Ayudantía 4 I 2012

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Pontificia Universidad Católica
Escuela de Administración
EAA-251 Métodos de Optimización
Ayudantía 4
Profesores: Bárbara Prieto
Marcos Singer
Christian Villalobos
Ayudante: Rodrigo Sirhan
Ejercicio 1. Institución de Educación Superior
	Una institución de educación superior que imparte 22 carreras de pregrado está desarrollando su plan de acción para los próximos 10 años. Específicamente, esta universidad quiere definir la cantidad de vacantes a ofrecer anualmente para sus diferentes carreras y para las distintas vías de admisión disponibles: admisión ordinaria, admisión especial y admisión ordinaria. 
	Dada la cantidad de potenciales alumnos existentes en el sistema, existe un máximo de postulantes interesados en entrar anualmente a la universidad para cada una de las vías de admisión posibles. Además, el equipamiento e infraestructura de la universidad no permiten ofrecer más de un cierto nivel de vacantes totales en la institución por periodo. 
	Como parte fundamental de su plan expansivo de desarrollo, la universidad se ha comprometido a incrementar el número de vacantes totales por carrera en un 6% cada año.
	Otra política de la universidad es que la cantidad de vacantes para alumnos provisionales en las diferentes carreras no puede superar el 10% de las vacantes totales de cada carrera. A su vez, las vacantes para alumnos vía admisión ordinaria deben ser al menos un 70% del total de vacantes de cada carrera.
Existe una tasa de descuento relevante a la que la universidad descuenta los flujos
Si la universidad lo que desea es maximizar sus ingresos, responda:
a) Defina conjuntos, parámetros y variables del problema.
b) Determine la cantidad de cada uno de los parámetros y variables que existen en el problema.
c) Plantee el programa lineal.
Ejercicio 2: Empresa productora de relojes
Una empresa productora de relojes debe decidir la política de distribución para sus 7 líneas de productos por un período de 24 meses a ser comercializados en 9 países de Latinoamérica. La empresa tiene fábricas ubicadas en cinco puntos distintos en Europa. La producción se transporta a cualquiera de los 8 puertos de origen, desde donde se despacha a puertos en los países de destino. Cada fábrica tiene una capacidad de producción distinta para cada producto y para cada mes. El precio de venta depende de la línea de producto, del país, y del mes. El costo de producción depende de la línea de producto, del mes, y de la fábrica, así como una demanda máxima, que también depende del país, del mes, y de la línea de producto. Los costos unitarios de transporte de las fábricas a los puertos dependen de la línea de producto que se transporte, la fábrica de origen, el puerto de embarque y el mes. Los costos unitarios de transporte de los puertos a los países de destino sólo dependen del puerto y del país. Para exportar los relojes se debe pagar aranceles definidos que dependen del puerto de origen y el país de destino. Existe un compromiso de ventas por mes a cada país para cada línea de producto. La empresa puede almacenar productos en las fábricas, cada una tiene su capacidad (en m2). Además puede almacenar productos en los puertos, que también tienen cada uno su capacidad, y paga un arriendo. Cada producto ocupa un espacio de bodega (en m2). Los costos unitarios de mantenimiento del inventario dependen del producto y de la fábrica o del puerto en el que se almacenan. 
a) Modele el problema para la maximización de ganancias (flujo de caja).
Ejercicio 3: Aserradero
	Un aserradero puede adquirir metros cúbicos (m3) de dos tipos de rollizos: regulares y podados. Estos m3 son aserrados con una productividad que depende únicamente de si son regulares o podados. Las horas de trabajo disponibles del aserradero dependen de cada período. Los m3 de rollizos regulares se distribuyen en proporciones determinadas en diferentes diámetros: 16-18, 20-22, 24-28 y 30-36. Lo mismo ocurre con los podados, aunque las proporciones son distintas. El plan de producción determina cuántos m3 de cuáles diámetros de rollizos, regulares y podados, se convierten en m3 de productos RB, TB, RW, RP, CH, ME y AE. Sin embargo, existe una proporción máxima de cada tipo y diámetro de rollizo que se puede transformar en cada producto. Los productos pueden almacenarse en inventario o venderse a un precio que también depende del período en que son transados. La evaluación se realiza en meses.
a)	Defina conjuntos, parámetros y variables del problema. Las variables se miden en m3, salvo la función objetivo z, igual a ventas menos costos de materia prima.
b)	Determine el programa lineal que maximiza ventas menos costos de materia prima, en un lapso de 12 meses.
SOLUCIONES:
Solución Ejercicio 1
 
a) 	Conjuntos:
C: (agronomía, arte, educación,….) carreras (22)
I: (ordinaria, especial, provisionales) vías de admisión (3)
T: (1,2,…10) años (10)
	Parámetros:
Mi: Máximo de postulantes por vía de admisión i
S: Máximo nivel de vacantes totales por periodo
Ac,t: Arancel de la carrera c el año t
R: Tasa de descuento relevante
	Variables:
xc,i,t: Vacantes para carrera c vía admisión i en el año t 
b) 	 Hay 22x3x10 = 660 variables 
Cantidad de parámetros:
Mi: 3
S: 1
Ac,t: 220
c) 	Maximizar: 
	
	
Restricciones:
 		 Máx. postulantes por vía de admisión
 
 			 Máximo vacantes total
 Incremento vacantes por carrera 
 Vacantes provisionales
 Mínimo admisión ord. 
 No negatividad
Solución Ejercicio 2:
Conjuntos: 
T = {1, 2,…24} Meses
P = {1, 2,…7} Líneas de productos
K = {1, 2,…9} Países destino
I = {1, 2,…5} Fábricas
J = {1, 2,…8} Puertos
Parámetros:
Ptpk = Precio del producto p en el mes t, para el país k
Vtpi = Costo de producción del producto p en el mes t, en la fábrica i
Htpi = Capacidad de producción de la fábrica i, del producto p, en mes t
Ctpij = Costo de transporte del producto p desde fábrica i hasta puerto j
Tjk = Costo de transporte desde puerto j hasta país k
Ajk = Arancel pagado por exportar desde puerto j hasta país k
Dtpk = Demanda mínima del producto p, en país k, en mes t
Etpk = Demanda máxima por el producto p, en país k, en mes t
Mi [m2] = Capacidad máxima de almacenaje en fábrica i
Nj [m2] = Capacidad máxima de almacenaje en puerto j
Up [m2] = Espacio ocupado producto p
Kpi = Costo de almacenar el producto p en la fábrica i
Qpj = Costo de almacenar el producto p en el puerto j
Variables:
ytpi = Cantidad producida en mes t del producto p, en la fábrica i.
xtpij = Cantidad despachada en mes t del producto p desde fábrica i hasta puerto j
xtpjk = Cantidad despachada en mes t del producto p desde puerto j hasta país k
itpi = Inventario producto p en mes t en fábrica i
itpj = Inventario producto p en mes t en puerto j
z = Utilidad
Modelo:
 Max z = 
Sujeto a:
 Capacidad de producción de las plantas
 Compromiso Mínimo
 Demanda máxima
 Capacidad máxima almacenaje fábricas
 Capacidad máxima almacenaje en puertos
 Inventario en las fábricas
 Inventario en Puertos
 Inventario inicial en fábricas
 Inventario inicial en puertos
ytpi, xtpij, xtpjk, itpi, itpj ≥ 0
Solución Ejercicio 3
a) Elementos del programa lineal
Conjuntos:
R = regular, podada				: Rollizos
D = 16-18, 20-22, 24-28 y 30-36			: Diámetros
W = {RB, TB, RW, RP, CH, ME, AE}		: Productos intermedios
T = {1, 2, 3,...12}					: Períodos de evaluación
Parámetros:
Cr:	costo de rollizo tipo r.
Qr:	productividad del aserradero de rollizo tipo r.
At:	horas disponibles de aserradero en el período t.
Pr,d:	proporción de rollizo tipo r que se convierte en diámetro d.
Mr,d,w:	máxima proporción de rollizo tipo r de diámetro d a convertirse en w.
Vw,t:	precio de venta del producto w en el período t.
Iw:	inventario de producto en w en el instante inicial.
Variables:
z: margen bruto total de operación.
ar,t: m3 de rollizos tipo r adquiridos en el período t.
xr,d,w,t: m3 de rollizos tipo r de diámetro dconvertidos en w en el período t.
iw,t: m3 de inventario de producto w al final del período t.
vw,t: m3 de venta del producto w en el período t.
b) Programa lineal
Maximizar 	
	z = 
Sujeto a: 
 At	 t 	 Capacidad de producción del aserradero:
Pr,d ar,t = 	 r, d, t		 Disponibilidad de matéria prima
xr,d,w,t Mr,d,w Pr,d ar,t	 r, d, w, t 	 Proporción máxima a productos
iw,t-1 + = iw,t + vw,t 	 w, t 		Ecuación de inventario:
iw,0 = Iw				 w		 Inventario inicial:
ar,t , xr,d,w,t , iw, t , vw,t 0	 r, d, w, t 	No negatividad:
å
d
r
t
w
d
r
x
,
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,
,
å
å
×
-
×
t
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t
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C
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