Ayudantia 1 II 2006 Enunciado

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
 
 
Ayudantía Nº 1 - Inferencia Estadística EAS 201a 
II Semestre 2006 
 
Prof.: O Ferreiro - V. Correa – F. Kuncar 
 
 
1.- De acuerdo al censo del año 2002, una ciudad del sur de nuestro país, tiene un total de 30.501 
habitantes. Se estima que los consumos diarios de leche de cada habitante de dicha ciudad son variables 
aleatorias independientes, con distribución desconocida pero con media 0.188 litros/día y desviación 
estándar de 0.035 litros/día. 
 
a) Determine y justifique una distribución aproximada del consumo total diario (consumo de 
todos los habitantes en un día) de dicha ciudad. 
 
b) Calcule la probabilidad de que el consumo total diario esté entre 5.725 y 5.740 litros. 
 
c) Se considera “excepcional” cuando el consumo total de la ciudad en un mes (30 días) supera 
los 172.050 litros. En un año (12 meses), suponiendo independencia entre los consumos de cada mes, 
¿Cuál es la probabilidad de que a lo más un mes sea “excepcional”? 
 
 
2.- (Control 1 EAS201a II semestre 2004) Sea X la variable aleatoria que indica el número de 
personas por vivienda en el Gran Santiago, asuma que E(X) = 3.66 y que V(X) = 5.00. 
 
a) Se seleccionan al azar 81 viviendas del Gran Santiago. ¿Cuál es la distribución de 
probabilidad aproximada del promedio de personas en la muestra? 
 
b) Calcule la probabilidad que el nº promedio de personas en la muestra se encuentre entre 3.00 y 
4.00. 
 
c) Suponga que la selección planteada en a) se repite 500 veces. ¿En cuántos de los 500 ensayos 
sería razonable esperar que el nº total de personas en las 81 viviendas de cada muestra se ubique entre 243 
y 324 personas? 
 
3.- Sea X e Y variables aleatorias independientes tal que: 
 
 
Sea la variable aleatoria 
 
a) Encontrar la distribución condicional de la variable aleatoria . Para determinar 
el recorrido de la variable, asuma que: n > s; m > s 
b) ¿Reconoce la distribución anterior?, ¿Cuál es su valor esperado y su varianza? 
 
 
4.- Considere las “n” variables aleatorias independientes que miden los tiempos entre dos 
ocurrencias sucesivas de un proceso Poisson de parámetro λ, esto es, 
X1: tiempo que transcurre hasta la 1ª ocurrencia Poisson 
X2: tiempo que transcurre entre la 1ª y la 2ª ocurrencia Poisson 
… 
… 
Xi: tiempo que transcurre entre la (i – 1)ª y la iª ocurrencia Poisson 
… 
… 
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Xn: tiempo que transcurre entre la (n – 1)ª y la nª ocurrencia Poisson 
 
Sabiendo que S = ∑ Xi, se distribuye Gamma (n, λ) 
 
a) Encontrar la distribución de probabilidades de la variable aleatoria Y: λ ∑ Xi/n 
b) ¿Cuál es la varianza y el valor esperado de Y? 
 
5.- (Control 1 EAS201a II semestre 2005) (Para la casa) Una empresa avícola europea ha 
desarrollado gallinas que ponen huevos “ultra duros”, capaces resistir varios golpes sin quebrarse. La 
técnica utilizada para hacer que las gallinas produzcan este tipo de huevos es hacerlas habitar en un corral 
de alta tecnología, el que deben compartir con exactamente otras 6 gallinas (esto es, cada corral tiene 7 
gallinas). 
La probabilidad de que una gallina sometida a este tratamiento se t5ransforme en una ponedora 
de huevos “ultra duros” es de 20%. 
Se define la variable aleatoria 
Y: número de gallinas ponedoras de huevos “ultra duros” en un corral. 
 
a) Utilizando la distribución exacta de Y, ¿cuál es la probabilidad de que en un corral 
cualquiera haya exactamente 2 gallinas ponedoras de huevos “ultra duros” 
 
b) Se toma una muestra aleatoria de 45 corrales sometidos al tratamiento. Calcule la 
probabilidad aproximada de que el promedio muestral de gallinas ponedoras de huevos 
“ultra duros” por corral sea mayor a 1.5. 
 
c) Si se toma otra muestra aleatoria de 50 corrales sometidos al mismo tratamiento e 
independiente a la muestra anterior de 45 gallinas. Calcule la probabilidad aproximada de 
que los promedios muestrales de gallinas ponedoras de huevos “ultra duros” no difieran (en 
valor absoluto) en más de 0.5.