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Pontificia Universidad Católica de Chile Escuela de Administración Ayudantía 1 - Finanzas I (A220B) Primer Semestre de 2013 Profesor: Julio Riutort (1) Arbitraje y activos de Arrow-Debreu Suponga que en t = 1 existen 2 estados de la naturaleza (Si; i = 1, 2) y la matriz de pagos es la siguiente: Pagos S1 S2 Precio en t = 0 Activo 1 1 1 0.9 Activo 2 1 2 1.5 a) Encuentre los precios de los activos de Arrow-Debreu (AD) en este mercado. b) Encuentre la tasa de interés en este mercado Suponga que se introduce al mercado un tercer activo con pagos (0.1; 1) cuyo precio es 0.85 en t = 0. c) Calcule los precios de AD que se pueden derivar de los activos 1 y 3. Comparar estos precios con los de (b) e interprete. d) Cree un portafolio que le permita explotar las oportunidades de arbitraje si estas existen. Suponga ahora que en t = 1 existen 3 estados de la naturaleza (Si; i = 1, 2, 3) y la matriz de pagos es la siguiente: Pagos S1 S2 S3 Precio en t = 0 Activo 1 1 1 1 0.9 Activo 2 1 2 3 1.55 e) Complete este mercado usando una opción Call sobre el activo 2. (2) Arbitraje y activos de Arrow Debreu Considere una economía de dos períodos similar a la que vimos en clase. Las dotaciones de los agentes son las siguientes: Agente w0 w1 w2 1 10 1 5 2 5 4 6 Los agentes tienen la siguiente función de utilidad: U (c0, cs) = c1 + E [ln (cs)], y las propabilidades de los estados son prob (s1) = 13 = 1− prob (s2) . Obtenga el precio de los activos Arrow-Debreu (en término de consumo en t = 0) y calcule el valor hoy de la dotación t = 0 del agente 2. (3) Completar mercados dinámicamente La idea de este ejercicio es entender cómo se puede completar un mercado con secuencias de transacciones en activos de corta duración. Suponga que los estados del mundo se definen al tirar una moneda. En t = 1 hay dos estados posibles: cara y sello. Se vuelve a tirar la moneda en t = 2 y por lo tanto hay 3 estados (o “historias”) posibles al final de este período: que hayan salido hasta el momento 2, 1 ó 0 caras. En cada período hay dos activos: el activo “cara”cuesta $0.50 y paga $1 si sale una cara o $0 si sale sello. El activo “sello”cuesta $0.50 y paga $1 si sale sello o $0 de lo contrario. 1 a) Construya un portafolio con los activos “cara” y “sello” que pague $1 si y sólo si salen 2 caras. Calcule el precio de este portafolio. En t = 2 hay tres estados de la naturaleza y se pide aquí construir el activo Arrow-Debreu que paga en uno de esos estados (el estado “2 caras”). Existen otros dos activos de Arrow-Debreu que se usarán en la pregunta que sigue. b) Suponga que existe una opción Call que expira en t = 2 con precio de ejercicio (K) $0.5 y que está escrita sobre el número de caras. Formalmente, este activo paga max(C−K) donde C es el número de caras (2, 1 ó 0 caras). Por ejemplo, cuando salen dos caras la opción paga $1.50. ¿De acuerdo a la ausencia de arbitraje, qué precio tiene la opción en t = 0? (Pista: replique los pagos de la opción usando los activos de Arrow-Debreu obtenidos en (a)). c) Muestre una estrategia de inversión con los activos “cara”y “sello”que replique los pagos de la opción. d) Suponga que la moneda que se tira está cargada y que en realidad la probabilidad de que salga cara es 2/3 en vez de 1/2. Sin embargo, los precios y pagos de los activos “cara”y “sello”no cambian. Recalcule el precio de la opción. (4) Activos de Arrow Debreu a) Usted observa los siguientes activos con sus correspondientes pagos dependientes del estado: Activos Estados 3 7 81 2 9 7 16 25 ¿Es este mercado completo? b) ¿Es la siguiente estructura completa? Activos Estados 1 5 12 3 6 14 12 7 16 15 8 20 Si el mercado no es completo, intruduzca un activo derivado que lo complete. 2
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