Determinacion-del-intervalo-de-confianza-para-el-lote-optimo-de-un-sistema-de-inventario-utilizando-el-Metodo-de-Simulacion

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
DE MÉXICO 
 
 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
DIVISIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO 
 
 
 
 
 
 
DETERMINACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA 
PARA EL LOTE ÓPTIMO DE UN SISTEMA DE 
INVENTARIO, UTILIZANDO EL MÉTODO DE SIMULACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 TESIS PARA OBTENER EL GRADO DE: 
 
 
 MAESTRO EN INGENIERÍA 
 (INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES) 
 
 
 
 
PRESENTA: ALEJANDRO SILVA BADILLO 
 
 ASESOR: DRA. ANA ELENA NARRO RAMÍREZ 
 
 
 
 
 
 
 
2007 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Agradecimientos 
Quisiera mencionar el nombre de todos mis 
amigos, familiares y maestros. 
Los de cerca y los de lejos. 
Los de siempre y los de ahora. 
Los que veo cada día. 
Los que raramente encuentro. 
Los siempre recordados, 
y los que a veces se me olvidan. 
Los constantes y los inconstantes. 
Los de las horas difíciles, 
y los de las horas alegres. 
A los que sin querer herí, 
y a los que sin querer me hirieron. 
Aquellos a los que conozco profundamente, 
y a quienes conozco apenas por sus apariencias. 
Los que me deben, 
y a quienes debo mucho. 
Mis amigos humildes, 
y a mis amigos importantes. 
Los nombro a todos, 
a todos los que por mi vida pasaron 
brindándome su amistad y sincero apoyo. 
Sus nombres y recuerdos siempre permanecen 
en mi corazón. 
1 
El binomio de l\ewton es tan bdlo corno la Venus de Milo. 
Lo que pasa es que poca gente se da cuenta. 
Fernando ressna 
'" Indice Generall 
IIntrod ucción 
1 Enfoque de sistemas 
11.1 Conceptos básicos 
11.2 Elementos de un sistema. 
11.3 Métricas de dcscnlpcño de un SÜ:itclna 
11.4 Modelado del sistema 
11.5 PrlllClplOs utÜI"ados en el modelado 
2 Simulación de sistemas 
t2 1 l>efiJlicion de la sjmulaciÓn de sjstemas 
~.2 N atmaleza experimental de la simulación 
~.3 'IlpOS de modelos de sllllUlaclón . . . . . 
~.4 Ventajas y desventajas de la simulación 
~.5 Metodología de un proceso de sirnulación 
[1.6 GeneracIón de nÚmeros aleatonos . . . .. 
2.6.1 Método de trauHforrnaclón Inversa 
2.6.2 Método de aceptaclón-rechaw . 
2 ti :{ lVIétodo monte cario 
2.6.4 Método hipercubo latino. 
[2. 7 SnIlulaclÓn de un fHstelua dIscreto. 
3 Sistemas de inventario 
~.1 Tipos de inventario y sus funciones 
iii 
1 
2 
2 
5 
71 
8 
13 
141 
15 
lü 
171 
18 
19 
19 
21 
241 
25 
271 
43 
441 
11 índice General 
B.2 Medición del rendimiento de los sistemas de inventario . . . . . . . . .. 46 
~.3 Sistema básico de inventario con punto de reorden y cantidad de pedido 49 
~.4 Modelo general . . 
¡¡.5 Modelo estocásllco con costo por ordenar y déficIt. converlldo en venta~ 
pendIentes . . . . . 
¡¡.6 SlllllllacH'lll del sIstema de lllventano estocásllco con costo por ordenar y 
déficjt 
14 Caso de estudjo 
4.1 Descripción del SÜ:itcrna Invcntario.xls 
4.2 Análisis para el Almacenamiento de Gas Natural 
4.2.1 Descnpclón del mercado de gas natural 
4.2.2 Almacenamiento de gas natural 
4.2.3 Comercio Exterior ... 
4.2.4 Balance de gas natural. 
4.2.5 Determinación del lote econónico e intervalo de confiama para el 
inventario de gas natural 
4 2 6 Conclusjones 
Conclusiones Generales 
A Conceptos de probabilidad y estadística 
A.1 Variables aleatorias .... 
A.2 F\mciones de probabilidad 
A.2.1 Valor esperado de una variable aleatoria 
A 2 2 Val'jaUJoj8 de una variahle aleatoria 
A.2.3 Covarianza . . . . . . . . . . . . 
A.2.4 Función generadora de nlorllcntos 
IBibliografía 
55 
56 
62 
71 
72 
771 
78 
82 
89 
91 
971 
102 
103 
105 
106 
1071 
109 
113 
114 
116 
125 
Introd ucción 
¡El desempeño de las empresas que se dedican a la producción y venta de artículos, in-
Ivolllcra de rnanera inrnediata la adrnillistración de 1m; productos, así corno de las Iuaterias 
Ipnmas que sirven para su elaboración, La ma111pulaclón de la matena pnma medlantel 
Iprocesos que le añaden valor hasta convertirla en uu producto terrninado, irllplica uIlal 
Isene de trabajo que lIlICIa cuando se hace un pedido de los lIlsumos que se ul!l!,arán al 
110 largo del proceso. Así, al reali,ar un pedido al proveedor las preguntas cruciales sonl 
¿cuánto pedu? y ¿cuándo pedIr? La reSpu8Hta a estaR preguntaR no es fácIl detndo a 1m;1 
Idiversos factores que involucra tomar una decisión de este tipo. 
lOna empresa necesita tener sus msumos o productos tennmados en un Illvel óptnno del 
linvcntario~ debido a que es necesario tener cxÜ:itcncias de tales clClllcntos en el IllonlCllto 
Ique sean requeridos; ya sea porque el departarnellto de producciÓn 1m; solicite para lal 
lelaboración del producto o bien, porque algún diente está reali'imdo una compra. Estel 
Isirnple hecho, auuque parece una Hitllación cotidiana que no debiera representar ningunal 
Idificultad, representa una problemática muy importante ya que a partir de inventarios 
Igrandes, tanto de rnatcria prinla COlllO artículos tcrrninadoti, lati ernpreti<J.s gatitan granl 
Icantidad de recursos los cualeH pueden reducirse a los niveles óptirnos de producción y del 
IrotacIón de la n1ercancÍa. Los gastos en los que se Incurren van desde la renta de unal 
Ibodega~ sueldos del personal que se encargue del rnanejo del inventario, lllCnnas produci-
Idas por el deterioro de rnercancÍa que lleva r11ucho tiernpo en el ahnacén, o bien gastos 
IrelaclOnados con matena prnna de baja rotaclón.1 
rEl capital invertido por la crnpretia tiC espera tenga un tielllpo de rccuperación lo rnáti 
Icorto pOHIble depenchendo del gIro del negocIo~ y tal Ideal puede ser afectado por tenerl 
Igrandes cantidades de capital ocioso, reflejado en mantener inventarios altos. Los inventa-
Irios altos llegan a incrementar el valor del producto terminado debido a que el costo del 
linventario puede representar un porcentaje iInportante en la cadena de producción, y este 
Ihecho a su ve, puede perjudicar el desempeno de la empresa y verse despla,ada por lal 
Icolllpctcncia al no ofrecer un precio cOlnpetitivo. 
rLaH preguntaH que pretende reHolver este trabajo de investigación Hon: ¿córno He puedel 
Imantener un inventario óptimo? y ¿qué helTamientas se pueden utili,ar para obtener ell 
IV IntroducClonl 
Iresultado deseado'? 
rEl desarrollo de esta tesis ayudará a resolver estas preguntas y brindará las hcrranücn-
Itas necesanas para alcan"ar el objetivo deseado, el cuál es, calcular el lote econóllllco yl 
lel punto de rcordcn para tener el sistclna de inventario en un nivel óptirno. Para llegar al 
lello, partiremos de la hipótesis de que los cálculos de los parámetros de interés obtenidosl 
Ipor el modelo matemático de inventario, se pueden refinar utili"ado la metodología del 
Isirnulación de sÜ;tcrnas. Cabe aclarar que el alcance de esta tesis involucra un rnodclol 
IIuatelnátIco de lIlventano para uu artículo con CORto por ordenar, déficIt convertIdo enl 
Iventas pendientes y demanda estocástica, Aunque existen gran cantidad de modelos del 
linventario, el modelo propuesto en esta tesis cubre los elementos principales de este tipol 
¡de siHtelnas y brinda las herrarnientas necesarias para tener un 811telldirlliellto de la prob-
Ilemátlca y de la direCCión que se debe tomar para resolver este tipo de problemas, asíl 
Icallro la gcncrali:zación a un problcnla de varios artículos. 
[El desarrollo de los elelnentos u8c8Hariospara alcanzar el objetivo de esta tesiH eornien-
I"a en el capítulo uno, donde se introducen los elementos que conforman un sistema yl 
Ilas m(,tricas que involucran el desempeño del mismo, Este capítulo es de gran utilidadl 
Idetndo a que ayuda a fijar la rdea de slHtelna, lo cual será la base para entender en forrnal 
Iconceptual los modelos que se descnblrán más adelante, 
!El capítulo dos nos adentra en el entendimiento de lo que es la simulación de sistemasl 
Iy la enorrne facIlIdad con la que se pueden resolver problernas aplIcando (heha téerncal 
IS111 necesIdad de rl1eU!'!'!! en gastos exceSIVOS por la construcCIón y expernnentaClón de unl 
IsÜ;tcrna en la realidad. Para entender csto~ partinlos de que la sinnIlación de un sÜ;tcrnal 
lutiliza una COlnplltadora para reproducir el eornportarniento de la realidad. por ejeluplo, 
la 11lenudo se usa sinlulación para l'eali:.ml' un análisis de riesgo de procesos financierosl 
Illlcdiantc una irnitación repetida de la evolución de las transacciones necesarias paral 
Igenerar uu perfil de los resultados posIbles. La snIlulaclÓn tarnfnén tIene un uso aIllpho enl 
lel anáhsls de sistemas estocástiCOS lo cual nos rellute al comportarmento de la demandal 
Ipara un artículo de interés, Para este tipo de sistemas, la computadora genera y registral 
Ilas oeurrencias de los eventos que ilnpulsan el sisteIlla eorno si en realidad estuviera enl 
loperación física, Debido a su velocidad, la computadora puede simular incluso años del 
loperación en euestión de rninutos. El registro del deseIllpeño de la operación sirllulada dell 
ISlstema para vanas alternativas de diseno o procedllmentos de operación pemllte evaluarl 
Iy cornparar etitas aIternativati antes de elcgir una. A 10 largo del capítulo doti tie dctiarro-
IHan las bases para eonHtruir la sirnulación de un HisteIlla.1 
¡El eapÍtulo tres desenbe los tIpos de Inventano y sus tunelOneH. así eorno los elernentos 
Ique conforman los modelos de inventario que son de interés para esta tesis, El primerl 
Imodelo objeto de estudio, es el modelo básico de inventario con punto de reorden y can-
Itidad de pedido, eon el eual se entenderán los elementos primordiales en el análisis del 
IntroducClon vi 
linventarios. Una ve:z descrito el nlodelo b<:isico~ se ilustrani el nlodelo general para unl 
ISlsterna de lIlventano. dando pauta al lnodelo eHtocáHbco con costo por ordenar y déficIt 
Iconvertldo en ventas pendientes; cuyo estudIO, es de gran lInportancJa para el desarrollol 
Ide este trabajo. Como parte final del capítulo se describe como se reali,a la integración dell 
Iruodelo de inventario ba jo una dinárnica de sirnulaciÓn; creando para ello una herraInien-
Ita constrmda con Visual Daslc y Excel, tal herranllenta se encuentra baJO el nombre del 
TV'llpvtarjo Tl)J 
rEn el capítulo cuatro He divide en dos HeccioneH la priInera deHcribe la aplicación de In-I 
ventano.xls en que se puede seleCCIOnar una dlstnbuclón de probablhdad para la demandal 
Idel producto bajo la cual se reali:zará la sÜnulación correspondiente. AdicionalnlCnte, nlC-
IdIante una Interfaz de usuano~ se deben proporCIOnar los valores que definen tanto lal 
Idistribución seleccionr)(la como los costos asociados al modelo de inventario Iltilií'íandol 
lel sistenla de siInulación, se deternüna el lote econórnico esperado y el punto de reordenl 
Ique ruantienen el sisterna de inventario en un nivel Óptiruo. Asirnisrno, He proporcional 
lel intervalo de confianza para los parárnetros antes rnencionados y las estadísticas prove-
Inientes de la siInulación. La Hegunda Hección del capítulo deHarrolla un caso de estudiol 
Icuyo contexto se sItÚa en el 111ercado rneXlcano de gas natural, de tal 1110do que se anahí'íal 
Ila opción de sustituir las Ünportaciones de gas natural causadas por el d(~ficit existente 
Iy por los ajustes que requiere hacer el siHtelna nacional de gasoductos, debido a que es 
Inecesario estabilizar las condiciones de presión en dicho sistema. Así que para sustituirl 
Ilas inlportaciones de gas natural se plantea inlplernentar un Ahnacenarniento de gas y sel 
lanaliza la dinámica bajo la cual debe trabajar el sistema de inventario asociado, utilizandol 
lel modelo de lllventano objeto de este trabaJo.1 
IPosteriornlCnte, se encuentra un apéndice cuya utilidad es proporcionar las bases estadís-
Iticas requeridaH para eHta tesiH. y He induye un anexo con la tabla de los valoreH caleuladoHI 
Ipara la llltegral de la pérdida normal, la cual es de ut¡[ldad en el modelo de lllventanol 
labordado en este trabajo. De este modo, se busca proporcionar una metodología quel 
layude a entender y resolver el problerua de deterruinar el nivel de inventario óptilIIO.1 
IVI IntroducClonl 
Abstract 
IManufacturing enterprises' development involves production and raw materials manage-
Iment, which are necessary for manufacturing products. The processes of transforming thel 
Iraw rnatenal to the final product add value and nlVolve several steps wlnch begul when thel 
Isale order is made to buy al! materials that are needed during the process. Thus, we needl 
Ito answer the core questions: How lnuch lnaterial is needed? And when? Answering thesel 
Iquestions is difficult beca use several factors need to be taken into account in such decisions. 
ICompanies requires having the raw material and final products in an optimal level of 
Istock at the moment when they are needed for the production department or for thel 
Icustoruer. This seelns to be a daily situation but represents a big probleln, beca use withl 
IIarge 111ventones, the operatlOns expenses are Illgh, WhlCh couId weIl be reduced wlthl 
loptimal levels of manufacture and rotations of goods. Examples of this kind of expensesl 
lare the rent of warehouses, salaries of the personnel which would undertake stock manage-
Iment, loss caused by damage to the goods for the time stored in a warehouse, or expensesl 
IC'OJJJJected wjt h raw materia I 0+ low rotatioJ! 
rrhe invested capital OIl the companies is expeeted to have the shortest retllrIl timel 
Idepending on the business, and such an ideal can be affected by having too much idlel 
IcapitaL due to excessive stock. The high stock level increases the cost of the final product 
Ibecause the pnce of stock can represent an nnportant percentage of rnanuIaeture and trnsl 
Ifact, can damage performance of the companies and losing shares in the market, becausel 
101 tire Iack 01 a eompetrtrve ¡mee. 
¡The question, which this work expeets to answer is how to get optilnurn stock and what 
Ikind of tools can be used to obtain this resulto 
lDevelopment of this dissertation will help to solve these questions and will offer thel 
Incccssary tools to arrivc at thc dcsircd purposc, which consists in calculating an cconornicl 
Ibatch and reorder point, to have the system of stock at an optimum leveL To reach it, 
Iwe shall start with the hypothesis that calculations of parameters of interest, received byl 
IruathelnatlcaI stock ruodelH, can be deared llfnng the snnulatlOn oI HyHtelns lnethodology. 
lIt is necessary to point out, that the aim of this dissertation involves mathematical stock 
Imodels for items with order cost, shortage transformed into pending sales, and stochasticl 
Idelnand. Even though plenty of stock rnodeIs eXIst, the ruodel glven In trns dlHHertatlOnl 
Icovers the main components of these types of systems and offers the necessary tools tol 
Ihave an understanding of the difficlllties and a direction, which should be taken to solvel 
Ithese kllHb of problelns, as weIl aH the generahzatlon of a probleru oI HeveraI lterns. 
rrhe development of necessary components to reach the purpose of this dissertationl 
IntroducClon VII 
Ibegins in chapter one, where cOlllponents and lnetrics which involve perfonnance of thel 
Isystem are mtrodueed. TlllS ehapter IS usetul beeause Ü Irelps 1,0 cJan±y Ideas about thel 
Isystem, which will be the basis to understand the conceptual form of the model whichl 
Iwill be deseribed below.IChapter two goeH deeper lnto the llnderHtalHhllg of what HnnulatlOn of HyHtelnH IH alldl 
Ihow easy rt can be to solve problems applymg thlS techmque wrthout the neea to Ilm mtol 
lexcessive expenses dne to constrnction and experilllCntation of the systellls in the reality. 
ITo llnderHtand tIuH, we can Htart by Htabllg that HlIllldaboll of HyHtelnH llHeH a cOlnputerl 
Ito reproduce real conditions, for example, simulation is often used to reali"e risk analysisl 
lof financial processes by the repeated irnitation of transaction evolution, needed to lnake 
la Htrllctllre of pOHHlble reHultH. SnnlllatlOn abo haH wlde UHeH In the allalyHIH ot HtochaHtrcl 
Isystems, which give us the behavior of the demand of an item. For these types of systems, 
Ithe computer makes and registers incidents of events whieh push systems as though theyl 
lactually were in physieal operatioll. As a result. oI its speed, the eornputer can simulatel 
leven years of operation in minutes. Record of performance of the operation simulatedl 
IHyHterll for several alternatrveH of deslgn 01' procedureH ot operatlOn aIlows the eHtrrnabolll 
land comparison these altematives before choosing one. In chapter two this document willl 
Idevelop the bases to build system simulation.1 
IGhapter three describes components and models of stock management relevant for thisl 
IdlssertatlOn. Tire first rnodel subject 1,0 study IS the basle stock rnodel wülr reorder pomt 
land economic batch, which will help us to understand the basic elements of stock manage-
Iment analysis. Once the basie model is described, we will procede to show the generall 
Imodel for the stock management system, leading to the stochastic model with order cost 
land shortage transformed into pending sales; the study of which is of great importance forl 
Ithe develo¡llnent oI this work. Al, the end oI the ehapter the integration oI a stock modell 
lunder simulation dynamics is described and doing for this purpose a Visual I3asic-Excell 
Itool called Inventario.xls. 
IGhapter four is divided in two sections. the fírst one describes the applicationl 
lnvenfaTio.:J:ts where we can chooHe the probafnhty dlHtnblltlOn tor the delnand of thel 
litem under which the simulation will be executed. Additionally, through the interface, 
ItIle user nluHt Introduce the vallles specltylng the Helected dlstnbutlOn aH weIl as the COHtS 
Irelatea to the stock management moael. Osmg the Sll1mlatlOn system, the expectea eco-
Inomic batch and the reorder point which keep the stock system at an optimum level isl 
Idetenllllled. LlkewlHe, the confidence lnterval for the pararlleters lnenbolled aboye alldl 
Ithe statistics from the simulation are given. The second section contains a case of studyl 
lin the context of the mexican gas natural market, analY7.ing the option of substituting thel 
Innports of natural gaH cauHed by eXIstnlg shortage and requlred ad.Jllslnellt to the plpehnel 
Isystem aue to pressure ana operatlOnal conaltlOns. 'I he optlOn suggestea to substrtutel 
Ithese imports is to implement natural gas storage, and the dynamies under which thel 
IVIII IntroducClonl 
lundcrlying stock managcment systcm should operate, are analY7.ed using the mode! sub-
lec!, 01 !'Ille work. 
lFinally, theIe is an appendix addition, which gives the statistical bases fequifed fOf thisl 
Idissertation, and thc annex with a tablc of the cost calculated for integral normal 10BS, 
IThus, this doeurnellt tries to give rnethodo1ogy whieh wou1d he1p to understand alld solvel 
la problem of the definition of an optimum stock levell 
Capítulo 1 
Enfoque de sistemas 
1 
2 1. Enfoque de sistemasl 
Capítulo 1 
¡La teoría general de sistemas a través del análisis de las totalidades y las interacciones 
1111ternas de éstas) así C01l10 las InteraCCIOnes externas con su rnedlO) es en la actualIdad, 
luna poderosa hcrrarnicnta que pcrnÜtc dar explicación de los fcnórllcnos que suceden en lal 
IrealIdad y tarnfnéll hace posIble la prechecIÓn de la conducta futura de la realIdad. rIlotIvol 
Ipor el cnal el estudIO de los sIstemas juega un rol Importante en los estudIOs de snnulaClón. 
lEn el presente capítulo se presentan los clcnlCntos necesarios para el cntcndinÜcnto dell 
lenfoque de slHtelnas, el cual eH la haH8 para COllceptllahzar los rnodelos de snIlulaclÓn quel 
Ise describen en esta tesis. Así, al contar con el conocimiento del enfoque de sistemasl 
Iy las herramientas que proporciona el estudio de simulación, abordaremos los modelosl 
¡de invetario, de tal lnodo que al juntar el conocirlliellto adquirido se pueda construir uul 
Imodelo de snnulaClón para el sIstema de 111ventano objeto de este estudIO, y obtener unl 
lintervalo de confial17.a para los parámetros de interes del modelo de inventario.1 
1.1 Conceptos básicos 
ISe define sistema como un agregado o conjunto de objetos reunidos en alguna inte-
Ifacción o interdependencia regular l. En otras palabras, un sistelna~ es definido COTIlO 
lun conjunto de elelnentos que funcIOnan conjuntarllente para alcanzar una rneta deHeada. 
ILos puntos claves en esta segunda concepción incluyen el hecho de que (1) un sistemal 
Iconsiste de mÚltiples elementos, (2) estos elementos están interrelacionados y trabajan enl 
Icooperación, (3) un sistema existe con el propósito de alcanzar objetivos específicos.1 
1.2 Elementos de lID sistema 
~n la snl1UlaclOn. un slstenla conSIste de entidades. actiVIdades. recursos y controles. 
IEstos elementos definen el ¿quién?, ¿qué?, ¿dónde?, ¿cuándo? y ¿cómo? del proceso de lal 
lenbdad. De este rllodo~ la Inodelacu!Hl conSIdera que un Hlsterlla está forrnado de InsunIOH~ 
Iproductos, actividades, mecanismos (recursos) y controles; los cuales conforman el todo. 
IEntidades 
Las ent.idades son los elementos procesados a tnwfs del sistema, tales como; 
Iproductos. dientes v documentos. Entidades diferentes pueden tener carcterísticasl 
únicas tales como costo, prioridad, calidad o condición. Las entidades pueden serl 
además subdivididas en los siguient.es t.ipos; 
• Humanas O animadas; clientes, pacientes, etc. 
IGeoffrey GOl'don, Simula.ción de sistema.s, Ed. Diana, Primera edición, ),{a.yo de 1980, pág. 151 
1.2. Elementos de un sistema 3 
• Inanimadas: partes, documentos, etc. 
• IntangIbles: llamadas, correo electromco, etc. 
Para los sistemas de manufactura y servicio, las entidades son dementos discretos. 
Este es el caso para manufacturar partes discretas v para los sistemas de servicios 
Ique procesan cltentes, documentos, y otros. Para algunos sIstemas de producclónl 
Illamados sistemas continuos, una sustancia no discreta es procesada; por ejemplo, 
lel sistema de una refinería o de una petroquimíca. 
Actividades 
Las actIVIdades son las tareas desarrolladas en el sIstema que, dIrecta o mdlrec-
Itamente, involucran el procesamiento de las entidades. Ejemplos de actividadesl 
lincluyen servicio a clientes, corte de partes, reparación de una pieza. Las activi-
Idades usualmente consumen tiempo y a menudo involucran el uso de recursos. Porl 
lotro lado, tenemos que las actividades pueden ser clasificadas como: 
• Proceso de entidad: verificación. tratamiento, inspección, fabricación. etc. 
• Movimiento de recursos y entidad: viaje, ascenso de un elevador, etc. 
• Ajuste de recursos, mantenimiento y reparaciones: arranque de máquinas. 
reparaClOn de máqumas, etc.1 
Recursos 
Los recursos son los medios por los cuales las actividades se desarrollan, y propor-
lcionan las facilidades de apoyo, equipo y personal para llevar a cabo las actividades. 
:-Iientras algunos recursos facilitan el proceso de la entidad, otros recursos inade-
Icuados pueden restnnglr el procesamIento ltmrtando la tasa a la cual el proceso 
Itiene lugar. Los recursos tienen carácterísticas como capacidad. velocidad. tiempol 
Ide ciclo, y confiabilidad. Análogamente a las entidades. los recursos pueden serl 
Iclasificados comol 
• Humanos o animados: operadores, doctores. personal de mantenimiento, etc. 
• Inanimados:equipo, herramienta, espacio, etc.1 
• Intangibles: informacion, potencia déctrica. etc. 
Los recursos pueden también ser c:lasificados como de participación, permanentes 
lo consumibles. y móviles o estacionarios.1 
Controles 
14 1. Enfoque de sistemasl 
Los controles dictan ¿cómo?, ¿cuándo", y ¿dónde" son desarrolladas las activi-
Idades. Los controles imponen orden en el sistema y al nivel más alto, los controles 
Iconslsten de programas, planes, y políticas. En su mvel más baJO, los controles 
Itoman la forma de procesos escritos y máquinas de control lógico. En todos lo si 
Iniveles. los controles proporcionan la información v lógica de decisión de como de-
Iberá ser operado el sistema. Ejemplos de controles incluyen: 
• SeclJencias de flltas 
• Planes de producciónl 
• Programas de trabajo.1 
• Pnonzaclón de tareas.1 
• Programas de control. 
• HOJas de lllstrucClOn. 
Variables de un sistema! 
DIseñar un nuevo sIstema o hacer mejoras en un sIstema eXIstente. reqUIere másl 
¡que la simple identificación de los elementos y metas de desempeño del sistema. 
Requiere de un entendimiento de cómo los elementos del sistema se afectan unos 
a otros e influyen en los objetivos de desempeño globaI. Para entender estas rcla-
IClOnes se necesita entender tres tIpOS de vana bIes del sIstema: vana bIes de declslónl 
, variables de respuesta y variables de estado. 
Variables de decisiónl 
Cuando se conduce un experimento. las variables de decisión. llamadas tambiénl 
linsumos, son referidas como variables independientes en el experimento. Cam-
Ibiando los valores de las variables independientes se afecta el comportamiento dell 
Isistema. Las variables independientes pueden ser controlables o no, dependiendo de 
ISI el expenmentador está capacitado para mampular la vanable o no. Las vanablesl 
Icontrolables pueden ser llamadas vana bIes de declslOn porque el declsor o expen-
Imentador controla los valores de las variables. 
Cuando se define el sistema, las variables controlables son la información respecto 
al sistema que es más prescriptivo que descriptivo. 
Variables de respuesta 
Las vana bIes de respuesta, llamadas tamblen de desempeño o vana bIes de sahda, 
Ison variables que miden el desempeño del sistema en respuesta a una variable de 
1.3. Métricas de desempeño de un sistema 5 
Idecisión particular. Una variable de respuesta puede ser el número de entidades 
Iprocesadas para un periodo dado. En un experimento. la variable de respuesta es lal 
Ivanable dependiente, la cual depende del valor particular aSignado a las vanablesl 
Imdependlentes. El expenmentador no mampula vana bies dependientes, úmcamentel 
Ivariables independientes o de decisión. La meta es encontrar los valores correctos 
lo la asignación de las variables de decisión que generan los valores de respuestal 
Ideseados] 
Variables de estado 
Las variables de estado son variables que indican el estado del sistema en un 
Itiempo específico. Ejemplos de estas variables de estado son el número de entidades 
lesperando a ser procesadas o el estado actual de un recurso particular (ocupado, 
Ivacio, apagado, etc.). Las variables de respuesta pueden ser resumen de los cambio si 
Ide las variables de estado sobre el tiempo. Por ejemplo, el tiempo individual que 
luna máquina está ocupada, puede ser sumado sobre un periodo particular y dividi-I 
Ido por el tiempo total disponible para reportar la utilización de la máquina en ese 
Ipenodo de tiempo. 
Las vana bies de estado son vana bies dependientes como las vana bies de respuesta, 
Iya que dependen de valores aSignados a las vana bies llldependlentes. Las vanablesl 
Ide estado se ignoran en experimentos dado que no son directamente controladasl 
Icomo las variables de decisión y no son de mucho interfs para resumir e! compor-
Itamlento reportado por las vana bies de respuesta. 
1.3 Métricas de desempeño de un sistema 
Las métricas son medidas usadas para asegurar e! desempeño de un sistema. 
IAI nivel más elevado de una empresa, las métricas miden el desempeño global en 
Itérminos de beneficios, ingresos, costos relativos a presupuesto, retornos sobre in-
Iversión, etc. Estas métricas son típicamente financieras en naturaleza y muestran 
le! desempeño general. 
Desafortunadamente tales métricas no incluyen el desempeño operacional, y son 
Ireportados solo periódicamente. Desde un punto de vista operacional es más ade-
Icuado tratar factores como tiempo, calidad, cantidad, eficiencia v utilización. Estas 
Imétricas operacionales reflejan actividades inmediatas y son directamente contro-
Ilables. Ellas también dirigen las métricas financieras relacionadas. Las métricasl 
loperacionales que describen la efectividad v eficiencia de sistemas de manufactural 
Iy serVICIO son las sigUientes: 
6 1. Enfoque de sistemasl 
Tiempo de flujo: Es el tiempo promedio que toma un elemento o cliente en serl 
Iprocesado a través del sistema. Sinónimos de ésto son el tiempo de ciclo r tiempo de 
lenvío de manufacturas. El tiempo de flujo puede ser acortado, reduciendo el tiem-
Ipos de las actividades que contribuven al tiempo de flujo v también puede reducirse, 
Idisminuyendo el trabajo en proceso o el número promedio de entidades en el sistema. 
Dado que el 80% del tiempo de ciclo se utiliza en tiempos de almacenamiento o de 
lespera, la ehnunaclón de estos tiende a prodUCir una gran redUCCión en el tiempo de 
lciclo. Otra solución es agregar más recursos, pero esto puede incrementar los costos. 
L tlhzaclón: Es el porcentaJe de tiempo programado que personal, eqUIpos y otrosl 
Irecursos, están en uso productivo. Para incrementar la utilización productiva, se 
Idebe incrementar la demanda de los recursos o reducir la cantidad o capacidad de 
IrCC11l'SOS I 
Tiempo de valor agregado: Es la cantidad de tiempo que requieren actualmente ell 
Imaterial, clientes, etc., para recibir valor, donde el valor es definido como cualquierl 
Icosa por la cual el cliente esta dispuesto a pagar. Desde un punto de vista opera-
Icional, el tiempo de valor agregado es considerado el mismo que el tiempo de proce-
Isamiento o tiempo usado actualmente para una transformación física o de servicio. 
El tiempo de mspecclón v el tiempo de espera no se conSideran tiempo de valorl 
agregado. 
Tiempo de espera: Es la cantidad de tiempo que el material o clientes, tienen 
Ique esperar para ser procesados. Este componente no es tiempo de valor agregadol 
Ir puede disminuirse reduciendo el número de elementos en el sistema. 
lasa de flujo: Es el nÚmero de elementos producidos o dientes servidos por unidadl 
Ide tiempo. Sus sinónimos incluven tasa de producción. v tasa de procesamiento. 
La tasa de flujo puede ser incrementada por una mejor administración v una mejorl 
lutilización de recursos.1 
Inventario con niveles de cola: Es el número de clientes o elementos en espera 01 
len áreas de almacfn. Es deseable que los niveles de espera sean mínimos.1 
Rendimiento: Desde el punto de vista de la producción, es el porcentaje de pro-
Iductos completados que conforman las especificaciones del producto como un por-
Icentaje del numero total de productos que entran al sistema como materiales. Ell 
Irendimiento también puede ser medido por su complemento, tasa de rechazos o des-
Iperdicios. 
1.4. Modelado del sistema 7 
Respuesta a clientes: Es la habilidad del sistema para enviar productos en un 
Itiempo es)wcífico. de manera que se minimice el tiempo de espera de los dientes. Se 
Ipuede medir como tasa de cumphmlento, la cual es el numero de órdenes de dientes 
Ique pueden ser satisfechas inmediatamente.1 
Varianza: Es el grado de fluctuación que ocurre en cualquiera de las métricasl 
Iprecedentes. La varianza introduce incertidumbre. v en consecuencia riesgo. en 
akan,mr las metas de desempeño establecidas. La varianza es reducida controlandol 
Itiempos de actividad y mejorando la confiabilidad de recursos. 
Estas métricas pueden ser dadas para el sistema total o pueden ser asignadas al 
Irecursos individuales,tipo de entidad o alguna otra carácterística. Relacionandol 
lestas métricas a otros factores se pueden obtener métricas adicionales significativasl 
¡que pueden ser derivadas para análisis comparativos. Métricas típicas relacionadasl 
lincluyen el mínimo tiempo de flujo dividido por el tiempo de flujo actual (eficiencial 
Ide tiempo de flujo). costo por unidad producida (costo unitario), inventario anuall 
Idlvldldo por mventano promedIO, o umdades prodUCidas por costo o lllsumo de 
Itrabajo (productividad) I 
1.4 Modelado del sistemal 
Para estudiar un sistema es desde luego pOSible expenmentar con él nusmo, sllll 
lembargo. el objetivo de muchos estudios de sistemas es predecir la manera comol 
Ise comportará el sistema antes de que sea construido. Es claro que no es factiblel 
lexperimentar con un sistema mientras está todavía en su forma hipotética. Una al-
Iternatlva que se utlhza a veces es constrUir una cantidad de prototipos v probarlos. 
110 que puede ser muv costoso v tardado. Incluso con un sistema existente, es seguro 
¡que sea imposible o impráctico experimentar con el sistema real. Por ejemplo, no 
les factible estudiar los sistemas económicos mediante cambios arbitrarios de ofertal 
Iy demanda de los bienes. En consecuenCia, por lo general los estudIOS de slstemasl 
Ise realizan con un modelo del sistema. Para fines de casi todos los estudios, no 
les necesario tener en cuenta todos los detalles de un sistema: en consecuencia. un 
Imodelo no sólo es el sustituto de un sistema, sino también una simplificación dell 
Ilnislllu. 
Entendiendo un modelo, como el cuerpo de información relativa a un sistemal 
Irecabado para fines de estudiarlo; este estudio determina la naturaleza de la infor-
1m ación que se reúne, podemos decir que no hay un modelo único de un sistema. 
Los distintos analistas interesados en diferentes aspectos del sistema, produciránl 
IdlStllltOS modelos del mismo sistema según cambie su comprensión del nusmo. 
8 1. Enfoque de sistemasl 
La tarea de obtener un modelo de un sistema se dividirá en forma genérica en dos 
Isubtareas: (1) determinr la estructura del modelo y (2) proporcionar los datos. Lal 
Ideterminación de la estructura fija la frontera del sistema e identifica las entidades, 
atnbutos v actn'ldades del sIstema. Los datos sunllmstran los valores que los atnbu-
Itos pueden tener y definen las relaciones involucradas en las actividades. Las dos 
Itareas, crear una estructura y sumisnistrar los datos, se definen como partes de 
luna tarea, más que dos tareas por separado, debIdo a que por lo general estan 
líntlmamente relaCIOnadas v no se puede hacer una sm la otra. Las SUpOSICIOnes 
Irelativas al sistema orientan la recolección de datos, y el análisis de éstos confirmal 
lo refuta las suposiciones. Es comÚn que los datos recolectados revelen una relaciónl 
Ino sospechada que cambIe la estructura del modelo.1 
1.5 Principios utilizados en el modeladq 
1'\0 es posible suministrar reglas según las cuales se construyan modelos matemá-
ItICOS, aunque SI se puede expresar una dIverSIdad de pnnClplOS de guía. Iampocol 
Ise describen los pasos daros que se realizan en la construcción de un modelo, sinol 
¡que se describen los distintos puntos de vista desde los cuales se puede juzgar lal 
linformación a incluir en el modelo. 
1. Formacion de bloques.- La descripción del sistema se debe organi,mr en una se-
rie de bloques. o subsistemas. El propósito de formar los bloques es simplificarl 
la especificación de las interacciones dentro del sistema. Cada bloque describe 
parte del sistema que depende de pocas (preferiblemente una) variables de 
entrada y produce unas pocas variables de salida. Luego puede describirse all 
sistema como un todo en términos de las interconexiones entre los bloques. En 
forma correspondiente, se puede representar gráficamente al sistema como un 
diagrama simple de bloques. 
2. Rdevancia.- El modelo sólo debe de incluir los aspectos del sistema relevantes 
a los obJetIVOs del estudIO. 
3. Exactitud.- Debe tener en cuenta la exactitud de la información que se recabe. 
4. Agregación.- Un factor adicional que debe de considerarse es el grado con 
que pueden agruparse las distintas entidades individuales en entidades másl 
grandes. 
Como un método de análisis se presenta el conjunto de pasos o etapas que se 
Ipueden seguir para alcanzar nuestro objetivo: describir v definir un sistema total. 
La metodología involucra describir lo siguiente: 
1. Los objetivos del sistema total; 
1.5. Principios utilizados en el modelado 9 
2. El medio en que vive el sistema; 
3. Los recursos del slstemaj 
4. Los componentes del sistema: 
d La direccloD del sistema I 
Sin embargo. se debe comprender que en ningÚn caso. estos pasos deben torzosa-
Imente tomarse de acuerdo con la secuencia aquí presentada. Más bien, a medldal 
I'lue uno avanza en el análisis y descripción del sistema, es probable que uno debal 
Ireexaminar el trabajo reali,mdo en los pasos previos. Este es un proceso lógico y lal 
Ilógica es esencialmente un proceso de controlar y re controlar nuestros razonamien-
Itos.1 
Con estas advertencias en mente, discutiremos estas cinco consideraciones básicas 
Ique el investigador debe tener presente cuando se enfrenta con la tarea de definir vi 
Idescribir un sistema. 
Los objetivos del sistema total 
Al hablar de los objetivos estamos pensando en la medición de la actuación del si s-
Itema total. En general. parece lógico comenzar un trabajo definiendo los objetivos. 
Iporque frecuentemente se cae en errores y en serios problemas cuando no se tienen 
Iclaros los verdaderos objetivos del sistema. Sin embargo su definición no siempre es 
Itarea fácil, puede existir confusión en su determinación. Generalmente los partici-I 
Ipantes del sistema no se preocupan, aun cuando sus objetivos y definiciones puedan 
Itener una serie de propósitos independientes de la actuación del sistema. 
El medio del sistemal 
e na vez que el investigador ha logrado clasificar los objetivos del sistema (o lal 
Imedición de su actuación) el aspecto siguiente que debe estudiar y considerar es ell 
Imedio que lo rodea. Este puede ser definido como aquello que está tuera. que no 
Ipertenece al sistema, que se encuentra más allá de sus .c fronteras·'. También puede 
Iser ésta una tarea difícil, pues no siempre es sencillo lograr este resultadol 
Si observamos un automóvil, uno puede pensar, en un primer momento, que ell 
Imedio de este sistema es todo aquello que esta fuera del automóvil. Incluso podemosl 
Idecir que todo lo que esta más allá de la pintura exterior del vehículo conforma su 
Imedio. i.Pero esto es correcto"? ¿es correcto afirmar que lo que queda más allá, 01 
Ifuera de las paredes de una fábrica es el medio de ese sistema"? La fábrica puede 
Itener representantes en diversos puntos del país, y aun en el extranjero, ya sea paral 
10 1. Enfoque de sistemasl 
Ila venta de sus productos o para la compra de equipos y materiales. Estas son, sinl 
Iduda. part.~s del sistema t.ot.al que constituye esa empresa indust.rial. y sin embargo. 
lestas partes no se encuentran dentro de sus paredes. Para comphcar mas este caso, 
les posIble que el gerente general de esa empresa pertenezca a un deternunado grupol 
Ide poder, a través del cual pueda ejercer ciertas presiones políticas y así obtenerl 
Ivent.ajas para esa empr~sa. Sus act.ividad~s polit.ícas podrían ser consideradas comol 
Ipertenecientes al sistema, aunque difícilmente podrían ocurrir dentro del espacio 
Ifísico ocupado por la empresa. Esto nos puede llevar a concluir que, posiblemente, 
Ila pintura exterior del automóvil no sea el límite o la frontera de ese sistema, comol 
Ino lo ~s ~n el caso de la fábrica. Por lo qu~ podemos decir. que e!m~dio del sistemal 
les el conjunto de todos aquellos elementos que mtereactuan con el slstmal 
Los 1'C(11 rsos del sj stcm a. 
Cuando hablamos de los recursos del sistema nos estamos refiriendo a su interior, 
les decir. a sus recursos internos.Por lo tanto no dclwn ser confundidos con los re-
Icursos externos: es decir, aquellas fuentes de energía o de información que llegan all 
Isistema a través de sus corrientes de entrada. Estos se encuentran fuera del sistema, 
Ipertenecen al medio. 
Los recursos del sistema son los árbitros de que dispone para llevar a cabo ell 
Iproceso de conversión y para manten~r la est.ruct.ura interna: en una palabra, paral 
Isobrevlvlr. En reahdad, eXIsten cIertos recursos que pueden ser conSIderados tantol 
Icomo recursos externos y como recursos internos. Por ejemplo, la fuerza laboral de 
lun sistema. Evidentemente que un ejecutivo, al estudiar la implementación de un 
Iproyecto o una decisión puede decir: cuento con tantos r~cursos humanos y en ese 
Isentldo, estará hablando de recursos mternos. 
Los componentes del sIstema 
Los r~cursos propios forman la reserva gen~ral de! sistema a part.ir de la cual, s~ 
Ipuede desarrollar para alcanzar sus obj~tivos reales. Las acciones específicas que s~ 
Illevan a cabo las realizan sus componentes, sus partes o sus subsistemas. ¡. Cuáles 
Ison los subsistemas? una forma de determinarlos podría ser a través del organismol 
¡que muest.ra las diferentes unidad~s administ.rat.ivas (siempr~ que se dé ~n ellos ell 
Iprincipio de la r~cursividad) en que s~ ha dividido el sistema, t.omando así las v~n­
Itajas de la división del trabajo o diferenciación v de la especialización. Así tenemos 
Ilas divisiones, los departamentos, las secciones. etc. Sin embargo. un cuidadoso ex-
am~n del sistema pued~ indicarnos qu~ esos pueden no s~r los component.es reales. 
aunque posean títulos que en un principio nos llevaran a t.omarlos como t.alesl 
1.5. Principios utilizados en el modelado 11 
La dirección del sistema 
Si revisamos lo que hasta ahora ha hecho nuestro analista con el fin de definirl 
Icon precisión lo que es un sistema total, observaremos que ha definido sus objetivos 
Ir~al~s, (es decir, aqu~llos que determinan la actuación del sistema). Enseguida s~ 
lenfrenta con el problema de d~t~rminar el medio que rod~a al sistema. lo que sinl 
Iduda, le sIrve para conocer la extenslOn de su Uludad de análtsls. En tercer lugarl 
lexaminó los recursos reales v potenciales con que cuenta el sistema para con se guiri 
Isus objetivos y finalmente, como vimos en el punto anterior, proc~dió a definir lasl 
Ipart~s, comlJOn~nt~s o subsistemas que constituyen el sistema. Ahora ha ll~gado all 
ÚItUllO paso, en esta tarea, la admllllstraclón o dIreCCIón del sIstema. 
Para los efectos del analista de sistemas, esta es la parte en donde se generan 
Ilos planes para el sistema. es decir. se involucra su "inteligencia"v se establece su 
Icentral de decisiones. Ahí es donde se consideran todos los aspectos que hemos di s-
Icutido ~n los puntos anteriores. La dirección fija los obj~tivos de los compon~nt~s, 
Idlstnbuve los recursos v controla la actuacIón v el comportamIento del sIstema. 
La admuustraclón del sIstema no solo debe generar los planes que este debe de-
IsarroIlar, SIllO tambIén asegurarse de que los planes sean Implementados de acuerdo 
Icon las ideas originales y si no es así. debe determinar el por qué. Esta actividadl 
Is~ conoc~ g~neralmente bajo el término de control, aunque la palabra en sí encierr~ 
lun sentIdo negatIvo. 
Estamos acostumbrados a la idea de control coel"CttlVO. ~s d~cir. que obliga al 
Irealizar ciertas acciones; sin embargo, el concepto moderno de control ( especial-
Imente el desarrollado por la ciencia de la información, del control y la cibernética) 
110 plant~a más bi~n en el s~ntido del piloto que controla la dir~cción del avión. Así. 
Igran parte del control dentro del sIstema opera a través del pnnClplO de excepCIón, 
Ide modo que la administración no interfiere en las actividades de las partes compo-
Inentes a menos que la conducta de estos evidencíe una desviación demasiado grande 
Ide los planes. 
e n ~nt~ndimiento d~ la dinámica d~ sistemas es esencial para usar cualqui~r herra-
Imi~nta para la planeación d~ sist~mas. Los sist~mas de manufactura y servicios 
Iconsisten de elementos interrelacionados (personal, equipo, etcétera) que funcionanl 
linteractivamente para producir un resultado específico (producto terminado, clientel 
Isatisf~cho, ~tcétera). Los sistemas son hechos d~ ~ntidades (el objeto que es proc~sa­
Ido), recursos (el ¡wrsonal. ~quipo y facilidad~s usadas para procesar las ~ntidades) , 
actividades, y los pasos del proceso y controles (las reglas que especifican ¿quién?, 
¿qué?, ¿dónde?, ¿cuándo" y ¿cuánto" del procesamiento de una entidad). 
12 1. Enfoque de sistemasl 
Ahora, con base en estos conceptos y su entendimiento podernos pasar fOrIllaI-1 
Imente al proceso de simulación de sistemas, 
Capítulo 2 
Simulación de sistemas 
13 
14 2. Simulación de sistemasl 
Capítulo 2 
Dado un modelo matemático de un sistema, a veces es posible obtener informaciónl 
Irdativa del mismo por m~dios analíticos. Cuando esto no ~s posible. es n~cesario 
lut.ilizar mM.odos de computo numerico para resolver las ~cuacion~s. Se han desarro-
IIlado una dIverSIdad de métodos de cómputo numenco para resolver las ecuacIOnes 
Ide modelos matemáticos. En el caso de modelos matemáticos dinámicos. se ha llega-I 
Ido a id~lJt.ificar una técnica específica para resolv~r probl~mas mediant.~ la simula-I 
Ición d~ sistemas. en la cual s~ resuelv~n simult.áneament.e todas las ecuaciones dell 
Imodelo con valores estocastlcos. o mejor dIcho. que se comportan de acuerdo al 
luna distribución de probabilidad; de tal manera que atacar un problema mediantel 
Isimulación brinda una gran solid~z siempre y cuando se model~ el sist.ema d~ formal 
Icorrecta, es d~cir. qu~ en forma abstracta d moddo se apegue lo más posible all 
Isistema real. Así, con base en las herramientas de simulación se dará solución a lal 
Iproblemática planteada en la introducción de esta tesis, de tal modo que al abordarl 
Ilos modelos d~ inv~nt.ario qu~ se explican en el capítulo tres. s~ cr~ará un modelol 
Ide SImulaCIón con el cual se obtendrán los resultados deseados. 
2.1 Definición de la simulación de sistemasl 
D~finimos la simulación d~ sist.emas como la t.écnica que imit.a la operación de un 
ISlstema del mundo real a medIda que evolUCIOna con el tIempo. En otras palabras, 
Ila simulación de sistemas es una técnica con la cual se pueden resolver problemasl 
Isiguiendo los cambios que experimenta el sistema a lo largo del tiempo mediante lal 
Iconcept.ualización d~ un modelo dinámico. Un modelo de simulación por lo gen~rall 
Itoma la forma de un conjunto de suposiciones acerca de la operación del sistema. 
lexpresado como relaciones matemáticas o lógicas entre los objetos de interés en ell 
Isistema.1 
IYa que la técnica de simulación no pretende resolver analíticamente las ecuaciones 
Ide un moddo, por lo g~neral un moddo mat.~mático const.ruido para fin~s de simu-
Ilación es de naturaleza distinta a uno formado para técnicas analíticas. Al formarl 
lun modelo para la soluclOn analítIca, es necesano tener presente las restncclOnes 
limpuestas por la técnica v evitar complicar el modelo global. Se tienen que hacerl 
Imuchas suposiciones gen~ralcs para satisfacer est.as r~striccion~s, sin embargo, un 
Imodelo de SImulaCIón se puede constrUIr con mavor hbertad. 
Típicamente, se forma de una serie de secciones que corresponden al método de 
Idiagrama de bloques, y se puede describir matemáticamente a cada sección en formal 
Idirecta y natural sin dar demasiada consideración a la complejidad que se introduce 
2.2. Naturaleza experimental de la simulación 15 
Ipor tener muchas de esas secciones. Sin embargo, es necesario formar v organizarl 
llas ~cuacion~s d~ tal manera qu~ se pu~da ut.ilizar un procedimiento rnt.inario paral 
Iresolverlas sImultáneamente. 
En los sistemas continuos, d int.erés primordial ~s en cambios suaves. gen~ral­
Imente se utilizan conjuntos de ecuaciones diferenciales para describirlos. Se dice 
¡que las simulaciones basadas en esosmodelos son simulaciones continuas. Los si s-
It.~mas d~ cómputo analógicos, pued~n resolver conjunt.os d~ ~cuacion~s dif~r~ncialcsl 
llin~al~s en forma simuItán~a. y se ut.ilizan ~xt.~nsamente para la simulación continua. 
Las computadoras digitales pueden realizar la misma función utilizando pequeños 
lincrementos de intervalos para integrar las ecuacionesJ 
Para los sistemas discretos, en que el interés primario está en los eventos, lasl 
lecuaciones son esencialmente ecuaciones lógicas que expresan las condiciones paral 
¡que ocurra un ~vent.o. La simulación consist.~ ~n s~guir cambios en el ~stado ddl 
Isistema, resultado de la sucesión de eventos. Se dice que esas simulaciones son 
Idiscretas. Es posible avanzar el tiempo en pequeños incrementos y verificar en cadal 
Ipaso si va es necesario ejecutar cualquier evento. Sin embargo, por regla general lal 
Isimulación discr~t.a se reali,m decidiendo una secu~ncia d~ eventos y avanzando di 
Itlempo al evento sIgUIente mas lllnunente. 
2.2 Naturaleza experimental de la simulación! 
La técnica de la simulación no intenta específicamente aislar las relaciones entre 
Idet.erminadas variables: ~n vez d~ ello, observa la manera en que cambian t.odasl 
Ilas vana bies del modelo con el tIempo. Las relaCIOnes entre las vana bies deben de-
Iducirse de esas observaciones. Se tienen que realizar muchas corridas de siulUlaciónl 
Ipara comprender las relaciones que participan en el sistema, por lo que debe de 
Iplan~ars~ la simulación de un est.udio como una seri~ de ex¡wrimentos.1 
La man~ra en que s~ desarrollan los experiment.os de simulación d~pende de lal 
Inaturaleza del estudIO. Por lo general, los estudIOS de sIstemas son de tres tlposl 
Ipnnclpales: anahsls de sIstemas. dIseño de sIstemas v postulaCIón de sIstemas. 
En reahdad. muchos estudIOS combman dos o tres de estos aspectos o los alternanl 
Isegún avanza el estudio. Con frecuencia se utiliza el término ingeniería de sistemasl 
Ipara describir est.udios de sist.emas ~n los casos ~n que se pr~t.~nde qu~ una com-
Ibmaclón del anáhsls v el dIseño comprenda pnmero la manera como trabaja un 
Isistema existente y luego prepare modificaciones al sistema para cambiar el com-
Iportamiento del mismo.1 
16 2. Simulación de sistemasl 
El análisIs de sistemas pretende comprender la manera en que opera un slstemal 
lexistente o propuesto. La situaciÓn ideal sería que el investigador pudiera experi-
Imentar con el propio sistema. pero lo que realment.e se hace es construir un modelol 
Idel sist.ema y mediant.e simulaciÓn se invest.iga el comportamiento del modelo. Los 
Iresultados obtemdos se mterpretan en térmmos del comportamiento del sistema. 
En los estudios del diseño de sistemas, el propÓsito es producir un sistema que sat-
lisbga algunas especificaciones. El diseñador puede elegir o planear determinado si 
Isistemas de component.es y concept.ualment.e elige una combinaciÓn det.erminada de 
Icomponentes para constrlllr un sistema. El sistema propuesto se modela v se predice 
Isu comportamiento a partir del conocimiento del comportamiento del modelo. Sil 
lel comportamiento predicho se compara favorablement.e con el comport.amient.o de-
Iseado, se acept.a el diseño. En caso cont.rario, se rediseña el sist.ema y se repit.e ell 
IplOresa·1 
La postulaCión del sistema es caractenstlca de la manera en que se emplea lal 
IsimulaciÓn en estudios sociales, econÓmicos, políticos y médicos en que se conoce ell 
Icomportamiento del sistema pero no así los procesos que producen dicho compor-
Itaulicnío 
Se establecen hipótesis de un conjunt.o probable de entidades y act.ividades que 
Ipueden explicar el comportanuento. El estudIO compara la respuesta del modelol 
Icon base en esas hipÓtesis contra el comportamiento conocido. 
e na comparaciÓn razonablemente buena conduce en forma natural a la suposiciÓnl 
Ide que la estructura del modelo semeja el sistema real y permite postular unal 
lest.ructura del sistema. Con mucha seguridad, el comportamiento del modelo dal 
luna mejor percepciÓn del sistema. que posiblemente avude a formular un conjunto 
Irefinado de hipÓtesisl 
2.3 Tipos de modelos de simulación 
Los modelos de simulaciÓn se pueden clasificar atendiendo a diferentes criterios: 
1. SegÚn el instante temporal que represent.anl 
I( a) Estáticos: representan a un sistema en un instante determinadol 
(b) Dinámicos: representan a un sist.ema que evoluciona a lo largo del tiempo. 
2. Según la aleatoriedad de sus variables de estado: 
2.4. Ventajas y desventajas de la simulación 17 
I( a) Deterministas: la representación del sistema no contiene ninguna variablel 
He estado aleatoria I 
(b) Estocásticos O aleatorios: la representación del sistema contiene al menos 
hU13 va.riable de estado no determjnjsta 
3. Según el modo en que evolucionan sus variables de estadol 
I(a) Discretos o de eventos discret.os: si las variables de estado del modelol 
Rrarían en un conjunto contable de lllstantes de tiempo. 
(b) Cont.inuos: si las variables de estado varían de modo cont.inuo en funciónl 
~el tiempo. 
El modelo de inventario que se construirá más adelante en el capítulo tres, se con-
Isidera un modelo de simulación estática. de acuerdo a la clasificación del inst.ant.e 
Itemporal, ya que el sIstema que se estudia no reqUIere de un análrsls a lo largo dell 
Itiempo, dado que la distribución de la demanda del producto se simula consideran-
Ido que es la misma distribución para cualquier instante del tiempo. De acuerdo 
a la clasificación de aleatoriedad de su variable de estado. se considera un modelol 
lestocástico va que la variable que se simula es la demanda del producto. La clasifi-
Icación del modelo según la evolución de la variable de estado. permanece sin ac:larsel 
Idebido a que el modelo no especifica el carácter del producto, por lo que este puede 
Iser tipo discreto o cont.inuo (ya sea que hablemos de product.os que sean líquidos 01 
Ibien granos, por mencionar algunos). 
2.4 Ventajas y desventajas de la simulación 
En algunas ocasiones, debido a la elevada complejidad de muchos sist.emas result.al 
Ipractlcamente ImpOSIble obtener un modelo matemátICO con solUCIón analítIca. En 
lestos casos, habrá que recurrir necesariamente a la simulación. La utilización de un 
Imodelo de simulación para el est.udio de un sistema presenta una serie de vent.ajas: 
1. Pernllte estudiar el comportanllento de un sIstema baJO un conJunto de condI-
ciones de operación predeterminadas. 
2. Pueden compararse diversas propuestas para modificar el sistema v encontrarl 
la que mejor satisface un conjunto de requisitos establecidos, sin necesidad de 
implementar las propuestas de manera real, lo cual repercute en un aholToj 
3. Pernllte estudiar el sIstema en un marco de tIempo de acuerdo al alcance que 
se defina. va sea que se desee estudiar el sistema durante un mes. un semestre, 
un año, etcj 
18 2. Simulación de sistemasl 
De todas formas, también presenta un conjunto de desventajas: 
1. El diseño de modelos de simulación puede result.ar un proceso cost.oso en re-
cursos v tiempo, dependIendo de la compleJIdad del sIstema. 
2. Como ocurre en cualquier modelado de sistemas. siempre se cumple que la cali-I 
dad del estudIO esta acotada por la cahdad del modelo, es deCIr, SI el modelo no 
representa de manera suficientemente aproximada el sistema, las conclusiones 
inferidas de los resultados de las simulaciones, pueden no ser correctas, por 101 
que siempre será necesario validar el modelo de simulación. 
2.5 Metodología de un proceso de simulaciónl 
La técnica de simulación a diferencia de las soluciones matemáticas exactas que 
Ise obtienen en la mayor parte de los modelos analíticos, se puede describir comol 
¡UD método donde se realiza 11Tl rlll1cstrco basa.do en la sjmllJacjÓll de sjtua.cjonesl 
Imclertas del sIstema en estudIO; de donde se obtIenen los valores esperados paral 
Ivariables no controlables mediante la selección aleatoria de los valores permisiblesl 
Ide la variable de interés.La probabilidad de elegir entre todos los resultados posiblesl 
lest.á en est.rict.a relación con sus respectivas distribuciones de probabilidad, de t.all 
Imanera, que la seleCCIón o sllllUlaclón de estos valores, Imphca la generacIón de 
Inúmeros aleatorios de las variables aleatorias involucradas. Los pasos que involucral 
lun proceso de simulación son los siguientesj 
1. Definición del problema. 
2. Obt.ención de información (esto es. invest.igar las dist.ribuciones de probabilidadl 
que involucra el proceso, así como datos generales del mismo que ayuden al 
conceptualizarlo) . 
3. Plant.eamiento del problema (es decir, modelar el proceso de simulación). 
4. Validación del modelo (es decir, confirmar que el modelo sea el adecuado paral 
obt.ener los result.ados deseados) I 
;). Ejecución de la simulación (es decir, realizar las corridas). 
6. InterpretaclOn de resultados.1 
Ahora. considerando que más adelante esta metodolgía será aplicada al análisisl 
Ide sist.emas de inventario, se most.rarán ejemplos relacionados con la evaluaciónl 
Ide provectos de mverslón para entender dIcha téclllca, así como los métodos paral 
Ila generación de números aleatorios, esto último con la finalidad de construir unal 
aplicación que permita realizar las corridas del modelo de inventarios. 
2.6. Generación de números aleatorios 19 
2.6 Generación de números aleatorios 
La llegada de sistemas de cómputo de gran escala ha convertido las técnicas 
de simulación en herramientas muy útiles para analizar sistemas complejos, cons-
tituidos por muchos componentes interdependientes. Ahora bien, en el proceso de 
simulación de estos sistemas surge la necesidad de simular fenómenos aleatorios que 
sean característicos de un sistema en especial. Por ejemplo, sí una tienda desea 
examinar su sistema de servicios, debe simular el flujo de clientes a la tienda, así 
como el tiempo necesario para llevar a efecto cada operación de servicio y estos 
sucesos constituyen eventos aleatorios. En el proceso de solución del problema se 
debe suponer una distribución de probabilidad apropiada para cada fenómeno y 
se genera una secuencia de valores (muestrales) para la correspondiente variable 
aleatoria. Considerando que dichas secuencias de números se generan mediante 
algoritmos numéricos que pueden repetirse exactamente, tales números no pueden 
ser considerados totalmente aleatorios y suelen denominarse pseudoaleatorios. Sin 
embargo, estos números tienen las suficientes propiedades aleatorias para utilizarse 
en muchas aplicaciones con el éxito suficiente. Y a continuación se mostrará la 
forma de generar números aleatorios a partir de alguna de las distribuciones de 
probabilidad, ya sean discretas o continuas que se describen en el apéndice A. 
2.6.1 Método de transformación inversa 
Una de las distribuciones que tiene un papel muy importante en la generación de 
números aleatorios es la distribución uniforme sobre el intervalo (0,1). Para ilustrar 
este hecho, considerese el siguiente teorema: 
Teorema 2.6.1 Para cualquier variable aleatoria continua X, la función de dis-
tribución acumulativa F(x; e) con parámetro e se puede representar por una varia-
ble aleatoria U, la cual se encuentra uniformemente distribuida sobre el intervalo 
unitario. 1 : 
Demostración: Dado que por definición la función de distribución acumulativa de 
X está dada por : 
F(x; e) = i~ f(t; e)dt 
a cada valor de x le corresponde un valor de F(X; e) que necesariamente se en-
cuentra en el intervalo (0,1). 
1 Cfr., George c. Canavos, Probabilidad y Estadística - Aplicaciones y Métodos, Ed. MacGraw Hill, 
Primera edición Noviembre de 1995, pág 172. 
20 2. Simulación de sistemas 
Además,F(X; O) también es una v.a. en virtud de la aleatoriedad de X. Para 
cada valor de u de la v.a. U, la función u = F(X; O) define una correspondencia 
uno a uno entre U y X siendo la relación inversa x =F-1(u). 
Al tener du = dF(X; O) = f(x; O)dx, el Jacobiano de la transformación es : 
La función de densidad de probabilidad de la v.a. U, mediante el empleo de la 
siguiente identidad fy(y) = fx[g-l(y)ll~~1 es 2: 
g(u) f(F-1(u); O)[J(F-1(u); O)t1 
1, O::; u::; 1 
La esencia del teorema recae en el hecho de que, para muchos casos, es posible 
determinar de manera directa el valor de x que corresponde al valor de u de las 
variables aleatorias X y U, respectivamente, de tal manera que F(x; O) = u. En 
consecuencia, por esta razón muchos de los sistemas de cómputo tienen en su estruc-
tura la capacidad de generar valores aleatorios a partir de una distribución uniforme 
sobre el intervalo unitario (0,1). Y muchos paquetes estadísticos como SAS, SPSS 
y IMSL, proporcionan al usuario la oportunidad de generar números aleatorios a 
partir de una distribución dada. 
Por lo tanto, el método de transformación inversa consta de los siguientes pasos : 
Sea X la v.a. de interés entonces 
1. Generar un número aleatorio uniforme u entre O y 1. 
2. Igualar F(x) = u y despejar x, que resulta ser la observación aleatoria de in-
terés que sigue la distribución de probabilidad establecida inicialmente. Donde 
F(x) = P(X ::; x) la función de distribución acumulativa. 
A continuación se ilustrará el uso del teorema y el método de transformación in-
versa en la generación de números aleatorios para algunas distribuciones de proba-
bilidad específicas. 
Distribución Uniforme sobre el intervalo (a,b) 
2Ibidem, pág. 168. 
2.6. Generación de números aleatorios 21 
La función de densidad de probabilidad es : 
f(x; a, b) = l/(b - a), a < x < b 
Para generar un número aleatorio x, a ::; x ::; b ,primero se genera un valor aleato-
rio u a partir de (0,1), se iguala a la función de distribución acumulativa, se integra 
y se resuelve para el límite superior x. 
De esta forma : 
Distribución Normal 
x-a 
b-a 
u, o 
x u(b - a) + a, a::; x ::; b 
La función de distribución acumulativa normal es : 
1 ¡X (t fL? V2JWi exp ( - - 2 )dt = u 
2~~2 -00 2~ 
No puede resolverse, en forma cerrada para x. De manera alternativa, puede de-
mostrarse que si U1 y U2 son dos variables aleatorias independientes con distribución 
uniforme sobre el intervalo unitario, entonces 
Zl (-2 lnU1 )1/2 sin(2~U2) y 
Z2 (-2 lnU1)1/2 cOS(2~U2) 
Son dos variables aleatorias normales estandarizadas e independientes. 
2.6.2 Método de aceptación-rechazo 
En el caso de muchas distribuciones continuas, no es factible utilizar el método 
de transformación inversa, debido a que quizá x = F-l(r) no se pueda calcular (al 
menos en una forma eficiente). En dado caso, se pueden utilizar otros métodos que 
22 2. Simulación de sistemas 
se han desarrollado para generar observaciones aleatorias a partir de esas distribu-
ciones. Dichos métodos suelen ser mucho más rápidos que el método de transfor-
mación inversa, y uno de ellos es el llamado método de aceptación-rechazo. 
Considerese la distribución triangular, que es ampliamente utilizada al introducir 
riesgo en proyectos de inversión y caminos críticos (PERT). Esta distribución se 
basa en una estimación pesimista, una más probable, y una optimista. Y por su 
sencillez es fácilmente comprendida por el analista y por personas encargadas de 
interpretar los resultados arrojados por el estudio realizado. 
Definición 1 Se dice que X es una variable aleatoria triangular si tiene la función 
de densidad dada por 3 : 
con media 
E(X) 
y varIanza 
Var(X) 
(c_a)2(b_a) (x - a) para a::; x < b 
f(x) = (c-a)(c-b) (x - c) para b::; x ::; c 
o 
l b 2x(x - a)dx 
a (e-a)(b-a) 
1 
"3 (a+b+e) 
en otro caso 
re -2x(x - e)dx 
+ lb (e-a)(e-b) 
l b 2X2(X - a)dx re -2x2(x - e)dx 
a (e-a)(b-a) + lb (e-a)(e-b) 
1 2 2 2 - (a + b + e - ab - ae - be) 
18 
Es obvio que cuando la distribución triangular es simétrica, es decir, 
b = (a + e)/2 las expresiones anteriores se transforman en : 
3 Cfr. Raúl Coss Bu, Análisis y evaluación de proyectos de inversión, Segunda edición, Ed. Limusa, 
1991, pág. 265-266. 
2.6. Generación de números aleatorios 
E(X)Var(X) 
a+c=b 
2 
1 2 -(c - a) 
24 
Ahora, para valores de a = O , b = 1 Y c = 2 tenemos que 
x SI O ~ X < 1 
f(x) = 1 - (x - 1) si 1 ~ x ~ 2 
O en otro caso 
23 
El método de aceptación-rechazo utiliza los siguientes pasos (tal vez varias veces) 
para generar una observación aleatoria.4 
1. Generar un número aleatorio uniforme rl entre O y 1, Y establecer x = 2rl (de 
manera que el intervalo de valores posibles de x es de O a 2). 
2. Aceptar x con probabilidad p, donde 
{
X 
p-
1 - (x - 1) 
si O ~ x ~ 1 
SI 1 < x < 2 
De este modo x es la observación aleatoria deseada (ya que esta probabili-
dad es igual a f(x)). De otra manera, rechazar x y repetir los dos pasos. 
Para generar el evento aleatorio de aceptar (o rechazar) x de acuerdo con 
esta probabilidad, el método pone en práctica el paso 3 como sigue : 
4Frederick Hillier, Gerald Lieberman, Investigación de operaciones, Séptima edición, Ed. MacGraw 
Hill, 2001, págs. 1109-1110. 
24 2. Simulación de sistemas 
3. Generar un número aleatorio uniforme r2 entre O y 1, Y 
{
Aceptar x 
Rechazar x 
Si x se rechaza, repetir los tres pasos. 
si r2::; f(x) 
SI r2 > f(x) 
Como x = 2rl se acepta con probabilidad = f(x), la distribución de proba-
bilidad de los valores aceptados tiene f(x) como su función de densidad, de 
manera que los valores aceptados son observaciones aleatorias válidas de f(x). 
Por fortuna, en este ejemplo el valor más grande de f(x) para cualquier 
x era justo 1. Si este valor más grande fuera L =1 1, entonces r2 quedaría 
multiplicado por L en el paso 3. Con este ajuste, el método se extiende con 
facilidad a otras funciones de densidad de probabilidad en un intervalo finito 
y se pueden usar conceptos similares en un intervalo infinito. 
2.6.3 Método monte carIo 
El muestreo Monte Carlo es fundamental para el concepto de los sistemas de 
simulación que contienen elementos estocásticos o probabilísticos. Su origen y nom-
bre se remontan al trabajo de Von Neumann y Ulan a finales de los años cuarenta, 
cuando acuñaron el término y aplicaron la técnica para resolver ciertos problemas 
de protección nuclear. El método Monte Carlo fue tan exitoso que su popularidad 
se extendió a varios campos y el término casi se ha vuelto sinónimo de simulación 
en la mente de muchas personas. Aunque nuestro interés principal en la técnica 
de muestreo Monte Carlo es su utilidad en las situaciones probabilísticas de simu-
lación, puede usarse en ciertos problemas totalmente determinísticos que no pueden 
resolverse en forma analítica. 
En la técnica de Monte Carlo, la experiencia o datos artificiales se generan me-
diante el uso de algún generador de números aleatorios y de la distribución de 
probabilidad acumulada de interés. El generador de números aleatorios puede ser 
cualquier fuente de dígitos aleatorios distribuidos uniformemente. La distribución 
de probabilidad por muestrear puede basarse en datos empíricos que se obtienen de 
registros anteriores, que pueden ser el resultado de un experimento reciente o puede 
ser una distribución teórica conocida. Los números aleatorios se usan para producir 
una secuencia aleatorizada de valores que duplicarán la experiencia esperada, la cual 
puede producirse mediante la distribución de probabilidad que se muestrea. 
2.6. Generación de números aleatorios 25 
En concepto, el proceso o técnica es relativamente simple. Para obtener unal 
Imuestra artificial al ,,,,al', a partir de una población descrita por alguna función de 
Iprobabllidad es necesano: 
1. Graficar o tabular los dat.os de int.erfs (no los números aleat.orios) como unal 
función de dist.ribución de probabilidad acumulada: con los valores de la varia-
ble sobre el eje de las abscisas (o bien eje x) y las probabilidades de O a l que 
se trazaron sobre el eje de las ordenadas (o eje y). 
2. Seleccionar un número decimal aleatorio entre O y l (en tantos lugares comol 
se desee), por medio de un generador de números aleatorios. 
3. Proyect.ar horizont.alment.e e! punto sobre e! eje y que corresponda a este 
numero deCImal aleatono, hasta que la línea de provecclOn mtersecte la curval 
acumulativa. 
4. Proyectar hacia abajo (es decir, hacia el eje x) el punto de intersección sobre 
la curva. 
o. Escribir el valor de :E correspondiente a este punt.o de int.ersección. Despufs 
este valor de x se toma como el valor de la muestra. 
6. Repet.ir los pasos de! 2 al 6 hast.a que se hayan generado tantas variablesl 
alea tonas como se deseen, sIgUIendo la secuencia en la cual se obtUVIeron. 
2.6.4 Método hipercubo latinol 
El muestreo HIpercubo Latlllo es un recIente desarrollo en tecnología de muestreo, 
Idiseñada para recrear con precisión la distribución de entrada a través de sacar unal 
Imuest.ra con menos it.eraciones. comparando con el mM.odo Mont.e Cario. La clave 
Idel muestreo Hipercubo Latino, es la estratificación de la distribución de proba-
Ibilidad de interés. La estratificación consiste en dividir la curva acumulativa en 
lintervalos iguales en la escala de probabilidad acumulada (O a 1.0). Una muestra es 
It.omada al azar de cada int.ervalo o ·'estrat.ificación". de la distribución de ent.rada. 
El muestreo es obligado para representar los valores en cada mtervalo y así se obligal 
a recrear la dlstnbuclón de probabIlidad de entrada. 
El método :-Ionte Cario no toma intervalos v realiza el muestreo con cierta li-I 
Ibertad, lo cual repercute en un número mayor de iteraciones, de este modo paral 
Ila obt.ención de muestras represent.at.ivas se deben realizar alrededor de 1000 ite-
IraclOnes; en contraste a esto, la téclllca de HIpercubo Latlllo permite redUCIr ell 
Imuestreo al orden de 400 iteraciones. En el gráfico 2.lla curva acumulativa ha sidol 
Idividida en 5 intervalos y cada muestra es delineada de cada intervalo, de este modol 
26 2. Simulación de sistemas 
se puede apreciar que con Hipercubo Latino, las muestras reflejan con más precisión 
la distribución de valores de la distribución de probabilidad de interés. 
1.0 .............................................. _------ .......................... . 
~--; 
0.8 
P(X<= x) 0.6 
0.4 
0.2 
mI m2 m3 m4 mS 
Valores de la muestra 
Gráfico 2.1: Cinco iteraciones del muestreo Hipercubo Latino 
La técnica que está siendo usada durante el muestreo Hipercubo Latino es "mues-
treo sin reemplazo". El número de estratificaciones de la distribución acumulativa 
es igual al número de iteraciones realizadas. En el ejemplo anterior fueron 5 itera-
ciones y así fueron hechas 5 estratificaciones de la distribución acumulativa. Una 
muestra es tomada de cada estratificación. Sin embargo, una vez que una muestra 
es tomada de la estratificación, esta estratificación no es muestreada de nuevo (su 
valor ya esta representado en el conjunto muestreado). 
Al usar la técnica de Hipercubo latino para muestras de múltiples variables, es 
importante mantener la independencia entre las variables. Los valores muestreados 
para una variable necesitan ser independientes de aquéllos muestreados para otra 
variable (a menos que, se quiera que esten correlacionados). Esta independencia es 
mantenida para seleccionar el intervalo aleatoriamente y de este modo obtener una 
muestra para cada variable. En una iteración dada, la variable1 debe ser muestreada 
de la estratificación #4, la variable2 debe ser muestreada de la estratificación #22 y 
así sucesivamente. Esto conserva aleatoriedad e independencia y evita la correlación 
no deseada entre las variables. 
2.7. Simulación de un sistema discreto 27 
2.7 Simulación de un sistema discreto 
La decisión que implica emprender un proyecto de inversión, va acompañada dell 
lfactor riesgo. La técnica de simulación para el análisis de riesgo, es una herramien-
Ita importante y dados los elementos que intervienen en la evaluación de proyectos 
Icomo lo son: el capital a mverttr, la demanda esperada para cada penodo, la de-
Ipreciación, los costos de producción, la duración del proyecto y los indicadores de 
levaluacióncomo el VP"f, TIR, TVR (además de la incertidumbre en los resultados 
¡que se obtendrán en el futuro). proporcionan la plataforma para un modelo de sim-
lulaclón. 
Supóngase que la compañía E desea construir una estación de gasolina. La inves-
Itigación de mercado indica que la mayO!' incertidumbre es respecto al volumen de 
Iventas v el margen de contribución por litro de gasolina vendido. La compañía hal 
Ideterminado que la inversión debe ganar una tasa del 11%, y que el proyecto serál 
lemprendldo. SI la probablhdad de que la IlR sea mavor que la tasa de rendllluento, 
les mavor o igual a 0.90. 
Despues de un anahsls de las vanables, se llego a que el volumen de ventas estal 
Inormalmente distribuido con media 250,000 litros/año y desviación estándar de 
30,000 litros. El margen de contribución se estima que está distribuido uniformel 
lentre $0.35 y $0.70 por litro. La inversión inicial es de $120.000. la cual se depreciarál 
a una tasa del 10% anual. los gastos de operación anuales son de $65.000 durante 
Ilos 10 años que dura el proyecto. Por último se considera que la tasa de impuestosl 
les del 15% y que el valor de rescate es despreciable al final del proyecto.1 
De este modo. con la información anterior se puede determinar la distribuciónl 
Ide probablhdad de la TIR. y postenormente tomar una declslOn. Para obtener lal 
Idistri bodón de lo I IR es necesorio' 
1. Simular el volumen de ventas en litros para los próximos diez años. 
2. Simular el margen de contribución por litro vendido para los próximos diez 
añosJ 
3. Obtener el flujo de efectivo del provecto para los próximos diez años, mediantel 
la expresión: 
FI = (V¡iVI, - G - D) (1 - T) + D para t = 1,2, ... , 1q 
28 2. Simulación de sistemas 
Donde 
Vi Valor simulado de litros vendidos en el año t 
Mt Valor simulado del margen de contribución del año t 
G Gastos de operación 
D Depreciación anual 
T Tasa de impuestos 
4. Calcular la TIR para los valores simulados mediante la expresión: 
10 Ft 
-12,000 + L (1 TIR)t = O 
t=l + 
5. Repetir los pasos 1-4 tantas veces como sea posible. 
Hay que notar, que al enumerar los pasos para obtener la distribución de la TIR, 
se está cumpliendo con los seis pasos que involucra un proceso de simulación. De 
esta manera, se da la definición del problema (1); la obtención de información (2), 
que implica investigar las distribuciones de probabilidad que involucra el proceso; 
el planteamiento del problema (3), que implica modelar el proceso de simulación 
mediante la obtención de la TIR para cada ensayo; la validación del modelo (4), 
que corresponde a definir correctamente la TIR y especificar los elementos que la 
constituyen; la ejecución de la simulación (5), mediante las corridas del modelo y fi-
nalmente, la interpretación de resultados (6), que se realizará al finalizar las corridas. 
Primeramente se mostrará cómo se realiza la generación de números aleatorios 
para las variables aleatorias que involucra este proceso, de este modo, como el 
volumen de ventas está normalmente distribuido con media 250,000 litros/año y 
desviación estándar de 30,000 litros, para generar un número aleatorio de una 
variable aleatoria normal mediante el método monte carla es necesario hacer lo 
siguiente: 
1. Seleccionar un número decimal aleatorio entre O y 1. Para este caso tomaremos 
el número 0.5398, y lo consideraremos como probabilidad. 
2. Posteriormente, de una tabla para variable aleatoria normal estándar, encon-
trar para qué valor de Zo corresponde la probabilidad seleccionada. 
3. Después, despejar el valor de x que es una observación de la variable aleatoria 
normal con parámetros j.j y a; que para nuestros fines resulta ser el número 
aleatorio de interés. 
2.7. Simulación de un sistema discreto 29 
Para detallar el tercer punto es necesario aclarar que una tabla de variable aleato-
ria normal estándar, porporciona la probabilidad: 
1 ro (t2 ) 
P(Z ~ zo) = V'h J-oo exp 2 dt 
De este modo, tenemos que por medio de la transformación: 
x - fL 
U na variable aleatoria normal X, con parámetros fL ya, se transforma en una 
variable normal estándar. 
Por lo tanto, si 
P(Z ~ zo) = 0.5398 ~ 
x - fL 
Zo = 
Entonces 
Es la muestra de una v.a. normal con parámetros fL y a. Para nuestro caso, se 
tiene que Zo = 0.1, por lo tanto 
X (0.1)(30,000) + 250,000 
3, 000 + 250, 000 
253,000 
Por lo tanto, X = 253,000 es el volumen de ventas simulado. 
Ahora, para obtener un número aleatorio de una distribución uniforme mediante 
el método de transformación inversa hay que realizar lo siguiente: 
1. Generar un número aleatorio uniforme u entre O y 1. Para nuestro caso tomare-
mos 0.5. 
30 2. Simulación de sistemasl 
2. Después, para obtener el número aleatorio con distribución uniforme sobre ell 
int.~rvalo (a.b), hay que ut.ilizar la expresión: ." = n(b - a) + a. 
Entonces, para nu~stro caso t.enemos que el margen de contribución ~stá dist.ri-
Ibuido uniforme entre $0.35 v $0.70 por litro. Por lo tanto, el número aleatorio de 
Imterés se obtiene como:1 
." n(b - a) + a 
(0.5)(0.70 - 0.35) + 0.3§ 
0.52B 
Así. :G - 0.;325 es el margen de contribuciÓn por litro simulado. Ahora. paral 
Icalcular el flujo d~ efect.ivo para el primer año. ten~mos que:1 
Ft (viAl, - G - D) (1 - T) + D 
1= ((253,000)(0.525) - 65,000 - 12,(00)(1- 0.15) + 12,000 
1= 59,451.25 
Por lo t.ant.o. el fiujo de d"ectivo para el primer año es de $59.451.25. D~ ~ste 
Imodo, repitIendo el proceso para los sIgUIentes nueve años, se obtIenen los valore si 
Isimulados para el volumen de ventas v el margen de contribución por litro: con lo si 
¡que se obtiene el flujo de efectivo respectivo y la TIR asociada. Los resultados se 
Ipueden observar en las tablas 2.1. 2.2 y 2.3. 
lAño l'(Z < zo) Zo 1'10. aleatorio 
1 (J.G398 fU (J 2J3.mm 
2 0.8413 1.00 280.000 
3 0.1151 -1.20 214.000 
4 0.9332 1.50 295.000 
5 0.0107 -2.30 181.000 
6 0.9987 3.00 340.000 
7 0.0005 -3.30 151.000 
8 0.6054 0.40 262.000 
9 0.9938 2.50 325,000 
10 0.3446 -0.40 238.000 
IT"bla 2.] Nllmcl'os alcato}'jQs llonnalcs 
(Volumen de ventas) 
2.7. Simulación de un sistema discreto 31 
lAño U(O,!) a, b )[0. aleatoriol 
11 0.500 0.35 0.70 0.025 
12 n9[]] n 3fl n zn n 55fl 
3 0.934 0.35 0.70 0.6771 
4 n 284 n 3fl n zn n 449 
5 0.904 0.35 0.70 0.6841 
6 0.301 0.35 0.70 0.455 
7 0.734 0.35 0.70 0.6071 
8 0.271 0.35 0.70 0.445 
9 0.778 0.35 0.70 0.622 
110 0.946 0.35 0.70 0.681 
Tabla 2.2 Números aleatorios uniformes 
(lVlargen de contribución) 
Tabla 2.3 Cálculo de la TIR (Flujo de efectivo) 
Año 
O 1 2 3 
Ventas 253,000.00 280,000.00 214,000.00 
Margen 0.525 0.665 0.676 
Ingresos 132,825.00 186,278.06 144,858.57 
Gastos de Op. 65,000.00 65,000.00 65,000.00 
Depreciación 12,000.00 12,000.00 12,000.00 
VAII 55,825.00 109,278.06 67,858.57 
Impuestos (15%) 8,373.75 16,391.71 10,178.78 
V tilidad neta 47,451.25 92,886.35 57,679.78 
Depreciación 12,000.00 12,000.00 12,000.00 
Flujo de efectivo -120,000.00 59,451.25 104,886.35 69,679.78 
4 
295,000.00 
0.449 
132,589.59 
65,000.00 
12,000.00 
55,589.59 
8,338.43 
47,251.15 
12,000.00 
59,251.15 
5 
181,000.00 
0.683 
123,765.61 
65,000.00 
12,000.00 
46,765.61 
7,014.84 
39,750.77 
12,000.00 
51,750.77 
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ID 
111 
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ID 
3 
III 
111 
Tabla 2.3 Cálculo de la TIR (continuación) 
Año 
6 7 8 9 
Ventas 340,000.00 151,000.00 262,000.00 325,000.00 
Margen 0.455 0.606 0.444 0.622 
Ingresos 154,811.74 91,622.77 116,532.73 202,235.88 
Gastos de Op. 65,000.00 65,000.00 65,000.00 65,000.00 
Depreciación 12,000.00 12,000.00 12,000.00 12,000.00 
UAII 77,811.74 14,622.77 39,532.73 125,235.88 
Impuestos (15%) 11,671.76 2,193.41 5,929.91 18,785.38 
Utilidad neta 66,139.98 12,429.35 33,602.82 106,450.49 
Depreciación 12,000.00 12,000.00 12,000.00 12,000.00 
Flujo de efectivo 78,139.98 24,429.35 45,602.82 118,450.49 
TIR 0.59 
10 
238,000.00 
0.681 
162,122.28 
65,000.00 
12,000.00 
85,122.28 
12,768.34