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Augusto Castillo, Finanzas II 81
DECISIONES DE INVERSION BAJO INCERTIDUMBRE
(TEORÍA DE LA UTILIDAD)
• Esta teoría busca explicar la forma en que los individuos toman deci-
siones de inversión en un entorno en que existe incertidumbre en las 
inversiones, y en que las personas manifiestan a través de sus 
preferencias un cierto grado de aversión al riesgo.
• La incertidumbre se modela aquí como una situación en que se conoce 
las distribuciones de probabilidad de los proyectos de inversión, es decir 
se conoce los posibles retornos que generará la inversión, pero se desco-
noce cuál de los posibles eventos futuros realmente ocurrirá. Se asume 
sin embargo que las probabilidades de esos eventos sí son conocidas.
• También se supone que las preferencias del individuo, su grado de 
aversión al riesgo, es conocido y se exterioriza en una determinada 
función de bienestar. Esto permite representar esas preferencias en 
curvas de indiferencia que se suponen aquí se “comportan 
apropiadamente”.
Augusto Castillo, Finanzas II 82
DECISIONES DE INVERSION BAJO INCERTIDUMBRE
(TEORÍA DE LA UTILIDAD)
Supuestos:
-2 Períodos (t = 0, t = 1)
-Se decidió invertir W0 en t = 0
-La inversión generará un flujo en t =1 
-Incertidumbre: los inversionistas no saben cuánto rendirá la inver-
sión, pero sí conocen la distribución de probabilidades de los posib les 
flujos o retornos que generará la inversión.
Ejemplos :
-Flujo sigue proceso binomial(distribución discreta).
-Flujo sigue proceso normal (distribución contínua):
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Augusto Castillo, Finanzas II 83
La Teoría de la Utilidad supone que los individuos son capaces de 
tomar decisiones de inversión haciendo consideraciones respecto al 
impacto en bienestar que distintas alternativas tienen sobre ellos.
Para que la teoría de la utilidad se cumpla es necesario exigir una serie 
de condiciones entre las que se cuentan los “axiomas de la utilidad 
cardinal”
Los Axiomas de la Utilidad Cardinal son:
1) Comparabilidad: Dado un set de alternativas inciertas S, 
para todo X, Y que pertenezcan a S un individuo será capaz 
de establecer si o si o si 
2) Transitividad o Consistencia:
Si y si entonces 
YX f YX p YX ≈
YX f ZY f ZX f
Augusto Castillo, Finanzas II 84
3) Independencia Fuerte
Para todo X, Y, Z con Alfa entre 0 y 1, si X Y
Si esto implica que:
G(X,Z, ) G(Y,Z, )
4) Continuidad o Medibilidad
Para todo X, Y, Z, si entonces:
Existe un tal que Y G(X,Z, )
5) Ranking
Si X preferido a Z y > entonces:
G (X, Z, ) será preferido a G (X, Z, )
α
α α≈
ZYX ff
α ≈ α
1α 2α
1α 2α
≈
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Augusto Castillo, Finanzas II 85
• Los 5 axiomas de la utilidad cardinal simplemente 
garantizan las condiciones mínimas para que las curvas de 
indiferencia que representan las preferencias sean bien 
comportadas, es decir que sean contínuas, y que no se 
corten entre sí si representan niveles de bienestar distintos.
• Esto permitirá a un inversionista la posibilidad de 
comparar alternativas de inversión y emitir un juicio 
respecto a cuál de esas alternativas valora más, o si de 
hecho está indiferente entre ambas, y evitará que el diga 
“no soy capaz de emitir un juicio”.
Augusto Castillo, Finanzas II 86
Además de los 5 axiomas ya mencionados, la “Teoría de la 
Utilidad” incorpora dos supuestos adicionales:
1) La utilidad marginal de la riqueza es positiva (o sea más es 
preferido a menos).
2) La utilidad marginal de la riqueza es decreciente. Este segundo
supuesto equivale a suponer aversión al riesgo.
Osea la U(W) es creciente y cóncava.
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Augusto Castillo, Finanzas II 87
La Teoría de la Utilidad supone en definitiva que:
I. Los individuos son racionales y capaces de comparar alternativas
de inversión.
II. Prefieren más a menos.
III. Los individuos son aversos al riesgo.
IV. Los individuos Maximizan E[U (w1)], es decir la utilidad o 
bienestar esperado de la riqueza del próximo período.
Donde:
Riqueza esperada
Utilidad de la riqueza esperada 
Utilidad esperada de la riqueza
Aversión al riesgo implica que:
∑
=
=
n
i
iiWpWE
1
)(
[ ] 


= ∑
=
n
i
iiWpUWEU
1
)(
[ ] 


= ∑
=
n
i
ii WUpEWUE
1
)()(
[ ] [ ])()( WUEWEU 〉
Augusto Castillo, Finanzas II 88
Un ejemplo:
Usted dispone de $100 y puede invertir en :
a) Un activo libre de riesgo que ofrece un retorno de: rf = 5%
b) Un proyecto que requiere una inversión de 100 y que rinde 150 
(con probabilidad 0.5) ó 60 (con probabilidad de 0.5)
La riqueza esperada resultante de invertir en las opciones A y B son:
E (w1
A) = 100* 1.05 = 105
Ε (w1
B) = 0.5 * 150 + 0.5 * 60 = 105
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Augusto Castillo, Finanzas II 89
Es decir ambas alternativas ofrecen la misma rentabilidad esperada, 
que en este caso corresponde a:
E(r) = (105 – 100) / 100 = 5.0%.
Pero la segunda alternativa es riesgosa pues el retorno a obtener no es 
seguro.
Una forma de considerar esta diferencia sería utilizar funciones de 
bienestar que midan la satisfacción o el bienestar que generan las 
distintas alternativas de inversión. Estas funciones de bienestar 
debieran considerar que los individuos son aversos al riesgo.
Esto se logra con funciones de bienestar en que la utilidad marginal de 
la riqueza es positiva pero decreciente.
Augusto Castillo, Finanzas II 90
Un caso en que estas condiciones se cumplirían es el siguiente: Si las 
preferencias de un individuo están representadas por:
U (W1) = W1
1/2
Entonces:
U(W1
A) = 1051/2 = 10,25
E[U(W1
B)] = 0.5 * 1501/2 + 0.5 * 601/2 = 9,99
El prefiere (Obtiene mayor bienestar de “A” (porque A es más 
seguro)
Es decir una función de bienestar exponencial, si el exponente es me-
nor que 1, cumple con el requisito de representar aversión al riesgo.
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Augusto Castillo, Finanzas II 91
Equivalente Cierto y Premio por Riesgo:
Si un individuo enfrenta una alternativa de inversión riesgosa, el nivel 
de bienestar que esa alternativa le reporte será menor que el nivel de 
bienestar que una alternativa de inversión igualmente rentable pero 
segura le reportaría.
Obviamente esto será cierto si el individuo presenta aversión al riesgo.
Para este individuo será posible entonces encontrar aquella alternativa 
de inversión segura que será para él tan atractiva como la inversión 
riesgosa. Esa alternativa (que debiera ser menos rentable) la 
denominaremos el “equivalente cierto” de la alternativa riesgosa.
Augusto Castillo, Finanzas II 92
Denominaremos premio por riesgo (personal) a la diferencia entre la 
riqueza esperada que genera una cierta alternativa de inversión 
riesgosa, y el equivalente cierto de esa alternativa de inversión.
PR = E(W) –EC 
El PR será positivo si el individuo presenta aversión al riesgo.
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Augusto Castillo, Finanzas II 93
Medidas de Aversión al Riesgo
Aversión al Riesgo Absoluta (ARA)
A mayor ARA menor será el monto total de su riqueza que un indiv iduo 
invertirá en activos riesgosos.
A medida que la riqueza de un individuo cambia en una u otra dirección, 
su ARA puede cambiar también. Es interesante mirar cómo cambia
ARA ante cambios en W.
Si ARA aumenta al aumentar la riqueza, esto indica que el individuo se 
ha hecho más averso al riesgo en términos absolutos y por ende el monto 
que está dispuesto a invertir en activos riesgosos debiera disminuir.
Ver signo de :
)(
)(
WU
WUARA
′
′′
−=
dW
dARA
Augusto Castillo, Finanzas II 94
Aversión al Riesgo Relativa (RRA ó ARR)
A mayor RRA menor será la proporción de su riqueza que un individuo 
invertirá en activos riesgosos.
A medida que la riqueza de un individuo cambia en una u otra 
dirección, su RRA puede cambiar también. Es interesante mirar cómo 
cambia RRA ante cambios en W.
Si RRA aumenta al aumentar la riqueza, esto indica que el individuo se 
ha hecho más averso al riesgo en términos relativos y por ende la 
proporción que está dispuesto a invertir en activos riesgosos debiera 
disminuir.
Ver signo de:
W
WU
WURRA *
)(
)(
′
′′
−=
dW
dRRA
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Augusto Castillo, Finanzas II 95
Ejemplos de Funciones de Bienestar:
Logarítmica
Cuadrática
Exponencial
Potencia
Para cada una de estas funciones obtener ARA, RRA, y los cambios en 
ARA y RRA que provocan cambios en la riqueza W.
Analizar: ¿Son algunas de estas funciones más o menos razonables 
como representaciones de las preferencias de individuos 
aversos al riesgo? Por que sí o por que no.
)ln()( WWU =
2)( aWWWU −=
aWeWU −−=)(
aWWU −−=)(
Augusto Castillo, Finanzas II 96
Propiedad de las Funciones de Utilidad
Si U1(W) es apropiada para representar las preferencias de un 
individuo, entonces una segunda función de bienestar U2(W) que 
sea una transformación lineal de la primera tambíen lo será.
U2(W) = A + B * U1(W) 
Demostración: Obtenga ARA y RRA de 2 en función de 1.