Ayudantia 5 I 2007 Enunciado

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Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
 
Ayudantía Nº 5 - Inferencia Estadística EAS 201a 
I Semestre 2007 
 
Profesor:: Ayudantes: 
Rafael Águila Maria Jesús Rojas – Héctor Rodríguez 
 
 
1- Sea X1,X2,…, X n una muestra aleatoria de una población X ~ N (μ, σ12) 
Sea Y1, Y2,…, Y m una muestra aleatoria de una población Y ~ N (μ, σ22) 
X e Y son independientes. 
 
a) Mostrar que ( X Y ) es un estimador consistente para (μ1- μ2) 
b) Si además σ12= σ22= σ2. Mostrar que 
 

( ) ( )
 2
2 2
2

   X X Y Y
n
i i
 es un 
estimador consistente para σ2. 
 
2- Considere una variable aleatoria X que sigue una distribución d (θ). Se tiene X1, X2,…, 
X n, muestra aleatoria simple de X. Adicionalmente, considere  1,  2,…,  k 
estimadores insesgados para θ, tales que Var (  j) = V0, donde V0 es una constante 
conocida, para todo j= 1,2,..K. 
a) Muestre que 
~
 = α1  1 + α2  2+…+α K  K es estimador insesgado para θ si y solo si 
 j
j
K


 1
1
 
b) Considere ahora el mismo caso de la letra (a), con K=2, y siempre con 
~
 estimador 
insesgado. Suponiendo nuevamente que Var (  1) = Var (  2) = V0, y además que  1 
y  2 son independientes, determine los valores para α1 y α2 que hacen que e estimador 
~
 alcance su mínima varianza. Determine también cuál es esa varianza. 
 
3- Sea X1,X2,…, X n una muestra aleatoria de una población X ~ N (μ, σ2) 
Sea Y1, Y2,…, Y m una muestra aleatoria de una población Y ~ N (μ, ασ2) 
Asuma que ambas muestras son independientes, con α, σ2 conocidos y donde α>0. 
Considere el siguiente estimador para la media μ 
mn
YmXn





̂ 
Muestre que  es un Estimador Insesgado de Mínima Varianza para estimar la media μ. 
 
4- Un vendedor de productos industriales que visita 10 empresas cada día, sabe que la 
probabilidad de conseguir una venta en un determinado contacto es igual a  . Sea Y1, Y2, 
Y3, ....,Y100 una muestra aleatoria del número de ventas realizadas en cada uno de 100 
días, de tal modo que se puede asumir que cada Yi tiene distribución Binomial. 
a) Muestre que el Estimador Máximo Verosímil de  es 
1010100
ˆ
*
100
1 Y
Y
i
i
i



 . 
b) Muestre que el estimador obtenido en el punto anterior es Insesgado para  y además 
muestre que su varianza alcanza la Cota de Cramer Rao.