Ayudantia 4 II 2001 Enunciado

Vista previa del material en texto

Pontificia Universidad Católica de Chile 
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
 
Ayudantía Estimación Punto 
 II Semestre 2001 
 
1. Una urna contiene fichas blancas y negras. Se saca una muestra aleatoria de tamaño n uno a uno con 
reemplazo ¿ Cuál es el E. M.V. de la razón 
urnalaenblancasfichasnúmero
urnalaensnefichasnúmero
..........
......gra....
 ? 
 
2. Sean X1, X2, X3, ....,Xm e Y1, Y2, Y3, ....,Yn con m  n, dos muestras aleatorias independientes de una 
distribución  2,N , donde  es desconocido y 2 es conocido. Considere los siguientes 
estimadores de la media  : 
nm
YnXm


1̂ ¸ 
2
ˆ
2
YX 
 
 
a. ¿Es 1̂ un Estimador Insesgado? ¸ ¿Es 2̂ un Estimador Insesgado?. 
b. Suponiendo que m  y que n  , muestre que ambos estimadores son consistentes.. 
c. ¿Cuál estimador es mejor?. 
3. Sea Y una muestra aleatoria de tamaño 1 de una distribución B(1, ) tal que   





4
3
,
4
1
. Muestre que 
4
12
ˆ


Y
 es el Estimador Máximo Verosímil de  . 
 
4. Sea Y1, Y2, Y3, ....,Yn una muestra aleatoria de una distribución  ,N . Considere los siguiente 
estimadores de  : Y1̂ ; 
)1(
2
ˆ 1
*
2





nn
Yi
ni
i
i
 . 
 
a. Muestre que ambos estimadores son Insesgados. 
b. Encuentre las Varianzas de ambos estimadores 
c. ¿Cuál es mejor? Demuéstrelo. 
 
5. Sea Y una variable aleatoria tal que E(Y) =  ; V(Y) = 2 . Se define el Coeficiente de Variación de Y 
al número definido por CV(Y) = 


, supongamos que dicho coeficiente es una constante "conocida", 
esto es, 


= K con "K conocida". 
Dada una muestra aleatoria Y1, Y2, Y3, ....,Yn. Se propone el siguiente estimador de  : Ywn **ˆ  , 
donde w es una constante conocida. 
 
a. Calcule el error Cuadrático Medio de ̂ . 
b. Pruebe que el ECM( ̂ ) es mínimo cuando 
2
1
Kn
w

 . 
c. Pruebe que ̂ con el valor obtenido en b. es Consistente. 
d. En el problema de estimar la media de una población cuando el Coeficiente de Variación es conocido ¿ 
Qué estimador es más eficiente la Media Muestral o el estimador ̂ dado en los puntos anteriores?.