Guía - Teoría del Consumidor (1)

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
Introducción a la Microeconomía 
Primer Semestre 2012 
 
 
Guía para la resolución de problemas de Teoría del Consumidor 
Ayudante: Rodrigo Calcagni 
 
El típico problema de optimización al que se enfrenta el consumidor depende de dos 
factores, por un lado se tienen sus preferencias, que son representadas por las curvas de 
indiferencia, y por otro su recta presupuestaria o frontera de posibilidades de consumo. 
Pensemos en un mundo de dos bienes, x e y, donde se busca encontrar la mejor 
situación posible para el consumidor, dado su ingreso y los precios de mercado. 
Recordemos que el individuo posee un “mapa” de curvas de indiferencia mientras que 
su ingreso y los precios de los bienes pueden variar de acuerdo al mercado. 
 
1. La restricción presupuestaria 
Pensemos que el individuo posee un ingreso monetario m y se enfrenta a los precios 𝑃𝑥 
y 𝑃𝑦. 
Sus posibilidades de consumo son 𝑚 ≤ 𝑃𝑥𝑥 + 𝑃𝑦𝑦 , lo que representa su área de 
consumo factible: 
 
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Si no existe la posibilidad de ahorrar, y donde se cumple nuestro supuesto de no 
saciedad, el individuo preferirá más a menos. Por lo tanto, la cesta de mercado elegida 
se encontrará en la parte más lejana del origen de su área de consumo, es decir, sobre la 
recta presupuestaria: 
𝑚 = 𝑃𝑥𝑥 + 𝑃𝑦𝑦 
 𝑃𝑦𝑦 = 𝑚− 𝑃𝑥𝑥 
𝑦 =
𝑚
𝑃𝑦
− 
𝑃𝑥
𝑃𝑦
𝑥 
Así en la recta presupuestaria, el intercepte con el eje vertical será 𝑚
𝑃𝑦
 y su pendiente será 
𝑃𝑥
𝑃𝑦
 . Notar que el bien en el nominador es el bien que pusimos en el eje horizontal – una 
decisión arbitraria. 
 
Cambios en el ingreso 
Notamos que ante cambios en el ingreso, los interceptes cambian pero los precios 
relativos no, por lo que cambios en el ingreso provocan desplazamientos en paralelo de 
la recta presupuestaria. Así, un aumento en el ingreso provocará un desplazamiento 
hacia afuera de la recta. 
 
Cambios en los precios relativos 
El individuo se enfrenta a los precios de la economía, por lo que su recta presupuestaria 
dependerá de su ingreso y de los precios de los bienes a los que puede acceder. Ante 
cambios en los precios relativos, cambiará la pendiente de la recta presupuestaria. Por 
ejemplo, si el precio del bien x cae, entonces la razón 𝑚
𝑃𝑥
 aumentará, y la pendiente será 
menor, rotando la recta presupuestaria hacia afuera: 
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2. Las preferencias y la utilidad 
Consumir una combinación de los bienes x e y entrega una cierta satisfacción al 
individuo, relación que se define usando una función de utilidad. Una curva de 
indiferencia une todos las canastas conteniendo cantidades de x e y que entregan un 
mismo nivel de utilidad. Por ejemplo, si una persona es indiferente ante tener 2 
manzanas y 2 peras, 3 manzanas y 1 pera, o 1 pera y 3 manzanas, nos muestra que las 
manzanas y las peras son sustitutos perfectos para este individuo, y su curva de 
indiferencia es en realidad una recta. Note que, dado el supuesto de no saciedad, el nivel 
de utilidad aumenta a medida que las curvas se alejan del origen. 
El concepto de la relación marginal de sustitución (RMS) caracteriza las preferencias 
del individuo, indicando la magnitud en la cual está dispuesto a sacrificar un bien para 
conseguir una unidad más del otro. Algebraicamente, 𝑅𝑀𝑆 = ∆𝑦
∆𝑥
, manteniendo 
constante el nivel de utilidad 𝑢. 
 
Curvas de indiferencia convexas desde el origen 
Cuando se cumple el supuesto (iv) – RMS decreciente – la utilidad del consumidor está 
determinada por curvas de indiferencias convexas que nunca tocan los ejes x o y. La 
función de utilidad tiene la característica que la utilidad marginal es decreciente para 
cada bien. Cada bien otorga una “utilidad marginal”, lo que es equivalente a decir la 
utilidad adicional que entrega consumir uno más de un bien, manteniendo lo demás 
constante. 
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Las utilidades marginales están dadas por: 
∆𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑥
= 𝑈𝑀𝑥 , 
∆𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑦
= 𝑈𝑀𝑦 
Como la 𝑅𝑀𝑆 = ∆𝑦
∆𝑥
, se puede ver que: 𝑅𝑀𝑆 = ∆𝑦
∆𝑥
= �∆𝑦
∆𝑥
� �∆𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑢(𝑥,𝑦)
� =
∆𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑥
∆𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑦
= 𝑈𝑀𝑥
𝑈𝑀𝑦
 
 
3. Buscando el óptimo 
Para optimizar el consumo sujeto a la restricción presupuestaria, se busca la cesta de 
mercado que es dentro de la restricción y que toca la curva de indiferencia que entrega 
la mayor utilidad, la cual será la más lejana al origen. 
Paso 1: Reconocer el nivel de ingreso m y los precios de mercado para graficar la recta 
presupuestaria. 
Paso 2: Encontrar el punto donde la curva de indiferencia más lejana al origen toca a la 
recta presupuestaria. 
El óptimo se encuentra donde la curva de indiferencia es tangente a la recta 
presupuestaria, es decir, donde la RMS es igual a la pendiente de la recta presupuestaria: 
𝑅𝑀𝑆 = ∆𝑦
∆𝑥
= 𝑈𝑀𝑥
𝑈𝑀𝑦
= 𝑃𝑥
𝑃𝑦
, 
donde se puede despejar x o y. Para resolver el problema, usamos el hecho que la cesta 
de mercado siempre caerá sobre la recta presupuestaria (no hay ahorra). Esto nos 
permite sustituir la condición óptima anterior en la función de la recta presupuestaria 
para resolver las cantidades que se consumirán de x e y. 
Ejemplo: Ayudantía 4, Ejercicio 5 
a) Franco se enfrenta a una economía con dos bienes (x e y) donde sus precios son 
𝑃𝑥 = $1 ,𝑃𝑦 = $2 y su ingreso es 𝑚 = $100. Grafique su recta presupuestaria. 
b) Ahora suponga que Franco tiene una función de utilidad definida por 𝑢(𝑥,𝑦) =
𝑥0.5𝑦0.5. Muestre la situación gráficamente e indique intuitivamente lo que 
significa la relación marginal de sustitución. 
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c) Tomando en cuenta lo anterior, encuentre la cesta óptima que elegirá Franco. 
 
En este caso, corresponde primero definir la recta presupuestaria, y luego reconocer qué 
tipo de curva de utilidad posee el individuo. 
(Aunque no está pedido en esta pregunta) Si queremos graficar las curvas de 
indiferencia del individuo, podemos elegir un nivel de utilidad arbitrario: suponemos 
que 𝑢 = 9, por ejemplo. Las cestas de mercado que pertenecen a esa curva de indiferencia se 
pueden relacionar usando la función de utilidad: 𝑥0.5𝑦0.5 = 9, y si despejamos uno de los 
bienes: 𝑦 = 81
𝑥
. Ahora, se puede elegir cuatro valores arbitrarios para 𝑥 y encontrar los valores 
de 𝑦 correspondiente. Esos cuatro puntos pertenecen a una curva de indiferencia que entrega un 
nivel de utilidad 𝑢 = 9. Recuérdense que la magnitud de la utilidad es arbitraria – este ejercicio 
es simplemente para poder graficar la forma de una curva de indiferencia. 
Ahora, para resolver el problema algebraicamente: 
Identificamos la pendiente de la recta presupuestaria: 𝑃𝑥
𝑃𝑦
= 1
2
. 
Y por el lado de las preferencias, sabemos solamente que 𝑅𝑀𝑆 = ∆𝑦
∆𝑥
= 𝑈𝑀𝑥
𝑈𝑀𝑦
. Para 
completar la pregunta, hay que saber o (i) una forma funcional para la 𝑹𝑴𝑺 -- en 
este caso, 𝑹𝑴𝑺 = 𝒚
𝒙
, o (ii) las utilidades marginales 𝑼𝑴𝒙 y 𝑼𝑴𝒚. Esta información 
será entregada en la pregunta. 
La cesta óptima tendrá la característica que: 𝑅𝑀𝑆 = 𝑃𝑥
𝑃𝑦
. Reemplazando la información 
que tenemos: 𝑦
𝑥
= 1
2
 y despejando: 𝑥 = 2𝑦. 
El último paso es de sustituir esta relación óptima entre x e y en la restricción 
presupuestaria 𝑚 = 𝑃𝑥𝑥 + 𝑃𝑦𝑦. Lo que nos da: 𝑚 = 𝑃𝑥 ∗ 2𝑦 + 𝑃𝑦𝑦. 
Con los valores 𝑃𝑥 = $1 ,𝑃𝑦 = $2 y 𝑚 = $100: 
100 = 1 ∗ 2𝑦 + 2𝑦 
100 = 4𝑦 
La respuesta es que 𝑦∗ = 25 y como 𝑥 = 2𝑦, tenemos que 𝑥∗ = 50.