,1008 Ti + ei 
 
$σe
2 = 0,193722 ( ' )
, , ,
, , ,
, ,
,
X X − =
−
− −
−
−












1
0 02 0 0 0024 0 016
0 2 0 04 0 04
0 1312 0 1408
0 1072
 
 
a) Se quiere abrir una nueva agencia y nos interesa predecir cuál será la demanda esperada, utilizando para ello 
la regresión anterior. Calcule dicha demanda esperada sabiendo que YN+1= 200, GN+1= 80 y TN+1 = 40 
 
b) Calcule los intervalos de confianza al 95% y 99% para la predicción puntual esperada. 
 
 
Ejercicio 3.2.30 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1999) 
 
a) (3 puntos) ¿Por qué se postula 
kn
e'e
−
como estimador de σ2? 
b) (3 puntos) ¿Por qué en el test de significación global del modelo de regresión múltiple se excluye 
el intercepto en el planteo de la hipótesis nula? 
 
c) (3 puntos) Para probar test de cambio estructural se requiere que la varianza del error en el 
primer período sea igual a la varianza del segundo período. ¿Por qué? ¿Qué valida este 
requerimiento? 
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 53
 
d) (3 puntos) Dos economistas discuten respecto a la expresión matemática de la función de 
producción en Chile. El economista “Complicadito” plantea que la producción se rige por una 
función del tipo: 
 
lnYi = β1 + β2 lnLi + β3 lnKi + β4 Li + β5 Ki + β6 Li*Ki +µi 
 
El economista “Sencillito” afirma que se la producción sigue una función Cobb-Douglas con retornos 
constantes a escala. 
 
Diseñe el test Cβ (planteando la forma de la matriz C) necesario para probar la hipótesis de 
“Sencillito”. 
 
 
e) (3 puntos) En un modelo de regresión múltiple con k=3 si el origen se encuentra fuera de la elipse 
de confianza de los parámetros β2 y β3 puede concluirse que el modelo es significativo en su 
conjunto. Comente. 
 
f) (3 puntos) Explique intuitivamente la forma gráfica que adoptaríua la elipse de confianza de un 
modelo con dos variables explicativas ortogonales. 
 
 
Ejercicio 3.2.31 (Examen, 1er. Semestre de 1999) 
 
Un economista desea testear si existe cambio estructural en la demanda por dinero en un país. A continuación 
se anexan los graficos de CUSUM CUADRADO y de residuos recursivos de los cuatro parámetros estimados. 
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 54
-4
-2
0
2
4
6
8
1 0
88 89 90 91 92 9 3 9 4 9 5 9 6 97
Recursive C(1) Estimates ± 2 S.E.
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
8 8 8 9 9 0 9 1 92 93 94 95 9 6 97
Recursive C(2) Estimates ± 2 S.E.
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
88 89 90 91 92 9 3 9 4 9 5 9 6 97
Recursive C(3) Estimates ± 2 S.E.
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
8 8 8 9 9 0 9 1 92 93 94 95 9 6 97
Recursive C(4) Estimates ± 2 S.E.
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97
CUSUM of Squares 5% Significance
 
 
Al dividir la muestra en dos subperíodos se obtiene la siguiente información 
Periodo n SCR 
1986:02 1997:12 143 0.289369 
1986:02 1992:03 74 0.187473 
1992:04 1997:12 69 0.097369 
 
Realice ambos test de cambio estructural comparando los resultados obtenidos. Se le ocurre otra 
forma adicional de testear cambio estructural? Cuál es y cómo desarrollaría la prueba. 
 
 
Ejercicio 3.2.32 (2da. Prueba, 2do. Semestre de 1999) 
 
Suponga que el gráfico que sigue muestra la región de confianza conjunta para β2 y β3 al 95%. 
 
 
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 55
3β̂
 
 
Comente las siguientes afirmaciones: 
 
1. La covarianza entre 32 ˆ,ˆ ββ es negativa 
2. La hipótesis nula 
Ho) β2=β3=0 
H1) Alguno distinto de cero 
es rechazada al 95% 
 
3. La hipótesis nula: 
Ho) β2=2 
β3=1 
H1) Alguno distinto 
no se puede rechazar al 95% 
 
 
4. Dibuje una elipse de confianza para el caso en que exista multicolinealidad entre dos variables 
explicativas, cuyos coeficientes tengan covarianza negativa entre si. 
 
 
 
Ejercicio 3.2.33 (2da. Prueba, 2do. Semestre de 1999) 
 
Considerando que la función de producción 32 ββα KLQ = (Cobb-Douglas) representa adecuadamente el 
comportamiento de la producción de un país, se decidió estimar econométricamente las siguientes ecuaciones: 
 
Ecuación 1 Ln Q = β1 + β2lnL + β3lnK + µ 
Ecuación 2 Ln L = α1 +α2 lnK + µ 
Ecuación 3 Ln Q = β1 + β2lnL + (1-β2) lnK + µ 
 
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 56
Donde Q es el producto 
 L es la dotación de trabajo 
 K es la dotación de capital 
 
Ecuación 1 
Dependent Variable: LOG(Q) 
Sample(adjusted): 1985 1999 
Included observations: 15 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.500561 4.480023 0.111732 0.9129 
LOG(L) 0.757540 0.707328 1.070989 0.3052 
LOG(K) 0.188012 0.138675 1.355773 0.2001 
R-squared 0.968882 Mean dependent var 7.788604 
Adjusted R-squared 0.963696 S.D. dependent var 0.067435 
S.E. of regression 0.012849 Sum squared resid 0.001981 
 F-statistic 186.8157 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
Ecuación 2 
Dependent Variable: LOG(L) 
Sample(adjusted): 1985 1999 
Included observations: 15 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 6.331099 0.050646 125.0079 0.0000 
LOG(K) 0.194510 0.006813 28.54798 0.0000 
R-squared 0.984299 Mean dependent var 7.776451 
Adjusted R-squared 0.983092 S.D. dependent var 0.038745 
S.E. of regression 0.005038 Akaike info criterion -7.620003 
Sum squared resid 0.000330 Schwarz criterion -7.525596 
Log likelihood 59.15002 F-statistic 814.9870 
Durbin-Watson stat 1.698197 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
Ecuación 3 
Dependent Variable: LOG(Q) 
Sample(adjusted): 1985 1999 
Included observations: 15 after adjusting endpoints 
LOG(Q) = C(1) + C(2)*LOG(L)+(1-C(2))*LOG(K) 
 Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C(1) 0.072631 0.007843 9.261127 0.0000 
C(2) 0.825073 0.020724 39.81167 0.0000 
R-squared 0.968859 Mean dependent var 7.788604 
Adjusted R-squared 0.966463 S.D. dependent var 0.067435 
S.E. of regression 0.012349 Akaike info criterion -5.826859 
Sum squared resid 0.001983 Schwarz criterion -5.732452 
Log likelihood 45.70144 Durbin-Watson stat 2.091495 
 
a) (5 puntos) Describa los resultados obtenidos en la estimación de la ecuación 1. Identifique las 
propiedades de los estimadores MICO utilizados. 
b) (4 puntos) Testee la existencia de retornos constantes a escala en la producción. 
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 57
c) (5 puntos) En base a las tres ecuaciones reportadas, compare los resultados obtenidos en las ecuación 1 y 
en la ecuación 3. ¿Le parece lógico el proceso seguido? Explique por qué. Explique el resultado de la 
ecuación 2. 
d) (4 puntos) Explique las consecuencias de los errores de Tipo I y de Tipo II implícitos en su resultado de la 
letra b. 
e) (3 puntos) Discuta el error cuadrático medio de los estimadores en función de la falsedad de la restricción. 
f) (3 puntos) Suponga que en el año 2000 el empleo estimado es 2386 y el capital es 1717, ¿cuál es el nivel de 
producción estimado? Justifique. 
g) (10 puntos) En el año 1993 comenzó un proceso de apertura comercial que puede haber provocado cambio 
estructural. A continuación se agregan algunas regresiones que le permitan testear esta hipótesis. 
g1) .Realice un test de Chow de cambio estructural. 
g2) ¿Hay cambio estructural en la pendiente de la regresión? ¿ y en la constante? 
 
Subperíodo 1 
LS // Dependent Variable is LOG(Q) 
Sample: 1975 1983 
Included observations: 9 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.800820 8.0444280.099550 0.9239 
LOG(L) 0.725264 1.267089 0.572386 0.5879 
LOG(K) 0.181391 0.245420 0.739105 0.4877 
R-squared 0.960625 Mean dependent var 7.794263 
Adjusted R-squared 0.947500 S.D. dependent var 0.072555 
S.E. of regression 0.016624 Akaike info criterion -7.932561 
Sum squared resid 0.001658 Schwarz criterion -7.866820 
Log likelihood 25.92608 F-statistic 73.19098 
Durbin-Watson stat 1.871164 Prob(F-statistic) 0.000061 
 
Subperíodo 2 
LS // Dependent Variable is LOG(Q) 
Sample(adjusted): 1984 1989 
Included observations: 6 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.914225 2.974150 0.307390 0.7786 
LOG(L) 0.652298 0.471055 1.384760 0.2601 
LOG(K) 0.242593 0.093850 2.584909 0.0814 
R-squared 0.995959 Mean dependent var 7.780115 
Adjusted R-squared 0.993265 S.D. dependent var 0.064543 
S.E. of regression 0.005297 Akaike info criterion -10.17438 
Sum squared resid 8.42E-05 Schwarz criterion -10.27850 
Log likelihood 25.00951 F-statistic 369.6810 
Durbin-Watson stat 2.332551 Prob(F-statistic) 0.000257 
 
 
LS // Dependent Variable is LOG(Q) 
Sample(adjusted): 1975 1989 
Included observations: 15 after adjusting endpoints 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.800820 6.732891 0.118942 0.9079 
LOG(L) 0.725264 1.060507 0.683884 0.5113 
LOG(K) 0.181391 0.205408 0.883079 0.4002 
DUM84 0.113405 10.31340 0.010996 0.9915 
LOG(L)*DUM84 -0.072966 1.629642 -0.044774 0.9653 
LOG(K)*DUM84 0.061202 0.320883 0.190730 0.8530 
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 58
R-squared 0.972631 Mean dependent var 7.788604 
Adjusted R-squared 0.957426 S.D. dependent var 0.067435 
S.E. of regression 0.013914 Akaike info criterion -8.260539 
Sum squared resid 0.001742 Schwarz criterion -7.977319 
Log likelihood 46.66996 F-statistic 63.96831 
Durbin-Watson stat 2.172432 Prob(F-statistic) 0.000001 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3.2.34 
 
Comente las siguientes afirmaciones, indicando si son verdaderas, falsas o inciertas. 
 
a) El estimador MICO es siempre más eficiente que un estimador MICO restringido, en el sentido de tener 
menor varianza dentro de los lineales e insesgados. 
 
b) La introducción de una restricción lineal aumentará el R2 de la regresión si ella es verdadera y lo reducirá si 
es falsa. 
 
c) Cuando una restricción verdadera se impone a los datos el R2 de la regresión aumenta, mientras que si es 
falsa el R2 disminuye. 
 
 
Ejercicio 3.2.35 (Prueba 2, 1er. Semestre de 2000) 
 
Un administrador de inversiones en Chile lo contrata a usted (experto en finanzas y econometría) para formular 
un portafolio de 5 acciones que replique el comportamiento del IPSA. 
 
 
a) (5 puntos) Postule el modelo teórico a estimar explicitando las condiciones que deberían cumplir los 
parámetros. Explique en detalle. 
 
ECUACIÓN 1 
Dependent Variable: RIPSA 
Method: Least Squares 
Sample(adjusted): 1991:01 1999:12 
Included observations: 108 after adjusting endpoints 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C -0.000580 0.002018 -0.287269 0.7745 
RENDESA 0.374732 0.025677 14.59437 0.0000 
RCTC 0.235836 0.024642 9.570350 0.0000 
RCOPEC 0.141741 0.024118 5.876888 0.0000 
RIANSA 0.094458 0.020972 4.503915 0.0000 
RMASISA 0.055774 0.017067 3.268029 0.0015 
 
R-squared 0.936868 Mean dependent var 0.017523 
Adjusted R-squared 0.933743 S.D. dependent var 0.078291 
S.E. of regression 0.020153 Akaike info criterion -4.916527 
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 59
Sum squared resid 0.041019 Schwarz criterion -4.766648 
Log likelihood 269.0342 F-statistic 299.7644 
Durbin-Watson stat 1.873522 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 
 
ECUACIÓN 2 
Dependent Variable: RIPSA 
Method: Least Squares 
Sample(adjusted): 1991:01 1999:12 
Included observations: 108 after adjusting endpoints 
RIPSA = C(1) + C(2)*RENDESA + C(3)*RCTC + C(4)*RCOPEC + 
 C(5)*RIANSA + (1-C(2)-C(3)-C(4)-C(5))*RMASISA 
 
 Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C(1) -0.002060 0.002112 -0.975057 0.3318 
C(2) 0.394623 0.026826 14.71061 0.0000 
C(3) 0.270903 0.024437 11.08599 0.0000 
C(4) 0.164237 0.024960 6.579926 0.0000 
C(5) 0.125938 0.020613 6.109574 0.0000 
 
R-squared 0.927504 Mean dependent var 0.017523 
Adjusted R-squared 0.924661 S.D. dependent var 0.078291 
S.E. of regression 0.021489 Akaike info criterion -4.796911 
Sum squared resid 0.047103 Schwarz criterion -4.672012 
Log likelihood 261.6347 Durbin-Watson stat 1.920349 
 
 
 
b) (7 puntos) Verifique las condiciones planteadas en a) en los modelos estimados por MICO y presentados 
anteriormente. ¿Es el modelo planteado en la ecuación 1 globalmente significativo? 
c) (4 puntos) ¿El R2 de la ecuación 2 podría haber sido mayor que el R2 de la ecuación 1? ¿Y las varianzas de 
los estimadores de la ecuación 2 podrían haber sido menores que las derivadas en la ecuación 1? ¿Por 
qué? Explique cuidadosamente. 
d) (8 puntos) ¿Cómo rechazaría, desde un punto de vista estadístico, la siguiente hipótesis: “el modelo 
estimado es estadísticamente superior a uno que resulta de asignar igual ponderación a cada uno de los 
activos”. Detalle dos procedimientos alternativos para probar esta hipótesis. 
e) (6 puntos) Centrándose en la propiedad de estabilidad de los parámetros ¿qué podría argumentar un 
“financista” para descartar el método econométrico aquí utilizado en formulación del portafolio? ¿Qué le 
respondería usted en calidad de “econometrista”? ¿A qué tests recurriría? ¿Cómo los implementaría? 
 
 
Ejercicio 3.2.35 (2da. Prueba, 2do. Semestre de 2000) 
 
El reciente paper de Cerda, Donoso y Lema sobre fundamentos del tipo de cambio real en Chile intenta 
determinar los precios de transables que son relevantes en la trayectoria de largo plazo del indice de precios al 
consumidor (IPC). 
En dicho paper se establece que el indice de precios domestico se puede representar como un ponderado de 
precios de transables medidos en pesos chilenos y no transables como indica la ecuación (1) 
 
)w1(
NT
w
T P PP
−= 
 
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El precio de transables en pesos chilenos corresponde a la multiplicación del precio de los transables en 
dolares (PTUS ) por el tipo de cambio (e). 
 
(2) PT=e.PTUS 
 
El PTUS se construye a partir de los índices de valores unitarios efectivos de exportaciones e importaciones, 
medidos en dólares norteamericanos (pxUS y pmUS, respectivamente), extraídos de las transacciones comerciales 
del país. 
 
)1(
USUSUS PM PXPT
θ−θ= 
 
donde el hecho que los ponderadores sumen uno está dado por el postulado de homogeneidad. 
 
a) (7 puntos) Expresando el modelo en terminos logaritmicos, encuentre una ecuación que refleje la evolución 
del indice de precios domestico en función de los precio de exportables, de importables, del tipo de cambio y 
del precio de no transables . Convierta este modelo teórico en un modelo econometrico. ¿Qué restricciones 
deben cumplir los coeficientes? 
 
Se ha estimado la siguiente ecuación: 
 
LS // Dependent Variable is LOG(P) 
Date: 10/24/00 Time: 07:58 
Sample: 1986:1 2000:2 
Included observations: 58 
 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
 
C -0.889503 0.182847 -4.864745 0.0000 
LOG(PMUSSA) 0.228750 0.054441 4.201757 0.0001 
LOG(PXUSSA) 0.002205 0.027248 0.080923 0.9358 
LOG(TC) 0.142875 0.036549 3.909111 0.0003 
LOG(PNT) 0.820323 0.018499 44.34432 0.0000 
 
R-squared 0.999260 Mean dependent var 5.586325Adjusted R-squared 0.999204 S.D. dependent var 0.528187 
S.E. of regression 0.014905 Akaike info criterion -8.329867 
Sum squared resid 0.011774 Schwarz criterion -8.152243 
Log likelihood 164.2677 F-statistic 17881.75 
Durbin-Watson stat 0.410901 Prob(F-statistic) 0.000000 
 
 
b1) (2 puntos) ¿es significativa la contante?. ¿Qué razón se le ocurre para eso? 
 
b2) (6 puntos) Interprete los coeficientes estimados en base al modelo teórico planteado en a. ¿Son 
significativos? 
 
b3) (2 puntos) ¿Es significativa la regresión en su conjunto? 
 
b4) (4 puntos) Encuentre la ecuación restringida que debería utilizar para probar si las restricciones planteadas 
por usted en a) son aceptadas para la muestra. ¿Cómo se interpretan los coeficientes de la regresión 
restringida? 
 
Guia Econometria E-250 Regresión Múltiple:Inferencia, ANOVA,Cβ , Cambio Estructural 
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b5) (5 puntos) Al estimar el modelo con restricciones sugeridas por usted en b4), se obtuvo que la suma de 
cuadrados residuales es 0.012636. ¿Se acepta la restricción?. Justifique detalladamente su respuesta. 
 
 
Ejercicio 3.2.36 (2da. Prueba, 2do. Semestre de 2000) 
 
 
En el siguiente modelo de regresión múltiple: iizixi Z X Y µ+β+β+β= se conoce la verdadera 
varianza del error , V(µi)=5. Tambien se sabe que ∑ = 3x 2i , ∑ = 2z 2i y ∑ −= 1zx ii (las variables 
en minusculas indican que estan expresadas en desvios respecto a la media). 
a) (5 puntos) Calcule la varianza de zx ˆ y ˆ ββ 
b) (5 puntos) Usted sabe que 1 zx =β+β . Calcule la varianza de xˆ β del modelo restringido. 
c) (5 puntos) Dado que la varianza del modelo restringido es menor que la del modelo libre, siempre es 
conveniente utilizar el modelo restringido. Comente, justificando cuidadosamente su respuesta. 
 
 
Ejercicio 3.2.37 (2da. Prueba, 2do. Semestre de 2000) 
 
(6 puntos) Sea el modelo de regresión iik43i32i21i W Z X Y µ+β+β+β+β= . La teoría indica que se 
debe cumplir que 1 43 =β+β y que 42 2 β=β . Explique detalladamente como testearía la hipotesis nula 
de que estas restricciones son validas para la muestra utilizando el test Cβ. 
 
(4 puntos) Comente. Al agregar una variable a una regresión, la estimación de sigma se mantiene constante. 
 
 
Ejercicio 3.2.38 
 
Al expresar las variables del modelo de regresion multiple en desvios respecto a la media, se obtiene β= ˆ x ŷ 
(3 puntos) Demuestre que µ+β= − 'x)x'x(x x ŷ 1 
(7 puntos) Encuentre la esperanza y la varianza de ŷ . ¿Cuál es la distribución de ŷ ? 
(7 puntos) Demuestre que el R2 de la regresión es igual al cuadrado del coeficiente de correlación entre las 
variables y i e ŷ i . 
(4 puntos) Obtenga la distribución del estadistico 
2
ŷ'ŷ
σ
 bajo la hipotesis nula de que todas las pendientes del 
modelo de regresión son iguales a cero. 
(4 puntos) ¿Como se distribuye 
2ˆ
1k
ŷ'ŷ
σ
− ? 
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4. VARIABLES DUMMY 
 
Ejercicio 4.1 (Prueba 2, 2do. Semestre de 1995) 
 
El Instituto de Economía de la Universidad Católica está realizando un estudio para medir los factores que 
explican la nota promedio de sus egresados extranjeros en el programa de Postgrado. Usted dispone de 
información para una muestra de 80 egresados extranjeros, con la cual pretende especificar un modelo en que 
se recojan los efectos de las siguientes variables: edad, sexo, estado civil (casado o soltero), número de hijos, 
puntaje en la prueba de admisión, tiempo transcurrido desde la obtención de su grado, y su nacionalidad 
(uruguayo, costarricence y resto). 
 
a) (4 puntos) Especifique un modelo de regresión múltiple que recoja todas las variables antes mencionadas 
para explicar la nota promedio de los egresados. 
 
b) (8 puntos) El Director del Programa de Postgrado tiene la hipótesis de que las únicas variables que explican 
significativamente la nota promedio del egresado son “el puntaje en la prueba de admisión” y la edad. ¿Cómo 
testearía esta hipótesis? 
 
c) (4 puntos) Explique como testearía la hipótesis de que los hombres con hijos tienen un rendimiento similar a 
las mujeres sin hijos. (Se supone que no hay padres solteros o madres solteras) 
 
d) (4 puntos) Explique como testearía la hipótesis que la influencia de la variable “tiempo transcurrido desde la 
obtención de su grado” es menor para los solteros que para los casados. 
 
e) (4 puntos) Especifique nuevamente el modelo suponiendo que la variable sexo no sólo afecta el intercepto 
de la regresión, sino también el coeficiente asociado a la variable “puntaje en la prueba de admisión”. ¿Cómo 
testearía la hipótesis de que las mujeres tienen un mejor rendimiento que los hombres? 
 
 
Ejercicio 4.2 
 
Desarrolle e interprete (analítica y gráficamente) las ecuaciones normales correspondientes al siguiente 
modelo: 
 
Yi = β0 + β1 Xi +β2 Di +ui 
 
Donde Di es una variable que toma valor 1 en el año 1990 y cero en el resto. 
 
¿Cómo es la forma de la matriz de varianzas y covarianzas del modelo? 
 
f) Suponga que las ventas de una empresa siguen el siguiente modelo: 
 
Vi = β1 D1 + β2 D2 + β3 D3+ β4 D4 +ui 
 
donde Di es una variable que toma valor 1 en el trimestre i y cero en el resto. 
 
 f.1) ¿Requiere efectuar alguna transformación a dicho modelo para que sea estimable? ¿Por qué? 
 f.2) Deduzca los estimadores MICO de los parámetros e interprete el resultado? 
 f.3) ¿Cómo calcularía el valor desestacionalizado de las ventas de la empresa? 
 
Ejercicio 4.3 
 
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Los especialis tas en Economía Financiera suelen estimar el modelo conocido como CAPM (Modelo de 
valoración de activos): 
 
Rit= β0+β1 Rmt +ut 
donde: 
Rit es el rendimiento de la acción de la empresa i en el momento t 
Rm es el rendimiento del mercado en t 
β es el beta de la acción i 
 
Algunos analistas creen que este modelo no es bueno, porque el beta no permite captar la situación de euforia 
o depresión de la Bolsas. Comente la afirmación. 
 
Ejercicio 4.4 (Prueba 1, 1er. Semestre de 1995) 
 
Suponga que usted cree que el salario de una persona depende linealmente de las siguientes variables: número 
de años de educación, nivel de su coeficiente intelectual, años de experiencia laboral, sexo, y de su habilidad 
para hablar idiomas extranjeros (inglés solamente, francés solamente, o ambos) donde estas dos últimas 
variables solo afectan al intercepto. 
Dado que usted dispone de una muestra de 100 observaciones: 
 
a) Explicite adecuadamente un modelo de regresión múltiple que incluya la variables antes mencionadas para 
explicar el salario de las personas. 
 
b) Explique cómo testearía discriminación salarial en contra de las mujeres. 
 
c) ¿Cuál sería el salario esperado para una persona que habla sólo inglés? ¿Y para el que habla solo francés? 
¿Y para el que habla ambos idiomas? 
 
d) Usted tiene la hipótesis de que hablar solo inglés es preferible a hablar solo francés. ¿Como verificaría dicha 
hipótesis? 
 
e) Explique como testearía la hipótesis de que los hombres que sólo hablan francés ganan un monto similar a 
las mujeres que solo hablan inglés. 
 
f) Explique como testearía la hipótesis que la influencia de la experiencia laboral es mayor para los hombres 
que para las mujeres. 
 
Ejercicio 4.5 (Prueba 2, 2do. Semestre de 1995) 
 
Un econometrista ha estimado el siguiente modelo para el logaritmo natural del PIB (lnY) en Chile, en base a 
datos trimestrales y para el período 1986.I-1995.II 
 
ln Y = 13,653 + 0,017 TIE - 0,034 D2 - 0,076 D3 - 0,037 D4 + ei 
 
donde TIE es una variable de tendencia que adopta el valor 1 en el primer trimestre de 1995 y luego adiciona 1 
en cada trimestre (o sea es 1, 2 , 3 hasta 38); Di es una variable dummy que adopta el valor 1 en el trimestre i y 0 
en el resto. 
 
a) (12 puntos) Interprete cuidadosamente el significado de los 5 coeficientesestimados. A partir de alguno de 
ellos ¿podría deducir el crecimiento promedio anual de la economía chilena durante el período? Si su respuesta 
es afirmativa, efectúe la estimación. 
 
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b) (3 puntos) El mercado financiero está esperando que el Banco Central difunda la tasa de crecimiento del PIB 
para el tercer trimestre de 1995 (respecto a igual período del año anterior). Usando este modelo, usted ¿cuánto 
anticiparía? 
 
c) (5 puntos) Suponga que usted conoce los valores efectivos de la variable dependiente para los dos 
primeros trimestres de 1995. A partir de la información disponible, explique detalladamente el procedimiento 
que seguiría para elaborar un intervalo de confianza para el valor pronosticado de la variable dependiente del 
tercer trimestre, usando el enfoque de variables dummy. 
 
 
Ejercicio 4.6 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1996) 
 
Usted está estimando un modelo lineal simple con datos entre 1960-1994 y tiene buenas razones para pensar 
que el comportamiento de la variable dependiente en el año 73 se explica por factores extra-económicos no 
considerados en su modelo. Para no sesgar los estimadores decide aislar dicha observación estimando la 
siguiente regresión: 
 
 Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 DUM73 
 
donde DUM 73 es una variable ficticia que toma el valor 1 para 1973 y 0 el resto de los años. 
 
Un amigo suyo le dice que su modelo es muy restringido ya que el efecto de los fenómenos del año 73 no sólo 
afectaron la constante, como supone el modelo anterior, sino que también la pendiente de la regresión. Le 
sugiere estimar, entonces, un mo delo en que también se incluye la interacción entre la variable X y la variable 
ficticia: 
Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 DUM73 + β4 (X*DUM73) 
a) Realize una interpretación gráfica de ambos modelos. 
b) ¿Cómo es la forma de la matriz varianza-covarianza de los estimadores del primer modelo? 
c) ¿Qué resultados esperaría obtener en el segundo modelo? Explique formalmente. 
 
 
Pregunta 4.7 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1996) 
 
Se dispone de un conjunto de datos correspondientes a 100 familias de 15 países latinoamericanos sobre las 
siguientes variables: gastos en consumo, nivel de ingreso y número de miembros de la familia. Se cree que por 
razones socio-culturales el comportamiento de las familias respecto al consumo es distinto según región 
geográfica (Centroamérica, el Cono sur y el resto). 
 
a) (10 puntos) Proponga un modelo general que permita tener en cuenta todos los factores indicados para 
explicar los gastos en consumo de las familias.(Ayuda: por general se entiende que la variable zona geográfica 
no sólo afecta el intercepto de la regresión sino también el resto de los coeficientes). Interprete rigurosamente 
el significado y los signos esperados de los coeficientes de la regresión. 
 
b) (4 puntos) Explique como testearía la hipótesis de que es irrelevante considerar la región geográfica como 
variable explicativa de los gastos en consumo. 
 
c) (4 puntos) Explique como testearía la hipótesis de que la zona geográfica no influye en el efecto de la 
variable número de miembros, ni en el efecto del ingreso familiar. 
 
d) (4 puntos) Explique como testearía la hipótesis de que la propensión marginal a consumir en Centroamérica 
es igual a la del Cono Sur. 
 
e) (4 puntos) Explique como testearía la hipótesis de que al menos una variable explica el comportamiento de 
los gastos en consumo. 
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f) Para explicar las diferencias de ingresos entre personas, un investigador divide la muestra total entre 
personas que han tenido acceso a educación superior y personas que no han tenido educación superior y 
define una variable dummy para cada grupo (DES Y DNES respectivamente). 
Sean 
i) Yi= β1 DES+ β2 DNES+ui 
ii) Yi= α1+α2DES+ui 
 
f.1) En ambas regresiones (i y ii) los coeficientes son estimables y sus interpretaciones son similares 
f.2) Sabiendo que el promedio de ingreso es 1000 para personas con educación superior y 500 para personas 
sin educación superior, estime los coeficientes de las regresiones i y ii. 
 
g) Suponga que la cantidad de leche producida por una empresa es función del precio. Sin embargo, en los 
meses de enero, febrero y octubre, hubo un huelga en algunas plantas. 
Especifique la regresión de forma que permita extraer la elasticidad precio de la oferta de leche en un período 
normal. ¿Cómo testearía si la huelga provocó cambios en los coeficientes? 
 
h) La introducción de una variable dummy para corregir un outlier es equivalente a excluir las observaciones de 
ese período a los efectos de estimar los parámetros del modelo. Comente. 
 
 
Ejercicio 4.8 
 
El señor Machista, director de Tránsito del la ciudad “Accidentada” está empecinado en demostrar que las 
mujeres conductoras son las únicas causantes de los accidentes automovilísticos que ocurren en su ciudad. 
Para eso ha conseguido datos sobre la cantidad de accidentes ocurridos, el sexo del conductor, cantidad de 
años transcurridos desde que obtuvo su licencia, estado de ebriedad y nivel de educación (primaria, 
secundario, terciaria o sin educación formal) . 
 
a ) Especifique un modelo que explique la cantidad de accidentes ocurridos anualmente en “Accidentada” en 
función de las variables recolectadas por el Director de Transito 
b) ¿Cómo testearía la hipótesis del Sr. Machista? 
c) ¿Cómo testearía la hipótesis de que la cantidad de accidentes provocados por hombres en estado de 
ebriedad es mayor que la provocada por mujeres en ese estado? 
d) Usted quiere probar que la influencia de la variable experiencia al manejar es mayor para las mujeres que para 
los hombres. ¿Cómo especificaría su modelo? 
e) Modifique su modelo para poder testear si la influencia de la educación es distinta según el sexo de la 
persona. 
 
Ejercicio 4.9 (Prueba 2, 2do. Semestre de 1997) 
 
La FECE (Fundación de Egresados de Ciencias Económicas) tiene la hipótesis que existen diferencias salariales 
entre sus egresados. Para eso realiza una encuesta entre 100 egresados, de los cuales 70 son licenciados en 
administración y 30 son licenciados en economía. El salario promedio de los licenciados en administración fue 
1000 y el de los licenciados en economía fue 2000. 
 
a) (5 puntos) Suponga que el modelo postulado es: 
 
W i =β1+β2 Di + ui 
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donde Di es una variable dummy que toma valor 1 si el egresado es administrador y cero si es economista y se 
conoce que la varianza estimada del término de error es 300. Calcule $β y VAR( $β ). ¿ Existe discriminación 
salarial entre administradores y economistas? 
 
b) Suponga que la FECE obtiene la siguiente información adicional: Universidad de la cual provienen los 
egresados (U.Católica o U. de Chile), años de experiencia laboral (E), sexo (S) y estudios de post-grado 
realizados (en la muestra existen egresados que han realizado estudios de Magister, PhD, ambos o ninguno) 
b.1. (5 puntos) Explicite adecuadamente un modelo de regresión múltiple que incluya la variables antes 
mencionadas para explicar el salario de las personas. 
b.2. (5 puntos) Explique como testería que, ceteris -paribus, las mujeres ganan menos que los hombres. 
b.3. (5 puntos) Explique como testearía la hipótesis de que la influencia de los años de experincia en el salario 
es mayor para los egresados de la U. de Chile que para los egresados de la Católica. 
 
En todos los casos que sea necesario usted debe plantear hipótesis nula y alternativa, el test y la distribución 
utilizada, los grados de libertad y el criterio de aceptación o rechazo. Utilice α = 5%. 
 
Pregunta 4.10 (Prueba 2, 1er. Semestre de 1998) 
 
Usted cree que el hábito de lectura de libros (horas dedicadas al mes) de una persona depende de su nivel de 
educación (primario o secundario). Para probar esta hipótesis