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Apuntes 3

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Augusto Castillo, Finanzas II 61
VARIACIONES EN TASAS DE INTERES, RIESGO DE TASA 
DE INTERES Y SENSIBILIDAD A LA TASA DE INTERES
• Distintos bonos “reaccionan” a los mismos cambios en tasa de 
interés de manera distinta. Algunos son más “sensibles” que otros.
Ejemplo :
• Los bonos de mayor plazo tienden a ser más sensibles a cambios en 
r, pero no podemos generalizar (a menos que “todas” las otras 
características del bono se mantengan constantes).
Augusto Castillo, Finanzas II 62
¿Cómo medir sensibilidad de un Bono a ∆s en r?
DURACÍON DE MACAULAY:
Es una medida de elasticidad
¿Cómo se calcula?
Es decir como un promedio ponderado de los ≠ vencimientos de los 
flujos de caja que ofrece el bono. La duración de un bono es en general 
negativa, por eso el cambio de signo.
)1/()1(
/
yy
PPD
++∆
∆=
∑
=
−=
T
t
twtD
1
*
B
t
tt
t P
yCF
w
)1/( +
=
2
Augusto Castillo, Finanzas II 63
Duración Modificada
•Indica el ∆% en el precio provocado por un cambio en la tasa de 
interés!
•Esto hace más fácil su uso, al evitar medir el cambio porcentual de la 
tasa de interés.
)1(
1*
y
DD
+
•+=
y
PPD
∆
∆−= /*
Augusto Castillo, Finanzas II 64
Derivación de la fórmula de duración:
Si ∑
= +
=
T
t
t
t
y
CF
P
1 )1(
1
1
)1(**
)1(
−−
=
+−=
+
∑ t
T
t
t yCFtyd
dP
P
y
yy
CFt
yd
dP T
t
t
t )1(/
)1(
1*
)1(
*
)1( 1
+•
++
−=
+ ∑=
3
Augusto Castillo, Finanzas II 65
¿Cómo se relaciona duración con?
a.- Vencimiento (ver caso cero-cupón y con y cupón)
b.- Tasa del cupón (ver caso vencimiento constante)
c.- Tasas de descuento (YTM o TIR)
Duración: D = f (T, c, y)
¿Cómo podemos usar/interpretar la Duración?
•Elasticidad del precio a variaciones en r.
•Plazo de vencimiento promedio de los flujos del activo.
•Veremos los posibles usos, relacionados con la posibilidad de 
administrar riesgo de tasa de interés.
t
t
t
T
t
w
D
P
yCF
t
yyd
PdP =
+
−=
++ ∑=
)1/(
*
1/)1(
/
1
Augusto Castillo, Finanzas II 66
1.- Duración de una Cartera
• Un bono puede ser visto como una cartera de bonos cero cupón
• La duración de ese bono es ≈ el plazo de vencimiento de los flujos 
del bono (o de los bonos cero-cupón que componen este bono)
o sea
• La duración de una cartera de bonos complejos es entonces también 
igual al ponderado de los plazos de vencimiento de esos bonos.
P
yCF
wwtD
t
tt
t
T
t
t
)1/(
1
+
=•−= ∑
=
x
x
∑
∑
=
=
=
++==•=
n
i
ip
np
p
i
ii
n
i
ip
pp
ppp
p
p
xxDD
1
1
1
.....,
4
Augusto Castillo, Finanzas II 67
• Notar que la Duración de una cartera de activos es entonces, por
definición, un promedio ponderado de las duraciones de los activos 
que componen esa cartera, en que los ponderadores son precisamente 
las proporciones del monto total invertidas en cada activo.
• Una primera aplicación de este concepto es entonces construir carteras 
de activos (compuestas sólo de bonos por ejemplo) que tenga la menor 
exposición posible a variaciones en la tasa de interés.
• Podríamos construir una cartera de bonos cuya duración fuese por
ejemplo -3.0, o incluso podríamos exigir a esta cartera que su duración 
fuese de 0. Obviamente para que se cumpla que la duración sea cero, si 
todas las duraciones individuales son negativas, debe ser cierto que 
tomo posiciones cortas en algunos de estos activos.
• Ejemplo: Da = -4 y Db = -8, puedo combinarlos y hacer que Dp sea 0?
• Basta con resolver: Dp = wa *Da +(1-wa)*Db
• Esto arroja wa = 2 y wb = -1
Augusto Castillo, Finanzas II 68
2.- Otras Aplicaciones:
Los activos y pasivos de una empresa tienen plazos distintos y por 
ende exponen a los dueños del patrimonio al riesgo de variaciones en 
tasa de interés.
¿Cómo reducir la exposición?
¿Calce perfecto de plazos de activos y pasivos? ¿Es eso recomendable?
¿Inmunizar el Patrimonio ?: Esto es hacer que la duración del patrimonio 
sea cero.
Ejemplos:
Si la duración de los activos y pasivos de una empresa, y sus valores 
de mercado son: 
Activos Pasivos
Duración -10 -20
Valor 300 100
5
Augusto Castillo, Finanzas II 69
a) ¿Cómo afecta a esta empresa alzas y bajas en la tasa de interés?
b) ¿Cuánto cambia el valor del patrimonio si la (1+r) ∆+ en 3%?
c) ¿Cómo se puede inmunizar el patrimonio?
(a) 
De: 
Augusto Castillo, Finanzas II 70
(b) Si (1+r) ∆+ 3% el valor del patrimonio cae 15%
Valor activos cae 30% 300 210
Valor deuda cae 60% 100 40
Valor patrimonio cae 15% 200 170
(c) ¿Cómo inmunizar?
• Podemos cambiar la composición de activos y/o de pasivos para 
inmunizar vía ∆s en DA, DD , o podemos cambiar los valores de 
A y D (o la razón D/A)
6
Augusto Castillo, Finanzas II 71
Ejemplo: ¿Qué razón D/A hace inmune a ∆s en r al P?
Supongamos:
Resolver:
Resolver para D.
o notar que si 
003,,
20,10,300
=+
===
PDconalteradosserpuedenPD
DDA BA
P
D
D
P
A
DD DAp •−•=
D
D
D −
−
−
=
300
*20
300
300
*100
P
DD
P
ADD DAp /
•=
/
•⇒= 0
Augusto Castillo, Finanzas II 72
Solución es: 
A
D
D
D
D
A =⇒
→===
2
1
20
10
D
A
D
D
A
D
150== PD
Es decir que si la razón deuda activos de esta empresa en este ejemplo 
fuese de 0.5 entonces el patrimonio de la empresa estaría inmunizado a
variaciones en la tasa de interés.
7
Augusto Castillo, Finanzas II 73
DURACION Y HORIZONTE DE INVERSION
Otra interpretación (aplicación) para el concepto de duración:
Si tomo un bono o cartera de bonos con vencimiento en T, pero con 
pagos previos en otros períodos, y si mi plazo u horizonte de inversión 
es S entonces (supongamos S < T)
• Para los flujos con vencimiento en t < S ∃ riesgo de reinversión
• Para los flujos con vencimiento en t < S ∃ riesgo de precio.
• Ambas fuentes de riesgo reaccionan en forma opuesta a los 
cambios en r (dar ejemplo)
• Puedo inmunizar mi cartera construyéndola de forma que la 
duración de la cartera sea igual al horizonte de inversión deseado.
Augusto Castillo, Finanzas II 74
Ejemplo:
Existen 2 bonos cero cupón, a A B
2 y 8 años
Ambos ofrecen pagos de $100 al vencimiento r = 10%
Invierto $ 500 en c/u
Si “invierto” un 50% de mi $ en c/u:
Veamos cómo afecta ∆r a inversionistas con distinto horizonte!
707.1087.46
053.626.82
===
===
BBB
AAA
nDP
nDP
55.0*85.0*2 =+=pD
8
Augusto Castillo, Finanzas II 75
Augusto Castillo, Finanzas II 76
• Es decir:
• Si bien en general para carteras de inversión que generan 
flujos de caja antes y después de la fecha que 
denominamos “horizonte de inversión” es cierto que existe 
exposición a un riesgo de reinversión para los flujos que se 
generan antes de HI y existe un riesgo de precio para los 
flujos posteriores a HI, está comprobado que si la cartera 
posee una duración (en valor absoluto) idéntica a HI, 
entonces nos hemos inmunizado a variaciones en la tasa de 
interés.
• Esta consideración puede ser útil (por ejemplo) para quien 
administra fondos de pensiones, en que el HI, léase la 
fecha de jubilación, es conocida.
9
Augusto Castillo, Finanzas II 77
Otras Consideraciones:
1.- Convexidad:
i. La duración cambia c/vez que cambia r. La relación entre P y r es 
convexa
- La duración es por ende un indicador 
fidedigno de la sensibilidad sólo ante 
cambios muy pequeños en r.
ii. Convexidad mide ; si un inversionista sigue una estrategia de 
inmunización deberá hacer ajustes cada vez que ∆r y por ende deseará 
(en especial si los costos de transacción no son triviales) mantener una 
cartera de bonos con baja convexidad.
dr
dD
Augusto Castillo, Finanzas II 78
iii. Ojo: inmunización y costos transacción
Bonos sin cupones tienen baja convexidad
2.- Sólo en el caso de bonos cero cupón, pero para los 
otros bonos (con cupones) ocurre que:
Si sigo estrategia inmunización debo corregir las 
carteras de inversión y en este caso se hace 
relevante nuevamente el tema de costos transacción.
1=
dt
dD
⇒< 0.1
dt
dD
10
Augusto Castillo, Finanzas II 79
Duración Modificada y Convexidad
• Existe una medidade duración modificada que es más 
popular entre los usuarios:
• La relación entre ambas duraciones es entonces 
que:
• Una estimación más exacta de la variación del 
precio del activo si cambia y es:
y
PP
D
∆
∆
=
/*
)1(
*
y
D
D
+
=
Augusto Castillo, Finanzas II 80
2* )(
2
1
yConvexityyD
P
P
∆+∆=
∆
Notar que si la tasa de interés cae o si sube el efecto 
convexidad tiene siempre el mismo signo. 
La convexidad se mide de la siguiente manera:
¿Es deseable o no deseable la convexidad?
∑
=






+
++
=
T
t
t
t tt
y
CF
yP
Convexity
1
2
2 )()1()1(
1

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