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Ayudantia 5 II 2013

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN
Segundo Semestre 2013
Ayudantía 5
EAA-251 Métodos de Optimización
2 de octubre de 2013
Profesores: Pascuala Domínguez 
Bárbara Prieto
Marcos Singer
Christian Villalobos
Ayudante: Jacinta Diestre
	Ayudante Jefe: Raimundo Gana
Pregunta 1
La Cuenca del Maule se conforma de un número de ríos y embalses desde los cuales se alimentan centrales hidroeléctricas y zonas de riego. La ilustración muestra parcialmente la parte poniente de esta cuenca que consta de tres embalses y cauces de agua. Existen tres tipos de cauces: de extracción, de vertimiento y de filtración. El cauce por extracción en controlado por esclusas. En cambio, el cauce por vertimiento es involuntario: el caso de los embalses ocurre cuando se copa la capacidad de almacenamiento del embalse. Las centrales hidroeléctricas y las zonas de riego no pueden almacenar agua, por lo tanto vierten todo el flujo que sobra. Dado que el flujo por vertimiento es involuntario, puede tener pérdidas en el camino, de modo que cierto porcentaje del agua que sale por vertimiento desde el origen, no llega a su destino. El cauce por filtración subterránea es constante, es decir, no depende del nivel de agua del embalse. La generación de las centrales Pehuenche, Colbún y Machicura depende de cuánto se extraiga de sus embalses aguas arriba. Chiburgo es una “central de pasada”, es decir, sólo genera potencia cuando existe caudal. El caudal de agua en las zonas de regadío puede causar pérdidas sociales si es que sobrepasa la demanda de estas zonas. Suponga que el beneficio (beneficio negativo en caso de pérdidas) del caudal que pasa por las zonas de regadíos es mucho menor que el beneficio del caudal que pasa por las centrales.
a) Modele el problema de optimización que maximiza la utilidad social. Para ello defina parámetros y variables[footnoteRef:1]. La evaluación de la respuesta dependerá de la relevancia de los parámetros y variables y de la idoneidad del modelo. [1: HINT: Si bien en algunos casos es más fácil definir parámetros, variables y restricciones de manera indexada a los conjuntos, esto no necesariamente es siempre así. Por ejemplo, en este problema conviene definir una familia de restricciones de inventario para cada embalse y para todos los períodos, no una familia de restricciones válida para todos los embalses y para todos los períodos.
] 
b) Suponga que el caudal esperado de los afluentes tiene una cierta distribución de probabilidad. Muestre cómo cambia la modelación si el objetivo es maximiza la utilidad social esperada. Considere que existe un costo social de colapso de cada embalse.
Esquema explicativo del modelo
 Pregunta 1 
a) Conjuntos:
	E = {Embalse Melado, Embalse Colbún y Embalse Machicura}	embalses;
	R = {Riego Maule Norte Alto, Riego Estero Machicura,… }	zonas de riego;
	C = {Central Pehuenche, Central Chiburgo,… }	centrales;
	T = {enero, febrero,...}	meses del año.
por comodidad, abreviaremos:
	E = {EME, ECO, EMA}
	R = {RNA, RMA; RNB, RMS, RMT, RSR}
	C = {CPR, CCH, CMA, CCO}
	T = {enero, febrero,...},
y definiremos un nodo dummy, llamado “*” que permita definir los arcos que salen de las zonas de riego Maitenes y Sur. 
Parámetros:
Ae,t	caudal que recibe el embalse e en el período t desde el río que lo alimenta;
Zi,j	volumen desaguado por filtración desde el origen i hacia el destino j, con (i, j) Z= {(ECO,RMT)}
Mi,j	porcentaje de pérdida en el flujo desaguado por vertimiento que recorre el 
par (i, j), con (i, j) Y= {(RNA,ECO); (ECO,RMA); (RMA,EMA); (RMS,RMT); (RMT,*);(RSR,*)}
Ve	capacidad de almacenamiento del embalse e 
Kr	demanda máxima de la zona de riego r. El agua entregada por sobre esta cantidad produce pérdida.
Ie	inventario inicial de agua en el embalse e.
Gc 	Beneficio social de la energía producida al generar energía con una unidad de volumen de agua, en la central c.
Hr 	Beneficio social de una unidad de volumen de agua, entregada a la zona de riego r, que esté por debajo de la demanda máxima.
Fr 	Pérdida social de una unidad de volumen de agua, entregada a la zona de riego r, que esté por encima la demanda máxima.
Variables: 
xi,j,t	volumen desaguado por extracción desde el origen i hacia el destino j, en el periodo t; con (i, j) X= {(EME,CPE); (EME,RNA); (CPE,ECO); (ECO,CCO); (ECO,RNB); (RNB,CCH); (CCH, RMS); (CCO,RMA); (EMA,CMA); (CMA, RSR); (EMA,RSR)}
yi,j,t	volumen desaguado por vertimiento desde el origen i hacia el destino j, en el periodo t; con (i, j) Y= {(RNA,ECO); (ECO,RMA); (RMA,EMA); (RMS,RMT); (RMT,*);(RSR,*)}
ie,t	Inventario final embalse e en período t
z	Utilidad social neta
Variables auxiliares
vr,t	volumen de agua recibido por la zona de riego z, en el periodo t, por debajo de la demanda máxima de agua en esa zona;
wr,t	volumen de agua recibido por la zona de riego z, en el periodo t, por encima de la demanda máxima de agua en esa zona;
Maximizar +- 
sujeto a:
	Desdoble de flujo de entrada en zonas de riego:
vr,t + wr,t = ++	r, t	
Balance de flujo en centrales:
+=+	c, t	 
Balance de flujo en zonas de regadío
vr,t + wr,t =+ 	r, t 
Balance de flujo e inventario en embalses
iEME,t-1 + AEME,t = iEME,t + xEME,CPE,t + yEME,RNA,t	 t	Embalse Melado
iECO,t-1 + AECO,t + xCPE,CPO,t + (1-MRNA,ECO) ∙ yRNA,ECO,t = 
	iECO,t + xECO,RNB,t + xECO,CCO,t + yECO,RMA,t + ZECO,RMT 	 t	Embalse Colbún
iEMA,t-1 + (1-MRMA,EMA) ∙ yRMA,EMA,t = 
	iEMA,t + xEMA,CMA,t + xEMA,RSR,t 	 t	Embalse Machicura
Volúmenes iniciales
ie,0 = Ie	 e	
Capacidad del canal;
xe,f,t Ke,f	 e, f E; t T	
Volumen inicial;
ie,0 = Ie	 e	
Capacidad del embalse;
ie,t Ve	 e, t	
Demanda mínima y máxima de cada zona de riego;
vr,t Kr	 r, t	
No-negatividad:
xi,j,t 0	 (i, j) X, t
yi,j,t 0	 (i, j) Y, t
vr,t, wr,t 0	 r, t
b) Lo más pertinente es utilizar un modelo de programación estocástica:
-Se considera que el parámetro Ae,t ahora tiene cierta distribución de probabilidad discreta, descrita por un conjunto de escenarios, donde cada escenario s, tiene una probabilidad de ocurrencia ps. El valor que toma este parámetro en casa escenario s, es Ae,t,s
-Todas las variables se replican por escenario. Es decir, ahora tendremos las variables xi,j,t,s, yi,j,t,s, vr,t,s, wr,t,s.
-Todas las restricciones se replican por escenario. Es decir, a su izquierda se agrega s
-Se maximiza el valor esperado de la función objetivo original. Es decir, se maximiza:
Se agrega las restricciones de no-anticipatividad:
xi,j,t,s = x’i,j,t,u			 s Et,u; t T; 1 u 2t-1
yi,j,t,s = y’i,j,t,u			 s Et,u; t T; 1 u 2t-1
vr,t,s = vr,t,u 			 s Et,u; t T; 1 u 2t-1
wr,t,s = wr,t,u 			 s Et,u; t T; 1 u 2t-1
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Embalse MeladoEmbalse ColbúnEmbalse MachicuraCentralPehuencheRiego Maule Norte AltoCentralColbúnCentralMachicuraRiego SurRiego Maule Norte BajoCentralChiburgoRiego Maule SurRiego Estero MachicuraRío MeladoRiego MaitenesCauce por extracciónCauce por vertimientoCauce por filtraciónRío Melado
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