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1
Augusto Castillo, Finanzas II 139
EQUILIBRIO EN EL MERCADO DE CAPITALES
La teoría de carteras o teoría media varianza desarrollada por Harry
Markovitz, y que nosotros discutimos en las últimas sesiones indica 
como un individuo selecciona la cartera óptima de inversión si 
enfrenta múltiples alternativas de inversión riesgosas, exista o no un 
activo libre de riesgo.
A continuación discutiremos algunos modelos de equilibrio en el 
mercado de capitales. Lo que estos modelos hacen es analizar y 
proponer la relación que en equilibrio debiera darse entre el retorno 
esperado de un activo y las medidas de riesgo relevante para ese
activo.
El más importante de estos modelos, que discutiremos en profundidad 
en este curso es el Modelo de Valoración de Activos de Capital 
(MVAC ó CAPM).
Augusto Castillo, Finanzas II 140
El MVAC ó CAPM
El CAPM establece una relación entre el “riesgo relevante” de un activo 
y el retorno que se le exige a ese activo.
El “riesgo relevante” es una medida de cómo afecta al riesgo de la 
cartera M la incorporación de un activo riesgoso.
En la teoría de carteras el riesgo relevante de un activo Y para un cierto 
inversionista con una cartera X lo definimos como la covarianza entre el 
retorno de ese activo Y y los retornos de la cartera X que mantuviera ese 
inversionista. Esta covarianza se obtenía como un promedio ponderado 
de las covarianzas entre Y y los activos que componían la cartera X.
Esta era una medida de riesgo a nivel individual pues para un segundo 
inversionista con una cartera Z el riesgo de Y se representaría por la 
covarianza entre los retornos de X y Z.
2
Augusto Castillo, Finanzas II 141
El CAPM ofrece una visión más general, en el sentido de que propone una 
medida de riesgo de un activo que se supone es considerada como apro-
piada por todos los inversionistas que existen en una determinada econo-
mía.
Principales Supuestos del CAPM:
Los inversionistas son tomadores de Precios. Sus decisiones de inversión 
no afectan los precios de los activos.
Inversionistas Miopes: Toman decisiones con un horizonte de inversión de 
1 período.
Todos los activos son transables.
Augusto Castillo, Finanzas II 142
Se puede prestar o pedir prestado sin límites a la tasa libre de riesgo.
La oferta agregada del activo libre de riesgo es cero.
No existe impuestos ni costos de transacción.
Los inversionistas son maximizadores en el espacio media - varianza.
Los inversionistas poseen expectativas homogeneas. O sea ven las 
mismas alternativas de inversión, coinciden totalmente en su apreciación 
de las características que esas alternativas de inversión poseen, y en el 
grado de inter-relación que existe entre las distintas alternativas de 
inversión. También existe total coincidencia en la visión económica 
presente y futura del mundo que los rodea.
3
Augusto Castillo, Finanzas II 143
Principales Conclusiones del CAPM
Todos los inversionistas ven las mismas posibilidades de inversión en 
activos riesgosos, por lo que coinciden las fronteras de mínima varianza 
y fronteras eficientes de activos riesgosos que todos ellos visualizan.
Todos desearán combinar el activo libre de riesgo F con la misma cartera 
de activos riesgosos M de la frontera de mínima varianza, en su 
segmento eficiente. 
La mezcla óptima de M y F que cada uno desee dependerá de las 
preferencias individuales de los inversionistas, es decir de su grado de 
aversión al riesgo.
En equilibrio la oferta y la demanda por el activo libre de riesgo 
coinciden exactamente. La oferta agregada es cero.
Augusto Castillo, Finanzas II 144
En equilibrio la composición de M representa la demanda por activos 
riesgosos de cada individuo y coincide con la demanda agregada por 
activos riesgosos. Esta demanda agregada coincide además exactamente 
con la oferta agregada de cada uno de los activos riesgosos que existe en 
esta economía.
El MVAC también ofrece respuesta a dos preguntas planteadas 
anteriormente:
1)Cuál es la medida apropiada de riesgo relevante de un activo.
2)Cuál es la relación que debe existir en equilibrio entre la cantidad de 
riesgo de un activo y el retorno que se le exige a ese activo.
Estos dos puntos los discutiremos en profundidad una vez que derivemos 
el CAPM.
4
Augusto Castillo, Finanzas II 145
Derivación del CAPM
La pendiente de la recta que nace en F y es tangente a la parábola (que 
representa la frontera de mínima varianza) en el punto M tiene la 
siguiente pendiente:
Ecuación de la recta: Ojo: µ p es lo mismo que E(rp)
Recta: µ p = rf + ( µ m - rf ) σp / σm
Pendiente de la recta:
∂ µ p = ( µ m - rf ) / σm
∂ σp
Esta pendiente debe ser (en equilibrio ) igual a la pendiente de la 
parábola evaluada en el punto M.
Augusto Castillo, Finanzas II 146
Sean 2 activos riesgosos (carteras) en la parábola: I, M.
El retorno y varianza de la cartera P que componen I, M serán:
µ p = Wi µ i + (1 – Wi ) µ m 
σp
2 = Wi
2 σi
2 + ( 1 – Wi )
2 σm
2 + 2Wi ( 1 – Wi ) σi,m
La pendiente de la parábola será:
∂ µ p
∂ σp P = M
Y la podemos obtener indirectamente de:
∂ µ p = µ i - µ m
∂ Wi 
5
Augusto Castillo, Finanzas II 147
∂σp = ∂σ p * ∂ σp
2
∂Wi ∂σp
2 ∂Wi 
Evaluando en Wi = 0 nos queda :
∂σp = ( σi m - σ m
2 ) / σm
∂Wi
[ ]iMiiMiMiii
pi
p wwww
w
σσσσ
σδ
δσ
2)1(2)1(22*
*2
1 22 −−+−−=
Augusto Castillo, Finanzas II 148
La condición de Equilibrio del CAPM:
Igualando la pendiente de la recta y la pendiente de la parábola , evaluada 
en M nos queda:
Reordenando tenemos:
µ i - µ m = ( µ m - rf ) * ( σ i m - σ m
2) / σ m
2
mmim
mi
m
fm r
σσσ
µµ
σ
µ
/)(
)()(
2−
−
=
−
6
Augusto Castillo, Finanzas II 149
µ i - µ m = ( µ m - rf ) * ( σ i m - 1) / σ m
2
Reordenando:
µ i - µ m = ( µ m - rf ) * σ i m/ σ m
2 - µ m + rf
De aquí se obtiene la relación de equilibrio conocida como CAPM o 
línea de mercado de valores (LMV):
CAPM: E(ri) = rf + ( E(rm) - rf ) βi
En que:
2
,
M
mi
i σ
σ
β =
Augusto Castillo, Finanzas II 150
“El retorno que se espera de un activo i es igual a rf más un premio por 
riesgo (PR) que se obtiene de multiplicar el “premio por riesgo de la 
cartera de mercado” por el “riesgo relevante” del activo i (βi ).
Esto significa que a un activo libre de riesgo se le exige rf, pero a un 
activo riesgoso se le exige algo más, un PREMIO POR RIESGO.
Esto también significa que el premio por riesgo tiene dos componentes , 
el primero es el “premio por riesgo de la cartera de mercado” y se 
calcula como(E(rm) - rf). La magnitud de este componente debiera 
depender de la volatilidad del retorno de la cartera de mercado, y del 
grado de aversión al riesgo promedio de los agentes inversionistas en 
esta economía.
El segundo componente es el beta de i, pero la variable que dete rmina la 
magnitud del beta es la covarianza entre el activo i y la cartera de 
referencia M.
7
Augusto Castillo, Finanzas II 151
-Es decir que el riesgo relevante de un activo lo mide el beta de ese 
activo, pero el beta de un activo es directamente proporcional a la 
covarianza de ese activo con la cartera de mercado.
- Esta descomposición puede ser hecha de otra manera (ver el texto).-
¿Por qué todos coinciden en que el beta es la medida de riesgo 
relevante?. Simplemente por que la cartera de referencia de cada
individuo en esta economía es M.
Existe una relación lineal entre la cantidad de riesgo relevante de un 
activo y el retorno que debemos esperar o “exigir en equilibrio” a ese 
activo.
Todos los activos deben ofrecer un retorno esperado idéntico al que 
predice el MVAC, dado el riesgo de esos activos. En caso contrario 
estaríamos en presencia de un desequilibrio y el VAN de invertir en esos 
activos sería distinto de cero.
Augusto Castillo, Finanzas II 152
La Línea del Mercado de Valores (LMV ó SML) indica el retorno que en 
equilibrio deben ofrecer los activos o carteras de activos que existen, 
sean eficientes o no.
E(ri) = rf + [E(rm)- rf ] βi
¿Es posible encontraractivos sobre o bajo la LMV?
8
Augusto Castillo, Finanzas II 153
De acuerdo al CAPM esta sería una situación de desequilibrio. En el 
mundo real parece poco razonable que activos financieros ofrezcan un 
VAN distinto de cero a quienes invierten en ellos.
Sobre LMV => NPVi> 0 o IRRi> E(ri)
En LMV => NPVi = 0 o IRRi = E(ri)
Bajo LMV => NPVi < 0 o IRRi < E(ri)
¿Significa esto que los proyectos con VPN mayor que cero no 
existen en el mundo real?
La respuesta es que sí existen, pero existen gracias a que algunos 
supuestos del CAPM no se cumplen en el mundo real.
Augusto Castillo, Finanzas II 154
Por ejemplo en el mundo real sí hay asimetrías de información. Tam-
bién hay barreras a la entrada en ciertos sectores o negocios, por 
razones legales o tecnológicas por ejemplo. Es decir en el mundo real 
hay imperfecciones que en el mundo del CAPM supusimos 
inexistentes.
Esas imperfecciones son más frecuentes en mercados físicos (de 
productos e insumos), en que se transan activos reales, que en 
mercados de capitales.
En mercados de capitales es razonable suponer que el CAPM se 
cumple si las imperfecciones son inexistentes o poco importantes.
9
Augusto Castillo, Finanzas II 155
• Según el CAPM todos los inversionistas invertirían en una 
combinación de F y M y por ende se encontrarían en algún 
punto sobre la línea de mercado de capitales o LMC ó 
CML.
• Los activos que componen M sin embargo no estarán 
individualmente en la LMC (pero sí estarán en la LMV, 
¿cierto? ).
LMC
Augusto Castillo, Finanzas II 156
• Una estrategia de inversión pasiva de invertir en M y F 
será entonces eficiente. 
• La estrategia activa de hacer análisis de activos (security
analysis y en base a eso comprar y vender activos no 
ofrecerá ventajas relativas. A esta propiedad se le 
denomina usualmente “Teorema del Fondo Mutuo”.
• Como veremos más adelante, cuando discutamos eficiencia 
de mercado, es necesario en todo caso que algunos realicen 
análisis de activos para asegurarnos de que los activos 
estén bien valorados, es decir para asegurarnos de que los 
precios de esos activos incluyan toda la información 
relevante existente.
10
Augusto Castillo, Finanzas II 157
Extensiones del CAPM
• Una extensión muy popular del CAPM, propuesta por 
Fisher Black, analiza los efectos en el CAPM de reconocer 
que no existe una tasa libre de riesgo a la cual prestar o 
pedir prestado montos ilimitados.
• ¿Qué ocurre si las tasas para prestar y pedir prestado son 
distintas?
• ¿qué ocurre si no existe la posibilidad de invertir o 
endeudarse a la tasa libre de riesgo?
• ¿Se cumple el CAPM? ¿Es posible derivar un modelo de 
equilibrio en este caso?
• Las respuestas a estas últimas 2 preguntas son no y sí.
• No, porque ahora no será cierto que todos desean mantener 
M.
Augusto Castillo, Finanzas II 158
• Personas con preferencias distintas elegirán carteras 
riesgosas distintas, todas en el segmento eficiente de la 
cartera de mínima varianza.
• La cartera M será el agregado de las demandas individua-
les, pero no necesariamente coincidirá con alguna de ellas.
• La cartera M, al ser una combinación de carteras en el 
segmento eficiente de la frontera de mínima varianza, 
también corresponderá a una cartera en ese segmento 
eficiente.
• Para esa cartera M es posible encontrar una cartera con 
cero covarianza a la que denominaremos ZM. Esta cartera 
se encuentra en el segmento ineficiente de la frontera de 
mínima varianza.
• En la lectura se explica el procedimiento en mayor detalle.
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Augusto Castillo, Finanzas II 159
• El modelo de equilibrio de Fisher Black:
• El modelo de equilibrio sugiere entonces cómo determinar 
el retorno a exigir a un activo, y su similitud con el CAPM 
es notable.
[ ]
)(
),(
*)()()()(
M
Mi
ZMzi rVar
rrCov
rErErErE −+=
Augusto Castillo, Finanzas II 160
Implementación del CAPM y el Modelo del 
Indice.
• Implementar el Modelo de selección de carteras de 
Markowitz requiere estimar una enorme cantidad de 
parámetros (varianzas y covarianzas). 
• Una forma de simplificar los requerimientos computacio-
nales es a través de lo que se denomina el modelo del 
índice.
• Este modelo supone que hay un factor macroeconómico 
global que explica el retorno de un activo. Una parte del 
retorno estaría explicado por variaciones en este índice y 
por la sensibilidad del activo a variaciones en ese índice. A 
esta fracción del retorno se le denomina sistemático.
• Lo no sistemático o específico a la firma sería capturado 
por el error. 
12
Augusto Castillo, Finanzas II 161
• El retorno de un activo sería posible de descomponer de la 
siguiente manera:
• En que mi representa variaciones de retorno explicados por 
variaciones no anticipadas en este factor macroeconómico, 
y ei representa variaciones no anticipadas en factores 
específicos a la empresa i. Los valores esperados de ambos 
son cero.
• F representa las variaciones no anticipadas en este factor 
macroeconómico y β representa la sensibilidad de el activo 
i a variaciones en este factor macroeconómico.
• ¿Qué es y cómo medimos ese factor macroeconómico? 
iiii emrEr ++= )(
iiii eFrEr ++= *)( β
Augusto Castillo, Finanzas II 162
• Una forma simple de resolver este problema es suponer 
que un índice amplio de activos (¿S&P 500 en USA, IGPA 
en Chile?) es un buen proxy de ese factor macroeconó-
mico. Por eso a este modelo se le denomina modelo del 
índice. 
• El modelo del índice supone que podemos descomponer el 
retorno de un activo en 3 partes:
• En que alfa es el retorno esperado de i, si el mercado rinde 
cero.
• Este modelo del índice puede ser estimado usando el 
método de regresiones (MICO por ejemplo).
ifMiifi errrr +−+=− )(βα
13
Augusto Castillo, Finanzas II 163
Estimación del Modelo del Indice
• El modelo del índice supone que el retorno de un activo o 
de una cartera de activos, es explicado por el retorno de un 
índice accionario amplio, y que lo que no explica el índice 
corresponde a riesgo no sistemático o específico a ese 
activo o cartera de activos.
• Entonces usando datos históricos, de corte transversal o de 
series de tiempo, podemos estimar los parámetros del 
modelo, es decir el alfa y el beta correspondiente a un 
cierto activo.
• Si se trata de una cartera de activos P, es posible demostrar 
que tanto el alfa como el beta de P corresponden a los 
promedios ponderados de los alfa y beta individuales de 
los activos que componen P. 
Augusto Castillo, Finanzas II 164
Estimación de Betas e Interpretación de Betas :
El Beta de un activo βi es un parámetro; nosotros podemos obtener un 
estimador de ese parámetro (bi).
Si corremos la regresión (con información histórica, y usando OLS o 
MICO (Mínimos cuadrados ordinarios).
rit = ϒi + bi rmt + eit
El estimador de la pendiente de la recta que minimiza la suma de
cuadrados de los errores (de acuerdo a MICO) se calcula como:
( )
mrVar
rrvCo
rr
rrrr
b im
m
mi
mmt
mmtiit
ii 22 ˆ
ˆ
)(
),(ˆ
)(
)(ˆ
σ
σ
β ==
−
−−
==
∑
∑
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Augusto Castillo, Finanzas II 165
bi es un estimador insesgado de βi. Este beta es un parámetro del 
modelo del índice, pero también es un estimador del beta del CAPM en 
la medida que el índice seleccionado sea un buen proxy de la cartera de 
mercado M del CAPM.
Obtendremos distintos bi al usar muestras distintas. Esto es porque no 
estamos calculando el verdadero beta sino que un estimador del 
verdadero beta.
Augusto Castillo, Finanzas II 166
Supuestos Implícitos en el cálculo de los estimadores de Betas
a) son constantes en el tiempo. El Beta es constante 
durante el período de cálculo.
b) Conocemos la cartera de mercado M y los retornos de esta cartera son 
observables. Esto obviamente si estamos pensando que el CAPM se 
cumple y deseamos interpretar de esa manera los resultados.
c)Normalmente se usa un índice accionario que sea lo más amplio posible 
como proxy de la cartera M. Pero esto nunca equivaldrá al verdadero M.
En USA: El indice S&P500 o el CRSP EW o VW index. 
En Chile:IGPA
IPSA
r
2
, ,,, mmimi rr σσ
15
Augusto Castillo, Finanzas II 167
En el cálculo de Betas si somos estrictos debiéramos usar la misma 
cartera internacional de activos M cuando calculamos los betas en 
distintos países. Esto supone que no existe restricciones a la inversión en 
activos de otros países.
Usar índices locales supone reconocer que las oportunidades de inversión 
de los individuos de un país están básicamente restringidas a la s 
alternativas de inversión domésticas. Esto es cada vez menos cierto en el 
mundo real.
¿Cómo se interpretan y cómo se usan los β ?
De: E(ri) = rf + (E(rm) – rf) βi
∂E(ri) = βi
∂E(rm)
Augusto Castillo, Finanzas II 168
El beta de un activo indica cómo cambia el retorno de un activo cuando 
el retorno de la cartera de mercado cambia.
Osea: El beta del activo i indica qué tan sensible es el activo i a 
cambios en el retorno de la cartera de mercado.
Ejemplo: Sean
βA = 1.5 E(rA) = 17%
βB = 2.0 E(rB) = 21% E(rM) = 13%
Si el retorno esperado de la cartera de mercado cae a 11% entonces el 
retorno esperado de la cartera A disminuye a 14% y el retorno esperado 
de la cartera B disminuye a 17%.
16
Augusto Castillo, Finanzas II 169
¿Qué pasa con los cambios en el retorno de un activo que no son 
inducidos por cambios en el retorno de la cartera de mercado? ¿por qué 
no son relevantes para el inversionista las variaciones de retorno que no 
están ligadas a variaciones del retorno de la cartera de mercado?
FUENTES DE RIESGO
UNICO = No Sistemático o Diversificable
DE MERCADO = Sistemático o No Diversificable
FUENTES DE RIESGO DE MERCADO:
Ejemplos : inflación
cambios en grado apertura al comercio interac.
situación política
Riesgo-país
Situación Económica y Tributaria
Augusto Castillo, Finanzas II 170
FUENTES DE RIESGO UNICO
Ejemplos :
Empresa descubre nueva tecnología de prod.
desastre (accidente) que afecte sólo a la empresa
cambio de dueños o administradores
De acuerdo al MVAC a los inversionistas sólo les preocupa el rie sgo no 
diversificable o de mercado.
Si en cambio consideráramos inversionistas que concentran toda su 
riqueza en un activo (por ejemplo para controlar la empresa) a ellos les 
interesaría todo el riesgo por igual.
17
Augusto Castillo, Finanzas II 171
¿Como medir el grado de diversificación de una cartera? ¿Cómo 
descomponer el riesgo total de una cartera en Riesgo Unico y Riesgo de 
Mercado?
De:
Ri = αi + βi Rm + ei
σ2i = βi
2σm
2 + σ2ei
⇓ ⇓ ⇓
Riesgo Riesgo de Mercado Riesgo Unico
Total (No diversificable) (Diversificable )
Augusto Castillo, Finanzas II 172
Según el modelo del índice (y también según el CAPM) es el riesgo de 
mercado y no el riesgo total el relevante y el que debe ser compensado 
con mayor retorno esperado.
Ø Los inversionistas (diversificados) sólo miran βi
Ø 2 activos: : σ2A > σ
2
B , podría ocurrir que al mismo tiempo:
βA < βB => E(rA) < E(rB). 
En Carteras bien diversificadas: σ2e ≈ 0 
σi = βiσm La σi es proporcional a βi en esos casos.
El R cuadrado de la regresión:
R2 = 1 - σ2e = β
2
pσ
2
m
σ2p σ
2
p
18
Augusto Castillo, Finanzas II 173
Propiedades y Usos de los Betas :
El Beta de una cartera de activos es igual al promedio ponderado de los 
betas de los activos en esa cartera.
En una empresa con varias líneas de negocios el beta de los activos de la 
empresa corresponderá entonces al promedio ponderado de los betas de 
las líneas de negocios que posee la empresa.
Leverage Financiero: “El efecto leverage”
A = D + P
WD = D Wp = P
1 = WD + WP A A
i
N
i
iP w*
1
∑
=
= ββ
Augusto Castillo, Finanzas II 174
Vistos los activos de una empresa como una cartera de instrumentos de 
financiamiento:
µA = µD WD + µp Wp
µA no depende de cómo se financien los activos (µA )
ð µp ( y también µD, aunque en general se asuma µD =rf) cambiarán 
a medida que Wd cambie.
El retorno exigido al patrimonio aumenta al aumentar el nivel de
endeudamiento de la empresa.
∂µp = 1 (µA - µd) > 0
∂Wd (1-wd)
2
19
Augusto Castillo, Finanzas II 175
Pero el riesgo de los activos puede ser visto como el riesgo promedio 
que enfrentan accionistas y acreedores, es decir:
βA = βd * Wd + βp * Wp
De aquí podemos comprobar que:
∂βp = βa > 0
∂Wd (1-wd)
2
“El riesgo del patrimonio también aumentará” (dado un βA; 
normalmente se asume βd = 0 pero esto no es necesario.
Augusto Castillo, Finanzas II 176
Ejemplo:
Una empresa posee activos con βA = 1.0, y financia sus operaciones con 
Wd = 0.2 y Wp= 0.8. La empresa está totalmente segura de que podrá
pagar la deuda incluso si Wd = 0.4. Si rm = 0.15 y rf = 0.05, entonces:
(i) Determine µA , µp , βp
(ii) Verifique el impacto en µA , µp de aumentar Wd a 0.3 y 0.4 
respectivamente.
Solución:
20
Augusto Castillo, Finanzas II 177
(i) µA = rf + (rm - rf ) * βa = 0.05 + (0.15 – 0.05)* 1 = 0.15
0.15 = µA = µd * wd + µp * wp = 0.05 * 0.2 + µp * 0.8
µp = 0.175 1.0 = βA = 0 + βp * 0.8 βp=1.25
(ii) con Wd = 0.3 µd = 0.05
µA = 0.15
βA = 1.0
0.15 = µA = 0.05 * 0.3 + µp * 0.7 µp = 0.193
1.0 = ßA = ßp * 0.7 ßp = 1.43
Augusto Castillo, Finanzas II 178
Evaluación de desempeño
• Según el CAPM una estrategia pasiva de mantener M es 
eficiente. 
• ¿Pero qué ocurre si mantenemos una cartera distinta de M?
• Si en el mundo real deseamos evaluar el atractivo de una 
estrategia de inversión o el desempeño de una cierta cartera 
de inversiones, necesitamos alguna herramienta que 
permita comparar. 
• Esa herramienta debe considerar tanto el retorno obtenido 
como el riesgo al que nos expusimos para lograr ese 
desempeño. 
• Este análisis debiera realizarse sobre períodos de tiempo 
relativamente extensos para evitar el efecto de la “buena o 
mala suerte” en el resultado final.
21
Augusto Castillo, Finanzas II 179
Medidas de Selectividad:
Presentaremos tres medidas de “selectividad” (se les denomina así porque evalúan 
qué tan bien elegí las carteras de inversión).
1.- Razón de Sharpe : Esta razón mide el exceso de retorno que ofrece una cartera, 
por unidad de riesgo, y se calcula de la siguiente manera:
Esta razón permite comparar carteras distintas,
en que los grados de exposición a riesgo sean 
también distintos.
La cartera con mayor S es la de mejor desempeño,
de acuerdo copn este criterio (ver gráfico).
P
FP
P
rr
S
σ
−
=
Augusto Castillo, Finanzas II 180
2.- Razón de Treynor: También mide el exceso de retorno por unidad de riesgo, 
pero ahora se mide riesgo con el beta de cada cartera. El activo o cartera de 
activos con mayor índice será el de mejor desempeño. Un desempeño superior 
se logrará si se le gana al mercado, es decir si el índice T es mayor que el 
índice T que posea la cartera de referencia M.
P
FP
P
rr
T
β
−
=
β
r
rf
22
Augusto Castillo, Finanzas II 181
• ¿Debo usar Sharpe o Treynor?
• Si uso Sharpe, estoy usando una medida de riesgo que no 
es la relevante según el CAPM.
• Pero el CAPM supone que los inversionistas diversifican 
apropiadamente y que la cartera de referencia es el M, lo 
que no necesariamente es cierto.
• Si estoy eligiendo en qué cartera poner el 100% de mi di-
nero, yo usaría Sharpe, porque en ese caso la distinción 
entre riesgo diversificable y no diversificable no corres-
ponde.
• El índice de Treynor supone que el riesgo diversificable es 
irrelevante, eso es cierto en el CAPM. Si voy a poner una 
pequeña fracción de mi riqueza en esta cartera, yo usaría el 
índice de Treynor.
Augusto Castillo, Finanzas II 182
3.- El α de Jensen:Se calcula como la diferencia entre el retorno observado y el 
retorno esperado para un activo (dado su riesgo, medido como β). El retorno 
esperado es el que predice el CAPM.
Con la regresión:
capacidad superior de selección de cartera.
Ojo : Esta regresión también se usa para testear CAPM.
Notar que α = 0 → ri – rf = β (rm – rf)
→ ri = rf + β (rm - rf) 
)(ˆˆ fmfi rrrr −+=− βα
0;ˆ >= JJ si ααα
23
AugustoCastillo, Finanzas II 183
Por lo tanto, el CAPM se cumple
si aceptamos H0 : α = 0
Siguientes temas:
- Tests del CAPM
- Críticas del CAPM
- Alternativas al CAPM
Tests del CAPM
1) Si conocemos rf, M, tendremos una LMV.
Un posible test es verificar si los activos existentes 
caen o no en la LMV.
- Otros tests suponen verificar si M es una cartera eficiente.
Augusto Castillo, Finanzas II 184
i) En el primer caso, para verificar si el CAPM se cumple, se busca comprobar 
que activos con mayor Beta posean retornos mayores que los de menor beta. 
Para hacer esto debemos:
ii) obtener para todos los activos , βi (estimar)
iii) Ver si ri, - rf = βi (rm - rf) 
(con datos de corte transversal por ejemplo)
¿Caen los distintos activos en o muy cerca del la LMV?
• ¿Es este un test válido?
• La validez de este tipo de tests ha sido discutida por muchos. La crítica más 
notable la proveyó Richard Roll en los 80.
ir
24
Augusto Castillo, Finanzas II 185
LA CRITICA DE ROLL
Resumiendo las críticas de Roll:
i) Test del CAPM realizados con anterioridad presentan errores metodológicos 
y no son válidos. No corresponde calcular betas y luego testear validez del 
CAPM usando los mismos datos.
ii) El CAPM no puede ser testeado a menos que utilicemos el verdadero M, y 
este es desconocido.
EL ESTUDIO DE FAMA Y FRENCH (1992)
Fama y French en 1992 “asesinaron al beta”
En su artículo ellos básicamente analizan la capacidad que tienen 3 factores para 
explicar retornos (diferencias de corte transversal, entre distintas empresas).
Los factores considerados son:
•Beta
•Tamaño de la e empresa (valor mercado del patrimonio)
•Razón Libro/Bolsa (btm) del patrimonio
Augusto Castillo, Finanzas II 186
¿Qué concluyen?
Ø Tamaño, y Bolsa/Libro permiten explicar una parte significativa de los 
cambios en rentabilidad entre empresas.A mayor tamaño menor retorno 
promedio. A mayor razón BTM, mayor retorno promedio.
Ø El Beta carece de capacidad explicatoria.
Ø Es decir que, una vez que controlamos por tamaño (y bolsa/libro), las 
diferencias en rentabilidades para grupos de empresas con distintas betas 
desaparecen (son “poco significativas”).
Ø Cómo explicar esto?
i) Tamaño y BTM pueden ser proxies de ciertos factores espécíficos de riesgo 
que el mercado paga, y que el beta no captura.
ii) Existe gran cantidad literatura que rebate resultados de F&F.
25
Augusto Castillo, Finanzas II 187
En todo caso Fama y French Llevan 11 años y decenas de publicaciones 
dedicadas a este tema. De hecho ellos proponen un modelo alternativo al 
CAPM, que como veremos es una versión de modelo multifactorial, en que se 
asume que varios factores explican el retorno de un activo.
El modelo de FF:
ri - rf = α + β1 (rm - rf) + β2 HML + β3 BMS + ei 
En que:
HML: Es la diferencia entre carteras con alto y bajo BTM.
BMS: Es la diferencia entre carteras de empresas grandes y pequeñas
El modelo de FF nos dice entonces que hay 3 betas relevantes para cada activo y 
que ellos en conjunto determinan el premio por riesgos de un activo.
Augusto Castillo, Finanzas II 188
OPORTUNIDADES DE ARBITRAJE Y EL APT
§ Oportunidades de Arbitraje existen cuando:
Existe una oportunidad de inversión que no requiere un flujo inicialy que 
genera flujos de caja que jamás serán negativos, y que serán positivos con p > 0.
Ejemplo 1:
2 activos A y B que ofrecen flujos idénticos y cuyos precios son ≠s (PA≠PB).
Ejemplo 2:
Si la relación que debe existir entre el precio futuro de un activo y el precio spot 
de ese activo no se cumple.
§ En un mundo con inversionistas racionales, ellos reaccionan rápidamente ante 
las oportunidades de arbitraje, generando entonces ajustes en los precios hasta 
que las O.A. Desaparecen.
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Augusto Castillo, Finanzas II 189
b)El APT (Arbitraje Pricing Theory ó Teoría de Valoración por Arbitraje) surge 
como modelo alternativo al CAPM, en 1976 (Ross)
Principales Supuestos
b)Los retornos de todo activo son generados por (1 o más) factores que también 
afectan los retornos de otras empresas, y por un componente de riesgo único.
•El retorno de un activo J está dado por:
N
Rjt = αJ + ∑ ßJ,i * Ii,,t + ejt
i=1
Donde:
αJ representa E (rj), y se genera a partir de los valores esperados de los factores
que explican el retorno de cada activo.
Ii representan las desviaciones del valor esperado de los índices o factores que 
explican el retorno del activo J (y hay N factores).
ei representa los cambios en retorno explicados por factores de riesgo propio de 
ese activo, no anticipados.
Augusto Castillo, Finanzas II 190
Estos factores no están correlacionados con otros factores.
Los factores de riesgo único no están correlacionados con los factores macro o 
factores comunes.
Entonces: las covarianzas entre activos se explican solamente por la existencia 
de estos factores comunes que afectan el retorno de dos activos a la vez, y por 
ende los residuos ej de dos activos no están correlacionados entre s í (con los de 
otros activos).
Estos supuestos nos llevan a concluir que la varianza del retorno de una cartera 
según este modelo estará dada por:
N
σ2rp = ∑ β
2
ip σ
2
Ii + σ
2 
ep
i=1
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Augusto Castillo, Finanzas II 191
Donde:
m i = 1, ...n # factores
βip = ∑ xj βi,j j = 1,....m # activos
j=1
El Beta i de la cartera p mide la sensibilidad de los retornos de esta cartera al 
factor I, y se obtiene como un promedio ponderado de los betas hacia ese factor 
de cada uno de los activos que componen la cartera.
m
y : σ2Ep = ∑ xj
2σ2Ej
j=1
El riesgo único de la cartera se obtiene de esta manera porque no existe 
correlación entre los errores de los distintos activos en la cartera.
Augusto Castillo, Finanzas II 192
CASO 1:
i) Si suponemos entonces la existencia de un ∞ número de activos, y que
ii) No existe restricciones a la venta corta de activos.
Podemos derivar una relación aproximada entre E(r) y riesgo.
Para motivar, supongamos que:
n = 1 (Existe un solo factor que explica covarianzas entre activos)
¿qué relación debiera existir entre E(r) y la sensibilidad de un activo a ese único 
factor (β1)?
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Augusto Castillo, Finanzas II 193
• En este gráfico suponemos que la relación entre E(r) y 
Beta está representada por una curva.
β
E(r)
z1
z2
Augusto Castillo, Finanzas II 194
Combinando ≠ pares de activos en la curva, podemos generar carteras que 
tienen β=0 y rinden E (r) = Z1. 
Si hacemos esto un número suficientemente grande de veces (∞ veces) 
generamos una cartera no sólo con β=0 sino que además con σ2Ep ≈ 0 (porque 
xj2à 0) y por lo tanto esta cartera tiene σ2rp ≈ 0. 
Pero: lo mismo es cierto para Z2, y entonces estaríamos en condiciones de 
generar 2 carteras con β=0 y σ2rp = 0 que tendrían ≠ E (r). 
Esto es una posibilidad de arbitraje; si tomamos una posición larga en la cartera 
(1) y la financiamos con una pos corta en (2), obtenemos una ganancia sin 
enfrentar riesgo alguno y sin invertir monto alguno.
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Augusto Castillo, Finanzas II 195
→ La relación “curva” no es posible. La relación consistente con cero 
posibilidades de arbitraje es una relación lineal del tipo:
E(rj) ≈ E(rz) + λ β1,J Si ∃ un único factor F1 
Por eso se le denomina APT a este modelo, pues la ecuación del
retrono a exigir a una activo surge de exigir que no existan opor-
tunidades de arbitraje.
Augusto Castillo, Finanzas II 196
Generalizando a N factores
Utilizando el mismo argumento, para el caso en que n factores explican el 
retorno, la condición de no arbitraje será:
N
E (rj) ≈ E (rz) + ∑ λiβi,j
i=1
Un punto que es necesario enfatizar es que la ausencia de Oportunidades de 
Arbitraje no asegura una relación lineal exacta entre retorno esperado y las 
sensibilidades a los factores de riesgo.
Nota: E(rz) representa el retorno esperado de una cartera con
βi = 0 ∀ i E [1,n]
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Augusto Castillo, Finanzas II 197
Un ejemplo:
Suponga un modelo con 2 factores en que para el activo D sabemos que:
βd1 = 2.0 βd2 = 1.0
Si conocemos los siguientes 3 activos:
rA = 0.03+ F1 – 4F2 + EA
rB = 0.05 + 3F1 + 2F2 + EB
rC = 0.10 + 1,5 F1 + 0F2 + EC
Entonces: ¿Qué retorno debiera ofrecer D?
Para responder esta pregunta podemos:
(i) Construir una combinación de A,B,C que replique a D
(ii) Imponer la condición de no OA: E(rp) = E(rd)
Augusto Castillo, Finanzas II 198
Solución:
β1p = β1d →(1) 1*WA + 3*WB + 1.5 WC = 2.0
(2) -4WA + 2 WB = 1.0
(3) WA + WB + WC = 1.0
Notar que: Con n factores necesito al menos n + 1 activos para tener un sistema 
que se pueda resolver.
(3) * 1.5 = (4) 1.5WA + 1.5 WB + 1.5 WC = 1.5
(1)– (4) = (5) – 0.5 WA + 1.5 WB = 0.5
(8) * (5) = (6) – 4WA + 12 WB = 4.0
(6) – (2) 10WB = 3.0 → WB = 0.3
en (2): -4WA + 2 * 0.3 = 1.0
- 4 WA = 0.4 → WA = -0.1
en (3): -0.1 + 0.3 + WC = 1.0 → Wc = 0.8
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Augusto Castillo, Finanzas II 199
Veamos si es la cartera una réplica de D:
β1p = 1 * -0.1 + 3 * 0.3 + 1.5 * 0.8 = 2.0
β2p = -4 * -0.1 + 2 * 0.3 =1.0
Como la sensibilidad de la cartera a los factores 1 y 2 es idéntica a la 
sensibilidad del activo D a esos factores, la cartera es una réplica.
Entonces el retorno que ofrece d debiera ser idéntico al retorno que ofrece la 
cartera:
Entonces:
E(rp) = WA E (rA) + WB E(rB) + WC E(rc)
= -0.1 * 0.03 + 0.3 * 0.05 + 0.8 * 0.10 = 9,2%
Augusto Castillo, Finanzas II 200
Pregunta:
¿Es P una réplica exacta de D?
No, depende de cómo sean EA, EB, EC y en particular de qué tan distinto de Ed
es WAEA + WBEB + WCEC = Ep
Ahora, si A,B,C y D son carteras bien diversificadas, entonces EA,EB,EC,ED,EP
≈0 y la réplica es exacta!!!
¿Podemos estimar λ1 y λ2?
Claro, basta con determinar E(r) de las siguientes carteras
Z con β1 = 0, β2 = 0 → E(rz)
Z1 con β1 =1, β2 =0
Z2 con β1 =0, β2 =1
♦ • Con A, B y C podemos replicar cualquiercartera que deseemos.
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Augusto Castillo, Finanzas II 201
CONCLUSIONES DEL CAPM Y DE MODELOS ALTERNATIVOS 
COMO EL APT
“NEGATIVAS”
§ CAPM no puede ser testeado.
§ F & F´92: El β no tiene poder predictivo en la práctica.
§ El CAPM no dice cómo se determinan rf, E (rm), y la estructura de covarianzas.
“POSITIVAS”
§ CAPM fue un avance con respecto a lo que existía.
§ Genera discusión sobre riesgo relevante.
§ Lo que interesa es la covarianza de un activo con la fuente de riesgo.
§ Es simple, se usa.
§ Concepto de diversificación.
§ No existe aún un modelo bien fundamentado que lo reemplace.

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