Ayudantia 4 II 2006 Enunciado

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Ayudantía Nº4 
 Inferencia Estadística 
 
1) Sea nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de una población XN( μ, σ² ), donde la media μ 
es conocida. Para estimar la varianza σ² (con μ conocida), se plantean los dos estimadores 
siguientes: 
 
 
n
X
n
i 
 121ˆ

 ; 
 
n
X
n
i 
 1
2
2
2
ˆ

 
a) Muestre que sólo 22̂ es un estimador insesgado para σ² . 
b) Determine las varianzas de ambos estimadores. 
c) Determine el Error Cuadrático Medio de ambos estiamdores. 
2) Sea Y1,.....Yn N( μ, σ² ). Considere el estimador 
n
iYi
1
ˆ  . Encuentre los valores de 
que hacen a este estimador un óptimo insesgado y discuta su consistencia. 
 
3) Una compañía que produce y comercializa detergentes ha producido y vendido 
“Blanquito” por muchos años. La empresa ha estudiado el número de unidades vendidas 
por día, estableciendo el tipo de distribución, su media y su varianza. Durante los últimos 
meses la media de las ventas ha sido estable, pero la variabilidad parece estar cambiando, 
debido a lo cual se decide estimar su nuevo valor. 
Sea Y1,.....Yn los números de unidades vendidas de Blanquito en una m.a.s. de n días. Se 
considera el siguiente estimador posible: 
   


n
iK YY
kn
S
1
22 1 k = 0,1,2,....,(n-1) 
a) Sabiendo que la variable aleatoria Y = nº de unidades vendidas diariamente tiene 
distribución N( μ, σ² ), muestre que 2KS es al menos asintóticamente insesgado para 
todo k = 0,1,2,..., (n-1) y determine para qué valor de k el estimador es insesgado. 
b) Determínela varianza del estimador 2KS para k = 0,1,2,..., (n-1) y concluya para qué 
valor de k el estimador es más eficiente (tiene varianza menor). 
c) Determine el ECM( 2KS ) para k = 0,1,2,..., (n-1) y concluya para qué valor de k el 
estimador tiene el ECM mínimo. 
 
4) Sea Y1,.....Yn una m.a.s. de Y, tal que E(Y) = μ (  0) , V(Y) = σ², suponga que se 
conoce el coeficiente de variación de Y, esto es, k=

 2
 es conocido. Como estimador de μ 
se propones T = ̂ = nwY , donde W es una constante conocida. 
 
a) Obtenga el error cuadrático medio de T. 
b) Pruebe que el ECM(T) es mínimo si 
2
1
kn
W

 y en tal caso: ECM(T) = 
2
2
kn 

 
c) Asumiendo el valor de W obtenido en el punto b, conteste y justifique las siguientes 
preguntas: ¿T es consistente para estimar μ?, ¿Para estimar que es más eficiente 
Y ó T? 
 
5) Sea Y1,.....Yn una m.a.s. de YB(1, ), donde  es un parámetro desconocido. 
Considere los siguientes estimadores de  : 
 
n
iY
n 1
1
1
̂ ;  ni Yy 
2
1
ˆ
2 
a) Demuestre que 
1̂ y 2̂ son estimadores insesgados. Calcule la varianza de los 
estimadores. 
b) Encuentre el valor de  que hace máxima la varianza del estimador 
1̂ para n fijo. 
c) Proponga un estimador insesgado de V(Y1). Escriba este estimador como función 
de 
1̂ . 
d) Proponga estimadores insesgados para la varianza de 
1̂ y 2̂ . 
 
6) (Si alcanza el tiempo) Considere dos muestras aleatorias de tamaño n=31 y m=61, 
X1,.....X31 ; Y1,.....Y61 de las variables independientes XN(
1 , σ² ); YN( 2 , σ² ) 
respectivamente. 
A partir de cada muestra se proponen los siguientes estimadores de la varianza σ²: 
 
30
31
1
2
2
 

XX
S
i
X ; 
 
60
61
1
2
2
 

YY
S
i
Y 
a) Demuestre que el estimador 
 
mn
mSnS
S Yx



22
2 es mejor que los anteriores. 
b) Considere el siguiente estimador de la varianza: 222 Yxp SSS   . Encuentre las 
ponderaciones de  y  de modo que el estimador anterior sea insesgado y aún 
mejor que 
2S .