Ayudantía 5 2015 - 2

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Ayudant́ıa: Control Óptimo
Economı́a Matemática
Noviembre , 2015
1 1. Control óptimo con horizonte infinito
1. Suponga el problema de un individuo que debe
max
c(t)
V (0) =
∫ T
0
v(k(t), c(t), t)dt
s.a
˙k(t) = g(k(t), c(t), t)
k(0) = k0
k(T )e−r·T ≥ 0
Donde k es la variable de estado y c es la variable de control. Muestre que en el óptimo la
derivada total del hamiltoniano respecto al tiempo es igual a la derivada parcial.
2. Problema de Ramsey Considere el caso de un individuo en una economı́a que
max
c(t)
V (0) =
∫ ∞
0
u(c(t))e(−(ρ−n)tdt
s.a
˙a(t) = w(t) + (r(t) − n)a(t) − c(t)
a(0) = a0
(a) Plantee el Hamiltoneano
(b) Obtenga las CPO
(c) Muestre que de las CPO se tiene que
r = ρ−
(
u′′(c)c
u′(c)
ċ
c
)
De ahora en adelante asuma que
u(c) =
c1−θ − 1
1 − θ
(d) Encuentre una expresión para ċc .
1
2 2. Control óptimo con horizonte finito
1. Suponga una empreza que debe entregar un pedido de B en T. Suponga los costos vienen
dados por la variable de control u y por la variable de estado x.
Luego, el problema queda
max
u
−
∫ T
0
(c1u(t)
2 + c2x(t))dt
s.a
x′(t) = u(t)
x(0) = 0
x(T ) = B
Resuelva el problema.
2. Resuelva
max
u
−
∫ T
0
1
2
u(t)2dt
s.a
x′(t) = u(t) + x(t)
x(0) = x0
x(T ) = xT
2