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Ayudantia 10 de octubre pauta

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Pauta ejercicios ayudantía 10 de octubre
La siguiente es la pauta de los ejercicios 6 y 7 de la ayudantía del 23 de septiembre y la pauta del
ejercicio 3 de la ayudantía del 10 de octubre. En de�nitiva, son los tres ejercicios que había que se incluyen
en la ayudantía del 10 de octubre.
Es una PAUTA, esto signi�ca que no pondré todos los pasos matemáticos, y espero que ustedes los
resuelvan y lleguen a los resultados.
IMPORTANTE: Para evitar confusiones con los subíndices, en el ejercicio 7 he cambiado el nombre
de un trabajador y de un capitalista por A y C, respectivamente. He agregado, asimismo, el supuesto
que faltaba escribir sobre propiedad de empresas.
Los invito a realizar los tres ejercicios y a preguntarme en horarios de consulta cualquier duda que
tengan. Por favor, si alguien detecta algún error, avíseme, así puedo corregirlo y comunicarlo al resto de
compañeros. Gracias!
Tenga en cuenta que los resultados que tienen decimales pueden variar un poco por los redondeos
(pero solo un poco!!!).
Ejercicio 1 (6 de ayudantía 23-sept)
1 (ex 6) Considere una economía abierta con dos industrias, j = 1; 2. Ambas industrias utilizan los únicos
factores de producción de esta economía: mano de obra cali�cada, H y mano de obra no cali�cada,
L. Suponga, asimismo, que hay dos individuos (agentes representativos), i = a; b. El individuo a es
quien ofrece mano de obra no cali�cada y la cantidad total que ofrece es �La. El individuo b ofrece la
mano de obra cali�cada en una cantidad total �Hb. La industria 1 tiene una tecnología descrita por
la función de producción F (L1;H1) = L
1
2
1H
1
2
1 y la industria 2, G (L2;H2) = L
4
5
2H
1
5
2 . Los agentes
a y b tienen preferencias por consumo de ambos bienes representadas por las funciones de utilidad
Ua(x1a; x2a) = x1ax2a y Ub(x1b; x2b) =
p
x1bx2b, respectivamente.
(a) Encuentre cuáles serían los precios de los factores a los precios internacionales p1 y p2, y es-
tablezca la condición que deberían satisfacer las dotaciones totales de factores para que se
produjeran ambos bienes.
Respuesta:
Es una economía abierta con rendimientos a escala constantes. Los precios p1 y p2 y las
dotaciones �L y �H son los parámetros del modelo. Pero por ahora no tenemos los valores
numéricos, por lo tanto, nos están pidiendo una respuesta analítica, no numérica.
La condición para que se produzcan ambos bienes depende de las intensidades de uso de equi-
librio, bajo el supuesto de que se producen ambos bienes.
(Para evitar confusiones, colocamos el factor H en el mismo lugar que colocamos en general
al factor K)
(i) Funciones de demanda condicionadas de factores.
Industria 1 : Condiciones de primer orden del problema de minimización de costos:(
TMST 1 = wLwH
q1 = L
1
2
1H
1
2
1
=)
(
FL
FH
= wLwH
q1 = L
1
2
1H
1
2
1
=)
(
H1
L1
= wLwH
q1 = L
1
2
1H
1
2
1
de donde obtenemos las funciones de demanda condicionadas:
L1 (wL; wH ; q1) =
�
wH
wL
� 1
2
q1
H1 (wL; wH ; q1) =
�
wL
wH
� 1
2
q1
1
y las funciones de demanda condicionadas a q1 = 1, aL1 = L1 (wL; wH ; q1 = 1) y a
H
1 =
H1 (wL; wH ; q1 = 1):
aL1 =
�
wH
wL
� 1
2
aH1 =
�
wL
wH
� 1
2
Industria 2 : Se obtienen en forma similar (inténtelo, plantee las condiciones y repita todos los
pasos anteriores...explique! ):
aL2 =
�
4wH
wL
� 1
5
aH2 =
�
wL
4wH
� 4
5
(ii) Funciones de costos unitarios (las necesitamos para plantear las condiciones de equilibrio
en función de p1 y p2) (Tenga cuidado cuando simpli�ca los exponentes!!!)
c1 (wL; wH) = wL � aL1 + wH � aH1 = 2w
1
2
Lw
1
2
H
c2(wL; wH) = wL � aL2 + wH � aH2 =
5
4
4
5
w
4
5
Lw
1
5
H
(iii) Conjeturamos que en equilibrio se producen ambos bienes. Si esta conjetura es cierta, se
satisfacen las siguientes condiciones necesarias: (las necesitamos para obtener los salarios en
función de los precios de los bienes):
c1 (w
�
L; w
�
H) = p1
c2(w
�
L; w
�
H) = p2
Luego, si existe tal equilibrio, los salarios (precios de los factores) en equilibrio se obtendrían
de ambas condiciones. Estos precios w�L; w
�
H son (resuelva el sistema anterior...truco que puede
ser útil: eleve ambos lados de cada ecuación al exponente que le permita quitarse de encima
los exponentes fraccionarios...tenga cuidado al hacerlo...por ejemplo, para el primer caso le
quedaría 4wLwH = p21):
w�L =
�
4p2
5
� 5
3
p
2
3
1
w�H =
p
8
3
1
4
�
4p2
5
� 5
3
(iv) Obtenemos ahora las intensidades de uso de equilibrio, es decir: a
L
1
aH1
y a
L
2
aH2
evaluadas en los
precios de factores de equilibrio, w�L y w
�
H :
aL1
aH1
=
w�H
w�L
=
1
4
�
5p1
4p2
� 10
3
aL2
aH2
= 4
w�H
w�L
=
�
5p1
4p2
� 10
3
2
(v) Condición para que se produzcan ambos bienes. Dado que para cualquier par de salarios
positivos, 4w
�
H
w�L
>
w�H
w�L
, la condición que debe satisfacer la relación
�L
�K
de la economía para que
se produzcan ambos bienes es (en términos de los precios internacionales):�
5p1
4p2
� 10
3
>
�L
�H
>
1
4
�
5p1
4p2
� 10
3
(b) Suponga que p1 = 4, p2 = 2 y que �La = 100 y �Hb = 10. ¿Se producen ambos bienes? Si es así,
encuentre el equilibrio walrasiano.
Respuesta:
Veri�camos la condición, ahora con los datos numéricos:
Recuerde que: �L = �La = 100 y �H = �Hb = 10, puesto que cada consumidor es dueño de uno
de los dos factores. Luego:
21: 206 > 10 > 5: 301 6
!Se producen ambos bienes en equilibrio.
Equilibrio walrasiano:
(i) Precios de factores de equilibrio: se obtienen reemplazando los precios internacionales en
los candidatos que obtuvimos en (a): (tenga cuidado al simpli�car los exponentes)
w�L = 4
�
2
5
� 5
3
w�H =
�
5
2
� 5
3
(ii) Cantidades demandadas de factores: note que NO podemos usar directamente las deman-
das condicionadas puesto que no podemos determinar las cantidades (justamente porque hay
rendimientos a escala constantes). Por ello recurrimos a la intensidad de uso de equilibrio y
las condiciones de factibilidad (o lo que es lo mismo, condición oferta = demanda de factores).
Es decir: En equilibrio, 8>>>><>>>>:
L�1
H�1
=
aL�1
aH�1
L�2
H�2
=
aL�2
aH�2
L�1 + L
�
2 = 100
H�1 +H
�
2 = 10
donde a
L�
1
aH�1
y a
L�
2
aH�2
son las intensidades de equilibrio evaluadas con los salarios de equilibrio (o
a los precios internacionales, pues tenemos ambas expresiones). El sistema nos quedaría:8>>>><>>>>:
L�1
H�1
= 14
�
5
2
� 10
3
L�2
H�2
=
�
5
2
� 10
3
L�1 + L
�
2 = 100
H�1 +H
�
2 = 10
3
de donde:
L�1 =
10
3
�
5
2
� 10
3
�
1� 10
�
2
5
� 10
3
�
= 37: 355
L�2 = 100� L�1 = 100� 103
�
5
2
� 10
3
�
1� 10
�
2
5
� 10
3
�
= 62: 645
H�1 =
40
3
�
1� 10
�
2
5
� 10
3
�
= 7: 045 9
H�2 = 10�H�1 = 10� 403
�
1� 10
�
2
5
� 10
3
�
= 2: 954 1
(iii) Cantidades demandadas de bienes en equilibrio. Dados los precios internacionales, los
precios de factores de equilibrio, y teniendo en cuenta que hay rendimientos a escala constantes
(por lo tanto, ambas industrias obtienen bene�cios nulos), obtenemos las demandas de cada
consumidor, de la manera habitual. (Recuerde explicar todo!)
Sr. a: Condiciones de optimización:�
TMSSa = p1p2
p1x1a + p2x2a = wL �La
=)
(
x2a
x1a
= 2
4x1a + 2x2a = 4
�
2
5
� 5
3 � 100
x�1a = 50
�
2
5
� 5
3 = 10: 858
x�2a = 100
�
2
5
� 5
3 = 21: 715
Sr. b: se obtienen en forma similar (plantee las condiciones y resuelvalo...recuerde que el Sr. b
es dueño del capital):
x�1b =
10
8
�
5
2
� 5
3 = 5: 756 3
x�2b =
20
8
�
5
2
� 5
3 = 11: 513
(iv) Equilibrio walrasiano, síntesis. Para los precios p1 = 4 y p2 = 2, el equilibrio está
dado por los precios de factores w�L = 4
�
2
5
� 5
3 y w�H =
�
5
2
� 5
3 y la asignación walrasiana
(L�1; L
�
2;H
�
1 ;H
�
2 ; x
�
1a; x
�
2a; x
�
1b; x
�
2b) encontrada.
(c) Suponga que no hay ningún tipo de restricciones para el comercio internacional y el costo de
transporte e impuestos relacionados son cero. ¿Comerciará nuestra economía con el resto del
mundo? Si es así, determine qué tipo de operaciones realizará.
Respuesta:
Necesitamos conocer cuánto se producirá internamente (obtener q 1 y q 2) (obtenemos aprox-
imadamente usando losresultados con decimales):
q�1 = 16: 223
q�2 = 34: 009
La demanda total interna es:
x�1a + x
�
1b = 16: 614 > q
�
1
x�2a + x
�
2b = 33: 228 < q
�
2
Comercio internacional : se importará bien 1 (pues se demanda más de lo que se produce) y
se exportará bien 2 (pues se demanda menos de lo que se produce).
(d) Suponga ahora que el precio internacional del bien 2 aumenta a p2 = 2:5. Sin realizar cálculos:
si a este precio se siguieran produciendo ambos bienes, ¿qué ocurriría con los salarios de ambos
4
trabajadores? Justi�que su respuesta.
Respuesta:
La intensidad de uso de factores es tal que, para todo precio de factores, el sector 2 es más
intensivo en uso de mano de obra NO cali�cada. Luego, por el Teorema de Stolper-Samuelson,
sabemos que si aumenta el precio del bien 2, el precio de equilibrio del factor que se utiliza más
intensamente en el sector 2 aumenta y el precio del otro factor disminuye. Es decir, esperamos
que en el nuevo equilibrio, el salario del trabajo no cali�cado, wL, aumente y que el salario del
trabajo cali�cado, wH , disminuya (comparando con la situación original).
(e) Ver�que la respuesta que dio en el apartado (d) y determine cuál es el efecto sobre el bienestar
de los individuos a y b.
Respuesta:
(i) Veri�camos que realmente se producirán ambos bienes al nuevo precio (esto lo hacemos
con la condición obtenida en (a). La condición se cumple pues, para p2 = 2:5:
10: 079 >
�L
�H
= 10 > 2: 519 8
(ii) Encontramos los nuevos salarios (usamos las fórmulas obtenidas en (a) y re-calculamos,
conviene usar decimales para comparar):
w�L =
�
4�2:5
5
� 5
3
4
2
3
= 1: 259 9 > 4
�
2
5
� 5
3
= 0:868 61
w�H =
4
8
3
4
�
4�2:5
5
� 5
3
= 3: 174 8 <
�
5
2
� 5
3
= 4: 605
Efectivamente, el salario wL aumenta y wH disminuye.
(iii) Bienestar: Como nos piden �determinar�el cambio en el bienestar, tenemos que calcular
la diferencia en utilidad de cada consumidor. Para ello, tendremos que calcular las utilidades
antes del cambio del precio (con las cantidades de equilibrio calculadas en el punto anterior) y
obtener de nuevo las cantidades demandadas con el nuevo precio p2. Los resultados para estas
utilidades son: (calcule todo y veri�que el resultado!):
Situación original (precios p1 = 4 y p2 = 2):
Ua = 235: 78
Ub = 8: 140 8
Situación después del cambio de precio relativo internacional (precios p1 = 4, p2 = 2:5) (tenga
en cuenta que en este caso usted tendrá que calcular de nuevo las cantidades demandadas de
equilibrio!!! usando los nuevos salarios y precio p2):
Ua = 396: 84
Ub = 5:019 8
Por lo tanto, con�rmamos el resultado conocido: el dueño del trabajo no cali�cado obtiene
mayor bienestar y el dueño del trabajo cali�cado, menor bienestar.
5
(f) Explique la intuición del resultado obtenido en el apartado (e).
Respuesta:
Al aumentar el precio del bien 2, los salarios de equilibrio cambiarán: subirá el salario del
trabajo no cali�cado y bajará el salario del trabajo cali�cado (Teorema Stolper-Samuelson).
Esto produce que, en de�nitiva, ambos sectores utilicen más trabajo cali�cado. La productivi-
dad marginal del trabajo cali�cado cae y la productividad marginal del trabajo no cali�cado
sube.
Ahora bien, el trabajador no cali�cado es el individuo a y el cali�cado, el b. Por lo tanto,
desde el punto de vista del ingreso disponible (parte derecha de la restricción presupuestaria),
el individuo a dispone ahora de más ingreso que antes y el b, menos ingreso.
Dado que comprar el bien 2 es más caro, sin lugar a dudas el Sr. b (mano de obra cali�cada),
estaría peor: gana menos y la canasta es más cara.
Para el Sr. a, la respuesta requiere que usted razone, pues, si bien por un lado gana más, por
otro, la canasta es más cara. Luego, se requiere analizar cuál de los dos efectos predomina
sobre el bienestar. Para ello, consideramos el salario real en términos de ambos precios: por
una parte, wLp1 aumenta, pues p1 se mantiene y wL aumenta, por otra parte, el salario realwL
p2
=productividad marginal de L. Como esta productividad de L ha aumentado, wLp2 ha
aumentado (es decir, el aumento de wL es mayor que el aumento de p2).
(g) Suponga ahora que, dados los mismos precios originales p1 = 4 y p2 = 2, la dotación de trabajo
no cali�cado se reduce a �L = 90. ¿Se seguirán produciendo ambos bienes? Si es así, ¿cuál es
el efecto sobre los salarios de ambos trabajadores y sobre su bienestar? Intente responder a
esta última pregunta sin realizar demasiados cálculos.
Respuesta:
La nueva relación
�L
�H
= 9 sigue satisfaciendo la condición para que se produzcan los dos bienes.
Esto es así puesto que la economía es abierta, los precios de los bienes p1 = 4 y p2 = 2 están
dados y los salarios de equilibrio no cambian. (Note que usted resolvería el mismo sistema
para obtener los salarios de equilibrio!). Los precios relativos de los factores no varían. Por lo
tanto, la condición sigue siendo la misma que en (b): 21: 206 >
�L
�H
= 9 > 5: 301 6.
Dado que los precios de los bienes no varía, los salarios de equilibrio no varían. Sin em-
bargo, el bienestar del Sr. a cambiará porque su ingreso disponible disminuye. Ahora ofrece
�La = �L = 90 y por lo tanto, dado que wL no varía, tiene menos ingreso disponible. Su bienes-
tar se reduce. (Si usted realiza los cálculos, QUE NO SE PIDEN, pero solo para ensayar, verá
que Ua = 190: 98 < 235: 78).
(h) Sin realizar cálculos, podía usted decir ¿Cuál es, en de�nitiva, el cambio que se produce en el
nuevo equilibrio walrasiano a partir de la disminución de �L?
Respuesta:
De acuerdo con el Teorema de Rybcszynski, la disminución en �L llevará a una disminución en
la producción en el sector que es más intensivo en el uso de este factor, es decir, el sector 2 y
que aumente la producción en el otro sector, el sector 1.
Estas variaciones en la producción, dadas las tecnologías, se producen pues habría una reasignación
de factores entre sectores. De hecho, esperaríamos que aumenten L�1 y H
�
1 y disminuyan L
�
2 y
H�2 . (Recuerde que, sin embargo, las intensidades de uso NO varían!).
Por otra parte, el efecto sobre las cantidades demandadas por los consumidores (dado que en
6
este ejemplo el Sr. a tiene la dotación de L) sería tal que: el Sr. a reduciría las cantidades
demandadas de ambos bienes (por su función de utilidad que implica preferencia por ambos
bienes más que por uno solo) y las cantidades demandadas por el Sr. b no se verían afectadas.
Por lo tanto, el nuevo equilibrio tendría los mismos precios de factores, mayores valores de
L�1 yH
�
1 , menores valores de L
�
2 yH
�
2 , menores valores de x
�
1a y x
�
2a e iguales valores de x
�
1b y x
��
2b.
Ejercicio 2 (7 de ayudantía 23-sept): ENUNCIADO varía un poco (notación y supuesto
sobre propiedad)
2 (ex 7) Considere una economía cerrada en la que se producen dos bienes, alimentos (bien 1) y viviendas
(bien 2). Ambos sectores utilizan los factores de producción de esta economía: trabajo L y cap-
ital K. La industria alimenticia tiene una tecnología representada por la función de producción
F (L1;K1) = (L1K1)
1
2 y la industria de la construcción, G(L2;K2) = (L2K2)
1
4 . En esta economía
existen �L trabajadores y cada uno oferta una unidad de trabajo y existen �K capitalistas ofreciendo,
cada uno, una unidad de capital. Suponga, que �L = �K. Llamaremos Sr. A a un traba-
jador cualquiera y Sr. C a un capitalista cualquiera. Cada trabajador valora el consumo
de alimentos y vivienda de acuerdo con una función de utilidad dada por UA = x1A (x2A)
1
4 . Cada
capitalista, por su parte, valor el consumo de alimentos y viviendas de acuerdo con la función de
utilidad UC = x1Cx2C . Denote por q1 la producción de alimentos y por q2 la producción de vivien-
das. Suponga que los capitalistas son propietarios de la industria de la construcción
con participaciones iguales.
(lo que está en negritas y los cambios en los subíndices de las funciones de utilidad son las diferencias
con el enunciado original.)
(a) Explique qué es la frontera de posibilidades de producción y obténgala.Respuesta:
La frontera de posibilidades de producción es la curva que contiene las combinaciones de
cantidades q1 y q2 que se pueden producir utilizando toda la dotación de capital y toda la
dotación de trabajo existentes en la economía de una forma e�ciente. Es decir, combinaciones
de q1 y q2 que se pueden producir a partir del uso de factores que satisface (i) condición de
e�ciencia en la producción y (ii) uso sin desperdicios del total de factores. Matemáticamente:
la FPP es el conjunto de pares (q1; q2) que se pueden producir a partir del uso de factores L1;
K1; L2 y K2 que se encuentran sobre la curva de contrato con respecto a la producción.
(i) Curva de contrato. Se obtiene a partir de la condición de e�ciencia en la producción (no
existe mejora paretiana) y condiciones de factibilidad.8<:
TMST 1 = TMST 1
L1 + L2 = �L
K1 +K2 = �K
Dado que TMST 1 = K1L1 , TMST
2 = K2L2 y que nos indican que
�L = �K, concluimos (o puede
mostrarlo analíticamente) que la curva de contrato es la diagonal de la caja (que es cuadrada)
pues ambos sectores tienen intensidades de uso e�ciente iguales. La curva de contrato es, por
lo tanto:
K1 = L1
7
(ii) Frontera de posibilidades de producción.
q1 = (L1K1)
1
2 y con uso e�ciente de factores, K1 = L1
q1 = (K1K1)
1
2 = K1
en forma similar, q2 = K
1
2
2 . Esto implica que por e�ciencia K1 = q1 y K2 = q
2
2. Luego, por
factibilidad K1 +K2 = �K y la FPP será:
q2 =
q
�K � q1
(recuerde explicar!).
(b) Demuestre que la tasa marginal de transformación es igual a 12q2 .
Respuesta:
TMT =
����dq2dq1
���� = ����12 � �K � q1�� 12 (�1)
����
=
1
2
p
�K � q1
=
1
2q2
(c) Suponga que los trabajadores se comportan idénticamente y los capitalistas se comportan
idénticamente. Obtenga la condición de e�ciencia en el consumo y la condición de e�ciencia
mixta.
Respuesta:
(i) E�ciencia en el consumo. En este ejercicio hay mucho más que 2 consumidores, pues
los consumidores son los �L trabajadores y los �K capitalistas. Por lo tanto, la condición de
e�ciencia en el consumo requiere que todos tengan la misma tasa marginal de sustitución sub-
jetiva. Ahora bien, como hemos supuesto que los trabajadores se comportan idénticamente y
los capitalistas se comportan idénticamente, podemos plantear la condición en términos de un
trabajador representativo y de un capitalista representativo.
TMSSA = TMSSC
4x2A
x1A
=
x2C
x1C
Las condiciones de factibilidad de bienes, dado que la economía es cerrada y hay �L trabajadores
y los �K capitalistas, serían:
�L� x1A + �K � x1C = q1
�L� x2A + �K � x2C = q2
(Recuerde: el planteo de estas condiciones es particular a este ejercicio, porque hemos supuesto
que hay muchos consumidores divididos en dos grupos que se comportan idénticamente dentro
de cada grupo, por eso si hay �L trabajadores y cada uno consume x1A del bien 1, en total
habrá una asignación de �L � x1A a este grupo del bien 1 y similarmente razonamos con los
otros términos).
8
(ii) Condición de e�ciencia mixta. (recuerde explicar):
TMT = TMSSi =)
1
2q2
=
4x2A
x1A
1
2q2
=
x2C
x1C
(d) Suponga que hay 10 trabajadores y 10 capitalistas. Encuentre el equilibrio walrasiano de esta
economía. Normalice el precio del bien 2, p2 = 1. Ayuda: aproveche la información que ya ha
obtenido en los apartados anteriores.
Respuesta:
(i) Por el lado de la producción: cada industria (sector) maximiza sus bene�cios eligiendo
cuánto producir, y cuántos factores utilizar, considerando los precios de bienes y de factores de
mercado. (Es decir, estamos en competencia perfecta, por lo tanto en todos estos mercados,
los agentes son precio-aceptantes).
Industria 1 : (recuerde explicar) Condiciones de optimización (minimización costos):(
TMST 1 = wLwK
q1 = (L1K1)
1
2
=)
(
K1
L1
= wLwK
q1 = (L1K1)
1
2
De donde, por Primer Teorema del Bienestar, sabemos que la asignación walrasiana de factores
(la asignación de equilibrio) será e�ciente, por lo que K1 = L1 y esto implica que, en equilibrio:
K1
L1
= 1 =
wL
wK
=) w�L = w�K = w�
K�1 = L
�
1 = q
�
1
Note que K�1 = L
�
1 = q
�
1 son, en de�nitiva, las demandas condicionadas de factores. Como esta
industria presenta rendimientos a escala constantes, sabemos que sus bene�cios serán �1 = 0.
Industria 2: Similarmente (plantee las condiciones y explique!) llegamos a la conclusión adi-
cional que, en equilibrio:
K�2 = L
�
2 = (q
�
2)
2
Ahora bien, esta industria presenta rendimientos a escala decrecientes, por lo que será útil
obtener los bene�cios �2 > 0. Para ello, planteamos la función de bene�cios con las demandas
condicionadas (que son función de q2) y obtenemos q2 óptimo como función de precios.
�2 = p2q2 � wLL2 � wKK2
reemplazando:
�2 = p2q2 � wLq22 � wKq22
@�2
@q2
= p2 � wL2q2 � wK2q2 = 0
=) q2 =
1
2
p2
wL + wK
y los bene�cios (como función de precios) son (cuidado con las simpli�caciones):
�2 =
p22
4 (wL + wK)
9
Podemos simpli�car aún más nuestras expresiones si consideramos que normalizaremos el pre-
cio p�2 = 1 y que ya sabemos que w
�
L = w
�
K = w:
q�2 =
1
4w�
��2 =
1
8w�
Dado que �L = �K = 10 y que en este ejercicio ya hemos obtenido la FPP, siempre por Primer
Teorema del Bienestar, sabemos que
q�2 =
p
10� q�1 =) q�1 = 10� (q�2)
2
q�1 = 10�
1
16 (w�)2
Antes de pasar a la parte de consumo, podemos plantear otra condición de equilibrio que
relaciona precios (y que nos será útil para encontrar los precios):
TMT =
p1
p2
1
2q�2
=
�
p1
p2
��
Luego, reemplazando por todos los resultados y considerando la normalización:
1
2
�
1
4w�
� = p�1
1
=)
p�1 = 2w
�
Note que, en de�nitiva, hemos obtenido todas las cantidades de factores de equilibrio y canti-
dades producidas en términos de los precios de bienes y de factores de equilibrio, los bene�cios
de la industria 2 y una relación entre los dos precios que hay que determinar:8>>><>>>:
K�1 = L
�
1 = q
�
1 =) K�1 = L�1 = 10� 116(w�)2
K�2 = L
�
2 = (q
�
2)
2 =) K�2 = L�2 = 116(w�)2
��2 =
1
8w�
p�1 = 2w
�
(ii) Por el lado del consumo:
Cada trabajador A ofrece UNA unidad de trabajo al salario wL y no tiene participación en los
bene�cios de ninguna industria, por lo tanto, su problema de optimización (para determinar
sus funciones de demanda) está representado por las siguientes condiciones (recuerde explicar):�
TMSSA = p1p2
p1x1A + p2x2A = wL � 1
reemplazando por los precios de equilibrio (incluyendo la normalización) y operando, llegamos
a:
x1A =
4
5
w
p1
x2A =
1
5
w
10
Note que si usamos la condición p�1 = 2w
� en este punto, podemos simpli�car aún más y
obtener ya la cantidad del bien 1 de equilibrio consumida por un trabajador
x�1A =
4
5
w
2w
=
2
5
Cada capitalista C ofrece UNA unidad de capital al salario wK y tiene una participación 110
sobre los bene�cios de la industria 2 (puesto que se supone que todos tienen igual participación
y son 10 capitalistas). Luego, su problema de optimización está representado por las siguientes
condiciones: �
TMSSC = p1p2
p1x1C + p2x2C = wK � 1 + 110�2
Reemplazando por precios de equilibrio y bene�cios en términos de precios (obtenidos anteri-
ormente), llegamos a las siguientes demandas:
x1C =
1
2
w
p1
+
1
160p1w
x2C =
1
2
w +
1
160w
(iii) Obtención de los precios de equilibrio w� y p�1 y cálculo de cantidades de equilibrio.
Finalmente, estamos en condiciones de cerrar el modelo. Como es una economía cerrada y
recordando que las funciones de demanda son por CADA consumidor de CADA grupo:
10� x1A + 10� x1C = q1
10� x2A + 10� x2C = q2
Reemplazamos por todos los resultados anteriores en términos de los precios:
10� 4
5
w
p1
+ 10�
�
1
2
w
p1
+
1
160p1w
�
= 10� 1
16 (w)2
10� 1
5
w + 10�
�
1
2
w +
1
160w
�
=
1
4w
Importante: No siempre quedará un sistema de dos ecuaciones y dos precios, pues esto ha
ocurrido porque los salarios son iguales. En general, tendrá tres precios para determinar, ya
que siempre puede normalizar uno de ellos (por lo general, usaremos p2 = 1). Si fuera ese el
caso, necesita utilizar otra condición, vea más abajo.
En este caso, por ejemplo,también podríamos proceder de la siguiente manera: de la segunda
ecuación obtener w� y para no usar la otra que es más complicada para obtener p�1, podemos
usar la relación obtenida anteriormente p�1 = 2w
�. Ambos procedimientos son equivalentes,
puesto que tenemos tres ecuaciones y dos incógnitas.
Simpli�cando cuidadosamente la segunda ecuación, llegamos a
112w2 = 3
w� = w�L = w
�
K =
r
3
112
=
p
3p
7 � 16
=
1
4
r
3
7
=)
p�1 = 2w
� =
1
2
r
3
7
11
Nos resta encontrar las cantidades de equilibrio:
K�1 = L
�
1 =
23
3
K�2 = L
�
2 =
7
3
x�1A =
2
5
x�2A =
1
20
r
3
7
x�1C =
11
30
x�2C =
11
20
p
21
Compruebe por curiosidad (y para comprobar que ha hecho bien todo!!) que se satisfacen las
condiciones de oferta = demanda en los cuatro mercados. Note que q�1 =
23
3 y q
�
2 =
q
7
3
L�1 + L
�
2 =
23
3
+
7
3
= 10
K�1 +K
�
2 =
23
3
+
7
3
= 10
10x�1A + 10x
�
1C = 10�
2
5
+ 10� 11
30
=
23
3
10x�2A + 10x
�
2C = 10�
1
20
r
3
7
+ 10� 11
20
p
21
=
1
3
p
21 =
p
3
p
7p
3
p
3
=
r
7
3
(e) Obtenga el costo marginal de cada uno de los sectores y demuestre que se satisface la condición:
CMg1
CMg2
=
p1
p2
Respuesta:
Industria 1: Sabemos que las demandas condicionadas de factores son K1 = q1 y L1 = q1
(las hemos obtenido antes). Luego, la función de costos totales y la de costo marginal son,
respectivamente:
C1 = wLq1 + wKq1
CMg1 =
@C1
@q1
= wL + wK
en equilibrio, reemplazando por los valores encontrados:
CMg1 = 2w� =
1
2
r
3
7
y justamente, ya sabemos que 2w� = p�1, por lo tanto, se satisface que CMg
1 = p1.
Industria 2: Sabemos que las demandas condicionadas de factores son K2 = q22 y L2 = q
2
2,
luego la función de costos totales y la de costo costo marginal son, respectivamente:
C2 = wLq
2
2 + wKq
2
2
CMg2 =
@C2
@q2
= 2q2 (wL + wK)
12
Reemplazando por los valores de equilibrio de q2 y salarios:
CMg2 = 2�
r
7
3
�
 
1
4
r
3
7
+
1
4
r
3
7
!
= 1
y ya sabemos que p�2 = 1, por lo tanto se satisface que CMg
2 = p2. Luego, se satisface que
CMg1
CMg2
=
p1
p2
Aunque esto no se pide: Note que se veri�ca, obviamente, que TMT = CMg
1
CMg2
:
1
2q2
=
wL + wK
2q2 (wL + wK)
(f) Suponga que, por razones personales, llegan 5 trabajadores extranjeros a esta economía para
instalarse de�nitivamente. Cada uno de ellos ofrece una unidad de trabajo, sin embargo,
valoran el consumo de alimentos y vivienda de forma diferente que el resto de trabajadores
nativos. De hecho, su función de utilidad está dada por U(x1; x2) = x1x2. Para evitar
confusiones, llamaremos A al trabajador nativo, B al trabajador extranjero y C al capitalista.
(Por lo tanto tendríamos: UA = x1A (x2A)
1
4 , UB = x1Bx2B y UC = x1Cx2C).
i. Encuentre todas las condiciones de e�ciencia de esta economía. Obtenga la FPP y de-
muestre que la TMT sigue siendo la misma que antes (es decir 12q2 ).
Respuesta:
E�ciencia en el consumo:
Suponiendo que, dentro de cada grupo, el comportamiento es idéntico, no deben existir
mejoras paretianas, es decir:
TMSSA = TMSSB = TMSSC
4x2A
x1A
=
x2B
x1B
=
x2C
x1C
y se deben satisfacer las condiciones de factibilidad:
10x1A + 5x1B + 10x1C = q1
10x2A + 5x2B + 10x2C = q2
E�ciencia en la producción:
No deben existir mejoras paretianas:
TMST 1 = TMST 2
K1
L1
=
K2
L2
y se deben satisfacer las condiciones de factibilidad (recuerde que hay más trabajo disponible):
L1 + L2 = 15
K1 +K2 = 10
13
E�ciencia mixta:
Necesitamos obtener de nuevo la curva de contrato y la FPP, pues las dotaciones han
cambiado. Dado que la intensidad de uso e�ciente es igual en ambas industrias, sabemos
que la curva de contrato será una recta, la diagonal de la caja de Edgeworth. Sin embargo,
en este caso, la caja NO es cuadrada. Por lo tanto, la curva de contrato será (verifíquelo):
K1 =
�K
�L
L1
K1 =
10
15
L1
K1 =
2
3
L1
Obtenemos la nueva FPP (no olvide explicar!):
q1 = (L1K1)
1
2 =
�
3
2
K1K1
� 1
2
=
�
3
2
� 1
2
K1 =) K1 =
�
2
3
� 1
2
q1
q2 = (L2K2)
1
4 =
�
3
2
K2K2
� 1
4
=
�
3
2
� 1
4
K
1
2
2 =) K2 =
�
2
3
� 1
2
q22
Luego, la FPP es:
K1 +K2 = 10�
2
3
� 1
2
q1 +
�
2
3
� 1
2
q22 = 10
q2 =
 �
3
2
� 1
2
10� q1
! 1
2
La TMT es:
TMT =
����dq2dq1
���� =
������12
 �
3
2
� 1
2
10� q1
!� 1
2
(�1)
������
=
1
2
��
3
2
� 1
2 10� q1
� 1
2
=
1
2q2
(que es lo que nos piden demostrar).
Luego, la condición de e�ciencia mixta será:
TMT = TMSSi, i = A;B;C
que nos lleva a que:
1
2q2
=
4x2A
x1A
=
x2B
x1B
=
x2C
x1C
ii. Encuentre el equilibrio walrasiano de esta economía.
Respuesta:
Importante: Voy a resolverlo de una manera ligeramente distinta para que
vean otras alternativas equivalentes a cómo procedimos en el caso anterior.
(i) Por el lado de la producción:
14
Industria 1, rendimientos a escala constantes. Obtenemos las funciones de demanda condi-
cionadas de factores y de costo unitario:(
TMST 1 = wLwK
q1 = (L1K1)
1
2
=)
(
K1
L1
= wLwK
q1 = (L1K1)
1
2
L1 (wL; wK ; q1) =
�
wK
wL
� 1
2
q1
K1 (wL; wK ; q1) =
�
wL
wK
� 1
2
q1
de donde:
aL1 =
�
wK
wL
� 1
2
aK1 =
�
wL
wK
� 1
2
c1 (wL; wK) = wLa
L
1 + wKa
K
1 = 2 (wLwK)
1
2
La condición necesaria de equilibrio para esta industria será:
c1 (wL; wK) = p1
2 (wLwK)
1
2 = p1
Industria 2, rendimientos a escala decrecientes. Funciones de demanda condicionada de
factores: (
TMST 2 = wLwK
q2 = (L2K2)
1
4
=)
(
K2
L2
= wLwK
q2 = (L2K2)
1
4
L2 (wL; wK ; q2) =
�
wK
wL
� 1
2
q22
K2 (wL; wK ; q2) =
�
wL
wK
� 1
2
q22
Costo total y costo marginal:
C2 = wLL2 + wKK2 = wL
�
wK
wL
� 1
2
q22 + wK
�
wL
wK
� 1
2
q22 = 2 (wLwK)
1
2 q22
CMg2 = 4 (wLwK)
1
2 q2
Condición necesaria de equilibrio para esta industria:
CMg2 = p2
4 (wLwK)
1
2 q2 = p2
15
de donde podemos obtener en de�nitiva el producto de equilibrio y el bene�cio (es otra
forma que es en de�nitiva la condición necesaria de la maximización de los bene�cios!):
q2 =
p2
4 (wLwK)
1
2
�2 = p2q2 � C2 = p2
 
p2
4 (wLwK)
1
2
!
� 2 (wLwK)
1
2
 
p2
4 (wLwK)
1
2
!2
�2 =
p22
8 (wLwK)
1
2
Ahora, para obtener q1 (en función de los precios) usamos la FPP y el resultado obtenido
para q2. En este caso
q2 =
 �
3
2
� 1
2
10� q1
! 1
2
q1 =
�
3
2
� 1
2
10� q22 =
�
3
2
� 1
2
10�
 
p2
4 (wLwK)
1
2
!2
=
�
3
2
� 1
2
10� p
2
2
16 (wLwK)
Note, asimismo, que todo lo que hemos hecho hasta ahora satisface la condición de equi-
librio TMT = p1p2 , pues llegamos a c1 (wLwK) = p1:
1
2q2
=
p1
p2
1
2
�
p2
4(wLwK)
1
2
� = p1
p2
2 (wLwK)
1
2 = p1
(ii) Por el lado de la demanda de bienes:
Cada trabajador nativo A:�
TMSSA = p1p2
p1x1A + p2x2A = wL � 1
=)
� 4x2A
x1A
= p1p2
p1x1A + p2x2A = wL � 1
x1A =
4
5
wL
p1
x2A =
1
5
wL
p2
Cada trabajador inmigrante B:�
TMSSB = p1p2
p1x1B + p2x2B = wL � 1
=)
� x2B
x1B
= p1p2
p1x1B + p2x2B = wL � 1
x1B =
1
2
wL
p1
x2B =
1
2
wL
p2
16
Cada capitalista C:
�
TMSSC = p1p2
p1x1C + p2x2C = wK � 1 + 110�2
=)
8<:
x2C
x1C
= p1p2
p1x1C + p2x2C = wK � 1 + 110 �
p22
8(wLwK)
1
2
x1C =
wK
2p1
+
p22
160p1 (wLwK)
1
2
x2C =
wK
2p2
+
p2
160 (wLwK)
1
2
(iii) Precios de equilibrio.
Recapitulando lo que hemos obtenido hasta ahora, necesitamos formar un sistema que
nos permita obtener los precios de equilibrio. Esto lo podemos hacer planteando las
condiciones de aclarado de los mercados. Note que hay cuatro precios y que debemos
normalizar uno de ellos, necesitamos tres ecuaciones más p2 = 1. Por la ley de Walras,
entonces, necesitamos los precios relativos que aclaran TRES de los cuatro mercados.
Las dos ecuaciones de equilibrio en los mercados de bienes son:
10x1A + 5x1B + 10x1C = q1 =)
10� 4
5
wL
p1
+ 5� 1
2
wL
p1
+ 10�
 
wK
2p1
+
p22
160p1 (wLwK)
1
2
!
=
�
3
2
� 1
2
10� p
2
2
16 (wLwK)
simpli�cando y reordenando :
21
2
wL
p1
+
5wK
p1
+
p22
16p1 (wLwK)
1
2
+
p22
16 (wLwK)
=
�
3
2
� 1
2
10
10x2A + 5x2B + 10x2C = q2 =)
10� 1
5
wL
p2
+ 5� 1
2
wL
p2
+ 10�
 
wK
2p2
+
p2
160 (wLwK)
1
2
!
=
p2
4 (wLwK)
1
2
simpli�cando y reordenando :
9
2
wL
p2
+
5wK
p2
+
p2
16 (wLwK)
1
2
=p2
4 (wLwK)
1
2
Nos falta una ecuación. Tenemos varias alternativas, con cualquiera de estas podríamos
cerrar el sistema y obtener las soluciones buscadas:
- Ecuación que aclara alguno de los dos mercados de factores, expresadas en términos de
precios (usamos fc. demanda condicionadas):
L1 + L2 = 15 =)
�
wK
wL
� 1
2
q1 +
�
wK
wL
� 1
2
q22 = 15
=)
�
wK
wL
� 1
2
 �
3
2
� 1
2
10� p
2
2
16 (wLwK)
!
+
�
wK
wL
� 1
2
 
p2
4 (wLwK)
1
2
!2
= 15
simpli�cando y ordenando :�
wK
wL
� 1
2
�
3
2
� 1
2
10 = 15 =) wK
wL
=
3
2
17
(la del capital también se puede usar, obviamente, y llegaríamos al mismo resultado)1
El sistema a resolver es el siguiente:8>>>>><>>>>>:
21
2
wL
p1
+ 5wKp1 +
p22
16p1(wLwK)
1
2
+
p22
16(wLwK)
=
�
3
2
� 1
2 10
9
2
wL
p2
+ 5wKp2 +
p2
16(wLwK)
1
2
= p2
4(wLwK)
1
2
p2 = 1
wK
wL
= 32
de donde, operando cuidadosamente, obtenemos el sistema de precios de equilibrio:
w�L =
1
8
�
2
3
� 1
4
w�K =
1
8
�
3
2
� 3
4
p�1 =
1
4
�
3
2
� 1
4
p�2 = 1
Y reemplazando en las funciones de demanda, obtenemos la asignación walrasiana (de
equilibrio) de cantidades consumidas y cantidades de factores utilizadas:
x�1A =
2
5
�
2
3
� 1
2
; x�2A =
1
40
�
2
3
� 1
4
x�1B =
1
4
�
2
3
� 1
2
; x�2B =
1
16
�
2
3
� 1
4
x�1C =
23
40
�
2
3
� 1
2
; x�2C =
23
160
�
2
3
� 1
4
L�1 = 11; K
�
1 =
22
3
L�2 = 4; K
�
2 =
8
3
iii. Calcule el cambio en el bienestar de cada trabajador nativo y cada capitalista. Compare
el bienestar actual de los dos tipos de trabajadores. Comente los resultados.
Respuesta:
(i) Comparamos las utilidades antes y después de la inmigración de nuevos trabajadores
1 Importante: También podríamos haber usado
- Condiciones de equilibrio para una industria, que ya vimos que es la condición TMT = p1
p2
c1 (wL; wK) = p1 =) 2 (wLwK)
1
2 = p1
(la de la otra industria también sirve)
- Usar Primer Teorema del Bienestar y concluir que la asignación de equilibrio de factores será e�ciente, por lo tanto, usamos
la curva de contrato de factores:
K1 =
2
3
L1 =)
K1
L1
=
2
3
y como, en equilibrio, TMST 1 = wL
wK
, y TMST 1 = K1
L1
:
wL
wK
=
2
3
que es, en de�nitiva, la misma condición que se encuentra cuando se clarea algún mercado de factores. Ustedes deben elegir
la que les facilite el cálculo, explicando bien cuál es la que usan.
18
para cada trabajador A y cada capitalista C.
Antes:
UA = 0:170 14
UC = 0:04400
Después:
UA = 0:126 617 5 (menor)
UC = 0:06098 28 (mayor)
(ii) Comparamos el bienestar actual de ambos tipos de trabajadores (A y B):
UA = 0:126 617 5
UB = 0:01152 794 < UA
(iii) Comentarios de los resultados. Note que, a diferencia de la economía abierta, aquí
el cambio en la dotación de trabajadores afecta los precios de bienes y factores porque es
una economía cerrada.
Después del aumento en la mano de obra, el salario nominal de los trabajadores A dismin-
uye (pasa de w� = 0:163 663 4 a w�L = 0:112 950 3) y el salario nominal de los capitalistas
aumenta (de w� = 0:163 663 4 a w�K = 0:169 425 4). ¿Qué ocurrió con los salarios reales?
En el caso de los trabajadores A, en términos de p1 pasó de ser 0:5 a 0:408 248 4 (dismin-
uyó) y lo mismo en términos de p2 pues este precio está normalizado a 1 en ambos casos.
El poder adquisitivo de los trabajadores nativos disminuyó.
Lo opuesto ocurrió con los capitalistas (calcule!).
En relación con la diferencia de bienestar actual entre ambos tipos de trabajadores, se
debe exclusivamente a la diferencia en preferencias. (Note que en la función de utilidad
de los trabajadores nativos el consumo del bien 2 tiene menor peso que el bien 1, justa-
mente, mientras que para los extranjeros, ambos bienes pesan igual. En un contexto donde
p1 < p2, a igualdad de salario real, obtiene más bienestar el trabajador nativo justamente
porque el bien más caro relativamente tiene menor peso en su bienestar).
3. Suponga que en una economía cerrada viven solo dos individuos, Aldo y Betty. En esta economía
se producen alimentos (bien 1) y bebidas (bien 2), mediante la utilización de los dos factores de
producción, trabajo (L) y capital (K). La producción de alimentos es realizada por una empresa
cuyo propietario es Aldo y la tecnología está representada por la función de producción F (L1;K1) =
L
1
2
1K
1
2
1 . La producción de bebidas es realizada por otra empresa que es propiedad de Betty y cuya
tecnología está representada por la función de producción G(L2;K2) = L
1
3
2K
1
3
2 . Aldo y Betty tienen
preferencias por ambos bienes representadas por las funciones de utilidad UA(x1A; x2A) = (x1A)
1
2x2A
y UB(x1B; x2B) = x1Bx2B, respectivamente. Asimismo, Aldo posee todo el capital disponible,
�KA = 16 y Betty ofrece todo el trabajo, �LB = 16:
(a) Obtenga y gra�que la curva de contrato con respecto al uso de factores. Explique claramente
cómo la obtiene.
Respuesta:
La curva de contrato con respecto al uso de factores es la curva que describe las combina-
ciones de L1;K1 y de L2;K2 que son e�cientes en el sentido de Pareto. Esto supone que se
19
igualan las tasas de sustitución marginal entre ambas empresas (es decir, no existen mejoras
paretianas) y que se utiliza exactamente toda la cantidad disponible de cada factor:
TMST 1 = TMST 2
L1 + L2 = 16
K1 +K2 = 16
de donde obtenemos la curva de contrato (por favor, obténgala):
K1 = L1
(la intensidad de uso e�ciente de ambos sectores es igual, por lo que la curva de contrato es la
diagonal de la caja de Edgeworth; como hay igual cantidad de ambos factores, llegamos a que
K1 = L1 - verifíquelo!).
No olvide realizar el grá�co.
(b) Denote por q1 y q2 las cantidades producidas del bien 1 y 2, respectivamente. Obtenga la
curva de contrato con respecto al consumo. Explique como la obtiene.
Respuesta:
Dado que es una economía cerrada, la cantidad disponible de cada bien (1 y 2, respectiva-
mente) estará dada por la cantidad producida con la asignación de factores dada (q1 y q2).
Dadas las funciones de utilidad de Aldo y Betty, la curva de contrato en el consumo satisfará
las siguientes condiciones (igualdad de tasas marginales de sustitución subjetiva, es decir, no
existencia de mejoras paretianas y condiciones de factibilidad estricta):
TMSSA = TMSSB
x1A + x1B = q1
x2A + x2B = q2
donde TMSSA = x2A2x1A y TMSS
B = x2Bx1B y la curva de contrato que usted debe obtener es:
x2A =
2x1Aq2
q1 + x1A
(c) Para esta economía, ¿existe alguna asignación (L1;K1; L2;K2; x1A; x2A; x1B; x2B) e�ciente en
el sentido de Pareto en la que se asigna L1 = 8?
Respuesta:
En primer lugar, si L1 = 8, la condición de e�ciencia en producción implicará (dada la curva
de contrato obtenida en (a)) que:
K1 = L1 = 8
K2 = L2 = 8
En segundo lugar, calculamos q1 y q2 y reemplazamos en la curva de contrato del consumo
(obtenida en (b)), (condición de e�ciencia en el consumo):
q1 = 8 y q2 = 4
20
Luego, la curva de contrato de consumo nos queda:
x2A =
8x1A
8 + x1A
Finalmente, para operar con la condición de e�ciencia mixta, calculamos la tasa marginal de
transformación, esta vez usando la fórmula con productividades marginales, pues ya tenemos
las asignaciones de factores e�cientes:
TMT =
GL
FL
TMT =
1
3L
� 2
3
2 K
1
3
2
1
2L
� 1
2
1 K
1
2
1
evaluando en la asignación e�ciente de factores propuesta: TMT =
1
3
8�
2
3 8
1
3
1
2
8�
1
2 8
1
2
= 13 . Luego, la
e�ciencia mixta supone que la TMT se iguala a la TMSS de los individuos.
TMSSA =
1
3
=) x2A
2x1A
=
1
3
TMSSB =
1
3
=) x2B
x1B
=
1
3
Utilizando la curva de contrato de consumo y x2A2x1A =
1
3 , podemos obtener la asignación e�-
ciente. Esto porque según la curva de contrato, la asignación satisface la condición de e�ciencia
en el consumo (se están igualando ambas TMSS) y la segunda expresión, iguala una de las dos
TMSS a la TMT (e�ciencia mixta). Resolviendo el sistema, obtenemos x1A y x2A; y, con las
condiciones de factibilidad, las otras dos cantidades:
x1A = 4
x2A =
8
3
x1B = 4
x2B =
4
3
La asignación e�ciente es la encontrada.
(d) Obtenga las funciones de demandacondicionada de factores para cada uno de los sectores
(empresas). Por favor, no suponga que L1 = 8.
Respuesta:
Sector alimentos (empresa 1): (por favor, no olvide explicar qué signi�can las condiciones!!)(
TMST 1 = wLwK
q1 = L
1
2
1K
1
2
1
=)
(
K1
L1
= wLwK
q1 = L
1
2
1K
1
2
1
L1 (wL; wK ; q1) =
�
wK
wL
� 1
2
q1
K1 (wL; wK ; q1) =
�
wL
wK
� 1
2
q1
21
Sector bebidas (empresa 2) - se obtienen en forma similar (inténtelo y no olvide explicar):
L2 (wL; wK ; q2) =
�
wK
wL
� 1
2
q
3
2
2
K2 (wL; wK ; q2) =
�
wL
wK
� 1
2
q
3
2
2
(e) Demuestre, utilizando el Primer Teorema del Bienestar, que en cualquier equilibrio de esta
economía el precio de los fatores será idéntico (es decir, w�L = w
�
K = w
�).
Respuesta:
Por primer teorema, las asignaciones de equilibrio walrasiano de esta economía serán asigna-
ciones e�cientes en el sentido de Pareto. Por e�ciencia en producción, la curva de contrato en
relación con los factores, satisface Kj = Lj , j = 1; 2. (tal como se demostró en (a)).
Por la condición necesaria de equilibrio para cada empresa j:
TMST j =
wL
wK
Kj
Lj
=
wL
wK
Luego, dado que Kj = Lj es una condición necesaria para el equilibrio (por el primer teorema),
concluimos que en equilibrio 1 = w
�
L
w�K
=) w�L = w�K = w�.
(f) Obtenga los bene�cios de cada sector como función de los precios de factores y de bienes.
Respuesta:
La empresa 1 no tendrá bene�cios porque tiene rendimientos a escala constantes. Es de-
cir, �1 = 0.
La empresa 2: sí tendrá bene�cios pues su tecnología tiene rendimientos a escala decrecientes.
Podemos maximizar la función de bene�cios o bien, utilizar directamente la condición necesaria
de dicha maximización: CMg2 = p2. Costos totales y costos marginales:
C2 = wLL2 (wL; wK ; q2) + wKK2 (wL; wK ; q2) = 2 (wLwK)
1
2 q
3
2
2
CMg2 = 2 (wLwK)
1
2
3
2
q
3
2
�1
2 = 3 (wLwK)
1
2 q
1
2
2
Condición de maximización de bene�cios:
CMg2 = p2
3 (wLwK)
1
2 q
1
2
2 = p2
q2 =
p22
9 (wLwK)
=)
�2 = p2q2 � C2 =
p22
9 (wLwK)
p2 � 2 (wLwK)
1
2
�
p22
9 (wLwK)
� 3
2
=)
�2 =
p32
27wLwK
22
(g) Obtenga las funciones de demanda por cada bien de cada consumidor, como funciones de los
precios de factores y de bienes.
Respuesta:
Aldo: dueño de todo el capital y de la empresa de alimentos (sector con rendimientos a
escala constantes) (por favor, no olvide explicar las condiciones!!)�
TMSSA = p1p2
p1x1A + p2x2A = wK16
=)
� x2A
2x1A
= p1p2
p1x1A + p2x2A = wK16
x1A =
16wK
3p1
x2A =
32wK
3p2
Betty: dueña del trabajo y de la empresa de bebidas (que entrega bene�cios positivos pues
tiene rendimientos a escala decrecientes):�
TMSSB = p1p2
p1x1B + p2x2B = wL16 + �2
=)
(
x2B
x1B
= p1p2
p1x1B + p2x2B = wL16 +
p32
27wLwK
x1B =
8wL
p1
+
p32
54p1wLwK
x2B =
8wL
p2
+
p22
54wLwK
(h) Obtenga el equilibrio walrasiano de esta economía (normalice el precio del bien 2, p2 = 1).
Respuesta:
Usamos los resultados ya obtenidos (hay varias maneras de llegar al resultado). Por ejemplo:
planteamos la condición de aclarado del mercado del bien 2 y usamos p2 = 1 y wL = wK = w:
x2A + x2B = q2
32wK
3p2
+
8wL
p2
+
p22
54wLwK
=
p22
9 (wLwK)
32w
3
+ 8w +
1
54w2
=
1
9w2
w� =
�
5
1008
� 1
3
Esto nos permite calcular:
q2 =
1
9w2
=
1
9
�
5
1008
� 2
3
=
1
9
�
1008
5
� 2
3
Luego, por primer teorema del bienestar y usando lo obtenido en (a):
L2 = K2 =) q2 = (K2)
2
3 =)
L�2 = K
�
2 = q
3
2
2 =
�
1
9
� 3
2
�
1008
5
�
=
112
15
23
Por las condiciones de factibilidad:
L�1 = 16�
112
15
=
128
15
= K�1
(por primer teorema del bienestar K1 = L1 es la condición necesaria para ser equilibrio).
Sabemos entonces que q1 = 12815 . Con este resultado y la condición de cierre de mercado del
bien 1, obtenemos el precio que nos resta (y las cantidades consumidas):
16wK
3p1
+
8wL
p1
+
p32
54p1wLwK
= q1
16w
3p1
+
8w
p1
+
1
54p1w2
= q1
p1 =
16w
3q1
+
8w
q1
+
1
54q1w2
p1 =
40
3
w
q1
+
1
54q1w2
p1 =
�
40w
3
+
1
54w2
�
15
128
p1 =
0@40 � 51008� 13
3
+
1
54
�
5
1008
� 2
3
1A 15
128
p�1 =
�
5
126
� 1
3
El equilibrio está dado por los salarios y los precios de equilibrio encontrados y las cantidades
consumidas de bienes y utilizadas de factores encontradas.
24

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