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6 NOMBRE: III. [28 puntos] Autoselección en el mercado laboral En diciembre se celebra en Santiago la semana de la cultura, y con motivo de ese evento los museos permanecerán abiertos las 24hs y ofrecerán tours especiales con actividades recreativas correspondientes a la época que rep- resenta cada exposición. Para ello deben contratar a licenciados en turismo adicionales para que lleven a cabo las nuevas actividades. Hay 2 tipos de licenciados en turismo, aquellos que son expertos en arte (θe) y aquellos que no son expertos en arte (θne). Ambos licenciados son aver- sos al riesgo y tienen una función de utilidad (función Bernoulli) u(w) = √ w (donde w es el salario diario recibido). Alternativamente ambos licenciados podŕıan trabajar como gúıas tuŕısticos; en ese caso los expertos obtendŕıan una utilidad U e = 20 por d́ıa trabajado, mientras que los no expertos ob- tendŕıan una utilidad Une = 10 por d́ıa trabajado. El cupo diario máximo de personas que podŕıan entrar a cada museo es de 100 (y siempre se alcanza ese cupo). El valor de la entrada lo decide cada persona al finalizar su paseo por el museo: si está satisfecho pagará 19.5 (pago alto), y si no lo está pagará 2 (pago bajo). Los expertos en arte conseguirán que (todas) las 100 personas decidan pagar 19.5 con probabilidad πea = 0.8, o (todas) decidan pagar 2 con probabilidad πeb = 0.2, mientras que los no expertos conseguirán lo mismo con probabilidad πnea = 0.4 y π ne b = 0.6 para pago alto y bajo respectivamente. 1. [10 puntos] Suponga que existe un único museo y que es neutral al riesgo. (a) [2 puntos] Suponga que el museo puede distinguir con certeza el tipo de cada licenciado y que además quiere contratar únicamente a los licenciados expertos en arte. Obtenga el contrato óptimo que el museo le ofrecerá a dichos licenciados. Fundamente y explique su respuesta. Respuesta: Contrato bajo información simétrica: 0.8 √ wa + 0.2 √ wb = 20 wa = wb = w = 20 2 = 400 El museo buscará maximizar beneficios por lo tanto basta con pagarle a los expertos de arte su utilidad de reserva, además como 7 NOMBRE: hay información simétrica y los licenciados son adversos al riesgo mientras que el museo es neutral, el pago no será contingete en el resultado, es decir será un pago fijo. (b) [5 puntos] Suponga ahora que el museo no puede distinguir el tipo de cada licenciado, pero que sigue queriendo contratar únicamente a los licenciados expertos en arte. Formule el problema que debe resolver el museo si quiere ofrecer un contrato que sea aceptado únicamente por los expertos en arte y demuestre que wa tiene que ser mayor que wb (no es necesario resolver, basta analizar las restricciones). Razone su respuesta. Respuesta: Max 1600−0.8wa−0.2wb (1600 = 1950∗0.8+200∗0.2) sa 0.8 √ wa + 0.2 √ wb ≥ 20 0.4 √ wa + 0.6 √ wb ≤ 10 El museo querrá maximizar sus beneficios pero al no poder distin- guir los tipos tendrá que ofrecerle a los expertos un contrato que les de al menos su salario de reserva pero que además no incentive a los no expertos a aceptar ese contrato. Demostración: Si wa = wb =⇒ √ w ≥ 20 y √ w ≤ 10, lo que no puede darse simultáneamente. Además, si wa < wb =⇒ 0.4 √ wa + 0.6 √ wb > 0.8 √ wa + 0.2 √ wb y por lo tanto si 0.4 √ wa + 0.6 √ wb ≤ 10, 0.8 √ wa + 0.2 √ wb < 10, lo que es una contradicción. Por lo tanto wa > wb (c) [3 puntos] El contrato que resuelve el problema planteado en el punto (b) es wb = 0 y wa = 625 (no es necesario verificar dicho resultado). Obtenga el costo en que incurre el museo con ese con- trato y compare con la situación de información simétrica. Razone su respuesta. Respuesta: Costo esperado del contrato ofrecido bajo información simétrica: 400 Costo esperado del contrato ofrecido bajo información asimétrica: 0.8 ∗ 625 + 0.2 ∗ 0 = 500 8 NOMBRE: Diferencia: 500− 400 = 100 El costo de la información asimétrica es igual a 100. 2. [18 puntos] Suponga que existen n museos, que son neutrales al riesgo y que se desenvuelven en un mercado competitivo. (a) [3 puntos] Obtenga el contrato óptimo que se le ofreceŕıa a cada tipo de licenciado en caso de que los museos pudieran distinguir con certeza el tipo de cada uno; ¿seŕıa la utilidad de cada tipo de licenciado igual a su utilidad de reserva en ese caso? Demuestre y razone su respuesta. Respuesta: xa = 100 ∗ 19.5 = 1950 xb = 100 ∗ 2 = 200 Los museos, al desenvolverse en un mercado competitivo, tendrán beneficios nulos, además como hay información simétrica y los licenciados son adversos al riesgo mientras que el museo es neutral, el pago será fijo e igual al resultado esperado. Contrato para θe: 0.8(1950− wa) + 0.2(200− wb) = 1600− 0.8wa − 0.2wb = 0 wa = wb = w = 1600 Ue = √ 1600 = 40 > U e Contrato para θne: 0.4(1950− wa) + 0.6(200− wb) = 900− 0.4wa − 0.6wb = 0 wa = wb = w = 900 Une = √ 900 = 30 > Une (b) [8 puntos] Obtenga el contrato óptimo que se le ofrecerá a cada tipo de licenciado si los museos no pueden distinguir el tipo de cada uno, pero de todas maneras quieren poder contratar a ambos pagándole salarios diferentes. Obtenga la utilidad de cada tipo de licenciado. Respuesta: Contrato para θne y Une: igual que en el punto anterior 9 NOMBRE: Contrato para θe: El contrato óptimo surge de resolver el siguiente sistema de ecua- ciones (condición de beneficios nulos para el museo y condición de compatibilidad de incentivos para los no expertos): 1600− 0.8wa − 0.2wb = 0 0.4 √ wa + 0.6 √ wb = 30 wa = 1889.53 wb = 441.88 Ue = 0.8 √ 1889.53 + 0.2 √ 441.88 = 38.98 (c) [3 puntos] ¿Quién asume el costo de la falta de información en este caso con competencia entre museos? Cuantif́ıquela y razone su respuesta. Respuesta: Utilidad bajo información simétrica: Ue = 40 Utilidad bajo información asimétrica: Ue = 38.98 Diferencia (pérdida por asumir el costo de la falta de información): 40− 38.98 = 1.02 Los licenciados expertos en arte son los que asumen el costo de la desinformación percibiendo un w contingente en el resultado y una utilidad inferior, es el costo que deben asumir para poder separarse de los no expertos de arte. (d) [4 puntos] Explique detalladamente de qué dependerá que el con- junto de contratos obtenidos en el punto (b) constituya un equi- librio separador. Explique la intuición. Respuesta: Dependerá de la proporción que haya en la economı́a de cada uno de los tipos. Mientras mayor sea la proporción de expertos (α) menor será la probabilidad de que exista el equilibrio separador y mientras menor sea la proporción de expertos mayor será la probabilidad de que exista. En el 1er caso (α → 1) hay espacio como para que otro museo obtenga beneficios ofreciendo un contrato agrupador que atraiga a ambos tipos de licenciados. No importa atraer a ambos ya que 10 NOMBRE: al ser tan baja la proporción de licenciados no expertos la proba- bilidad de obtener el mejor resultado (πa = α ∗ πea + (1 − α)πnea ) será muy similar a la probabilidad asociada a los expertos en arte. En el 2do caso (α → 0) un contrato agrupador implicaŕıa una probabilidad baja de obtener el mejor resultado, ya que πa seŕıa similar a πnea , y una alta probabilidad de atraer sólo a los no expertos en arte incurriendo aśı en pérdidas, por lo tanto al museo le convendŕıa identificar y separar a cada tipo. En este caso no hay espacio como para que otro museo obtenga beneficios ofreciendo un contrato agrupador.
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