Ayudantía 5 II 2012 (1)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Escuela de Administración
Segundo Semestre 2012
EAA-251 Métodos de Optimización
Ayudantía Nº5 – Geometría Vectorial y DEA
Profesores: Bárbara Prieto
Marcos Singer
Christian Villalobos
Pascuala Domínguez
Ayudante: Antonio Aninat
Ejercicio 1. Geometría Vectorial – La Cancha de Futbol
(Ejercicio Prueba 2 – 1° Sem 2010)
La cancha de fútbol es el rectángulo de 120 metros [m] por 90 [m]. La altura de los arcos es 2,1 [m]. Suponga que en un punto en el suelo o que muestra la ilustración, que está a diez metros de una cancha de fútbol y en la continuación de su línea central, se instala un aparato localizador. El punto o define el origen de tres ejes de coordenadas: x (a lo ancho de la cancha), y (a lo largo de la cancha) y z (altura). El aparato puede calcular el vector-posición en el espacio x-y-z de cualquier punto en la cancha, de la pelota y de los jugadores.
Considerando las medidas de la cancha que muestra la ilustración y los vectores-posición definidos, responda las siguientes preguntas.
a) Exprese como vector de tres componentes las siguientes posiciones:
· En centro de la cancha a;
· La esquina superior derecha b del arco del fondo;
· El punto c en el que se pone la pelota para chutear un tiro penal;
· La esquina inferior izquierda d de la cancha.
b) Encuentre los valores de A, B, C y D que definen al plano que contiene al arco del fondo de la ilustración en la forma Ax + By + Cz = D. ¿Es única la solución?
c) Exprese qué condición debe cumplir el vector-posición p (que es un vector cualquiera; no está dibujado en la ilustración) de la pelota para estar en el suelo dentro de la cancha, en términos de los vectores o, a, b,… y l (aunque no necesariamente debe incluirlos todos). 
d) Exprese qué condición debe cumplir el vector-posición p de la pelota para estar posada en el círculo central de la cancha (de radio 9,15 [m]). Responda en términos de los vectores o, a, b,… y l y de cualquier otro vector que deba definir.
e) De acuerdo a las reglas del fútbol, la pelota localizada en p no ha salido del campo de juego (entendido como volumen tridimensional) en tanto su proyección en el suelo no salga de la cancha. Por ejemplo, el punto h está a 10 [m] de altura y se proyecta ortogonalmente en el punto en el suelo i que está dentro de la cancha. Por lo tanto, h está dentro del campo de juego. Por su parte j también está a 10 [m] de altura y se proyecta ortogonalmente en el punto en el suelo k que está fuera de la cancha. Por lo tanto, j está fuera del campo de juego.
Exprese qué condición debe cumplir el vector-posición p de la pelota para estar dentro del campo de juego en términos de los vectores o, a, b,… y l y de cualquier otro vector que deba definir.
f) Exprese el segmento de recta entre h e i en términos de los vectores i, e y f , y en términos de i y h. 
g) Exprese algebraicamente el conjunto de trayectorias o vectores-dirección que debe tener una pelota que se chutea desde i para que entre al arco de abajo en la figura (cuya esquina inferior izquierda es l). Suponga que la trayectoria no se curva por gravedad u otro motivo.
h) Suponga que el arquero está parado en c y está observando a los jugadores en la cancha. 
· Señale qué condición debe cumplir el vector-posición m (que es un vector cualquiera; no está dibujado en la ilustración) de un jugador para que esté tapado (desde el punto de vista del arquero) por un jugador que está en i.
· Señale qué condición debe cumplir el vector-posición m de un jugador para que tape un jugador que está en i.
i) Un tiro de corner se chutea desde cualquiera de las cuatro esquinas de la cancha. 
· Exprese algebraicamente el conjunto de trayectorias o vectores-dirección que debe tener una pelota que se chutea desde d para que vaya a ras de suelo y que no salga de inmediato de la cancha
· Repita lo anterior pero sin necesidad de que la pelota vaya a ras de suelo.
Ejercicio 2. Geometría Vectorial
Considere los siguientes vectores:
	a = (10, 20, 5)
	b = (5, 7, 2)
	c = (15, 40, 20)
	d = (10, 1, 9)
Con los cuales se forman dos rectas: (a + λb) y (c + µd)
a) Encuentre la intersección de estas dos rectas.
b) Detalle cuál es la condición que debe cumplirse para que las rectas sean paralelas, y dé un ejemplo.
c) En base a la respuesta en a) ¿De qué maneras se podría encontrar una solución a la intersección de las rectas?
d) ¿Qué tiene que ocurrir para que las rectas sean la misma? Dé un ejemplo.
e) ¿Cuáles son los componentes del vector d y los valores de λ, µ para que las rectas se intercepten en el punto (40, 62, 17)? 
f) ¿Qué debe ocurrir para que las rectas se intercepten en forma perpendicular? Resuelva. 
Pauta Ayudantía 5
Solución Ejercicio 1
a) El centro de la cancha a: (55 , 0 , 0)
La esquina superior derecha b:(58.66 , 60 , 2.1)
El punto del tiro penal c: (55 , -49 , 0)
La esquina inferior derecha d: (10 , -60 , 0) 
b) Usando como puntos 3 esquinas del arco y separando en cada componente llegamos a que:
x=58.66+7.32μ
y=60
z=2.1+2.1δ
Vemos que la única forma de eliminar δ y eliminar μ es haciendo A=0;C=0. Luego, la ecuación del plano queda y=60 siendo B=1; D=60. Cualquier amplificación de B y D también sirve, por lo que son infinitas soluciones.
c) Hay al menos dos formas de responder:
i) El vector es una combinación convexa de las esquinas de la cancha:
ii) Definir el plano de la cancha, y acotarlo a las medidas de la cancha. Para esto vamos a usar la esquina d y 2 vectores dirección perpendiculares
d) Al menos 2 formas de responder:
i) Usando la misma definición para que la pelota este dentro de la cancha, solo que agregamos la siguiente restricción: Si bien esto soluciona nuestro problema, puede ser un poco “patudo” usar el vector p en una restricción, siendo que queremos definir ese mismo vector, puesto que puede generar problemas del tipo “referencia circular”.
ii) Considere la circunferencia cuyo centro es el origen (0,0) tiene radio r. Llamemosle al vector unitario que va en la misma dirección que el eje x y llamemosle al vector unitario que va en la misma dirección que el eje y. Luego, usando pitagoras, podríamos definir toda la circunferencia de la siguiente manera:
Así, la componente x al cuadrado mas la componente y al cuadrado van a ser exactamente igual al radio al cuadrado cuando estemos en los bordes de la circunferencia y va a ser menor que el radio al cuadrado para puntos interiores.
Usando esta idea, podemos definir el centro de la cancha de la siguiente manera:
Al dividir cada vector dirección por su modulo lo transformamos en un vector unitario. Lo único que hay que fijarse es que los vectores que usemos en este caso sean ortogonales y que usemos como vector posición el centro de la circunferencia.
e) 
Lo único que necesitamos es agregar, a cualquiera de las 2 formas expresadas en c, una componente de altura.
i) Como tenemos que el vector h esta justo sobre el vector i, basta con agregar: +μ S.A. μ≥0 a cualquiera de las 2 formas expresadas en c). 
ii) Alternativamente, dada la posición del origen y las direcciones de los ejes z, x e y que nos dan en el enunciado, podemos agregar: +μ(0 ,0 ,1) S.A. μ≥0. 
Si bien las 2 alternativas sirven, la primera es independiente de donde este el origen y cuales sean los ejes z, x e y. La segunda solo funciona dada la forma de los ejes coordenados.
f) 
i) En término de los vectores i, e y f no se puede, ya que ninguno de ellos tiene altura o componente en el eje z, por lo tanto es imposible hacerlo de esa manera.
ii) Usando los vectores i y h: Simplemente describimos la recta que pasa por el punto i y el punto h y luego acotamos esa recta con los valores posibles de lambda
p=i+λ(h-i) S.A. 0≤λ≤1
g) 
Al igual que el vector que va desde el punto M al punto N se anota como (n – m), aquí debemos escribir el vector que va del punto i al plano π como (π-i). De esta manera lo único que nos falta por tener es las condiciones del plano π para que sean solo el interior del arco.
Usando la forma del planode un punto más 2 vectores dirección, una alternativa para describir el interior de arco es:
En palabras, usamos la esquina del arco, y sumamos un vector unitario en la dirección de la altura (eje z) y otro vector unitario en la dirección del ancho (el eje x). Así las restricciones para cada lambda están dadas por las medidas del arco.
Finalmente, si a este plano acotado le restamos i obtenemos el conjunto de vectores dirección que chuteados desde i entrarían al arco 
h)
i) Básicamente, si trazamos una recta entre c e i, necesitamos describir todos los puntos que estén más allá de i. De manera formal:
 
ii) Lo mismo, pero ahora debe estar entre c e i. Formalmente:
i) 
Dependiendo de la esquina de donde estemos parados es como va a ser la forma de los vectores para que no escapen de la cancha. Para generalizar llamemos P a la esquina relevante de donde se tira el córner, y llamemos A y B a las 2 esquinas adyacentes a P. Asi, para que el córner no salga inmediatamente de la cancha se debe cumplir que la dirección de este debe ser:
Para el caso de que la pelota pueda ir en altura, simplemente a la dirección le agregamos una componente de altura:
Ejercicio 2 – Geometría Vectorial
Es importante recordar que el vector posición de una recta es el que determina en qué lugar del espacio se ubicará la recta (a) y el vector dirección el ángulo que tendrá dicha recta (b).
a) Para encontrar la intersección de las rectas, es necesario igualar ambas ecuaciones (a + λb) = (c + µd), esto se hace resolviendo el siguiente sistema;
i) 10 +5λ = 15 + 10µ
ii) 20 + 7λ = 40 + µ 
iii) 5 + 2λ = 20 + 9µ 
	Si se utilizan las ecuaciones i) y ii) se llega al resultado de que λ =3 y µ=1. Con lo que reemplazando en cualquiera de las dos ecuaciones de la recta, se llegaría a que el punto de intersección de ambas rectas es (25, 41, 11). El error de esta resolución está en que si se reemplazan los resultados de λ =3 y µ=1, en la ecuación iii) del sistema se llega a una contradicción (11=29), lo que significa matemáticamente que el problema no tiene solución, o geométricamente que ambas rectas no se cruzan.
b) La condición que se debe cumplir para que ambas rectas sean paralelas es que el vector dirección de una de las rectas sea una combinación lineal del vector dirección de la otra recta. 
Un ejemplo de esto es 2b = d, es decir 
b = (5, 7, 2) y 
d = 2*(5, 7, 2)= (10, 14, 4)
El sistema a resolver quedaría de la siguiente manera;
i) 10 +5λ = 15 + 10µ
ii) 20 + 7λ = 40 + 14µ 
iii) 5 + 2λ = 20 + 4µ 
	Manteniendo todo el resto de los vectores de las rectas constantes (como en la letra a) Las rectas seguirán sin tener un punto de intersección, pero ahora estarán sobrepuestas espacialmente de manera paralela.
c) Para encontrar una solución a la intersección de ambas rectas en un punto, se pueden dar una de dos condiciones;
i) Mover el vector posición de una de las dos rectas, lo que hace subir o bajar la recta que se está moviendo, de manera de que se encuentre con la otra, para esto se tendría que resolver el siguiente sistema, en que z es una tercera incógnita a encontrar:
(1) z +5λ= 15 + 10µ
(2) 20 + 7λ = 40 + 1µ 
(3) 5 + 2λ = 20 + 9µ
ii) Mover el vector posición de una de las dos rectas, lo que hace cambiar la inclinación de ese vector para encontrarse con la otra recta, para esto se resuelve el siguiente sistema nuevamente con z como tercera variable a encontrar:
(1) 10 +zλ = 15 + 10µ
(2) 20 + 7λ = 40 + 1µ 
(3) 5 + 2λ = 20 + 9µ
d) Para que las rectas sean iguales, el vector posición de la recta 2 tiene que ser una combinación lineal de los vectores posición y dirección de la recta 1.(Ej. c´= a + ½b = (12,5; 23,5; 6))
	Y el respectivo vector dirección de la recta 2 debe ser una combinación lineal del vector dirección de la recta 1. (Ej. d´= 2b = (10, 14, 4))
Se resuelve el siguiente sistema;
i) 10 +5λ = 12,5 + 10µ
ii) 20 + 7λ = 23,5 + 14µ 
iii) 5 + 2λ = 6 + 4µ
Siendo la solución λ = 0,5 y µ=2λ, lo que se puede ver gráficamente así:
e) El valor de λ es 6, lo que se obtiene al resolver el siguiente sistema;
i) 10 +5λ = 40
ii) 20 + 7λ = 62
iii) 5 + 2λ = 17
	Para obtener el valor de µ y los componentes del vector d (x, y, z), se resuelve el siguiente sistema;
iv) 40 = 15 + a
v) 62 = 40 + b
vi) 15 = 20 + c
	En que a = 25, b = 22, c = -5. Donde se supone que a = µ* x, b = µ* y, c =µ*z, ya que no se podría resolver un sistema de cuatro variables, con tres ecuaciones.
f) Para que las rectas se intercepten en forma perpendicular, el producto punto de los vectores dirección de ambas rectas debe ser igual a cero, y mover el vector dirección o posición de una de las rectas para que se puedan intersectar.
Resolviendo,
	(5, 7, x) • (10, 1, 9) = 0
	x = -57/9
Se reemplaza a en el siguiente sistema, en se mueve el vector posición de la segunda recta;
i) 10 +5λ = 15 + 10µ
ii) 20 + 7λ = 40 + µ 
iii) 5 – 57/9λ = 20z + 9µ 
Obteniéndose λ = 3, µ =1, z = -1,15.
ozyxabcdefghijkl
10 m