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Augusto Castillo, Finanzas II 97
Teoría Media - Varianza
La Teoría media-varianza propone que los inversionistas sólo les 
preocupa dos atributos de las alternativas de inversión:
- Valor esperado de la riqueza resultante: E(W1)
- Varianza de la riqueza resultante: Var(W1)
Como hemos supuesto que el monto a invertir W0 está definido, esto 
equivale a suponer que los individuos sólo consideran los siguientes 
atributos de las inversiones:
Retorno Esperado: E(rp)
Varianza de los Retornos : Var(rp)
En que definimos retorno como:
0
01 )(
W
WWrp
−=
Augusto Castillo, Finanzas II 98
La teoría de la utilidad y la teoría media-varianza no son 
necesariamente equivalentes; la teoría de la utilidad es mucho 
más general. De hecho para que ambas teorías sean equivalentes 
se debe cumplir una de las siguientes condiciones:
a) Que los individuos posean funciones de bienestar cuadráticas:
U(W) = a*W – b*W2
b) Que los retornos de los activos posean funciones de distribución 
normales
r ∼ N (µ,σ)
2
Augusto Castillo, Finanzas II 99
Para los incrédulos, vean este ejemplo:
PROYECTOS E1 (p = 0.1) E2 (p = 0.9)
A 110 210
B 290 190
Aquí verán que:
E (WA) = 110 * 0.1 + 210 * 0.9 = 200
VAR (WA) = (110 - 200)2 * 0.1 
+ (210 - 200)2 * 0.9 = 900
N
E (WB) = ∑ pi * WAi = 200
i=1
N
VAR(WB)=∑ Pi * [WBi - E(WB)]2 =900
i=1
Augusto Castillo, Finanzas II 100
Es decir que ambos proyectos son, de acuerdo con la teoría media -
varianza, igualmente atractivos.
Pero si analizamos estas inversiones del punto de vista de la teoría de la 
utilidad y suponemos que el bienestar del inversionista está representado 
por la función de bienestar:
U = W1/3
Entonces encontraremos que los proyectos generan los siguientes 
niveles de bienestar:
E[U(W1A)] = 5,82 
E[U(W1B)] = 5,84 
Es decir que B  A (B es preferido a A)
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Augusto Castillo, Finanzas II 101
¿Por qué las teorías media/varianza y teoría de la utilidad son 
equivalentes cuando los individuos poseen funciones de utilidad 
cuadráticas?
En ese caso tenemos que:
U(W) = aW – bW2
Según la teoría de la utilidad estos individuos maximizarán utilidad 
esperada:
E(U(W)) = E(aW – bW2)
= aE(W) – bE(W2)
Existe una relación entre el valor esperado de el cuadrado de una 
variable y la varianza de esa variable:
Augusto Castillo, Finanzas II 102
Var(W) = E(W-E(W))2
= E(W2 + E(W)2 – 2WE(W))
= E(W2) + E(W)2 – 2E(W)2
= E(W2) - E(W)2
Si despejamos de aquí E(W2) y reemplazamos en la fórmula de la 
página anterior obtenemos:
E(U(W)) = aE(W) – bE(W)2 - bVar(W) 
De aquí debiera ser evidente que maximizar utilidad esperada en este 
caso equivale a considerar riqueza esperada y varianza de la riqueza 
como las únicas variables relevantes para el inversionista.
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Augusto Castillo, Finanzas II 103
¿Por qué las teorías media/varianza y teoría de la utilidad son 
equivalentes cuando los proyectos de inversión poseen retornos que 
distribuyen normal?
La distribución normal es especial en el sentido de que la función de 
distribución queda descrita en su totalidad si conocemos dos 
parámetros: E (rp) y Var (rp). 
Esto nos lleva a concluir que dos proyectos que posean idénticos
retornos esperados e idénticas varianzas de retornos serán en realidad 
idénticos y por lo tanto los inversionistas, independientemente de 
cuáles sean sus funciones de bienestar, estarán indiferente entre ellos.
Augusto Castillo, Finanzas II 104
TEORIA MEDIA-VARIANZA
La teoría media-varianza o teoría de carteras desarrollada por Harry
Markovitz supone que:
Los inversionistas desean mayor retorno esperado:
N
E(r) = ∑ pi* ri 
i=1 
Los inversionistas desean menor varianza de los retornos:
N
VAR (r) = ∑ pi*(ri - E(ri))
2
i=1
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Augusto Castillo, Finanzas II 105
¿Cómo medimos Varianza del retorno de un activo?
La varianza se obtiene por distintos caminos:
a) Definición:
Var (r) = E [r - E (r)]2
= E [r2 + E (r)2 - 2 r E (r)]
= E [r2] + E (r)2 - 2 E (r)2
= E [r2] - E [r]2
Si conocemos la distribución de probabilidades de los posibles 
retornos, podemos calcular la varianza usando la siguiente fórmula:
N
b) VAR (r) = ∑ (ri - E (r))
2 * pi
i=1
Augusto Castillo, Finanzas II 106
En que existen N posibles valores de r, cada uno con una cierta 
probabilidad de ocurrencia.
Finalmente, muchas veces vamos a contar con información histórica 
que nos permita estimar una varianza. El estimador de varianza que 
normalmente se utiliza es:
T
c) VAR (r) = ∑ (rt - r )
2 *(1/(T-1)) 
t=1 
¿Por qué medir riesgo con varianza?
¿Es esta la medida relevante siempre?
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Augusto Castillo, Finanzas II 107
¿Otras medidas?
- Rango: Rango = Rmax - Rmin
- Rango Interquartil: RIQ = R75% - R25%
- Semivarianza
A diferencia de la mayoría de las otras medidas de dispersión, la 
varianza:
No sólo mide dispersión en torno a la media sino que también considera 
qué tan probables son esos valores.
¿ Y si sólo me interesa el downside risk?
¿Y si los retornos no son simétricos en torno a la media?
Augusto Castillo, Finanzas II 108
• Antes de discutir la teoría media varianza es recomendable 
que los alumnos repasen las principales propiedades de 
variables aleatorias (varianzas y covarianzas). Esto está
• Algunos ejemplos:
• Var(x+a) =
• Var(a*x) =
• Cov(a*x, b*y) =
• Cov(a*x+c, b*y+d) =
• Si y = a + b*x + c*z , encuentre la covarianza entre x e y.
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Augusto Castillo, Finanzas II 109
1) EL CASO DE “CARTERAS” DE 1 ACTIVO
De aquí concluyo que:
- A domina a B
- D domina a C
¿Puedo “comparar” A con D? ¡Sólo si conozco U(µ , σ) !
Augusto Castillo, Finanzas II 110
2) EL CASO DE CARTERAS CON 2 ACTIVOS
Sabemos que:
VAR (r) = E [r2] - E [r]2
¡Usando esta propiedad podemos obtener varianza de la cartera!
En el caso con N=2 activos tendremos que:
El retorno de una cartera p compuesta por estos dos activos se 
calculará como:
rp = r1* w1 + r2 *w2
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Augusto Castillo, Finanzas II 111
El retorno esperado de esta cartera se medirá como:
E(rp) = E[r1w1 + r2w2] = w1 * E( r1) + w2 * E( r2)
La varianza de esta cartera se puede obtener usando la propiedad
descrita más arriba como:
σ2rp = E[rp
2] - E[rp]
2
σ2rp = E[(r1 w1 + r2 w2)
2] - E[r1 w1 + r2 w2]
2
Desarrollando llegamos a:
σ2rp = w
2 [E (r1
2) - E (r1)
2] + w2
2 [E (r2
2) - E (r2)
2]
+ 2*w1*w2 [E (r1 * r2) - E (r1) * E (r2)]
Augusto Castillo, Finanzas II 112
Y finalmente a:
σ2rp = w1
2 σ1
2 + w2
2 σ2
2 + 2w1 w2 σ12
Donde:
σ12 = COV (r1, r2) = E ((r1i - E(r1)) (r2i - E (r2)) 
Un ejemplo:
Proyecto e1 (p=1/2) e2 (p=1/2) E(r) σr
1 20% 10% 15% 5%
2 8% 12% 10% 2%
Si invierto w1 =w2 = 0.5 en estos activos entonces obtendré
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Augusto Castillo, Finanzas II 113
evento1 : r = 0,2 * 0.5 + 0.08 * 0.5 = 0,14
evento2 : r = 0,1* 0.5 + 0.12 * 0.5 = 0,11
Notar que se puede entonces calcular el retorno esperado de la cartera y 
la varianza del retorno de la cartera por dos caminos: El primero es 
usando directamente los retornos posibles de la cartera en los dos 
eventos.
125.05.0*11.05.0*14.0**)( 2211 =+=+= epepp pRpRRE
( )
000225.05.0*)125.011.0(5.0*)125.014.0(
*)(
22
2
1
2
=−+−=
−= ∑
=
j
M
j
ppjRp pRERσ
Augusto Castillo, Finanzas II 114
• El segundo camino es calcular retorno esperado y varianza de 
la cartera en función de los retornos esperados y de las 
varianzas individuales.
En que la covarianza entre ambos activos ha sido calculada con 
la fórmula:
125.010.0*5.015.0*5.0)(*)(
1
=+== ∑
=
i
N
i
ip REwRE
000225.0
001.0*5.00004.0*25.00025.0*25.0
2 2,121
2
2
2
2
2
1
2
1
2
=
−++=
++= σσσσ wwww
pR
( )( ) jj
M
j
j pRERRER *)()( 22
1
112,1 −−=∑
=
σ
10
Augusto Castillo, Finanzas II 115
Notar que:
El riesgo de la cartera (desviación estándar de los retornos) es en este 
ejemplo de 1.5%.
Los activos individuales tenían desviaciones estándar de retornos de 
5% y 2% por lo que el riesgo promedio de los activos en la carte ra en 
nuestro ejemplo es de 3.5%.
Esto es DIVERSIFICACIÓN, cuando el riesgo de una carteraes menor 
que el riesgo promedio de los activos en la cartera, es decir cuando:
La pregunta es: ¿qué se necesita para que ocurra diversificación? La 
intuición es que algo tiene que ver con los valores que tome la 
covarianza.
2211 σσσ wwRp +<
Augusto Castillo, Finanzas II 116
En nuestro ejemplo la covarianza era negativa.
¿qué significa eso exactamente?
¿Qué mide la covarianza entre 2 variables?
- Mide el grado de Asociación entre 2 variables. Esa relación puede 
ser positiva o negativa (o muy cercana a cero).
Pero se dice que sólo el signo entrega información confiable, la 
magnitud no sería informativa.
¿Por qué?
¿qué podemos deducir de la siguiente información?
Cov(Ra,Rb) = 0.12
Cov(Ra,Rc) =0.24
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Augusto Castillo, Finanzas II 117
El coeficiente de correlación es una medida mucho más informativa. 
Es la covarianza corregida por la volatilidad de ambas variables. Este 
indicador se calcula de la siguiente manera:
El coeficiente de correlación toma valores que van desde:
= +1 : correlación positiva perfecta
> 0 : correlación positiva
= 0 : no existe correlación
< 0 : correlación negativa
= -1 : correlación negativa perfecta
ji
ji
ji σσ
σ
ρ ,, =
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
Augusto Castillo, Finanzas II 118
¿En cuáles de estos casos se produce diversificación?
a) Si 12 = + 1.0
σ2rp = w1
2 σ1
2 + w2
2 σ2
2 + 2 w1 w2 σ1 σ2
= (w1 σ1 + w2 σ2)
2
σrp = (w1 σ1 + w2 σ2) 
Este caso lo podemos representar gráficamente como:
ρ
12
Augusto Castillo, Finanzas II 119
En que los puntos sobre la línea recta que une los puntos 1 y 2 en el 
gráfico representa las combinaciones de riesgo y retorno que ofrece una 
cartera compuesta por estos dos activos en distintas proporciones.
Notar que en este caso no ocurre diversificación, porque el riesgo (DE) 
de la cartera es exactamente igual al riesgo promedio de los activos que 
componen la cartera. Aún así puedo hacer que σrp sea 0.
b) Si 1,2 < + 1.0
En este caso concluímos que:
σrp < (w1 σ1 + w2 σ2)
Es decir que aquí ocurre diversificación porque el riesgo (DE) de la 
cartera es menor que el riesgo promedio de los activos en la cartera.
El grado de diversificación alcanzable dependerá del valor del coefi-
ciente de correlación. Mientras más alejado de + 1.0 mayor será el 
grado de diversificación alcanzable.
ρ
Augusto Castillo, Finanzas II 120
El grado de diversificación alcanzable dependerá del valor del coefi-
ciente de correlación. Mientras más alejado de + 1.0 mayor será el 
grado de diversificación alcanzable.
Aquí:
Mostrar gráficamente las combinaciones de riesgo y retorno 
alcanzables con combinaciones de 2 activos, para distintos coeficientes 
de correlación.
Ver el caso en que coeficiente de correlación es 0.0, y ver el caso en 
que el coeficiente de correlación es –1.0
Si 1,2 = -1.0 σ2rp = w1
2 σ1
2 + w2
2 σ2
2 - 2 w1 w2 σ1 σ2
= (w1 σ1 - w2 σ2)
2
σrp = (w1 σ1 - w2 σ2)
ρ
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Augusto Castillo, Finanzas II 121
De aquí concluimos que en el caso en que combinamos dos activos es 
incluso posible construir una cartera con cero riesgo.
Determinación de la cartera de mínima varianza:
De:
σ2rp = w1
2 σ1
2 + (1-w1)
2 σ2
2 + 2 w1 (1- w1) σ1 σ2 12
Podemos obtener la cartera de mínima varianza .
Condición:
Despejo W1 de la ecuación que resulta de igualar a cero la primera 
derivada de la varianza con respecto a W1 .
ρ
Augusto Castillo, Finanzas II 122
EL CASO DE CARTERAS COMPUESTAS 
POR N ACTIVOS ( N ≥ 2 )
El retorno de la cartera se calcula como:
N
rp = Σ W i ri
i=1
El retorno esperado de la cartera se calculará entonces como:
N
E(rp) = Σ W i E (ri)
i=1
La varianza de los retornos de la cartera se calculará entonces como:
N N
σrp
2 = Σ Σ W i W j σi,j
i=1 j=1
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Augusto Castillo, Finanzas II 123
En que esta última expresión puede ser obtenida reemplazando las
expresiones de rp y de E(rp) en la definición de varianza de los retornos 
de un activo introducida al comienzo de la presentación de teoría de 
carteras.
¿Qué tan relevantes son entonces las varianzas y covarianzas en 
una cartera compuesta por N activos?
La expresión anterior posee N2 términos. Esta doble sumatoria puede 
ser descompuesta de la siguiente manera:
N N N 
Var(rp) = Σ Σ W i W j σi,j + Σ W i
2σi
2
i=1 j=1 i=1
Si i ≠ j Si i = j
Augusto Castillo, Finanzas II 124
Es decir que:
σrp2 está determinada por N varianzas y 
( N2 - N ) covarianzas. Entonces el peso relativo de las covarianzas
aumenta con N.
La siguiente tabla muestra cómo el peso relativo de las covarianzas
aumenta con N.
N # Varianzas # Covarianzas Peso Covs
1 1 0 0%
2 2 2 50%
3 3 6 67%
10 10 90 90%
100 100 9900 99%
Aquí es posible apreciar que incluso en carteras tan pequeñas como 
aquellas que incluyen sólo 10 activos, las covarianzas adquieren un 
peso significativo.
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Augusto Castillo, Finanzas II 125
Ejemplo: Supongamos que una cartera está compuesta por N activos, y 
que en cada activo se invierte en una proporción de 1/N. 
Encuentre en este caso una expresión para la varianza de la cartera 
compuesta por estos N activos.
Respuesta:
Simplificando nos queda:
Aquí se aprecia que cuando N es grande el peso de las varianzas 
individuales puede ser despreciable, y que el peso relativo de las 
covarianzas promedio es en cambio enorme.
2
,2
2
2 )(
ijip N
N
N
NN
σσσ +
−
=
2
,
2 1)
1
1( ijip NN
σσσ +−=
Augusto Castillo, Finanzas II 126
Diversificación y número de activos en la cartera
El grado de diversificación de una cartera también dependerá del 
número de activos que componen una cartera.
En la medida que entre los activos de una cartera no exista correlación 
perfecta, entonces es posible comprobar que el riesgo de la cartera 
disminuye a medida que se agrega activos a dichas cartera (suponiendo 
que los nuevos activos son similares a los anteriores tanto en varianza 
como en correlación con el resto de los activos).
La mayor parte de la diversificación que es posible de obtener 
aumentando activos en una cartera ocurre al comienzo, es decir cuando 
llevamos el número de activos en la cartera desde 1 a 15 ó 20.
El impacto marginal de aumentar el tamaño de las carteras por sobre 20 
activos no es muy significativo.
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Augusto Castillo, Finanzas II 127
Ejemplo: Supongamos que las proporciones invertidas en cada activo 
son siempre de 1/N. Si tomamos activos con varianza de retornos de 
0.09 y aumentamos el número de activos en la cartera, el impacto en el 
riesgo de la cartera será el siguiente (dependiendo de cuál sea el grado 
de correlación entre los activos en la cartera):
Si el coeficiente de correlación es + 1.00
N DE
1 0.300
2 0.300
5 0.300
10 0.300
15 0.300
20 0.300
100 0.300
Augusto Castillo, Finanzas II 128
Si el coeficiente de correlación es + 0.75:
Si el coeficiente de correlación es + 0.50:
N DE
1 0.300
2 0.281
5 0.268
10 0.264
15 0.263
20 0.262
100 0.260
N DE
1 0.300
2 0.260
5 0.232
10 0.222
15 0.219
20 0.217
100 0.213
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Augusto Castillo, Finanzas II 129
Si el coeficiente de correlación es + 0.25:
Si el coeficiente de correlación es + 0.00:
N DE
1 0.300
2 0.237
5 0.190
10 0.171
15 0.164
20 0.161
100 0.152
N DE
1 0.300
2 0.212
5 0.134
10 0.095
15 0.077
20 0.067
100 0.030
Augusto Castillo, Finanzas II 130
Gráficamente:
La forma de esta curva dependerá de el coeficiente de correlación 
(promedio) que exista entre los activos en la cartera.
Aquí es posible identificar dos componentes de riesgo en una cartera: 
Uno es el riesgo de mercado, también llamado riesgo no sistemático, y 
también llamado riesgo diversificable .
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Augusto Castillo, Finanzas II 131
El otro componente es el llamado riesgo único, o riesgo 
sistemático, o riesgo no diversificable .
Todo activo o cartera de activos tendrá un riesgo total 
compuesto por estas dos partes. El peso relativo de cada uno de
estos componentes dependerá de qué tan bien diversificadase 
encuentre la cartera.
Si la cartera está bien diversificada, se esperaría que el riesgo de 
la cartera esté principalmente (o completamente) compuesta por 
riesgo de mercado y que el riesgo único halla sido diversificado.
Augusto Castillo, Finanzas II 132
Posibilidades de Inversión, Frontera de Mínima Varianza, 
Frontera Eficiente, y Decisiones de Inversión.
Las Posibilidades de Inversión que enfrenta un inversionista la 
componen no sólo las N alternativas de inversión individuales 
que enfrenta sino además todas las carteras de tamaño menor o 
igual que N que puede generar combinando esos N activos. Las 
posibilidades de inversión se representan gráficamente de la 
siguiente manera:
Posibilidades 
de Inversión
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Augusto Castillo, Finanzas II 133
La Frontera de Mínima Varianza se genera como la envolvente 
de todas las posibles carteras que se puede obtener combinando 
los N activos individuales en carteras con N o menos activos. El 
proceso formal supone obtener para cada posible nivel de retorno
esperado aquella cartera que permite obtener ese retorno 
esperado con la mínima varianza de retornos posible.
Augusto Castillo, Finanzas II 134
La Frontera Eficiente corresponde a las alternativas de 
inversión que no son claramente dominadas por otras alternativas
de inversión al alcance del inversionista. Se obtiene al 
identificar para cada posible nivel de exposición al riesgo 
(medido por un cierto nivel de varianza de los retornos de esa 
cartera) aquella cartera que ofrece el mayor nivel posible de 
retorno esperado.
Frontera
Eficiente
20
Augusto Castillo, Finanzas II 135
Decisiones de Inversión en Ausencia y En Presencia de 
un Activo Libre de Riesgo.
En Ausencia:
Si no existe un activo libre de riesgo, entonces los inversionistas 
enfrentarán alternativas de inversión en activos riesgosos. Los
inversionistas en este caso indentificarán la frontera eficiente que ellos 
enfrentan y seleccionarán aquella cartera eficiente que les reporte 
mayor bienestar.
En la selección de la cartera óptima intervendrán entonces las 
preferencias de los individuos, en particular el grado de aversión al 
riesgo de cada uno de ellos.
En el gráfico, el individuo A es más averso al riesgo que el individuo 
B y por ende decide invertir en una cartera menos riesgosa.
Augusto Castillo, Finanzas II 136
En Presencia:
Las combinaciones de riesgo y retorno a las que se puede accede r 
combinando un activo libre de riesgo (F) con un activo (o con una 
cartera de activos riesgosos) está representado por la línea recta que 
une los puntos F y 1 en el gráfico.
Esto es fácil de comprobar si observamos que en este caso el retorno 
esperado de la cartera compuesta por estos dos activos sería:
fp rwrEwrE )1()()( 111 −+=
21
Augusto Castillo, Finanzas II 137
La varianza de los retornos de esta cartera sería en este caso igual a:
σr p
2 = w1
2 σ1
2 +w2
2 σ2
2 + 2 w 1w 2 σ1σ2 12
Si 2 es F : σ2
2 = 0 , σ1,2 = 0
σr p
2 = w 1
2 σ1
2
σr p = w 1 σ1
De aquí se concluye que todos los inversionistas querrán combinar la 
cartera libre de riesgo con la misma cartera de activos riesgosos, 
independiente de su grado de aversión al riesgo.
Augusto Castillo, Finanzas II 138
La nueva frontera Eficiente entonces corresponderá a la línea recta 
que nace en el eje vertical desde el punto F y que es tangente a la 
frontera de activos riesgosos (ex frontera eficiente). Todos desean 
mantener la cartera de activos riesgosos M.
De aquí se concluye que los inversionistas estarían dispuestos a
delegar su decisión de inversión en activos riesgosos en terceros. Lo 
que sí decidirían por sí mismos es cuánto poner en F y cuánto poner 
en M.
E(r)
σ
M
F