Analisis-dinamico-de-un-sistema-intercambiador-de-calor--reactor

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
 
 
 
 
FACULTAD DE QUÍMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISIS DINÁMICO DE UN SISTEMA 
INTERCAMBIADOR DE CALOR - REACTOR 
 
 
 
 
 
 
T E S I S 
 
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE 
 
I N G E N I E R O Q U Í M I C O 
 
P R E S E N T A: 
 
ERCIS DOMÍNGUEZ ARÁMBURO 
 
 
 
 
 MÉXICO, D.F 2006 
 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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JURADO ASIGNADO: 
 
 
 
Presidente Prof: Javier Audry Sánchez 
Vocal Prof: Celestino Montiel Maldonado 
Secretario Prof: Martín Rivera Toledo 
1er Suplente Prof: Rafael Herrera Nájera 
2do Suplente Prof: Humberto Ramírez Castañeda 
 
 
 
 
 
Sitio donde se desarrolló el tema: 
 
Facultad de Química 
 
 
 
 
 
 
 
Asesor del tema: 
 
 
___________________________ 
M. en I. Martín Rivera Toledo 
 
 
 
 
 
Sustentante: 
 
 
_________________________ 
Ercis Domínguez Arámburo 
 
INDICE 
 
 Introducción 1 
Objetivos 3 
1. Importancia del Modelado Matemático 4 
 1.1. Modelos Experimentales contra Teóricos 6 
 1.2. Modelos Teóricos y Semi-teóricos 7 
 1.3. Importancia de la Simulación 7 
 1.3.1. Clasificación de los Métodos de Simulación 8 
 1.3.2. Simulación en Régimen Permanente y Dinámico 9 
 1.3.3. Los Simuladores de Procesos 9 
 1.3.4. La simulación de Procesos 10 
2. Marco Teórico 12 
 2.1. Modelado de Procesos 13 
 2.2. Solución de ecuaciones No Lineales y Métodos 
 de Convergencia 
 
14 
 2.2.1. Método de Sustituciones Sucesivas 15 
 2.2.2. Método de Newton 15 
 2.2.3. Método Quasi-Newton 16 
 2.2.4. Método de la Secante 16 
 2.2.5. Método de la Secante Generalizada 17 
 2.2.6. Método de Broyden 18 
 2.2.7. Método Aceleración de Wegstein 19 
 2.2.8. Métodos de Continuación y Homotopia 19 
 2.3. Multiplicidad de Estados Estacionarios 22 
 2.3.1. Teoría de Singularidad 22 
 2.3.1.1. Punto Singular 22 
 2.3.1.2. Condiciones para Obtener el Número Máximo de 
Soluciones 
 
23 
 2.3.1.2.1. Bifurcación Tipo Histéresis 24 
 2.3.1.2.2. Bifurcación Tipo Islas 25 
 2.3.1.2.3. Bifurcación Tipo Límite Doble 26 
 2.3.1.3. Inestabilidad y Estabilidad de Estados 27 
3. Casos de Estudio 29 
 3.1. Modelamiento del Caso 1 30 
 3.2. Modelamiento del Caso 2 38 
 3.3. Modelamiento del Caso 3 42 
 3.4. Análisis 43 
4. Cálculos de Estados y Análisis de Resultados 44 
 4.1. Caso1, Estado Estacionario 44 
 4.1.1. Multiplicidad de Estados 48 
 4.2. Caso 2, Estado Estacionario y Multiplicidad 54 
 4.2.1. Análisis de Resultados 59 
 4.3. Caso 3, Estado Estacionario y Multiplicidad 60 
 4.3.1. Análisis de Resultados 62 
Anexo I, Lenguajes Algebraicos de Modelado 63 
Anexo II, Rutinas de los Casos I y II 65 
Conclusiones 73 
Bibliografía 75 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
1.3 Diagrama de Continuación 23 
1.4 Diagramas de Continuación con Bifurcación Tipo Histéresis 24 
1.5 Diagramas de Continuación con Bifurcación Tipo Isla 25 
1.6 Diagramas de Continuación con Bifurcación Tipo Límite Doble 26 
1.7 Diagramas de Continuación con Región Inestable 28 
3.1 Elemento Diferencial 30 
3.2 Diagrama de Flujo Caso 1 33 
3.3 Diagrama de Flujo Caso 2 39 
3.4 Diagrama de Flujo Caso 3 42 
4.1 Estado Estacionario, Perfil Composición 46 
4.2 Estado Estacionario, Perfil Temperatura 46 
4.3 Simulación Dinámica, Composición Tubo 50 
4.4 Simulación Dinámica, Composición Coraza 50 
4.5 Simulación Dinámica, Temperatura Intercambiador 51 
4.6 Simulación Dinámica, Composición Reactor 51 
4.7 Simulación Dinámica, Temperatura Reactor 52 
4.8 Simulación Dinámica, Perturbando la Temperara 53 
4.9 Simulación Dinámica, Perturbando la Temperara 53 
4.10 Temperatura de Alimentación 530° C 56 
4.11 Temperatura de Alimentación 535° C 57 
4.12 Temperatura de Alimentación 545° C 57 
4.13 Temperatura de Alimentación 550° C 58 
4.14 Temperatura de Alimentación 555° C 58 
4.15 Diagrama de Continuación Composición 59 
4.16 Diagrama de Continuación Temperatura 59 
4.17 Diagrama de Continuación, Composición contra Flujo 60 
4.18 Diagrama de Continuación, Temperatura contra Flujo 61 
4.19 Diagrama de Continuación, Concentración contra Temperatura de 61 
 
4.19 
Diagrama de Continuación, Concentración contra Temperatura de 
Alimentación 
 
61 
 
4.20 
Diagrama de Continuación, Temperatura contra Temperatura de 
Alimentación 
 
62 
 
 
 
 
FACULTAD DE QUÍMICA INTRODUCCIÓN 
 
 1 
 
INTRODUCCIÓN 
 
En la actualidad la simulación de procesos ha llegado a ser una herramienta ampliamente 
utilizada en el diseño y operación de procesos químicos. Se puede definir a la simulación como la 
representación de un proceso mediante un modelo matemático, el cual deberá resolverse con el 
objetivo de recopilar información acerca del comportamiento del mismo. 
La representación de un proceso químico en un modelo matemático requiere de una profunda 
comprensión de los fenómenos físicos, químicos y biológicos que se llevan a cabo en las distintas 
operaciones y procesos unitarios que dan forma a un proceso o planta industrial. 
Las primeras nociones acerca del análisis de procesos y con una aplicación industrial fueron 
publicadas por Kesler y Kessler, 1958. (10) En los años setentas y ochentas se da un importante 
desarrollo de programas por computadora o ”software” comerciales con aplicaciones en diversos 
campos de la industria. Por esto, hoy en día estos programas se encuentran en una fase de 
investigación muy completa, donde los métodos de convergencia son tan robustos que permiten 
simular o modelar cualquier tipo de proceso u operación y reducir drásticamente el tiempo de 
cálculo y su posterior análisis. 
Este tipo de herramientas computacionales ha crecido fuertemente para facilitar el análisis de 
procesos, debido al avance de las teorías aplicadas para robustecer o hacer más específicas las 
ecuaciones derivadas de los principios de conservación. Esto se traduce en la mejora de los 
modelos desarrollados para las operaciones unitarias disponibles en las librerías de los programas 
de simulación de procesos. 
 
En el capítulo 1 se plantea la importancia del modelo matemático como procedimiento 
fundamental para representar un proceso mediante ecuaciones matemáticas. Cuando éste se 
encuentra en etapa de diseño o en un proceso existente y del cual se requiere información acerca 
de su comportamiento ante el cambio de sus parámetros de diseño y variables de entrada que 
pueden perturbar al sistema. Además, se presenta la diferencia entre los modelos teóricos, semi-
teóricos y experimentales, como tres distintas formas de dar tratamiento matemático y estadístico 
a un sistema en estudio. 
 
 
FACULTAD DE QUÍMICA INTRODUCCIÓN 
 
 2 
 
En éste capítulo también se justifica a la simulaciónde procesos como la culminación y prueba 
de un modelo matemático; cómo una de las etapas de la ingeniería de procesos, y del tipo de 
información que se puede obtener llevando acabo una simulación dinámica y a régimen 
permanente. 
 
En el capítulo 2 del presente trabajo se aborda un resumen de los métodos de convergencia más 
utilizados para la resolución de sistemas simultáneos de ecuaciones no lineales. Resaltando las 
ventajas y desventajas de cada uno de los métodos y los algoritmos que los componen. 
Este capítulo también contiene la teoría aplicada en la determinación de múltiples estados 
estacionarios; las condiciones para obtener el máximo número de estados; y los diagramas de 
continuación como un gráfico para representar los cambios en las variables de salida. 
 
En el capítulo 3 se proponen los problemas de estudio, los cuales fueron susceptibles de un 
análisis de estados estacionarios múltiples y estabilidad. Se hace énfasis en el modelado de cada 
caso, partiendo de un esquema que represente de manera elemental el fenómeno que sucede 
dentro del proceso. Los tres casos corresponden a un sistema de reacción de flujo continuo y 
disponen de un intercambiador de calor como medio de enfriamiento. Es conocido que estos 
sistemas llegan a presentar inestabilidad y por consecuencia más de un estado estacionario, 
debido a la integración de calor. En éste tipo de esquema se pretende aprovechar el calor liberado 
por una reacción exotérmica, intercambiando calor con la corriente de alimentación que a su vez 
requiere de precalentamiento para iniciar la reacción. 
 
En el capítulo 4 se presentan los resultados del cálculo de estados estacionarios, obtenidos con 
algoritmos de convergencia local y global, programados en rutinas para el lenguaje matemático 
Matlab. Se analizan también los resultados mostrando las ventajas de cada método de 
convergencia. 
Adicionalmente se presentan los anexos I y II. En el anexo I se da una breve descripción de los 
lenguajes algebraicos que son utilizados por los modernos programas de cómputo para el cálculo 
de sistemas de ecuaciones. En el anexo II se tiene como referencia las rutinas utilizadas en éste 
trabajo para el cálculo de los estados estacionarios y las simulaciones dinámicas. 
FACULTAD DE QUÍMICA OBJETIVOS 
 
 1 
OBJETIVOS 
 
El presente trabajo tuvo como metas los objetivos siguientes 
 
• Analizar la conducta no lineal de tres esquemas particulares propuestos para 
reactores químicos, los cuales tienen en común una envolvente de precalentamiento o 
enfriamiento debido a que son sistemas de reacción exotérmicos. 
 
• Derivar los modelos matemáticos que representen a los tres casos en forma 
particular para una operación en régimen permanente y dinámico. 
 
• Resolver los modelos matemáticos correspondientes para la operación en régimen 
permanente, haciendo uso de los métodos numéricos de convergencia global y de 
continuación. Comparar los resultados mostrando las ventajas y desventajas de dichos 
métodos. 
 
 
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 1 
 IMPORTANCIA DEL MODELADO MATEMÁTICO 
 
 
 
 4 
CAPÍTULO 1 
IMPORTANCIA DEL MODELADO MATEMÁTICO 
 
Es conocido que el procedimiento metodológico fundamental para resolver un problema en 
ingeniería consiste en presentarlo de manera adecuada, de tal forma que la sustitución de un 
sistema real (equipo, proceso, etc.) por uno más adecuado nos permita su tratamiento. Las 
herramientas lógico matemáticas nos brindan un marco útil para representar por medio de un 
sistema de símbolos y reglas el comportamiento de los sistemas reales. Con lo anterior se logra 
construir un nuevo sistema del cual conocemos sus reglas y símbolos, como un proceso de 
abstracción de la realidad. Obviamente, dado la infinita complejidad de los fenómenos físicos y 
químicos, estas construcciones abstractas, conocidas como modelos son sólo meras 
aproximaciones a la realidad. Por ejemplo, no es otra cosa lo que se realiza cuando en física 
utilizamos ecuaciones para describir el movimiento de una partícula o resolvemos los balances 
correspondientes aplicando las leyes de conservación; o bien cuando nos enfrentamos al diseño 
de equipo según los procedimientos a partir del campo de las operaciones unitarias. De aquí 
podemos decir que si bien el sistema real a estudiar es único, puede existir un número muy 
grande de modelos asociados al mismo. (19) 
Para obtener un modelo que pueda resolverse, es decir que sea útil, resulta necesario adoptar un 
conjunto de restricciones y parámetros que acoten el modelo; las necesidades de exactitud que el 
problema a resolver nos impone, determinan el conjunto de hipótesis o suposiciones a utilizar. (19) 
Resulta evidente que no todo sistema de ecuaciones puede resolverse fácilmente, al menos desde 
el punto de vista analítico. Esto impuso a lo largo de la historia limitaciones importantes al tipo 
de modelos que podían resolverse, o de otra manera la necesidad de recurrir a hipótesis 
inadecuadas o restrictivas para al menos poder tratar el problema. Es por ello que los modelos 
podían ser considerados como empíricos o heurísticos, es decir, con parámetros que surgían de 
experiencias y no a partir de los principios o leyes fundamentales. Aún el día de hoy, existe la 
necesidad de utilizar permanentemente parámetros en los modelos y por tanto implica la 
necesidad de reemplazar las leyes de conservación por aproximaciones obtenidas de datos 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 1 
 IMPORTANCIA DEL MODELADO MATEMÁTICO 
 
 
 
 5 
experimentales. Éste es el caso del cálculo de las propiedades de equilibrio de mezclas de 
comportamiento altamente no ideal. (19) 
A manera de resumen podemos decir que el modelado es el proceso de construcción de un 
modelo. Un modelo es una representación de un sistema, con el propósito de explicar, entender o 
mejorar un sistema. 
 
Cualquier conjunto de reglas para desarrollar modelos tiene utilidad limitada y sólo puede servir 
como una guía sugerida. El arte de modelar consiste en la habilidad para analizar un problema, 
resumir sus características esenciales, seleccionar y modificar las suposiciones básicas que 
caracterizan al sistema y luego enriquecer y elaborar el modelo hasta obtener una aproximación 
útil.(19) 
Los pasos sugeridos para este proceso son: (19) 
 
1. Establecer una definición clara de los objetivos. 
2. Analizar el sistema real. 
3. Dividir el problema en problemas más simples. 
4. Buscar analogías. 
5. Determinar las variables de interés. 
6. Aplicar las leyes de conservación o ecuaciones empíricas que describen los fenómenos 
presentes y relacionan las variables de interés. 
7. Si se tiene un modelo manejable, enriquecerlo, de otra manera simplificarlo. 
 
Generalmente, simplificar un modelo implica: 
• Convertir variables en constantes. 
• Combinar variables para y agrupar en parámetros. 
• Suponer linealidad. 
• Agregar suposiciones y restricciones. 
 
 
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 1 
 IMPORTANCIA DEL MODELADO MATEMÁTICO 
 
 
 
 6 
1.1. MODELOS EXPERIMENTALES CONTRA TEÓRICOS (19) 
El modelo que se orienta a reproducir las salidas del sistema real, sin intentar modelar las 
relaciones entre los fenómenos que se observan en un sistema, será un modelo experimental o de 
caja negra. Un modelo experimental requiere una gran cantidad de datos para poder ajustarlo 
correctamente y su región de validez está limitada a este conjunto de datos. 
En contraposición, un modelo teórico requiere una cantidad menor de datos y puede ser utilizado 
fuera del rango de los mismos ya que la región de validez del modelo está dada por la teoría 
utilizada y no por los datos experimentales. 
 
A manera de ejemplo de un modelo de caja negra considere un calentador de agua mediante una 
resistencia eléctrica. Donde se pretende calcular el tiempo de calentamiento requerido de una 
cantidad dada de agua hasta una temperaturadeseada. Para ello será necesario medir la 
temperatura iTm en N determinados instantes it y luego ajustar gráficamente una curva t vs. Tm , 
o ajustar matemáticamente con el criterio de mínimos cuadrados los coeficientes a de un 
polinomio ( )taP , resolviendo el siguiente problema de optimización: 
 
( )( )∑
=
−
N
i
ii tTmaPMin
1
2, 
 
Donde, el tiempo requerido para alcanzar una temperatura específica será dado por este 
polinomio ya ajustado. 
Un problema del modelo anterior es que se vuelve inútil cuando se cambia la cantidad de agua en 
el recipiente. Este problema puede ser resuelto incorporando la variable M al modelo, pero serán 
necesarios nuevos datos experimentales para distinto valores de M. Otra desventaja es que el 
modelo no puede ser utilizado para temperaturas que estén fuera del intervalo de las temperaturas 
de los datos experimentales. Un modelo con base teórica requeriría mucho menos experimentos, 
o quizás ninguno, y el intervalo de temperaturas posibles sería mayor. 
 
 
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 1 
 IMPORTANCIA DEL MODELADO MATEMÁTICO 
 
 
 
 7 
1.2. MODELOS TEÓRICOS Y SEMI-TEÓRICOS (19) 
Debido a las limitaciones todo modelo con base teórica siempre tiene una parte empírica. Porque 
que no existe una teoría apropiada o su implementación es demasiada compleja; siempre es 
necesario recurrir a un experimento para determinar el valor de algún parámetro o definir alguna 
relación entre las variables. 
 
En el caso del calentador de agua, se puede desarrollar un modelo con base teórica que considere 
la ley de Ohm, las leyes de Kirchhoff, el efecto Joule o la ley de Fourier de la conducción de 
calor. Sin embargo, la capacidad calorífica Cp del agua generalmente se calcula utilizado un 
polinomio que es función de la temperatura. Este es un modelo de caja negra ya que sólo modela 
la relación que existe entre la temperatura T y la salida Cp . 
Cuando se desarrolla un modelo estadístico se puede utilizar un sinnúmero de funciones teóricas 
de distribución; pero invariablemente será necesario determinar algún parámetro en forma 
experimental, como por ejemplo, el valor medio y la varianza de la muestra. 
Cuando el problema involucra más de una variable independiente se suele dejar de lado el 
polinomio a favor de una función que tenga base teórica o empírica. Este es el caso de los 
modelos estadísticos donde las funciones a ajustar no son polinomios, la ley de los gases ideales 
es otro ejemplo. 
 
1.3. IMPORTANCIA DE LA SIMULACIÓN 
La simulación de procesos químicos está naturalmente vinculada al cálculo de los balances de 
materia y energía de un proceso cuya estructura y datos preliminares de los equipos son 
conocidos. Además del ciclo iterativo que constituye la actividad básica del diseño de procesos, 
los simuladores de procesos son la herramienta más importante junto con la optimización en la 
etapa de análisis. Luego de haberse generado diversas alternativas estructurales viables para un 
proceso dado, deberán evaluarse cada una de ellas. Esto implica el cálculo de los respectivos 
balances, los servicios auxiliares, etc. Con estos datos, que abarcan las propiedades de todas las 
corrientes del proceso, se está en condición de obtener un costo preliminar; además de otros datos 
importantes, tales como emisiones al medio ambiente, etc. Ello dará una base para discriminar 
entre diversas opciones posibles, o bien para verificar el desarrollo de un diseño ya decidido en 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 1 
 IMPORTANCIA DEL MODELADO MATEMÁTICO 
 
 
 
 8 
sus etapas más avanzadas, como puede ser el control, confiabilidad, y viabilidad de la puesta en 
marcha y paro del proceso. 
Para poder decidir es necesario saber como responderá un sistema ante una determinada 
perturbación. Esto podría hacerse por experimentación con el sistema mismo, pero factores de 
costos, seguridad y otros, hacen que esta opción generalmente no sea viable. A fin de superar 
estos inconvenientes, se sustituye el sistema real por otro que en la mayoría de los casos es una 
versión simplificada. Este último sistema es el modelo a utilizar para llevar a cabo las 
experiencias necesarias. Al proceso de experimentar con un modelo se denomina simulación. 
La simulación es conveniente cuando: (19) 
 
• No existe una formulación matemáticamente con solución. 
• Existe una formulación matemática, pero es difícil obtener una solución analítica. Los 
modelos matemáticos utilizados para modelar un reactor nuclear o una planta química son 
imposibles de resolver en forma analítica sin realizar serias simplificaciones. 
• No existe el sistema real. Es problema del ingeniero que tiene que diseñar un sistema 
nuevo. El diseño del sistema mejorará notablemente si se cuenta con un modelo adecuado 
para realizar la simulación. 
 
1.3.1. CLASIFICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE SIMULACIÓN (19) 
Se puede considerar a la tarea de simulación como aquella en la cual se proponen ciertos valores 
de entrada al simulador o programa de simulación para obtener ciertos resultados o valores de 
salida, tales que predicen el comportamiento del sistema real bajo esas condiciones. 
La simulación cuantitativa, es aquella que describe numéricamente el comportamiento de un 
proceso, a través de un modelo matemático del mismo. Para ello se procede a la resolución de los 
balances de materia, energía, junto con las restricciones que imponen aspectos funcionales y 
operacionales del sistema. La simulación cuantitativa abarca principalmente la simulación en 
estado estacionario y la simulación dinámica. 
 
 
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 1 
 IMPORTANCIA DEL MODELADO MATEMÁTICO 
 
 
 
 9 
1.3.2. SIMULACIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE Y DINÁMICO (19) 
La simulación en estado estacionario implica resolver los balances de un sistema sin involucrar la 
variable tiempo, por lo que el modelo a resolver se compone de ecuaciones algebraicas. 
Por otra parte, como su nombre lo indica, la simulación dinámica plantea los balances en su 
dependencia con el tiempo, ya sea para representar el comportamiento de equipos en operación 
intermitente, o bien para analizar la evolución que se manifiesta entre la transición de dos estados 
estacionarios. En éste caso, el modelo matemático estará constituido por un sistema de 
ecuaciones diferenciales. En caso contrario, se deberá resolver un sistema de ecuaciones 
diferenciales parciales, que abarcan tanto las coordenadas espaciales como temporal. 
 
1.3.3. LOS SIMULADORES DE PROCESOS 
Debe diferenciarse la noción de un simulador general de procesos químicos de un programa de 
simulación de equipos o unidades operacionales. En efecto, mientras que para estas últimas sólo 
se requiere el modelo del equipo y un sistema de entrada y salida de datos. Para un simulador 
general de procesos, en primer lugar debe contemplarse una biblioteca de módulos individuales 
para poder simular distintas operaciones o equipos de proceso. Deberá programarse la manera en 
que están interconectados los equipos, de acuerdo al diagrama de flujo de proceso, además de la 
metodología de ingreso de datos, el orden y la secuencia de cálculo. 
El orden y la secuencia de cálculo dependerán de cada caso en particular y será un nuevo aspecto 
a tener en cuenta en la programación del simulador. Además de utilizarse métodos numéricos 
para la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales tanto algebraicas como diferenciales. 
Por otra parte, los aspectos vinculados a los cálculos de propiedades fisicoquímicas son diferentes 
si se plantea el problema de un equipo dado procesando una mezcla determinada; o bien un 
sistema generalizado capaz de simular diversos procesos de separación. En este caso deberá 
contarse con un sistema de cálculo de propiedades generalizado, lo cual implica un problema de 
magnitud muy importante, ya que deberá tener la capacidad para calcular las propiedades 
fisicoquímicas y termodinámicastanto de sustancias puras como para mezclas. En suma, son 
numerosos los aspectos instrumentales y metodológicos que deben superarse al diseñar un 
simulador de propósitos generales.(19) 
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 1 
 IMPORTANCIA DEL MODELADO MATEMÁTICO 
 
 
 
 10 
1.3.4. LA SIMULACIÓN DE PROCESOS 
Existen dos filosofías en la que operan los simuladores de proceso, la orientada a ecuaciones o 
llamada simulación simultánea y la simulación modular secuencial. 
El enfoque de la simulación simultánea consiste en plantear un modelo matemático que 
represente al proceso; construyendo un sistema de ecuaciones algebraicas que representa a todo el 
conjunto o planta a simular. De esta forma el problema se traduce en resolver un gran sistema de 
ecuaciones que por lo general es altamente no lineal. Como ejemplo puede citarse que en 
problemas típicos de simulación de una columna de destilación por métodos rigurosos, el sistema 
de ecuaciones puede llegar a contener más de mil variables. 
 
El problema principal asociado a la filosofía orientada a ecuaciones es la convergencia del 
sistema y la consistencia de las soluciones que se encuentran. Los sistemas altamente no lineales 
pueden producir múltiples soluciones, basta con recordar el caso de los reactores adiabáticos con 
reacciones exotérmicas. Además la solución numérica para grandes sistemas exige iniciaciones 
apropiadas, de lo contrario pueden presentarse serios problemas para hallar la convergencia. 
 
Una ventaja importante es que puede lograrse una velocidad de convergencia cuadrática, es decir, 
mayor que los simuladores secuenciales. Además, dado que el sistema se plantea orientado a 
ecuaciones, es posible incorporar las expresiones de restricción para definir problemas de 
optimización en forma directa. Esta flexibilidad es imposible en los simuladores modulares 
secuenciales, debido a que los módulos están orientados y definidos en forma rígida.(19) 
 
Los simuladores modulares secuenciales se basan en módulos independientes, donde cada equipo 
en particular está modelado muchas veces en principios de conservación. Además el sentido de la 
información durante su solución coincide con el flujo físico del proceso. En esta filosofía se tiene 
como ventaja el hecho de que cada sistema de ecuaciones es resuelto con una metodología que 
resulta adecuada para el mismo, ya que es posible analizar bajo todas las circunstancias posibles, 
el comportamiento del método de resolución propuesto, esto es en sistemas ideales y no 
ideales.(19) 
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 1 
 IMPORTANCIA DEL MODELADO MATEMÁTICO 
 
 
 
 11 
Conceptualmente bajo esta filosofía, para cada modulo de simulación (equipos) deberá plantearse 
su modelo. Obviamente, para encarar la solución de cualquier sistema de ecuaciones deben 
diferenciarse los valores conocidos y los que deben calcularse, todo esto teniendo en cuenta los 
grados de libertad, es decir, la compatibilidad entre el número de ecuaciones y de incógnitas, a fin 
de obtener un sistema de solución única. 
 
En la teoría modular secuencial por definición supone que se conocen o especifican las variables 
de las corrientes de entrada, mientras que deben calcularse las corrientes de salida y los 
correspondientes parámetros de operación. Esto impone cierta rigidez que aumenta el tiempo de 
cálculo del proceso. Sin embargo, resulta conveniente desde otro punto de vista, ya que de esta 
manera se impone una dirección al flujo de información entre módulos. Para el análisis de los 
grados de libertad, las combinaciones posibles de especificación de variables son enormes, 
incrementándose en forma dramática la cantidad de módulos a disponer si se quisiera cubrir todas 
las posibilidades. Por ejemplo, en los intercambiadores de calor en contracorriente si se suponen 
conocidas las corrientes de entrada (presión, temperatura y fase), el sistema de ecuaciones 
correspondiente queda determinado sólo cuando se asignan ciertos parámetros de equipo, será 
necesario que el usuario los asigne como datos.(19) 
 
Resumiendo, en un simulador modular se define cada modulo por un sistema de ecuaciones 
independiente que se resuelve de la manera más optima; subordinados sin embargo a las 
limitaciones que impone la especificación de variables seleccionadas. Esto implica una ventaja en 
el sentido que se podrían utilizar progresivamente distintos niveles de calculo dependiendo de la 
etapa del proyecto en la que se realiza la simulación, o bien en función de los datos disponibles 
hasta el momento, aprovechando el conocimiento que proviene de la experiencia y análisis del 
método de convergencia para cada caso en particular.(19) 
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 2 
 MARCO TEÓRICO 
 
 
 
 12 
CAPÍTULO 2 
MARCO TEÓRICO 
 
La ingeniería de procesos proporciona las herramientas conceptuales para concebir y diseñar un 
proceso capaz de transformar materias primas a un costo mínimo en productos deseados. 
Partiendo únicamente de las propiedades físicas y químicas de los productos y de los servicios 
disponibles para llevarlo a cabo. 
El diseño de procesos se puede dividir en tres etapas básicas: 
 
• Síntesis 
• Análisis 
• Optimización. 
 
La síntesis de procesos consiste en la selección adecuada de la concatenación de aquellas 
operaciones unitarias que darán forma a una estructura preliminar del proceso. Durante ésta 
primer etapa, la selección se concentra en la discriminación entre distintas opciones que pueden 
resolver el mismo problema, generalmente se escoge la que sea más factible tanto técnica como 
económicamente. 
El análisis de procesos se divide en tres etapas: la solución de los balances de materia y energía, 
el dimensionamiento y costo de los equipos, y finalmente la evaluación económica. Dentro de la 
etapa de análisis la parte fundamental es la solución de los balances, debido a que se pretende 
encontrar los valores de composición o calidad que tendrá que cumplir el producto, ya que de 
estos dependerá la dimensión correcta de los equipos de proceso y por consecuencia el valor 
económico de un proyecto total de ingeniería y construcción. 
 
 
 
 
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 2 
 MARCO TEÓRICO 
 
 
 
 13 
2.1. MODELADO DE PROCESOS 
Los cálculos de balances desempeñan una tarea importante en el diseño preliminar y final, y 
durante la operación de un proceso. Para cumplir con la etapa de análisis es necesario representar 
las operaciones unitarias mediante un conjunto de ecuaciones matemáticas algebraicas o 
diferenciales, cuya solución conduzca al estado estacionario o comportamiento dinámico. 
 
El proceso mediante el cual se construye éste conjunto de funciones capaz de explicar el 
comportamiento de un proceso se llama modelamiento. Con éstos sistemas de ecuaciones 
podemos determinar los flujos, composiciones y temperaturas de las corrientes de un diagrama de 
flujo de proceso. 
Para derivar el modelo de un proceso (tanque calentado, reactor, columna de destilación, 
intercambiador de calor, etc.) se necesita cumplir con los siguientes puntos: 
 
• Establecer un conjunto de cantidades dependientes cuyos valores describirán el 
estado del sistema. 
• Definir un conjunto de ecuaciones con las variables que describirán como cambia 
el estado del sistema con el tiempo. 
 
En muchos de los procesos de interés para un ingeniero químico existen tres cantidades 
fundamentales: masa, energía y momentum. En ocasiones éstas cantidades no pueden ser 
medidas o registradas directamente, por eso se seleccionan variables que agrupadas 
correctamente determinan el valor de esas magnitudes fundamentales. 
 La masa, la energía y el momentum pueden ser puestos en función de variables como la 
densidad, concentración, temperatura, presión y flujo. Estas variables características son llamadas 
variables de estado y sus valores definen el estado de un proceso. Las ecuaciones quelas 
relacionan son derivadas de aplicar los principios de conservación, y son llamadas ecuaciones de 
estado. 
Las ecuaciones de estado constituyen el modelo matemático de un proceso y son representadas 
por ecuaciones diferenciales cuya solución determinará cómo las magnitudes fundamentales o 
equivalentemente las variables de estado, cambian con el tiempo; es decir, el comportamiento 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 2 
 MARCO TEÓRICO 
 
 
 
 14 
dinámico del proceso. Si las variables de estado no cambian con el tiempo se dice que el proceso 
se encuentra en estado estacionario. 
Uno de los principales problemas en el diseño de procesos y el análisis de plantas químicas son 
sus estados estacionarios. Especialmente cuando el proceso está representado por ecuaciones no 
lineales, donde la solución de los estados implica soluciones numéricas y que frecuentemente 
requieren de métodos de convergencia sofisticados. 
 
La no-linealidad en una ecuación algebraica implica que podemos obtener más de una solución 
de ésta. Este comportamiento llevado a procesos químicos quiere decir que se puede presentar 
más de un estado estacionario. Tener más de un estado no quiere decir que todos sean validos, 
deberán descartarse aquellos que están fuera de un intervalo en el que puede operar el proceso. 
Después de obtener aquellos posibles estados, se recurre a un análisis para determinar la 
estabilidad de cada uno y redefinir así un intervalo en el que por razones de especificación de 
producto, seguridad, regulaciones ambientales y económicas; deberá operar el proceso. 
 
2.2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES Y MÉTODOS DE 
CONVERGENCIA 
Con frecuencia el sistema de ecuaciones obtenido durante el modelamiento es poco factible de 
resolver analíticamente, debido a su complejidad estos pueden estar representados por funciones 
transcendentales que son no lineales en alguna de sus variables. Un ejemplo muy común es el 
balance de materia y energía de los reactores químicos, el término que introduce la no linealidad 
es la cinética de reacción, ya que si ésta es de orden mayor a 1 hace necesario el uso de algún 
método numérico para hallar las posibles soluciones. El cálculo numérico no garantiza que se 
tiene la solución correcta al problema, en caso de obtener más de una, que todas sean estables, es 
decir, que permanezcan en régimen permanente ante alguna perturbación. 
Los métodos de convergencia para la solución de sistemas de ecuaciones no lineales se pueden 
clasificar en: 
• Convergencia local 
• Región ampliada 
• Convergencia global. 
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 MARCO TEÓRICO 
 
 
 
 15 
Los métodos de convergencia local son llamados así porque pueden resolver el conjunto de 
ecuaciones si el vector de estimados iniciales se encuentra lo suficientemente cerca del vector 
solución. Los métodos de región ampliada contienen modificaciones que amplían la región donde 
podría hallarse más de un vector solución. Los métodos de continuación son algoritmos que 
generan una trayectoria que conecta con todos los posibles vectores solución. 
 
2.2.1. MÉTODO DE SUSTITUCIONES SUCESIVAS 
La idea básica de este método consiste en el uso de la ecuación cuya solución se busca, para 
generar directamente el siguiente estimado inicial. Concretamente se busca un arreglo del sistema 
de ecuaciones ( ) 0=XF de la forma ( )XGX = , de esta manera puede utilizarse la función ( )XG 
para calcular el siguiente estimado. El proceso iterativo finaliza cuando los estimados sucesivos 
ya no cambian apreciablemente. El algoritmo es el siguiente: 
 
1. Arreglo de la ecuación ( ) 0=XF para ponerla de la forma ( )XGX = . 
2. Proponer un estimado inicial oX y un criterio de convergencia 0>ε . 
3. Calcular ( )kk XGX =+1 . 
4. Comparar 
1k k
X X ε
+
− ≤ , si se cumple terminar las iteraciones. 
5. Si no regresar al paso 1. 
 
Se puede decir que el éxito de la convergencia depende del arreglo de la función ( )XGX = . 
Este método es muy simple por tanto fácil de usar, pero a menudo se presentan divergencias, por 
lo tanto es fuertemente dependiente del estimado inicial. 
 
2.2.2. MÉTODO DE NEWTON 
El método de Newton consiste en aproximar la función ( ) 0=XF mediante la expansión de la 
serie de Taylor en la primera derivada alrededor de un punto aX que suponemos está cercano al 
vector solución sX . 
1- -1 
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 16 
( ) ( )kkkk XFJXX 11 −+ −= , donde kX es el k-esimo estimado de la solución, ( ) 1−kJ es la inversa 
de la matriz jacobiana, y ( )kXF los valores de la función, evaluada usando el k-esimo estimado. 
 
2.2.3. MÉTODOS QUASI – NEWTON 
En estos métodos el vector ( ) 0=XF se sustituye por un vector de funciones lineales de la 
siguiente forma: ( ) 0=+= bXAXF , donde A es una matriz de coeficientes. 
 
2.2.4. MÉTODO DE LA SECANTE 
Si se considera que la función )(XF se puede aproximar con la forma [ ] bXAXe +=)( , entonces 
para cada paso iterativo se puede escribir como: 
[ ] bXAe += 00 
[ ] bXAe += 11 
[ ] bXAe += 22 
. 
. 
. 
[ ] bXAe NN += 
 
De lo cual se obtienen 1+n ecuaciones lineales que pueden ser expresadas en términos de una 
diferencia, 
[ ]( ) 101011 XAXXAeee ∆=−=−=∆ 
[ ]( ) 212122 XAXXAeee ∆=−=−=∆ 
. 
. 
. 
[ ]( ) NNNNNN XAXXAeee ∆=−=−=∆ −− 11 
 
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 17 
El conjunto de ecuaciones se agrupará para formar el arreglo siguiente: 
 
[ ] [ ] [ ]NNNN XXXXAeeee ∆∆∆∆=∆∆∆∆ −− 121121 ... ... 
 
Agrupando: [ ] [ ][ ]XAE ∆=∆ 
 
 
 
Despejando [ ] [ ][ ] 1 −∆∆= XEA y de la aproximación lineal se tiene [ ] kk XAeb −= entonces para 
el punto en el cual se tiene la raíz de la ecuación vectorial: 
 
[ ] 0)( =+= bXAXe solsol 
 
[ ] [ ] [ ]( )kksol XAeAbAX −−=−= −− 11 
Obteniéndose la expresión de convergencia 
[ ] kkk eAXX 11 −+ −= 
o bien 
[ ][ ] kkk eEXXX 11 −+ ∆∆−= 
 
2.2.5. MÉTODO DE LA SECANTE GENERALIZADA 
 
Éste método propone la aproximación de la matriz [ ]kJ a través de la forma siguiente. 
 
Partiendo de la consideración [ ] 121 XAe ∆=∆ y que se calcula [ ] [ ] TvuAA 1112 += en donde: 
 
 
[ ] [ ] TvuAA 1112 += , nótese que 
1
21
22212
12111
11
...
......
...
...












=
NNNN
N
N
T
vuvuvu
vuvuvu
vuvuvu
vu 
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 MARCO TEÓRICO 
 
 
 
 18 
Así que al sustituir la aproximación de [ ]1+kA se tendrá: 
 
[ ]( ) 11111 XvuAe T ∆+=∆ 
 
Obteniéndose la aproximación del vector 
[ ]
11
111
1
Xv
XAe
u T
∆
∆−∆
= . 
 
 
 
A partir de la regla de ortogonalización de Gram-Schmidt se puede escribir 
 
( )
11
121
22
XX
XXX
Xv T
T
∆∆
∆∆∆
−∆= 
 
y generalizando se tendrá 
 
[ ] [ ] [ ]
kTk
kkk
kk
Xv
XAe
AA
∆
∆−∆
+=+1 
 
con 
( )
11
11
k
−−
−−
∆∆
∆∆∆
−∆=
kTk
kkTk
k
XX
XXX
Xv 
 
 
si k > 1 y kXv ∆=k si k = 1 
 
 
2.2.6. MÉTODO DE BROYDEN 
 
Se aproxima a [ ]1+kA como [ ] [ ]111 +−+ = kk HA en donde 
 
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] kkTk
kTkkk
kk
eHv
HvuH
HH
∆
−=+
 1 
 
 
 
 
 
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 19 
2.2.7. MÉTODO ACELERACIÓN DE WEGSTEIN 
La aceleración de Wegstein es más simple ya que trata a cada variable de forma unidimensional, 
ignorando las interacciones con las demás variables. 
 
2.2.8. MÉTODO DE CONTINUACIÓN Y HOMOTOPIA 
Los métodos de continuación y de homotopia no resuelven directamente las ecuaciones no 
lineales, sino que gradualmente encuentra una raíz comenzando desde un estimado inicial que 
satisface una segunda ecuación más simple. 
El método de homotopia se basa en la construcción de una función ( )tXh , ; la cual esta 
constituida por las funciones ( )XF , ( )Xg y un parámetro t. 
Donde el parámetro t es gradualmente variado de 0 a 1 para graficar la trayectoria que conecte 
ambas funciones, ( )XF y ( )Xg . 
La función homotópica puede ser construida de acuerdo a lascaracterísticas de cada sistema, pero 
consumiría tiempo. Por lo que, alternativamente se puede utilizar dos funciones canónicas 
llamadas: Homotopia de Newton y Homotopia de punto fijo. 
 
La función homotopica es: 
 
0)()1()(),( =−+= jijiji xgtxtftxh 
Las expresiones para ( )ji xg son: 
Homotopia de Newton: )()()( ojijiji xfxfxg −= 
 
Homotopia de punto fijo ojjji xxxg −=)( 
 
 
 
 
 
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 MARCO TEÓRICO 
 
 
 
 20 
Considerando la dependencia de jx y de t con respecto a la longitud de arco s se tendrá 
0))(),(( =stsxh ji . Y al aplicar la regla de la cadena: 
 
∑
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂n
j s
t
s
xj
xj
hi
1
0 , (1) 
i = 1, 2, ... , n 
 
Y además se cumple que 
 
∑
=
=





∂
∂
+





∂
∂n
j s
t
s
xj
1
22
1 (2) 
 
La ecuación (1) se puede escribir en forma matricial como: 
[ ]
s
t
H
t
x
s
J
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
. 
Cuya solución será: 
[ ]
s
t
H
t
Jx
s ∂
∂






∂
∂
−=
∂
∂ −1 
Y que puede ser expresada como: 
s
t
x
s ∂
∂
−=
∂
∂
β 
En donde [ ]






∂
∂
= − H
t
J 1β o en notación de índices 
s
t
jxj
s ∂
∂
−=
∂
∂
β (3) 
 
Al sustituirse (3) en (2) lleva a que: 
∑
=
=





∂
∂
+





∂
∂
−
n
j s
t
s
t
j
1
22
1β 
 
 
 
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 21 
Por lo tanto: 
∑
=
+
±=
∂
∂
n
j
j
s
t
1
2 1
1
β
 (4) 
Y al sustituir (4) en (3) 
∑
=
+
±=
∂
∂
n
j
j
j
s
xj
1
2 1β
β
 (5) 
Finalmente se tendrá que resolver: 
s
s
x
xx
k
jk
j
k
j ∆





∂
∂
+=+1 
s
s
t
tt
k
jk
j
k
j ∆





∂
∂
+=+1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 22 
2.3. MULTIPLICIDAD DE ESTADOS ESTACIONARIOS 
En ingeniería de procesos es frecuente conocer el comportamiento de un sistema en estudio, en 
muchos de los casos es necesario saber si el modelo matemático que representa a un proceso o 
planta puede tener más de una solución; cuál es la respuesta del sistema ante alguna perturbación 
de las variables de entrada y determinar como afecta al sistema un cambio en los parámetros 
diseño u operación. 
El ejemplo más común del cálculo de múltiples soluciones de sistemas no lineales, son los 
reactores químicos de flujo continuo, en los cuales se busca la solución simultanea del balance de 
masa en términos de una expresión cinética para una reacción exotérmica de primer orden, y el 
balance de energía en función de la entalpía de reacción. Los primeros antecedentes de estudio 
fueron realizados por Van Heerden en 1953.(21) Demostró que dichos sistemas pueden presentar 
múltiples estados estacionarios y que algunos de ellos son inestables ante pequeñas 
perturbaciones. 
 
2.3.1. TEORÍA DE SINGULARIDAD 
La teoría de singularidad proporciona una herramienta poderosa para la determinación del 
número máximo posible de estados y los parámetros para los cuales se presentan éstos. 
( ) 0,, =pxF λ 
Donde x representa el estado del sistema, λ es un parámetro del sistema, y p es un vector que 
contiene el resto de los parámetros. La diferencia entre λ y p es que λ puede tomar cualquier 
valor en un intervalo [ ]ba λλ , , mientras que los parámetro en p permanecen constantes. 
 
2.3.1.1. PUNTO SINGULAR 
Se define como un punto singular a la solución de la ecuación ( ) 0,, =pxF λ si se cumple que: 
( )
0
,,
=
∂
∂
z
pxF λ
 
Si z = x, implica que existe multiplicidad de salida, si z = λ quiere decir que hay multiplicidad de 
entrada. 
Multiplicidad de salida: Se dice que un sistema presenta multiplicidades de salida cuando para un 
mismo valor del parámetro de continuación p presentan varios valores del estado x. 
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 23 
Multiplicidad de entrada: Se dice que un sistema presenta multiplicidades de entrada cuando para 
varios valores del parámetro de continuación [ ]ba λλ , se presenta el un mismo valor del estado x. 
El conjunto de puntos singulares obtenidos por el cambio de un solo parámetro ya sea de entrada 
o salida, son graficados en los denominados diagramas de bifurcación, a lo largo de un intervalo 
[ ]ba, . Por tanto en este tipo de diagramas se puede ver la trayectoria que sigue uno de los estados 
ante el cambio de uno de los parámetros. Esta teoría es sólo aplicable a sistemas en estado 
estacionario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3: Diagrama de Continuación 
 
 
2.3.1.2. CONDICIONES PARA OBTENER EL NÚMERO MÁXIMO DE 
SOLUCIONES 
La teoría de la catástrofe establece que la función ( ) 0,, =pxF λ tendrá n soluciones si se cumple 
que: 
( ) 0...,,
1
1
=
∂
∂
=
∂
∂
=
−
−
n
n
x
F
x
F
pxF λ 
0≠
∂
∂
n
n
x
F
 
Los diagramas de bifurcación que un sistema puede presentar cambian cualitativamente cuando 
los parámetros de continuación cruzan alguna de las siguientes superficies. 
 
 
x 
λ 
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 24 
2.3.1.2.1 BIFURCACIÓN TIPO HISTÉRESIS 
Este tipo de bifurcación se forma por el conjunto de puntos ( )λ,x en el espacio de p cuando se 
satisfacen las siguientes funciones: 
 
( ) 0,, =pxF λ 
( )
0
,,
=
∂
∂
x
pxF λ
 
( )
0
,,
2
2
=
∂
∂
x
pxF λ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4: Diagramas de Continuación con Bifurcación Tipo Histéresis 
 
 
 
 
 
 
 
x x 
λ 
λ λ 
x 
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 25 
2.3.1.2.2 BIFURCACIÓN TIPO ISLAS 
 Este tipo de bifurcación se forma por el conjunto de puntos ( )λ,x en el espacio de p cuando se 
satisfacen las siguientes funciones: 
 
( ) 0,, =pxF λ 
( )
0
,,
=
∂
∂
x
pxF λ
 
( )
0
,,
=
∂
∂
λ
λ pxF
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.5: Diagramas de Continuación con Bifurcación Tipo Islas 
 
 
 
 
 
 
x 
x x 
x 
λ 
λ λ 
λ 
o C) 
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 26 
2.3.1.2.3. BIFURCACIÓN TIPO LIMITE DOBLE 
Este tipo de bifurcación se forma por el conjunto de puntos ( )λ,x en el espacio de p cuando se 
satisfacen las siguientes funciones: 
 
( ) 0,,1 =pxF λ 
( ) 0,,2 =pxF λ 
( )
0
,,
1
1 =
∂
∂
x
pxF λ
 
( )
0
,,
2
2 =
∂
∂
x
pxF λ
 donde 21 xx ≠ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6: Diagramas de Continuación con Bifurcación Tipo Límite Doble 
 
 
 
 
 
λ 
x 
x 
x 
x 
λ λ 
λ 
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 27 
2.3.1.3. INESTABILIDAD Y ESTABILIDAD DE ESTADOS 
Se dice que un estado estacionario es asintóticamente estable, si la variación del sistema ante una 
perturbación tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito. 
 
( ) St xtx  → ∞→ 
 
Es conocido que la estabilidad local de un sistema de ecuaciones puede ser determina 
examinando las propiedades de la función ( )xF
dt
dy
= linealizada alrededor del estado 
estacionario. 
( ) AyxF
dt
dy
== 
















−
−
=
S
nn
S
xx
xx
y
.
.
.
11
, A = Snn
S
n
nn
n
xxxx
x
F
x
F
x
F
x
F
==




























∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
...
...
...
...
...
...
11
1
1
1
1
 
 
 
La estabilidad local se determina por el signo de la parte real de los valores propios de A. Estos 
valores son dados por las raíces de la ecuación característica: 
 
( ) 0det2 =+− AtrA λλ 
 
Siendo estables aquellos puntos que presenten signo negativo, Re−=λ . 
El sistema será inestable cuando la parte real sea positiva: Re=λ . 
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 2 
 MARCO TEÓRICO 
 
 
 
 28 
Se dice que se tiene un punto límite cuando, a partir de este punto los sucesivos tendrán la parte 
real positiva, la región acotada por estos puntos en el diagrama de continuación será un conjunto 
de estados estacionarios inestables, como se muestra en la siguiente figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.7: Diagramade Continuación con Región Inestable 
* 
* 
Punto 
Límite 
Región Inestable 
Punto 
Límite 
λ 
x 
λ1 λ2 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 29 
CAPÍTULO 3 
CASOS DE ESTUDIO 
 
Es conocido que en procesos que involucran reacciones químicas exotérmicas se pueden lograr 
altas conversiones si se mantienen en un sistema isotérmico, sin embargo esto implicaría un alto 
costo en equipo, energía para precalentar la alimentación y el posterior enfriamiento de la mezcla 
de reacción. Además de largos tiempos de operación isotérmica. 
 
La lógica nos conduce a diseñar sistemas donde se pueda aprovechar el calor liberado por 
procesos exotérmicos. Es común encontrar investigaciones donde se habla de reactores con 
integración de calor, que no es más que incorporar un intercambiador de calor o una envolvente a 
los reactores químicos con la intención de disipar el calor utilizando como fluido de enfriamiento 
la misma alimentación. 
 
Los tres casos de estudio corresponden a reactores de flujo continuo con sus respectivos 
intercambiadores de calor. Estos sistemas son susceptibles de análisis de operabilidad debido a 
que llegan a presentar distintos estados estacionarios, teniendo intervalos donde se puede 
extinguir o desbocar la reacción química. 
 
Así mismo éste capítulo tiene por objetivo ejemplificar el modelamiento matemático de un 
sistema compuesto por un reactor y un intercambiador de calor. El procedimiento consiste en 
partir de un esquema que represente de la mejor forma al sistema en estudio, definir entradas y 
salidas, aplicar los principios de conservación de materia y energía. Y reducir a un sistema de 
ecuaciones con sus variables de estado explicitas. 
 
Cada uno de los sistemas de estudio tiene un distinto esquema de reacción. El primer caso 
corresponde a una reacción hipotética, irreversible y exotérmica, cuyos parámetros fueron 
definidos por Douglas, Orcutt y Berthiaume, (1962, pp. 253-257); la reacción química se lleva a 
cabo en un reactor de flujo continuo tipo tapón y dispone de un intercambiador de calor de tubos 
concéntricos para precalentar la alimentación al reactor. 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 30 
El segundo caso tiene como esquema de reacción la síntesis de amoniaco, éste sistema es 
conocido también porque requiere de un precalentamiento y de un mantenimiento de la 
temperatura de reacción para evitar desplazar el equilibrio y así extinguir la reacción. Por tanto, 
se ajusta bien al sistema propuesto para su modelamiento. Los parámetros utilizados para este 
modelo son los propuestos por Morud y Skogestad (1998, pp. 888-895) en el análisis de un 
reactor industrial. 
 
El tercer caso también es el de un reactor de tanque agitado, donde se lleva acabo una reacción 
hipotética en fase líquida; el reactor dispone de agua como fluido de enfriamiento, a través de un 
envolvente. Los parámetros son dados por Shacham, Brauner y Cutlip (1994). 
 
 
3.1. MODELAMIENTO DEL CASO 1 
Considere un elemento diferencial dónde sólo existe transporte de materia y energía en el eje 
axial z, y que ocurre una reacción química por descomposición térmica: 
.2CBA →+ ∆ 
Siendo una reacción de primer orden debido a que el reactivo B se encuentra en exceso. Existe 
transferencia de calor de los alrededores al sistema. La capacidad calorífica, densidad de la 
mezcla y calor de reacción permanecen constantes. (Douglas, Orcutt y Berthiaume, 1962, pp. 
253-257). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1: Elemento Diferencial. 
 
 
ρν]z 
 
 T ]z 
 
F1 F1 
 ∆z 
 Q 
l 
-------.1·1 1 1 1 · 
+- --+ 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 31 
Balance de materia para el componente A 
La velocidad de entrada de materia en z : 
ZA
νρ 
La velocidad de salida de materia en z+∆z es: 
ZZA ∆+
νρ 
Producción de A por reacción química: RA z∆ . 
La velocidad de acumulación de materia en el elemento z∆ es: 
t
z A
∂
∂
∆
ρ
. 
El balance de materia queda: 
 
zR
t
z AZZAZA
A ∆+−=
∂
∂
∆
∆+
νρνρ
ρ
 
 
Dividiendo la ecuación entre z∆ y tomando el límite cuando tiende a cero, se tiene 
 
( )
A
AAA R
zt
=
∂
∂
+
∂
∂ νρρ
 
A velocidad de flujo constante 
A
AA R
zt
=
∂
∂
+
∂
∂ ρ
ν
ρ
 
 
La ecuación anterior puede tomar la siguiente forma: 
 
i
ii R
zt
=
∂
∂
+
∂
∂ ρ
ν
ρ
 
Sustituyendo ii xρρ = 
i
ii xk
z
x
t
x
ρ
ρ
ν
ρ
'−=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
dónde, ρ representa la concentración promedio de la mezcla reaccionante, que es constante 
debido a que no hay cambio de moles. Asociando 'k y ρ en: ρ'kk = coeficiente cinético de 
pseudo-primer orden. 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 32 
i
ii k
z
x
t
x
ρνρρ '−=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
Sabemos que νρ corresponde al flux molar mG , el balance de materia se reduce a: 
 
i
i
m
i xk
z
x
G
t
x
−=
∂
∂
+
∂
∂
ρ 
Balance de energía 
Flujo de entrada de entalpía durante ∆t: ( ) tTCpA
Z
∆ρν 
Flujo de salida de entalpía durante ∆t: ( ) tTCpA
ZZ
∆
∆+
ρν 
Entalpía transferida por F2 durante ∆t: tqAT ∆ 
Generación de entalpía por reacción química: ( ) ( ) AA RHtzA ∆−∆∆ 
Acumulación de entalpía en ∆z: ( ) ( )[ ]
ttt
TTzCpA −∆
∆+
ρ 
El balance de energía queda: 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) AATzzzttt RHtzAtqAtTCpAtTCpATTzCpA )(|||| ∆−∆∆+∆+∆−∆=−∆ ∆+∆+ ρνρνρ 
 
Dividiendo ambos lados de la ecuación por z∆ , t∆ y tomando el límite cuando z∆ ? 0 y t∆ ? 0, 
se tiene: 
( ) ( )
z
qA
RHA
z
T
CpA
t
T
CpA TAA ∂
∂
+∆−=
∂
∂
+
∂
∂
ρνρ 
 
La ecuación de balance de energía queda de la siguiente forma 
 
( ) ( )
z
qA
RHA
z
T
CpA
t
T
CpA Tii ∂
∂
+∆−=
∂
∂
+
∂
∂
ρνρ 
Sustituyendo ii xkR −= 
 
( ) ( ) ( )
z
qA
xkAH
z
T
CpA
t
T
CpA Tii ∂
∂
+∆−=
∂
∂
+
∂
∂
ρνρ 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 33 
El término de adición de calor es: ( )( )tsT TTzDUqAQ −== π 
 
( ) ( )
( ) ( )tsLT
L
TT
T
ts
T
TTUA
z
qA
A
z
A
cteD
z
z
D
z
A
esparcialderivadala
z
A
TTU
z
qA
−=
∂
∂
=
∂
∂
∴==
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
ππ
:
 
 
AL: área de transferencia por unidad de longitud. 
 
 
Finalmente el balance de energía queda: 
 
( )( ) ( )tsLii TTUAxkHAz
T
CpA
t
T
CpA −+∆−=
∂
∂
+
∂
∂
νρρ 
 
El siguiente paso es aplicar ambos balances al sistema compuesto por un intercambiador de tubos 
concéntricos y un reactor tubular. Considere que la reacción química inicia en el intercambiador 
calor. ( Douglas, Orcutt y Berthiaume, 1962, pp. 253-257 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2: Diagrama de Flujo Caso 1. 
 
ALIMENTACIÓN 
FRÍA 
Xt , Tt 
Xs , Ts 
Xr , Tr 
PRODUCTO 
INTERCAMBIADOR REACTOR 
.·1 1.·1 b 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 34 
El modelo matemático finalmente queda de la siguiente forma. 
 
Intercambiador de Calor 
Lado del Tubo 
Balance de materia. t
e
t
tt
t
t xkz
xx
−=
∂
∂
+
∂
∂
νρ
θ
ρ 
Balance de energía. ( ) ( ) tttsL
e
t
ttt
t
tt xkAHTTUAz
T
CpA
T
CpA ∆−+−=
∂
∂
+
∂
∂
νρ
θ
ρ 
Lado de la coraza 
Balance de materia. s
e
s
ss
s
s xkz
xx
−=
∂
∂
−
∂
∂
νρ
θ
ρ 
Balance de energía. ( ) ( ) sstsL
e
s
sss
s
ss xkAHTTUAz
T
CpA
T
CpA ∆−+−−=
∂
∂
−
∂
∂
νρ
θ
ρ 
 
Reactor 
Balance de materia. r
r
r
rr
r
r xkz
xx
−=
∂
∂
+
∂
∂
νρ
θ
ρ 
Balance de energía. ( ) r
r
r
rrr
r
rr xkHAz
T
CpA
T
CpA ∆−=
∂
∂
+
∂
∂
νρ
θ
ρ 
 
A régimen dinámico 
Reactor 
Balance de materia. r
r
r
rr
r
r xkz
xx
−=
∂
∂
+
∂
∂
νρ
θ
ρ 
Balance de energía. ( )r rr r r r r r r
r
T T
A Cp A Cp A H k x
z
ρ ρ ν
θ
∂ ∂
+ = −∆
∂ ∂
 
Aproximando la derivada parcial respecto a la posición con diferencias finitas: 
( )1 ir i r i rr i
r
r
x x k xdx
d z
ν
θ ρ
+ −= − −
∆
 
( ) ( )1r i r ir i
r i r
r
T TdT H
k x
d Cp z
ν
θ ρ
+ −−∆= −
∆
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 35 
Intercambiador 
 
Lado del Tubo 
Balance de materia: 
( )1 it i t i tt it
t
x x k xdx
d z
ν
θ ρ
+ −= − −
∆
 
Balance de energía: 
( ) ( ) ( )1t i t it i Lr i t s t
t t t
T TdT H UA
k x T T
d Cp z ACp
ν
θ ρ ρ
+ −−∆  = − + − ∆  
 
Lado de la coraza: 
Balance de materia: 
( )1 is i si ss i
s
s
x x k xdx
d z
ν
θ ρ
+ −= −
∆
 
Balance de energía: 
( ) ( ) ( )1si sisi Lsi s s t
s s s
T TdT H UA
k x T T
d Cp z A Cp
ν
θ ρ ρ
+ −−∆  = + − − ∆  
 
Donde: 
( )
s
H
Cpρ
−∆
=ναγ 
 
1
να
ρ
= 
 L
s s
UA
A Cpρ
 
 
 
=νβ 
 
Reacomodando y sustituyendo, las ecuaciones para cada sistema quedan de la siguiente forma. 
Reactor 
( )1
i
r i r ir i
r r
x xdx
k x
d z
ν α
θ
+
 −
 = − +
 ∆ 
 
( )1r i r ir i
r r r r i
T TdT
k x
d z
ν α γ
θ
+
 −
 = − −
 ∆ 
 
 
 
 
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 36 
Intercambiador 
 
Lado del Tubo 
Balance de materia: 
( )1
i
t i t it i
t t t
x xdx
k x
d z
ν α
θ
+
 −
 = − +
 ∆ 
 
Balance de energía: 
( ) ( )1t i t it i t t s t t t t i
T TdT
T T k x
d z
ν β α γ
θ
+
 −
 = − − − −
 ∆ 
 
Lado de la coraza: 
Balance de materia: 
( )1
i
s i s is i
s s s
x xdx
k x
d z
ν α
θ
+
 −
 = −
 ∆ 
 
Balance de energía: 
( ) ( )1si sisi s s s t s s si
T TdT
T T k x
d z
ν β α γ
θ
+
 −
 = − − +
 ∆ 
 
 
Parámetros. ( Douglas, Orcutt y Berthiaume, 1962, pp. 253-257 ). 
 
1.875=tα 3776.3 Et =γ 
548.6=sα 4319.1 Es =γ 
91.10=rα 4198.2 Er =γ 
2609.0=β 
( )RTEk /98100exp6146.4 −= 
 
A régimen permanente: 
i
m
ii xk
G
xk
dz
dx
α−=−= 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) itstsT
L
i
T
xkTTTT
CpAC
UA
xk
CpC
H
dz
dT
γβ
νν
−−=−





+−




 ∆−
= 
 
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 37 
Intercambiador de calor 
Lado del Tubo 
Balance de materia. tt
e
t xk
dz
dx
α−= 
Balance de energía. ( ) ttts
e
t xkTT
dz
dT
γβ +−= 
 
Lado de la coraza 
Balance de materia. ss
e
s xk
dz
dx
α= 
Balance de energía. ( ) ssts
e
s xkTT
dz
dT
γβ −−= 
 
Reactor 
Balance de materia. rr
r
r xk
dz
dx
α−= 
Balance de energía. rr
r
r xk
dz
dT
γ= 
 
Parámetros. ( Douglas, Orcutt y Berthiaume, 1962, pp. 253-257 ). 
 
1.875=tα 3776.3 Et =γ 
548.6=sα 4319.1 Es =γ 
91.10=rα 4198.2 Er =γ 
2609.0=β 
( )RTEk /98100exp6146.4 −= 
 
 
 
 
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 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 38 
3.2. MODELAMIENTO DEL CASO 2 
Considere la siguiente reacción que corresponde a la síntesis de amoniaco en fase gas. 
 
 2 2 3´3 2
k
k
N H NH+ � � ��� � �� 
 
Para facilitar el modelamiento y los cálculos posteriores, se propone modelar para un reactor de 
tanque agitado que tiene como medio de enfriamiento una envolvente a través de la cual fluye la 
alimentación antes de entrar al reactor. Ver diagrama. 
La cinética respecto al nitrógeno fue dada por Froment y Bischoff (1990, p.433), (Morud y 
Skogestad, 1998, pp. 888-895). 
 
 
 
Supuestos del modelo: 
 
- Reactor de flujo continuo. 
- Mezclado perfecto. La concentración y temperatura son homogéneas en todo el reactor. 
- Se dispone de una envolvente para precalentar la alimentación al reactor, aprovechando el 
calor generado por la reacción exotérmica de síntesis de amoniaco. 
- La reacción se lleva a cabo en el reactor. No ocurre reacción en la envolvente de 
precalentamiento. 
- No hay pérdidas de calor los alrededores. Todo el sistema se encuentra perfectamente 
aislado. 
- Capacidad calorífica promedio de la mezcla y densidad constantes. 
- Calor de reacción independiente de la temperatura. 
 
 
 
 
 
[ ]
1.5
2
1 1 1.5
1 N H A
N m
cat A H
P P P kmol N
r k k
P P kg cat hρ
 
= − = 
 
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 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3: Diagrama de Flujo Caso 2. 
 
Aplicando los balances de materia por componente y de energía, obtenemos el siguiente sistema 
de ecuaciones a régimen dinámico. 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
A
Ao A A
H
Ho H H
N
No N N
tc a r io i ro r r Nr
i i
tc r a io i ao aa
io i
dN
F F wr
dt
dN
F F wr
dt
dN
F F wr
dt
UA T T F Cp T T H wrdT
dt N Cp
UA T T F Cp T TdT
dt N Cp
= − −
= − −
= − −
− + Σ − + −∆
=
Σ
− + Σ −
=
Σ
 
Y donde los subíndices indican: 
A: Amoniaco, H: hidrógeno, N: nitrógeno , a: para las propiedades de la envolvente, y r: para las 
propiedades del reactor. 
 
 
 ALIMENTACIÓN 
 FRÍA 
ALIMENTACIÓN 
PRECALENTADA 
SALIDA 
PRODUCTOS 
FAO, FHO, FNO 
Tao 
 Tro = Ta 
~ 
( ) 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 40 
Definiendo la rapidez de reacción para cada componente respecto a la del nitrógeno: 
 
2
3
A N
H N
N N
r r
r r
r r
= −
= −
=
 
Dónde la rapidez de reacción es función de la presión parcial de cada componente, la presión 
parcial se puede escribir en términos de los flujos molares de la siguiente forma: 
 
A
A
A H N
H
H
A H N
N
N
A H N
P F
P
F F F
P F
P
F F F
P F
P
F F F
=
+ +
=
+ +
=
+ +
 
 
Un modelo más simplificado consiste en poner el balance de materia y energía en función de la 
conversión, así el sistema de ecuaciones se reduce sólo a tres ecuaciones, balance de materia, 
balance de energía y balance de energía del lado de la envolvente. 
Suponiendo una capacidad calorífica promedio y calor de reacción independiente de la 
temperatura. Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones. 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
N No
NO
tc a r to ro r r Nr
t
tc r a to ao aa
to
wr xFdx
dt N
UA T T F Cp T T H wrdT
dt N Cp
UA T T F Cp T TdT
dt N Cp
−
=
− + − + −∆
=
− + −
=
 
A régimen permanente las ecuaciones se pueden rescribir de la siguiente forma 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
2
3
N No
tc a r to ro r r N
tc r a to ao a
f wr xF
f UA T T F Cp T T H wr
f UA T T F Cp T T
= −
= − + − + −∆
= − + −
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 41 
Parámetros del sistema (Morud y Skogestad, 1998, pp. 888-895) 
 
0.080
0.1624
0.7576
Ao
Ho
No
Fraccion masa
y
y
y
=
=
=
 
 
 
 
 
3
3
3 3
2 2
3
3
0.60
1.145
1.125
0.08206 _ /
2,200 _ /
12 _ 31_
1.3 _
27.12 _ / 97.67 _ /
50 _ /
127 _ /
2,540 _ /
4
a
H
N
cat
gas
t
t
o
gas
tc
Coeficiente compresibilidad gas real
z
z
z
R atm m kmol K
kg m
V m m
D m
U cal m s K kcal m h K
kg m
F ton h
F
Q m h
V
A
D
Cp
ρ
ρ
ρ
=
=
=
=
=
= −
=
= =
=
=
= =
=
=14.21 /
10963.02 /
kcal kmol K
Hr kcal kmol−∆ =
 
 
 
 
 
 
 
0.080
17 /
0.1624
2 /
0.7576
28 /
t
Ao
t
Ho
t
No
Flujos molares
F
F
kg kmol
F
F
kg kmol
F
F
kg kmol
=
=
=
200 _
30 300
io
io
o
ro
ao
Numero de moles
F V
N
Q
P atm
T C K
=
=
= ° =
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 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 42 
3.3. MODELAMIENTO DEL CASO 3 
El siguiente modelo descrito por Shacham, Brauner y Cutlip (1994), se modeló como un reactor 
de tanque agitado, donde se lleva a cabo una reacción en fase líquida de primer orden. Este 
reactor cuenta con una envolvente de enfriamiento para remover el calor liberado. La diferencia 
con los casos anteriores, es que el fluido de enfriamiento es agua y no participa en la reacción 
química. Ver diagrama. 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
o o
o o j
j
j j j j j j jo j j
dCa
V F Ca Ca V k Ca
dt
dT
CpV Cp F T T V k Ca UA T T
dt
dT
Cp V Cp F T T UA T T
dt
ρ ρ λ
ρ ρ
= − −
= − − − −
= − + −
 
 
Dónde: 
E
RTk eα
 −
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4: Diagrama de Flujo Caso 3. 
 
 
 
 
 
PRODUCTOS 
SALIDA AGUA 
DE 
ENFRIAMIENTO 
 
~ 
(. ) 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 43 
Parámetros. (Shacham, Bruner y Cutlip, 1994) 
 
3
3
3
3
3
10
40 /
0.50 /
48
49.9 /
1.99 /
3.85
7.08 /
30000 /
o
o
j
j
F ft h
Ca mol ft
V ft
F ft h
R BTU mol R
V ft
E h
E BTU mol
α
=
=
=
=
= °
=
=
=
 
Dónde los subíndicesindican: 
j: variables del intercambiador. 
 
3.4. ANÁLISIS 
 
Imaginemos que pretendemos diseñar un sistema de control para un proceso determinado. Un 
sistema clásico de control contempla un diseño basado en la linealización de las respuestas 
dinámicas del sistema alrededor del estado a controlar. Si las perturbaciones son muy grandes, 
esta estrategia puede no funcionar, especialmente en sistemas altamente no lineales. En estos 
casos, deberá recurrirse a algoritmos rigurosos o a un control robusto. 
Sin embargo, en todos los casos suponemos que existe al menos un modelo para el sistema que 
podemos resolver en tiempo y forma numéricamente, además de poder realizar las mediciones 
necesarias. Esto no siempre es así, por ejemplo, ciertos sistemas como los reactores biológicos, 
hornos o secadores de cemento, sistemas complejos de cristalización, etc., son inabordables para 
el modelado simple, o bien resultan complejos de abordar a un costo razonable. 
El modelado es crucial, ya que si se piensa en el caso de necesitar proveer de ciertas variables de 
un proceso, con la intención de especificar algunos de los equipos que lo conforman, es 
entendible que debemos recurrir a un modelo que nos represente dicho equipo. 
Actualmente se cuenta con simuladores generales que pueden modelar cualquier equipo u 
operación unitaria. 
2
3
3
3
150 /
30000 /
250
530
530
0.75 /
1.0 /
50 /
62.3 /
jo
o
j
j
U BTU h ft F
BTU mol
A ft
T R
T R
Cp BTU lb R
Cp BTU lb R
lb ft
lb ft
λ
ρ
ρ
= °
= −
=
= °
= °
= °
= °
=
=
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 44 
CAPÍTULO 4 
CÁLCULO DE ESTADOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 
 
En el análisis de los tres modelos propuestos se utilizaron herramientas computacionales que 
facilitaron los cálculos. En algunos casos fue necesario programar rutinas cortas para la 
resolución de los sistemas de ecuaciones. Los cálculos fueron realizados en Matlab, éste 
programa dispone de algoritmos codificados para la resolución de ecuaciones algebraicas y 
diferenciales que fueron incorporadas a rutinas generales donde se introducen los parámetros, las 
variables y el modelo como tal en su forma explicita, además de dictar la secuencia de cálculo. 
Se hizo uso de un paquete desarrollado por Dhooge, Govaters, Kuznetsov, Mestrom y Riet, 
(2003). Este paquete es compatible con Matlab y está basado en la teoría de los métodos de 
continuación homotópica. 
El objetivo del capitulo fue utilizar en cada caso los métodos de convergencia local y global, 
para encontrar los estados estacionarios, comparar los resultados y de ser posible definir la región 
de estabilidad. 
 
4.1. CASO 1 
ESTADO ESTACIONARIO 
En el problema planteado por Douglas, Orcutt y Berthiaume, (1962, pp. 253-257) se resolvió el 
estado estacionario fijando la longitud del intercambiador en 4 pies y 8.5 pies para el reactor 
tubular (Douglas, Orcutt y Berthiaume, 1962, pp. 253-257). Debido a que éste modelo 
corresponde a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, el problema de 
valor inicial queda definido por las siguientes expresiones: 
 
tt
e
t xk
dz
dx
α−= 
( ) ttts
e
t xkTT
dz
dT
γβ +−= 
ss
e
s xk
dz
dx
α= 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 45 
( ) ssts
e
s xkTT
dz
dT
γβ −−= 
rr
r
r xk
dz
dx
α−= 
rr
r
r xk
dz
dT
γ= 
 
Condiciones iniciales y valores en la frontera 
 
0 0.1490 0.0344
0 1400 . 1630 .
0
e t s
e t s
r t r t r
r r r s r s
a z x x
a z T R T R
a z x x T T
a z L x x T T
= = =
= = ° = °
= = =
= = =
 
 
Y donde los valores de los parámetros son ( Douglas, Orcutt y Berthiaume, 1962, pp. 253-257 ): 
 
1.875=tα 3776.3 Et =γ 
548.6=sα 4319.1 Es =γ 
91.10=rα 4198.2 Er =γ 
2609.0=β 
( )RTEk /98100exp6146.4 −= 
 
El modelo desarrollado en el capítulo 3.1, fue codificado en una rutina para Matlab. El código 
programado para dicho problema consta de dos archivos, uno identificado como modelo y el otro 
como principal. En el archivo llamado modelo se registra el sistema de ecuaciones con las 
variables de estado despejadas. 
El archivo principal contiene una estructura que es común a casi los tres casos propuestos, 
primeramente se declaran las variables y parámetros del modelo, después se asignan los valores a 
dichos parámetros y en tercer lugar se dan los valores a las condiciones iniciales en un arreglo. 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 46 
En esta misma sección del archivo se declara la función que hará el cálculo numérico y que 
tomará el arreglo anterior y el archivo del modelo como entradas, para devolver otro arreglo con 
la solución. 
Las gráficas obtenidas se muestran en las siguientes figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1: Estado Estacionario Perfil Composición. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2: Estado Estacionario Perfil Temperatura. 
Composicion YS Longitud , , 1 TUBO 
2 CORAZA. , 3 REACTOR 
, ~ 
, ~ 
." \ , 
/ \ , 
, , 
Longitud [ft 1 
Temperatura YS Longitud 
, / 
/ / 
/ 
, 
1 TUBO i 1: / ~ - 2 CORAZA. 3 REACTOR , ~ 
/ 
/ 
I , 
Longitud [ft 1 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 47 
En ambas gráficas, las curvas marcadas con el número 1 y 2, indican el perfil de composición y 
temperatura a lo largo de los 4 pies de longitud del intercambiador; las curvas con número dos, 
corresponden al lado de la coraza en sentido contrario al flujo de entrada al sistema. Y las curvas 
marcadas con el número 3 indican el perfil a través del reactor. 
 
El sistema de ecuaciones a régimen permanente se resolvió simultáneamente y se obtuvieron los 
valores de composición y temperatura bajo los siguientes supuestos: 
 
• La reacción inicia en intercambiador, en ambas secciones (reactor e 
intercambiador) 
• Se dividió arbitrariamente la longitud en 20 puntos posición. Los valores de las 
variables de estado arrojados por el arreglo solución son los siguientes: 
 
Intercambiador 
Posición xt Tt xs Ts 
0 0.14900 1400 0.0344 1630 
1 0.14899 1412 0.034585 1641.6 
2 0.14898 1424 0.0348 1653.1 
3 0.14897 1435.9 0.03505 1664.6 
4 0.14896 1447.9 0.035337 1675.9 
5 0.14894 1459.8 0.03566 1687.1 
6 0.14892 1471.7 0.036037 1698.2 
7 0.1489 1483.5 0.036462 1709.1 
8 0.14887 1495.3 0.036958 1719.9 
9 0.14883 1507.1 0.037517 1730.4 
10 0.14879 1518.7 0.038166 1740.7 
11 0.14874 1530.4 0.038896 1750.8 
12 0.14869 1542 0.039731 1760.6 
13 0.14862 1553.4 0.040675 1770 
14 0.14854 1564.8 0.041745 1779.1 
15 0.14845 1576.1 0.042952 1787.8 
16 0.14834 1587.3 0.044314 1796 
17 0.14822 1598.4 0.045842 1803.8 
18 0.14808 1609.3 0.047554 1810.9 
19 0.14791 1620 0.049463 1817.5 
20 0.14772 1630.6 0.051583 1823.4 
 
Tabla 1. 
 
 
FACULTAD DE QUÍMICA CAPÍTULO 3 
 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 48 
 
Reactor 
Posición xt Tt 
0 0.14772 1630.6 
1 0.14509 1635.9 
2 0.14233 1641.5 
3 0.13942 1647.3 
4 0.13635 1653.5 
5 0.13314 1660 
6 0.12973 1666.8 
7 0.12613 1674.1 
8 0.12228 1681.8 
9 0.11821 1690 
10 0.11384 1698.9 
11 0.10919 1708.2 
12 0.1042 1718.3 
13 0.098852 1729 
14 0.093118 1740.6 
15 0.086969 1753 
16 0.080399 1766.2 
17 0.073382 1780.4 
18 0.065992 1795.3 
19 0.058224 1810.9 
20 0.050214 1827 
 
Tabla 2. 
 
 
 
4.1.1 MULTIPLICIDAD DE ESTADOS 
El segundo cálculo propuesto es la búsqueda de múltiples estados estacionarios, haciendo uso de 
los programas de continuación, pero debido a que el modelo corresponde a un sistema de 
ecuaciones diferenciales parciales, y que debe ser discretizado en un número de puntos 
suficientes que haga más preciso el cálculo numérico, la memoria disponible en este tipo de 
programas no fue suficiente para cargar un modelo tan grande. La alternativa para demostrar que 
el esquema de proceso llega a presentar más de un estado, es realizar una simulación dinámica, 
verificando si el estado estacionario encontrado es estableademás de escoger un parámetro de 
perturbación y comprobar si el sistema alcanza un nuevo estado. 
 
 
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 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 49 
El modelo discretizado respecto a la variable z queda definido de la siguiente forma: 
 
Reactor 
( )1
i
r i r ir i
r r
x xdx
k x
d z
ν α
θ
+
 −
 = − +
 ∆ 
 
( )1r i r ir i
r r r r i
T TdT
k x
d z
ν α γ
θ
+
 −
 = − −
 ∆ 
 
 
Intercambiador 
Lado del Tubo 
( )1
i
t i t it i
t t t
x xdx
k x
d z
ν α
θ
+
 −
 = − +
 ∆ 
 
( ) ( )1t i t it i t t s t t t t i
T TdT
T T k x
d z
ν β α γ
θ
+
 −
 = − − − −
 ∆ 
 
Lado de la coraza: 
( )1
i
s i s is i
s s s
x xdx
k x
d z
ν α
θ
+
 −
 = −
 ∆ 
 
( ) ( )1si sisi s s s t s s si
T TdT
T T k x
d z
ν β α γ
θ
+
 −
 = − − +
 ∆ 
 
 
 
Para la simulación dinámica se utilizó el mismo código del estado estacionario, pero cargando el 
modelo en función del tiempo y especificando como condiciones iniciales la matriz solución de 
los 20 discretizados del cálculo anterior. (Ver anexo, códigos). 
Adicionalmente se escogió como parámetro de perturbación la temperatura de entrada al 
intercambiador tT para mostrar el comportamiento del sistema ante un cambio en sus condiciones 
de operación. 
 
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 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 50 
Las gráficas obtenidas se muestran en las siguientes figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.3: Simulación Dinámica Composición Tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.4: Simulación Dinámica Composición Coraza. 
 
0. 149 , 
0.1 4 ~ 
0.1 488 
0.1 4ffi 
0.1 48 , / 
0.1 48 , / 
0.14 ~ 
0.1 47 ~ / 
0.1 47 , 
, 
0.04 ~ 
0.04 , 
0.04 , 
, 
\ , 
0.04 
>< 0.0 
\ 
0038 
0.0::6 
0.03 , 
~ 
0.03 , 
, 
Composicion de lado del tubo 
W 
t [si 
, 
, 
Composicion lado de la coraza 
, ; 
t [si 
I 
I 
1 Entrada 
2 Sali da 
1 CorazaSali da 
2 CorazaE ntrada 
, 
, 
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 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.5: Simulación Dinámica Temperatura Intercambiador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.6: Simulación Dinámica Composición Reactor. 
 
 
Temperatura de salida intercambiador 
e , 
\ 
1 Tubo I 1_ 
2 CoraH -
e \ 
." 
Composicion de Salida reactor , 
, 
I [ - C"C<oc , 
, / 
, 
/ 
/ 
x 0.09 
, / 
/ 
~ 
, 
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 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.7: Simulación Dinámica Temperatura Reactor. 
 
 
 
De las gráficas anteriores podemos concluir que el estado estacionario encontrado en base a los 
parámetros de Douglas, Orcutt y Berthiaume, 1962; muestra inestabilidad. Ocurriendo que 
dentro de los primeros cinco segundos, la composición de salida en el reactor inicia un ascenso 
hasta igualar la composición de entrada al intercambiador, provocando al mismo tiempo un 
descenso en la temperatura; y evitando así, la transferencia de calor apagando la reacción por 
descomposición térmica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temperatura de Salida 
Reactor 
\ 
\ 
\ 
~ 
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 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 53 
Los resultados, incrementando en 15 % la temperatura de entrada se muestran en las siguientes 
figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.8: Simulación Dinámica Perturbando la Temperatura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.9: Simulación Dinámica Perturbando la Temperatura. 
 
1 
2 
3 
Composicion de Salida del Reactor 
"'cct====Ets~ Reactor / 0.12 ----------- " ---------- "-
0.1 ----------- " ---------- " ·······hl , ......... , 1 
000 ----------- f ---------+ 
0. [6 -----------~---- ' -
0.04 f········c \---------- ,-
Temperatura de Salida del Reactor 
"'" 
,~ 
,~ 
( Reactor 
I \ 
'"" 
/ 
"'TI 
E: 1750 
e 
"'TI 
"m \ 
\ 
"'TI 
,cm " 
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 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 54 
El efecto de perturbar en un 15 % la temperatura de entrada al intercambiador ( 1874tT F= ° ) 
lleva a mantener aproximadamente constante la composición de salida en el reactor de acuerdo al 
estado estacionario encontrado anteriormente. Pero únicamente durante los primeros 5 segundos, 
súbitamente la composición desciende hasta prácticamente consumirse. Este cambio se puede 
apreciar en la región marcada entre los puntos 1 y 2, figura 4.8; donde la composición va de 0.05 
a 0. Posteriormente el régimen intenta restablecerse paro luego aumentar hasta igualar 
nuevamente a la composición de entrada. Ver cambio en la región marcada de 2 a 3. 
Es concluyente decir que si se pudiera graficar un diagrama de continuación, se encontraría una 
trayectoria que nos muestre los cambios de estados antes vistos en las simulaciones. 
 
4.2. CASO 2 
ESTADO ESTACIONARIO Y MULTIPLICIDAD 
Para el modelo de tanque agitado, dónde suponemos se lleva acabo la reacción de síntesis de 
amoniaco; en el capítulo 3.2 se encontró que el sistema a régimen permanente se puede reducir a 
sólo tres ecuaciones, facilitando su tratamiento. En este tipo de sistemas que tienen como 
envolvente de precalentamiento – enfriamiento a la misma corriente de entrada, la literatura ha 
mostrado que son inestables al cambio en las condiciones de operación o parámetros de diseño. 
 
Este esquema de síntesis de amoniaco no sólo necesita de enfriamiento, sino también de mantener 
una temperatura adecuada para no desplazar el equilibrio químico hacia los reactivos. Por lo que 
se propone como parámetro de continuación o perturbación a la temperatura de alimentación, y 
observar el comportamiento al cambio en esta variable de entrada. 
 
En la solución del estado estacionario se propuso primeramente como algoritmo de cálculo un 
método sencillo que es comúnmente aplicado a reactores de tanque agitado. Este consiste en 
graficar una serie de datos para los balances de materia y energía. Es decir, se define una función 
de calor generado por la reacción química, otra que represente el calor removido por convección 
y la envolvente de enfriamiento; ambas en función de la temperatura de reacción. Si se gráfica la 
sustracción de dichas funciones en un plano calor vs. temperatura, muy probablemente se 
obtendrían intersecciones con eje de las abcisas, que darían cuenta de la existencia de uno o más 
estados. 
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 CASOS DE ESTUDIO 
 
 
 
 55 
El modelo en estado estacionario queda representado por las ecuaciones: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
2
3
N No
tc a r to ro r r N
tc r a to ao a
f wr xF
f UA T T F Cp T T H wr
f UA T T F Cp T T
= −
= − + − + −∆
= − + −
 
 
El modelo derivado anteriormente, corresponde a un sistema de ecuaciones algebraicas no 
lineales, que si se resuelve simultáneamente, se encontraría una o más soluciones. Calcular al 
menos una solución depende del método numérico empleado. Como se vio anteriormente en el 
marco teórico, la solución puede depender fuertemente del estimado inicial si se emplea un 
método de convergencia global. 
Siguiendo el procedimiento propuesto; del modelo en estado estacionario podemos definir las 
siguientes funciones de calor generado y calor de remoción 
 
( ) ( )
g R N
tc a r to ro r
Q H Vr
Qr UA T T F Cp T T
= ∆
= − + −
 
donde, 
N NoVr F x= 
Y despejando de la función (3) la temperatura de la chaqueta de enfriamiento aT : 
 
tc r to ao
a
to
UA T F CpT
T
UA F Cp
 +
=  + 
 
 
De ésta manera se obtiene el balance de energía en función de una sola variable, la temperatura 
de reacción rT ; y el balance de materia en función de la conversión x y la temperatura rT : 
 
( ) ( )
1
2
N No
tc r to ao
tc r to ro r r N
to
f wr xF
UA T F CpT
f UA T F Cp T T H wr
UA F Cp
= −
 +
= − + − + −∆ + 
 
 
 
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 56