Apuntes de Clases Completos_2006_2

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PontiÞcia Universidad Católica de Chile,
Escuela de Administración
Apuntes de Clases
Finanzas II (EAA-321A), Sección 21
Sebastián Cerda N.2
Agosto de 2006
1Este es un borrador preliminar, por lo tanto agradeceré notiÞcar toda clase de
errores.
2e-mail de contacto: scerdan@puc.cl
Contents
Preface ix
1 Retornos en Finanzas 1
1.1 DeÞniciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Retornos Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Retornos Continuamente Compuestos . . . . . . . . . . . . . . 3
2 La Importancia del Arbitraje en Finanzas 7
2.1 El Concepto de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 ¿Por Qué Importa el Arbitraje? . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Los Teoremas Básicos de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 La Ley de Un Sólo Precio . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 El Principio de No Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Ejemplos de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4.1 Ejemplo 1: Arbitraje Intertemporal . . . . . . . . . . . 9
2.4.2 Ejemplo 2: Arbitraje Entre Estados de la Naturaleza . 10
2.5 Estrategias de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Renta Fija 13
3.1 Algunas DeÞniciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Precios de Bonos Vía Valor Presente . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Tasa Interna de Retorno (TIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Tasas de Interés Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.6 Retornos de Inversión en Bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.7 La Curva de Rendimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.8 La Curva de Tasas Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.9 No Arbitraje en Retornos de Bonos . . . . . . . . . . . . . . . 21
v
vi CONTENTS
3.10 Duración y Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.10.1 Duración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.10.2 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.11 Inmunización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.12 Estrategias de Arbitraje con Bonos . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Decisiones de Inversión Bajo Incertidumbre 29
4.1 El Enfoque de la Utilidad Esperada . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Algunas DeÞniciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Equivalente Cierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.2 Premio Por Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Grados de Aversión al Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Preferencias en el Espacio de Media y Varianza . . . . . . . . 36
5 Combinaciones de Activos 41
5.1 El Caso de 2 Activos Financieros . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.1 Sin Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.2 Con Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Extensión a N Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 La Frontera Eficiente 53
6.1 El Concepto de DiversiÞcación de Activos . . . . . . . . . . . 53
6.2 Caracterización GráÞca de la Frontera EÞciente . . . . . . . . 55
6.3 Propiedades de la Frontera EÞciente . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 Equilibrio de Mercado 63
7.1 La DeÞnición de Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . 64
7.2 El Portafolio de Mercado y el Equilibrio de Mercado . . . . . . 65
7.3 El CAPM como Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . 68
7.4 El CAPM cuando Existe un Activo Libre de Riesgo . . . . . . 69
8 Limitaciones del CAPM 71
8.1 La Crítica de Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 Set de Posibilidades de Inversión No es Estable en el Tiempo . 72
8.3 Los Resultados de Fama y French . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.4 El APT como Explicación Alternativa a los Resultados de
Fama-French . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.4.1 Un Ejemplo de APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
CONTENTS vii
9 Eficiencia del Mercado de Capitales 81
9.1 Algunas DeÞniciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.2 EÞciencia de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.3 Hipótesis de Formación de Expectativas . . . . . . . . . . . . 83
9.3.1 Retornos Esperados son Positivos . . . . . . . . . . . . 83
9.3.2 Retornos Esperados son Constantes . . . . . . . . . . . 84
9.3.3 Retornos Esperados se Mueven en una Relación Riesgo-
Retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.4 Categorías de EÞciencia de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . 85
10 Derivados Financieros (1): Forwards y Futuro 87
10.1 DeÞniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.2 El PerÞl de Riesgo de un Contrato Forward . . . . . . . . . . 88
10.3 El Precio de un Contrato Forward . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.4 El Precio Forward con Costos Alternativos ("Convenience Yield")
Para el Activo Subyacente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.5 Contratos Forward de Monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.6 Contratos Forward como Estrategias Especulativas . . . . . . 92
10.7 Contratos Forward como Estrategia de Cobertura . . . . . . . 93
10.7.1 Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11 Derivados Financieros (2): Opciones Financieras 95
11.1 DeÞniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.2 El PerÞl de Riesgo de Las Opciones . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.3 Algunas Consideraciones Sobre Opciones Financieras . . . . . 98
11.4 Estrategias de Inversión Especulativas con Opciones . . . . . . 99
11.5 Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.5.1 Bull Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.5.2 Bear Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.5.3 Butterßy Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11.6 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.7 El Concepto de Arbitraje y 2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . 103
11.8 La Paridad Put-Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.9 Límites de Arbitraje y Ejercicio de Opciones antes del Vencimiento104
11.10Valoración de Opciones por Método de Arboles Binomiales: 1
período al vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.11Método de Arboles Binomiales: 2 períodos al vencimiento . . . 108
11.12La Formula de Black y Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
viii CONTENTS
12 Finanzas Corporativas (1): Estructura de Capital 113
12.1 La Irrelevancia de la Estructura de Capital: El Teorema de
Modigliani y Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.1.1 Alguna Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
12.1.2 Supuestos de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . . . 114
12.1.3 Proposicion I de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . 115
12.1.4 Proposicion II de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . 116
12.1.5 La importancia de Modigliani y Miller . . . . . . . . . 116
12.2 Impuestos a las Empresas y Estructura de Capital . . . . . . . 117
12.2.1 BeneÞcio Tributario de la Deuda . . . . . . . . . . . . 117
12.3 Impuestos Personales y Estructura de Capital . . . . . . . . . 118
12.3.1 Dos Ejemplos del Modelo de Miller con Impuestos Per-
sonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
12.4 La Deuda Como Fuente de Destrucción de Valor . . . . . . . . 123
12.4.1 Existencia de Costos Reales por Problemas Financieros 124
12.4.2 Problemas de Agencia: La Deuda Como Incentivo a
Elegir Malos Proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
13 Finanzas Corporativas (2): Política de Dividendos 129
13.1 La Irrelevancia de la Política de Dividendos: Modigliani-Miller 129
13.2 Los Inversionistas Tienen Preferencia por Firmas que Pagan
Dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.3 La Desventaja Tributaria de los Dividendos . . . . . . . . . . 132
13.3.1 El Modelode Elton y Gruber . . . . . . . . . . . . . . 132
13.4 La Existencia de Costos de Transacción . . . . . . . . . . . . . 133
13.5 La Teoría de Clientelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
13.6 La Teoría de Información de la Politica de Dividendos . . . . . 134
13.7 Existencia de Problemas de Agencia . . . . . . . . . . . . . . . 134
13.8 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Preface
El objetivo de estas notas de clases son exponer conceptos básicos en Þnanzas
desde una perspectiva que sea consistente con el esquema docente deÞnido
en el programa del curso. En estas notas no se pretende ser creativo en la
presentación de los tópicos de estudio. Por el contrario, las demostraciones y
ejemplos númericos aquí contenidos son estándares para cualquier buen libro
en Þnanzas. De esta forma, la idea es que se complementen estas notas de
estudios con un buen libro de texto para lograr una mejor comprensión del
plan de estudios para este semestre.
ix
Chapter 1
Retornos en Finanzas
Lo relevante en este curso es entender conceptos. No es necesario que memo-
rice estas fórmulas. Si no entiende algún concepto durante este curso, siempre
puede inventar su propia notación. Eso no lo pejudicará en terminos de nota.
No obstante, por claridad de presentación de estas notas de clases me parece
importante partir deÞniendo cierta notación que utilizaré durante todo el
transcurso del semestre.
El retorno de un activo es un concepto intertemporal en el sentido que
computa la diferencia entre lo invertido y lo recibido en dos períodos distintos
de tiempo. Por eso muchas veces es necesario, explícitamente, introducir el
tiempo en nuestras deÞniciones. Utilizaré los subíndices para referirme al
tiempo. Por ejemplo, el precio de un activo al cierre de 2005 es P2005. El
precio del activo en el período t es Pt, mientras que la tasa de interés en ese
mismo período es Rt. El período corriente (hoy) será deÞnido por t = 0.
1.1 Definiciones Básicas
Definition 1 El Retorno Bruto de un activo es: Rt+1 =
valor en $ recibidost+1
valor en $ pagadost
.
En el caso de una acción que paga dividendos, el retorno bruto es, Rt+1 =
Pt+1+Dt+1
Pt
.
R es un número alrededor de 1 (por ejemplo 1,10).
Definition 2 El Retorno Neto de un activo es: rt+1 = Rt+1 − 1.
Definition 3 El Retorno Porcentual de un activo es: 100× rt+1.
1
2 CHAPTER 1 RETORNOS EN FINANZAS
Definition 4 El Retorno Continuo de un activo es: rt = lnRt.
Por ejemplo, ln (1.10) = 0.09531 = 9.531%.
Definition 5 El Retorno Real de un activo es: Rrealt+1 =
cantidad de bienes recibidost+1
cantidad de bienes pagadost
.
Definition 6 El Indice de Precios al Consumidor (IPC) es IPCt ≡ valor en $ de los bienestcantidad de bienest .
Definition 7 La Tasa de Inflación Bruta es Πt+1 ≡ IPCt+1IPCt .
De tal forma, es posible deÞnir el retorno real como:
Rrealt+1 =
valor en $ de los bienest+1 · bienes recibidost+1valor en $ de los bienest+1
valor en $ de los bienest · bienes pagadostvalor en $ de los bienest
(1.1)
Rrealt+1 =
valor en $ de los bienest+1 · 1IPCt+1
valor en $ de los bienest · 1IPCt
(1.2)
Rrealt+1 = R
nominal
t+1 ·
IPCt
IPCt+1
(1.3)
Rrealt+1 =
Rnominalt+1
Πt+1
(1.4)
En otras palabras, el retorno real bruto es el retorno nominal bruto divido
por la tasa de inßación bruta.
En términos de retornos continuos, tenemos que:
ln
¡
Rrealt+1
¢
= ln
¡
Rnominalt+1
¢− ln (Πt+1) (1.5)
Para bajas tasas de inßación neta, la siguiente es una buena aproximación
a la tasa de retorno real bruta:
Rnominalt+1
Πt+1
=
¡
1 + rnominalt+1
¢
1 + πt+1
≈ 1 + rnominalt+1 − πt+1 (1.6)
Es posible utilizar exactamente la misma idea para computar los retornos
brutos en pesos de inversiones en otras monedas. DeÞna el retorno bruto en
dólares (USD) de una inversión como RUSDt+1 =
valor bienes en USDt+1
valor bienes en USDt
. El tipo
1.2 RETORNOS COMPUESTOS 3
de cambio pesos por dólar se deÞne como e$/USDt =
valor bienes en $t
valor bienes en USDt
. Por lo
tanto, el retorno en bruto en pesos de tal inversión es
R$t+1 =
valor bienes en $t+1
valor bienes en $t
=
valor bienes en USDt+1
valor bienes en USDt
·
valor bienes en $t+1
valor bienes en USDt+1
valor bienes en $t
valor bienes en USDt
(1.7)
R$t+1 = R
USD
t+1 ·
e
$/USD
t+1
e
$/USD
t
(1.8)
1.2 Retornos Compuestos
¿Cuál es el pago total de una inversión de $1 por 10 períodos en un instru-
mento que promete pagar 10% por período? La respuesta es más que $2.
En la medida que es necesario computar los intereses sobre los intereses ya
capitalizados, la respuesta correcta es el retorno compuesto. DeÞna Vt como
el valor de la inversión en el periodo t. Por lo tanto, tenemos que:
V1 = R · V0 = (1 + r)V0 (1.9)
V2 = R
2 · V0 (1.10)
VT = R
T · V0 (1.11)
RT es lo que tradicionalmente se conoce como el Retorno Compuesto.
1.3 Retornos Continuamente Compuestos
Hay ciertas propiedades de los retornos continuamente compuestos que hacen
agradable trabajar con ellos.
� El retorno continuamente compuesto a T períodos plazo es T veces el
retorno continuamente compuesto de un período.
lnV1 = lnR+ lnV0 (1.12)
lnVT = T lnR+ lnV0 (1.13)
� Si las tasas de retornos no son constantes, entonces el retorno bruto a
T períodos plazo es R1R2 . . . RT tal que
ln (R1R2 . . . RT ) = ln (R1) + ln (R2) + . . .+ ln (RT ) (1.14)
4 CHAPTER 1 RETORNOS EN FINANZAS
� Los retornos continuamente compuestos son convenientes también porque
permiten computar de manera más simple retornos reales o retornos
convertidos desde otras monedas:
Rreal =
Rnominal
Π
⇒ ln ¡Rreal¢ = ln ¡Rnominal¢− lnΠ (1.15)
En este punto, resulta clariÞcador una ilustración de la intuición detrás
de los retornos continuamente compuestos.
Suponga la existencia de un bono que paga 10% y capitaliza sus intereses
semestralmente. Cada 6 meses se realiza un pago de interés por 5%. El
retorno bruto anual de tal bono es:
compuesto semestral: (1.05) (1.05) = 1.1025 = 10.25% (1.16)
¿Qué ocurre ahora si la capitalización es trimestral?
compuesto trimestral: (1.025)4 = 1.1038 = 10.38% (1.17)
Es posible generalizar esta idea, tal que
compuesto N veces:
³
1 +
r
N
´N
(1.18)
Incluso es posible llevar este argumento al extremo para un instrumento
que capitaliza intereses inÞnitas veces por período. Esa es la tasa de retorno
continuamente compuesta:
lim
N→∞
³
1 +
r
N
´N
= 1 + r +
1
2
r2 +
1
2× 3r
3 + . . . = er (1.19)
Por lo tanto, si R = er es la tasa de retorno bruta por período, entonces
podemos computar la tasa de retorno continuamente compuesta como:
r = lnR (1.20)
A modo de ejemplo, un retorno de 10% anual continuamente compuesto
es exactamente equivalente a una tasa de retorno bruto compuesto anual
de e0.10 = 1.1051709. O lo que es lo mismo una tasa de retorno neto com-
puesta anual por 10.51709% es equivalente a un retorno anual continuamente
compuesta por 10%.
A CADA TASA DE RETORNO COMPUESTA N VECES POR PERI-
ODO LE CORRESPONDE EXACTAMENTE UNA TASA DE RETORNO
CONTINUAMENTE COMPUESTA.
Un pequeño ejemplo númerico puede llevar a clariÞcar esto un poco más.
1.3 RETORNOS CONTINUAMENTE COMPUESTOS 5
1. ¿Cuál es el retorno de tres años para un instrumento que paga la tasa
bruta de R compuesta semestralmente?
DeÞniendo r = R− 1, tenemos que el retorno en 3 años es ¡1 + r
2
¢2×3
.
2. ¿Cuál es el retorno de tres años para un instrumento que promete pagar
una tasa de retorno anual continuamente compuesto por rcc?
Ese retorno es simplemente e3×r
cc
. Si la tasa de retorno fuera deÞnida
como semestral continuamente compuesta, entonces la respuesta sería
e2×3×r
cc
.
Chapter 2
La Importancia del Arbitraje
en Finanzas
2.1 El Concepto de Arbitraje
El concepto de arbitraje es un concepto muy vago al cual se hace recurrente
referencia entre aquellos que observan el mercado Þnanciero. No obstante,
cuesta encontrar una deÞnición precisa de este concepto. ¿Qué son las opor-
tunidades de arbitraje en Þnanzas? Es una idea muy simple, pero muy po-
tente. Siempre que el precio de un activo Þnanciero esté mal colocadopor el
mercado, surge una oportunidad de arbitraje con respecto al activo que tiene
el precio errado. Una oportunidad de arbitraje es siempre libre de riesgo.
Eso quiere decir que la ganancia se puede hacer por completo en el período
corriente. Si la estrategia de inversión tiene riesgo, eso ya no es arbitraje es
simplemente especulación.
2.2 ¿Por Qué Importa el Arbitraje?
Si usted es un operador de mercado, obviamente toda oportunidad de arbi-
traje le interesa porque es una forma de ganar dinero sin riesgo.
En nuestro caso, el arbitraje nos interesa por un interés netamente académico.
El asumir que no existen oportunidades de arbitraje en el mercado signiÞca
que todos los activos Þnancieros están valorizados correctamente. Los activos
Þnancieros son paquetes de promesas de pago. Una acción promete pagar un
ßujo de dividendos. Un bono promete pagar un ßujo de intereses y capital.
7
8CHAPTER 2 LA IMPORTANCIA DEL ARBITRAJE EN FINANZAS
Los derivados Þnancieros son formas más complejas de armar paquetes de
ßujos de caja sobre acciones, bonos, tipo de cambio, etc. En cualquier caso,
si no existen oportunidades de arbitraje y el costo de armar paquetes de ac-
tivos Þnancieros es cero1, entonces el asumir no arbitraje es una manera muy
simple de valorizar cualquier activo Þnanciero.
2.3 Los Teoremas Básicos de Arbitraje
Dado que como veremos más adelante, el arbitraje es un concepto tanto
intertemporal (en el tiempo) como entre distintas realizaciones posibles de los
estados de la naturaleza, conviene ser un poco más riguroso en la deÞnición
del arbitraje. Existen dos teoremas fundamentales en Þnanzas acerca del
arbitraje.
2.3.1 La Ley de Un Sólo Precio
Si dos activos prometen los mismos ßujos de caja (en cada estado de la
naturaleza) deben valer lo mismo. Prometer, en este caso, signiÞca a todo
evento y no en valor esperado. Una violación de la ley de un solo precio
equivale a la existencia de una oportunidad de arbitraje.
¿Por qué razon se podría violar este teorema? Hay variadas razones para
ello, por ejemplo que los inversionistas sean irracionales, esto es que pongan
mal los precios de los activos que compran. Una segunda razón que se me
viene a la cabeza es que el costo marginal de armar activos Þnancieros sea
distinto de cero. Una de las razones que se aduce para explicar la "burbuja"
especulativa del Nasdaq en el año 2001 es que, a pesar de que el mercado
intuía que esas acciones no valían su precio, no era posible (por razones
regulatorias) armar paquetes de activos que apuntaran a la caída de precio de
esas acciones, y que por tanto arbitraran precios claramente sobrevalorados.
2.3.2 El Principio de No Arbitraje
Si el pago (a todo evento) del activo A es mayor o igual al pago (a todo
evento) del activo B (esto es, en todos los períodos y estados posibles de la
naturaleza, el activo A paga lo mismo que B pero en al menos un estado o
1Este no es un mal supuesto. Piense, cual es el costo marginal de producir una unidad
Þsica de un bono, una accion? Solo el valor del papel utilizado para tal Þn.
2.4 EJEMPLOS DE ARBITRAJE 9
período paga más), entonces de manera cierta el precio del activo A debe ser
mayor al precio del activo B.
2.4 Ejemplos de Arbitraje
La noción de arbitraje resulta más didáctica por la vía de un par de ejemplos.
Como estándar de notacion, deÞniremos t = 0 . . . T como los períodos futuros
en el tiempo y s = 0 . . . S como los posibles estados de la naturaleza. De esta
forma, nos referiremos a Xst como el pago prometido por el activo X en el
estado s durante el período t.
2.4.1 Ejemplo 1: Arbitraje Intertemporal
Suponga la existencia de 3 activos, X, Y y Z y t = 0 . . . 2. El activo X paga
X1 en t = 1, el activo Y paga Y2 en t = 2 y el activo Z paga X1 en t = 1 e
Y2 en t = 2. p (.) es el precio del activo en t = 0.
Activo t = 0 t = 1 t = 2
X p (X) +X1 0
Y p (Y ) 0 +Y2
Z p (Z) +X1 +Y2
Arbitraje si p (X) + p (Y ) > p (Z) p (X) + p (Y )− p (Z) > 0 X1 −X1 = 0 0
Arbitraje si p (X) + p (Y ) < p (Z) p (Z)− p (X)− p (Y ) > 0 0 0
Por ley de un sólo precio, la siguiente condicion es cierta: p (X)+p (Y ) =
p (Z). Ahora bien, ¿qué ocurre si la ley de un sólo precio no se cumple,
p (X) + p (Y ) 6= p (Z)? Existe una oportunidad de arbitraje que se puede
ejercer a cero costo y cero riesgo. Si p (X) + p (Y ) > p (Z), la estrategia de
arbitraje sería comprar el activo Z y vender los activos X e Y . Corresponde
la estrategia inversa en caso que p (X) + p (Y ) < p (Z).
10CHAPTER 2 LA IMPORTANCIA DEL ARBITRAJE EN FINANZAS
2.4.2 Ejemplo 2: Arbitraje Entre Estados de la Natu-
raleza
Suponga la existencia de 3 activos, X, Y y Z y t = 0, 1 y s = 1, 2. El activo
X paga X11 en t = 1 y s = 1, el activo Y paga Y21 en t = 1 y s = 2 y el
activo Z paga X11 en t = 1 y s = 1 y Y21 en t = 1 y s = 2.
Activo t = 0 t = 1
s = 1 s = 2
X p (X) +X1 0
Y p (Y ) 0 +Y2
Z p (Z) +X1 +Y2
Arbitraje si p (X) + p (Y ) > p (Z) p (X) + p (Y )− p (Z) > 0 X1 −X1 = 0 0
Arbitraje si p (X) + p (Y ) < p (Z) p (Z)− p (X)− p (Y ) > 0 0 0
Por ley de un solo precio, la siguiente condicion es cierta: p (X)+p (Y ) =
p (Z). Ahora bien, que ocurre si la ley de un solo precio no se cumple,
p (X) + p (Y ) 6= p (Z)? Existe una oportunidad de arbitraje que se puede
ejercer a cero costo y cero riesgo. Si p (X) + p (Y ) > p (Z), la estrategia de
arbitraje seria comprar el activo Z y vender los activos X e Y . Corresponde
la estrategia inversa en caso que p (X) + p (Y ) < p (Z).
2.5 Estrategias de Arbitraje
Independiente de los ßujos de caja de los activos (o paquetes de activos),
las estrategias de arbitraje siempre se construyen iguales: (1) corresponde
ver si se viola la ley de un sólo precio para combinaciones de activos, (2) si
se viola la ley de un sólo precio corresponde arbitrarla, (3) la estrategia de
arbitraje equivale a, de acuerdo a la ley de un sólo precio, vender el activo
caro y comprar el activo barato, (4) la cantidad de activo que se compre o
venda corresponde a la combinación de activos que haga todos los ßujos de
caja en t = 1 . . . T y s = 1 . . . S sea igual a cero excepto por el ßujo de caja
corriente (en t = 0) que debe ser siempre positivo.
Aquí está la clave para hacerse rico invirtiendo en activos Þnancieros:
COMPRARBARATOYVENDERCARO. Hasta ahora no se ha encontrado
2.5 ESTRATEGIAS DE ARBITRAJE 11
otra forma para ganar sin riesgo. Cualquier otro tipo de estrategia es pura y
exclusiva especulación Þnanciera.
Chapter 3
Renta Fija
Por renta Þja nos referiremos al caso de instrumentos Þnancieros que prome-
ten el pago de ßujos futuros no aleatorios. Esto no quiere decir que el precio
de esos activos no tenga riesgo. Las tasas de descuento de tales ßujos pueden
ser variables, asi como la probabilidad de pago de los ßujos prometidos. Lo
estándar es denominar Renta Fija a toda inversión en Bonos.
3.1 Algunas Definiciones de Utilidad
En general, los Bonos se clasiÞcan de acuerdo a su estructura de pagos.
Existen 3 grandes categorías de bonos:
1. Bono Cero Cupón. Estos bonos efectuan un único pago a su vencimiento
que incluye tanto principal como intereses.
2. Bono "Bullet". Estos bonos pagan cupones periódicos que incluyen
solo el pago de intereses. El principal de un bono "bullet" se paga por
completo al vencimiento del instrumento.
3. Anualidades. Bono con Cupones. Estos bonos pagan cupones periódi-
cos por montos iguales que incluyen tanto el pago de intereses como la
amortización de parte del principal.
13
14 CHAPTER 3 RENTA FIJA
3.2 Notación
Necesitamos distinguir bonos de distinta madurez. Para esto, utilizaremos
la siguiente notación: P (3) es el precio de un bono cero cupón que vence en 3
años. Las variables en minúsculas (ejemplo, p(3)) corresponden al logaritmo
natural de la variable en mayúscula.
3.3 Precios de Bonos Vía Valor Presente
Comenzaremos este capitulo ignorando cualquier fuente de incertidumbre.
De esta forma, asumiremos que tanto los ßujos futuros de caja como las
tasas de interés son conocidos ex-ante. Introducir incertidumbre hace el
análisisun poco más complejo pero las conclusiones relevantes no cambian
dramáticamente.
El truco para valorizar bonos está en entender que cualquier tipo de bono
puede ser generado como una combinación de otros bonos. El resto es trivial:
La Ley de un Sólo Precio. Un conjunto de bonos cero cupón, bonos "bullet" y
bonos con cupones es lo mismo que una secuencia de tasas de interés futuras.
Para encontrar el precio de cualquier categoría de bono basta en saber como
empaquetar ese bono en función de bonos de los cuales usted ya conozca su
precio.
Un bono otorga un derecho a recibir una secuencia de ßujos de caja
{F1, F2, . . . , FN}. Como cualquier activo Þnanciero, un bono debe valorizarse
por valor presente,
P =
NX
j=1
Fj
R1R2R3 · · ·Rj (3.1)
donde R1 es la tasa de interés entre 0 y 1, R2 es la tasa de interés entre 1
y 2, etc. Obviamente, entendemos R = 1+r, donde r es la tasa de interés tal
como la observamos normalmente. El problema con valorizar bonos vía valor
presente es donde encontrar las tasas de interés relevantes. Hay 3 opciones
para esto último:
1. Utilizar las tasas de interés de los bancos. El problema es ¿cuál es esa
tasa?, ¿la de depósitos o de créditos, ¿de qué banco? Esto, en realidad,
sólo ocurre en los libros de texto.
3.4 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) 15
2. Utilizar el precio de mercado de los bonos cero cupón para encontrar
esas tasas de interés. Suponga, por ejemplo, que usted tiene el precio
de bonos cero cupón a 2 períodos plazo. P (1) = 1
R1
y P (2) = 1
R1R2
.
Basta con conocer P (1) y P (2) para encontrar R1 y R2.
Hay una propiedad interesante acerca de los bonos cero cupón: todo
bono puede ser valorizado como una combinacion de bonos cero cupón.
El precio de un bono cero cupón a N períodos plazo.
P (N) =
1
R1R2R3 · · ·RN (3.2)
Combinando las ecuaciones (3.1) y (3.2), se obtiene la siguiente expre-
sión para el valor de un bono:
P =
NX
j=1
P (j) · Fj (3.3)
3. Utilizar el precio de mercado de bonos con cupones para encontrar esas
tasas de interés. Suponga que usted conoce el precio de 2 bonos con
cupones (P 0 y P 00) con la siguiente estructura de pago: bono 1 {F 01, F 02}
y bono 2 {F 001 , F 002 }, tal que P 0 = F
0
1
R1
+
F 02
R1R2
y P 00 = F
00
1
R1
+
F 002
R1R2
. Estas
son 2 ecuaciones y 2 incógnitas que usted puede resolver rápidamente
para encontrar R1 y R2.
3.4 Tasa Interna de Retorno (TIR)
Definition 8 Tasa Interna de Retorno (TIR) es la tasa de interés ANUAL,
FICTICIA, CONSTANTE Y, CONOCIDA que, dado el precio de mercado
del bono en cuestión, resuelve la ecuacion de valor presente neto (VPN=0).
Esta definición asume que el bono se paga a todo evento, i.e. no existe la
cesación de pagos.
A partir de esta deÞnición, podemos ver que la TIR de un bono cero
cupón es el número Y (N) que satisface
P (N) =
1
[Y (N)]
N
(3.4)
16 CHAPTER 3 RENTA FIJA
Por lo tanto,
Y (N) =
1
[P (N)]
1
N
(3.5)
lnY (N) = − 1
N
lnP (N) (3.6)
y(N) = − 1
N
p(N) (3.7)
Por su parte, la TIR de un bono con cupones es el número Y que satisface
la siguiente ecuación:
P =
NX
j=1
Fj
Y j
(3.8)
En general, dado el precio (P ) y el ßujo de caja (Fj), usted tiene que
encontrar el valor de Y que resuelve esta ecuación. En la medida que todos
los ßujos de caja sean positivos, Fj ≥ 0, la solución a este problema es
relativamente simple.
Lo importante es que rentenga lo siguiente:
� La TIR es sólo una forma muy simple de presentar los precios de dis-
tintos bonos.
� Al utilizar TIR no hemos ningún tipo de supuestos, tales como que las
tasas de interés sean conocidas, constantes o que los ßujos de caja estén
libres de riesgo de no pago.
� EXCEPTO PARA EL CASO DE UN BONO CERO CUPON A UN
PERIODO PLAZO, LA YIELD DE UN BONO NO ES LA TASA DE
INTERES EFECTIVA DE MERCADO.
3.5 Tasas de Interés Forward
Otra particularidad del precio de los bonos cero cupón es que permiten iden-
tiÞcar expectativas implícitas de tasas de interes futuras. La deÞnición del
precio de un bono cero cupón a N períodos plazo es
P (N) =
1
R1R2R3 · · ·RN (3.9)
3.5 TASAS DE INTERÉS FORWARD 17
De lo cual se deriva la siguiente deÞnición de una tasa de interés forward
RN+1 =
P (N)
P (N+1)
(3.10)
Definition 9 Tasa de Interés Forward es la tasa de interés a la cual es
posible contratar hoy un depósito (crédito) que se hará efectivo a comienzos
del periodo N y será liquidado durante el período N + 1.
La intuición es muy simple. Usted siempre puede sintetizar un contrato
forward a partir de la gama completa de bonos cero cupón. Suponga que
usted compra una unidad de bono cero cupón a N períodos plazo y si-
multáneamente vende una cantidad x de bonos cero cupón a N +1 períodos
plazo al vencimiento. La siguiente tabla muestra los ßujos netos de tal op-
eración:
Operación t = 0 t = N t = N + 1
Compra 1 unidad de Cero a N −P (N) +1 0
Venta de x unidades de Cero a N + 1 +xP (N+1) 0 −x
Flujo de Caja Neto xP (N+1) − P (N) 1 −x
Seleccione un valor x tal que el ßujo de caja en t = 0 sea igual a cero:
x =
P (N)
P (N+1)
(3.11)
Piense en los resultado de esta operación: los ßujos en t = 0 fueron nulos,
en t = N se obtuvieron ßujos positivos por 1, y Þnalmente en t = N + 1 se
debera realizar un egreso de caja por P
(N)
P (N+1)
. En otras palabras, acabamos
de sintetizar un contrato (Þrmado hoy en t = 0) para conseguir un crédito
en t = N que se pagará en t = N + 1. Eso es exactamente una operación
forward, donde la tasa forward en tal contrato entre N y N + 1 es
FN→N+1 =
P (N)
P (N+1)
(3.12)
lnFN→N+1 = lnP (N) − lnP (N+1) (3.13)
fN→N+1 = p(N) − p(N+1) (3.14)
Algunas aclaraciones importantes sobre las tasas de interés forward:
18 CHAPTER 3 RENTA FIJA
1. Las tasas de interés forward son importantes porque permiten endeu-
darse en el futuro. Si usted tiene un proyecto pero la inversión no
la efectuará hasta dentro de varios períodos quizás le interese tomar
un contrato forward para endeudarse en el futuro cuando requiere los
recursos para invertir.
2. LAS TASAS DE INTERES FORWARD NO SON LAS TASAS DE
INTERES FUTURAS. SON LA MEJOR EXPECTATIVA DADA LA
INFORMACION DISPONIBLE. EN EL FUTURO PUEDEN PASAR
MUCHAS COSAS (COMO QUE POR EJEMPLO EL BANCO CEN-
TRAL SUBA LAS TASAS DE INTERES).
3. Dado lo anterior si usted tiene una visión distinta del mercado acerca
de la evolución futura de las tasas de interés, entonces usted puede
especular contra las tasas de interés forward para ganarle al mercado.
Pero esta es una apuesta con riesgo, porque en principio no hay ninguna
razón para creer que usted sabe más que el mercado.
3.6 Retornos de Inversión en Bonos
En el caso de bonos cero cupón, el retorno de inversión antes de vencimiento
es muy simple. Si usted compra un bono cero cupón con N al vencimiento
y lo vende en N + 1 cuando a este bono sólo le quedan N − 1 períodos al
vencimiento, la rentabilidad es:
1 + rb
(N)
t+1 =
P (N−1)t+1
P (N)t
(3.15)
rb
(N)
t+1 ≈ ln
³
1 + rb
(N)
t+1
´
= lnP
(N−1)
t+1 − lnP (N)t (3.16)
Excepto para el caso de los bonos cero cupón con un período al vencimiento,
este retorno no es un valor conocido ex-ante. En el caso de los bonos cero
cupón a un período plazo, tenemos que estos cumplen una muy interesante
propiedad:
1 + rb
(1)
t+1 = R0,t = Y
(1)
t =
1
P
(1)
t
(3.17)
3.7 LA CURVA DE RENDIMIENTOS 19
Para el resto de los bonos con cupones, la rentabilidad de la inversión en
bonos es un poco más complicada.
1 + rbt+1 = Yt
Pt+1
Pt
(3.18)
rbt+1 ≈ ln (1 + rbt+1) = lnYt + lnPt+1 − lnPt (3.19)
rbt+1 ≈ yt + pt+1 − pt (3.20)
3.7 La Curva de Rendimientos
La curva de rendimientos es un gráÞco que vincula la TIR de bonos cero
cupón y su plazo N al vencimiento.
0%
1%
2%
3%
4%
5%
6%
0 2 4 6 8 10
N
TI
R
Suponga que usted conoce la evolución futura de las tasas de interés a un
período plazo (o de lo que es lo mismo, las TIR de los futuros cero cupón a
un período plazo). La fórmula del valor presente para un cero cupón con N
períodos al vencimiento es
P (N)0 =
µ
1
R1
1
R2
· · · 1
RN
¶
=
Ã
1
Y
(1)
1
1
Y
(1)
2
· · · 1
Y
(1)
N
!
(3.21)
Sustuyendo la deÞniciónde TIR para un bono cero cupón, P (N) = 1
[Y (N)]
N ,
20 CHAPTER 3 RENTA FIJA
en la ecuación (3.21) se obtiene
Y (N)0 =
³
Y (1)1 Y
(1)
2 Y
(1)
3 . . . Y
(1)
N
´ 1
N
(3.22)
De acuerdo a (3.22), la TIR de un bono cero cupón con N períodos al
vencimiento es el promedio geométrico de todas las futuras tasas de interés
a un período plazo desde hoy hasta el período N .
Aplicando logaritmos sobre la expresión (3.22), se obtiene que
y
(N)
0 =
1
N
³
y
(1)
1 + y
(1)
2 + y
(1)
3 · · ·+ y(1)N
´
(3.23)
El logaritmo natural de la TIR de un bono cero cupón con N períodos
al vencimiento es el promedio aritmético del logaritmo natural de todas las
futuras tasas de interés a un período plazo desde hoy hasta el período N .
Las relaciones (3.22) y (3.23) son formas alternativas de entender la ley de
un sólo precio. El lado izquierdo y derecho de ambas expresiones presentan
dos formas distintas de obtener un peso en N períodos mas. El lado izquierdo
se obtiene de adquirir un bono cero cupón a N períodos, mientras que el lado
derecho viene de invertir en bonos cero cupón de un período plazo durante
los próximos N períodos. La ley de un sólo precio nos indica que para evitar
la existencia de oportunidades de arbitraje, ambas alternativas deben costar
exactamente lo mismo.
3.8 La Curva de Tasas Forward
La curva de tasas forward es un gráÞco que vincula las tasas forward y el
período N en que se espera esta tasa.
Suponga que efectivamente conocieramos la evolución futura de las tasas
de interés. En términos de arbitraje, esto implica que
Tasa de Interés Forward = Tasa de Interés Spot Futura (3.24)
F (N) = RN→N+1 (3.25)
¿Cuál es la intuición de esto? Simple y puro arbitraje. Si la tasa de
interés forward fuera más baja que la tasa de interés spot futura, entonces
los inversionistas se endeudarían hoy a la tasa forward y prestarían en el
futuro a tasa spot, generando una ganancia libre de riesgo.
3.9 NO ARBITRAJE EN RETORNOS DE BONOS 21
Una particularidad relevante de las tasas de interés forward es que estas
se encuentran implícitas dentro de la curva de rendimientos. Para entender
esto, es necesario volver a la ecuación (3.25)
F (1) = R1→2 (3.26)
Utilizando la deÞnición de tasas de interés forward en la ecuación (3.12),
F (1) = P
(1)
P (2)
, se obtiene que
P (1)
P (2)
= R1→2 (3.27)
Sustituyendo las siguientes deÞniciones, R0→1 = 1P (1) y Y
(2) = 1√
P (2)
, en
la ecuación (3.27), se obtiene
£
Y (2)
¤2
= R0→1R1→2 (3.28)
Y (2) = [R0→1R1→2]
1
2 (3.29)
que es exactamente la expresión para la curva de rendimientos para el
caso de 2 períodos en la ecuación (3.22).
Esto no es para nada sorpresivo cuando piensa en lo siguiente. Si usted
necesita llevar dinero desde hoy hasta el período N , existen 3 formas alterna-
tivas de realizar esto. Ir renovando tasas spot cada período, contratar tasas
forward hasta N o comprar un bono cero cupón con vencimiento en N (la
curva de rendimiento). Como todas las alternativas cumplen con el mismo
objetivo, éstas deben ser equivalentes entre sí.
3.9 No Arbitraje en Retornos de Bonos
Considere dos formas alternativas de transferir dinero desde el actual período
hacia el siguiente: (1) Comprar un bono cero cupón con N períodos al
vencimiento y venderlo como un bono con N − 1 períodos al vencimiento
durante el próximo período o (2) Comprar un bono cero cupón con un único
período al vencimiento. De nuevo, por un asunto de arbitraje ambas estrate-
22 CHAPTER 3 RENTA FIJA
gias deberan rentar lo mismo, tal que
³
1 + rb
(2)
1
´
=
³
1 + rb
(1)
1
´
(3.30)
P
(1)
1
P
(2)
0
=
1
P
(1)
0
(3.31)h
Y
(2)
0
i2
Y
(1)
1
= Y
(1)
0 (3.32)
Y
(2)
0 =
h
Y
(1)
0 Y
(1)
1
i 1
2
(3.33)
Por una nueva vía hemos llegado al mismo resultado: una representación
de la curva de rendimientos.
3.10 Duración y Convexidad
Recuerde que la TIR de un bono con cupones es el número Y que satisface
la siguiente ecuación:
P =
NX
j=1
Fj
Y j
(3.34)
Esta expresión nos indica que existe una relación no lineal entre precios
de bonos y su TIR.
3.10 DURACIÓN Y CONVEXIDAD 23
TIR
P
re
ci
o
Y0
Nos gustaría conocer cómo cambia P ante cambios en la TIR del bono
(Y ), sin embargo ésta es una relación compleja (porque no es lineal). Existe
una relación no lineal entre P e Y , P = P (Y ). Esta relación puede ser
aproximada por lo que se conoce como la Aproximación de Taylor :
P (Y ) ≈ P (Y0) +
PX
i=1
1
i!
diP (Y0)
d (Y0)
i (Y − Y0)i (3.35)
donde Y0 es un arbitrario punto de expansión. La expansión de primer
orden de Taylor es
P (Y ) ≈ P (Y0) + ∂P (Y0)
∂Y0
(Y − Y0) (3.36)
P (Y ) ≈ P (Y0)− ∂P (Y0)
∂Y0
Y0| {z }
constante
+
∂P (Y0)
∂Y0
Y (3.37)
24 CHAPTER 3 RENTA FIJA
Diferenciando esta última expresión1, se obtiene
dP ≈ ∂P
∂Y
dY (3.38)
dP
P
≈ ∂P
∂Y
dY
Y
Y
P
(3.39)
dP
P
≈ −
·
−Y
P
∂P (Y0)
∂Y0
¸
| {z }
Duración de un Bono
dY
Y
(3.40)
3.10.1 Duración
La duración de un bono es la elasticidad de la relación entre precios y TIR
alrededor del punto asociado a la TIR vigente. Por lo tanto, la duración es
una primera aproximación a la sensibilidad del precio ante cambios en la TIR
de un bono.
D = −Y
P
dP
dY
= −d lnP
d lnY
(3.41)
Esto ultimo implica que, dada la duración, es posible construir una aprox-
imación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambia la TIR
del bono:
dP
P
≈ −D · dY
Y
(3.42)
Duración de un Bono Cero Cupón
La deÞnición del precio de un bono cero cupón es
P (N) =
1
Y N
(3.43)
−Y
P
dP
dY
=
Y
P
N
1
Y N+1
= N (3.44)
Para bonos cero cupón, tenemos que DURACION=MADUREZ DEL
BONO.
1Obviamente, la primera diferencia de una constante es cero.
3.10 DURACIÓN Y CONVEXIDAD 25
Duración de Otros Bonos
El precio de bonos con cupones es
P =
NX
j=1
Fj
Y j
(3.45)
−Y
P
dP
dY
=
Y
P
NX
j=1
j
Fj
Y j+1
=
1
P
NX
j=1
j
Fj
Y j
=
NX
j=1
j
Fj/Y
jPN
j=1 Fj/Y
j
(3.46)
D =
X
ßujos
duración de cada ßujo× valor del ßujo
valor total del bono
(3.47)
Por lo tanto, para el caso de bonos con cupones, la duración es el promedio
ponderado (por el valor de cada ßujo) de la duración de los ßujos individuales.
Una implicancia relevante de lo anterior es que la duración de un bono es
siempre menor que su madurez.
Duración de Una Perpetuidad
El precio de una perpetuidad con cupón C es P = C
Y−1 .
Dada la deÞnición de duración en la ecuación (3.46), tenemos que la
duración de una perpetuidad por C es
D =
1
P
∞X
j=1
j
C
Y j
=
C
P
∞X
j=1
j
1
Y j
(3.48)
Reemplazando la propiedad que
P∞
j=1 jz
j = z
(1−z)2 en la ecuación (3.48),
se obtiene la duración de una perpetuidad
D =
C
P
(1/Y )
(1− 1/Y )2 (3.49)
D = (Y − 1) Y
(Y − 1)2 =
Y
Y − 1 (3.50)
Duración Modificada
Muchas veces resulta más conveniente computar lo que se conoce como la
duración modiÞcada. Esto es el cambio porcentual en el precio que se origina
26 CHAPTER 3 RENTA FIJA
por un cambio absoluto en la TIR del bono (en vez del cambio porcentual
en la TIR que suena algo extraño porque es el cambio porcentual sobre algo
que ya está en porcentaje).
DM ≡ − 1
P
dP
dY
=
1
Y
µ
−Y
P
dP
dY
¶
=
1
Y
×D (3.51)
Esto último implica que, dada la duración modiÞcada, es posible construir
una aproximación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambia
la TIR del bono:
dP
P
= −DM · dY (3.52)
3.10.2 Convexidad
En el siguiente gráÞco es posible apreciar dos bonos con igual duración para
un nivel de TIR de Y0. Sin embargo, ambos bonos tienen distinta curvatura
alrededor de ese punto. Eso indica que en la medida que existan cambios
muy grandes en el nivel de TIR, entonces la duración sera una muy mala
aproximación al verdadero cambio en precios ante cambios en TIR.
TIR
Pr
ec
io
Y0
bono 1
bono 2
Esto hace necesario tener una mejor aproximación a tal cambio. La forma
de hacer esto es ocupar la convexidad de cada instrumento (el segundo tér-
mino asociado a una expansión de Taylor). La convexidad del bono es el
3.11 INMUNIZACIÓN 27
cuociente entre la segunda derivada del precio del bono con respecto a su
TIR y el precio del bono:
∂2P∂Y 2
=
1
Y 2
NX
j=1
·
Fj
Y j
¡
j2 + j
¢¸
(3.53)
Convexidad =
1
P
∂2P
∂Y 2
(3.54)
Esto último implica que, dada la duracion modiÞcada y la convexidad,
es posible construir una aproximación al cambio porcentual en el precio del
bono cuando cambia la TIR del bono:
dP
P
= −DM · dY + 1
2
· Convexidad · (dY )2 (3.55)
3.11 Inmunización
Sabemos que el precio de los bonos cambia cuando cambian las TIR de estos
bonos. Si tenemos estos bonos en cartera, nuestra riqueza Þnanciera ßuctuará
con cambios en TIR. Se conoce como inmunización al ejercicio de construir
un portafolio de renta Þja que sea inmune a cambios en TIR.
Existen dos formas de construir portafolios inmunizados:
1. Portafolios Dedicados: Para cada ßujo de caja de activos o pasivos,
se puede comprar o vender el correspondiente bono cero cupón. No im-
porta qué ocurra con las TIR, los ßujos de caja estarán completamente
cubiertos por bonos cero cupón de madurez equivalente. El valor del
portafolio será completamente inmune a cambios en TIR.
2. Calzar la Duración del Portafolio: Compre (o venda) un bono que
cuadre exactamente la duración de un pasivo (o activo) de renta Þja.
De esta forma, cumplirá con dos condiciones (1) valor presente de los
activos = valor presente de los pasivos y (2) duración de activos =
duración de pasivos. La posición neta del portafolio sera insensible a
los cambios en TIR.
3.12 Estrategias de Arbitraje con Bonos
La conclusión del capitulo pasado (sobre arbitraje) es que en la medida que
haya un precio mal puesto siempre es posible arbitrar tal precio. En esta
28 CHAPTER 3 RENTA FIJA
oportunidad veremos una pequeña aplicación al caso de renta Þja (bonos).
Suponga que existen 3 bonos: (1) el bono A es un cero cupón a 1 período
plazo con TIR por 4%, (2) el bono B es un cero cupón con madurez de 2
períodos y TIR de 5%, y (3) el bono C es un bono con 2 cupones en cada
período por $1 y TIR por 4,25%.
Los precios de estos bonos son:
P (1) =
1
1.04
= 0.96154 (3.56)
P (2) =
1
1.052
= 0.90703 (3.57)
PC =
1
1.045
+
1
1.0452
= 1.8727 (3.58)
Dado que la suma del pago de los bonos A y B es igual al pago del bono
C, por ley de un sólo precio
PC = P
(1) + P (2) (3.59)
Lo cual es falso: 1.8727 > 0.96154 + 0.90703 = 1.8686. Esto implica la
existencia de una oportunidad de arbitraje. ¿Cuál? Todas las oportunidades
de arbitraje son iguales: hay que vender el activo caro y comprar el activo
barato. ¿En qué proporciones? En las que hagan cero todos los ßujos en
t = 1 . . . N . En este caso, esto es trivial, basta con comprar 1 unidad del
bono A y 1 unidad del bono B y vender 1 unidad del bono C.
Operación t = 0 t = 1 t = 2
Compra 1 unidad de bono A −P (1) 1 0
Compra 1 unidad de bono B −P (2) 0 1
Venta de 1 unidad de bono C +PC -1 -1
Flujo de Caja Neto PC − P (1) − P (2) = 0.0041 0 0
Chapter 4
Decisiones de Inversión Bajo
Incertidumbre
Hasta ahora nos dedicado a explicar como valorizar activos vía arbitraje.
Esto es, basta con conocer el precio de un activo, para valorizar otros activos
cuyos ßujos de caja sean combinaciones de activos con precios conocidos. No
obstante, nada hemos dicho acerca de la causa por la cual cierto inversionista
pudiera demandar cierto activo Þnanciero. Una característica de los activos
Þnancieros es que el valor de sus ßujos depende de la realización de estados
de la naturaleza caracterizados por distribuciones de probabilidades.
En los cursos tradicionales de microeconomía, vimos como las preferencias
de los consumidores sobre un conjunto de bienes, {c1, c2 . . . cN}, pueden ser
descritas por curvas de indiferencias., u (c1, c2 . . . cN ).
29
30CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
C1
C
2
Estas funciones de utilidad cumplen con propiedades estándares, utilidad
marginal del consumo es positiva, U 0 (·) > 0 y decreciente U 00 (·) < 0.
C
U
(C
)
El tema con los activos Þnancieros es que los pagos ofrecidos no son en
bienes sino en realizaciones de estados de la naturaleza. Estos estados de la
naturaleza tienen probabilidades asociadas a ellos, esto quiere decir que las
preferencias asociadas a activos Þnancieros deben ser funciones de realiza-
4.1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA 31
ciones de la naturaleza así como de sus respectivas probablidades. Suponga
que existenN posibles estados de la naturaleza {s1 . . . sN} con probabilidades
asociadas {p1 . . . pN}. Un activo Þnanciero pagará bienes por {c1 . . . cN} en
caso de realización de alguno de los estados de la naturaleza. De esta forma,
las preferencias de los agentes pueden ser descritas indistintamente como pref-
erencias sobre pago de bienes en cada estado de la naturaleza, V (c1 . . . cN) o
como preferencias sobre probabilidades de los estados U (p1 . . . pN). La intu-
ición es muy simple. Suponga que a usted le gusta mucho el consumo en el
estado 1 (c1), esto es equivalente a decir que le gusta mucho cierta distribu-
ción de probabilidad que asigna mucho peso al estado 1. Esto indica que
existen dos enfoques alternativos para representar preferencias sobre pagos
inciertos:
� Sobre el conjunto de pagos posibles en cada estado de la naturaleza,
V (c1 . . . cN).
� Sobre el conjunto de distribuciones de probabilidad de los estados,
U (p1 . . . pN ).
4.1 El Enfoque de la Utilidad Esperada
El enfoque de la utilidad esperada viene de suponer que existe independencia
de las preferencias sobre distribuciones de probabilidad. Esto es que la prob-
abilidad de un estado de la naturaleza no afecta mis preferencias sobre las
probabilidades del resto de los estados de la naturaleza. Bajo el supuesto de
independencia, las preferencias de los agentes pueden ser representadas por:
V (c1 . . . cN ) = U (p1 . . . pN) =
NX
i=1
pi·u (ci)⇐⇒ Indice de Utilidad Esperada
(4.1)
donde u (·) cumple con todas las propiedades estándares en una funcion
de utilidad.
Los primeros en notar el supuesto de independencia como condicion nece-
saria para la existencia de una representacion de utilidad esperada como (4.1)
fueron los economistas John Von Neumann y Oscar Morgenstern (1944). Por
lo tanto, muchas veces se suele hacer referencia al índice de utilidad esperada
como la representación de Von Neumann - Morgenstern.
32CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
Una importante implicancia del enfoque de la utilidad esperada es que nos
permite deÞnir la actitud de los agentes hacia el riesgo (i.e. incertidumbre).
Para efectos simpliÞcatorios, suponga que existen sólo 2 posibles estados de la
naturaleza, tal que la utilidad esperada es: E [U ] = p ·u (c1)+(1− p) ·u (c2).
Existen 3 casos posibles para deÞnir la actitud hacia el riesgo:
� Agente es averso al riesgo:
E [U ] = p · u (c1) + (1− p) · u (c2) < U [E] = u (p · c1 + (1− p) · c2)
(4.2)
Como es posible observar en el gráÞco siguiente, la aversión al riesgo
es una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal
decreciente, u00 (·) < 0. La intuición es que un agente averso al riesgo
siempre preÞere el valor seguro de una apuesta, U [E], al valor esperado
de tal apuesta, E [U ].
U
(C
)
C1 C2p*C1+(1-p)*C2
E[U]
U[E]
� Agente es preferente al riesgo:
E [U ] = p · u (c1) + (1− p) · u (c2) > U [E] = u (p · c1 + (1− p) · c2)
(4.3)
Como es posible observar en el gráÞco siguiente, la preferencia al riesgo
es una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal
4.1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA 33
creciente, u00 (·) > 0. La intuición es que un agente preferente al riesgo
siempre preÞere el valor esperado de una apuesta, E [U ], al valor seguro
de tal apuesta, U [E].
C1 C2p*C1+(1-p)*C2
E[U]
U[E]
� Agente es neutral al riesgo:
E [U ] = p · u (c1) + (1− p) · u (c2) = U [E] = u (p · c1 + (1− p) · c2)
(4.4)
Como es posible observar en el gráÞco siguiente, la neutralidad al riesgo
es una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal
constante, u00 (·) = 0. La intuición es que un agente neutral al riesgo
siempre está indiferente entre el valor esperado de una apuesta, E [U ]
y al valor seguro de talapuesta, U [E].
34CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
C1 C2p*C1+(1-p)*C2
E[U]=U[
EN GENERAL, PRACTICAMENTE TODAS LAS APLICACIONES
FINANCIERASASUMENQUE LOSAGENTES SONAVERSOSALRIESGO1.
4.2 Algunas Definiciones de Utilidad
4.2.1 Equivalente Cierto
Considere 2 posibles inversiones Þnancieras. La primera es una inversión
riesgosa que promete pagar un ßujo riesgoso,fW , La segunda es una inversión
libre de riesgo que promete pagar un valor Þjo, W , a todo evento.
Definition 10 W es el equivalente cierto de fW , si y sólo si un inversionista
averso al riesgo está indiferente entre ambos tipos de activos.
U
¡
W
¢
= E
h
U
³fW´i (4.5)
Esto, gráÞcamente, equivale a lo siguiente:
1Salvo que se explícite lo contrario, asumiremos que los agentes son aversos al riesgo.
4.3 GRADOS DE AVERSIÓN AL RIESGO 35
U
(W
)
W- E[W~]
E[U]=U[E
premio por 
riesgo
4.2.2 Premio Por Riesgo
Definition 11 El premio por riesgo (π) es el monto que un agente averso
al riesgo estaría dispuesto a pagar para evitar una inversión riesgosa.
U
³
E
hfWi− π´ = E hU ³fW´i (4.6)
Tanto E
hfWi como π son valores ciertos, por tanto es trivial notar que el
premio por riesgo se encuentra vinculado al concepto de equivalente cierto.
W = E
hfWi− π ⇔ π = E hfWi−W (4.7)
4.3 Grados de Aversión al Riesgo
La distincion entre aversión, preferencia o neutralidad al riesgo puede resultar
muy restrictiva si lo que, por ejemplo, nos interesa hacer es una comparación
entre el grado de aversión al riesgo del subconjunto de agentes aversos al
riesgo. En otras palabras, requerimos deÞnir una medida más precisa de la
curvatura del índice de utilidad esperada (más curvatura equivale a mayor
aversión al riesgo).
36CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
Si el índice de utilidad esperada es estrictamente creciente y dos veces
continuamente diferenciable, entonces es posible deÞnir el siguiente par de
medidas de aversión al riesgo.
Definition 12 Grado de Aversión Absoluta al Riesgo es el grado de aversión
de un agente a jugar un monto fijo absoluto en una lotería de precio justo.
AAR (W ) = −u
00 (W )
u0 (W )
(4.8)
Definition 13 Grado de Aversión Relativa al Riesgo es el grado de aversión
de un agente a jugar una proporción fija de su riqueza en una lotería de precio
justo.
ARR (W ) = −W · u
00 (W )
u0 (W )
(4.9)
Por deÞnición, tenemos que u00 (·) < 0. De tal forma que
grado de aversión al riesgo =

> 0 si el agente es averso al riesgo
= 0 si el agente es neutral al tiesgo
< 0 si el agente es preferente al riesgo

(4.10)
4.4 Preferencias en el Espacio de Media y
Varianza
Como veremos más adelante, en muchas aplicaciones resulta particularmente
útil suponer que la utilidad esperada se puede representar en un espacio de
media y varianza de las distribuciones de probabilidad sobre los estados de
la naturaleza. Existen dos formas de llegar a este resultado:
1. Suponer que las distribuciones de probabilidad de los retornos de los
activos Þnancieros pueden ser representados completamente por los 2
primeros momentos de su distribución. La única función de distribu-
ción (estable) que cumple con tal propiedad es la distribución Normal.
Lamentablemente, la distribución efectiva de retornos de activos gen-
eralmente tiende a no parecerse mucho a una distribución Normal.
4.4 PREFERENCIAS EN EL ESPACIO DE MEDIA Y VARIANZA37
2. Una segunda alternativa consiste en no imponer ninguna restricción
sobre la distribución de probabilidades sino que sobre la forma de la
función de utilidad esperada. Suponga que la función de utilidad es
cuadrática
u (W ) = αW 2 +W (4.11)
Por deÞnición, tenemos que
E (W ) = µW (4.12)
Mientras que la utilidad esperada es
E (u (W )) =
NX
i=1
pi ·
£
Wi + αW
2
i
¤
= E (W ) + αE
¡
W 2
¢
(4.13)
E (u (W )) = µW + αE
¡
W 2
¢
(4.14)
Por su parte, la deÞnición de la varianza de W es2
V ar (W ) = σ2W =
NX
i=1
pi · [Wi − µW ]2 = E
¡
W 2
¢− µ2W (4.15)
2Parta de la deÞnición de la varianza
V ar (W ) = E [W − µW ]2
= E
¡
W 2
¢− 2E (W · µW ) + µ2W
La deÞnición de la covarianza de W y µW es
Cov (W,µW ) = E [(W −E (W )) (µW −E (µW ))]
= E (W · µW )− µ2W
Como la covarianza entre una variable aleatoria (W ) y una constante (µW ) es siempre
cero
E (W · µW )− µ2W = 0
E (W · µW ) = µ2W
Reemplazando esto último en la deÞnición de la varianza de W
V ar (W ) = E
¡
W 2
¢− 2µ2W + µ2W
V ar (W ) = E
¡
W 2
¢− µ2W
38CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE
Reemplazando la expresión (4.15) en la deÞnición de la utilidad esper-
ada (ecuacion (4.14)), se obtiene que
E (u (W )) = µW + α
¡
σ2W + µ
2
W
¢
(4.16)
Las preferencias se encuentran perfectamente especiÞcadas por los primeros
dos momentos de una distribución aleatoria (la media y la varianza).
El problema con la función de utilidad cuadrática es que viola el supuesto
de no saciedad de una función de utilidad, u0 (·) > 0. Cuando α < 0,
u (W ) es decreciente para todo el rango de valores W > −1
2
α.
La simple intuición nos indica que a un agente averso al riesgo no le
gustará la varianza de riqueza tal que sus curvas de indiferencia en el espacio
de media y varianza tomarán la siguiente forma.
Var(W)
M
ed
ia
 d
e 
W
Por su parte, al agente preferente al riesgo le gustará tener mucha varianza
en su riqueza, tal que sus curvas de indiferencia en el espacio de media y
varianza tomarán la siguiente forma.
4.4 PREFERENCIAS EN EL ESPACIO DE MEDIA Y VARIANZA39
Var(W)
M
ed
ia
 d
e 
W
Finalmente, aquellos agentes con neutralidad al riesgo verán represen-
tadas sus preferencias en el espacio de media y varianza por el siguiente tipo
de curvas de indiferencia.
Var(W)
M
ed
ia
 d
e 
W
Chapter 5
Combinaciones de Activos
Durante el capítulo previo de este este curso nos dedicamos a demostrar que
de acuerdo a un grupo importante de supuestos1 es posible caracterizar las
preferencias de los consumidores en un espacio deÞnido por los dos primeros
momentos de una distribución aleatoria: la media y la varianza. Más aún, con
algún trabajo adicional, es posible demostrar que estas preferencias en media
y varianza son convexas2. Ahora bien, como es cierto en cualquier problema
de optimización bajo restricciones (como en que el por ejemplo un agente
intenta maximizar su función de utilidad sujeto a restricciones), es necesario
identiÞcar el set de posibilidades de inversión. Esto es lo que se conoce como
la Frontera de Posibilidades de Inversión, y cuyas propiedades son las
que, a continuación, se intentará caracterizar en más detalle.
5.1 El Caso de 2 Activos Financieros
DeÞnamos A y B como los dos únicos activos Þnancieros disponibles para
inversión. La media y varianza de ambos tipos de activos se expresará como
E (RA), E (RB) y σ2 (RA), σ2 (RB) respectivamente. Ademas, la proporción
de la riqueza invertida en el activo A se denotará α tal que (1− α) es la
proporción invertida en el activo B. De esta forma, el retorno esperado y
1Por ejemplo, que los retornos de los activos provengan de una distribución Normal
multivariada o que la función de utilidad de los inversionistas sea cuadrática.
2Por convexidad, nos referimos a que la combinación lineal entre dos canastas de con-
sumo indiferentes para el inversionista (A y B), es siempre preferida a A o B. Convexidad:
A ∼ B ⇒ αA+ (1− α)B Â A y B
41
42 CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS
la desviacion estándar del portafolio P constituido por la combinación de
ambos activos puede ser expresado como
E (RP ) = αE (RA) + (1− α)E (RB) (5.1)
σ (RP ) =
q
α2σ2 (RA) + (1− α)2 σ2 (RB) + 2α (1− α) cov (RA, RB)(5.2)
Sin embargo, como la covarianza entre RA y RB es por deÞnición:
cov (RA, RB) = σ (RA) σ (RB) ρA,B (5.3)
donde ρA,B es el coeÞciente de correlación entre los retornos de A y B.
Por deÞnición, tenemos que −1 < ρA,B < 1, donde ρA,B = −1 implica
que ambos activos están (perfectamente) negativamente correlacionados y
ρA,B = 1 implica que ambos activos están (perfectamente) positivamente
correlacionados. Reemplazando (5.3) en (5.2) obtenemosσ (RP ) =
q
α2σ2 (RA) + (1− α)2 σ2 (RB) + 2α (1− α)σ (RA)σ (RB) ρA,B
(5.4)
5.1.1 Sin Venta Corta de Activos
Supongamos por ahora que no existe venta corta de activos3 tal que 0 < α < 1
y analicemos entonces las propiedades de los portafolios contruídos como
combinación de los activos A y B. En primer lugar, note de la ecuación (5.1)
que la media del portafolio es una combinación lineal de la medias de cada
activo y no depende en ninguna forma de la correlación entre ambas clases
de activos. Por lo tanto, simplemente nos centraremos en lo que ocurre con
la desviación estándar del portafolio bajo distintos escenarios de correlación
de retornos entre activos.
� Caso 1: Activos perfectamente (positivamente) correlacionados ¡ρA,B = 1¢
Si ρA,B = 1, la ecuación (5.4) es simplemente
σ (RP ) = |ασ (RA) + (1− α) σ (RB)| (5.5)
3Se conoce como venta corta de activos, el caso en el cual un inversionista pide prestado
un activo Þnanciero para venderlo hoy pero tiene la obligación de restituirlo en el futuro.
En la practica, la venta corta permite mantener posiciones negativas en alguna clase de
activos, i.e. α < 0.
5.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS 43
donde el valor absoluto es necesario para asegurar que la solución del
problema cuadrático tome la raíz positiva del problema4. El gráÞco 1
muestra todas los portafolios posibles de alcanzar con combinaciones de
ambos tipos de activos, cuando E (RA) = 3%, σ (RA) = 1%, E (RB) =
10%, σ (RA) = 6%. El hecho de que la correlación entre los retornos
de ambos tipos de activos sea uno implica que todos los portafolios
compuestos por ambos activos estén sobre la linea recta que une ambos
activos.
B
A
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
ρA,B = 1.0
� Caso 2: Activos perfectamente (negativamente) correlacionados ¡ρA,B = −1¢
Si ρA,B = −1, la ecuacion (5.4) es simplemente
σ (RP ) = |ασ (RA)− (1− α)σ (RB)| (5.6)
donde el valor absoluto es necesario para asegurar que la solución del
problema cuadrático tome la raíz positiva del problema. El gráÞco 2
muestra todas los portafolios posibles de alcanzar con combinaciones de
4Por deÞnición, la desviación estándar es siempre positiva.
44 CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS
ambos tipos de activos, cuando E (RA) = 3%, σ (RA) = 1%, E (RB) =
10%, σ (RA) = 6%. El hecho de que la correlación entre los retornos de
ambos tipos de activos sea -1 implica que existe un portafolio que tiene
la propiedad de tener una desviación estándar igual a 0. En el gráÞco
2, este portafolio es el que corresponde al punto C. Simple algebra
nos permite determinar que el portafolio C es aquel que cumple con la
siguiente composición
α =
σ (RB)
σ (RA) + σ (RB)
5 (5.7)
C
B
A
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
ρA,B = −1.0
� Ademas, por simple inspección geométrica del gráÞco 2 es posible de-
terminar que cuando ρA,B = −1.0, toda la combinación posible de
portafolios se reduce a dos segmentos lineales (A − C y C − B). El
segmento A− C se describe por la siguiente recta
σ (RP ) = ασ (RA)− (1− α)σ (RB) si α > σ (RA)
σ (RA) + σ (RB)
(5.8)
5Reemplace σ (R) = 0 en 5.6 y resuelva para α.
5.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS 45
Mientras que el segmento C − B es simplemente la recta descrita por
σ (RP ) = (1− α)σ (RB)− ασ (RA) si α < σ (RA)
σ (RA) + σ (RB)
(5.9)
� Caso 3: Activos imperfectamente correlacionados ¡−1 < ρA,B < 1¢
En primer lugar, es importante resaltar el hecho de que independiente
del coeÞciente de correlación entre ambos tipos de activos, si se invierte
el 100% del riqueza en A (α = 1), tendremos que las ecuaciones (5.1)
y (5.2) se transforman en E (RP ) = E (RA) y σ (RP ) = σ (RA). De la
misma forma, si el 100% de la riqueza es invertida en el activo B (α =
0), las ecuaciones (5.1) y (5.2) se transforman en E (RP ) = E (RB) y
σ (RP ) = σ (RB). En este sentido, independiente de la composición del
portafolio su representación gráÞca en el espacio de media y desviación
estándar debe pasar por los puntos A y B.
Dado que −1 < ρA,B < 1, podemos decir lo siguiente acerca de la
ecuación (5.2):
σ (RP ) < ασ (RA) + (1− α) σ (RB) si ρA,B < 1 (5.10)
σ (RP ) > ασ (RA)− (1− α) σ (RB) si ρA,B > −1 (5.11)
En términos gráÞcos, esto implica que en el gráÞco 2, el portafolio
que combina los activos A y B, debe estar a la izquierda del segmento
A−B (ecuación (5.10)) y a la derecha del segmento A−C−B (ecuacion
(5.11)). En el siguiente graÞco, es posible apreciar los portafolios que
combinan A y B cuando −1 < ρA,B < 16.
6El gráÞco está construído con un valor ρA,B = −0.8.
46 CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS
A
B
C
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
ρA,B = −0.8
� Ahora bien cabe preguntarse porque la representación gráÞca de los
portafolios formados por A y B en el espacio de media y desviacion es-
tándar tienen una forma suavemente concava. Para clariÞcar el punto,
suponga que tuvieran una forma convexa como la línea punteada en el
siguiente gráÞco.
5.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS 47
C
B
A
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
u
v
� Como u y v se encuentran sobre la línea roja, estos portafolios deben
ser una combinacion de A y B. De esta forma, cualquier combinación
de A y B puede ser expresada como una combinación de los portafolios
u y v. Por lo tanto, aplica lo siguiente para el segmento de portafolios
entre u y v:
σ (RP ) < αuσ (Ru) + (1− αu) σ (Rv) si ρA,B < 1 (5.12)
σ (RP ) > αuσ (Ru)− (1− αu)σ (Rv) si ρA,B > −1 (5.13)
Esto implica que el segmento de portafolios ubicados entre u y v debe
estar necesariamente a la izquierda de la línea recta trazada entre u y
v, lo cual es contradictorio con una forma convexa para la combinación
de media y desviación estándar de los portafolios compuestos por A y
B.
5.1.2 Con Venta Corta de Activos
La venta corta de activos es una simple operación Þnanciera que consiste
básicamente en lo siguiente: pedir prestado un activo Þnanciero, el cual se
48 CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS
devolverá en algún punto en el futuro. En la práctica, esto es como ir a
solicitar un crédito en el banco. Siempre se puede ir a un banco y solicitar
un crédito a plazo que se devolverá como dinero más un cierto pago de
interés prepactado. La venta corta es lo mismo, se puede acudir al tenedor
de un activo, pedírselo prestado, venderlo, recaudar recursos para invertirlos
o consumirlos, comprarlo nuevamente en algún punto del futuro y devolverlo
a quien originalemente lo prestó. Suponga como hasta ahora que existen dos
activos Þnancieros: A y B. Usted podría acudir hasta donde un tenedor del
activo A, pedirle prestado su activo, vender A y con ese dinero comprar B.
En este sentido, su posición neta en el activo A sería negativa (α < 0) y
su posición neta en B sería mayor al 100%. De esta forma, y tal como se
aprecia en el siguiente gráÞco, el alzamiento de la restricción a la venta corta
de activos permite desplazar la combinación de alternativas alcanzables de
media y desviación estándar a la derecha de los puntos A y B.
B
A
-8.0%
-6.0%
-4.0%
-2.0%
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
14.0%
0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
Combinación de Activos A y B con Venta Corta de Activos
5.2 EXTENSIÓN A N ACTIVOS 49
5.2 Extensión a N Activos
En la medida que un portafolio compuesto por A y B es trivialmente imple-
mentable, este portafolio también puede ser combinado con un tercer activo
D para obtener nuevos portafolios que son combinación de A, B y D. Por lo
tanto, todo lo señalado en la sección anterior es trivialmente aplicable a una
situación con una cantidad N > 2 de activos Þnancieros7.
Suponga la existencia de un número Þnito N de activos Þnancieros y
deÞna αiP , αjP y σij como la proporción del portafolio P invertida en el
activoi, la proporción del portafolio P invertida en el activo j y la covarianza
entre activos i y j respectivamente. De esta forma, la media y la varianza de
un portafolio P puede ser descrita por el siguiente par de ecuaciones:
E (RP ) =
NX
i=1
αiPE (Ri) (5.14)
σ2 (RP ) =
NX
i=1
NX
j=1
αiPαjPσij (5.15)
Sabemos que la contribución del activo i a la media (retorno) del portafo-
lio es simplemente E (Ri), ahora nos gustaría establecer la contribución de
ese mismo activo a la varianza (riesgo) del portafolio. Para eso, reescribamos
la ecuacion (5.15) como
σ2 (RP ) =
NX
i=1
αiP
Ã
NX
j=1
αjPσij
!
(5.16)
De manera obvia, el término
PN
j=1 αjPσij es la contribución del activo i
a la varianza (riesgo) del portafolio P . Es importante notar que este término
es la contribución de i al riesgo de un único portafolio, P . La contribución
al riesgo de cualquier otro portafolio dependerá de la composición de tal
portafolio. Analícemos un poco más en detalle la contribución de i al riesgo
del portafolio P . Este puede fácilmente ser descompuesto en dos partes.
NX
j=1
αjPσij = αiPσ
2 (Ri) +
NX
j=1
j 6=i
αjPσij (5.17)
7Siempre puedo agrupar una cantidad grande de activos en dos portafolios distintos y
construir combinaciones de dos portafolios.
50 CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS
El primer término a la derecha de la ecuación (5.17) es el porcentaje de
P invertido en i multiplicado por la varianza de i. Este término es comple-
tamente idiosincrático al activo i debido a que no depende de otro activo j.
Ahora bien el segundo término a la derecha de la ecuación (5.17) si depende
del resto de los activos en P . Si la covarianza entre el activo i y el activo j
(que tambien forma parte del portafolio P ) es negativa, entonces el términoPN
j=1
j 6=i
αjPσij es obviamente negativo8. Por lo tanto, a pesar de que la var-
ianza de cualquier activo es, por deÞnición, siempre positiva, no es posible
determinar a priori si la contribución de un activo al riesgo del portafolio
será positiva (y de qué magnitud) en la medida que es necesario conocer su
covarianza con el resto de activos. Su covarianza con el resto de los compo-
nentes del portafolios (los activos j) puede ser negativa y contribuir a reducir
el riesgo (varianza del portafolio).
En este punto, ya conocemos la contribución de un activo a la media y
la varianza de un portafolio. No obstante, surge la pregunta obvia: ¿a qué
portafolio nos referimos? Supongamos de nuevo que se poseen tres alter-
nativas de inversión: A, B y D. En el siguiente gráÞco, se muestran tres
combinaciones posibles de activos: la combinación de A y B, la combinación
de B y D y la combinación de A y D.
8Obviamente, asumiendo que αjP > 0, esto es que existe prohibición a la venta corta
de activos.
5.2 EXTENSIÓN A N ACTIVOS 51
B
A
D
-4.0%
-2.0%
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
Un portafolio como P puede estar en cualquiera de esas combinaciones o
en alguna adicional que incluya a los tres activos (esas combinaciones no se
graÞcan aquí). En el siguiente capítulo, nos referiremos a las combinaciones
eÞcientes entre N activos y que son los únicos portafolios en los cuales un
inversionista tipo estará interesado en invertir.
Chapter 6
La Frontera Eficiente
6.1 El Concepto de Diversificación de Activos
En Þnanzas resulta habitual escuchar analistas recomendar estrategias de
inversión basadas en la diversiÞcación de activos. En tal contexto, el concepto
de diversiÞcación no se reduce más que a una estrategia del tipo de no colocar
todos los "huevos" en la misma canasta. No obstante, este concepto es un
poco más profundo que la simple idea de no colocar todos los "huevos" en
la misma canasta. De acuerdo a la ecuación (5.17) en el pasado capítulo,
es posible cuantiÞcar la contribución de un activo al riesgo (varianza) del
portafolio. Como ya se señaló, existe un riesgo idiosincrático a cada activo
que es su propia varianza. Pero cada activo se mueve también en algún grado
con el resto de los activos de ese portafolio (la covarianza). Un par de activos
con covarianza negativa, en los cuales se invierte en montos positivos1, tendrá
una contribución negativa al riesgo (varianza) del portafolio. No obstante,
tal estrategia no implica necesariamente una diversiÞcación eÞciente de los
riesgos de mercado.
Suponga el siguiente ejemplo donde existen tres alternativas de inversión
(A, B y D) cuyas medias, varianzas y covarianzas se detallan en el siguiente
cuadro.
1Esto es sin venta corta.
53
54 CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE
Media Varianza-Covarianza A B D
A 3% A 0.25% -0.01% 0.01%
B 10% B 0.36% -0.02%
D 4% D 0.16%
Uno podría decir entonces que, dado que existen pares de covarianzas
negativas entre activos, podriamos formar portafolios que reducen el riesgo
(varianza) de los activos individuales. Seleccionemos un portafolio E con
proporciones arbitrariamente Þjas en un tercio de la riqueza para cada activo.
Aplicando las ecuaciones (5.14) y (5.15), podemos representar este portafolio
E en el espacio de media y desviacion estándar (siguiente gráÞco).
B
D
A
EF
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
Este portafolio E tiene la menor desviación estándar al compararlo con
los activos individuales (fruto de covarianzas negativas). No obstante, es
posible también construir un portafolio F de igual media y menor desviación
estándar que E. Este portafolio F se compone de 24% invertido en A, 32%
invertido en B y 44% invertido en D, de tal forma que cuesta lo mismo que
el portafolio E. Resulta obvio que F domina a E en la medida que ofrece
igual retorno (media) con menor riesgo (desviación estándar). Por lo tanto,
ningún inversionista racional podría diversiÞcar su portafolio de acuerdo a
6.2 CARACTERIZACIÓN GRÁFICA DE LA FRONTERA EFICIENTE55
E si lo puede hacer mejor diversiÞcando como en F. Esto es la base de una
diversiÞcación eÞciente, tengo que buscar combinaciones eÞcientes que me
reduzcan al mínimo la desviación estándar de un portafolio. Cualquier otro
portafolio que a pesar de reducir la varianza de los activos individuales no
reduzca al máximo el riesgo diversificable no puede ser considerado un
portafolio eÞciente.
6.2 Caracterización Gráfica de la Frontera Efi-
ciente
Tal como es posible encontrar un portafolio de menor desviación estándar
que E pero con igual retorno esperado (media). Este ejercicio es también
posible de implementar para todo el espacio de retornos esperados. En el
siguiente gráÞco, la línea punteada muestra los puntos de menor desviación
estándar para cada nivel de retorno generados como la combinación lineal de
los activos individuales A, B y D.
B
D
A
EF
0.0%
2.0%
4.0%
6.0%
8.0%
10.0%
12.0%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
La linea punteada es lo que se conoce como la Frontera Eficiente, y
corresponde a todos los portafolios de mínima desviación estándar para cada
nivel de retorno. Todos los activos contenidos en tal frontera son también
56 CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE
conocidos como Portafolios de Mínima Varianza. En la siguiente sección
nos referiremos a las propiedades únicas que comparten todos losPortafolios
de Mínima Varianza.
6.3 Propiedades de la Frontera Eficiente
En la sección previa hemos delineado la base de la diversiÞcación. Esto
puede ser formalizado algebraicamente con algo más de cuidado. Suponga
que existenN activos disponibles. Lo que buscamos son portafolios eÞcientes,
es decir combinaciones deN activos que reduzcan al mínimo la varianza de un
portafolio para cada nivel de media (retorno). DeÞnamos la varianza de un
portafolio como σ2 (RP ) =
PN
i=1
PN
j=1 αiPαjPσij, entonces los portafolios de
mínima varianza (MV) son la solucion al siguiente problema de optimización.
min
{αiP }N
σ2 (RP ) (6.1)
sujeto al siguiente par de restricciones
NX
i=1
αiPE (Ri) = E (RMV ) (6.2)
NX
i=1
αiP = 1 (6.3)
dondeE (RMV ) se reÞere al nivel de retorno esperado (media) para el
cual se pretende minimizar la varianza del portafolio.
Tal como es estándar en cualquier problema de optimización con restric-
ciones, su solución requiere en primer lugar la implementación de un la-
grangeano.
L = σ2 (RP ) + 2λMV
"
E (RMV )−
NX
i=1
αiPE (Ri)
#
+ 2φMV
"
1−
NX
i=1
αiP
#
(6.4)
donde 2λMV y 2φMV corresponden a los multiplicadores lagrangeanos
de las restricciones (6.2) y (6.3). Ahora bien, la solución al problema de los
portafolios de mínima varianza corresponde a N condiciones de primer orden
6.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE 57
del siguiente tipo, ∂L
∂αiP
= 0,
NX
j=1
αjMV σij − λMVE (Ri)− φMV = 0 (6.5)
donde αjMV son las proporciones de cada activo invertidas en el portafolio
de mínima varianza (MV) con retorno esperado E (RMV ). Como la ecuación
(6.5) se satisface para todo activo i es cierto entonces que se satisface para
un activo k
NX
j=1
αjMV σkj − λMVE (Rk)− φMV = 0 (6.6)
Igualando el lado derecho de las ecuaciones (6.5) y (6.6) obtenemos
NX
j=1
αjMV σkj − λMVE (Rk) =
NX
j=1
αjMV σij − λMVE (Ri) (6.7)
Multiplicando ambos lados de la expresion 6.7 por αkMV obtenemos
NX
j=1
αkMV αjMV σkj−λMV αkMVE (Rk) =
NX
j=1
αjMV σijαkMV−λMVE (Ri)αkMV
(6.8)
Sumando la expresión previa para todo k, se tiene que
NX
k=1
NX
j=1
αkMV αjMV σkj−λMV
NX
k=1
αkMVE (Rk) =
NX
j=1
αjMV σij
NX
k=1
αkMV−λMVE (Ri)
NX
k=1
αkMV
(6.9)
Reordenado términos
σ2 (RMV )− λMVE (RMV ) =
NX
j=1
αjMV σij − λMVE (Ri) (6.10)
E (Ri)− E (RMV ) = 1
λMV
"
NX
j=1
αjMV σij − σ2 (RMV )
#
(6.11)
La ecuación (6.11) es particularmente relevante porque nos indica que
la diferencia de retorno esperado entre cualquier activo i y un portafolio de
58 CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE
mínima varianza es una relación lineal entre la diferencia entre la contribución
al riesgo del activo i en el portafolio de mínima varianza (
PN
j=1 αjMV σij) y
el riesgo total del portafolio de mínima varianza (σ2 (RMV )). Más aún, la
pendiente de esa relación lineal es la inversa de un medio del multiplicador
de lagrange de la restricción (6.2).
Cuesta interpretar intuitivamente la pendiente de la relación (6.11), ya
que depende de un multiplicador de lagrange que no es observable. Sin
embargo, de acuerdo al TEOREMA DE LA ENVOLVENTE, sabemos por
deÞnición que un multiplicador lagrangeano es la tasa de cambio del objetivo
ya minimizado (σ2 (RMV )) cuando se cambia el valor de la restricción (6.2).
2λMV =
dσ2 (RMV )
dE (RMV )
⇐⇒ Teorema de la Envolvente (6.12)
DeÞnamos γMV como la pendiente de la frontera eÞciente en cualquier
portafolio de mínima varianza, tal que
γMV =
dE (RMV )
dσ (RMV )
(6.13)
1
γMV
=
dσ (RMV )
dE (RMV )
(6.14)
Podemos aplicar la regla de diferenciación de la cadena sobre la expresión
anterior para obtener lo siguiente
dσ (RMV )
dE (RMV )
=
dσ (RMV )
dσ2 (RMV )
dσ2 (RMV )
dE (RMV )
(6.15)
dσ (RMV )
dE (RMV )
=
1
2σ (RMV )
dσ2 (RMV )
dE (RMV )| {z }
2λMV , ec. 6.12
(6.16)
dσ (RMV )
dE (RMV )
=
λMV
σ (RMV )
=
1
γMV
(6.17)
1
λMV
=
γMV
σ (RMV )
(6.18)
Por lo tanto, la pendiente de la relación lineal entre retorno esperado y
contribución al riesgo del portafolio de míninima varianza (ecuacion (6.11)) es
el cuociente entre la pendiente de la frontera eÞciente en cualquier portafolio
6.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE 59
de mínima varianza y la desviación estándar de ese portafolio de mínima
varianza. Reemplazando la expresión (6.18) en la ecuación (6.11), se obtiene
E (Ri)− E (RMV ) = γMV
σ (RMV )
"
NX
j=1
αjMV σij − σ2 (RMV )
#
(6.19)
E (Ri) = E (RMV )− γMV σ (RMV ) +
γMV
σ (RMV )
NX
j=1
αjMV σij| {z }
cov(Ri,RMV )
(6.20)
E (Ri) = E (RMV )− γMV σ (RMV ) + γMV
cov (Ri,RMV )
σ (RMV )
(6.21)
La pregunta relevante en este punto es, ¿qué cosa es la pendiente de la
frontera eÞciente? El siguiente gráÞco se muestra la pendiente de la frontera
eÞciente para un portafolio de mínima varianza (MV)2. Se detalla también ahí
un portafolio (0,MV) que pertenece a la pendiente de la frontera eÞciente en
el portafolio MV, pero que corta el eje de las Y en el punto cero de desviación
estandar. Ese portafolio 0,MV es lo que se conoce como el portafolio de beta
cero.
2O lo que es lo mismo, sobre la frontera eÞciente.
60 CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia MV
0,MV
Por construcción geométrica, la pendiente de la frontera eÞciente en el
punto MV es
γMV =
E (RMV )− E (R0,MV )
σ (RMV )
(6.22)
Reemplazando (6.22) en (6.21), se obtiene la siguiente expresión
E (Ri) = E (RMV )−E (RMV )−E (R0,MV )
σ (RMV )
σ (RMV )+
E (RMV )−E (R0,MV )
σ (RMV )
cov (Ri,RMV )
σ (RMV )
(6.23)
E (Ri) = E (R0,MV ) + [E (RMV )− E (R0,MV )] cov (Ri,RMV )
σ2 (RMV )| {z }
βi,MV
(6.24)
La ecuación (6.24) nos presenta una simple relación lineal que vincula
el retorno esperado (media) de un activo i con su contribución al riesgo
del portafolio de mínima varianza MV. βi,MV es la contribución del ac-
tivo i al riesgo del portafolio de mínima varianza MV como porcentaje
del riesgo (varianza) total del portafolio MV. De esta forma, el término
6.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE 61
[E (RMV )− E (R0,MV )] βi,MV puede ser interpretado como el premio por
riesgo sobre el retorno de MV en la relación entre el retorno esperado del
activo i y su contribución al riesgo del portafolio MV. Si el activo i, no con-
tribuye al riesgo del portafolio MV, tenemos que βi,MV = 0, y por tanto
el activo i no tiene riesgo en relación al portafolio MV. En este sentido, la
ecuacion (6.24) indica que el retorno esperado en cualquier activo i es igual
al retorno esperado en un activo que no tiene riesgo en relación al portafolio
MV más un premio por riesgo que es la diferencia entre el retorno esperado
en el portafolio MV y el portafolio 0,MV multplicado por βi,MV .
Chapter 7
Equilibrio de Mercado
Al momento de analizar las propiedades de los portafolios de mínima varianza
(la frontera eÞciente) no nos hemos referido en ninguna forma a las prefer-
encias de los consumidores. En este punto sólo sabemos que ellos tienen
preferencias sobre los dos primeros momentos (media y varianza) de ditribu-
ciones aleatorias de retornos. Cabe la pregunta, ¿cuáles son los puntos que
seleccionan estos inversionistas? Lo poco que sabemos hasta ahora es que
elegirán portafolios sobre el segmento superior de la frontera eÞciente. Esto
es relativamente obvio en la medida que ubicarse en el segmento inferior de
la frontera siempre permite una estrategia en puntos de mayor retorno para
el mismo desvío estandar. Sin embargo, resulta bastante obvio que distintos
inversionistas, con distintas preferencias, invertirán en portafolios distintos
tal cual como, a continuación, se graÞca.
63
64 CHAPTER 7 EQUILIBRIO DE MERCADO
0%
2%
4%
6%
8%
10%
12%
0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%
Desviacion Estandar
M
ed
ia
0,MV
Dado que conocemos interesantes propiedades de los puntos en la fron-
tera1, nos gustaría saber si es que portafolios que si observamos2 se ubican
sobre la frontera eÞciente y por lo tanto comparten las propiedades de los
portafolios que se ubican sobre la frontera. Esta pregunta es en extremo rel-
evante porque envuelve una pregunta aún más importante, existe equilibrio
en el mercado tal que los portafolios agregados que observamos son parte de
la frontera eÞciente.
7.1 La Definición de Equilibrio de Mercado
¿Por qué nos interesa el equilibrio de mercado? ReÞérase a sus notas de
clases de Microeconomia I, la existencia de un equilibrio de mercado implica
la existencia de un único set de precios que vacía los mercados. Por lo tanto,
la existencia de un equilibrio nos asegura que existe un set de precios únicos
al cual los inversionistas transan activos.
1Por ejemplo, que existe una relación lineal entre el retorno esperado de cualquier activo
y su contribución al riesgo de un portafolio en la frontera.
2Por ejemplo, índices