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Optimización Lineal para la Toma de Decisiones Autor: Marcos Singer Escuela de Administración Pontificia Universidad Católica de Chile Abril 2006 ii Contenidos Prefacio ................................................................................................................................... v Parte I. De la Estrategia al Álgebra y la Geometría ................................................................ 1 Capítulo 1 Optimización de la Estrategia......................................................................... 2 1.1 Estrategia Competitiva de una Central Frutícola .................................................... 2 1.2 Control de Gestión en una Corporación Minera ...................................................11 1.3 Planificación de Procesos de una Tesorería ..........................................................14 Capítulo 2 Optimización y Heurísticas...........................................................................20 2.1 Teoría de Elección Racional.................................................................................20 2.2 Activación Secuencial de Restricciones ...............................................................21 2.3 Definición de la Función Objetivo .......................................................................25 2.4 Interpretación de Cualitativa de Problemas ..........................................................27 Capítulo 3 Planificación Pública ....................................................................................30 3.1 Transporte Público................................................................................................30 3.2 Red de Salud Pública ............................................................................................34 Capítulo 4 Diseño de Mecanismos .................................................................................38 4.1 Mecanismos de compraventa................................................................................38 4.2 Intermediación Laboral.........................................................................................40 Ejercicios Resueltos Parte I ..................................................................................................48 Ejercicios Propuestos Parte I ................................................................................................71 Parte II. Modelación con Múltiples Variables ......................................................................76 Capítulo 5 Modelos Dinámicos ......................................................................................77 Capítulo 6 Combate contra el Narcotráfico ....................................................................80 6.1 Modelo de Decisión..............................................................................................80 6.2 Ejemplo Numérico................................................................................................82 6.3 Algunos Resultados ..............................................................................................83 6.4 Conclusiones y Recomendaciones........................................................................85 Capítulo 7 Gestión Logística ..........................................................................................87 7.1 El Problema de Transporte ...................................................................................87 7.2 Redes Dinámicas de Transporte ...........................................................................96 7.3 Logística de una Tienda de Departamentos ........................................................ 106 Capítulo 8 Gestión de Procesos Dinámicos.................................................................. 113 8.1 Producción de Acero ........................................................................................... 113 iii 8.2 Fusión de Aserraderos ........................................................................................ 117 Capítulo 9 Programación Lineal Estocástica................................................................ 129 9.1 Escenario Promedio versus Variables Contingentes .......................................... 129 9.2 Planificación de una Refinería Sujeta a Incertidumbre ...................................... 131 9.3 Gestión de Importación bajo Incertidumbre ....................................................... 133 Ejercicios Resueltos Parte II ............................................................................................... 137 Ejercicios Propuestos Parte II............................................................................................. 148 Parte III. Geometría Multidimensional............................................................................... 152 Capítulo 10 Los Elementos Geométricos y su Interpretación........................................ 153 10.1 Elementos de la Geometría Vectorial................................................................. 153 10.2 Interpretación de los Elementos Geométricos .................................................... 158 Capítulo 11 Análisis Envolvente de Datos..................................................................... 166 11.1 Desempeño Bidimensional ................................................................................. 166 11.2 Posicionamiento de Mercado.............................................................................. 169 11.3 Desempeño Multidimensional ............................................................................ 170 11.4 Ponderación de las Circunstancias...................................................................... 171 11.5 Evaluación del Desempeño ................................................................................. 173 11.6 Metas de Desempeño y Consistencia Histórica .................................................. 175 Capítulo 12 Geometría del Programa Lineal.................................................................. 177 12.1 El Poliedro Factible ............................................................................................ 177 12.2 Los Precios Sombra ............................................................................................ 186 Ejercicios Resueltos Parte III.............................................................................................. 191 Ejercicios Propuestos Parte III ............................................................................................ 203 Parte IV. Optimización con Múltiples Variables................................................................ 206 Capítulo 13 El Método Simplex..................................................................................... 207 13.1 Descripción Intuitiva del Método ....................................................................... 208 13.2 Aspectos Algebraicos del Método Simplex........................................................ 210 13.3 Representación Vectorial del Método Simplex .................................................. 221 Capítulo 14 Análisis Geométrico a Partir del Tableau................................................... 224 14.1 Poliedro de Seis Lados........................................................................................ 224 14.2 Pirámide de Base Cuadrada ................................................................................ 228 Capítulo 15 Interpretación Económica del Método Simplex ......................................... 235 15.1 Producción y Adquisiciones ............................................................................... 235 iv 15.2 Programa Comercial ........................................................................................... 236 15.3 Personal de un Hospital......................................................................................238 Ejercicios Resueltos Parte IV ............................................................................................. 247 Ejercicios Propuestos Parte IV ........................................................................................... 264 Conclusiones ....................................................................................................................... 267 Apéndice I Nociones de Geometría Analítica ............................................................... 270 Los Elementos ................................................................................................................ 270 El Área Factible .............................................................................................................. 271 Análisis de Sensibilidad.................................................................................................. 273 Apéndice II Uso del Solver de Microsoft Excel............................................................. 275 Definición del Modelo a Optimizar................................................................................ 275 Problemas y Soluciones .................................................................................................. 279 Recomendaciones y Comentarios ................................................................................... 281 Índice .................................................................................................................................. 282 Referencias ......................................................................................................................... 286 v Prefacio Quien no entiende su propia realid ad, tarde o temprano es sorprendido y sometido por las circunstancias. Según Albert Einstein, “Dios no juega a los dados sino más bien ha dictado leyes según las cuales la realidad se desarrolla. El afán de la Ciencia es descubrir estos pensamientos de Dios”. La principal manera en que se organiza el pensamiento científico es a través de modelos cuantitativos. Un modelo es una descripción simplificada de un fenómeno, en donde las relacionespor ejemplo de causalidadentre sus elementos están cuantificadas. Su objetivo es organizar la información empírica (Friedman, 1953), y deducir nuevo conocimiento utilizando la lógica y la matemática. El éxito de las empresas y las organizaciones tampoco es fruto de un juego de dados. Depende de que su administración se base en una comprensión cabal de las leyes que rigen su realidad. Las ciencias cuantitativas de la administración (management science en inglés 1) son las disciplinas que utilizan modelos cuantitativos para apoyar la toma de decisiones relacionadas con la dirección de las organizaciones. Surgió durante la 2ª Guerra Mundial como resultado del rol que tuvo el mundo científico en la conducción del ejército aliado. Mientras Adolfo Hitler se hacía asesorar por adivinos y astrólogos, Winston Churchill y Franklin D. Roosevelt se rodearon de los científicos de elite de la época (Blackett, 1948). El primer encargo del que se tiene registro, es la solicitud que Churchill le hizo al físico Patrick Blackettquien ganaría el Premio Nobel en 1948de evaluar la conveniencia de entregar apoyo aéreo a la campaña rusa en Alemania. El impacto que este y otros estudios tuvieron, muy al principio de la guerra, le deparó a las ciencia cuantitativa de la administración la credibilidad necesaria para influir en las toma de decisiones. Al terminar la guerra, muchos de los asesores científicos se abocaron al estudio teórico de los modelos matemáticos y a su aplicación a los problemas enfrentados por las empresas y las instituciones públicas (Dantzig, 2002). El rol del análisis matemático en la toma de decisiones puede entenderse mediante la Ilustración 0.1. La realidad muchas veces es compleja, y sólo puede ser comprendida si los datos que la describen son organizados en modelos. Los modelos traducen la realidad en conceptos comprensibles para quienes están tomando decisiones. Fenómeno Complejo Modelo Persona Conceptos DecisionesDatos Ilustración 0.1: Datos, Modelos y Decisiones Según Galileo Galilei (1564-1642), las matemáticas son el lenguaje de la Naturaleza. Cuando Nicolás Copérnico (1473-1543) intentó traducir la trayectoria que los planetas describían en cielo al lenguaje del álgebra, el resultado fue complicadas fórmulas algebraicas sin sentido aparente. Inexplicablemente, Marte, Júpiter y Saturno en ocasiones parecían detenerse y comenzaban a moverse en sentido contrario . Cuando Copérnico 1 En inglés management science se refiere exclusivamente a las ciencias cuantitativas de la administración. vi cambió el origen del sistema de ecuaciones desde la tierra (sistema geocéntrico) al sol (sistema heliocéntrico), las ecuaciones revelaron un mensaje sencillo y natural: todos los planetas, incluida la Tierra, describen órbitas circulares alrededor del sol2. Así, probó que era incorrecto el dogma de que la tierra era el centro inmóvil del universo. El lenguaje de las matemáticas también ayuda a revelar nuevos aspectos de la realidad de la realidad económica. Consideremos el problema de una tienda de departamentos que debe determinar el nivel óptimo de inventario, lo que equivale a definir el tamaño de la orden de productos solicitada a sus proveedores. Tal como lo muestra la Ilustración 0.2, la descripción del problema pasa por sucesivos niveles de abstracción. Un primer nivel es la descripción verbal de la realidad observada. La descripción debe ser precisa y concisa, es decir, no debe confundir el cómo son las cosas con el cómo deberían ser, y debe diferenciar cuáles elementos son esenciales y cuáles no. El siguiente nivel de abstracción es gráfico, que representa el comportamiento del fenómeno mediante diagramas de estado y otras herramientas gráficas. Finalmente, el nivel algebraico traduce la descripción gráfica a expresiones matemáticas, susceptibles de ser manipuladas por el álgebra, el cálculo diferencial, o cualquier otro instrumento matemático. Nivel verbal Nivel algebraico Q AD h * = 2 Tamaño de la orden Q Se ordena una cantidad Q que disminuye linealmente según la demanda ... consumoLote Q Inventario Inventario Tiempo Intervalo Realidad observada M ayor A bstracción M ay or R ea lis m o Nivel gráfico Ilustración 0.2: Grados de Abstracción de la Planificación de Inventarios Mientras más abstracta es la descripción, mayor es su poder de deducción. En la Ilustración 0.2, el nivel algebraico permite utilizar la condición de primer ordenderivar e igualar a cero la función de costopara deducir la cantidad óptima de inventario que debe manejar la firma. Una vez descubierto, el nuevo conocimiento debe traducirse a los niveles de menor abstracción y de mayor realismo. Sólo cuando la deducción matemática ha sido interpretada a la realidad concreta, se hace útil para apoyar las decisiones (Greenberg, 1993). 2 Observaciones más precisas ajustaron las órbitas a elipses. vii El objetivo de este texto es realizar el ejercicio de abstracción-deducción- interpretación de la Ilustración 0.2 para un gran conjunto de problemas que enfrentan empresas y organizaciones. En la Parte I estudiaremos problemas relativamente sencillos, para los cuales es suficiente llegar al nivel gráfico de abstracción. En la Parte II presentaremos problemas más complejos, que requieren de una descripción algebraica. La Parte III presenta la geometría vectorial con la que resolveremos los problemas expresados algebraicamente. Finalmente la Parte IV muestra el método de resolución de problemas complejos, y cómo se interpretan sus resultados en el mundo concreto. 1 Parte I. De la Estrategia al Álgebra y la Geometría Un gran número de problemas de administración de empresas,públicas y privadas, pueden resolverse con el apoyo de modelos denominados de programación matemática. Para ello es necesario abstraer del problema sus parámetros y variables de decisión. Los parámetros son los datos que se obtiene de la realidad concreta, y cuyos valores son exógenos (de origen externo) al modelo. Las variables cuantifican las decisiones a ser tomadas, y son endógenas (de origen interno), es decir, son generadas por el modelo. La función objetivolo que se quiere hacerse expresa mediante una expresión aritmética, de parámetros y variables, que debe ser maximizada o minimizada. El valor que pueden tomar las variableslo que se puede hacerestá condicionado por restricciones, que también son expresiones aritméticas de parámetros y variables. Cuando las expresiones aritméticas son lineales, es decir, las variables de decisión están en potencia de cero o de uno, el modelo se denomina de programación lineal. En general modelaremos y resolveremos problemas lineales; sólo excepcionalmente estudiaremos problemas no- lineales, como extensión de los primeros. La descripción del problema en términos de su función objetivo y restricciones permite utilizar la geometría para deducir su solución óptima, y para entender cómo la afectan los cambios en las condiciones del problema. En el Capítulo 1 mostramos los primeros ejemplos de este razonamiento por abstracción-deducción-interpretación con el cual abordaremos los problemas de la administración de empresas. En el Capítulo 2 discutimos las falencias de la intuición en el momento de tomar decisiones, y cómo podemos afinarla con la ayuda de la modelación matemática. En el Capítulo 3 mostramos ejemplos en que la programación lineal apoya la resolución de dilemas sociales. En el Capítulo 4 describimos la aplicación de la optimización matemática a la fijación de precios y a la evaluación de la intermediación laboral. 2 Capítulo 1 Optimización de la Estrategia 1.1 Estrategia Competitiva de una Central Frutícola La correcta elección de la estrategia competitiva es crucial para el éxito de la empresa. Según Stoelhorst & van Raaij (2004), tal decisión puede entenderse en el contexto de diferentes teorías. De acuerdo con la más tradicional, la teoría neoclásica de la firma, los mercados tienden a la competencia perfecta. Las empresas no pueden influir en los precios, y no tienen posibilidad de diferenciación. Los recursos son divisibles y móviles, la información es pública y las transacciones son expeditas. Varias décadas atrás estos supuestos parecían exageradamente simplistas. Hoy, la globalización de los mercados y de los flujos de capital, así como la masificación de Internet, están llevando a varias industrias al escenario conjeturado. Bajo competencia perfecta, la mejor estrategia competitiva es la que maximiza la eficiencia de la firma, lo que implica generar el máximo valor económico consumiendo la menor cantidad de recursos. Para ello es necesario ofrecer, dados los precios actuales, la mejor combinación (mix en inglés) de productos y servicios en el corto plazo, y minimizar los costos de producción transformando y localizando de manera óptima los insumos y recursos. También es necesario ajustar la capacidad de producción a largo plazo, dada la estimación de precios futuros y las oportunidades de mercado. Tanto en su origen como en su posterior desarrollo, la programación lineal se enfocó en los problemas recién descritos, pues son de gran relevancia económica, y la mayoría de ellos son suficientemente estructurados como para poder ser descritos y resueltos con herramientas matemáticas3. A modo de ejemplo, supongamos que una central frutícola (packing en inglés ) debe determinar la cantidad a procesar de peras y de uvas, con el objeto de maximizar sus ingresos (Lowe & Preckel, 2004). Su disponibilidad mensual máxima de uvas es 50 toneladas métricas [Tm]. La capacidad de la planta es de 120 horas al mes. Cada tonelada de peras requiere de una hora de planta mientras que cada tonelada de uvas requiere de dos horas. Dada la demanda que enfrenta, puede vender un máximo de 60 [Tm] de peras al mes. Las peras se venden a $20 mil la tonelada y las uvas se venden $30 mil la tonelada. Para traducir al lenguaje de las matemáticas este problema de elección de la estrategia competitiva, debemos primero identificar variables, parámetros, función objetivo y restricciones. Las variables son: los ingresos z (medidos en [M$])4, la cantidad de peras p a procesar (expresadas en toneladas métricas [Tm]) y la cantidad de uvas u a procesar (expresadas en [Tm] ).5 Algunos de los parámetros son el precio de las peras Pp = 20 y el precio de las uvas Pu = 30, expresados en miles de $ por tonelada métrica [M$/Tm] .6 Con las variables de decisión y los parámetros definimos la función objetivo como la maximización de z [M$] = Pp [M$/Tm] ⋅ p [Tm] + Pu [M$/Tm] ⋅ u [Tm]. El espacio factible está definido por las restriccio nes de disponibilidad de uvas, de capacidad producción y de demanda de peras. Estas limitaciones corresponden a la cadena de valor de Porter (1985) 3 Singer & Donoso (2006c) muestra que la programación lineal también puede orientar la estrategia en el contexto de la teoría del posicionamiento (Porter, 1981) y en la teoría basada en los recursos (Peteraf, 1993). 4 En general la variable a maximizar o minimizar se llamará z. 5 Escribiremos las variables con minúscula cursiva, y a veces con su unidad de medida. 6 Escribiremos los parámetros con letra mayúscula no-cursiva, y a veces con su unidad de medida. 3 de la Ilustración 1.1, según la cual la firma agrega valor desde proveedores a clientes, restringida por la capacidad de cada una de sus unidades funcionales o de línea: Adquisiciones, Operaciones y Ventas. Se llaman “unidades funcionales” porque realizan una función específica de agregación de valor, como veremos con más detalle luego en la Sección 7.3. Adquisiciones Operaciones Ventas M argen ClientesProveedores Apoyo Ilustración 1.1: Cadena del Valor (de Porter) de la Central Frutícola Los antecedentes de este problema de decisión se resumen en la siguiente formulación, a la cual le agregamos las restricciones de no-negatividad de peras uvas. Maximizar: z [M$] = 20 [M$/Tm] ⋅ p [Tm] + 30 [M$/Tm] ⋅ u [Tm] Sujeto a: p [Tm] ≤ 60 [Tm] Demanda de peras 1 [h/Tm] ⋅ p [Tm] + 2 [h/Tm] ⋅ u [Tm] ≤ 120 [h] Capacidad de planta u [Tm] ≤ 50 [Tm] Disponibilidad de uvas p [Tm] ≥ 0 [Tm] No-negatividad peras u [Tm] ≥ 0 [Tm] No-negatividad uvas Ejercicio 1: Restricciones de No-negatividad Cualquier valor negativo de p o de u reduce la función objetivo que se está tratando de maximizar. Por ejemplo, si p = -1 se pierden M$30 de ingresos. Entonces, ¿es necesario hacer explícitas las restricciones de no-negatividad, o éstas se cumplirán automá ticamente? Respuesta: si u = -1 se “liberan” 2 horas del recurso planta, lo que permite producir 2 toneladas más de peras y con ello ganar 2 ⋅ M$20 = M$40. Naturalmente, no existen peras negativas, por lo que, en principio, debería impedirse que u tome un valor menor que cero. Sin embargo, la producción de peras está restringida por p ≤ 60, por lo que hacer u negativa no produce beneficios. Por lo tanto, en este caso las restricciones de no-negatividad se cumplirán automáticamente. El aumento del uso de la capacidad de planta cuando aumenta unitariamente la cantidad de uvas procesadas corresponde al costo unitario de la uva. En este caso es 2 [h/Tm]: producir una tonelada adicional de uvas consume 2 horas de planta. El inverso del costo unitario de la uva es la productividad de la planta en términos de uva: (2 [h/Tm])-1 = (½ [Tm/h]). La productividad es la cantidad de toneladas de uvas que se pueden producir en una hora. Por lo tanto, aumentar la productividad de un recurso respecto de un producto es equivalente a disminuirsu costo unitario en la magnitud inversa. 4 1.1.1 Resolución Gráfica del Problema El problema de decisión se puede graficar en un plano de la Ilustración 1.2, con ejes de coordenadas son p y u. Representamos la decisión p = 10 y u = 20 mediante el punto (10,20). La ecuación de la forma A p + B u + C = 0 es una recta cuya pendiente -A/B indica la relación de transacción (tradeoff en inglés) entre las variables p y u. La ecuación de utilización máxima de la planta 1 p [Tm] + 2 u = 120 tiene una pendiente -½, que implica que por cada p adicional, se debe renunciar a ½ de u. Las restricciones de desigualdad son inecuaciones o semiplanos (mitades del plano). La holgura de un cierto punto respecto a una restricción se obtiene de la diferencia entre el término libre de la desigualdad del tipo “≤” y el valor del punto en la expresión lineal. El vector (10,20) tiene holgura 120 – (1 ⋅ 10 + 2 ⋅ 20) = 70 respecto de la capacidad de la planta. Cuando la desigualdad representa la disponibilidad de un recurso, en nuestro ejemplo la planta frutícola, la holgura mide la ociosidad del recurso; producir p = 10 y u = 20 genera una ociosidad de 70 horas de planta. Geométricamente, la holgura está asociada a la distancia del punto a la recta de la desigua ldad7. El área factible corresponde a la intersección de los semiplanos definidos por cada una de las cinco restricciones del problema. El Apéndice I al final del texto describe en detalle la representación geométrica de los diferentes elementos. La función objetivo es una familia de rectas paralelas de la forma z = 20 p + 30 u, todas con la misma pendiente -2/3. Su posición está definida por z; a mayor z, más lejos está la recta del origen. Para graficar la función objetivo, primero le damos un valor cualquiera al término libre z. Con ello determinamos una isocuanta o curva de indiferencia, es decir, un conjunto de puntos cuya valoración para el individuo es idéntica. Para maximizar z, desplazamos la isocuanta en forma paralela en la dirección de incremento z. El punto óptimo es el que pertenece a la isocuanta con mayor z, y que además es factible, es decir, satisface todas las restricciones. La Ilustración 1.2 muestra dos isocuantas: la de z = 1.200 y la de z = 2.100. El punto óptimo es: p = 60 y u = 30, con z = 60 ⋅ $20 + 30 ⋅ $30 = $2.100. 20 40 60 80 100 60 80 20 120 140 p u p + 2 u ≤ 120 p + 2 u ≤ 120 p ≤ 60p ≤ 600 ≤ u 0 ≤ p0 ≤ p u ≤ 50 160 2.100 = 20 p + 30 u 2.100 = 20 p + 30 u Óptimo (60,30)Óptimo (60,30) 1.200 = 20 p + 30 u 1.200 = 20 p + 30 u Ilustración 1.2: Resolución Gráfica del Problema de la Central Frutícola 7 Se debe “normalizar” o multiplicar por un factor, como veremos más adelante. 5 Un punto interior del área factible no pertenece a la frontera de ninguna restricción, es decir, tiene todas sus holguras estrictamente positivas. Al no estar restringido, a partir de él existe libertad para moverse en cualquier dirección, en particular en la que mejora la función objetivo. Si siempre existe un vecino mejor, entonces un punto interior no puede ser óptimo, de lo cual concluimos que, en problemas lineales, siempre el óptimo está en la frontera de lo factible. Una restricción activa en el óptimo es satisfecha con igualdad estricta, es decir, su holgura es igual a cero. En la Ilustración 1.2, las restricciones activas son la de capacidad de planta y la de venta máxima de peras. Se le llama “activa” porque está restringiendo activa o eficazmente la función objetivo. Las restricciones no-activas participan de manera pasiva en la optimización, si bien pueden activarse si cambia la función objetivo y con ello la solución óptima del problema. Una restricción redundante es aquella que no modifica el área factible. Otras restricciones aseguran su cumplimiento, por lo que si éstas se relajan o desaparecen, la restricción puede dejar de ser redundante. Por tal motivo, eliminamos una restricción redundante sólo cuando tenemos certeza de que las otras restricciones del problema no serán modificadas. 1.1.2 Análisis de Sensibilidad La resolución del problema de la central frutícola es un primer ejemplo del ejercicio de abstracción-deducción- interpretación que describíamos en el prefacio de este texto. Al expresar conceptos concretos de la administración de empresas como entes abstractos, podemos deducir la solución óptima utilizando el álgebra y la geometría euclidiana8. Hasta el momento hemos utilizado las analogías de la Tabla 1.1; más adelante presentaremos otras. Tabla 1.1: Conceptos Análogos de la Estrategia, Álgebra y Geometría Administración Álgebra Geometría Euclidiana Decisión Vector Punto Restricción de igualdad Ecuación Recta Restricción de desigualdad Inecuación Semiplano Decisiones factibles Sistema de inecuaciones Intersección de semiplanos Relación de transacción Razón entre ponderadores Pendiente Ociosidad Holgura Distancia de punto a recta La analogía entre conceptos de la administración, el álgebra y la geometría también también permite realizar un análisis de sensibilidad, esto es, evaluar cómo afectan a la solución óptima cambios en las condiciones del problema. Sensibilidad al Precio En un clásico artículo, Alchian (1950) pone en duda la idoneidad de los modelos que maximizan las utilidades de la firma. Señala que , en presencia de incertidumbre, no tiene sentido seleccionar una cierta acción óptima, pues z no será único, sino más bien una distribución de resultados. Para rebatir esta aprensión acerca de la utilidad de la 8 La geometría euclidiana estudia las propiedades de las figuras planas. 6 programación lineal, consideremos una de las principales fuentes de incertidumbre para la planificación de la central frutícola : los precios internacionales de la fruta. Asumiendo que el precio de las peras no cambia, mientras el precio de las uvas esté entre 0 y 40 [M$], la decisión óptima sigue siendo p = 60 y u = 30. El precio de 40 [M$] es un parámetro umbral a partir del cual la decisión óptima cambia a p = 20 y u = 50. Por lo tanto, aunque el resultado z es incierto, en un amplio rango de precios la decisión óptima es fija. Si ambos precios pueden variar, la decisión de producción depende de la pendiente de la función objetivo -(precio pera ÷ precio uva), es decir, de los precios relativos de las peras y uvas. Si la pendiente es igual a -½ entonces todo el trazo entre (20, 50) y (60, 30) es óptimo. Si es mayor que -½ (es decir, menos negativa) el óptimo es (20, 50); si es menor que -½ entonces (60, 30) es óptimo. En resumen, la incertidumbre hace que las consecuencias de las decisiones sean muchas veces imprevisibles. En el caso de la central frutícola, el resultado z es una variable aleatoria. Aun así es posible utilizar la programación lineal para encontrar solución óptima, sobre todo si la variación de los precios está dentro de ciertos rangos 9. Análisis de Restricciones Una vez que hemos tomado la decisión óptima dado el área factible del problema, podemos mejorar la función objetivo relajando las restricciones activas. Relajar una restricción que representa la disponibilidad limitada de algún recurso equivale a adquirir más de ese recurso, como por ejemplo ampliar la capacidad de la planta, o contratar más personal. Invertir en el recurso implica inmovilizar un cierto capital y, por lo tanto, asumir un cierto riesgo, lo cual es condición necesariapero no suficientepara obtener mayor rentabilidad. El costo de invertir en el recurso es usualmente fácil de estimar: basta con cotizar su costo de mercado. Nosotros nos abocaremos a estimar los beneficios. Calcularemos el beneficio marginal de relajar una cierta restricción, manteniendo fijas las otras restricciones. Relajamos una restricción con el signo ≤ cuando aumentamos el valor del término libre, y la ajustamos cuandodisminuimos dicho valor. Relajamos una restricción con el signo ≥ disminuyendo el valor de la constante del lado derecho, y la ajustamos aumentando tal valor. Desde el punto de vista geométrico, modificar el lado derecho de una restricción equivale a desplazarla en forma paralela, tal como lo muestra la Ilustración 1.3. Si el desplazamiento aumenta el área factible, el valor de la función objetivo puede mejorar o permanecer constante. Si el área disminuye, dicho valor puede empeorar o permanecer constante. En el caso de la maximización, relajar una restricción producirá un beneficio marginal positivo sólo si tal restricción es activa. Si la restricción no es activa, esto es, no está determinando el punto óptimo, modificarla marginalmente no tiene efecto. 9 En el Capítulo 9 estudiaremos problemas en los que deben tomarse distintas decisiones, dependiendo del escenario incierto que enfrenta la empresa. 7 20 40 60 80 100 60 80 20 120 140 p u p + 2 u ≤ 120 p ≤ 60 0 ≤ u 0 ≤ p0 ≤ p u ≤ 50 160 Nuevo óptimo (60;30,5) p + 2 u ≤ 121 Disponibilidad uvas D em anda peras Capacidad planta Ilustración 1.3: Interpretación Geométrica del Cambio Marginal En el caso de la central frutícola, el ingreso crecerá si aumentamos la capacidad de planta, o si incrementamos la venta máxima de peras. Subir la capacidad de planta de 120 a 121 [h] aumenta la utilidad de 2.100 a 2.115 [M$]. Es decir, el beneficio marginal de la restricción de capacidad es de 15 [M$]. La conveniencia de esta acción depende del costo para la empresa de proveerse del recurso adicional, es decir, de contratar una hora extra de planta. Si es menor que 15 [M$], entonces es conveniente ampliar la capacidad. La restricción u ≤ 50 no es activa. En el óptimo u = 30, con lo cual su holgura es 20. Relajar la restricción a u ≤ 51 no tiene efecto en la función objetivo, así es que el cambio marginal es cero. Otra línea de acción para la central frutícola es deshacerse de recursos que están subutilizados. La capacidad de proveerse de 50 [Tm] de uvas es resultado de, por ejemplo, una inversión en viñedos. Dada su ociosidad, la frutícola podría vender las plantaciones que no necesita, lo que significa contraer la restricción u = 50 a u = 30, tal como lo muestra la Ilustración 1.4. Con ello, por (60, 30) pasarían tres restricciones, lo que en términos geométricos lo convierte en un punto degenerado. En términos algebraicos, un punto es degenerado cuando activa tres o más restricciones, lo que equivale a tener un sistema sobredeterminado de ecuaciones en dos incógnitas, p y u, con tres o más ecuaciones. En términos estratégicos, producir 60 peras y 30 uvas se vuelve una decisión eficiente, porque no desperdicia capacidad ociosa de ningún recurso. 8 20 40 60 80 100 60 80 20 120 140 p u p + 2 u ≤ 120 p ≤ 60p ≤ 600 ≤ u 0 ≤ p0 ≤ p u ≤ 50 160 u ≤ 30u ≤ 30 Ilustración 1.4: Desinversión en Capacidad de Provisión de Uvas La eficiencia no necesariamente es ventajosa. Si los precios de las peras y uvas llegan al umbral calculado en la Sección 1.1.2, por ejemplo a 20 [M$] y a 41 [M$], la empresa ya no podrá tomar la alternativa p = 20 y u = 60, lo cual significará una pérdida de ingreso. La frutícula también enfrentará dificultades desea crecer. A diferencia de la Ilustración 1.3, ya no sería suficiente ampliar la capacidad de la planta. Deberá simultáneamente relajar la restricción de venta, o la de adquisiciones, lo cual agrega complejidad al crecimiento. Concluimos con este ejemplo que, usualmente, la eficiencia se contrapone con la flexibilidad (Adler, Goldoftas & Levine, 1999; Safizadeh, Ritzman & Mallick, 2000). Si bien el punto (60, 30) de la Ilustración 1.4 es eficiente, impide a la empresa reaccionar ante cambios de precios u oportunidades de crecimiento. 1.1.3 Implementación en Planilla de Cálculo Existe un número de paquetes de software de optimización lineal y no - linealAMPL, CPLEX, GAMS, LINDOorientados a diferentes nichos de usuarios (OR/MS Today, junio 2005). Nosotros usaremos el Solver de Microsoft Excel, que viene incluido en la versión estándar de la planilla de cálculo, dada su alta difusión en el medio empresarial (Leon, Przasnysky& Seal, 1997). La Ilustración 1.5 muestra la definición del problema de la frutícola en Microsoft Excel. Las columnas de la izquierda agrupan parámetros, y las de la derecha a las variables de decisión. Las columnas del centro definen las restricciones haciendo referencia a parámetros y variables, tal como lo muestran las flechas obtenidas con la función de “Auditoría de fórmulas” de Excel10. Por ejemplo, la celda E7 referencia B7, B8, J3 y J4. Las primeras cuatro filas incluyen parámetros y restricciones de la unidad funcional de ventas; las filas 6 a la 9 incluyen las de la unidad funcional de Operaciones; las filas 11 y 12 incluyen las de la unidad funcional de Adquisiciones. 10 Para visualizar las flechas de referencia, seleccione en Excel “Herramientas”, luego “Auditoría de fórmulas”. Con “Rastrear precedentes” se señalan las celdas que influyen en la celda auditada. Con “Rastrear dependientes” se señalan las celdas que son influidas por la celda auditada. Con “Quitar todas las flechas” se borran las flechas de referencia. 9 Ilustración 1.5: Definición del Problema de la Frutícola en Excel La Ilustración 1.6 muestra el editor del Solver de Excel, que maximiza la celda objetivo J2.11 Las variables de decisión son la matriz J3:J4. Las restricciones son E2 = G2, E7 = G7 y E12 = G12. La restricción de no-negatividad se define seleccionando el botón “Opciones…”, y luego activando “Asumir no negativos”. Ilustración 1.6: Editor del Solver de Excel En caso de solicitarse, se genera el “Informe de Respuestas” de la Tabla 1.2 que muestra el resultado de la optimización. También indica el valor final de cada una de las restricciones, señalando si ellas son activas (“obligatorias”) o no activas (“opcionales”) y su holgura (“divergencia”). 11 La notación “$” significa que la referencia no puede modificarse, a menos que el usuario lo haga explícitamente. Por claridad, nosotros omitiremos “$”. 10 Tabla 1.2: Informe de respuestas Celda objetivo (Máximo) Celda Nombre Valor original Valor final $J$2 Ingresos [M$] 0 2.100 Celdas cambiantes Celda Nombre Valor original Valor final $J$3 Peras [Tm] 0 60 $J$4 Uvas [Tm] 0 30 Restricciones Celda Nombre Valor de la celda fórmula Estado Divergencia $E$2 Peras 60 $E$2<=$G$2 Obligatorio 0 $E$12 Uvas 30 $E$12<=$G$12 Opcional 20 $E$7 Peras/Uvas 120 $E$7<=$G$7 Obligatorio 0 El Apéndice II describe en detalle el uso del Solver de Excel (Fylstra et al., 1998). También señala una serie de errores comunes operación, y la manera de solucionarlos, así como varias recomendaciones y buenas prácticas de uso. Caso Computacional 1: Central Frutícola Implemente en Microsoft Excel la optimización de la Ilustración 1.5 y obtenga los resultados de la Tabla 1.2. Calcule cuál es el beneficio marginal de la capacidad de planta relajando la restricción correspondiente, como lo muestra la Ilustración 1.3. Verifique que al contraer la restricción de disponibilidad de uvas como en la Ilustración 1.4, se pierde una oportunidad de si sube el precio de la uva. 1.1.4 La Modelación para el Control de Gestión El mejoramiento del desempeño de las organizaciones está basado en un adecuado control de gestión. La evaluación sistemática revela cuán lejos está la organización de sus metas, y si las decisiones tomadas en el pasado para potenciar su funcionamiento han sido efectivas. Para ello deben seleccionarse los indicadores clave de desempeño (key performance indicators en inglés, o KPI) que mejor describan su funcionamiento. Elegir muy pocos indicadores no permite formarse una opiniónsuficientemente descriptiva; seleccionar demasiados indicadores diluye el esfuerzo de evaluación y aumenta innecesariamente el costo del monitoreo. Una manera de seleccionar los indicadores clave de desempeño es modelar el proceso de generación de valor de la organización como un problema de maximización de alguna función de utilidad sujeta a un conjunto de restricciones. Si el modelo está bien planteado, todos los parámetros involucrados son importantes, pues o bien definen la función de utilidad, o bien la podrían restringir si participan de alguna restricción activa. Los tres paneles en las columnas A y B de la Ilustración 1.5 identifican cuáles son los indicadores relevantes de las tres unidades funcionales de la central frutícola. Para la unidad de Operaciones, por ejemplo, los indicadores clave son los costos unitarios (o productividad) 11 de cada tipo de fruta, y la disponibilidad de planta. Dado que la restricción que conforman estos parámetros es activa en el óptimo, los tres indicadores son claves para la empresa. En la medida que la actividad de la organización es más compleja, mayor número de condicionantes afectan su desempeño, y por ende mayor es el riesgo de que se multipliquen los indicadores de gestión. Al igual que en ejemplos más sencillos, la modelación lineal puede jerarquizarlos, tal como veremos en el ejemplo a continuación. 1.2 Control de Gestión en una Corporación Minera Una de las herramientas de control de gestión que más difusión han tenido es el Cuadro de Mando Integral o Balanced Scorecard (Kaplan & Norton, 1996; Nagar & Rajan, 2005). Incluye un conjunto de indicadores clave de desempeño ordenados según cuatro perspectivas: • de interés de los accionistas o dueño de la empresa, • de interés de los clientes, • relacionados con los procesos internos, • relacionados con la proyección de futuro de la organización. Supongamos que una empresa de minería que produce cobre ha diseñado el siguiente Balanced Scorecard para cada una de sus divisio nes que contiene los siguientes indicadores: Tabla 1.3: Significado de los Indicadores de Gestión Perspectiva Indicador Unidad Descripción Costo producción $/ton Costo en US$ de la tonelada de cobre fino Del accionista Capacidad máxima M ton Máxima producción en miles de toneladas Pureza % cobre Porcentaje de cobre en cada tonelada producida De los clientes Rapidez entrega días Días en que se demora en satisfacer un pedido Contaminantes m3/M ton Emisiones a la atmósfera por cada mil tonelada producida Procesos internos Accidentes n°/M ton Accidentes personales por cada mil tonelada producida De futuro Capacidad mínima % Porcentaje de la capacidad máxima en que se puede reducir la producción sin modificar el costo $/ton Clasificamos el indicador de capacidad mínima como de futuro porque le da flexibilidad a la organización para contraer su producción si es necesario. Para lograr tal flexibilidad, las empresas muchas veces reducen el personal fijo (head-count en inglés) subcontratando parte de sus operaciones a empresas proveedoras. 12 Suponga que para cada una de sus divisiones productivas de la corporación se conocen los indicadores de la Tabla 1.4 a continuación12: Tabla 1.4: Valor de los Indicadores de las Divisiones Perspectiva Indicador Choqui Soldado Costo producción 8 12 Del accionista Capacidad máxima 150 80 Pureza 96 90 De los clientes Rapidez entrega 10 14 Contaminantes 5 15 Procesos internos Accidentes 1 1 De futuro Capacidad mínima 80 50 La corporación debe determinar las metas de producción de sus dos divisiones. Cualquiera sea dicho volumen, debe cumplir las siguientes condiciones: • produc ir en total a lo menos 100 mil toneladas, dadas las ventas que ya están comprometidas, • entregar una pureza promedio de un 93% o más, • lograr tiempo promedio de demora de la entrega de a lo más 12 días, • el máximo de emisiones totales contaminantes es 1.500 m3, • no deben haber más de 220 accidentes en total, • ninguna de las divisiones puede reducir su producción por debajo de su capacidad mínima. La volatilidad de los precios del cobre es muy alta. En pocos meses ha pasado desde precios inferiores a 0,7 [US$/libra] a precios superiores a 3 [US$/libra]. Por ello, realizaremos la planificación estratégica en función al escenario de precios internacionales. 1.2.1 Escenario de Precios Altos Supongamos que los precios son altos y que por ello el margen por cada tonelada de cobre vendida, independientemente de la división de la que proviene, es de 2 [$/ton]. En tal caso, el objetivo de la corporación es maximizar el margen de ventas, lo que se traduce en el siguiente programa lineal de optimización. Variables de decisión z : margen por ventas (en $) c : cantidad producida por Choqui (miles de toneladas) s : cantidad producida por Soldado (miles de toneladas) Maximizar: z = 2.000 c + 2.000 s Restricciones: c + s ≥ 100 Producción mínima 12 Todos los valores son ilustrativos. En la práctica la pureza del cobre puede ser 99,9999%. 13 0,96 c + 0,9 s ≥ 0,93 (c + s) Pureza 10 c + 14 s ≤ 12 (c + s) Rapidez entrega 5 c + 15 s ≤ 1500 Contaminación c + s ≤ 220 Accidentes c ≤ 150; s ≤ 80 Capacidad máxima c ≥ 30; s ≥ 40 Capacidad mínima La restricc ión de pureza se simplifica a -c + s ≤ 0. La restricción de rapidez entrega se simplifica de igual manera. La Ilustración 1.7 muestra la representación gráfica del problema, cuya solución óptima es (150, 50), con un margen de ventas de $400.000. 10080 120 140 160604020 20 40 60 80 100 Pu rez a Accidentes C apacidad C hoqui Capacidad Soldado Pu rez a Emisiones Producci ón M ínima Personal Fijo C hoqui Personal Fijo Soldado Maximizar ventas Miles de Toneladas Choqui M ile s de T on el ad as S ol da do Ra pid ez Ilustración 1.7: Determinación de Producción de las Divisiones Con este escenario de precios, podemos evaluar la inversión descrita por el Ejercicio 2 a continuación. Ejercicio 2: Evaluación de Inversión Medioambiental Suponga que se plantea un proyecto que reduce las emisiones de la división Choqui de 5 [m3/M ton] a 3 [m3 /M ton]. ¿Es conveniente este proyecto? ¿Está sobredimensionado? ¿Cuál es el máximo costo que puede tener el proyecto? Respuesta: la restricción de contaminación pasa de 5 c + 15 s ≤ 1500 a 3 c + 15 s ≤ 1500. El nuevo óptimo es (150,70), en donde se activan las restricciones de capacidad de Choqui y de accidentes de la corporación. También se activa la nueva restricción de emisiones, así es que el proyecto no está sobredimensionado, pues no se produce capacidad ociosa. El nuevo margen es de $440.000, y por lo tanto la disposición a pagar por el proyecto es $40.000. La optimización lineal permite distinguir cuáles indicadores de la Tabla 1.4 son prioritarios. Dadas las restricciones activas en el óptimo, la capacidad máxima de Choqui y las 14 emisiones contaminantes de ambas divisiones son claves para la generación de valor. De realizarse el proyecto medioambiental, también serían importantes los indicadores de accidentes. 1.2.2 Escenario de Precios Bajos Supongamos ahora que los precios del metal bajan ostensiblemente, así es que el objetivo de la corporación es minimizar sus costos de producción. En tal caso la función objetivo pasa a ser z = 8 c + 12 s, y el óptimo es (60, 40), con un costo de $960.000. Ejercicio 3: Evaluación de Inversión de Pureza del Cobre Suponga el costo de producción de Choqui es 12 [$/ton] y el de Soldado es 8 [$/ton] . ¿Cuál es el óptimo de producción? ¿Conviene aumentar la pureza del cobre de Soldado desde 90% a 96%? Respuesta: el óptimo pasa a ser (50,50) con un valor de $1.000.000. En esta nueva situación de costos, aumentar la pureza de Soldado no tiene efecto, porque la restricción de rapidez de entrega sigue limitando el área factible.De lo anterior podemos deducir cuáles indicadores de la Tabla 1.4 son prioritarios en este escenario de precios bajos. Primero, los costos de producción, porque determinan el punto óptimo de producción. En tanto el costo de Soldado es mayor que el de Choqui, también es crucial la capacidad mínima de producción de Soldado. Si el costo de Choqui supera al de Soldado, entonces son relevantes los indicadores de pureza y de rapidez de ambas divisiones. 1.3 Planificación de Procesos de una Tesorería Un proceso es una cadena de actividades que va transformando insumos en productos o servicios, con el objeto de satisfacer los requerimientos de un cliente. Cada actividad es como una caja negra (Von Bertalanffy, 1950): se caracteriza por sus flujos de entrada (input en inglés), sus flujos de salida (output en inglés), y por los recursos que utiliza. La manera en que transforma las entradas en salidas no es relevante para el análisis. Uno de los propósitos de la gestión de procesos es optimizar la interacción de las actividades y el uso de los recursos, de manera de maximizar el valor agregado. El análisis de procesos suele utilizar una representación gráfica llamada diagrama de flujo, que muestra las actividades más importantes del sistema, y los flujos que las conectan (Hunt, 1996). El diagrama de flujo facilita el planteamiento del programa de optimización, porque divide un sistema complejo en sus distintos componentes, cuya lógica individual se puede describir con expresiones matemáticas más sencillas. 1.3.1 Modelo Simplificado de Tesorería La tesorería del estado es la instituc ión encargada de recaudar las deudas que tienen los ciudadanos con el aparato público. El diagrama de flujo de la Ilustración 1.8 muestra su funcionamiento de manera simplificada. Las deudas son de dos tipos: F-21 con un valor 15 unitario de $10.000 y F-29 con un valor unitario de $15.000. 13 La cobranza consta de una 1ª etapa y de una 2ª etapa, las que deben llevarse a cabo en forma secuencial. Para ello se dispone de 2 recaudadores y 1 abogado, que trabajan 336 horas al mes cada uno. La cartera actual es de 30 deudas F-29 y 50 de F-21, y se exige que el tiempo de abogado dedicado a la 1ª etapa no sea superior al dedicado en la 2ª etapa. 1ª Etapa 2ª Etapa F21 F29 R ec au da do r A bo ga do Ilustración 1.8: Cobranza en una Tesorería La Tabla 1.5 muestra las horas de trabajo que un recaudador y el abogado dedican a cada tipo de deuda en la primera y la segunda etapa de la cobranza. Tabla 1.5: Horas de Trabajo de Recaudadores y Abogado por Tipo de Deuda 1ª etapa 2ª etapa Recaudador Abogado Recaudador Abogado F-21 5 4 3 2 F-29 14 4,5 13 7,5 Dado que con los recursos disponibles no se puede procesar toda la cartera, debemos determinar cuál es la cantidad óptima a procesar de cada tipo de deuda. Para ello definimos: f21 : número de F-21 a tramitar f29 : número de F-29 a tramitar Con ello planteamos el siguiente programa lineal: Maximizar z = 10.000 f21 + 15.000 f29 Sujeto a: 8 f21 + 27 f29 ≤ 672 Disponibilidad de recaudadores 6 f21 + 12 f29 ≤ 336 Disponibilidad de abogados 2 f21 − 3 f29 ≤ 0 → 2 f21 ≤ 3 f29 Restricción tiempo de abogado f21 ≤ 50 Cartera de F21 f 29 ≤ 30 Cartera de F29 f21, f 29 ≥ 0 La Ilustración 1.9 muestra la solución gráfica del problema. La cartera óptima de cobranza debe ser 24 deudas F-21 y 16 deudas F-29, con una recaudación de $480.000. 13 “F-21” significa formulario 21; “F -29” significa formulario 29. 16 10 10 f2120 30 40 50 20 30 8 f21 + 27 f29 ≤ 672 6 f 21 + 12 f29 ≤ 336 (24, 16) f29 Ilustración 1.9: Solución Gráfica de la Planificación de la Cobranza La política de que el tiempo de abogado dedicado a la 1ª etapa no sea superior al dedicado en la 2ª etapa es activa, así es que perjudica la función objetivo. Para calcular el perjuicio de esta política, eliminamos la desigualdad 2 f21 − 3 f29 ≤ 0. El nuevo punto óptimo está a la derecha de la Ilustración 1.9, en el que se cobran 50 deudas F-21 y 3 deudas F-29, con una recaudación de $545.000. Por lo tanto, la restricción de tiempo de abogado genera un perjuicio de $545.000 – $480.000 = $65.000. Agregar un recaudador por media jornada expande el área factible, pero no mejora la solución óptima, pues la restricción 8 f21 + 27 f29 ≤ 672 no es activa. Por lo mismo, es posible disminuir el número de horas de recaudador sin perjudicar la función objetivo. Para calcular la máxima reducción, obtenemos el valor del término libre α de la ecuación 8 f21 + 27 f29 = α que la haría pasar por (24,16), que es α = 624. Por lo tanto, imponer la restricción 8 f21 + 27 f29 ≤ 624 genera $480.000, pero ahorra 672 – 624 = 48 horas de recaudador. Supongamos que se decide aumentar la eficiencia del abogado en la tramitación de F-21, por ejemplo mediante alguna inversión en tecnología. Esto significa que la pendiente de la restricción se hace más horizontal, pues disminuye el coeficiente que multiplica a f21. Dado que la eficiencia respecto de las deudas F-29 no cambia, la recta de la restricción continúa pasando por el punto (0, 28). En resumen, la recta de la restricció n gira hacia arriba, con eje en el punto (0, 28). Bajamos el costo unitario del abogado en la tramitación de F-21 hasta que la recta de la restricción pasa por el punto (25,8; 17,2), lo que ocurre cuando el costo unitario es de 5 [h/deuda]. En este punto se alcanza una recaudación máxima de $516.923. Si el costo baja aun más, la restricción se hace redundante, por lo que no hay mayor beneficio. Otra alternativa para aumentar la recaudación es contratar más horas de abogado, las que asumiremos tienen un costo fijo de $1.200. El beneficio marginal de cada hora se puede calcular aumentando el término libre de la restricción 6 f21 + 12 f29 ≤ 336 a 337. El nuevo punto óptimo es el (24,07; 16,04), cuya recaudación es de $481.428, lo que significa un 17 beneficio marginal de $481.428 – $480.000 = $1.428. Tal beneficio se mantiene hasta llegar a 362, luego de lo cual la restricción se hace redundante. Por lo tanto, conviene aumentar 362 – 336 = 26 horas de abogado, lo que tiene un beneficio neto de $1.428 – $1.200 = $228 por cada hora adicional. La dedicación de ambos recaudadores a la 1ª etapa y a la 2ª etapa es flexible; pueden destinar cuantas horas deseen a una u otra etapa. Si se les impusiera que uno de ellos se debe abocar a la 1ª etapa y el otro a la 2ª etapa, deberíamos reemplazar la restricción 8 f21 + 27 f29 ≤ 672 por dos restricciones: 5 f21 + 14 f30 ≤ 336 para la 1ª etapa y 3 f21 + 13 f30 ≤ 336 para la 2ª etapa. La Ilustración 1.10 muestra el resultado de esta modificación. La restricción del recaudador de la 1ª etapa elimina parte del área factible, y la restricción del recaudador de la 2ª etapa se hace redundante. La solución óptima es de (23,4; 15,6), con una recaudación de $468.837. 10 10 f2120 30 40 50 20 30 8 f21 + 27 f29 ≤ 672 6 f21 + 12 f29 ≤ 336 (23,4; 15,6) 3 f21 + 13 f29 ≤ 336 5 f21 + 14 f29 ≤ 336 f29 Ilustración 1.10: Planificación de la Cobranza con Recaudadores Dedicados 1.3.2 Caso Práctico El proceso de la Ilustración 1.8si bien más complejoen la práctica es realizado por varias oficinas provinciales de la tesorería del estado, cada una encargada de procesar la cartera de deudas de su territorio. Las deudas son de varios tipos: por el impuesto al valor agregado (IVA), por el impuesto a la renta, por el impuesto territorial, etc. Para cobrarlas, deben cumplirse un número de etapas o actividades sucesivas. Pasar de una etapa a otra demanda el uso de recursosrecaudadores, abogados, presupuesto de operacióncon diferentes intensidades. La Ilustración 1.11 muestra una analogía del trabajo realizado por cada oficina. El flujo de deudas pasa de una etapa a otra de mayor valor por medio de “bombas hidráulicas”, cuya potencia proviene de los recursosdisponibles. 18 IVA Renta Territorial Abogado Recaudador Ilustración 1.11: Analogía del Trabajo de una Tesorería Con el modelo descrito, podemos determinar cuál es la combinación óptima de deudas a procesar, dada la disponibilidad de recursos y otras restricciones de operación. También nos permite evaluar el desempeño de cada una de las oficinas, dada su cartera de deudas y disponibilidad de recursos, y cuán rentable sería la asignación de recursos adicionales. Dicho análisis fue aplicado a las 35 oficinas provinciales de la Tesorería General de la República de Chile (Singer, Donoso & Poblete, 2002). El estudio consideró ocho familias de deudas, cuatro etapas y seis tipos de recursos. Para cada combinación deuda-etapa- recurso, se estimó el costo de procesamiento. Además se incluyeron indicadores particulares de la operación, que no están en el modelo simplificado de la Sección 1.3.1, como probabilidad de abandono y permanencias máximas en cada etapa. Con los antecedes recopilados se definió un programa lineal con 384 variables de decisión, 358 parámetros y 1.380 restricciones, optimizado por una versión profesional del Solver de Microsoft Excel. La Ilustración 1.12 muestra la recaudación estimada para el año 2000 de las 35 oficinas, y la razón (recaudación real ÷ recaudación estimada), que es una medida de eficiencia14. 14 Por confidencialidad, eliminamos la graduación del eje de la eficiencia. 19 - 20,0 40,0 60,0 80,0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 Oficinas Provinciales R ec au da ci ón [M M $] R az ón d e ef ic ie nc ia [% ] Recaudación Razón de eficiencia Ilustración 1.12: Recaudación y Eficiencia de las Oficinas Provinciales La Ilustración 1.13 muestra el análisis para una de las oficinas provinciales del beneficio marginal neto de contratar más abogados. El costo marginal de un minuto adicional es constante: 63 [$/min]. El beneficio marginal depende de cuántos nuevos abogados se han agregado. Cuando ya existe uno, un minuto adicional incrementa en 182 [$/min] la función objetivo. Cuando existen 1,5 abogados, el incremento es 100 [$/min]. Con estos dos puntos podemos aproximar el beneficio neto de media jornada adicional como el área bajo la curva de beneficio marginal, y sobre la línea de costo marginal. Asumiendo que la media jornada tiene 5.280 minutos al mes, el área bajo la curva es 5.280 [min/mes] ⋅ ((182 – 63) + (100 – 63)÷2) [$/min] = 726.000 [$/mes]. Un análisis similar muestra que una segunda media jornada tiene un beneficio mucho menor, por lo que no vale la pena contratarla. - 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 140,0 160,0 180,0 200,0 1 1,5 2 3 4 Abogados Adicionales [$ /m in ] Beneficio contratar segunda media jornada Beneficio contratar segunda media jornada Pérdida contratar segunda media jornada Pérdida contratar segunda media jornada Beneficio neto de contratar un abogado por media jornada Ilustración 1.13: Análisis del Beneficio Marginal de Nuevas Contrataciones 20 Capítulo 2 Optimización y Heurísticas 2.1 Teoría de Elección Racional Un individuo hace una elección racional cuando decide realizar las acciones que mejor satisfacen sus deseos, sujeto a las restricciones que le impone su entorno. La Ilustración 2.1 muestra sus principales elementos de la decisión racional. Los deseos del individuo se suponen dados e incuestionables. Aunque deben guardar cierta congruencia, “sobre gustos no hay nada escrito”15. Las creencias también deben se coherentes entre sí, pero además deben ser consistentes con las pruebas disponibles. La recopilación de pruebas debe estar guiada por las creencias iniciales y por los deseos. En De Motu Animalium, Aristóteles define la razón para actuar como una combinación de deseos y creencias que justifican una acción. Relación racional Deseos Pruebas 2 1 Creencias 1 Acciones 3 3 Elemento de la teoría Ilustración 2.1: Conceptuales de la Elección Racional Para que las acciones elegidas satisfagan de manera óptima los deseos del individuo, dadas sus creencias, deben realizarse las siguientes tres operaciones de optimización (Elster 1995, pp. 13-14; Pinker 2001, pp. 92-93): 1. Encontrar la mejor acción dadas las creencias y deseos. 2. Formarse las creencias más apropiadas para un conjunto de pruebas dadas. 3. Acumular la cantidad adecuada de pruebas. La lógica de la Ilustración 2.1 se observa con menos claridad cuando la decisión es sencilla. Como decía el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650), “...de conocer yo siempre con claridad lo que es bueno y verdadero, nunca me tomaría el trabajo de deliberar acerca de mi elección o juicio,...”. Cuando la decisión es compleja e importante, se justifica construir un modelo matemático. En tal caso las pruebas son los parámetros del modelo y las acciones son las variables de decisión. Los deseos se expresan por medio de la función objetivo, que debe ser maximizada o minimizada. Las creencias se traducen en las restricciones, que definen el conjunto factible de valores que pueden tomar las variables de decisión. Lo anterior es aplicable sólo si el problema es estructurado, es decir, si las relaciones entre los elementos pueden ser cuantificadas. La decisión de matrimonio es compleja e importante, pero no es susceptible de ser modelada matemáticamente, porque la mayoría de sus elementos son subjetivos. 15 El cuestionamiento de los deseos está en el ámbito de la ética o la teología. 21 2.2 Activación Secuencial de Restricciones Frente a decisiones relativamente complejas, las personas en general son incapaces de razonar de acuerdo con la teoría de elección racional. Como alternativa, toman decisiones mediante heurísticas16, es decir, reglas o criterios que se aproxima razonablemente a la decisión óptima, pero que demandan un esfuerzo significativamente menor (Simon, 1955). Una de las heurísticas más usuales es la de procesar secuencial o jerárquicamente la información disponible (León, 1994 pp. 11-13). Para ejemplificarla, consideremos el problema de planificación del banco de la Ilustración 2.2, conformado por tres unidades principales: Gerencia de Empresas, Gerencia de Personas y Gerencia de Operaciones. Las dos primeras, denominadas el front-office, generan requerimientos que son procesados por el back-office del banco. El producto A utiliza 2 horas por unidad al ser procesado por el front-office, y otras 2 horas por el back-office, haciendo un total de 4 horas por unidad. El producto B toma 2,5 horas y 1,5 horas, lo que también hace un total de 4 horas por unidad. Gerencia Empresas Gerencia Personas Gerencia Operaciones Front-office Back-office Producto A Producto B 2 [h/u] 2,5 [h/u] 2 [h/u] 1,5 [h/u] Ilustración 2.2: Planificación del Banco El banco desea determinar la cartera óptima de productos, es decir, cuánto dedicarse al producto A de la banca de empresa y cuánto al producto B de la banca de personas. La Tabla 2.1 presenta antecedentes adicionales (Hopp & Spearman, 1996 p. 206). Asumiremos que cada gerencia funciona 336 horas al mes, y que su costo fijo total de mano de obra es $100.000. Tabla 2.1: Datos de la Planificación del Banco Producto Precio Venta Costo Variable Compromiso Mínimo Demanda máxima A 600[$/u] 50 [$/u] 75 [u] 140 [u] B 600[$/u] 100 [$/u] 0 [u] 140 [u] Una heurística posible para resolver este problema es: 1) Ignorar el costo fijo de mano de obra como elemento de decisión, pues ambos productos A y B utilizan 4 horas por unidad. 2) Producir el máximo del producto A, pues su beneficio es 550 [$/u] y el de B es 500. 3) Dado que la máxima producción de A es 336 [h]/2 [h/u] = 168 [u], pero su demanda es de 140 [u], usar sólo 280 horas en A, lo que deja libres 336 – 280 = 56 horas.16 De cuando Arquímedes descubrió por qué flotan los elementos y exclamó “¡eureka!” (“¡lo encontré!”). 22 4) Producir 56 [h]/1,5 [h/u] ≅ 37 [u] del producto B. La utilidad final es: 140 [u] ⋅ 550 [$/u] + 37[u] ⋅ 500 [$/u] – 100.000 [$] = -4.500 [$]. Es decir, el banco pierde dinero. A diferencia de la heurística recién descrita, la programación lineal considera toda la información disponible de manera simultánea. La modelación es: • Variables a y b: cantidades a producir de A y de B. • Función objetivo z = ingresos – costos = $550 a + $500 b – $100.000. • Espacio factible: definido por las restricciones de capacidad de las gerencias, el compromiso de venta de A, la demanda de A y B, y la no-negatividad de B. Este problema de decisión se traduce en el siguiente programa lineal: Maximizar: z = $550 a + $500 b – $100.000 Sujeto a: 2 a ≤ 336 Gerencia Empresas 2,5 b ≤ 336 Gerencia Personas 2 a + 1,5 b ≤ 336 Gerencia Operaciones 75 ≤ a Compromiso de venta de A a ≤ 140 Demanda de A b ≤ 140 Demanda de B 0 ≤ b La Ilustración 2.3 muestra que el resultado óptimo es a = 75 y b = 124, lo cual significa una utilidad de 75 ⋅ $550 + 124 ⋅ $500 – $100.000 = $3.250. Las restricciones activas son la del compromiso de ventas de A (75 ≤ a) y la de capacidad de la gerencia de operaciones (2 a + 1,5 b ≤ 336). En este caso la gerencia de operaciones es el cuello de botella del banco pues, a diferencia de las restricciones de las gerencias de front-office, la restricción de la gerencia de operaciones no tiene holgura respecto del óptimo. 23 80 60 40 20 140 120 100 200 180 160 240 220 20 40 60 80 100 120 140 160 180 b a 2 a + 1.5 b ≤ 336 2 a ≤ 33 6 2.5 b ≤ 336 75 ≤ a a ≤ 14 0 b ≤ 140 0 ≤ b (75,124) (140;37,3) z = $550 a + $500 b z = $550 a + $500 b Funci ón Objetivo Óptimo G er en ci a Em pr es as D em an da A Gerencia Personas Demanda B C om pr om is o A Gerencia Operaciones Espacio Factible Ilustración 2.3: Resolución Gráfica de la Planificación del Banco La heurística de producir el máximo posible de A, pues es el producto con mayor beneficio, significa activar la restricción de demanda de A en la Ilustración 2.3. Como la gerencia de operaciones no completa su capacidad máxima de producción con A, se puede producir B hasta agotar las horas disponibles de dicha gerencia, activándose la restricción de la gerencia de operaciones. El resultado (140,37) es la intersección de ambas restricciones activas. Observamos que la heurística está en lo correcto al suponer que el óptimo está en la frontera del área factible. Su error radica en la elección de cuáles restricciones debe activar. Algo similar ocurre con el Ejercicio 4, que según Goldratt (1990) sólo una minoría de los ejecutivos consultados es capaz de resolver. Ejercicio 4: Programa de Producción Una fábrica produce unidades de los productos P y de Q que deben cumplir con la receta de tipo bill of material (BOM) de la Ilustración 2.4. El BOM se interpreta de la siguiente manera: el producto P requiere de la materia prima R que es procesada por la actividad D. También requiere de la materia prima S que es procesada por la actividad A, luego por la C y luego por la D. La materia prima T, que es procesada por B y por C, es utilizada por ambos productos P y Q. La demanda por P es de 100 unidades por semana y la de Q es de 50. La empresa cuenta con cuatro operarios A, B, C y D, que trabajan 2.400 minutos por semana cada uno. 24 D A C B C A B D P S T 15 min./u 90 [$/u] 100 [u/sem] 15 [min/u] 10 [min/u] 15 [min/u] 5 [min/u] 20 [$/u] 20 [$/u]5 [$/u] U 10 [min/u] 15 [min/u] 20 [$/u] Q 5 min./u 100 [$/u] 50 [u/sem] : producto o servicio : actividad : materia prima R Ilustración 2.4: Receta de Producción de P y Q Respuesta: las personas suelen fijarse en que la utilidad de Q es 60 [$/u], mayor que la de P que es sólo 45 [$/u], y en que el tiempo total de producción de Q es 50 [min] en tanto el de P es 60 [min]. Por ello, proponen producir 50 [u] de Q y 60 [u] de P, con una rentabilidad de 45 [$/u] ⋅ 60 [u] + 60 [$/u] ⋅ 50 [u] = 5.700 [$]. El problema puede ser resuelto con el siguiente programa lineal (Balakrishnan & Cheng, 2000): Maximizar: 45 p + 60 q Sujeto a: p ≤ 100 Demanda de P q ≤ 50 Demanda de Q 15 p + 10 q ≤ 2.400 Disponibilidad A 15 p + 30 q ≤ 2.400 Disponibilidad B 15 p + 5 q ≤ 2.400 Disponibilidad C 15 p + 5 q ≤ 2.400 Disponibilidad D p, q ≥ 0 La solución gráfica de este problema se muestra en la Ilustración 2.5, cuyo óptimo es el punto (100, 30), con una utilidad de $6.300. Esta brecha entre la solución óptima y la heurística es usual en problemas de esta naturaleza (Singer & Pinedo, 1998). Una manera de mejorar la heurística es identificar cuál es el recurso cuello de botella, y darle prioridad en la programación (Pinedo & Singer, 1999). En este ejemplo el cuello de botella es B. El producto Q consume el doble de tiempo que P, y sólo es 60/45 = 4/3 veces más rentable. Por lo tanto, debería privilegiarse P, lo que equivale a activar p ≤ 100 y 15 p + 30 q ≤ 2.400, tal como lo hace la optimización lineal. 25 p q 50 50 p ≤ 100 0 ≤ p 0 ≤ q 100 150 15 p + 10 q ≤ 2400 15 p + 5 q ≤ 2400 15 p + 30 q ≤ 2400 q ≤ 50 45 p + 60 q Ilustración 2.5: Solución del Problema de Planificación de una Fábrica 2.3 Definición de la Función Objetivo En Alicia en el País de las Maravillas se relata el diálogo a continuación. Alicia: ¿me podría decir qué camino debo tomar? Gato: eso depende bastante de hacia dónde quieres ir Alicia: en realidad me da lo mismo Gato: entonces da lo mismo qué camino tomes. Aunque la programación lineal optimice de manera exacta, una mala definición del problema puede llevar a una decisión inadecuada (Keeney & Gregory, 2005). Para ilustrar esta situación, supongamos que un banco asigna un máximo de 1.600 [MM$] para préstamos de consumo y de vivienda durante el mes. El banco cobra una tasa de interés anual del 30% a préstamos de consumo y del 10% a préstamos de vivienda. Se dispone de 10 ejecutivos trabajando 252 [hh/m], quienes dedican 1,8 [hh] por cada 1 [MM$] destinado a consumo y 1,4 por cada 1 [MM$] destinado a vivienda17. La experiencia demuestra que el 10% de los préstamos de consumo se vuelven incobrables. Para encontrar la manera óptima de asignar el presupuesto del banco, plantearemos un programa lineal, pero con dos alternativas de función objetivo. La primera función objetivo maximiza la renta debido a los intereses, y a los incobrables, del capital prestado. Variables de decisión: c = monto a préstamos de consumo en [MM$] v = monto a préstamos de vivienda en [MM$] 17 No debe sorprender que la restricción de personal sea considerada para definir la estrategia del banco. El costo en recursos humanos es usualmente el de mayor relevancia para las empresas. 26 Maximizar: z1 = (0.9 ⋅ 0,3 – 0,1) c + 0,1 v = 0,17 c + 0,1 v Sujeto a: c + v ≤ 1.600 Presupuesto 1,8 c + 1,4 v ≤ 2.520 Horas-hombre v, c ≥ 0 La segunda función objetivo maximiza los pagos percibidos por el dinero prestado, esto es, el flujo de caja obtenido por el banco una vez otorgados los préstamos. Maximizar: z2 = (0.9 ⋅ 1,3) c + 1,1 v = 1,17 c + 1,1 v ¿Son equivalentes ambas funciones objetivo? Si no lo son, ¿entregan el mismo resultado? ¿Cuál es la correcta? Si bien ambas funciones tienen una lógica común, no son equivalentes, pues sus pendientes son distintas. Si las pendientes son distintas, puede generar puntos óptimos diferentes. Entonces, ¿cuál función objetivo es la correcta? Una manera de averiguarlo es modificando el valor de los parámetros, y evaluando si el óptimo encontrado es intuitivamente razonable. Por ejemplo, supongamos que las tasas de interés son negativas, digamos porque existe inflación. El puntoóptimo de z1 sería (0, 0), en tanto el punto óptimo de z2 sería positivo para ambos tipos de préstamo. Dado que ante tasas de interés negativas el sentido común recomienda no prestar dinero en lo absoluto, deducimos que z1 es más idónea. La falencia de z2 es que implícitamente asume que se debe prestar todo el dinero, es decir, que la restricción c + v ≤ 1.600 debe activarse. Para comprobarlo, definamos z1’ como la función objetivo z1, con el supuesto adicional que c + v ≤ 1.600 está activa. Si a z1’ le sumamos una constante, mantiene su pendiente. Supongamos esa constante es 1.600. Como se está cumpliendo la igualdad c + v = 1.600, le estamos sumando a z1’ la expresión c + v. Al hacerlo, z1’ se convierte en z2 : z1’ = 0,17 c + 0,1 v + 1.600 = 0,17 c + 0,1 v + c + v = 1,17 c + 1,1 v = z2. La función objetivo z2 no corresponde exactamente el flujo de caja, pues ignora el desembolso inicial c + v. Si definimos z2’ igual a z2 más el flujo inicial negativo del préstamo, z2’ se convierte en z1 : z2’ = 1,17 c + 1,1 v – (c + v) = 0,17 c + 0,1 v = z1. La Ilustración 2.6 muestra el área factible del problema. La elección de una u otra función tiene un efecto crucial en la cartera de colocaciones del banco. Si utilizamos la función correcta z1, el banco se concentra en créditos de consumo. Si utilizamos la función errónea z2 el banco reparte casi equitativamente su presupuesto entre ambos tipos de préstamos. 27 2.000 1.000 c [MM$] v [M M $] 1.000 2.0001,17 c + 1,1 v c + v ≤ 1.600 1,8 c + 1,4 v ≤ 2.520 (700,900) 0,17 c + 0,1 v renta pagos Presupuesto Horas hombre Sub-óptimo Espacio Factible Ilustración 2.6: Colocaciones del Banco 2.4 Interpretación de Cualitativa de Problemas La optimización lineal provee de un marco teórico para el análisis de decisiones, aun cuando no se modelen los problemas algebraicamente. Al analizar la actividad de una empresa, si pensamos sus recursos como restricciones, varios de ellos deberían utilizarse al máximo. La falta de holgura se observa en la práctica como una tensión o estrés (del inglés stress) en el uso de los recursos cuello de botella. No todos los recursos son restrictivos en el óptimo, así es que no deberíamos esperar que la organización esté permanentemente estresada respecto de cada una de sus áreas. Lo que sí resultaría extraño es que ninguno de los recursos estuviera bajo presión, pues el óptimo está en la frontera de lo factible, y la frontera necesariamente activa algunas restricciones. Tampoco es conveniente que demasiados recursos estén bajo estrés, no obstante ello puede ser un signo de eficiencia. Una organización demasiado restringida no tiene grados de grados de libertad para reaccionar ante oportunidades y amenazas del medio. La tensión entre eficiencia y flexibilidad no también se presenta en el diseño de un currículum universitario. Quienes estudian ingeniería comercial tienen ramos en Economía, Finanzas, Marketing, Recursos Humanos (RR.HH.) y Métodos Cuantitativos (Estadísticas, Optimización). La Ilustración 2.7 es una analogía de las decisiones relacionadas con el currículum académico. El área factible representa el conjunto de trabajos al que puede acceder el alumno dado su conocimiento adquirido. Cuando cursa un nuevo ramo, mueve la restricción correspondiente hacia fuera, expandiendo con ello sus posibilidades. 28 Econom ía Finanzas Mé tod os cua ntit ativ os Marketing RR .HH . Investigador Ejecutivo financiero Ejecutivo comercial Ejec utivo de v entas Ej ec uti vo de op era cio ne s Trabajos Factibles Ilustración 2.7: Representación del Programa de Ingeniería Comercial Las diversas preferencias de los alumnos activan diferentes restricciones. Representamos la función objetivo de quienes desean convertirse en investigadoresen el Banco Central o en una universidadcomo una línea segmentada horizontal que mejora hacia arriba de la ilustración. Quienes muestran dicha preferencia están limitados por sus conocimientos de Economía y de Métodos Cuantitativos. Quienes desean ser ejecutivos de ventas están limitados por sus conocimientos en Marketing y en RR.HH. Por ello la persona nunca sabe lo suficiente del tema que el interesa; aprender más siempre expande sus posibilidades. Un programa de estudio eficiente se enfoca en las materias cuyas restricciones están activas en el óptimo. Para quien desea ser investigador, el programa debería considerar Economía y Métodos Cuantitativos solamente. Un programa de estudio flexible invierte en todas las materias, permitiendo al alumno acceder a diversos trabajos. Mientras menos sepa el alumno cuáles son sus verdaderos talentos y oportunidades laborales, más conveniente es la flexibilidad. Una vez que elije una carrera, es más conveniente la eficiencia. Si decide ser ejecutivo financiero, le parecerá que fue ineficiente la inversión realizada en las materias que no son restrictivas (Marketing, RR.HH. y Métodos Cuantitativos ). Sin embargo, esta sensación es a posteriori; en tanto no está definido su futuro laboral, no se sabe cuáles materias son o no son necesarias, y por eso debe invertir en todas ellas. La optimización lineal también puede guiar la interpretación de problemas de política pública, tal como lo muestra el Ejercicio 5. En el Capítulo 3 a continuación, modelaremos ese tipo de problemas de manera cuantitativa. 29 Ejercicio 5: Interpretación de una Crisis Energética La política de invers ión en generación eléctrica puede caracterizarse en términos de cuánto invertir en centrales hidroeléctricas y cuánto invertir en centrales termoeléctricas. Supongamos que un diario publica el siguiente reportaje acerca de la situación de cortes de energía eléctrica: “Debido a los cortes de suministro eléctrico que está sufriendo la capital, la discusión se ha centrado en la idoneidad de las políticas de inversión que se han definido para el sector. Hasta hace poco, la opinión pública pensaba que en un país como Chile siempre convenía hacer inversiones hidroeléctricas, independientemente de costos, capacidades, riesgos, etc. Hoy en día se tiene la impresión que las decisiones tomadas estaban ajustadas a todas las restricciones, y que lo racional habría sido una política con holgura respecto de todas ellas. La Autoridad alega que en esta industria la única limitación que activamente impide mejorar la configuración energética del país es la restricción presupuestaria, y por lo tanto propone mejorar la disponibilidad de capitales. Las empresas generadoras concuerdan con la necesidad de mejorar la disponibilidad de capitales, pero no creen que hacerlo mejore la configuración energética del país.” Asumiendo que las decisiones se toman racionalmente, y que la función objetivo y las restricciones son lineales, señale a lo menos cinco errores conceptuales emitidos por alguno de los actores que son referenciados en el reportaje Respuesta: a) La opinión pública estaba errada, pues un problema de optimización no puede ser independiente de sus parámetros y restricciones. b) La impresión actual también es errada, ya que en el óptimo probablemente no todas las restricciones son activas. Si ése fuera el caso, el área factible sería tan solo un punto, y por lo tanto no habría decisión alguna que tomar. c) Una política con holgura tampoco es óptima, porque se estaría en el interior del área factible y no en la frontera. d) La autoridad está equivocada al pensar que una única restricción determinante es la de capital. En un espacio de 2 dimensiones se necesitan al menos dos restricciones activas. e) Las empresas generadoras se equivocan al pensar que relajar una restricción activa no mejora el problema, a menos que se de la improbable situación que la restricción es redundante. 30 Capítulo 3 Planificación Pública 3.1 Transporte Público El estado está planificando el nuevo sistema de transporte para la ciudad, y debe decidir la cantidad
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