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Ayudantía Nº4 Inferencia Estadística 1) Sea nXXX ,...,, 21 una muestra aleatoria de una población XN( μ, σ² ), donde la media μ es conocida. Para estimar la varianza σ² (con μ conocida), se plantean los dos estimadores siguientes: n X n i 121ˆ ; n X n i 1 2 2 2 ˆ a) Muestre que sólo 22̂ es un estimador insesgado para σ² . b) Determine las varianzas de ambos estimadores. c) Determine el Error Cuadrático Medio de ambos estiamdores. 2) Sea Y1,.....Yn N( μ, σ² ). Considere el estimador n iYi 1 ˆ . Encuentre los valores de que hacen a este estimador un óptimo insesgado y discuta su consistencia. 3) Una compañía que produce y comercializa detergentes ha producido y vendido “Blanquito” por muchos años. La empresa ha estudiado el número de unidades vendidas por día, estableciendo el tipo de distribución, su media y su varianza. Durante los últimos meses la media de las ventas ha sido estable, pero la variabilidad parece estar cambiando, debido a lo cual se decide estimar su nuevo valor. Sea Y1,.....Yn los números de unidades vendidas de Blanquito en una m.a.s. de n días. Se considera el siguiente estimador posible: n iK YY kn S 1 22 1 k = 0,1,2,....,(n-1) a) Sabiendo que la variable aleatoria Y = nº de unidades vendidas diariamente tiene distribución N( μ, σ² ), muestre que 2KS es al menos asintóticamente insesgado para todo k = 0,1,2,..., (n-1) y determine para qué valor de k el estimador es insesgado. b) Determínela varianza del estimador 2KS para k = 0,1,2,..., (n-1) y concluya para qué valor de k el estimador es más eficiente (tiene varianza menor). c) Determine el ECM( 2KS ) para k = 0,1,2,..., (n-1) y concluya para qué valor de k el estimador tiene el ECM mínimo. 4) Sea Y1,.....Yn una m.a.s. de Y, tal que E(Y) = μ ( 0) , V(Y) = σ², suponga que se conoce el coeficiente de variación de Y, esto es, k= 2 es conocido. Como estimador de μ se propones T = ̂ = nwY , donde W es una constante conocida. a) Obtenga el error cuadrático medio de T. b) Pruebe que el ECM(T) es mínimo si 2 1 kn W y en tal caso: ECM(T) = 2 2 kn c) Asumiendo el valor de W obtenido en el punto b, conteste y justifique las siguientes preguntas: ¿T es consistente para estimar μ?, ¿Para estimar que es más eficiente Y ó T? 5) Sea Y1,.....Yn una m.a.s. de YB(1, ), donde es un parámetro desconocido. Considere los siguientes estimadores de : n iY n 1 1 1 ̂ ; ni Yy 2 1 ˆ 2 a) Demuestre que 1̂ y 2̂ son estimadores insesgados. Calcule la varianza de los estimadores. b) Encuentre el valor de que hace máxima la varianza del estimador 1̂ para n fijo. c) Proponga un estimador insesgado de V(Y1). Escriba este estimador como función de 1̂ . d) Proponga estimadores insesgados para la varianza de 1̂ y 2̂ . 6) (Si alcanza el tiempo) Considere dos muestras aleatorias de tamaño n=31 y m=61, X1,.....X31 ; Y1,.....Y61 de las variables independientes XN( 1 , σ² ); YN( 2 , σ² ) respectivamente. A partir de cada muestra se proponen los siguientes estimadores de la varianza σ²: 30 31 1 2 2 XX S i X ; 60 61 1 2 2 YY S i Y a) Demuestre que el estimador mn mSnS S Yx 22 2 es mejor que los anteriores. b) Considere el siguiente estimador de la varianza: 222 Yxp SSS . Encuentre las ponderaciones de y de modo que el estimador anterior sea insesgado y aún mejor que 2S .
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