Logo Studenta

Apuntes de Probabilidades

Vista previa del material en texto

PROBABILIDADES
Vivimos en un mundo de eventos o sucesos aleatorios, es decir, de eventos o sucesos que no ocurren con seguridad absoluta, sino que sólo tienen una determinada chance de ocurrir, a veces baja y a veces alta. Corresponden a los sucesos en que no se puede predecir su ocurrencia con exactitud, es decir, cuando existe participación del azar.
Contrariamente a lo que muchas personas creen, los sucesos aleatorios son la mayoría. Por ejemplo son sucesos aleatorios la edad a la que fallecerá una persona, el número de trabajo distintos que desempeñará en su vida, el número de hijos(as) que tendrá, el salario que recibirá en su próximo empleo, la calificación que un alumno obtiene en un curso, la cantidad de empleados de una empresa que asistirán al trabajo al día siguiente, etc.
La Probabilidad es la medida de la certeza de que ocurra un suceso aleatorio.
Definiciones de probabilidad
Definición Subjetiva: asignar valores a la probabilidad de un suceso de acuerdo a la propia “creencia” de la certeza de ocurrencia del mismo. Así, en un día amenazante de lluvia, tomamos un paraguas al salir de casa dependiendo del valor que asignamos a la probabilidad subjetiva de que efectivamente lueva más tarde en el día.
Definición Frecuentista: Corresponde a la frecunecia relativa de un suceso aleatorio, cuando el fenómeno o experimento aleatorio se repite muchísimas veces (ojalá indefinidamente) (uso de la historia o frecuencia para determinar una probabilidad):
Siendo:
· A: suceso
· 
: frecuencia relativa de ocurrencia de A, cuando un experimento o fenómeno aleatorio E es repetido indefinidamente
· 
 ( es el número de ocurrencias del suceso A y n es el número de repeticiones del experimento o fenómeno aleatorio E)
La probabilidad del suceso A es , es decir, corresponde a la frecuencia relativa de ocurrencia del sudeso A cuando el experimento o fenómeno aleatorio E es observado un grandísimo número de veces.
Por ejemplo, de esta forma se puede establecer la probabilidad de que un paciente fallezca durante una intervención quirúrgica de riesgo. Las repeticiones del experimento aleatorio corresponderán a las numerosas intervenciones realizadas a otros pacientes.
Definición Matemática o Formal: 
Previamente a entregar la definición formal, necesitamos establecer varios entidades que serán indispensables.
Espacio Muestral: Llamamos espacio muestral (denotado por la letra griega Ω) asociado a un experimento o fenómeno aleatorio E, al conjunto de resultados posibles de E.
Ejemplos:
1) Lanzamiento de un dado y observación de su valor
conjunto de valores posibles
2) Lanzamiento de dos monedas: 
Ω= {(C,C), (C,S), (S,C), (S,S)}, considerando orden entre las monedas (o distinguibles)	
También podría expresarse como:
no considerando el orden entre las monedas orden (o indistinguibles) 
3) Estado del tiempo el próximo domingo
4) Lanzamiento de dos dados
		
Ejemplo:
Se define el suceso A: “que salga igual valor en ambos dados”
Utilizando por ahora la conocida expresión “casos favorables/casos totales”,
 (
casos favorables
casos totales
)P(A)=		 =
(sin orden o distinción entre los dados)
 
(Ω2 tiene ceros a la izquierda de la diagonal principal)
Aquí, sin orden
 (
casos favorables
casos totales
)		 = 0,2857
Supongamos un experimento o fenómeno aleatorio E.
Todo subconjunto de un espacio muestrales un suceso asociado al experimento o fenómeno aleatorio E. 
Algunos de los sucesos reciben el calificativo de “elementales”. Un suceso elemental es un subconjunto de que está formado por un solo elemento. 
Si , entonces son los sucesos elementales asociados a E.
Ejemplo: En el lanzamiento de un dado,
A= sale 5. Suceso elemental
B= sale número par. El conjunto B() es un suceso, pero no un suceso elemental.
Más aún, B= {2} U {4} U {6}. Así como B, todo suceso es una unión (disjunta) de sucesos elementales. La mayoría de los sucesos asociados a un experimento o fenómeno aleatorio E, no son sucesos elementales. 
Se puede definir el “conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado” como el conjunto potencia del conjunto inicial. Así, el conjunto potencia de Ω, ℘(Ω), está formado por todos los sucesos asociados a E.
Ejemplo: lanzamiento de un dado de sólo tres caras.
Si tiene N elementos , entonces ℘(Ω) tiene elementos.
℘(Ω) = conjunto de todos los sucesos asociados al experimento E. 
(Conjunto potencia de ).
Definición:Una probabilidad P es una función del conjunto de los sucesos asociados a un experimento o fenómeno aleatorio E en el conjunto de los números reales.
	
	℘(Ω) -->.
Una probabilidad asocia a cada suceso un valor en el conjunto(los números reales) que es la probabilidad del suceso, cumpliéndose:
Ax. 1: Si A es un suceso (la probabilidad de cualquier suceso es positiva o cero; una probabilidad no puede ser negativa).
Ax. 2:(la probabilidad de es 1; por ello, recibe el nombre de “suceso seguro”).
Ax. 3: Si, … son sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes,entonces 
	.
(La probabilidad de una unión de sucesos mutuamente excluyentes, es la suma de las probabilidades individuales de cada suceso).
Observación: Los axiomas Ax.1, Ax.2 y Ax.3, son afirmaciones que toda probabilidad cumplirá; sin embargo, como en toda teoría matemática, los axiomas son afirmaciones que no son demostrables, más bien, se aceptan como cimientos de dicha teoría).
Ejemplo: E: lanzamiento de un dado con seis caras.
. Algunos sucesos son:
	(“salga el número 1”)
	(“salga un número par”)
	(“salga el número 5”)
· 
 son excluyentes entre sí, no pueden ocurrir simultáneamente porque . 
No existen elementos comunes entre los tres sucesos.
: los sucesos ocurren simultáneamente
· 
La (unión) equivale a cero. 
 : ocurra , u ocurra , u ocurra , u ocurran dos sucesos cualesquiera de los tres, u ocurran los tres simultáneamente.
: ocurre un suceso, otro suceso, o ambos. 
· La condición tres dice:
Consecuencias de la definición de probabilidad:
1) 
Si A y B son sucesos tal que , entonces .
(B-A= lo que está en B y no en A)
2) 
Para todo suceso A, .
3) 
Para todo suceso A, .
Suceso Complementario de A (con respecto a ); está conformado por todo elemento que no está en A.
4) 
P(Ø)=0. (“Ø” es el suceso imposible, no incluye ningún resultado de )
5) 
Si A y B son sucesos cualesquiera entonces 
Observación: Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes o disjuntos:
Como tenemos que y , entonces obtenemos, coherentemente con el axioma 3.
Caso Finito y Equiprobable
Suponemos , espacio muestral finito y equiprobable, es decir, donde todos sus sucesos elementales tienen la misma probabilidad (que llamaremos p).
(Equiprobable: )
Por lo tanto,
Consecuencia: sea A un suceso formado por K 
 (
casos favorables
casos totales
)Como 
Observación: Esta última expresión, muy conocida, sólo es válida para los casos en que podamos trabajar con un espacio muestral finito y equiprobable. No es válida en general, y de hecho, sólo un número menor de situaciones reales de cálculo de probabilidades cumplen con dicha condición. Por ello, su aplicaión es mucho menos frecuente que lo que habitualmente se cree. 
En las situaciones en que podemos utilizar la expresión anterior, se puede utilizar en muchas ocasiones alguna o varias “estructuras de conteo” (de los casos favorables y de los casos totales), las que estudiaremos brevemente a continuación.
Estructuras de Conteo
- Permutaciones: 
Se llama permutación a todo ordenamiento de los elementos de un conjunto, considerando el orden obtenido y sin repetir elementos.
Ejemplos: 
1) 
¿De cuántas maneras podemos distribuir a 11 jugadores en un equipo de futbol? (esto equivale a preguntar cuántas permutaciones u ordenamientos se pueden hacer con un conjunto de 11 elementos). R: 
2) ¿Cuál es la probabilidad, si se asignan los puestos al azar, de que Marcelo Salas juegue de arquero?
En este caso, = conjunto de todas las ordenaciones posibles (finito y equiprobable).A: Alexis Sánchez juegue de arquero
 (
casos favorables
casos totales
)	P(A)=			=
	En general, el número de permutaciones con un conjunto de elementos es 
3) En una fila india:
 (
casos favorables
casos totales
)A: no vayan dos hombres ni dos mujeres seguidas (10 personas en “fila india”, ordenadas al azar)
P(A)=	
	
-Arreglos: 
Se llama arreglo a toda selección con orden, de r elementos de entre n.
En general, el número de arreglos posibles resulta ser:
Ejemplos: 
1) En una organización hay 40 personas: 3 personas se elegirán al azar asignándoles como integrantes de una comisión con presidente, vicepresidente y secretario(a). ¿De cuántas formas pueden ser elegidas estas 3 personas?
2) ¿Cuál es la probabilidad de que la señora Carmen Martínez y el señor Juan Rodríguez sean seleccionados, pero no sean presidente?
Sea A: la señora Carmen Martínez y el señor Juan Rodríguez son seleccionados pero no como presidentes.
R: 
3) Hay 800 jugadores de fútbol profesional. ¿De cuántas maneras puede ser elegido el equipo (teniendo en cuenta los puestos)?
R:
¿Cuál es la probabilidad si el equipo es elegido al azar, de que Bravo sea elegido como arquero y A. Sánchez como delantero?
R: 
· Arreglos con repetición:
	Corresponde a toda selección de r elementos de entre n, aceptando repetición de uno o más elementos.
	Se define a la selección de los r elementos , donde * se refiere a que la selección es con repetición.
	Ejemplo:
	Entre 50 personas se sortean 3 premios (1er, 2do y 3er premio)
	Tenemos, 
	
	¿Cuál es la probabilidad de que no gane los 3 premios una misma persona?
	Sea A: una misma persona gana los 3 premios
	P(una persona gane los 3 premios)=
	
	La solución entonces es:
	
- Combinaciones:
Corresponde a toda selección sin orden, de r elementos de entre n (Número de combinaciones de r elementos de entre n: ).
Ejemplos:
1) Número de formas de elegir a 6 personas de entre 50
 R: 
2) Número de formas de elegir 15 números de entre 25
 R:
Tenemos: 
- número de selecciones con orden, de r elementos de entre n.
- permutaciones de n elementos.
- selección sin orden, de r elementos de entre n.
Ejemplos:
1) formas de elegir 6 personas de entre 50 sin importar el orden.
2) (n° de formas de seleccionar 15 valores entre los 25 primeros enteros positivos).
Probabilidad Condicional
Consideremos la siguiente situación:
Un sombrero contiene tres tarjetas. Una de las tarjetas tiene dos caras blancas, otra tiene susdos caras negras, y la última tiene unacara blanca y unacara negra. 
Se escoge una de las tarjetas al azar y se muestra su cara visible, si la cara visible es negra, ¿cuál es la probabilidad de que la otra cara sea blanca?
El espacio muestral asociado al experimento aleatorio es (con las probabilidades asociadas :
Sucesos
A: primera cara negra 
B: segunda cara blanca 
Entonces,
- probabilidad incondicional de A (sin 
condiciones)
- probabilidad incondicional de B (sin 
condiciones)
Pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que la segunda cara sea blanca (B) dado (sabido) que la primera fue negra (N)?
R: 		
Definición
Si A es un suceso tal que se define la “Probabilidad Condicional de A dado B”, como:
			P(B│A)=
La “probabilidad condicional de un suceso A, dado un suceso B”, corresponde a la probabilidad de que ocurra el suceso A conocido que ha ocurrido el suceso B. Por ello se habla de probabilidad condicional, a diferencia de la probabilidad que hasta ahora hemos estudiado, que no tenía condiciones ni conocimiento previo, y así la denominamos “probabilidad incondicional”.
¿Cuál es la “motivación” de esta definición?
Supongamos una población conformada por N personas. De ellas, M son mujeres y H son varones. M + H = N.
A la vez, F personas fuman en dicha población. nF personas no fuman. También f + nf = N.
Además, se tiene: Mf: M∩f; Mnf: M∩nf; Hf: H∩f; Hnf: H∩nf 
Naturalmente tenemos: Mf + Mnf + Hf + Hnf = N.
	Género/Tabaquismo
	Fuma (f)
	No Fuma(nf)
	Total
	Mujer (M)
	Mf
	Mnf
	M
	Hombre (H)
	Hf
	Hnf
	H
	Total
	f
	 nf
	
Si se selecciona una persona al azar de dicha población, 
¿Cuál es la probabilidad de que la persona fume (o sea fumadora)? P(F) = F / N .
¿Cuál es la probabilidad de que la persona seleccionada sea mujer? P(M) = M / N .
Supongamos en cambio que ya se ha realizado la selección de la persona, y se sabe que ha sido una mujer. Nos preguntamos, ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumadora?
	P(F‌‌│M)=MF/M que es igual a (MF/N)/(M/N) = P(MF)/P(M) = P(M∩F)/P(M).
Generalizando el uso de esta expresión obtenemos que P(A│B) = (P(A∩B))/P(B), requiriéndose que P(B)≠0, lo que obliga a que P(B)>0.
Sucesos Independientes
Def.:Un “suceso A es independiente de un suceso B” ( con P(B)>0 ), si la probabilidad de que ocurra A no se modifica al conocerse que ha ocurrido B. Es decir, P(A│B)=P(A).
Def.: Un “suceso B es independiente de un suceso A” ( con P(A)>0 ), si la probabilidad de que ocurra B no se modifica al conocerse que ha ocurrido A. Es decir, P(B│A)=P(B).
Es fácil ver si tanto A como B son sucesos tales que P(A)>0 y P(B)>0, entonces 
	
	“A es independiente de B” “B es independiente de A”
(dejamos la demostración al lector). De allí podemos establecer la siguiente definición:
Def.: Si A y B sucesos tales que P(A)>0 y P(B)>0, se define 
A y B son sucesos independientes si “A es independiente de B” y “B es independiente de A”. Es decir, A y B son sucesos independientes si el conocer la ocurrencia de uno de ellos, no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro. 
Los sucesos A y B son independientes con P(A)>0 y P(B)>0, si P(B│A)=P(B) y P(A│B)=P(A).
Resultado: 
A y B (con P(A)>0 y P(B)>0) son independientes sí sólo sí: 
Demostración: Como sabemos, P(AB) = P(A∩B)/P(B); pero si A y B son sucesos independientes, entonces P(AB) = P(A). De allí, 
			P(A) = P(A∩B)/P(B) y entonces, P(A∩B) = P(A)*P(B).
En el otro sentido, pensemos que se cumple P(A∩B) = P(A)*P(B). Como P(AB) = P(A∩B)/P(B), obtenemos P(AB) = (P(A)*P(B))/P(B), y finalmente, P(AB) = (P(A). Con ello, A es independiente de B y los sucesos A y B son independientes.
Observación:
1. Los supuestos que se han utilizado en forma repetida en el sentido de que A y B sean sucesos tales que P(A)0 y P(B)0, son más bien formales pues al nivel de cursos iniciales y aplicados de Estadística, nos van a interesar sólo sucesos posibles con probabilidades positivas y sucesos imposibles. Restan sucesos de probabilidad cero pero posibles, los que ciertamente existen (nos referiremos a ellos posteriormente), pero son de poca frecuencia de aparición y no nos interesa su uso en este nivel.
2. Si A y B son sucesos tales que P(A)0 y P(B)0, entonces es importante tener en cuenta que podemos encontrar su probabilidad de ocurrencia conjunta a partir de sus probabilidades condicionales, que muchas veces conocemos:
		P(A∩B) = P(AB)*P(B) = P(BA)*P(A)
Ejemplos:
1) Se lanza un dado correcto o balanceado 2 veces consecutivas.
· Sea el suceso A: que salga mayor o igual a 5 la primera vez
· Sea el suceso B: que salga mayor o igual a 4 la segunda vez
Los 2 lanzamientos son independientes entre sí, induciendo la independencia de los sucesos A y B. Por lo tanto P(B‌‌│A)=P(B) y
2) ¿Es el suceso A: “ser dama” independiente con el suceso B: “fuma”, para la población de 100 personas especificada?
	Género/Tabaquismo
	Fuma (f)
	No Fuma(nf)
	Total
	Mujer (M)
	25
	35
	60
	Hombre (H)
	12
	28
	40
	Total
	37
	63
	100
	Si se escoge una persona al azar:
	- 
	- P(B│A)=
	Tenemos:	
	
	
	Por lo tanto, A y B no son sucesos independientes, son sucesos asociados, importa condicionar en uno de ellos al calcular la probabilidad de que ocurra el otro.
Regla del Producto
Consideremos tres sucesos, en general, sólo con la condición de que tengan asociadas probabilidades positivas. Se tiene A, B, C, sucesos, tales que P(A)>0, P(B)>0 y P(C)>0.
Entonces: P(A∩B∩C) = P(C ‌‌│A∩B) ∙ P(B│C) ∙ P(A)
Ejemplo: De un curso de 50 alumnos, divididosen tres grupos de edad G1, G2 y G3, con 25, 15 y 10 integrantes respectivamente. Se seleccionan, en orden, tres alumnos. 
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer alumno seleccionado pertenezca al grupo G1, el segundo alumno seleccionado pertenezca al grupo G2 y el tercer alumno seleccionado pertenezca al grupo G3?
Consideremos los sucesos 
		A: El primer alumno seleccionado pertenezca al grupo G1
		B: El segundo alumno seleccionado pertenezca al grupo G2
		C: El tercer alumno seleccionado pertenezca al grupo G3
Necesitamos determinar P(A∩B∩C).
Mediante la “Regla del Producto” tenemos,
			P(A∩B∩C) = P(C ‌‌│A∩B) ∙ P(B│C) ∙ P(A)
	 = (10/48) ∙ (15/49) ∙ (25/50) = (10∙15∙25)/(48∙49∙50)=
				 = 0,0319
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el orden de selección de los tres alumnos sea G2, G3, G1?
Nos interesa ahora la probabilidad P(B∩C∩A).
				P(B∩C∩A) = P(A ‌‌│B∩C) ∙ P(C│B) ∙ P(B)=
					 = (25/48)∙(10/49)∙(15/50)=(25∙10∙15)/(48∙49∙50)=
					 = 0,0319
Podemos ver que da el mismo resultado anterior. De hecho, cualquier selección donde cada uno de los tres alumnos a seleccionar pertenezca a un grupo distinto, tiene la misma probabilidad de ocurrencia.
3. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar tres alumnos cada uno de ellos pertenezca a un grupo distinto?
En este último caso en la selección de los tres alumnos no interesa el orden de selección, sino sólo que pertenezcan a los distintos grupos.
Sea D: Los tres alumnos selecionados pertenecen a grupos distintos.
	P(D) = (n° de distribuciones posibles de los tres grupos) ∙ 0,0319 =
	 = 3! ∙ 0,0319 = 6 ∙ 0,0319 = 0,1914
Teoremas de las Probabilidades Totales y de Bayes.
Consideremos ahora que el espacio muestral Ω pueda expresarse como una colección de sucesos Ai, i=1,…,n, donde Ω es la unión (disjunta) de los sucesos Ai, y donde las intersecciones de los diferentes Aies vacía. Además, los sucesos Ai deben tener probabilidad positiva.
		Es decir, Ω = ; Ai∩Aj = Ø, i≠j y P(Ai)>0.
Un suceso B puede ser siempre representado como
		B=(B∩A1)(B∩A2) … (B∩An)
		 (siendo todas las uniones disjuntas)
Se obtiene,
		 P(B) = P(B│A1)∙P(A1) + P(B│A2)∙P(A2) + … + P(B│An)∙P(An)=
			
			= │Ai)∙P(Ai)
Este resultado es conocido como “Teorema de las Probabilidades Totales”.
Teorema de Bayes
Bajo las mismas condiciones anteriores, sea B otro suceso tal que P(B)>0.
Se tiene
	P(Ai │B) = (P(Ai ∩B))/P(B)= (P(B│Ai)∙P(Ai))/( │Ai)∙P(Ai) ) , i=1,…,n
Este resultado es conocido como Teorema de Bayes. Su principal utilidad es poder calcular probabilidades condicionales donde los roles de los sucesos condionado y condicional se intercambian.
Observación: En concordancia con el Teorema de Bayes, en general: 				P(A│B) ≠ P(B│A), siendo A y B sucesos con probabilidades positivas.
Caso particular:
Sabemos por probabilidad condicional que 
P(A│B)==(P(A)*P(B│A))/P(B)
La probabilidad de B se puede expresar como:
P(B│A)+ P(B│)
Entonces,
P(A│B)= P(B│A)
		 P(B│A)+ P(B│)
3
123
1
i
i
AAAA
=
ÈÈ=
U
1
A
2
A
3
A
{
}
123
1,2,3,4,5,6
AAA
ÈÈ=
()limlim
A
A
nn
n
PAf
n
®¥®¥
==
""
È
(
)
123123
()()()
PAAAPAPAPA
ÈÈ=++
AB
Í
()()
PAPB
£
()1
PA
£
()1()
C
PAPA
=-
C
A
=
W
W
{
}
1,2,3,4,5,6
W=®
)
(
)
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
A
P
B
A
P
Ç
-
+
=
È
:0
AB
Ç
0
)
(
)
(
=
F
=
Ç
P
B
A
P
()()()
PABPAPB
È=+
{
}
12
,,....,
n
www
W=
{
}
(
)
{
}
(
)
{
}
(
)
12
.......
n
PwPwPwp
====
{
}
(
)
n
n
n
p
p
p
w
P
w
P
w
P
w
w
w
P
P
K
K
K
K
K
K
+
+
=
+
+
+
=
=
=
W
2
1
2
1
2
,
1
)
(
)
(
)
(
,
,
1
)
(
N
p
p
N
p
N
p
p
p
P
1
1
)
(
=
×
=
×
=
+
+
+
=
W
K
K
i
w
{
}
12
,,....,,
k
AwwwkN
=£
(
)
{
}
(
)
12
12
12
,,....,
()()....()
.....
.....
K
K
K
PAPwww
PwPwPw
ppp
ppppK
=
=+++
=+++
=+++=×
11
,()
K
pPAK
NNN
==×==
W
11
11!39.916.800
P
==
W
110!
0,09
11!
×
=
!
n
Pn
=
=
H
M
H
M
H
M
H
M
H
M
M
H
M
H
M
H
M
H
M
H
®
×
=
×
×
-
3
10
93
,
7
!
10
!
5
!
5
2
(
)
(1)......(1)
!
()!
n
r
n
r
Annnr
n
A
nr
=×-××--
=
-
{
}
{
}
{
}
{
}
®
=
W
s
s
s
c
c
c
,
;
,
;
,
1
280
.
59
!
37
!
40
)
!
(
!
:
=
=
-
X
N
N
R
%
128
,
0
10
28
,
1
38
39
40
38
!
2
)
(
3
=
×
=
×
×
×
=
-
A
P
800
11
800!
789!
A
=
798
6
9
800
11
798!
1
1
789!
1,5610
800!
799800
789!
A
A
-
×
===×
×
r
n
r
n
A
=
*
000
.
125
50
50
50
50
3
=
×
×
=
A
6
50*3
3
11
810
50
A
-
==×
4
32
11
()50410
5050
PA
-
\=×==×
2
1
1()10,996
50
PA
-=-=
r
n
C
{
}
,,
soleadonubladolluvioso
W=
50
6
C
25
15
C
!
()!
n
r
n
A
nr
=®
-
!
r
Pn
=®
(
)
!
!!
n
n
r
r
r
n
A
n
C
r
Prnr
æö
===®
ç÷
-
èø
50
6
50!50!
15.890.700
(506)!6!44!6!
C
===®
-××
25
15
25!
3.268.760
10!15!
C
==
×
 
1/3 1/3 1/6 1/6 
(
)
(
)
(
)
{
}
)
,
(
;
,
;
,
;
,
B
N
N
B
N
N
B
B
=
W
{
}
:(,);(,)
ANNNB
{
}
:(,);(,)
BBBNB
{
}
{
}
{
}
{
}
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
W
6
,
6
6
,
1
;
;
2
,
1
;
1
,
1
2
K
O
K
K
K
K
K
K
M
K
K
K
K
O
K
K
K
K
M
K
K
K
K
K
K
O
K
K
K
K
K
{
}
111
()(,);(,)
362
PAPNNNB
==+=®
{
}
111
()(;);(;)
362
PBPBBNB
==+=®
()1/61
(/)
()1/23
PAB
PBA
PA
Ç
===
1
()
6
PAB
Ç=
()0,
PA
>
)
(
)
(
A
P
B
A
P
Ç
Û
()()()
PABPAPB
Ç=×
211
()()()
626
PABPAPB
Ç=×=×=
37
()0,37
100
PB
==
{
}
:(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)
A
42
,
0
60
25
100
/
60
100
/
25
)
(
)
(
=
=
=
Ç
A
P
B
A
P
25
()
100
6037
()()0,222
100100
PAB
PAPB
Ç=
×=×=
U
n
i
i
A
1
=
U
U
å
=
n
i
B
P
1
(
)
(
)
(
A
P
B
A
P
Ç
B
A
P
B
A
P
B
P
Ç
+
Ç
=
(
)
(
)
(
1
0,16
6
=
×
=
)
(
)
(
A
P
B
P
×
)
(
C
A
P
C
A
×
)
(
A
P
×
)
(
A
P
2
W=
{
}
{
}
{
}
{
}
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
W
6
,
6
6
,
1
;
;
2
,
1
;
1
,
1
2
K
O
K
K
K
K
K
K
M
K
K
K
K
O
K
K
K
K
M
K
K
K
K
K
K
O
K
K
K
K
K
2
#21
W=
{
}
:(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)
A
®
6
()
21
PA
==
W
W
{
}
n
w
w
w
,
,.........
,
2
1
=
W
{
}
{
}
{
}
n
w
w
w
,.......,
,
2
1
{
}
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
W
{
}
5
{
}
6
,
4
,
2
A
f
W
Í
B
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
3
,
2
,
1
,
3
,
2
,
3
,
1
,
2
,
1
,
3
,
2
,
1
,
)
(
3
,
2
,
1
F
=
W
=
W
P
W
)
)
(
(#
N
=
W
N
2
W
:
P
Â
A
A
n
f
n
=
0
)
(
),
(
³
W
Í
A
P
A
1
)
(
=
W
P
W
W
n
A
A
A
,....,
,
2
1
å
=
=
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
1
1
)
(
i
i
i
i
A
P
A
P
U
{
}
6
,
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
W
{
}
1
1
=
A
{
}
6
,
4
,
2
2
=
A
A
n
{
}
5
3
=
A
3
2
1
,
,
A
A
A
F
=
Ç
Ç
=
Ç
=
Ç
=
Ç
3
2
1
3
2
3
1
2
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
""
Ç
È

Otros materiales