Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO F ACUL T AD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE INGENIERÍA EN CIENCIAS DE LA TIERRA "APLICACIÓN DEL ALGORITMO DE DE HOOG, EN PRUEBAS DE VARIACIÓN DE PRESIÓN" T E s 1 s QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: INGENIERO PETROLERO P R E S E N T A GREGORIO FLORES MALDONADO DIRECTOR DE TESIS: DR. RAFAEL RODRÍGUEZ NIETO CIUDAD UNIVERSITARIA JUNIO DEL 2005 ¡. UNAM – Dirección General de Bibliotecas Tesis Digitales Restricciones de uso DERECHOS RESERVADOS © PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el respectivo titular de los Derechos de Autor. VmVE!\'''RDAD NAqONAL AvlfóN°MA DE MEXK:,o FACULTAD DE INGENIERÍA DIRECCiÓN 60-1-511 SR. GREGORIO FLORES MALDONADO Presente En atención a su solicitud, me es grato hacer de su conocimiento el tema que propuso el profesor Dr. Rafael Rodríguez Nieto y que aprobó esta Dirección para que lo desarrolle usted como tesis de su examen profesional de Ingeniero Petrolero: APLICACiÓN DEL ALGORITMO DE DE HOOG, EN PRUEBAS DE VARIACiÓN DE PRESiÓN RESUMEN INTRODUCCIÓN I ANTECEDENTES II FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE DATOS DE PRESIÓN III TIPOS DE PRUEBAS IV MÉTODOS DE ANÁLISIS V RESULTADOS EN TRANSFORMADA DE LAPLACE VI APLICACIÓN DEL ALGORITMO VII CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES NOMENCLATURA REFERENCIAS Ruego a usted cumplir con la disposición de la Dirección General de la Administración Escolar en el sentido de que se imprima en lugar visible de cada ejemplar de la tesis el título de ésta. Asimismo, le recuerdo que la Ley de Profesiones estipula que se deberá prestar servicio social durante un tiempo mínimo de seis meses como requisito para sustentar examen profesional. Cd. U niversitari·ial-D...,~-a-H-1le--rnrayilíltF2mr.s=- EL DIRECTOR UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE INGENIERÍA EN CIENCIAS DE LA TIERRA "APLICACIÓN DEL ALGORITMO DE DE HOOG, EN PRUEBAS DE VARIACIÓN DE PRESIÓN" TESIS PRESENTADA POR: DIRIGIDA POR: GREGORIO FLORES MALDONADO DR. RAFAEL RODRÍGUEZ NIETO JURADO DEL EXAMEN PROFESIONAL: PRESIDENTE: ING. MANUEL VILLAMAR VIGUERAS VOCAL DR. RAFAEL RODRÍGUEZ NIETO SECRETARIO: M.C. JOSÉ MANUEL REYES AGUIRRE lER. SUPLENTE ING. MARTÍN CARLOS VELÁZQUEZ FRANCO 2DO. SUPLENTE ING. RAFAEL VIÑAS RODRÍGUEZ ;?[ peJar de rue pareciera rue no creo en naáa ruiero «.:Jradecer en primer lu"ar a :DioJ por áarme eJta víáa, y áarme la Oj'ortuniáaá de continuar Juperánácme en toácJ los aofj'ectoJ; para mueara hafier conduiác mú eJtucÜOJ. ;?[ mi familia: paáreJ por la eáucación rue me cÜeron, por JUJ COnJej06, por el 'fP0yo rue me firináaron a lo lar"o de mú e6tucÜos y hermanoJ (.l3eatrir., 7/'íctor ;tn"e!' y .íoofé !i;erarác) por JU comprenJÍón y fiuenoJ momentOJ rue paofamoof juntoJ. :DeJ80 tammén expreJar mi máJ sincero «.:Jradecimíento af :Dr. &rael &,árí:Juez ~eto, cÜrector de la teJÚ, por .fU orientación, 6u"erencia6, aJe60TÍa y el tiempo rue me decÜCó para la revisión de éJta. ;?[ mÍof sinoáaleJ por el tíem;po decÜcaác a la revisión de eJte trafiqjo, aofÍ como 6UJ valiosos comentarÍOJ rue ayuáaron a mejórafo. ;?[ toáoJ 1M projeJOreof por 1M conocimientoof trannnitiácJ, en eofj'eciaf al :Dr. ;/b.ana ruien Í,Juaf me mnác vafíoJaJ aofeofoTÍaJ. ;?[ mú "randeJ compaiieroJ de daJe: Oof'Wafác, .íonathan, ;V-ejanáro 'G., !i;erarác, &,ár!Jo O. I., &,fierto I., ;V-fierto I., ;/b.turo, daáeo, ~e, y Urie!, ruieneJ ayuáaron a rue eJta carrera foera máJ fácil, tammén por los "rande6 eruÍj'06 de trafiqjo fue forme con a[junoJ de elloJ. ~iero tammén «.:Jradecer a toács los fue me ayuáaron económicamente: t'amilia ;A{artínez (Iaro, elantoof, Zafiro, LofiaJ, y -ChOChe), a mi prima -Crútina, a miprimo Octavío y a mÍof tíos ("Grútína y ;A{auro, !i;audencio y :Delfina)' ya fue JÍn SUJ preJtamos se me humera compfícaác mi estancia en la univerJÍáaá. ÍNDICE RESUMEN LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABLAS INTRODUCCIÓN l. ANTECEDENTES. 1. l. Revisión del Trabajo de Tesis de Ramírez y Apanco. 1.2. Algoritmo de De Hoog para la Inversión Numérica de la Transfonnada de Laplace. . 1.2.1. Métodos de series de Fourier. 1.2.2. Resultados numéricos. 1.3. Transfonnada de Laplace. 1.3.1. . Definición básica. 1.3.2. Propiedad de la linealidad. 1.3.3. Condiciones para la existencia de L {f(t )} . 1.3.4. Transformada Inversa. 1.3.5. Transformada de derivadas. REFERENCIAS. 11. FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE DATOS DE PRESIÓN. U.I. Flujo de Fluidos en Medios Porosos. U.2. Ecuación de Difusión para Flujo Radial en Medios Porosos. U.3. Soluciones de la Ecuación de Difusión. U.3 .1. Solución de la ecuación de difusión para un pozo productor a gasto constante y yacimiento infinito. U.3.2. Solución para yacimiento limitado. U.3.3. Solución para un yacimiento a presión constante. IV V IX Xl 1 1 2 3 5 5 6 7 7 9 10 14 18 18 18 22 23 29 32 1 U.4. Flujos Transitorio, Semi-estacionario y Estacionario. II.5. Efectos de Daño y Almacenamiento. 11.5.1. Efecto de daño. U.5.1.1. Daño en una longitud infinitesimal de la formación. U.5.1.2. Daño en una zona finita. 11.5.1.3. Radio efectivo. 1I.5.2. Efecto de almacenamiento. JI.5.2.1. Desarrollo de condiciones de frontera. 11.6. Principio de Superposición. II.6.1. Superposición en espacio. 1I.6.2. Superposición en tiempo. REFERENCIAS. III. TIPOS DE PRUEBAS. IU.l. Pruebas de Incremento. UI.2. Pruebas de Decremento. 111.3. Pruebas de Inyectividad. IU.4. Pruebas de Declinación. 111.5. Pruebas de Interferencia. U1.6. Pruebas Drill Stem Test (DST). REFERENCIAS. IV. MÉTODOS DE ANÁLISIS. 11 IV.l. Métodos Convencionales. IV .1.1. Método de Horner. IV. 1.2. Método de Miller-Dyes-Hutchinson (M D H). IV.2. Método de Curvas Tipo. IV .2.1. Curvas tipo de Gringarten. IV.2.2. Curvas tipo de la primera derivada. IV.2.2.1. Comportamiento homogéneo. IV.2.2.2. Comportamiento de doble porosidad. 34 35 35 37 38 40 41 42 47 48 49 51 53 53 57 60 62 63 65 69 70 71 71 74 76 78 81 81 84 IV.2.3. Curvas tipo de la segunda derivada. IV.3. Análisis de Pruebas de Presión Mediante el Método de Pulsos. REFERENCIAS. V. RESULTADOS EN TRANSFORMADA DE LAPLACE. V .1. Van Everdingen y Hurst. V.2. Agarwal, AI-Hussainy y Ramey. V.3. Fair. V.4. Cinco, Samaniego y Kuchuk. V.5. Jalai-Yazdi y Ershagi. V.6. Hegeman, Hallford y Joseph. V.7. Marhaenfrajana, Blasingame y Rushing. REFERENCIAS. VI. APLICACIÓN DEL ALGORITMO. VI.1. Aplicación en Funciones Elementales. VI.2. Aplicación a Modelos de Yacimientos. VI.3. Aplicación para la Generación de Curvas Tipo. VI.4. Resultados de la Primera y Segunda Derivadas. VI.5. Aplicación del Algoritmo de De Hoog en Datos de Producción. REFERENCIAS. VII. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. NOMENCLATURA. 91 93 97 99 99 104 108 114 116 117 119 121 123 123 129 135 151 156 160 163 166 111 RESUMEN Dado la importancia que tienen las pruebas de variación de presión en la ingeniería de yacimientos, se presenta un estudio sobre los fundamentos, tipos y métodos de análisis de estas pruebas. Se presenta un estudio sobre la transformada de Laplace, que es una herramienta de uso frecuente en la ingeniería de yacimientos debido a la necesidad de resolver ecuaciones diferenciales con valoresiniciales y de frontera. Se hace una revisión de la literatura relacionada con resultados en transformada de Laplace en pruebas de variación de presión. Se realiza la inversión numérica, pnmero para algunas funciones sencillas y después también para soluciones en el espacio de Laplace, utilizando un algoritmo diferente al de Stehfest, que se ha aplicado en la mayor parte de la bibliografia revisada. Para este nuevo algoritmo "De Hoog", se cuenta con una subrutina programada en MATLAB. Además se realiza la inversión numérica de modelos en el espacio de Laplace en primera y segunda derivada destacándose la gran utilidad que tienen las curvas que se generan para la identificación de yacimientos homogéneos. Se comparan los resultados obtenidos con este algoritmo y se sugiere que este genera mejores resultados como invertidor numérico. lV LIST A DE FIGURAS FIGURA 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8a 2.8b 2.9 2.10 2.11 2.12 2.12a 2.13 2.14 2.15 3.1 3.2 3.3 Volumen de control, para la obtención de la ecuación de difusión. Valores de t:.p D para varios radios adimensionales. Respuesta conceptual para un yacimiento infinito. Valores de t:.p D para varios yacimientos circulares, sin flujo en el límite externo. Valores de t:.p D para vanos yacimientos finitos circulares con presión constante en el límite externo. Representación esquemática de la declinación de la presión, de un pozo produciendo a gasto constante, en un yacimiento circular. Distribución de la presión en pozo con daño. Daño en una longitud infinitesimal de formación. Distribución de presión alrededor del pozo, con un factor de daño negativo. Daño en una zona de longitud finita. Daño mediante el método de radio efectivo. Efecto del almacenamiento en el gasto que ocurre en el fondo del pozo; e3 > e2 > el. Presión adimensional incluyendo almacenamiento del pozo; S = O. Presión adimensional incluyendo almacenamiento del pozo y diferentes valores de daño. Diagrama para explicar el principio de superposición en el espacio. Principio de superposición en el espacio. Diagrama para explicar el principio de superposición en el tiempo. Gasto y respuesta de presión en prueba de incremento. Gráfica de Horner. Gasto y respuesta de presión en prueba de decremento. PÁGINA 19 26 28 32 34 35 36 38 38 39 41 44 45 45 48 49 50 53 55 57 v 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 VI Gráfica semilog de datos de una prueba de decremento, para un pozo con daño y almacenamiento. Prueba de inyectividad. Gráfica semilog de una prueba de inyectividad. Prueba de declinación. Comportamiento del gasto y presión para una prueba de interferencia. Gráfica para una prueba DST. Prueba de incremento de presión. Ilustración del método de Homer. MétodoMDH. Gráfica l1p MDH contra M . Curvas tipo para un pozo con almacenamiento y daño (yacimiento infinito homogéneo). Comportamiento de la derivada para pozos con almacenamiento y daño, en un yacimiento con un comportamiento homogéneo. Comportamiento de P'D (tD ICD) contra tD ICD para pozos con almacenamiento y daño, en un yacimiento con un comportamiento homogéneo. Comportamiento de . doble porosidad. Gráfica de la derivada donde se observan las estabilizaciones anterior y posterior al periodo de transición. Comportamiento de doble porosidad. Gráfica de la derivada donde se observa la estabilización posterior al periodo de transición . . Comportamiento P'D (tDICD) Y PD contra tDICD para pozos con almacenamiento y daño, en un yacimiento con un comportamiento de doble porosidad y flujo interporoso pseudoestacionario. Comportamiento P' D (t D I C D) Y P D contra t D I C D para pozos con almacenamiento y daño, en un yacimiento con un comportamiento de doble porosidad y flujo interporoso transitorio. 60 61 62 63 64 66 72 74 75 75 80 83 83 85 86 88 88 4.12 4.13 4.14 4.15 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 Ajuste de una respuesta de doble porosidad en la curva tipo para pozos con almacenamiento y daño. Gráfica de la primera derivada para identificar regímenes de flujo. Gráfica de la segunda derivada para identificar regímenes de flujo. Comparación de las caídas de presión causadas por una fuente instantánea y por una fuente continua, y relación de las caídas de presión para diferentes geometrías de flujo. Resultados de evaluar la función identidad y los obtenidos al aplicar el algoritmo de De Hoog. Resultados de evaluar la función ¡(t) = senJ2i; los obtenidos al aplicar el algoritmo de De Hoog y los obtenidos con Stehfest. Error porcentual de los resultados obtenidos por Stehfest y los obtenidos por el algoritmo de De Hoog. Resultados de evaluar la función f(t) = e-t , analíticamente, los obtenidos al aplicar el algoritmo de De Hoog y los obtenidos con Stehfest. Error porcentual de los resultados obtenidos por van Everdingen y los obtenidos por el algoritmo de De Hoog. pwD vs tD para un sistema radial infinito con daño y almacenamiento; valores obtenidos por Agarwal y cols. PwD vs tD para un sistema radial infinito con daño y almacenamiento; valores obtenidos con el algoritmo de De Hoog. Curva tipo con redistribución de fases (CaD = 20, CD = 100). Curva tipo con redistribución de fases (CaD = 20, CD = 100), obtenida con el algoritmo de De Hoog. Datos de la prueba de incremento de presión. Comportamiento de la presión en el periodo transitorio, vúgulos no conectados, gasto constante, obtenido con el algoritmo de De Hoog. Comportamiento de la presión en el periodo transitorio, vúgulos no conectados, gasto constante, Fig. 3 de la referencia. Transición de presión en un yacimiento de doble porosidad. 91 92 92 94 125 127 128 129 131 138 140 144 144 146 148 149 151 VIl 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21 V1ll Transición de presión en un yacimiento de doble porosidad' obtenidas con el algoritmo de De Hoog. Fig. 6.15 Tipo de respuesta 2: comportamiento de pwD y tD (P'wD) para un yacimiento homogéneo, bajo el efecto de redistribución de fases. Fig. 6.16 Tipo de respu~sta 2: comportamiento de pwD y tD(P 'wD) para un yacimiento homogéneo, bajo el efecto de redistribución de fases, obtenida con el algoritmo de De Hoog. Curva tipo de la segunda derivada para flujo radial con almacenamiento y daño. Curva tipo de la segunda derivada, para flujo radial con efectos de daño y almacenamiento. Curva tipo de la segunda derivada, para flujo radial con efectos de daño y almacenamiento, obtenidas con De Hoog. Curva tipo de la declinación de la producción para yacimientos naturalmente fracturados, para varios valores de w y A, en reD = 10. Curva tipo de la declinación de la producción para yacimientos naturalmente fracturados, para varios valores de W y A, en reD =10, obtenida con el algoritmo de De Hoog. 152 154 154 156 156 157 159 159 LISTA DE TABLAS TABLA 1.1 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 Transformadas de Laplace. Resultados de evaluar la función identidad y los obtenidos con el algoritmo de De Hoog. Resultados de evaluar la función ¡(t) = sen -fii , los obtenidos al aplicar el algoritmo de De Hoog y los obtenidos con Stehfest. Comparación de la solución analítica para la función: f(t) = e-t y su inversión numérica obtenida por los algoritmos de De Hoog y Stehfest. Comparación de resultados obtenidos por Everdingen y los obtenidos por el algoritmo de De Hoog. Comparación de resultados obtenidos por van Everdingen y los obtenidos por el algoritmo de De Hoog, para el caso de presión constante. Comparación de la solución analítica para PD y laobtenida con el algoritmo de De Hóog. Comparación de la solución analítica para el gasto adimensional y la obtenida con el algoritmo de De Hoog. Comparación de la solución analítica para la acumulación adimensional y la obtenida con el algoritmo de De Hoog. Resultados de PwD (S=O, CD, tD) en un pozo fuente cilíndrico, obtenidos por Agarwal. Resultados de pwD (S=20, CD, tD) en un pozo fuente cilíndrico, obtenidos por Agarwal. Resultados de PwD (S=O, CD, tD) en un pozo fuente cilíndrico, obtenidos con de De Hoog Resultados de pwD (S=20, CD, tD) en un pozo fuente cilíndrico, obtenidos con de De Hoog PÁGINA 13 125 126 129 130 132 134 135 135 137 138 139 140 lX 6.13 Resultados de evaluar la Ec. 6.11, con el algoritmo de De Hoog y 141 los obtenidos por Fair. 6.14 Presión de fondo fluyendo con redistribución de fases, obtenida con 142 de De Hoog, para C,o = 10. 6.15 Presión de fondo fluyendo con redistribución de fases, obtenida con 143 de De Hoog, para C;D = 100 . 6.16 Datos de la prueba de incremento. 145 x - -- --- ----- ----- - --_._ - INTRODUCCIÓN El área de explotación de yacimientos es de vital importancia, ya que de ello dependen los volúmenes totales recuperables. La simulación numérica de yacimientos es una técnica auxiliar en la determinación de las políticas de explotación. En el estudio o análisis de alternativas de explotación, es necesario contar con la información del yacimiento, tanto del aspecto geológico como de las propiedades físicas que lo caracterizan. De eso se deriva la importancia de las pruebas de variación de presión en el área de explotación de yacimientos, puesto que la información que proporcionen se convertirá en datos de entrada a simuladores numéricos, mediante los cuales se reproduce el comportamiento histórico de presión, producción de fluidos y además se predice su comportamiento futuro. Las pruebas de variación de presión, consisten esencialmente en generar y registrar variaciones de presión en el fondo de un pozo o pozos durante un tiempo determinado. Estas variaciones de presión, pueden generarse modificando las condiciones de producción o inyección de un pozo. El análisis de la variación de presión, ha sido una importante herramienta en la ingeniería de yacimientos; Van Everdingen y Hurst1 introdujeron uno de los primeros trabajos en esta área, ellos usaron la transformada de Laplace en la formulación analítica y solución matemática para problemas de flujo de fluidos en medios porosos. Horne~ presentó una metodología práctica, la cual ha sido la principal en el análisis de pruebas de incremento de presión; usando el principio de superposición desarrolló una simple interpretación y una técnica gráfica que permitió el cálculo de la permeabilidad, el efecto de daño, y la presión promedio del yacimiento. Agarwal y cols.3 presentaron un mejor trabajo, que anunció una nueva era en el campo, con el cual las curvas tipo y la respuesta del pozo se han hecho ampliamente usadas en el análisis de pruebas de variación de presión. I Referencias al final de la introducción. Xl Las pruebas de variación de presión juegan un papel muy importante en los estudios integrales de yacimientos. Un análisis completo y la interpretación apropiada de resultados de una prueba de pozo, permiten determinar características del sistema pozo-yacimiento, las cuales serán de gran utilidad en la caracterización de yacimientos, orientados directamente a la maximización de recuperación de hidrocarburos. Existen distintas variantes para la realización de una prueba de variación de presión, siendo las más comunes, tanto por el aspecto operativo como por el de su análisis, las llamadas pruebas de decremento e incremento de presión. El modelado de flujo en yacimientos fracturados involucra la descripción de las formas, orientación y tamaño del conjunto de fracturas, y el mecanismo para la transferencia de fluido de la matriz a las fracturas. El proceso de transferencia de fluido entre los bloques de matriz y las fracturas es el punto en el cual varios modelos difieren. Dado que la solución de algunos modelos está en términos de la transformada de Laplace, es necesario contar con algún método numérico para obtener la transformada inversa. En este trabajo se continúa con el realizado por Ramírez y Apanco 4, en el cual utilizan el algoritmo de De HoogS como invertidor numérico. El presente trabajo de tesis tiene como objetivo analizar resultados obtenidos en el análisis de pruebas de variación de presión, por medio del algoritmo citado. Este algoritmoS, se encuentra programado en MATLAB, que es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Como caso particular puede también trabajar con números escalares siendo una de las capacidades más atractivas, la de realizar una amplia variedad de gráficos en dos y tres dimensiones. MATLAB tiene también un lenguaje de programación propio. Xll REFERENCIAS. l . van Everdingen. A. F. Y Hurst, W.: "The Application ofthe Laplace Transformation lo Flow Problems in Reservoirs," Trans. AIME 186 (1949) 305-324. 2. Homer, D. F.: "Pressure Build Up in Wells", Memorias del Tercer Congreso Mundial del Petróleo, La Haya (1951). 3. Agarwal . R. G. , AI-Hussainy, R. y Ramey, H. J.: "An Investigation ofWellbore Storage and Skin EfTect in Unsteady Liquid Flow: 1. Analytical Treatment", SPEl (Septiembre, 1970). 4. Apanco H. 1. Y Ramírez N. K.: Análisis de la Presión para Yacimientos de Doble Porosidad, Mediante el Algoritmo de De Hoog. Tesis de Licenciatura. Fae. Ingeniería, UNAM. (Diciembre, 2004). 5. De Hoog. F. R., Knight, 1. H. Y Stokes, A. N: "An lmproved Method for Numerical Inversion of Laplace Transfonns"', Cornmunication of ACM, V-l3, (Enero, 1970). 47- 49. xiii l. ANTECEDENTES Gran porcentaje de la producción de hidrocarburos que se obtiene en México y en el mundo proviene de yacimientos naturalmente fracturados, en los que el flujo de fluidos, en forma general viene de un medio de baja permeabilidad (matriz), a los canales altamente conductivos (fracturas). En la actualidad se cuenta con una cantidad considerable de modelos que representan el fenómeno. Los modelos tienen como objetivo ex.plicar el comportamiento de los datos de presión en los yacimientos naturalmente fracturados y permiten deflllir los parámetros característicos, tanto de las propiedades fisicas como de la distribución de fracturas en la formación. Una de las consideraciones más importantes de estos modelos es el tipo de flujo que rige el intercambio de fluidos entre los bloques de matriz y las fracturas, que puede ser en régimen transitorio o en régimen pseudo-estacionario. Las soluciones de algunos modelos matemáticos están en términos de la transformada de Laplace y su inversión analítica no es fácil o posible de obtener. por lo que se requiere de un método numérico para su inversión al espacio rea1. En la mayor parte de la bibliografia revisadal SoJ lo . el algoritmo que se emplea como invertidor numérico es el de Stehfest 'J• en el trabajo desarrollado por Solaresl4 utilizan el algoritmo de Crump como invertidor numérico. 1.1 Revisión del Trabajo de Tesis de Ramirez y ApancolO• Realizan una revisión de la literatura sobre yacimientos naturalmente fracturados, desde lo modelos mas simples que dieron origen al desarrollo de las investigaciones sobre yacimientos de doble porosidad, hasta llegar a los modelos mas actuales, incluyendo el • Referencias al final del capitulo. modelo desarrollado por Rodriguez y CoIs.12 que consideran la variabilidad continua del tamafto de bloques de matriz y las ecuaciones de flujo y parámetros involucrados. En el trabajo de tesis se aplica el rugoritmo de De Hoog y cols.1 como invertidor numérico; primero se hace para funciones sencillas y se obtienen resultados muy aproximados a lasolución analítica. También se hace un análisis comparativo entre los resultados obtenidos en el trabajo de Rodríguezll , de la presión adimensional a partir de la solución del problema en el espacio de Laplace, aplicando el algoritmo de Stehfest para realizar la antitransformada, y los resultados obtenidos utilizando el algoritmo de De Hoog. Se observa que la aplicación de este algoritmo arroja buenos resultados, con porcentajes de error cercanos a cero. La revisión de este trabajo de tesis da pauta a ampliar el estudio y aplicación de este algoritmo, en el análisis de pruebas de variación de presión. 1.2 Algoritmo de De Hoog para la Inversión Numérica de la Transformada de Laplace. Este método se basa en la aceleración de la convergencia de las series de Fourier, obtenida de la inversión de la integral, usando la regla trapezoidal l . La transformada de Laplace de una función IV). parn t ;, O. es: F(s)= J: e-u IIt)dt.·· (1.1) y la transformada inversa está dada por: ') I f"" () f\t = --. _ e" Fs ds, 21ft 1-'· (1.2) Nomenclatura al final. 2 donde r es tal que el contorno de integración es por la derecha de cada una de las singularidades de F(s). Hay muchos problemas en los que la solución de la transfonnada de Laplace no puede ser obtenida analíticamente. Para tales casos. un método de inversión numérica debe ser usado. no existiendo uno que sea siempre el mejor, ya que aJgunos son buenos para un tipo de funciones y otros. para otras diferentes. Recientemente, Oavies y Martin1 probaron una amplia variedad de métodos sobre un conjunto representativo de dieciséis transfonnadas, de las que conocían la inversa; concluyeron que el método más satisfactorio fue basado en la aceleración de la convergencia de las series de Fourier. El objetivo del artículo1 es mejorar el método de aceleración en la convergencia de las series de Fourier. 1.2.1 Métodos de series de Fourier. Tres métodos matemáticamente equivalentes pueden ser obtenidos por manipulación de la parte real y la parte imaginaria de la Ec. 1.2. Estos son: 1(/) ~ ! e~') r.Re{F(s)}cos(w/)dw (1.3) l(t) ~- 2 e(") r" lm{F(s)}cos(w/)dw lf J. (1.4) ( 1.5) donde s = r + iw. Si ahora se discretiza, usando la regla trapezoidal con un periodo 7r I T , se obtienen las siguientes aproximaciones. (1.6) 3 (1.7) (1.8) Las Ecs. 1.6 a 1.8 son las bases de los métodos de análisis de las series de Fourier y usados por Dubner y AbateJ , Cooley, Lewis y Welch4, SilverbegS, Durbin6, Crump7 y otros. Las Ecs. 1.3 y 1.4 son matemáticamente equivalentes; las discretizaciones de las Ecs. 1.6 a 1.8 no lo son. De hecho, puede demostrarse6 que para O:S I S 2T : ¡; (1) = ¡ (I)+ E e<-"") [r(2kT + 1)+ e(> ,.) ¡ (2kT - 1 )] , (1.9) .. , ¡,(t) = ¡(I)+ E e(-' ,,,) [r(2kT +1)- e("') ¡(2kT - 1)], (1.10) .. , • ¡,(t}=¡{t)+ L e<-"") ¡(2kT+I). (1.1 1) .. , Así, si r y T son grandes, el error de discretización que se comete, cuando la integral es aprox imada por las series de Fourier, es pequeño, para ¡; y 12 cuando O S 1S T Y para 13 cuando OS / $ 2T . Las Ecs. 1.9 a 1.1 t indican que fl (la cual es W1 promedio de f. y 11) puede ser la aproximación mas útil en la práctica, por que ésta no contiene el término e(2r ') en el error de discretización. Sin embargo, la selección de la discretización más útil depende grandemente de cómo se calculan las sumas de la serie infinita en las Ecs. 1.6 a 1.8. 4 La lenta convergencia, con esta pérdida de precisión y excesivo tiempo de cómputo, puede ser esperada para algunos algoritmos que evalúan las Ecs. 1.6 a 1.8 directamente. Si una combinación de Fourier es útil. parecería ser necesaria una aceleración en la convergencia de las series infinitas apropiadas. Crump' usó el algoritmo epsilon para acelerar la convergencia de las suma en la Ec.I.5, con buenos resultados. 1.2.2 Resultados numéricos. Las tres principales fuentes de error en la aproximación de! (1), por la suma de las series de Fourier, en lugar de la integral en la Ec. 1.5, son: 1) el error de discretización; 2) el error de truncamiento causado por sólo considerar un número finito de términos N en la suma; y 3) el error de redondeo. El error de discretización es causado por los valores de los parámetros r y T Y el error de redondeo, por las propiedades de la máquina usada. El error de truncamiento es el que se desea mejorar. Dos transfonnadas con su inversa conocida fueron usadas para evaJuar las mejoras en la aceleración de las series de Fourier. Los resultados numéricos muestran que. para el método de la aceleración de las series de Fourier. usando las series complejas para caJcular la aproximación racional trigonométrica con cualquiera de los dos algoritmos, el epsilon o el q-d, resulta una significante mejoría sobre el método de Crump. Usando el algoritmo q-d para calcular expllcitamente los coeficientes de la correspondiente fracción continua es muy eficiente cuando la inversa es requerida en muchos valores de tiempo. Evaluando la fracción continua es más estable que aplicando el algoritmo epsi lon a las sumas parciales y puede ser mejorado para dar adicionales mejoras en la precisión. 1.3 Transfonnada de Laplace. La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas de vaJores iniciales. La estrategia consiste en 5 transfonnar ecuaciones diferenciales dificiles, en problemas simples de álgebra, donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. La transfonnada fue desarrollada por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marqués de Laplace (1749· 1827)8 Y pennite cambiar funciones de la variable tiempo 1 a funciones de la variable de Laplace "s". Las características fundamentales de la transfonnada de Laplace son: • Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. • Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable s. • Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable s. • Pennite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema, sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente. 1.3.1 Definición b6sicD. Si[ (1) está definida cuando 1 2': O, la integral .¡: impropia r K(s,/) [(1) di se define como un límite: r K(s,t) f(t) dt ~ lim f.' K(s,t)f(t)dt. o 6_ o (1.12) Si existe el limite, se dice que la integral existe o que es convergente; si no existe el limite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general , el límite anterior existe sólo para ciertos valores de la variable s. La sustitución K(s,/)= e-SI proporciona una transfonnación integral muy importante. Sea! (1) una función definida para 1 2': O. Entonces la integral involucrada en 6 L{¡~)l~ re-o 1(/)d/~F(s). (1. 13) se llama transformada de Laplace de f s iempre y cuando la integral converja. Cuando la integral converge. el resultado es una función Fde s. 1.3.2 Propiedad de la linealidad. L es una transformación lineal. Para una suma de funciones se cumple que: ( 1.14) siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente, (1.15) Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad seí'lalada. 1.3.3 Cond;cion~s para la existencia de L {¡(t)} . No es necesan o que converja la integral que define la transformada de Laplace. Las condiciones de suficiencia que garantizan la ex istencia de L{(ti)} son que f sea continua por tramos en [0,00), y que sea de orden exponencial, cuando t>T. Una función f es de orden exponencial e si existen constantes, M>O y T>O tales que 1/(/) ,; Me" para todo 1> T. 7 Ejemplos: 1. L{I} L{I}= rO, -- (I)dl =¡;m r', -- dI Jo ~_ Jo siempre que s > O. 2. L{I} L { I} = r'" e -~ I di: integrandopor partes y con ¡ím I e _.v = O. S > O se obtiene: Jo ,_.., -. - Ie - 1 lO L{t} = + . -- dl S S o , = I L{ I} s 3. L{ sen 21} Aplicando la definición e integrando por partes. se tiene: ~ " ° .., _., -e sen21 2 ..,_ L{sen 2/}= r e sen2t di = + - re " cos21 Jo s s Jo 8 , 2 lO = - e-o/ cos21 di, s ' s>O - 2 [-e--COS2f 2 lO -- 2J d] - - -- e sen ( s s s o , 2 4 =-, --L{sen2t} . s S 2 Despejando L (sen 2t) L(sen 21} 2 s >O .), 2 +4 • De acuerdo con la definición L{e-l' }= So" e-.ot e-)¡ dt = Jo" e-f.>+l > df = s+3 , I =--, s > -3 s +3 13.4 Transformada Inversa. El problema es, dada F(s) hallar la función/rO que corresponde a esa transformación;!(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa: Ejemplo: Usando la Tabla 1.1, dada al final de este capítulo, encontrar el {, I } . s +6s+ 13 Observando la columna F(s) en la Tabla l . t . se tiene la transformada inversa para b F(s) = ( y 1 • por lo que hay que arreglar la función, para poder aplicar esta s+a +b transformada: 9 1 2 = = ,,' +6s+ 13 (s + 3)' +4 2 (s+3)' +2" asi. usando la transfonnada 11 de la Tabla 1.1 se tiene: e ' { 1 } = 1 e' { 2 } = 1 e -" se" 21 ,, ' +6s+13 2 (s +3)' +2 ' 2 1.3.5 Transformada de derivadas. La derivación de funciones corresponde a la multiplicación de transformadas por s y la integración corresponde a la división de transformadas entre s. La transfonnada de Laplace remplaza las operaciones del cálculo con operaciones de álgebra con transfonnadas. Si f (1), F (l) . ..... f ("./) (1) son continuas en [O.co). de orden exponencial. y si f ( .. ) (f )es continua parte por partes en (O, co), entonces: en donde F(s) = L {¡(I )j. Ejemplo: encontrar la solución del problema con valores inic iales: d ' y dY - - 2- - 8Y =0 dt 2 di > Y(0)=3 , Y'(0)=6 . Tomando la transfonnada de Laplace de ambos lados de la Ec. 1.17, se tiene: 10 ( 1.16) (1.17) (1.18) (1.19) L {::q- 2L {~} - 8 L{Y{I)} ~ L{O}. ( 1.20) donde L{O} = O; el miembro derecho de la Ec. 1.1 7 es simplemente cero. Denotando L{r(/)} como y(s), y aplicando la transformada de derivadas, se tienen las siguientes expresIOnes: {d'Y} L di ' ~s'y(s)-s Y(O)-Y'(O), L{~}~SY(S) - Y(O) Aplicando las condiciones iniciaJes 1.18 y 1.19 para estas expresiones, se llega: Ahora, usando estas expresiones en la Ec. t .20 se llega a: s' y{s) - 3s - 6 - 2sy{s) + 6 - 8y{s) ~ O o ls' -2s- 8Jy{s)-3s~0 (1.2 1) Resolviendo la Ec. 1.21 paray(s). y{s)~ 3s (s-4Xs+2) 11 se debe determinar: c,{ 3s } (s- 4Xs+2) Aplicando fracciones parciales: 3s A B = + - (s- 4Xs +2) (s- 4) (s+2) Se encuentra que A :: 2. B = l. Así c' { 3s } 2C' { 1 } C' { 1 } (s- 4Xs+2) = (.< - 4) + (s+2) ' De la Tabla 1.1, número 2, se encuentra Así la solución del problema de valores iniciaJes es: 12 Tabla 1.1 Transformadas de Laplace'. [(/) F(s) s 2 e· s-a b 3 sen bt S 2 + b2 S 4 cos br S-l + b2 b 5 senh bt Sl _ b1 S 6 cosh bl S2 _ b1 7 / " (n = 1,2, .... ) n! sul , " e· (n = 1,2, .... ) n! 8 ( t' s-a 16s 9 I sen bl (s' +b')' S2 _ b2 10 t cos bt (S2 +b 2 )2 b \1 e -OI sen bl (s +0)' +b' s+a 12 e-- cos bl ~s+ a)' + b' \3 sen bt - bt cos bl 16' (s2+b 2)1 13 REFERENCIAS 1. De Hoog, F. R. , Knight, J. H. Y Stokes, A. N.: "An Improved Method for Numerical Inversion of Laplace Transforms", Communication of ACM, V-13 , (Enero, 1970), 47- 49. 2. Davies, B. y Martin, B. L.: "Numerical Invcrsion of Laplace Transform: a Critical Evaluation and Review of Mcthods", Joumal of Computational Physics, V-33, (1979), 1-32. 3. Dubner, H. y Abate, 1.: "Numerical Inversion of Laplace Transforms by Relating Them to the Fourier Cosine Transfonn", Joumal of ACM, V-I5 . (Enero, 1968), 115-123. 4 . Cooley, J. W., Lewis, P. A. Y Welch, P. D.: "The Fast Fourier Transform AIgorithm: Prograrnming Considerations in the Calculation of Sine, Cosine and Laplace Transform", J. Sound Vib. V- 12, (1970), 315-337. 5. Si lverberg, M.: " lmproving the Efficiency of Laplace-Transfonn Inversion for Network Analysis", Electronics Letts. V- 6, ( 1970),105-106. 6. Durbin, F.: "Numerical lnversion of Laplace Transfonns: an Efficient Improvement to Dubner and Abate's Method", Comput. J ., V -17, (1974), 371-376. 7. Crump, K. S.: "Numerical Inversion of Laplace Transfonns Using a Fourier Series Approximation", l oumal of ACM, V-23 , (Enero, 1976),89-96. 8. Spiegel, M. R.: Transfonnada de Laplace. Ed. Me Graw Hill, Serie Schaum. México, (2000). 9. Ross, S. L.: DifTerential Equations. Ed. John Wiley & Sons Ine. (1979). 14 10. Apanco 1-1 . J. Y Ramírez N. K.: Análisi s de la Presión para Yacimientos de Doble Porosidad, Mediante el Algoritmo de De Hoog. Tesis de Licenciatura. Fac. Ingenieria, UNAM. (Diciembre, 2004). 11 . Rodríguez N. R.: Caracterización de Yacimientos de Doble Porosidad con Tamaño Múltiple de Bloques. Tesis Doctoral. Fac. Ingeniería, VNAM. (Febrero, 2000). 12. Rodríguez, N. R., Cinco, L. H. Y Samaniego, V. F.: "A Variable Block Size Model for the Characterization ofNaturally Fractured Reservoirs", artículo SPE 71570, presentado en la "2001 SPE Annual Technical Conference and Exhibition", New Orleans, Louisiana, (Septiembre 30 -Ocutubre 3, 2001). 13. Stehfesl, H.: "Numerical Inversion of Laplace Transfonns", Communications of the ACM, Vol. 13 NO. 1, (Enero, 1970), 47-49. 14. Solares, A. J .: Metodología Empleada en la Interpretación de Pruebas de Trazadores. Tesis de Licenciatura. Fac. lngeniería, UNAM. (2001). 15. Agarwal, R. O., AI-Hussainy, R. y Ramey, H. J.: "An lnvestigation of Wellbore Storage and Skin Effect in Unsteady Liquid Flow: 1. Ana1ytical Treatment", SPEJ (Septiembre, 1970). 16. Hegeman, P. S., Hallford, D. L. Y Joseph, J. A.: "Well-Test Analysis With Changing Wellbore Storage", SPEFE (Septiembre, 1993). 17. Jalai -Yazdi , Y. Y Ershaghi, l. : "Pressure Transient Analysis of Heterogeneous Naturally Fractured Reservoirs", artículo SPE 16341 , presentado en el " 1987 SPE California Regional Meeting", Ventura, CA, (Abril 8-10, 1987). 15 18. Cinco. L. H., Samaniego, V. F. y Kuchuk. F.: "The Pressure Transient Behavior for Naturally Fractured Reservoirs With Multiple Block Sizc", artículo SPE 14168, presentado en la "1985 SPE Annual Technical Confcrence and Exhibition", N. Orleans, La, (Septiembre 26-29, 1985). 19. Fair. Jr., W. B.: "Pressure Buildup Analysis With Wellbore Phase Redistribution", artículo SPE 8206 presentado en la " 1979 SPE Annual Technical Conference and Exhibilion", Las Vegas, Nevada, Septiembre 23-26, 1979, SPEJ (Abril, 1981). 20. Johns, R. T. Y Jalai -Yazdi , y.: "Comparison of Pressure-Transient Response in Intensely and Sparsely Fractured Reservoirs", SPEFE (Diciembre, 1991). 21. Camacho, V. R., Vázquez, C. M., Castrejón, A. R. Y Arana, O. V.: "Análisis Transitorio de Pruebas de Variación de Presión en Yacimientos Natura1mente Fracturados Vugulares", Rev. Ingeniería Petrolea (Octubre, 2003), 27-35. 22. Satman, A.: "Decline Curve AnaJysis for Naturally Fractured Reservoirs: A Comparison of Model,", SPE 14473, (Abril, 1986). 23. Bujanos, S. J. L.: "Análisis de Pruebas de Presión en Yacimientos Naturalmente Fracturados", Rev. lng. Petrolera (Abri l, 1990). 24. Ramey, H. J.: "Adavances in Practical Well-Test Análisi s", JPT(Junio, 1992) 25. Cinco, L. H. Y Samaniego, V. F.: "Pressure Transient Analysis for Naturrally Fractured Reservors". artículo SPE 11026 presentado en la "1982 SPE Conferencia Técnica y Exhibición .... New Orleáns, La. (Septiembre. 1982). 26. Marhaenfrajana, T., Blasingame, T. A. Y Rushing, J. A. : "Use of Production Data Inversion to Evaluate Performance of Naturally Fractured Reservoirs", SPE (Noviembre, 2004). 16 27. Bourdet. D. y Oringarten, A. C.: "Determination of Fissure Volume and Block Size in Fractured Reservoirs by Type-Curve Analysis", artículoSPE 9293, presentado en la " 1980 SPE Annual Technical Conference and Exhibition", Dalias, Texas. (Septiembre, 1980). 28. Bourdet, D., Ayoub, J. A., Whinle, T. M., Pirard, Y. M., Y KniazefT, Y.: " Interpreting well Tests in Fractured Reservons", World Dil , (Octubre, 1983). 29. Mavor, M. J. Y Cinco, L. H. : "Transient Pressure Behavior of Naturally Fractured Reservoirs'" articulo SPE, presentado en la "1979 SPE California Regional Meting", Ventura, California. (Abril , 1979). 30.0nur, M., Reynolds, A. C.: "Well Testing of Numeneal Laplace Transformation of Sampled-Data", artículo SPE 36554 presentado en la " 1996 SPE Annual Technical Conference and Exhibition", Denvcr, Colorado. (Octubre, 1996). 31. Fuentes, C. O., Camacho, V. R., Y Vasquez, C. M.: "Pressure Transient Decline Curve Behaviors for Partially Penctrating Wells Completed in Naturally Fractures-Vuggy Reservoirs" articulo SPE 92116 presentado en la "2004 Conferencia Internacional del Petróleo", Puebla, México. (Noviembre, 2004). 17 11. FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS DE DATOS DE PRESIÓN 11.1 Flujo de Fluidos en Medios Porosos. Para comprender los conceptos teóricos del análisis de pruebas de variación de presión, es necesario conocer las soluciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que representan el flujo de fluidos en medios porosos, para varias condiciones de flujo. Una ecuación que describe el flujo de fluidos en medios porosos, es la ecuación diferencial conocida como ecuación de difusión; se obtiene a partir de los siguientes principios fisicos1 : 1) Ley de conservación de la masa (Ecuación de Continuidad) 2) Ecuación de movimiento (Ecuación de Darcy ) 3) Una ecuación de estado 4) Ley de conservación de la energía 11.2 Ecuación de Difusión para Flujo Radial en Medios Porosos. Considerando un cierto volumen de medio poroso, la ley de conservación de masa establece que: [ Masa que] [Masa que] [Masa. neta ;n"OdUcÜia] [eamMO de] - ± por termmos foente = . entra sale masa y sumidero Aplicando este principio a un volumen de control como el de la Fig. 2.1: Gasto másicoqueentm = pu, [O (r+Ar)6z] . Gasto másico que sale = [p u, + d (p uJO r 6z . 18 (2. 1 ) z pu, +ó(pu, pu, o y o x r + ÓF Fig. 2.1 Volumen de control, pllra la obtend6n de la ec:uación de dlr.sióaJ• Utilizando la Ec. 2. J se tiene para un intervalo de tiempo: {fpu, M(r+ÓF)]-fpu, + A (pu,)]A 1Hz }AI ~ (;pMrÓFAz),.~ - (;pMrÓFAz) ; dividiendo entre r llT 60 6z 6J : ~- Como lím Atoo,) ~ a(p...) y ...... ÓF Or Al.¡ p) Al (2.2) 19 .. :'llonees: I i! (rpu, ) i!{;p) ,. O,. =- - 01 • (2.3) que es la ecuación de continuidad para flujo radial 2, La ley de Darcy para flujo radial , cuando no se loman en cuenta los efectos de gravedad, ni los capilares; es: k, i!p u, =--- . i' i!r (2.4) Para derivar la ecuación de flujo, debe utilizarse además una ecuación de estado, que indique la variación de la densidad del fluido con respecto a la presión y la temperatura. Para obtener esa ecuación se parte de la compresibilidad isoténnica de un fluido, la cual se define como el cambio del volumen de fluido por un cambio de presión: integrando se obtiene lo siguiente: e dp = dp ::) p Despejando p : 20 (2.5) • p = p"en,p-po) . (2 .6) Combinado las Ecs. 2.3, 2.4 Y 2.6 Y considerando que la viscosidad del fluido es constante: Desarrollando: Suponiendo que la penneabilidad es constante e isótropa (k, = k) Y además, que la compresibilidad del fluido es definida como %t (P-Pt' = e' , k a' p . ap a; ap +-- =e - +-- J.I a,' al ap at . 1 a; . e + -- = e +e, =e, ; ;ap donde e, es la compresibilidad total. 21 Considerando que los gradientes de presión son muy pequeños, entonces se puede despreciar el término al cuadrado y la ecuación se reduce a: (2.7) que es la ecuación de difusión para flujo radial de un fluido de compresibilidad pequeña y constante, a través de un medio poroso homogéneo e isótropo. Algunas suposiciones hechas en la deducción de la ecuación de difusión son: 1. Flujo radial isotérmico, en un pozo abierto al flujo en todo el espesor de la formación. 2. Medio poroso homogéneo, isótropo. 3. Permeabilidad constante. 4. Viscosidad constante del fluido. S. Gradientes de presión pequeños. 6. Fuerzas gravitacionales despreciables. 11.3 Soluciones de la Ecuación de Difusión. Existen tres casos principales y comunes para la solución de la ecuación de difusión en coordenadas cil índricas, Ec. 2.7: 1) Yacimiento infinito: En este caso se supone que el pozo está situado en un medio poroso de extensión rad ial infinita, que produce a gasto constante y que la formación tiene un espesor uniforme y completamente abierto al flujo. (p -+ PI cuando r -+ co). 2) Yacimiento cilíndrico: En este caso se supone que el pozo está en el centro del yacimiento cilíndrico, en cuya frontera exterior no existe flujo. (: )~. = O. 22 3) Yacimiento cilíndrico con presión constante en la frontera: El pozo está situado en el centro del área cilíndrica con presión constante a lo largo de su frontera externa. Para todos los casos también se requiere de la condición inicial que establece que, al tiempo I = O , el yacimiento tiene una presión p, distribuida unifonnemente en todos los puntos dentro de él. 11.3.1 Solución de la ecuación de difusión para un polO productor a gasto constante y yacimiento infinito. Muchos de los trabajos hechos en el análisis moderno de las pruebas de variación de presión comenzaron con alguna fonna de la ecuación de difusión, ecuación ampliamente usada en otras disciplinas de ingenieria. La ecuación de difusión, se obtiene a partir de la ecuación de continuidad, la ecuación de flujo (ley de Darcy), y una ecuación de estado para baja compresibilidad y viscosidad constante de los fluidos, está nonnalmente dada en la fonna de la Ec 2.7. Introduciendo las siguientes variables adimensionales, en unidades prácticas de campo, [P(lb/pi), q(bpd), I'(cp), k(mD), /¡(pie), t(hrs.), c(lb/pir' , r,.(pie) J, tomando en cuenta que para su obtención se hace uso de la condición inicial y de las condiciones de frontera3: a) p{r,O}= PI ' r ~ O. La presión a lo largo de todo el yacimiento es unifonne antes de la producción. b) ( r op) = _ _ q/1 , t > O. La producción del fluido es a gasto constante, para un or r. 27C/ch pozo de radio r ... , el cual está en el centro del yacimiento. c) lim p{r,t)= p, . No ex.iste flujo a través de la frontera del yacimiento. ,- 23 khóp PI) = 141.2qB,u 0.000264kl I /) = y ;f.lCr r~ , la Ec. 2.7 se transfonna en: (2.8) (2 .9) (2.10) (2. 11 ) que es la forma adimensional de la ecuación de difusión; puede ser resuelta para las condiciones indicadas. Por ejemplo, con ayuda de la transfonnada de Boltzman, la solución para la Ec. 2.7 es': [ ' ] I r" tip/) =- El - . 2 4/ /) (2. 12a) En términos de las variables reales: 2"* h(p, - p) = _.!. E [_ ,' ;¡u:, ] qBp 2' 4k1 4"* h(p, - p) E [ "} d d k D·'··d d H·drá l· =-, -- ' on e 1]= - --+ IIUSIVI a I ulea qBp 4ryl ;¡u: Despejando p: 24 qB}J E [ r'] p = p, + 4l1ií. h j - 4'11 • que puede escribirse como: p(r,,) = p, + qpB E,(x) , 41drh donde y -. E,(x) = J"'!.- ds . • s (2. 12b) (2.13) (2.14) La Ec. 2.12a es conocida como la "solución fuente lineal", en fonna adimensional, para el caso de un pozo en un yacimiento infinito. Esta solución define un comportamiento teórico de la presión y además es una solución al caso de un yacimiento infinito; sin embargo, cuando se evalúa para valores prácticos de mdios y tiempos, proporciona resu1tados casi idénticos a los obtenidos por la solución para pozos de radios finitos. La Ec. 2.14 es llamada la integral exponencial, la cual para valores de x < 0.0025 puede ser aproximada por: E,(x) =- In(rx) , (2.15) 25 donde r es la constante Euler. que es igual a1.78; la expresión anterior generalmente se cumple para el caso de pruebas de un solo pozo, ya que el producto (JJ1cr 2 es muy pequeño, puesto que se aplica para r ::: rM•• Tomando en cuenta la Ecs. 2.15 y 2. 1 2a, la solución se puede escribir como: (2.16) óp" ~ In(' ~ + 0.80907) . '" (2 .17) para En la Fig. 2.2 se muestran los resultados de aplicar la Ec. 2. 12a, que da la presión adimensional contra radio y tiempo. o ~ <l 26 'o' 10' 'o Fig. 2.2 Valores de Dp /1 pal'1l varios radios adimensionaks, (Et:. 2.12a)3. ,,' Usualmente. el lugar de interés primario es en el pozo, donde r = r w, (rD= 1). En este caso la solución de la ecuación de flujo radial cilíndrico, recibe un nombre particulaTJ, PI> que es expresada en términos adimensionales (es el valor de Opo en el pozo, excluyendo efectos de daño e inerciales); P, varía con las condiciones externas, pero para el caso de una producción a gasto constante de un yacimiento infmito, está dada por: P, = Opo (10-... =- E, -1 { 1) 2 4/1)' En ténninos de la aproximación logarítmica, de la Ec. 2. 17: 1 p, = - (lnID +0.80907), para ID >25. 2 (2.18) Ahora en ténninos de variables reales. Combinando las Ecs. 2.12b Y 2.15 se llega a: p(r,I) = p, - qp In 4*1 " 41tJch r;pc, r (2.19) y para el caso especial de r = r w (presión de fondo fluyendo): (2.20) Similannente, para otros casos de estado pseudo-estacionario y estado estacionario, el efecto de dafio puede ser introducido: (2.21) 27 El efecto de dafto se introdujo por primera vez por van Everdingen y Hurst~l. definiendo un estado estacionario y diferencia de presión alrededor del pozo. Un valor positivo indica una restricción al flujo, mientras que un valor negativo indica una mejora al flujo, usualmente resultado de una estimulación. En unidades de campo y cambiando de logaritmo natural a logaritmo de base 10, la Ec. 2.2 I se transfonna en: P..r = P , 162.6q8p ( k ) 10g/+log - 3.23+0.87S . kh r?pc, r; (2.22) Por 10 tanto, la gráfica semilog de pwf vs I será una línea recta, Fig. 2.3, cuando la aproximación logarítmica de la integral exponencial es aplicable. P..r(psi) • 10 100 1000 I (hrs.) Fig. 2.3 Respuesta conceptual para un yacimMmlo infinilo·. La pendiente de la Unea recta está dada por: 1 62.6qBp m= kh ' (2.23) mientras que el efecto de daño puede ser obtenido reordenando la Ec.2.22. 28 ( P.- P'" k ) S ~ 1.151 - Iog/ - Iog +3.23 • m r;jic, r; (2.24a) o más convenientemente, si Pwf = PI"" la cual es encontrada de la extensión de la línea recta en 10g t , con t =1 hr, entonces: S ~ 1.151(P ' -P ... - Iog k +3.23). m y;pc,r; (2.24b) En una gráfica semilog de datos de campo, la pendiente de la fX)rci6n de línea recta, dará el valor de la permeabilidad, k (si todas las otras variables son conocidas); el valor del daBo puede ser calculado de la Ec.2.24b. El valor de P IM puede ser obtenido de la construcción de la gráfica. 11.3.2 Solución para yacimiento IimiJado. Para este caso se considera yacimiento cilíndrico, gasto constante en el pozo, el cual se encuentra en el centro del yacimiento, con gasto cero en la frontera externa y presión inicial uniforme. La única diferencia presentada con el problema en el caso anterior, es la segunda condición de frontera: a) (rOp) ~ O . / ~ O . dr r. Se parte de la ecuación de difusión en variables adimensionales, Ec. 2.11. Las condiciones inicial y de frontera quedan de la siguiente forma: b) PD (r".O) ~O. ro ~O 29 e) (8PD ) =_ 1 OrD 'D-1 ' ' 1) > O d) (8pn) =0 iJr o ~.I) , 'o 2:: 0 . Aplicando la transformada de Laplace a la Ec. 2.11 y a las condiciones b) a d}, y resolviendo el problema resultante, la siguiente ecuación es obtenida4 : (3r .. ~J - 4"~~J In " .. 0 - 2r .. ~) - 1) 4k~) -Ir (2.25) donde a" son las ralces de la ecuación: J,(a" r,. ) Y, (aJ-J, (aJY, (a" r,. )=O; (2.26) J, Y Y¡ son las funciones de BesseUs de primero y segundo tipos, respectivamente; ambas de orden uno. El factor a" puede ser obtenido de tablas de funciones matemáticas o de la solución de la serie dada por Abramowitz y Stegun6; para rangos de a" no válidos de esta solución, las raíces de la Ec. 2.26 pueden ser obtenidas por un procedimiento numérico iterativo. PI> es la solución en el pozo que se obtiene de la evaluación de la Ec. 2.25, en ro = J: (2.27) 30 Para valores de I /) < 0.25 rr~' P, es equivalente a la Ec.2. 18 que es para efectos de frontera externa insignificantes y comportamiento de yacimiento infinito. Para r,,» rw. la presión en el pozo está expresada por: 'D para - ,- > 0.25 . '., (2.28) Muskat7 mostró que si el radio del pozo tiende a cero (línea sumidero), entonces la solución está dada por: (2.29) donde a~ son las raíces de: J,(a; ,. )=0, y son obtenidas de la tabla de funciones matemáticas ya mencionada Para tiempos grandes y donde rw « r". la solución en el pozo se reduce como antes. a la Ec. 2.28. Una gráfica de la Ec. 2.27, para varios valores de reD' se muestra en la Fig. 2.4. 31 p, I ! I ~"l r 1 1Y , ' .~ ~~ el?/I i ~ v 1 I 1 lL 1 I I , I , ! ~~, +- , , , ;0' 10' lO' 10' 10' 'o fig. 1.4 Valores de /)yJ o parl varios yacimientos c:in:ulares, sin nujo en ellfmite externo, (Ec.l.28)J. Se observa que, a tiempos pequei'ios la solución corresponde a la línea r D = J del caso de un yacimiento infinito, Fig.2.2. A grandes tiempos, la solución es representada por la Ec. 2.28. La transición de comportamiento infinito a finito ocurre en t o == O.25re~' 11.3.3 Solución para un yacimiento a presión constante. En este caso el flujo es en un yacimiento cilíndrico, gasto constante en el pozo, el cual se encuentra en el centro del yacimiento; presión constante en la frontera externa debido a mantenimiento natural O artificial. Las condiciones de frontera para esta situación son: a) Gasto constante en el pozo, como en los casos anteriores, a rD - (/\PD) = -1, para ' o> 1. aro b) La presión en la frontera es constante para todo el tiempo, (Pe = P,. para todo 1) . 32 En términos adimensionales: !lp o = O en rO= reD • para todo ' o e) La presión inicial en todo el yacimiento es unifonne, (dpo = O. en 11) = O para todo ro ) Usando la transfonnada de Laplaee y tomando en cuenta las condiciones inicial y de frontera, la solución es): donde p" son las ralces de la ecuación y son obtenidas en la misma fonna que a" . P, es obtenida evaluando la Ec. 2.30 en ro = / : .. e-I:'n J 2(r p) P =A" I = Inr - 2'" o .0. , "'-0,... .1) .:. , [ ' In) ' ( )\' _ 1 P .. JI VJ" - Jo r~DP" 'J (2.30) (2 .31) (2.32) A medida que ID se incrementa, el ténnino de la suma decrece (debido a e-'n) y la Ec. 2.32 se reduce a: p , = lnrd ) , para ID > 1 .0r~~. (2.33) Esta ecuación puede también ser obtenida directamente de la ley de Darcy, para sistemas radiales. 33 La Fig. 2.5 muestra los resultados de la Ec. 2.32 para varios valores de r~o; se observa que al inicio del periodo de producción del pozo, la presión actúa como si fuera un yacimiento infinito. Sin embargo después de un cierto tiempo, (' 1) > O.25r.~ ), los efectos de frontera llegan a ser evidentes, y un periodo de transición precede al estado estacionario representado por la Ec. 2.33. I , 1- ; I :1 I I -1 I i I ! , P, J I ,.~ I ; . I , ~.~, i~ I I ¡ I ! I I L--- i , _" IO( , ¡--, .. , i -~ I l-! ! ¡ Wl ~ , ,- ~" , I r i i I , ¡ 10' ,,' lO' 'o' 10' 10' In Fig. 1.5 Valores de llpD pus vulos ysdmtent05 finitos dn:ulares con presjón constante en ellfmite externo, (Ec:.l.Jl)J. 11.4 Flujos Transitorio, Semi-estacionario y Estacionario. El comportamiento de presión para un pozo que produce a gasto constante se muestra en la Fig. 2.6. Durante al inicio de la producción, el comportamiento de presión puede ser descrito primero por la Ec.2.12b, este es semejante al que tiene un yacimiento infinito,después por la Ec. 2.15. A este periodo se le conoce como de flujo transitorio. 34 Si este flujo no cruza la frontera externa, como pasa el tiempo de producción el comportamiento de presión se desvía del caso de yacimiento infinito. Cuando el tiempo es grande la presión declina a través del yacimiento llega a una función lineal del tiempo. Este régimen de fluj o es comúnmente llamado semi-estacionario. Un hecho importante es que la diferencia entre la presión promedio del yacimiento y la presión de fondo fluyendo es constante durante el estado semi-estacionario. En el estado estacionario el flujo es constante y la presión es independiente del tiempo. Pi Flujo transitorio P,,¡ Flujo semi-estacionario Periodo transitorio tardio Flujo estacionario Declinación lineal de la presión áPwt q ..--- T,= - ;chre2 fig.2.6 Represenlllción esquem'iica de la declinación de la presión, de un pozo produc:kndo a gasto conslllnte, en un yacimknto cin:ular~. U.S Efectos de Dafto y Almacenamiento. U.S.l Efecto de daño. Se ha encontrado' que la permeabilidad de la formación cerca del agujero es reducida como resultado de trabajos de perforación. dispersión de arcilla, presencia de enjarre o cemento, presencia de alta saturación de gas alrededor del pozo, etc.; estos son algunos factores responsables de esta reducción de la penneabilidad'. Por lo tanto, esta reducción puede ser 35 tomada como una caída de presión adicional; la zona de permeabilidad dailada es conocida como zona de dafto (skin) y el resultado de este efecto, como factor de daño, Fig. 2.7. Pozo --., (...--. ----~ "-.... Presión en la formación 1 Zona de dafto " t. p ·1 fig. 2.7 Distribución de la presión en pozo con dafto·. Originalmente, el concepto fue introducido para incorporar la diferencia notada entre la respuesta de la medida de presión y la respuesta de presión predicha. La medida de la respuesta de presión fue usualmente más baja que la respuesta predicha9; van Everdingen y Hurst 10. 11 sugirieron que la caída de presión extra refleja una pequei'ia región de baja permeabilidad (daño) alrededor del agujero y es nonnalmente serullada con la introducción de este concepto para la indusb'ia petrolera. La existencia de la región de baja penneabilidad fue atribuida a la invasión de fluido durante la perforación y terminación. Krugerl6 presentó una visón exhaustiva del efecto de daño de formación en la productividad del pozo; ideas similares fueron introducidas en la literatura de aguas subterráneas por Jacob ls y Roraburg16, aunque estos autores estuvieron preocupados por una visión diferente del problema fisico que el examinado por van Everdingen y Hurst. Este trabajo toma en cuenta el efecto de flujo no darciano en la respuesta de presión; todos notaron que la presión predicha en el pozo por la solución fuente lineal fue mucho más grande que la respuesta medida. Para tomar en cuenta la diferencia entre la respuesta medida y la respuesta predicha, van Everdingen y Hurst introdujeron el concepto de del efecto de daño. El efecto del dafto refleja la conexión entre el yacimiento y el pozo. La diferencia en la caída de presión en la vecindad del pozo puede ser interpretada de varias formas l2: 36 • Por medio de un daño en una longitud infinitesimal de la formación • Por daiio en un espesor finito • O por el método del radio efectivo 11.5.1.1 Daño en una longitud infinitesimal de la fonnación. La caída de presión ad icional. (efecto de daiio). ocurre en una zona infinitesimaJ JO, II , La evaJuación del daño es expresada en términos del factor de dafto "SO. que es positivo para cuando hay daiio, y negativo cuando hay una mejora en las condiciones de flujo. Éste puede ser cerca de -5 para una fractura hidráulica, hasta + 00 para un pozo que es seriamente dañado lJ. La caída de presión en unidades de campo, debida al efecto de daño está definida por: (2.34) De la Ec. 2.34 el factor de dai\o en unidades del sistema S.1. es el siguiente: S 2 "kh = llps (2.35) qBp y en unidades de campo kh s= llps ' 141.2q Bp (2.36) La Fig. 2.8a ilustra el comportamiento idealizado de la presión para un pozo dañado (S>O). El espesor de la zona daiiada es considerado infinitesi.mal; la caída de presión causada por el efecto de daño ocurre en la cara del pozo. La aproximación para el daiio en una longitud infinitesimaJ da lugar a un gradiente de presión inverso, para un pozo con mejora (8<0)), como se muestra en la Fig. 2.8b IJ . 37 p p, p Comportamiento de la presión en la formación , Fig. 2.Sa oano en una longitud infinitesimal de (ormac:lón lJ, Componamiento real : ::::::::: ¡: :;~~~_~._ ~a_=~ó"" Componamiento de la presión en la formación , Fig. 2.8b DistribuciÓn de presión alrededor del pozo, <:on un factor de dafto negativou. 1I.5.1.2 Daño en una zona finita. Otra representación consiste en asumir que la caída de presión está localizada en un área con un radio rs y permeabilidad ks alrededor del pozo, Fig. 2.9. 38 K '. Flg. l. 9 0"'0 en una zona de longitud finita l2• La caída de presión adicional, causada por la zona daftada, se puede calcular con la ecuación de flujo radial de un fluido incompresible en el estado estacionario, que es la siguiente: 2dh (p, - p,) q = . p B In (" Ir,) (2.37) La caída de presión en la zona daiiada ÓP~. es la diferencia entre la P", con dafto y sin daño y es expresada como sigue, utilizando la ley de Darcyl4. ¿jP = qB# In !:!.. _ ~ 27C *,h r", q B Ji ln~ ' 21Clch r",' agrupando términos semejantes: '¡p = qBp In ~(~- I) • 2 1fk h T", le, • de donde (2.38) 39 21TkhAp, = In ~(~ - I). q B fJ r. k, Aplicando la Ec.2.55 se llega: (k) r, S= - - 1 In -;- " k, • (2.39) Esta ecuación muestra que un daño (ks < k) corresponde a un efecto de daño positivo. Tratamientos del pozo, como la acidificación, son llevados a cabo para mejorar la baja permeabilidad en la vecindad del pozo y por medio de eso reducir el valor del efecto de dailo. La Ec. 2.39 muestra que una mejora en la permeabilidad corresponde a un factor de dalla negativo. 11.5.1.3 Radio efectivo. El método del radio efectivo consiste en reemplazar el radio real del pozo r ... y un dafto S. por un radio ficticio r' ... y daño cero, Fig. 2.10. El método fue introducido en la literatura de aguas subterráneas por JacobiS y en la literatura petrolera por Brons y Miller17• El radio efectivo r' .. se determina al considerar que la caída de presión entre rs y r· ... en el pozo ficticio es igual a la caída de presión entre Ts Y r", en el pozo: Ap(r' •• S=O) = Ap(r. ,S). (2.4 1) Expresando la caída de presión en términos de la ley de Darcy: 40 qBp (Inr:)= qBp ( In~ +S). 27fk h r.. 21rkh r., (2.42) se llega a : (2.43) El método del rad io efectivo es usado para representar el daño anaJíticamente en todos los casos posibles, incluyendo la situación de daí'io negativo. Este caso se presenta cuando k, es mayor que k del resto del yacimiento; entonces el radio efectivo será más grande que el radio real. p • / • • • • , , , , . - ---- ---, ~... : , 1/ Pwr con radio efectivo , • , Pwr real , , k. < k , • , , , , '0 'o , Fig. 2.10 Da"o mediante el método de ndto dectivoll, n.5.2 Efecto de almacenamiento. El fluido de la formación fluirá hacia el pozo hasta que se alcancen las condiciones de equilibrio, cada vez que el pozo sea cerrado en la superficie. Cuando el pozo es puesto en producción, parte del fluido que es producido en la superficie ya existe en el pozo antes de comenzar la producción. La capacidad del pozo de almacenar y descargar fluidos es 41 conocida como almacenamiento del pozo; Jos resultados considerados suponen que el gasto de la formación es constante y es igual al gasto en superficie; esto es, la existencia del fluido en el pozo ha sido ignorada. En la práctica. sólose puede controlar el gasto en superficie, el gasto de la formación puede ser o no igual al gasto en superficie. Las mediciones de presión en el pozo, serán afectadas por la compresibilidad de los fluidos y el gasto variable en la formación. Algunas veces el almacenamiento de pozo es referido como una postproducción o una descarga21 • Ambos términos son apropiados únicamente para especificar situaciones. La postproducción se refiere al flujo a través de la cara de la formación durante las condiciones de cierre, mientras que la descarga se refiere a una liberación del fluido durante el decremento. Cuando un pozo se abre en la superficie, el gasto en la superficie, q, inicialmente es debido a la descarga del pozo. Como esta descarga gradualmente disminuye a cero, el flujo en la formación se incrementa de cero a q. Por consiguiente, un gasto constante en la superficie es la suma de dos gastos que cambian en sentidos opuestos, esto es, la descarga del pozo que di sminuye más el flujo de la formación que aumenta. n.5.2.1 Desarrollo de condiciones de frootera. Si q lll6 representa el gasto proveniente del pozo, y e representa el coeficiente de almacenamiento del pozo, es decir el volumen de fluido que el pozo aporta por sí mismo por caída d~ presión; entonces la descarga del pozo está dada por: e dp..¡ q =---.... B di . (2.44) Si la descarga del pozo que toma lugar es debida a la entrada de fluido por expansión, entonces e = v ... c ... /a 1 , donde V ... es el volumen efectivo del pozo, CIII es la compresibilidad del fluido en el pozo y al es una constante de conversión de unidades. 42 Para un coeficiente de almacenamiento por cambio de nivel de líquido, se tiene que C = V. j(p 1144), donde V" es el volumen del pozo por unidad de longitud, bbVpie y p es la densidad del fluido en el pozo,lb,,/pieJ• El gasto en superficie, q, es la suma del gasto del pozo, qwb, y el gasto en el fondo del pozo, qq-; esto puede ser escrito como: (2.45) donde, q.¡ , está dado por 21Ckh ( 1Jp) q.f/= r - . Q,BJ,l éJr,.., (2.46) El coeficiente de almacenamiento adimensional, Co, es definido por: e _ 5.615C /) - 2 • 2¡r,hc, r ... (2.47) En la Ec. 2.47, se utilizan las siguientes unidades: e en (biS/lb/pi), ; (fracción), h (pie), e, (Ib/pir' y r. (pie). La Ec. 2.45 puede ser escrita como9: (2.48) La condición de frontera apropiada está dada por: 43 (2.49) El almacenamiento causa que el Oujo en el fondo del pozo cambie más lentamente que el gasto en la superficie' J. La Fig. 2.11 muestra esquemáticamente la proporción del gasto en la cara de la fonnación y el gasto en superficie, cuando el gasto en la superficie cambia de O a q al tiempo O. Cuando e = o, qif / q = I todo el tiempo. Para e> o. el gasto cambia en forma proporcional desde O a 1. Para coeficientes de almacenamiento grandes, la transición se muestra en la Fig. 2. 11 . El gasto que proviene de la formación puede ser calculado con la siguiente expresión l ): 24C dp q. = q+ --- B dI e, q. e, o o!'-------------' In (2.50) Fig.2.1I Efecto delalmac:enamlcnto en el gasl0 que CKurre en el fondo del pozo; eJ > el> e". Esta ecuación indica que el gasto q'f varia con t y p . Utilizando la presión adimensional que toma en cuenta el almacenamiento del pozo, para un cambio en el gasto, Po (1 D' e D) se muestra en la Fig. 2.12; la pendiente de P D liS 'D en Wla gráfica log-Iog es 1.0 durante el almacenamiento. Con esta figura se puede diagnosticar el efecto del almacenamiento del pozo durante una prueba de variación de presión. 44 PI) (lo> Co) Iv Fig.2.12 Presión adimensional incluyendo alm.cen.m.ienlo del pozo; S - OU. El caso de un sólo pozo con un gasto de producción constante, en un yacimiento infinito, fue resuelto numéricamente por Agarwal, AI-Hussainy y Rame~. La Fig.2.12a muestra gráficamente los resultados obtenidos por estos autores. Po Fig. 2.12a Presión .dimensional incluyendo a lmacenamiento del pozo y diferentes va lores de daftou . Analizando la fig. 2.12a, se observa que todas las curvas con valores de Co diferentes de cero, fonnan una línea recta de pendiente unitaria (45°), para valores pequeños de ID. Agarwal, AJ-Hussainy y Ramey confirmaron esto matemáticamente, demostrando que, para tiempos muy cortos: ( ) t D e t - -P .. " o. o - e ' D (2.51) 45 o en términos de variables reaJes, q B Ó1 6p = 24C . (2.52) La Ec. 2.52 proporciona un medio para calcular la constante de almacenamiento, C, a panir de los datos de la prueba e independientemente del tipo del almacenamiento. Los valores de 6p y 1M son leídos de un punto sobre la línea de pendiente unitaria. Para el caso de una prueba de incremento de presión, 1M corresponde al tiempo del cierre, y para el caso de una prueba de decremento, tJJ corresponde al tiempo de producción. Los datos de presión para tiempos muy cortos, los cuales forman una línea recta de pendiente unitaria en la gráfica log-Iog de PD vs ID Fig. 2.12a, están totalmente controlados por el almacenamiento de pozo, ya que dunmte este tiempo toda la producción es debida a la descarga del pozo; los datos de presión obtenidos durante este periodo de flujo no describen el comportamiento del yacimiento, y consecuentemente, estos datos no pueden ser analizados para evaluar las propiedades de la formación. En la Fig. 2.12a se observa que después de que termina la línea de pendiente unitaria o, los datos de presión caen por debajo de la extrapolación de la línea de 45 0 • Después de un tiempo suficientemente grande, los datos de presión interceptan una curva de CD = O Y un valor determinado de S. Para valores de ID menores que 1700, po es una función lineal de ID y la pendiente es unitaria. El almacenamiento de pozo es el factor que controla los datos de presión en este intervalo de tiempo. Para valores de ID mayores que 1700, PD se desvía por debajo de la línea recta de pendiente unitaria. Para un valor de ID= 9 x 10", el valor de po coincide con la curva de Co =O y S = la. Esto fisicamente significa que para valores de ID mayores de 9 x la", los efectos de almacenamiento de pozo son despreciables y este tiempo corresponde al comienzo de la linea recta semilog, usada en los métodos convencionales de análisis (Homer y MilIer o Considerando Co - 100 46 Dyes·Hutchinson) 23. Los datos comprendidos en el intervalo de 1700 < I f) < 9xl04 están afectados tanto por el almacenamiento de pozo como por el factor de daño. El tiempo requerido para alcanzar el comienzo de la línea recta semilog puede ser estimado de la ecuación: 'n = C¡) (60+3.5S), (2.53) o en ténninos de las variables reales: 602.9 e (60 + 3.5 s) f = , (k h/p) (2.54) donde: I (hrs.), e (pie'! lb/pi), k (mD) , h (pie) y p (cp). 11.6 Principio de Superposición. La Ec. 2.12b refleja la variación de presión cuando el pozo es abierto. Las consideraciones que se han realizado respecto a tener sistema con un pozo produciendo a gasto constante, son hasta cierto punto irreales. Los problemas con los que se enfrenta la ingeniería de yacimientos, generalmente contienen varios pozos operando a gastos variables. por lo que se ve la necesidad de contar con una técnica más general para estudiar los problemas asociados con las pruebas de variación de presión. Los problemas de pozos múltiples y gastos variables pueden ser considerados mediante la aplicación del principio de superposición; este principio establece que una combinación lineal de soluciones lineales, para una ecuación diferenciaJ, es también una solución de dicha ecuación diferencia1. La base matemática para esta técnica es explicada por van Everdingen y Hurst. 10 Collins", y otros. 4. 19.20. 47 El nujo de nuidos ligeramente compresibles en un medio poroso unifonne, es descrito por la ecuación de difusión; dicha ecuación es lineal y homogénea, por lo cual el principio de superposición puedeaplicarse. 11.6.1 Superposición en espacio. Esta aplicación del principio de superposición, se emplea para conocer la caída de presión en cualquier punto que se encuentre afectado por más de un pozo en el yacimiento. Para ilustrar el principio de superposición en el espacio, se consideran tres pozos en un sistema infinito, Fig.2.13. En t = 0, el pozo 1 comienza a producir con un gasto q¡, y el pozo 2 comienza a producir con un gasto ql. Se desea estimar la presión en el punto de observación, pozo 3. Para hacer esto, se sumará el cambio de presión en el pozo 3 causado por el pozo l al cambio de presión en el pozo 3 causado por el pozo 2: (2.55) Pozo 2 • q, Fig. 2.13 magram. p.'" explicar el prindpio de superposición en el espado!!. La ecuación que describe la caída de presión, es: (2.56) 48 Sustituyendo la Ec 2.56 en la Ec.2.55 se tiene que: An _ q, p B p {, I l+ q, P B P (r 1) ~1 - 21Clch V ~ D ' () 21Ckh v D2'D' (2.57) donde rlJl , r D2 son las distancias adimensionales del pozo 1 y del pozo 2 al punto de interés, en este caso el pozo 3, respectivamente. La Ec. 2.57 se puede generalizar para un número arbitrario de pozos, j = 1,2, ..... , n; en unidades prácticas se tiene: (2.58) donde rl) es la distancia adimensional del pozo j al pozo de interés. La Fig.2.14 ilustra , gráficamente el uso de la Ecs. 2.56 y 2.57 para el sistema de la Fig. 2.13. 5 ./' ~ p¡-p (lb/Pi) 30 V I i'- Poro ---- --------- -----20 .-- --- • • ----- • • ..---- ., Po 2 , , • 10 , , l , O 20 40 60 80 100 1, hl1 Fig.1.14 Principio de superposkión en el espaciou. n.6.2 Superposición en tiempo. Para ilustrar una aplicación del principio de superposición en tiempo, se considera un pozo el cuaJ tiene una producción a dos gastos diferentes, Fig. 2.15; en este caso, el pozo produjo a un gasto constante q, desde un tiempo t = O hasta t, y a un gasto q1de 1, en adelante. 49 q q, q, -----+-'---- o " , Fig. 2.15 Diagrama para nplkar el prindpto de superposkión en ti tiempou, Para realizar el calculo de superposición en un solo pozo puede ser visualizado como dos pozos colocados en el mismo lugar. uno produciendo a un gasto q, desde t = O hasta 11 y el otro produciendo a un gasto (q2 - ql) empezando en tI y continuando por un periodo (1 - l.). Así, el gasto total después de 1, seria q¡ + (q 2 - q. ). Aplicando el principio de superposición para los dos pozos, se tiene que la caída de presión en el pozo para un tiempo t mayor que I J, está dada por: A_= q,l' B P (1 t )+ (q , - q,)1' B P (1 [t-t 1). ~ 21Clh D'D 21fkh D' I (2.59) En fonna general. la Ec.2.59 en unidades prácticas se puede escribir como: (2.60) En esta ecuación, [1 -/.1. es el tiempo adimensionaJ calculado en (1 - t.); para la Fig. 2.15 N = 2 Y solo dos ténninos de la suma son necesitados. 50 REFERENCIAS 1. Economides, M.: Rescrvoir SimuJation. Ed. Jhon Wiley & Sons, (2000). 2. Dake, L. P.: Fundamentals of Reservoir Engineering, Ed. Elsevier, (1978). 3. Theory and Practice of Testing of Gas Wells, Tercera Edición. Energy Resources Conserv.tion Board, Calgary, Albena, Can.da, ( 1975). 4. Mathews, C. S. y Russell , D. G.: Presswe Buildup and Flow Test in Wells, Monographs Series, Society of Petroleum Engineers of AIME Dalias, (1967). 5. Pita, C. J.: Ecuaciones Diferenciales. Ed. Limusa, México, (2000). 6. Abramowitz, M. y J. A. Stegun.: Handbook of Mathematica1 Functions, UfT Fonnulas, Grnphs, and M.them.ticaJ Tables, National Bureau orStandard, Wash; D.C, (1964). 7. Muskat, M.: The Flow of Homogeneous Fluids through Porous Media, Me Graw HiII Book co.lnc New York, (1946). 8. Lee, J .: Well Testing. SPE. Textbook Series, Society ofPetroleum Engineers of AIME, Dalias. Texas, (1982). 9. Raghavan, R.: Well Test Analysis, Prentice Hall, (1993). 10. van Everdingen, A. F. Y Hurst. W.: U.The Skin Effect and Its lnfluence on the Productivo Capacily or a Well," Trnos. AIME 198 (1953). 11. van Everdingen. A. F. Y Hurst, W.: "The Application ofthe Laplace Transformation to Flow Problems in Reservoirs". Trans. AIME 186 (1949). 51 12. Bourdarot, G.: Well Testing: Interpretation Methods, Ed. Limusa, (1998). 13. Earlougher, R. e.: Advances in Well Test Analysis, SPE of AIME, New York, (1977). 14. Hawkins, M. F., Jr.: "A Note on the Skin Effect," Trans. AlME 207 (1956). 15. Jacob, E. E.: "Drawdown Tests to Detennine Effective Radius of Artesian WeIl," Trans. American Society of Civil Engineers (1946). 16. Krueger. R. F.: "An Overview of Formation Damage and Well Productivity in Oilfield Operations", lPT (1986). 17. Brons, F. y Miller, W. e.: "A Simple Method to Correlate Spot Pressure Readings," JPT (1961). 18. Collins, R. E.: Flow of Fluids Through Porous Materials, Reinhold Publishing Corp., New York (196 1). 19. Homer, D. R.: "Pressure Build-Up in Wells, " Proc., Third World Peto Cong., The Hague (1951), 503-523. Also Reprint Series, No.9 - Pressure Analysis Methods, Trans. AIME, DalIas (1967). 20. Earloungher, R. e., Jr., Ramey, H. J., Jr., Miller, F. O. y MuUer, T. D. : "Pressure Distributions in Rectangular Reservoirs", JPT (Febrero, 1968). 21. Valderrábano, H. A., Rayón, C. R., Osomo, l . A., Y Rodriguez N. R., Apuntes: Evaluación de la Producción, Fac. lngenieria. (Diciembre, 1984). 22. Agarwal, R. O., AI-Hussainy, R. y Ramey, Jr. H. J.: "An investigation of Wellbore Storage and Skin Effect in Unsteady Liquid Flow: 1. Analytical Treatment", SPEJ (Septiembre, 1970). 52 nI. TIPOS DE PRUEBAS HI.1 Pruebas de Incremento. Estas pruebas han sido usadas durante mucho tiempo, por lo que resultan más familiares que las de decremento y son ampliamente tratadas en la literatura l , Consisten en una serie de mediciones de presión de fondo durante un periodo de cierre de pozo. Comúnmente antes de cerrar el pozo, se recomienda que haya estabilizado a un gasto constante. En una prueba de incremento, un pozo que está fluyendo (idealmente a un gasto constante) es cerrado de forma instantánea; la presión de fondo, medida a partir de ese instante, corresponde a la presión de incremento. La Fig. 3.1 representa el comportamiento del gasto y la presión para una prueba de incremento. El análisis de una prueba de incremento frecuentemente requiere una ligera modificación de las técnicas usadas para interpretar las pruebas de decremento. Una ventaja práctica de una prueba de incremento es que la condición de gasto constante. después del cierre. es más fácil de aJcanzar (puesto que el gasto es cero). p q fig. 3.1 e.sto y respuesta de presión en prueb. de incrementol • La principal desventaja que representa este tipo de pruebas es que provoca una producción diferida, puesto que existe la necesidad de cerrar el pozo; además que resulta poco atractivo desde el punto de vista económico. 53 Puede ser dificil tener un gasto constante de producción antes del cierre; para ello puede ser necesario cerrar el pozo previamente antes de correr la herramienta de presión dentro del pozo. Ignorando los efectos de almacenamiento del pozo, si el pozo ha producido por un tiempo 1 p a un gasto constante q, y luego se cierra durante un tiempo " entonces aplicando el principio de superposición se obtiene: (3. 1 ) donde P I) es la presión adimensional y In está definida por la Ec. 3.2: 0.0002637 k I l o = (3 .2) Po en la Ec. 3. 1 puede ser remplazado por la aproximación logarítmica de la integral exponencial: 1 Po = - (Inlo +0.80907). 2 Usando las Ecs. 3.2 y 3.3, la Ec. 3. 1 se puede rescribir como: Pws = P,- lo . 162.6q B jJ { " + /'J) kh /'J (3.3) (3.4) La Ec.3.4 es la ecuación básica de incremento de presión e indica que al graficar la presión JI +/'J) de fondo cerrado, P_, contra el 10~ P /)J , Fig. 3.2, se obtiene una línea recta cuya 54 pendiente es inversamente proporcional a la permeabilidad de la formación y ésta se puede utilizar para
Compartir