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Ayudantia 6 I 2012

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Escuela de Administración
Primer Semestre 2012
EAA-251 Métodos de Optimización
Ayudantía Nº6 – Geometría Vectorial y DEA
Profesores: Bárbara Prieto
Marcos Singer
Christian Villalobos
Ayudante: Andrés Cereceda
Ejercicio 1. Geometría Vectorial – La Cancha de Futbol
(Ejercicio Prueba 2 – 1° Sem 2010)
La cancha de fútbol es el rectángulo de 120 metros [m] por 90 [m]. La altura de los arcos es 2,1 [m]. Suponga que en un punto en el suelo o que muestra la ilustración, que está a diez metros de una cancha de fútbol y en la continuación de su línea central, se instala un aparato localizador. El punto o define el origen de tres ejes de coordenadas: x (a lo ancho de la cancha), y (a lo largo de la cancha) y z (altura). El aparato puede calcular el vector-posición en el espacio x-y-z de cualquier punto en la cancha, de la pelota y de los jugadores.
Considerando las medidas de la cancha que muestra la ilustración y los vectores-posición definidos, responda las siguientes preguntas.
a) Exprese como vector de tres componentes las siguientes posiciones:
· En centro de la cancha a;
· La esquina superior derecha b del arco del fondo;
· El punto c en el que se pone la pelota para chutear un tiro penal;
· La esquina inferior izquierda d de la cancha.
b) Encuentre los valores de A, B, C y D que definen al plano que contiene al arco del fondo de la ilustración en la forma Ax + By + Cz = D. ¿Es única la solución?
c) Exprese qué condición debe cumplir el vector-posición p (que es un vector cualquiera; no está dibujado en la ilustración) de la pelota para estar en el suelo dentro de la cancha, en términos de los vectores o, a, b,… y l (aunque no necesariamente debe incluirlos todos). 
d) Exprese qué condición debe cumplir el vector-posición p de la pelota para estar posada en el círculo central de la cancha (de radio 9,15 [m]). Responda en términos de los vectores o, a, b,… y l y de cualquier otro vector que deba definir.
e) De acuerdo a las reglas del fútbol, la pelota localizada en p no ha salido del campo de juego (entendido como volumen tridimensional) en tanto su proyección en el suelo no salga de la cancha. Por ejemplo, el punto h está a 10 [m] de altura y se proyecta ortogonalmente en el punto en el suelo i que está dentro de la cancha. Por lo tanto, h está dentro del campo de juego. Por su parte j también está a 10 [m] de altura y se proyecta ortogonalmente en el punto en el suelo k que está fuera de la cancha. Por lo tanto, j está fuera del campo de juego.
Exprese qué condición debe cumplir el vector-posición p de la pelota para estar dentro del campo de juego en términos de los vectores o, a, b,… y l y de cualquier otro vector que deba definir.
f) Exprese el segmento de recta entre h e i en términos de los vectores i, e y f , y en términos de i y h. 
g) Exprese algebraicamente el conjunto de trayectorias o vectores-dirección que debe tener una pelota que se chutea desde i para que entre al arco de abajo en la figura (cuya esquina inferior izquierda es l). Suponga que la trayectoria no se curva por gravedad u otro motivo.
h) Suponga que el arquero está parado en c y está observando a los jugadores en la cancha. 
· Señale qué condición debe cumplir el vector-posición m (que es un vector cualquiera; no está dibujado en la ilustración) de un jugador para que esté tapado (desde el punto de vista del arquero) por un jugador que está en i.
· Señale qué condición debe cumplir el vector-posición m de un jugador para que tape un jugador que está en i.
i) Un tiro de corner se chutea desde cualquiera de las cuatro esquinas de la cancha. 
· Exprese algebraicamente el conjunto de trayectorias o vectores-dirección que debe tener una pelota que se chutea desde d para que vaya a ras de suelo y que no salga de inmediato de la cancha
· Repita lo anterior pero sin necesidad de que la pelota vaya a ras de suelo.
Ejercicio 2. Análisis Envolvente de Datos (DEA) – La Crisis
El club de futbol “Indio Blanco Negro” pasa por momentos difíciles. Su actual temporada no ha sido buena, y para colmo, acaba de perder el clásico contra su archirrival “Buho Azul” por nada menos que 5-0. El cuerpo técnico cree que el problema es la falta de gol, por lo que ha decidido evaluar a los delanteros del equipo a partir de tres variables:
1-. Cantidad de Goles en la Temporada
2-. Cantidad de Asistencias en la Temporada
3-. Peligrosidad (factor subjetivo evaluado de 1 a 10 por la prensa deportiva, donde 1 refleja un delantero muy peligroso puesto que ocasiona muchas oportunidades de gol, y 10 todo lo contrario) 
La evaluación será a partir de la siguiente información:
	Delantero
	Goles
	Asistencias
	Peligrosidad
	1
	5
	6
	3
	2
	2
	3
	7
	3
	7
	5
	6
	4
	6
	8
	2
Considerando solo las variables Goles y Asistencias, responda:
a) ¿Qué delantero presenta el mejor desempeño? ¿Y el peor?
b) ¿Cuáles son los benchmarks para el delantero 1? ¿Cuánto debe mejorar para igualar su combinación lineal? 
El cuerpo técnico ha decidido tomar en cuenta la variable “Peligrosidad”, ya que piensan que al considerar la opinión de la prensa especializada, pueden llegar a captar cosas que ellos simplemente “no están viendo”.
c) ¿Cómo podemos incorporar esta realidad en el DEA?
Ejercicio 3. Análisis Envolvente de Datos (DEA) – Los Autos 
Patricio ha decidido regalarle a su hija Ema, un auto para cuando ella se haya recibido de Ingeniero Comercial. Como Ema está pronto a recibirse, Patricio ya ha empezado a evaluar distintas posibilidades, y recolectando información ha obtenido los siguientes resultados:
	Auto
	Calidad
	Ahorro
	Seguridad
	A
	7
	5
	7
	B
	4
	6,5
	4
	C
	5
	4
	7
	D
	6
	5
	5,5
	E
	4,5
	5
	4
	F
	7
	6,5
	3
Además, realiza un Análisis Envolvente de Datos, llegando a:
	Parámetros
	A
	B
	E
	ø
	0,805
	0,88
	1,1
	λA
	-
	0,5
	0,26
	λB
	0
	-
	0,66
	λC
	0,47
	0
	0
	λD
	0,43
	0
	0
	λE
	0
	0
	-
	λF
	0,1
	0,5
	0,08
a) ¿Existe algún auto que supere a otro?
b) ¿Qué auto/s es/son eficientes? ¿Con quién se compara cada uno? ¿Cuáles son sus benchmarks? 
c) ¿Si la calidad, ahorro y seguridad de C y D caen un punto, ¿Cómo cambia la eficiencia del auto E?
Si a partir de una combinación lineal convexa de los autos existentes se tuviese que formar un vector linealmente dependiente con el de B con la mayor norma posible:
d) ¿Qué norma tendría este vector?
e) ¿Cuánto mayor/menor será respecto de la norma de B?
f) ¿Cuál será el valor de cada uno de los ponderadores? 
Pauta Ayudantía 6
Solución Ejercicio 1
a) El centro de la cancha a: (55 , 0 , 0)
La esquina superior derecha b:(58.66 , 60 , 2.1)
El punto del tiro penal c: (55 , -49 , 0)
La esquina inferior derecha d: (10 , -60 , 0) 
b) Usando como puntos 3 esquinas del arco y separando en cada componente llegamos a que:
x=58.66+7.32μ
y=60
z=2.1+2.1δ
Vemos que la única forma de eliminar δ y eliminar μ es haciendo A=0;C=0. Luego, la ecuación del plano queda y=60 siendo B=1; D=60. Cualquier amplificación de B y D también sirve, por lo que son infinitas soluciones.
c) Hay al menos dos formas de responder:
i) El vector es una combinación convexa de las esquinas de la cancha:
ii) Definir el plano de la cancha, y acotarlo a las medidas de la cancha. Para esto vamos a usar la esquina d y 2 vectores dirección perpendiculares
d) Al menos 2 formas de responder:
i) Usando la misma definición para que la pelota este dentro de la cancha, solo que agregamos la siguiente restricción: Si bien esto soluciona nuestro problema, puede ser un poco “patudo” usar el vector p en una restricción, siendo que queremos definir ese mismo vector, puesto que puede generar problemas del tipo “referencia circular”.
ii) Considere la circunferencia cuyo centro es el origen (0,0) tiene radio r. Llamemosle al vector unitario que va en la misma dirección que el eje x y llamemosle al vector unitario que va en la misma dirección que el eje y. Luego, usando pitagoras, podríamos definir toda la circunferencia de la siguiente manera:
Así, la componente x al cuadradomas la componente y al cuadrado van a ser exactamente igual al radio al cuadrado cuando estemos en los bordes de la circunferencia y va a ser menor que el radio al cuadrado para puntos interiores.
Usando esta idea, podemos definir el centro de la cancha de la siguiente manera:
Al dividir cada vector dirección por su modulo lo transformamos en un vector unitario. Lo único que hay que fijarse es que los vectores que usemos en este caso sean ortogonales y que usemos como vector posición el centro de la circunferencia.
e) 
Lo único que necesitamos es agregar, a cualquiera de las 2 formas expresadas en c, una componente de altura.
i) Como tenemos que el vector h esta justo sobre el vector i, basta con agregar: +μ S.A. μ≥0 a cualquiera de las 2 formas expresadas en c). 
ii) Alternativamente, dada la posición del origen y las direcciones de los ejes z, x e y que nos dan en el enunciado, podemos agregar: +μ(0 ,0 ,1) S.A. μ≥0. 
Si bien las 2 alternativas sirven, la primera es independiente de donde este el origen y cuales sean los ejes z, x e y. La segunda solo funciona dada la forma de los ejes coordenados.
f) 
i) En término de los vectores i, e y f no se puede, ya que ninguno de ellos tiene altura o componente en el eje z, por lo tanto es imposible hacerlo de esa manera.
ii) Usando los vectores i y h: Simplemente describimos la recta que pasa por el punto i y el punto h y luego acotamos esa recta con los valores posibles de lambda
p=i+λ(h-i) S.A. 0≤λ≤1
g) 
Al igual que el vector que va desde el punto M al punto N se anota como (n – m), aquí debemos escribir el vector que va del punto i al plano π como (π-i). De esta manera lo único que nos falta por tener es las condiciones del plano π para que sean solo el interior del arco.
Usando la forma del plano de un punto más 2 vectores dirección, una alternativa para describir el interior de arco es:
En palabras, usamos la esquina del arco, y sumamos un vector unitario en la dirección de la altura (eje z) y otro vector unitario en la dirección del ancho (el eje x). Así las restricciones para cada lambda están dadas por las medidas del arco.
Finalmente, si a este plano acotado le restamos i obtenemos el conjunto de vectores dirección que chuteados desde i entrarían al arco 
h)
i) Básicamente, si trazamos una recta entre c e i, necesitamos describir todos los puntos que estén más allá de i. De manera formal:
 
ii) Lo mismo, pero ahora debe estar entre c e i. Formalmente:
i) 
Dependiendo de la esquina de donde estemos parados es como va a ser la forma de los vectores para que no escapen de la cancha. Para generalizar llamemos P a la esquina relevante de donde se tira el córner, y llamemos A y B a las 2 esquinas adyacentes a P. Asi, para que el córner no salga inmediatamente de la cancha se debe cumplir que la dirección de este debe ser:
Para el caso de que la pelota pueda ir en altura, simplemente a la dirección le agregamos una componente de altura:
Solución Ejercicio 2
a) Los delanteros 1,3 y 4 dominan individualmente al delantero 2, por lo que se puede afirmar que el delantero 2 es el que tiene el peor desempeño. Por otro lado, el delantero 4 domina individualmente al delantero 1, y los delanteros 3 y 4 dominan colectivamente al 1.
Con respecto al mejor desempeño, no se puede afirmar nada ya que el delantero 3 es mejor que el 4 en goles pero no en asistencias. Se puede concluir que los delanteros 3 y 4 forman parte de la frontera de posibilidades. 
b) Benchmarks para el delantero 1: Delanteros 3 y 4.
Resolviendo el DEA, tenemos que>
Entonces,
Sabemos que , ya que el delantero 2 no es benchmark.
Además sabemos que 
Resolviendo el sistema de ecuaciones llegamos a:
Esto significa que el delantero 1 debe mejorar en un 23,8% para llegar a tener el mismo rendimiento o desempeño que la combinación lineal de sus benchmarks.
c)
El DEA asume que las condiciones externas son iguales para todos los sujetos a evaluar, y si no lo son que las diferencias son irrelevantes para el análisis. En el caso de los delanteros, se debe complementar el programa lineal del DEA con las condiciones de entrada. Esto debido a que la peligrosidad si es relevante al minuto de evaluar el desempeño, por lo que debiera incluirse en el análisis del DEA.
Antes de hacer cualquier análisis, se debe cambiar el análisis de la Peligrosidad de los delanteros, ya que para el DEA los números deben reflejar el desempeño de peor a mejor. Es decir, en la escala del 1 al 10 del enunciado, 10 debe reflejar la mayor peligrosidad, y 1 la menor.
	Delantero
	Goles
	Asistencias
	Peligrosidad
	1
	5
	6
	7
	2
	2
	3
	3
	3
	7
	5
	4
	4
	6
	8
	8
Luego,
Solución Ejercicio 3
a) A domina a C, D y E. Por otro lado, D domina a E.
b) Eficiencia = 1/ø
¿Es A eficiente? Si, al compararlo con todos los vectores, vemos que tiene como benchmark a C, D y F, y que tiene un índice de eficiencia de 1,24.
¿Es B eficiente? Si, al compararlo con todos los vectores, vemos que tiene como benchmark a A y F, y que tiene un índice de eficiencia de 1,136
¿Es E eficiente? No, al compararlo con todos los vectores, vemos que tiene como benchmark a A, B y F. Vemos además que tiene un índice de eficiencia de 0,909. Además, ø tiene un valor de 1,1 lo que significa que E debe aumentar su desempeño en un 10% para igualar a la combinación lineal de sus benchmarks.
c) C y D no son parte de la frontera de E (no son benchmark), por lo que una variación en su desempeño no hará variar la eficiencia del auto E.
d) Norma vector B = = 86,17
 Norma vector de la combinación lineal = 0,88 · 86,17 = 75,828
e) Un 12% menor
f) Cero para todos los autos, salvo para A y F que será 0,5 
ozyxabcdefghijkl
10 m

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