ayudantia 5 2003 (1)

Vista previa del material en texto

O Pontificia Universidad Católica de Chile 
Escuela de Administración 
 
EAA-251 Métodos de Optimización 
AYUDANTÍA Nº 5 
Profesores: Marcos Singer 
Francisco Poblete 
 
1) Considere los siguientes vectores: 
a = (10, 20, 5) 
b = (5, 7, 2) 
c = (15, 40, 20) 
d = (10, 1, 9) 
Con los cuales se forman dos rectas: (a + λb) y (c + µd) 
a) Encuentre la intersección de estas dos rectas. 
b) Detalle cuál es la condición que debe cumplirse para que las rectas sean 
paralelas, y dé un ejemplo. 
c) En base a la respuesta en a) ¿De qué maneras se podría encontrar una 
solución a la intersección de las rectas? 
d) ¿Qué tiene que ocurrir para que las rectas sean la misma? Dé un ejemplo. 
e) En base a la respuesta en a)¿Cuáles son los componentes del vector d y los 
valores de λ, µ para que las rectas se intersecten en el punto (40,62,17)? 
f) En base a la respuesta en a)¿Qué debe ocurrir para que las rectas se 
intercepten en forma perpendicular? Resuelva. 
2) Considerando los vectores y rectas dados en el ejercicio anterior: 
a) Se intercecta la recta a + λb con el plano 2x+10y+5z=25? 
b) ¿Qué tendría que ocurrir para que ambas rectas estuviesen en el plano 
2x+10y+5z=25? 
Pontificia Universidad Católica de Chile 
Escuela de Administración 
 
EAA251A – Métodos de Optimización 
SOLUCIÓN AYUDANTÍA 5 
 
1) Es importante recordar que el vector posición de una recta es el que determina en 
qué lugar del espacio se ubicará la recta (a) y el vector dirección el ángulo que 
tendrá dicha recta (b). 
 
a) Para encontrar la intersección de las rectas, es necesario igualar ambas 
ecuaciones (a + λb) = (c + µd), esto se hace resolviendo el siguiente sistema; 
i) 10 +5λ = 15 + 10µ 
ii) 20 + 7λ = 40 + µ 
iii) 5 + 2λ = 20 + 9µ 
Si se utilizan las ecuaciones i) y ii) se llega al resultado de que λ =3 y µ=1. Con 
lo que reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones de la recta, se llegaría a 
que el punto de intersección de ambas rectas es (25, 41, 11). El error de esta 
resolución está en que si se reemplazan los resultados de λ =3 y µ=1, en la 
ecuación iii) del sistema se llega a una contradicción (11=29), lo que significa 
matemáticamente que el problema no tiene solución, o geométricamente que 
ambas rectas no se cruzan. 
 
b) La condición que se debe cumplir para que ambas rectas sean paralelas es que el 
vector dirección de una de las rectas sea una combinación lineal del vector 
dirección de la otra recta. 
 
Un ejemplo de esto es 2b = d, es decir 
b = (5, 7, 2) y 
d = 2*(5, 7, 2)= (10, 14, 4) 
 
El sistema a resolver quedaría de la siguiente manera; 
i) 10 +5λ = 15 + 10µ 
ii) 20 + 7λ = 40 + 14µ 
iii) 5 + 2λ = 20 + 4µ 
 
Manteniendo todo el resto de los vectores de las rectas constantes (como en la 
letra a) Las rectas seguirán sin tener un punto de intersección, pero ahora estarán 
sobrepuestas espacialmente de manera paralela. 
 
c) Para encontrar una solución a la intersección de ambas rectas en un punto, se 
pueden dar una de dos condiciones; 
i) Mover el vector posición de una de las dos rectas, lo que hace subir o bajar 
la recta que se está moviendo, de manera de que se encuentre con la otra, 
para esto se tendría que resolver el siguiente sistema, en que z es una tercera 
incógnita a encontrar: 
(1) z +5λ = 15 + 10µ 
(2) 20 + 7λ = 40 + 14µ 
(3) 5 + 2λ = 20 + 4µ 
ii) Mover el vector posición de una de las dos rectas, lo que hace cambiar la 
inclinación de ese vector para encontrarse con la otra recta, para esto se 
resuelve el siguiente sistema nuevamente con z como tercera variable a 
encontrar: 
(1) 10 +zλ = 15 + 10µ 
(2) 20 + 7λ = 40 + 14µ 
(3) 5 + 2λ = 20 + 4µ 
 
d) Para que las rectas sean iguales, el vector posición de la recta 2 tiene que ser una 
combinación lineal de los vectores posición y dirección de la recta 1. 
(Ej. c´= a + ½b = (12,5; 23,5; 6)) 
y el respectivo vector dirección de la recta 2 debe ser una combinación lineal del 
vector dirección de la recta 1. 
(Ej. d́ = 2b = (10, 14, 4)) 
Se resuelve el siguiente sistema; 
i) 10 +5λ = 12,5 + 10µ 
ii) 20 + 7λ = 23,5 + 14µ 
iii) 5 + 2λ = 6 + 4µ 
Siendo la solución λ = 0,5 y µ=2λ, lo que se puede ver gráficamente así; 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
a 
b 
2b 
b 
2b 
a+1/2b 
a+ λb= 
c´+d́ 
e) El valor de λ es 6, lo que se obtiene al resolver el siguiente sistema; 
i) 10 +5λ = 40 
ii) 20 + 7λ = 62 
iii) 5 + 2λ = 17 
 
 
 
Para obtener el valor de µ y los componentes del vector d (x, y, z), se resuelve 
el siguiente sistema; 
iv) 40 = 15 + a 
v) 62 = 40 + b 
vi) 15 = 20 + c 
En que a = 25, b = 22, c = -3. Donde se supone que a = µ∗ x, b = µ∗ y, c = µ∗ z, 
ya que no se podría resolver un sistema de cuatro variables, con tres ecuaciones. 
 
 
f) Para que las rectas se intercepten en forma perpendicular, el producto punto de 
los vectores dirección de ambas rectas debe ser igual a cero, y mover el vector 
dirección o posición de una de las rectas para que se puedan intercectar. 
Resolviendo, 
(5, 7, a) • (10, 1, 9) = 0 
a = -57/9 
Se reemplaza a en el siguiente sistema, en se mueve el vector dirección de la 
segunda recta; 
i) 10 +5λ = 15 + 10µ 
ii) 20 + 7λ = 40 + µ 
iii) 5 – 57/9λ = 20z + 9µ 
Obteniéndose λ = 3, µ =1, z = -11/36. 
 
2) 
a) Para resolver este ejercicio se reemplazan los componentes de la recta (a + λb) 
en la recta. 
2*(10+ 5λ)+10∗(20+7λ)+5∗(5+2λ)=25 
Se llega al resultado de que λ = - 22/9, lo que significa que la recta se intercecta 
con el plano en un punto. Si en vez de llegar a un valor de λ, resolviendo la 
ecuación, se llega a algo como “25=25”, quiere decir que sin importar el λ que 
se utilice, la ecuación se cumple por lo que la recta está en el plano. Si se llega a 
un resultado como “25=27” se tiene una contradicción, lo que implica que la 
recta no se intercecta con el plano siendo paralela a él. 
b) Tendría que ocurrir que al resolver la ecuación 
2*(10+ 5λ)+10∗(20+7λ)+5∗(5+2λ)=25, de la recta 1 con el plano y la ecuación 
2*(15+ 10µ)+10∗(40+1µ)+5∗(20+9µ)=25, de la recta 2 con el plano, se llegue 
en ambas a que x=x (o por ejemplo que 25=25), por lo que sin importar el valor 
que tome λ y µ, se cumplen ambas ecuaciones y ambas rectas están en el plano.