Ayudantia 6 I 2013

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN
Segundo Semestre 2013
Ayudantía 6
EAA-251 Métodos de Optimización
9 de octubre de 2013
Profesores: Pascuala Domínguez 
Bárbara Prieto
Marcos Singer
Christian Villalobos
Ayudante: Magdalena Donetch
	Ayudante Jefe: Raimundo Gana
Pregunta 1
La cancha de futbol es el rectángulo de 120 metros [m] por 90 [m]. La altura de los arcos es 2,1 [m]. Suponga que en un punto en el suelo o que muestra la ilustración, que está a diez metros de la cancha de futbol y en la continuación de su línea central, se instala un aparato localizador. El punto o define el origen de tres ejes de coordenadas: x (a lo ancho de la cancha), y (a lo largo de la cancha) y z (altura). 
El aparato puede calcular el vector-posición en el espacio x-y-z de cualquier punto en la cancha, de la pelota y de los jugadores.
Considerando las medidas de la cancha que muestra la ilustración y los vectores-posición definidos, responda las siguientes preguntas.
a) Exprese como vector de tres componentes las siguientes posiciones:
• En centro de la cancha a;
• La esquina superior derecha b del arco del fondo;
• El punto c (Punto Penal);
• La esquina inferior izquierda d de la cancha.
b) Encuentre los valores de A, B, C y D que definen al plano que contiene al arco del fondo de la ilustración en la forma Ax + By + Cz = D ¿Es única la solución?
c) Exprese qué condición debe cumplir el vector-posición p (que es un vector cualquiera; es decir, no está dibujado en la ilustración) de la pelota para estar en el suelo dentro de la cancha, en términos de los vectores o, a, b,… y l (aunque no necesariamente debe incluirlos todos).
d) Exprese qué condición debe cumplir el vector-posición p de la pelota para estar posada
en el círculo central de la cancha (de radio 9,15 [m]). Responda en términos de los vectores o,
a, b,… y l y de cualquier otro vector que deba definir.
e) De acuerdo a las reglas del futbol, la pelota localizada en p no ha salido del campo de juego (entendido como volumen tridimensional) en tanto su proyección en el suelo no salga de la cancha. Por ejemplo, el punto h está a 10 [m] de altura y se proyecta ortogonalmente en el punto en el suelo i que está dentro de la cancha. Por lo tanto, h está dentro del campo de juego.
Por su parte j también está a 10 [m] de altura y se proyecta ortogonalmente en el punto en el suelo k que esta fuera de la cancha. Por lo tanto, j esta fuera del campo de juego.
Exprese qué condición debe cumplir el vector-posición p de la pelota para estar dentro del campo de juego en términos de los vectores o, a, b,… y l y de cualquier otro vector que deba definir.
f) Exprese el segmento de recta entre h e i en términos de los vectores i y h ó k, e, f y j.
Hint: suponga que j tiene coordenada X ≥100 y que la coordenada X de i y k es la misma.
g) Exprese algebraicamente el conjunto de trayectorias o vectores-dirección que debe tener una pelota que se chutea desde i para que entre al arco de abajo en la figura (cuya esquina inferior izquierda es l). Suponga que la trayectoria no se curva por gravedad u otro motivo.
h) (Suponga que el arquero está parado en c y está observando a los jugadores en la cancha.
• Señale qué condición debe cumplir el vector-posición m (que es un vector cualquiera; no está dibujado en la ilustración) de un jugador para que este tapado (desde el punto de vista del arquero) por un jugador que está en i.
• Señale qué condición debe cumplir el vector-posición m de un jugador para que tape un jugador que está en i.
i) Un tiro de corner se chutea desde cualquiera de las cuatro esquinas de la cancha.
• Exprese algebraicamente el conjunto de trayectorias o vectores-dirección que debe tener una pelota que se chutea desde d para que vaya a ras de suelo y que no salga de inmediato de la cancha
• Repita lo anterior pero sin necesidad de que la pelota vaya a ras de suelo.
Pregunta 2
Un problema de 25 variables de decisión define un espacio de 25 dimensiones o 25 grados de libertad. ¿Cuántos grados de libertad resultan si se exige el cumplimiento de 11 ecuaciones linealmente independientes?, ¿Cuántas variables de decisión independientes se pueden definir en este nuevo problema restringido?, ¿Cómo interpreta geométricamente esta situación?
Pregunta 3
Considere la recta de la siguiente ilustración que pasa por los puntos (4, 2, 2) y (3, 6, 4).
a) (4 puntos) Exprese la recta en la forma a + λb donde λ es un escalar.
b) (4 puntos) Calcule el punto A, la intersección de la recta con el plano de los ejes x y z.
c) (7 puntos) Considere la porción de plano que se representa en la siguiente ilustración que contiene la recta definida en (a) y el segmento de recta AB que es paralelo al eje y. Exprese el plano que contiene a la porción ilustrada, en la forma vH • x = C.
Pregunta 4
A raíz del terremoto, una casa ubicada a 2 metros de altura (sobre z=0) se hundió pero de manera desequilibrada. Solo la esquina derecha de la parte de atrás de la casa (C) quedo en la posición original. Sus esquinas frontales se hundieron 1 metro la derecha (A) y 2 metros la izquierda (B).
Sus vértices quedaron ubicados en las siguientes coordenadas:
A=(8,-5,1) B=(6,-8,0) C=(0,0,2)
a) ¿Cuál es el largo y ancho de la casa?
b) Determine la ecuación del plano que contiene el piso de la casa.
c) ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplirse para determinar las coordenadas del punto D (esquina trasera izquierda de la casa)? Encuentre ese punto.
d) Si la casa tiene una altura de 5 metros, ¿Cuáles son las condiciones para encontrar las coordenadas de las esquinas superiores? Encuentre ese punto.
Pregunta 5 - PROPUESTO
Considere los vectores a = (10, 20, 5), b = (5, 7, 2), c = (15, 40, 20), d = (10, 1, 9), con los cuales se forman dos rectas: (a + λb) y (c + μd):
a) Encuentre la intersección de estas dos rectas.
b) Detalle cuál es la condición que debe cumplirse para que las rectas sean paralelas, y dé un ejemplo.
c) ¿En base a la respuesta en a), ¿de qué maneras se podría encontrar una intersección de las rectas?
d) ¿Qué tiene que ocurrir para que las dos rectas sean exactamente la misma? Dé un ejemplo.
e) En base a la respuesta en a), ¿cuáles son los componentes del vector d y los valores de λ y μ que permiten que las rectas se intersecten en el punto (40, 62, 17)?
f) En base a la respuesta en a), ¿qué debe ocurrir para que las rectas se intercepten en forma perpendicular? Resuelva.
Considere ahora los puntos: M = (5,6,7); N = (7,5,4) y O = (6,8,8).
g) Exprese el plano que contiene a M, N y O de la forma a + δb + μc, donde a, b y c son vectores y δ y μ son escalares.
h) Exprese el plano que contiene a M, N y O de la forma: Ax + By + Cz = D, en donde A, B y
C son escalares.